Простые и сложные проценты, современная ценность денег

Существует три основных метода дифференциации издержек:

1. Метод максимальной и минимальной точки

2. Графический (статистический) метод

3. Метод наименьших квадратов.

При методе дифференциации издержек методом максимальной и минимальной точки из всей совокупности данных выбираются два периода с наибольшим и наименьшим объёмом производства. Определяется ставка переменных издержек – это средние переменные расходы в себестоимости единицы продукции.

Ставка переменных издержек = [(Максимальная общая сумма издержек – минимальная общая сумма издержек]: , (34)

Определяется общая сумма постоянных издержек:

Постоянные издержки = Максимальная общая сумма издержек – ставка переменных издержек (35)

2. Дифференциация издержек графическим (статистическим) методом.

Как известно, линия общих издержек определяется уравнением первой степени:

Y = a b x,

где Y – общие издержки;

a – уровень постоянных издержек;

b – ставка переменных издержек;

x – объём производства, физических единиц.

Статистический метод основан на использовании коррекционного анализа, хотя сами коэффициенты коррекции не определяются.

Ставка переменных издержек = (совокупные издержки – постоянные издержки)/объём производства

3. Дифференциация затрат методом наименьших квадратов является наиболее точной, так как в ней используются все данные о совокупных издержках и определяются коэффициенты a и b.

Ставка переменных издержек b равна

А) Дифференциация издержек методом максимальной и минимальной точки.

Из всей совокупности данных выбираются два периода с наибольшим и наименьшим объемом производства – август и февраль. В августе сумма переменных издержек будет максимальной, а постоянных – минимальной. В феврале – соответственно наоборот.

Ставка переменных издержек = [(250 000-190 000)]х ]:590 = 166,4 руб/шт

Определяется общая сумма постоянных издержек:

Постоянные издержки = 250 000-166,4 руб/шт х 590 тыс.шт. = 151 824 тыс.руб.

Б) По методу максимальной и минимальной точки:

Y=151 824 166,4 х

Алгоритм определения коэффициентов и результаты расчетов представлены в таблице

Ставка переменных издержек равна:

Переменные издержки в расчете на среднемесячный объем производства составляют 385 тыс.шт.х167,47 руб/шт=64 475,95 тыс.руб. Тогда постоянные издержки составляют 213 750-64 475,95= 149 274,1 тыс.руб.

По методу регрессионного анализа:

Y=149 274,1 167,47 х

Задача 3

Компания осуществляет закупки на условиях 2/20 брутто 45, не пользуется скидкой и производит оплату на 90-й день. С течением времени поставщик стал требовать строго соблюдения сроков оплаты. Компания может получить банковский кредит сроком на год на условиях: ставка кредита 20% простых в год, компенсационный остаток – 25%.

Отчетный баланс компании, млн.руб.

Определите цену нового торгового кредита, сравните с банковским кредитом. Постройте новый баланс фирмы.

Если компания осуществляет закупки на условиях 2/20 брутто 45, это значит, что фирма готова предоставить скидку 2% если оплата будет осуществлена в течение 20 дней со дня, обозначенного в счете-фактуре. Минимальный срок, в течение которого должна быть произведена оплата без предоставления скидки, составляет 45 дней.

Если компания производит закупки ежегодно на сумму 60 млн рублей ( эта сумма отражена в балансе по строке «кредиторская задолженность»), то ежедневно ее закупки составят сумму в: 60/360 = 0,166 млн.рублей в день

Если бы компания пользовалась скидкой, производя оплату на 20 день, ее кредиторская задолженность составит в среднем: 20х0,166= 3,32 млн.рублей

Т.к. компания решила отказаться от скидки и производить оплату на 90 день, то ее кредиторская задолженность увеличится и составит:

45*0,166=7,47 млн.рублей

Таким образом, дополнительный кредит составит:

7,47-3,32 = 4,15 млн.рублей и может быть использован на осуществление закупок.

Компания отказалась от скидки в 2% на 60 млн.рублей закупок, то есть в год дополнительные затраты составляют 0,02х60 =1,2 млн.рублей.

Тогда цена торгового кредита составит

Цкр=1,2 /4,5 = 28,9 %

Эффективная годовая ставка по торговому кредиту

Ставка процента за кредит за период:

0,02/0,98= 0,0204

Дополнительный срок пользования кредитом составляет 45-20= 25 дней, в году таких периодов 360/25=14,4. Эта ставка начисляется 14,4 раза в год, таким образом, цена торгового кредита, рассчитанная как эффективная годовая ставка, составит:

(1,0 0,0204)14,4-1,0=0,338 или 33,8%

Рассчитаем эффективную ставку банковского кредита.

Если банк требует что на счету у компании оставался компенсационный остаток в размере 25% от суммы кредита, то значит компания вынуждена увеличить сумму кредита до 60 0,25х60=75 млн.рублей

Если ставка за кредит равна 20%, то общая сумма процентов составит 75*0,2= 15 млн.рублей.

Поскольку со счета можно снять только 60 млн.рублей, то фактически эффективная ставка процента равна 15/60=0,25 или 25%.

Если фирма решила воспользоваться скидкой и отказаться от торгового кредита, ей придется привлекать дополнительные средства из банка. Ежедневно она приобретает товар на сумму 0,166 млн.рублей, и спустя 20 дней, ее кредиторская задолженность будет равна 3,32 млн.рублей

При составлении прогнозного баланса предполагается, что величина активов, начислений и акционерного капитала не меняются и не зависят от выбора того или иного подхода. Балансы отличаются лишь суммами по статьям «кредиторская задолженность» и «векселя к оплате». Также нужно учесть, что, на сколько снижается кредиторская задолженность в пассиве баланса, на столько увеличиваются денежные средства и снижаются товарно-материальные запасы в активе баланса.

Прогнозный баланс компании, млн.руб.

Если компания отказывается от скидки, то расходы по выплате процентов по кредиту равны нулю, но в то же время увеличатся затраты на величину возможной скидки, что составляет 1,2 млн.рублей. С другой стороны, если фирма решает воспользоваться скидкой, то ей придется нести дополнительные расходы по выплате процентов за привлеченный кредит

Таким образом, сравнивая дополнительные расходы и выгоды, можно сделать вывод, что сумма упущенной выгоды ниже, чем расходы по выплате процентов.

Задача 4

По приведенным данным рассчитать среднюю продолжительность оборота (погашения) дебиторской задолженности покупателей и кредиторской задолженности поставщикам в отчетном и базисных годах. Определить влияние отдельных факторов на ускорение (замедление) оборачиваемости дебиторской и кредиторской задолженности в отчетном году по сравнению с базисным годом. Оценить эффективность отвлечения средств в дебиторскую задолженность и обоснованность привлечения заемных средств в виде товарного кредита.

Влияние факторов на коэффициенты оборачиваемости анализируется по модели:

,

где Кобi – коэффициент оборачиваемости i-го вида оборотных средств;

В – выручка от реализации;

средние остатки i-го вида оборотных средств.

Средняя продолжительность 1 оборота в днях вычисляется по формуле

Показатель	Условн. обознач.	Предыд. год	Отчетн. год
1. Выручка от продаж, тыс. руб.	В	29 670	33 304
2. Себестоимость проданной продукции, тыс. руб.	Sпр	21 670	22 280
3. Среднегод. балансовая величина дебитор. задолж., тыс. руб.	2318	2555
4. Среднегод. балансовая величина кредитор. задолж., тыс.руб	2022	1911
5. Коэффициент оборачиваемости ДЗ, об	Коб дз	12,8	13,03
6. Коэффициент оборачиваемости КЗ, об	Коб кз	14,75	17,43
7. Средняя продолжительность оборота (погашения) ДЗ, дни	Lдз	28,125	27,628
8. Средняя продолж-ть оборота (погашения) КЗ поставщикам., дни	Lкзп	24,41	20,65

Проанализируем влияние факторов на коэффициент оборачиваемости дебиторской задолженности. Общее отклонение коэффициента оборачиваемости дебиторской задолженности:

В том числе за счет изменения отдельных факторов:

за счет изменения выручки от реализации:

за счет изменения среднего остатка готовой продукции:

Коэффициенты оборачиваемости	Базисный год	Отчетный год	Изменение
всего	в т.ч. за счет изменений
объема реализации	средних остатков средств
1. Дебиторской задолженности	12,8	13,03	0,23	-954,52	-2388,75
2 Кредиторской задолженности	14,75	17,43	2,68	-1099,70	1568,05

Экономический эффект в результате ускорения оборачиваемости выражается в относительном высвобождении средств из оборота, а также в увеличении суммы выручки и прибыли. Сумма высвобождаемых средств из оборота в связи с ускорением (-Э) или дополнительно привлеченных средств в оборот ( Э) при замедлении оборачиваемости определяется по формуле:

Оборотные активы	Оборачиваемость, в днях	Влияние на размер оборотных активов, тыс.руб.
базисный год	отчетный год	изменения ( , -), ДПобi	высвобождение средств	дополнительное привлечение средств
1. Дебиторская задолженность	28,125	27,628	-0,497	-15,2	x
2 Кредиторская задолженность	24,41	20,65	-3,74	-114,9	x

Задача 5

Выручка от реализации в компании АА в январе составила 50 000 долл.; в последующие месяцы ожидается прирост с темпом 1% в месяц. Оплата за поставленную клиентам продукцию осуществляется на следующих условиях: 20% месячного объема реализации составляет выручка за наличный расчет; 40% продается в кредит с оплатой в течение месяца и предоставляемой клиентам скидкой в размере 3%; оставшаяся часть продукции оплачивается в течении двух месяцев, при этом 5 % этой суммы составляют безнадежные долги.

Рассчитайте величину денежных поступлений в июне.

При планировании поступлений денежных средств проводится расчет предполагаемых поступлений денежных средств на основании имеющихся плановых данных по доходам за данный период и возможным погашением дебиторской задолженности покупателями (Поступления)

Расчет поступлений выполняется с учетом сложившейся практики взаимоотношений с покупателями. Для этого с помощью, например, статистических методов проводится анализ текущей деятельности предприятия и определяются следующие показатели:

сроки погашения дебиторской задолженности;

процент поступающих авансов от общей суммы, реализуемой продукции (товара);

сроки от получения авансов до исполнения предприятием соответствующих обязательств;

процент «безнадежных» долгов в общей доле предъявленных покупателям счетов.

Расчет этих показателей производится по каждому виду деятельности в разрезе групп контрагентов. Для этого можно использовать бухгалтерскую базу предприятия.

Величина денежных поступлений в июне составила 49 326, 9 тыс.рублей.

Задача 6

Планируемая годовая потребность в материалах составляет 180 тыс.ед. Если заказывается партия объемом менее 50 тыс.ед., то себестоимость материалов будет 20 руб. за единицу, если объем заказа выше, то можно получить скидку в размере 5%. Анализируются две альтернативы: а) делать два заказа по 90 тыс.ед. в каждом; б) делать ежемесячный заказ по 15000 ед.

Требуется: а) определить, какая из этих альтернатив является более дорогостоящей для компании; б) найти, во что обходится компании выбор более дорогостоящего варианта, если высвобожденные деньги можно было бы вложить в банк под 8% годовых.

А) определить, какая из этих альтернатив является более дорогостоящей для компании

а) (90000 ед. * (20 руб. * 5 %)) * 2 = 3 420 000 руб.

б) 15000 ед. * 20 руб. * 12 мес. = 3 600 000 руб.

Таким образом, второй вариант является более дорогостоящим.

Б) FV = (3600000-3420000) * (1 0.08) = 180000*1.08 = 194400

Доход составил бы 14400 руб.

Задача 7

Компания АВ делает заказ сырья по цене 4 долл. за единицу партиями в объеме 200 единиц каждая. Потребность в сырье постоянна и равна 10 единиц в день в течении 250 рабочих дней. Стоимость исполнения одного заказа 25 долл., а затраты по хранению составляют 12,5 % стоимости сырья.

1. Рассчитайте оптимальный размер заказа EOQ и эффект от перехода от текущей политики заказа сырья к политике, основанной на EOQ.

2. Поставщик соглашается снизить цену сырья, если заказ будут делать большими партиями. Условия таковы: при объеме заказа до 599 ед., скидка не предоставляется; при объеме заказа от 600 до 999 ед., скидка составит 10%; при объеме заказа более 1000 ед., скидка – 15%. Рассчитайте EOQ в этих условиях.

1) Величина оптимального заказа (EOQ) определяется по формуле (модель Уилсона):

,

Где F – постоянные затраты по размещению и выполнению одного заказа, $.;

Z – общая годовая потребность в запасах, ед.;

С – годовые затраты по хранению, в долях ед.;

Р – цена приобретения единицы запасов, $.

ед.

Рассчитаем эффект (Э) от перехода от текущей политики заказа сырья к политике, основанной на EOQ, для этого рассчитаем затраты для текущей политики (размер партии 200 шт.) и затраты для оптимального заказа (размер партии 500 шт.)

,

где ; – затраты на транспортировку, – затраты на хранение

; – объем партии

При скидке 10 % при объеме заказа от 600 до 999 ед:

При скидке 15 % при объеме заказа более 1000 ед:

Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход [3].

Сложные проценты – это проценты, полученные на начисленные проценты.

Формула сложного процента – это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления процентов.

х (1 0,01а)ⁿ – периодическое увеличение некоторой величины на одно и то же число процентов.

х(1 0,01а)^n,

где х – начальный вклад, сумма.

а –процент(ы) годовых

n- время размещения вклада в банке

Но, мы можем и уменьшать цену, поэтому эту формулу можно записать и по- другому: х(1- 0,01а)ⁿ – периодическое уменьшение некоторой величины на одно и то же число процентов.

Пример:

Представим, что вы положили 10 000 руб в банк под 10 % годовых.

Через год на вашем банковском счету будет лежать

сумма SUM = 10000 10000*10% = 11 000 руб.

Ваша прибыль – 1000 рублей.

Вы решили оставить 11 000 руб. на второй год в банке под те же 10%.

Через 2 года в банке накопится 11000 11000*10% = 12 100 руб.

Прибыль за первый год (1000 рублей) прибавилась к основной сумме (10 000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее.

Этот эффект и получил название сложный процент.

Когда вся прибыль прибавляется к основной сумме и в дальнейшем уже сама производит новую прибыль.

Задача 6

Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 рублей на вклад, годовой доход по которому составляет 12%, и решил в течение шести лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на счете через шесть лет?

Решим эту задачу по формуле сложных процентов

х (1 0,01а)ⁿ,

где х – первоначальный вклад.

а – процент годовых.

n – время размещения вклада в банке.

Применим эту формулу к нашей задаче

первоначальный вклад – 2000

процент годовых – 12

n – 6 лет, значит

2000(1 0,12)⁶ = 2000*1,126 = 2000*1,973823 = 3947,65

ОТВЕТ: через 6 лет на счете будет лежать сумма в виде 3947 руб. и 65 коп..

Вывод: решила задачу, применив новое свойство нахождения процентов по формуле сложных процентов.

Задача 7 (ЕГЭ 2006год)

После двух последовательных снижений цен на одно и то же число процентов стоимость товара с 400 рублей снизилась до 324 рублей. На сколько процентов стоимость товара снижалась каждый раз?

Решим эту задачу по формуле сложных процентов – х (1-0,01а)ⁿ

Получим:

400*(1-0,01а)²=324

20(1 – 0,01а) = 18

1 – 0,01а = 0,9

а = 10

ОТВЕТ: стоимость товара каждый раз снижалась на 10%

Задача 8(ЕГЭ 2006год)

По пенсионному вкладу банк выплачивает 12% годовых. По истечению каждого года эти проценты капитализируются, то есть начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счет на 80000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимались деньги в течении двух лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

Решение:

Эту задачу можно решить двумя способами: 1)по действиям

2)по формуле сложных процентов

Решение:

1)узнаем доход за первый год

80000*0.12=9600руб.

2)найдем сумму на счете после первого года

80000 9600= 89600руб.

3)определим доход за второй год

89600* 0,12= 10752 руб.

4)узнаем конечную сумму на счете

10752 89600= 100352руб.

5)найдем доход после двух лет

100352- 80000= 20352 руб.

ОТВЕТ: по истечении двух лет получился доход в размере 20352 руб.

Эту же задачу решим по формуле банковских процентов: х(1 0,01а)ⁿ

Пусть: х – 80000 – начальный вклад

а – 12% годовых

n – 2 года, получим:

80000(1 0,12)² = 80000 * 1,12² = 100 352 руб.

Этим узнали конечную сумму на счете после двух лет. Теперь надо узнать какой доход был получен. Для этого из конечной суммы вычтем начальный вклад.

100352 – 80000 = 20 352руб.

ОТВЕТ: по истечении срока был получен доход в размере 29 352 руб.

Вывод: решила задачу двумя способами, доказав, что проще и быстрее решить задачу по формуле сложных процентов, а не по действиям.

Задача 9(ЕГЭ 2006год)

Банк предлагает клиентам два вида вкладов. Первый «До востребования» со следующим порядком начисления процентов: каждые 6 месяцев счет увеличивается на 10% от суммы, имеющиеся на счету клиента в момент начисления. Второй вклад «номерной» с ежегодным начислением процентов по вкладу. Сколько процентов годовых должен начислять банк по второму вкладу, чтобы равные суммы, положенные клиентом на каждые из указанных счетов, через два года оказались снова равными?

Решение:

Решим эту задачу уравнением, применяя форму банковских процентов.

Пусть: х – начальный вклад; тогда через 6 месяцев сумма на счете будет равна

х*х 0,1=х(1 0,1);

через год сумма будет

х(1 0,1) х(1 0,1)*0,1= х(1 0,1)²;

Тогда через два года сумма будет равна х(1 0,1)⁴

Сумма вклада «Номерной»через два года, после двух начислений равна х(1 0,01х)²

Получим уравнение:

х(1 0,01х)² = х(1 0,1)⁴

1 0,01х=(1 0,1)²

100 х= 110²

100 100

100 х = 12100

100

100 х=121

Х=21%

ОТВЕТ: банк должен начислять 21% годовых, по «номерному» вкладу.

Вывод: решила задачу, применив свойство сложных процентов.

Задача 10 (ЕГЭ 2006год)

Для определения оптимального режима снижения цен социологи предложили фирме с первого января снижать цены на товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине – в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 20%, в другом через каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и тоже число процентов, причем такое, чтобы через полгода (первого июля) цены снова стали одинаковыми. На сколько процентов надо снижать ценны товара через каждые два месяца во втором магазине?

Решение:

Решим эту задачу с помощью формулы сложных процентов: х(1 0,01а)ⁿ

Пусть: х – начальная цена, тогда, через месяц, после первого понижения, в первом магазине, цена на товар будет равна х(1-0,2) после второго понижения х(1-0,2)²;

Тогда, через полгода (после шести понижений) цена будет равна х(1-0,2)⁴

Цена товара, во втором магазине после трех понижений на а% будет равна

х(1-0,01а)² Получаем уравнение:

х(1-0,01а)²= х(1-0,2)⁴

1 – а = (100- 20)²

100 100²

100 – а = 80

100 100²

100 – а = 64

а = 36%

ОТВЕТ: на 36% надо снижать цены во втором магазине.

Задача 11 (ЕГЭ 2006 год)

В соответствии с договором фирма с целью компенсации потерь от инфляции была обязана в начале каждого квартала (3 месяца) повышать сотруднику зарплату на 2%. Однако с связи с финансовыми затруднениями она смогла повышать ему зарплату только раз в полгода (в начале следующего полугодия). На сколько % фирма должна повышать зарплату каждые полгода, чтобы первого января следующего года зарплата сотрудника была равна той, которую он получил бы в режиме повышения, предусмотренной договором?

Решение:

Для решения составим таблицу: