Модель Гордона (Gordon Growth Model): формула, ограничения, примеры | Finopedia

Что дальше

Все-таки стоит заметить, что ситуация была в 1988 году, иная чем сейчас, – инфляция и доходность по 10Т долгосрочно начала падать (после разгула в 1970-80х гг.).

Эффективно росли продажи компании (чистая прибыль росла быстрее продаж), произошла реализации возможности перекладки инфляционного роста цен на потребителей, компания расширяла сферу продаж (помните Фанту, когда она была из натурального продукта в конце 80-х годах в СССР) на страны бывшего коммунистического блока и прочее…

Сейчас тоже достаточно много возможностей для компании:

• растет благосостояние многих «бедных» стран, что также увеличит потребление продукции Кока-Кола (скоро она будет больше зарабатывать просто на продаже воды – в странах где с водой проблемы при увеличении благосостояния в этих странах),
• «дешевые» долги помогают развивать высокорентабельный бизнес почти задаром,
• возможный инфляционный скачок значительно снизит реальную долговую нагрузку.

Так что Баффетт, хотя и купил акции Кока-Колы 25 лет назад, но держит их и сейчас. И скорее всего купил бы их и сегодня.

Ставка R, темп прироста дивидендов, ROE в данный момент все в удовлетворительном состоянии у компании Кока-Кола, но всегда хочется наименьшего риска при инвестициях, чтобы не купить «дорогие» акции в 2000 году, когда они уже дорогие сверх нормы? Может, есть конкретный критерий, когда все-таки не нужно покупать акции даже такой замечательной компании.

Gordon growth model

Модель постоянного роста (Dividend Discount Model, DDM) – это модель, в которой предполагается, что дивиденды будут расти от периода к периоду в одной пропорции, т.е. с одинаковым темпом роста.

Данная модель широкое распространение получила под названием модель Гордона (Gordon Growth Model).

Модель названа в честь М. Дж. Гордона (M.J. Gordon), который первоначально опубликовал ее в совместном с Эли Шапиро (Eli Shapiro) исследовании: Capital Equipment Analysis: The Required Rate of Profit, Management Science, 3(1) (October 1956).

Как мы знаем, формула дисконтирования предполагает, что приведенная стоимость акции PV (определяющая ее цену в исходный момент времени) может быть представлена в виде:

М. Дж. Гордон для упрощения расчетов предположил: поскольку срок действия акции теоретически не ограничен, считаем, что поток денежных выплат представляет собой бесконечный поток дивидендов (ликвидационной суммы уже не будет, так как акция существует бесконечно долго).

С учетом этого допущения формула примет вид:

Кроме вышеуказанных упрощений, модель Гордона предполагает что:

• Величина k должно быть всегда больше g, в противном случае цена акции становится неопределенной. Это требование вполне логично, так как темп прироста дивидендов g может в какой-то момент превысить требуемую норму отдачи акции k. Однако это не произойдет, если полагать выбранный срок дисконтирования бесконечным, ибо в данном случае дивиденды постоянно прирастали бы более высокими темпами, чем норма отдачи акции, что невозможно.
• Предприятие должно выплачивать дивиденды регулярно, в противном случае модель Гордона неприменима. Более того, требование неизменности величины g означает, что компания направляет на выплату дивидендов всегда одну и ту же долю своего дохода.
• Требование неизменности величин k и g вплоть до бесконечности ограничивает структуру капитала предприятия: считается, что единственным источником финансирования фирмы являются ее собственные средства, а внешние источники отсутствуют. Новый капитал поступает в компанию только за счет удерживаемой доли дохода, чем выше доля дивидендов в доходе предприятия, тем ниже уровень обновления капитала.

Варианты ddm

DDM имеет множество вариаций, различающихся по сложности. Хотя это и не совсем верно для большинства компаний, простейшая итерация модели дисконтирования дивидендов предполагает нулевой рост дивидендов, и в этом случае стоимость акций равна величине дивиденда, деленной на ожидаемую норму прибыли.

Наиболее распространенный и простой расчет DDM известен как модель роста Гордона (GGM) , которая предполагает стабильную скорость роста дивидендов и была названа в 1960-х годах в честь американского экономиста Майрона Дж. Гордона.1  Данная модель предполагает стабильный рост дивидендов из года в год. Чтобы определить цену акций, приносящих дивиденды, GGM принимает во внимание три переменные:

Dзнак равнотче естятатед Vвлуй ой нехт уйг’ыдяvяденд r=the company’s cost of capital equityg=the constant growth rate for dividends, in perpetuitybegin{aligned}&D = text{the estimated value of next year’s dividend}\&r = text{the company’s cost of capital equity}\&g = text{the constant growth rate for dividends, in perpetuity}end{aligned}​D=the estimated value of next year’s dividendr=the company’s cost of capital equityg=the constant growth rate for dividends, in perpetuity​

Using these variables, the equation for the GGM is:

Price per Share=Dr−gtext{Price per Share}=frac{D}{r-g}Price per Share=r−g

A third variant exists as the supernormal dividend growth model, which takes into account a period of high growth followed by a lower, constant growth period. During the high growth period, one can take each dividend amount and discount it back to the present period.

Как выбрать ставку дисконтирования?

Существует несколько способов вычисления ставки дисконтирования. По своей сути, данный показатель является ставкой требуемой доходности. Простыми словами, если инвестору нужно получить доходность от своих вложений в размере 10%, то он и берет эту ставку для проведения нужных расчетов.

Более взвешенным способом определения данной величины является использование модели CAPM, которая предусматривает расчет ставки дисконтирования следующим образом:

где R(f) – безрисковая ставка доходности, в качестве которой можно брать, к примеру, показатель доходности государственных облигаций;β – коэффициент рыночного риска ценных бумаг, значение которого зависит от меры отклонения динамики акций от значения индекса (значения данного показателя представлено на официальных информационных инвестиционных порталах);

Другой способ определения ставки дисконтирования – это кумулятивный метод. Согласно данному подходу, искомый показатель рассчитывается так:

где Rmin – минимальный показатель реальной ставки дисконтирования (чаще всего используется значение ставки долгосрочных государственных облигаций);I – темп инфляции.

В целом, инвестор может принять для расчетов любой размер ставки доходности, исходя из собственных соображений, экспертных оценок либо же расчетных данных. При этом более высокая ставка влечет понижение результативного показателя справедливой цены акций.

Как рассчитать остаточную стоимость предприятия в оценке бизнеса?

Величина стоимости бизнеса по методу дисконтированных денежных потоков существенно зависит от ожидаемой стоимости бизнеса на конец прогнозного периода.

Остаточная стоимость бизнеса может быть рассчитана не только по модели Гордона. В отдельных случаях может быть обосновано применение и других приведенных ниже методов расчета.

При эффективном управлении бизнесом срок его жизни стремится к бесконечности. Однако прогнозировать ожидаемые потоки доходов на несколько десятков лет вперед нецелесообразно: чем больше период прогнозирования, тем ниже точность прогноза.

Для учета доходов, которые может принести оцениваемый бизнес за пределами периода прогнозирования, определяется ожидаемая стоимость предприятия (бизнеса) на конец прогнозного периода – «остаточная стоимость бизнеса», «стоимость реверсии», «постпрогнозная (терминальная) стоимость» (именно такой термин применен в ФСО № 8 «Оценка бизнеса»; при этом терминальная стоимость — от английского «terminal value»).

В зависимости от перспектив развития бизнеса в постпрогнозный период выбирается один из следующих методов, позволяющих рассчитать стоимость бизнеса на дату окончания прогнозного периода.

Метод также применим в случае, если в конце прогнозного периода предполагается продажа активов предприятия.

Обоснованно применить метод и в случае, когда в качестве прогнозного периода выбран период существования предприятия исходя из планов его собственников, менеджмента.

Метод предполагаемой продажи, согласно которому стоимость реверсии рассчитывается путем умножения годовой величины денежного потока на ожидаемое значение мультипликатора на дату окончание прогнозного периода.

Метод применим при наличии активного рынка сделок по купле-продаже аналогичных компаний на дату оценки и обоснованных прогнозов развития данного рынка в течение прогнозного периода. В Российской практике оценки бизнеса данный метод применяется редко.

Модель Гордона применяется в случае, если к завершению прогнозного периода темпы роста денежных потоков предприятия стабилизируются на невысоком уровне при наличии обоснованного предположения о том, что в постпрогнозном периоде будут сохранены небольшие стабильные долгосрочные среднегодовые темпы роста денежного потока.

Модель Гордона обоснованно применить в случае, когда в качестве прогнозного периода выбран период, по достижении которого темпы роста денежных потоков предприятия стабилизируются на невысоком уровне.

Чаще всего для расчета остаточной стоимости оцениваемого бизнеса применяют модель Гордона, формула которой представлена в двух следующих вариантах:

где ОС – остаточная стоимость бизнеса на конец прогнозного периода; d– ставка дисконта; q – стабильные долгосрочные темпы роста денежных потоков в постпрогнозном периоде; ДПn и ДП(n 1) – величины денежного потока, соответственно, последнего (n-го) года прогнозного периода (ДПn) и первого года постпрогнозного периода (ДП(n 1)).

Очевидно, что приведенные формулы одинаковы, поскольку равны их числители: ДП(n 1)= ДПn×(1 q).

Модель гордона

Если начальная величина дивиденда равна D, при этом ежегодно увеличивается с темпом прироста g, то формула текущей стоимости сводится к сумме членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

PV = D*(1 g)/(1 r) D*(1 g)^2/(1 r)^2 D*(1 g)^2/(1 r)^2… = D*(1 g)/(r-g),

где PV – текущая стоимость,r – ставка доходности, используемая для дисконтирования будущих поступлений.

Я не сильно приветствую оценку компаний на основе методов DCF ввиду огромной сложности оценки будущих доходов (изменение одного параметра может привести к огромным переменам в оценке).

Но в данном случае меня заинтересовало, то что можно получить из данной формулы (Гордона) – зная текущую стоимость акции, последний дивиденд за 12 месяцев и темп увеличения дивиденда (хотя бы примерно) – можно найти ставку r:

r = (D*(1 g)/PV g)*100

То есть найти ту самую ставку доходности, которую используют для дисконтирования будущих поступлений. Тем самым по максимуму снижаем слабое место любого анализа – прогнозирование будущего.

Мы отталкиваемся от ставки, уже заложенной в цене, и анализируем, насколько вероятно, что существующее положение вещей будет продолжаться длительное время.

Кстати, изучал одно исследование несколько лет назад по поводу инвестиций в компании, которые выплачивали дивиденды, и которые не выплачивали. Как думаете, какая группа по доходности оказалась лучше? Конечно, компании которые платили дивиденды! Может быть, компании, которые не платили дивидендов в том исследовании, и не могли их платить в принципе ввиду их слабого финансового положения.

Конечно, дивиденды — это производное от чистой прибыли, но в любом случае, выплаченные и растущие год от года дивиденды — это очень хорошо!

Но есть и другое мнение по поводу выплаты дивидендов у того же Баффетта, его компания Berkshire Hathaway не платит дивидендов, и вот почему – в письме к акционерам этого года хорошо это расписано. Интересно уживается два подхода в одном человеке – по своей компании дивиденды не платит, а по инвестициям дивиденды получать любит…)

Вернемся к формуле Гордона, и к тому вопросу, как можно покупать даже «дорогие» компании. Вопрос в качестве бизнеса, бренде, «рве безопасности», – об этом можно много почитать у Баффетта, но как можно все это перевести в объективные числовые значения?

Попробую проанализировать применение формулы Гордона (для инвестиций именно Баффетта она очень хорошо применима – он владеет акциями вечно).

1. Во-первых, чтобы компанию вообще можно было посчитать по данной формуле, – она должна стабильно выплачивать дивиденды и они должны расти (соответственно и чистая прибыль, иначе рост дивидендов упрется в показатель чистой прибыли). Что уже очень сильно сокращает круг таких компаний.
2. И во-вторых, нужно иметь большую уверенность в продолжение данной ситуации. Скорее всего это будут компании из потребительского сектора (ввиду большей прогнозируемости фин. результата и темпов роста бизнеса), чем сырьевой сектор, где такой стабильности труднее достичь.

Пример компании coca-сola

Приведу классический пример такой компании – Coca-Сola, и пример успешной инвестиции в «дорогую компанию».

В июне 1988 г. курс акций компании Coca-Cola был равен приблизительно 2,5 долл. за акцию (с учетом сплит акций за все 25 лет). На протяжении следующих десяти месяцев Баффетт купил 373 600 тыс. акций в среднем по цене 2,74 долл. за акцию, что было в пятнадцать раз больше прибыли и в двенадцать раз больше денежных поступлений в расчете на акцию и в пять раз больше балансовой стоимости акций.

То есть утверждать, что Баффетт купил акции дешево, не приходится. Он купил дорого. Что же сделал Уоррен Баффетт?

За 1988 и 1989 гг. компания Berkshire Hathaway купила акций Coca-Cola на сумму более 1 млрд долл., что составило 35 % от всех обыкновенных акций, которыми на тот момент владела компания Berkshire.

Это был смелый шаг. В этом случае Баффетт поступил в соответствии с одним из своих основных принципов инвестиционной деятельности: когда вероятность успеха очень высока – не бойтесь делать большие ставки. Позже были еще куплены акции по более дорогой цене – количество доведено до 400 000 тыс. штук (в текущих акциях) за 1 299 млн. долл. (3,25 долл. за акцию).

На данный момент этот портфель оценивается в 16 600 млн. долл. (41,5 долл. за акцию). Плюс еще дивиденды 4 336 млн. долл. (10,84 долл. на акцию за 25 лет)! Уоррен Баффет был готов пойти на это из-за его уверенности в том, что действительная стоимость компании намного выше. И оказался прав!

Цена акции, долл.

Дивиденды, долл.

Посмотрим на цифры. Что именно внушило данную уверенность? Посчитаю ставку r из модели Гордона и прочие показатели за последние 30 лет. Интересно, совпадение это или нет, – но после приобретения акций Баффеттом – ставка r значительно выросла в связи с резким ростом дивидендов (по причине роста чистой прибыли, так как dividend payout ratio только снижался с 65,3% в 1983 до 33,6% в 1997):

Ставка R, %

%

Размер чистой прибыли, млн. долл.

Рост дивидендов, %

Dividend payout ratio, %

Компания Coca-Cola – компания, которая стабильно платит и увеличивает размер дивидендов, при уменьшении доли выплат на дивиденды (!), производит регулярно разумные бай-беки, оптимально работает с плечом, поддерживает на высоком уровне ROE (около 30-35%), – в общем не компания, а идеал!

А идеал дешево стоить не может, сейчас P/E=19, P/BV=5,5 (в 1987 году – 15 и 5).

Получается, если «дорогая» компания хорошо работает увеличивая размер чистой прибыли и дивидендов год от года, она так и останется «дорогой» (и даже еще дороже станет), и покупать такие компании более безопаснее, чем очень «дешевые», но с туманными перспективами.

Подход к акции, как к облигации с постоянно растущим купоном

Если посмотреть на акции Кока-Кола, как на «облигацию» у которой еще растет доходность по купону, то за последние 25 лет получилась супер «облигация».

С одной стороны если оценивать в 1988 году доходность по дивидендам за 1987 год (0,0713) и цену на конец марта 1988 года (2,39), то дивидендная доходность в 2,98% при доходности 10Т на тот момент 8,72% как-то не впечатляла, но это только на первый взгляд.

Рост «купона», %

Сравните — купить «акцию-облигацию» или облигацию 10Т!

Тренд снижения доходности долгового рынка и, наоборот, предполагаемый рост дивидендных выплат разумно говорили о том, что акция — более перспективная инвестиция, ведь при росте доходности по «купонам», растет и сам номинал «облигации» в разы на длительном отрезке, так как зачастую текущая дивидендная доходность имеет почти постоянное значение.

Но при росте дивидендов будет расти и стоимость самой акции (хорошая «облигация» – доходность по купону растет и растет «номинал облигации»!).

Текущая дивидендная доходность акций Кока-Кола за последние 30 лет, %

Что дальше

Все-таки стоит заметить, что ситуация была в 1988 году, иная чем сейчас, – инфляция и доходность по 10Т долгосрочно начала падать (после разгула в 1970-80х гг.).

Эффективно росли продажи компании (чистая прибыль росла быстрее продаж), произошла реализации возможности перекладки инфляционного роста цен на потребителей, компания расширяла сферу продаж (помните Фанту, когда она была из натурального продукта в конце 80-х годах в СССР) на страны бывшего коммунистического блока и прочее…

Сейчас тоже достаточно много возможностей для компании:

• растет благосостояние многих «бедных» стран, что также увеличит потребление продукции Кока-Кола (скоро она будет больше зарабатывать просто на продаже воды – в странах где с водой проблемы при увеличении благосостояния в этих странах),
• «дешевые» долги помогают развивать высокорентабельный бизнес почти задаром,
• возможный инфляционный скачок значительно снизит реальную долговую нагрузку.

Так что Баффетт, хотя и купил акции Кока-Колы 25 лет назад, но держит их и сейчас. И скорее всего купил бы их и сегодня.

Ставка R, темп прироста дивидендов, ROE в данный момент все в удовлетворительном состоянии у компании Кока-Кола, но всегда хочется наименьшего риска при инвестициях, чтобы не купить «дорогие» акции в 2000 году, когда они уже дорогие сверх нормы? Может, есть конкретный критерий, когда все-таки не нужно покупать акции даже такой замечательной компании.

Модель гордона как формула оценки бизнеса и инвестиционных объектов

Моделью Гордона оценивают стоимость бизнеса и другие инвестиционные объекты. Автор модели – экономист М. Дж.Гордон.

Таким образом, годовой доход капитализируется, формируя стоимость бизнеса. А рассчитывается как разница между ставкой дисконтирования и долгосрочными темпами роста.

Гордоном было предложено упрощенное уравнение:

FV = CF(n 1) / (DR — t)

Для расчета формулы берутся следующие показатели:

• FV – стоимость объекта в постпрогнозном периоде;
• CF(n 1) – поток доходов на начало постпрогнозного периода;
• DR – ставка дисконтирования;
• t – долгосрочные темпы прироста потока доходов в остаточном периоде.

Особенность заключается в том, что при соблюдении определенных условий уравнение становится эквивалентом для общего уравнения дисконтирования потока денежных единиц.

Для определения бизнесу текущей стоимости собственного капитала (FV) необходимо ожидаемые денежные потоки за определенный период (CF(n 1)) разделить на разницу между ставкой дисконтирования (DR) и темпом прироста (t).

Гордону необходимо было найти решение для расчетов дивидендов, от того поначалу ее названием было «модель дивидендов». Данное уравнение является обобщенным. Разница DR – t еще трактуют нормой капитализации.

Для примера, результат от деления 1/(DR – t) считается множителем (иными словами — коэффициентом) к доходу. Соответственно, весьма рационально модель Гордона считать совместимой с общей моделью оценки.

Оценка бизнеса по данной модели определяется произведением доходов на коэффициент. Таким способом, обратившись к способу исчислений по формуле Гордона можно проанализировать информацию о запасе или бизнесе в целом.

К модели Гордона прибегают для обеспечения трудной к решению оценки, при налоговом планировании, при оценке акции с равномерным ростом дивиденда на фондовом рынке. Данную модель эффективно применять:

1. если наблюдается объемность рынка сбыта;
2. прослеживаются стабильные поставки сырья, материальных ресурсов для производства;
3. существует долговечность применяемых технологий и оборудования, гарантия инновационных модернизаций;
4. доступны денежные ресурсы на развитие предприятия;
5. стабильна экономическая ситуация.

Майрон Дж. Гордон вывел такую модель еще в 1959. Однако, для выше упомянутой модели существуют и альтернативы в общем разрезе дисконтированных денежных потоков (DCF).

Следует учитывать, что дивиденды могут выплачиваться только согласно результатов хозяйственной деятельности предприятия. Для этого крайне важно владеть достаточно достоверными данными для прогнозирования ожидаемых дивидендных выплат.

Прогноз дивидендов – это крайне сложная задача, так как существуют различные хозяйственные риски (даже если предприятие получило высокую оценку за стабильность бизнеса).

Были разработаны специальные приемы, которые позволяют с максимально возможной точностью сделать аппроксимацию будущих выплат по дивидендам. Только с такой оценкой формула будет рационально применима.

Именно в модели Гордона используются предположения о стабильном темпе прироста дивидендных выплат.

Когда срок прогнозированного периода истекает, то предполагается, что уровень увеличения продаж и прибыли будет стабилен, а показатель износа равен показателю капиталовложений.

Эта стоимость будет определяться с обязательным указанием ставки дисконта в процентном соотношении, темпами возрастания денежного оборота в соотношении процентов за годовой временной отрезок.

Важно запомнить, что показатель стоимости по истечению спрогнозированного периода по формуле Гордона определяется только в конце прогнозного периода.

Но если речь идет о первом годе в постпрогнозном периоде, то эти данные сводятся отдельно с обязательным влиянием роста потоков финансовых средств. Используют ту же ставку по дисконтированию.

Оценка доходности собственного капитала по модели гордона

Существует также формула Гордона для оценки стоимости компании исходя из цены капитала (WACC). Как рассчитывается WACC, вы можете посмотреть в одноименной статье.

Формула для оценки доходности капитала по модели Гордона выглядит так:

[ V_{term}=frac{FCF(t 1)}{WACC-g}, где ]

​( FCF(t 1) )​ – свободный денежный поток за первый год постпрогнозного периода.

Свободный денежный поток (Free Cash Flow) – это средства, полученные от операционной деятельности и остающиеся в распоряжении компании после вычета капитальных затрат (CAPEX).

Операционная деятельность – это основная деятельность предприятия, нацеленная на получение прибыли. Операционная деятельность включает денежные потоки по доходам и расходам, связанным с производственной и торговой деятельностью. Инвестиции, кредитование и капитальные затраты к операционной деятельности не относятся.

Иными словами, FCF – это прибыль компании без учета капитальных расходов. Показатель прибыли можно найти в отчете о финансовых результатах, а CAPEX – в отчете о движении денежных средств. Подробнее о расчете CAPEX – в одноименной статье.

Приведем пример с исходными данными:

• Чистая прибыль – 100 тыс. руб.;
• CAPEX – 50 тыс. руб.;
• WACC – 15%;
• g – 10% в год;
• прогнозный период – 2 года.

Рассчитаем FCF:

​( FCF )​=100 50=150 тыс. руб.

​( FCF1 )​=150 10%=165 тыс. руб.;

​( FCF2 )​=182 тыс. руб.;

​( FCF3 )​=200 тыс. руб.

​( Vterm )​=200/(0,15-0,10)=4000 тыс. руб.

Подход к акции, как к облигации с постоянно растущим купоном

Если посмотреть на акции Кока-Кола, как на «облигацию» у которой еще растет доходность по купону, то за последние 25 лет получилась супер «облигация».

С одной стороны если оценивать в 1988 году див. доходность по дивидендам за 1987 год (0,0713) и цену на конец марта 1988 года (2,39), то див. доходность в 2,98% при доходности 10Т на тот момент 8,72% как-то не впечатляла, но это только на первый взгляд.

Тренд снижения доходности долгового рынка и наоборот предполагаемый рост дивидендных выплат разумно говорили о том, что акция более перспективная инвестиция — ведь при росте доходности по «купонам»,

Но при росте дивидендов будет расти и стоимость самой акции (хорошая «облигация» — доходность по купону растет и растет «номинал облигации»!!!).