Основы финансовых вычислений 1. Теория процентов 2. Финансовые потоки, ренты ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-1.jpg” alt=”>Основы финансовых вычислений 1. Теория процентов 2. Финансовые потоки, ренты ” />
Основы финансовых вычислений 1. Теория процентов 2. Финансовые потоки, ренты
Понятие процента • Величина составляет долю • от величины ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-2.jpg” alt=”> Понятие процента • Величина составляет долю • от величины ” />
Понятие процента • Величина составляет долю • от величины , если • Величина составляет • от величины , если
Наращение капитала по процентной ставке • Долю величины капитала ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-3.jpg” alt=”> Наращение капитала по процентной ставке • Долю величины капитала ” />
Наращение капитала по процентной ставке • Долю величины капитала называют процентной ставкой. Процент связан с процентной ставкой формулой • За один период времени (например год) капитал может увеличится на . Тогда наращенный капитал вычисляется по формуле
Наращение капитала • Обозначим через первоначальную сумму капитала, через сумму” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-4.jpg” alt=”> Наращение капитала • Обозначим через первоначальную сумму капитала, через сумму” />
Наращение капитала • Обозначим через первоначальную сумму капитала, через сумму капитала по истечении одного периода (года), через процентную ставку. Тогда • Как вычислить наращение капитала за • Несколько периодов ( периодов).
Простые проценты • За первый период прирост капитала составляет величину ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-5.jpg” alt=”> Простые проценты • За первый период прирост капитала составляет величину ” />
Простые проценты • За первый период прирост капитала составляет величину • В случае применения метода расчета по формуле простых процентов считается, что и в каждый последующий период прирост капитала (например долга) составляет величину • Тогда за периодов прирост
Простые проценты • Капитала составит величину . • Таким образом” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-6.jpg” alt=”> Простые проценты • Капитала составит величину . • Таким образом” />
Простые проценты • Капитала составит величину . • Таким образом сумма капитала образующегося через периодов вычисляется по формуле • Формула • • называется формулой простых процентов. Множитель называется • коэффициентом наращения.
Сложные проценты • При длительных сроках кредитно денежных отношений естественно ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-7.jpg” alt=”> Сложные проценты • При длительных сроках кредитно денежных отношений естественно ” />
Сложные проценты • При длительных сроках кредитно денежных отношений естественно применять процентную ставку не к первоначальному капиталу, а к капиталу предыдущего периода. Т. е. полученные проценты реинвестируются или другими словами происходит капитализация полученных процентов. В этом случае
Сложные проценты • Т. о. • ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-8.jpg” alt=”> Сложные проценты • Т. о. • ” />
Сложные проценты • Т. о. • • Последняя формула называется формулой сложных процентов • – множитель наращения за периодов
Проценты за нецелое число периодов • В формулы простых и” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-9.jpg” alt=”> Проценты за нецелое число периодов • В формулы простых и” />
Проценты за нецелое число периодов • В формулы простых и сложных процентов можно подставить вместо целого числа периодов нецелое число . В результате получим формулы • Применяется также смешанный метод вычисления процентов за периодов где целая часть числа , его дробная часть.
Учёт времени в днях. • Если срок измеряется не в годах” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-10.jpg” alt=”> Учёт времени в днях. • Если срок измеряется не в годах” />
Учёт времени в днях. • Если срок измеряется не в годах а в днях то в качестве нужно взять • где так называемая временная база, т. е. число дней в году. Если дней (12 месяцев по 30 дней), то говорят, что используются обыкновенные или коммерческие проценты. При использовании действительной продолжительности года дней получают точные проценты.
Примеры • Пример 1. Ссуда 150000 руб. выдана на 4″ src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-11.jpg” alt=”> Примеры • Пример 1. Ссуда 150000 руб. выдана на 4″ />
Примеры • Пример 1. Ссуда 150000 руб. выдана на 4 года под 20% годовых (простые проценты). Какова величина накопленного долга? • Пример 2. Вклад в размере 3000 руб. положен в банк на депозит 10 марта под 15% годовых по схеме сложных процентов. Какую сумму вкладчик получит 22 октября?
Примеры (продолжение) • Продолжительность финансовой операции • Используя формулу сложных процентов” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-12.jpg” alt=”> Примеры (продолжение) • Продолжительность финансовой операции • Используя формулу сложных процентов” />
Примеры (продолжение) • Продолжительность финансовой операции • Используя формулу сложных процентов получаем • Пример 3. На вклад, открытый в банке под 15% годовых через 18 месяцев начислены проценты в сумме 10000 руб. Найдите величину вклада при условии, что при начислении процентов использовалась формула простых процентов.
Решение примера 3 • Под процентом или процентными деньгами подразумевается разность” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-13.jpg” alt=”> Решение примера 3 • Под процентом или процентными деньгами подразумевается разность” />
Решение примера 3 • Под процентом или процентными деньгами подразумевается разность между наращенной суммой и величиной вклада. В случае простых процентов эта разность вычисляется по формуле • Отсюда Следовательно
Кратное начисление процентов • Вычислим наращенную величину при условии, что проценты начисляются” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-14.jpg” alt=”> Кратное начисление процентов • Вычислим наращенную величину при условии, что проценты начисляются” />
Кратное начисление процентов • Вычислим наращенную величину при условии, что проценты начисляются раз в год ( ежеквартально при , ежемесячно при и т. п. ) • В случае простых процентов • • т. е. наращенная сумма не зависит от кратности начисления.
Кратное начисление процентов • В случае сложных процентов • Пример. В банк положен” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-15.jpg” alt=”> Кратное начисление процентов • В случае сложных процентов • Пример. В банк положен” />
Кратное начисление процентов • В случае сложных процентов • Пример. В банк положен депозит в размере 1000 руб. под 10% годовых по схеме сложных процентов. Найти величину депозита через 3 года при начислении процентов 1; 4; 6; 12 раз в году.
Решение примера • Вычислим по приведённой формуле ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-16.jpg” alt=”> Решение примера • Вычислим по приведённой формуле ” />
Решение примера • Вычислим по приведённой формуле
Непрерывное начисление процентов • Если частота начисления сложных процентов неограниченно” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-17.jpg” alt=”> Непрерывное начисление процентов • Если частота начисления сложных процентов неограниченно” />
Непрерывное начисление процентов • Если частота начисления сложных процентов неограниченно возрастает, то имеет место непрерывное начисление процентов. Наращенная величина вычисляется с помощью второго замечательного предела • Процентную ставку называют силой роста и обозначают через . Формула непрерывного начисления процентов
Эквивалентность процентных ставок • Схемы начисления” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-18.jpg” alt=”> Эквивалентность процентных ставок • Схемы начисления” />
Эквивалентность процентных ставок • Схемы начисления процентов называются эквивалентными, если коэффициенты наращения по этим схемам одинаковы. Исследуем эквивалентность простой и сложной формул начисления процентов, исходя из условия , т. е. • Откуда
Эффективная процентная ставка • Для каждой схемы начисления процентов можно найти такую годовую” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-19.jpg” alt=”>Эффективная процентная ставка • Для каждой схемы начисления процентов можно найти такую годовую” />
Эффективная процентная ставка • Для каждой схемы начисления процентов можно найти такую годовую ставку сложных процентов , начисление по которой эквивалентно начислению по перво начальной схеме. Ставка называется эффективной процентной ставкой. • Найдём эффективные процентные ставки для кратного и непрерывного начисления процентов.
Эффективная процентная ставка • Обозначим через номинальную процентную ставку при p-кратном начислении ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-20.jpg” alt=”>Эффективная процентная ставка • Обозначим через номинальную процентную ставку при p-кратном начислении ” />
Эффективная процентная ставка • Обозначим через номинальную процентную ставку при p-кратном начислении процентов. Тогда • В случае непрерывного начисления процентов с силой роста •
Дисконтирование • Дисконтирование и удержание процентов в определённом смысле являются” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-21.jpg” alt=”> Дисконтирование • Дисконтирование и удержание процентов в определённом смысле являются” />
Дисконтирование • Дисконтирование и удержание процентов в определённом смысле являются обратными по отношению к начислению процентов. Различают математическое дисконтирование и банковский учёт. • Дисконтирование вычисляет денежную величину при условии знания эквивалентной ей денежной величины в момент времени Величина называется приведённой величины а процентная ставка называется ставкой дисконтирования
Математическое дисконтирование • В случае простых процентов • В” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-22.jpg” alt=”> Математическое дисконтирование • В случае простых процентов • В” />
Математическое дисконтирование • В случае простых процентов • В случае сложных процентов • В случае кратного начисления процентов • Для непрерывного начисления процентов
Банковский учёт • Банковский учёт ─ это покупка банком денежных обязательств” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-23.jpg” alt=”> Банковский учёт • Банковский учёт ─ это покупка банком денежных обязательств” />
Банковский учёт • Банковский учёт ─ это покупка банком денежных обязательств по цене меньшей номинальной. • Примером может служить вексель ─ долговая расписка, содержащая обязательство выплатить определённую денежную сумму (номинал) в определённый срок. • В случае покупки денежного обязательства из номинальной стоимости удерживается
Банковский учёт • Дисконт так что • Дисконт вычисляется с” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-24.jpg” alt=”> Банковский учёт • Дисконт так что • Дисконт вычисляется с” />
Банковский учёт • Дисконт так что • Дисконт вычисляется с помощью учётной ставки • Различают простую и сложную учётную ставку. • В случае простой учётной ставки • Для сложной учётной ставки
Пример 1 • Вексель стоимостью 100000 руб. учитывается за” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-25.jpg” alt=”> Пример 1 • Вексель стоимостью 100000 руб. учитывается за” />
Пример 1 • Вексель стоимостью 100000 руб. учитывается за 4 года до погашения по сложной учётной ставке 15% годовых. Найти сумму, получаемую векселедержателем, и величину дисконта. • Сумма получаемая векселедержателем равна Величина дисконта равна
Пример 2 • Клиент имеет вексель на 16000 у. е.” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-26.jpg” alt=”> Пример 2 • Клиент имеет вексель на 16000 у. е.” />
Пример 2 • Клиент имеет вексель на 16000 у. е. , который он хочет учесть 10. 01. 2022 в банке по сложной учётной ставке 8%. Какую сумму он получит, если срок погашения 10. 07. 2022? • Продолжительность финансовой операции составит • Сумма, полученная клиентом, составит
Пример 3 • Предприятие получило кредит на один год в размере” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-27.jpg” alt=”> Пример 3 • Предприятие получило кредит на один год в размере” />
Пример 3 • Предприятие получило кредит на один год в размере 7 млн руб. с условием возврата 7, 77 млн руб. Рассчитать процентную и учётную ставку. • Годовая процентная ставка • Или 11% • Годовая учётная ставка • Или 9, 9%
Эффективная учётная ставка • Пусть ─ годовая (эффективная) учётная ставка (ставка дисконтиров.” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-28.jpg” alt=”>Эффективная учётная ставка • Пусть ─ годовая (эффективная) учётная ставка (ставка дисконтиров.” />
Эффективная учётная ставка • Пусть ─ годовая (эффективная) учётная ставка (ставка дисконтиров. ) при кратности начисления . Эквивал эффективная ставка определяется исходя из принципа эквивалентности: • Обратно учётная ставка выражается через эффективную учётную ставку
Вычисление параметров финансового процесса • Формулы наращения и дисконтирован •” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-29.jpg” alt=”> Вычисление параметров финансового процесса • Формулы наращения и дисконтирован •” />
Вычисление параметров финансового процесса • Формулы наращения и дисконтирован • позволяют вычислять процентную или учётную ставку, а также срок платежа, если остальные параметры известны. • Пример. На какой срок необходимо положить в банк 12000 руб. , чтобы накопить 15000 руб. , если банк принимает вклады под простые (сложные) 8% годовых?
Решение примера • Для простых процентов воспользуемся формулой ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-30.jpg” alt=”> Решение примера • Для простых процентов воспользуемся формулой ” />
Решение примера • Для простых процентов воспользуемся формулой Откуда • Для сложных процентов воспользуемся формулой
Удвоение капитала. Правило 70 • Найдём время за которое капитал удвоится” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-31.jpg” alt=”> Удвоение капитала. Правило 70 • Найдём время за которое капитал удвоится” />
Удвоение капитала. Правило 70 • Найдём время за которое капитал удвоится при известной процентной ставке Исходим из равенства • Используя известные приближенные равенства , получим • Если от процентной ставки • перейти к процентам , получим
Учёт инфляции • Говорят, что инфляция составляет долю α в” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-32.jpg” alt=”> Учёт инфляции • Говорят, что инфляция составляет долю α в” />
Учёт инфляции • Говорят, что инфляция составляет долю α в год. Если стоимость товара за год увеличивается в (1 α ) раз. Инфляция уменьшает реальную ставку процента. При инфляции деньги обесцениваются в 1 α раз, поэтому реальный эквивалент наращенной за год суммы будет в (1 α ) меньше
Влияние инфляции на ставку процента • Через обозначена процентная ставка ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-33.jpg” alt=”> Влияние инфляции на ставку процента • Через обозначена процентная ставка ” />
Влияние инфляции на ставку процента • Через обозначена процентная ставка с учётом инфляции по прежнему ( номинальная ставка без учёта инфляции)
Формула Фишера • Таким образом получается формула ставки процента с учётом” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-34.jpg” alt=”> Формула Фишера • Таким образом получается формула ставки процента с учётом” />
Формула Фишера • Таким образом получается формула ставки процента с учётом инфляции, называемая формулой Фишера • При малой инфляции реальная процентная ставка меньше номинально примерно на величину инфляции.
Формула Фишера • При достаточно высокой инфляции реальная ставка” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-35.jpg” alt=”> Формула Фишера • При достаточно высокой инфляции реальная ставка” />
Формула Фишера • При достаточно высокой инфляции реальная ставка может стать отрицательной. В такой ситуации кредитор будет работать себе в убыток, а заемщик обогащаться. Чтобы этого не произошло, необходимо скорректировать номинальную процентную ставку , по которой происходит наращение ( она должна по крайней мере превышать инфляцию
Пример • Какую ставку должен установить банк, чтобы при инфляции” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-36.jpg” alt=”> Пример • Какую ставку должен установить банк, чтобы при инфляции” />
Пример • Какую ставку должен установить банк, чтобы при инфляции 8% годовых он мог иметь 10%- ю доходность? • Решим уравнение Фишера относительно • Итак ответ 18, 8% превышает простой ответ 18%, получаемый сложением темпа инфляции и номинальной процентной ставки.
Темп инфляции за несколько периодов • Пусть темпы инфляции за” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-37.jpg” alt=”> Темп инфляции за несколько периодов • Пусть темпы инфляции за” />
Темп инфляции за несколько периодов • Пусть темпы инфляции за последовательные периоды времени • равны соответственно. • Найдём темп инфляции за период • . Ввиду того, что уровень цен вычисляется исходя из цен предыдущего, а не начального периода, темп инфляции за период равен
Темп инфляции за несколько периодов • Как видим суммарный темп” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-38.jpg” alt=”> Темп инфляции за несколько периодов • Как видим суммарный темп” />
Темп инфляции за несколько периодов • Как видим суммарный темп инфляции не равен сумме инфляций. Для равных темпов инфляции общий темп вычисляется по формуле • Зная суммарный темп инфляции • Можно вычислить темп инфляции • За малый период
Примеры • 1. Пусть темпы инфляции за два ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-39.jpg” alt=”> Примеры • 1. Пусть темпы инфляции за два ” />
Примеры • 1. Пусть темпы инфляции за два последующих периода равны 10 и 25% соответственно. Тогда темп инфляции за период равен • Т. е. 32% и отличается от суммы инфляций на 2%. • 2. Пусть темп инфляции за год равен 20%. Найти темп инфляции за квартал
Примеры при условии его постоянства. По формуле ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-40.jpg” alt=”> Примеры при условии его постоянства. По формуле ” />
Примеры при условии его постоянства. По формуле т. е. 4, 66%. Видим, что темп инфляции за квартал оказался ниже получаемого простым делением годового темпа инфляции на 4 (20%: 4=5%). Разница составляет 0, 34%. 3. Пусть темп инфляции за месяц равен 2%. Найти темп инфляции за год. Имеем
Финансовые потоки • Платёж , произведённый в момент времени ,” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-41.jpg” alt=”> Финансовые потоки • Платёж , произведённый в момент времени ,” />
Финансовые потоки • Платёж , произведённый в момент времени , называется финансовым событием и обозначается упорядоченной парой или • Конечная или бесконечная последовательность финансовых событий • Называется дискретным финансовым потоком.
Приведённая величина финансового потока • Финансовые потоки обозначатся символом CF” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-42.jpg” alt=”> Приведённая величина финансового потока • Финансовые потоки обозначатся символом CF” />
Приведённая величина финансового потока • Финансовые потоки обозначатся символом CF (cash flow) • Напомним, что деньги имеют временную ценность. Это не позволяет непосредственно суммировать платежи, относящиеся к различным моментам времени.
Приведённая величина финансового потока • Для того, чтобы вычислить величину” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-43.jpg” alt=”> Приведённая величина финансового потока • Для того, чтобы вычислить величину” />
Приведённая величина финансового потока • Для того, чтобы вычислить величину потока в какой то момент времени необходимо каждый платёж привести к этому моменту времени по некоторой процентной ставке , которая предполагается известной и неизменной для всего потока, и затем суммировать эти дисконтированные платежи. Обычно дисконтирование происходит по схеме сложных процентов.
Приведённая величина финансового потока • Сумма всех платежей денежного ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-44.jpg” alt=”> Приведённая величина финансового потока • Сумма всех платежей денежного ” />
Приведённая величина финансового потока • Сумма всех платежей денежного потока, приведённых к некоторому моменту времени , называется текущим или приведённым значением потока в момент времени и обозначается ( present value) или просто
Современная и будущая величина финансового потока • Если ,” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-45.jpg” alt=”> Современная и будущая величина финансового потока • Если ,” />
Современная и будущая величина финансового потока • Если , текущее значение потока в начальный момент времени называется современной величиной и обозначается просто • Для момента величина потока равна
Будущее накопленное значение • Эта величина называется будущим накопленным значением потока и” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-46.jpg” alt=”> Будущее накопленное значение • Эта величина называется будущим накопленным значением потока и” />
Будущее накопленное значение • Эта величина называется будущим накопленным значением потока и обозначается (future value) или просто • Заменяя на и вынося общий множитель за скобки, получим связь между величинами потока в моменты времени и
Средний срок финансового потока • Средним сроком финансового потока” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-47.jpg” alt=”> Средний срок финансового потока • Средним сроком финансового потока” />
Средний срок финансового потока • Средним сроком финансового потока • Относительно процентной ставки называется такой момент времени • Для которого • Это означает, что приведённая величина потока, приведённая к среднему сроку и сумма платежей имеют одинаковое значение. Последнее равенство можно переписать в виде
Средний срок • Равенства • Приближённо ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-48.jpg” alt=”> Средний срок • Равенства • Приближённо ” />
Средний срок • Равенства • Приближённо Поэтому средний срок приближённо равен • Отсюда
Пример • Найти средний срок потока • По предыдущей формуле” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-49.jpg” alt=”> Пример • Найти средний срок потока • По предыдущей формуле” />
Пример • Найти средний срок потока • По предыдущей формуле • Если все платежи положительные, то в общем же случае средний срок потока может лежать вне временного интервала платежей.
Обыкновенные ренты • Поток положительных платежей, разделённых равными ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-50.jpg” alt=”> Обыкновенные ренты • Поток положительных платежей, разделённых равными ” />
Обыкновенные ренты • Поток положительных платежей, разделённых равными временными интервалами, называется финансовой рентой, или просто рентой. Промежуток времени между двумя последовательными платежами называется периодом ренты (rent period, payment period). Считается, что каждый платёж производится либо в начале соответствующего периода, либо в конце.
Обыкновенные ренты • В первом случае ренту называют авансовой или пренумерандо (annuity” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-51.jpg” alt=”> Обыкновенные ренты • В первом случае ренту называют авансовой или пренумерандо (annuity” />
Обыкновенные ренты • В первом случае ренту называют авансовой или пренумерандо (annuity due) , во втором ─ постнумерандо (ordinary annuity). Ренты с конечным числом платежей называют конечными. Промежуток времени между началом первого периода и окончанием последнего называется сроком конечной ренты.
Обыкновенные ренты • Ренты с бесконечным числом платежей называются бесконечными, ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-52.jpg” alt=”> Обыкновенные ренты • Ренты с бесконечным числом платежей называются бесконечными, ” />
Обыкновенные ренты • Ренты с бесконечным числом платежей называются бесконечными, вечными или перпетуететами (perpetuity). Если же платежи равны меду собой, ренту называют постоянной. В дальнейшем будем рассматривать именно постоянные ренты. • Рента описывается следующими параметрами: Размером отдельного платежа (член ренты), периодом и сроком ренты, числом платежей в году ( p- срочные ренты, непрерывные ренты, ).
Коэффициенты приведения и наращения рент • Ренты характеризуются также числом ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-53.jpg” alt=”> Коэффициенты приведения и наращения рент • Ренты характеризуются также числом ” />
Коэффициенты приведения и наращения рент • Ренты характеризуются также числом начисления процентов ( k -кратные ренты). В случае когда период постоянной ренты равен одному году рента называется годовой рентой или аннуитетом (annuity). • Найдём текущую (приведённую) стоимость ренты постнумерандо
Коэффициенты приведения и наращения рент • Вычислим приведённую величину • Величина” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-54.jpg” alt=”> Коэффициенты приведения и наращения рент • Вычислим приведённую величину • Величина” />
Коэффициенты приведения и наращения рент • Вычислим приведённую величину • Величина является суммой членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем • Воспользуемся формулой суммы
Коэффициенты приведения и наращения • Членов геометрической прогрессии • Таким образом •” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-55.jpg” alt=”> Коэффициенты приведения и наращения • Членов геометрической прогрессии • Таким образом •” />
Коэффициенты приведения и наращения • Членов геометрической прогрессии • Таким образом • А величина
Коэффициент наращения • Коэффициентом приведения ренты. • Наращенная сумма определяется ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-56.jpg” alt=”> Коэффициент наращения • Коэффициентом приведения ренты. • Наращенная сумма определяется ” />
Коэффициент наращения • Коэффициентом приведения ренты. • Наращенная сумма определяется равенством которая также является суммой геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем Тогда • Величина
Рента пренумерандо • Называется коэффициентом наращения ренты. Коэффициенты” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-57.jpg” alt=”> Рента пренумерандо • Называется коэффициентом наращения ренты. Коэффициенты” />
Рента пренумерандо • Называется коэффициентом наращения ренты. Коэффициенты приведения и наращения связаны формулой • Найдём текущую (приведённую) стоимость ренты пренумерандо • Тогда приведенная величина представляет собой сумму
Рента пренумерандо • Геометрической прогрессии • С первым членом и знаменателем •” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-58.jpg” alt=”> Рента пренумерандо • Геометрической прогрессии • С первым членом и знаменателем •” />
Рента пренумерандо • Геометрической прогрессии • С первым членом и знаменателем • Тогда • Множитель
Рента пренумерандо • Называется коэффициентом приведения ренты пренумерандо. • Наращенная” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-59.jpg” alt=”> Рента пренумерандо • Называется коэффициентом приведения ренты пренумерандо. • Наращенная” />
Рента пренумерандо • Называется коэффициентом приведения ренты пренумерандо. • Наращенная сумма ренты пренумерандо • Также вычисляется как сумма геометрической прогрессии и равна
Связь между приведённой величиной и наращенной суммой аннуитета • Коэффициент при” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-60.jpg” alt=”> Связь между приведённой величиной и наращенной суммой аннуитета • Коэффициент при” />
Связь между приведённой величиной и наращенной суммой аннуитета • Коэффициент при называется множителем наращения ренты пренумерандо • Приведённая величина и наращенная сумма ренты пренумерандо связаны между собой простым соотношением
Расчет параметров ренты • Действительно • Рассмотрим параметры, характеризующие ренту:” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-61.jpg” alt=”> Расчет параметров ренты • Действительно • Рассмотрим параметры, характеризующие ренту:” />
Расчет параметров ренты • Действительно • Рассмотрим параметры, характеризующие ренту: срок ренты • Размер отдельного платежа , процентную ставку , наращенную сумму , приведённую величину
Расчёт параметров ренты • Величины являются зависимыми, поэтому одни из них можно” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-62.jpg” alt=”> Расчёт параметров ренты • Величины являются зависимыми, поэтому одни из них можно” />
Расчёт параметров ренты • Величины являются зависимыми, поэтому одни из них можно выразить через другие. • 1. Если известны , то находится из уравнения
Расчёт параметров ренты • 2. аналогично предыдущему случаю, если известны ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-63.jpg” alt=”> Расчёт параметров ренты • 2. аналогично предыдущему случаю, если известны ” />
Расчёт параметров ренты • 2. аналогично предыдущему случаю, если известны то находится из уравнения • 3. Если известны то
Расчёт параметров ренты • 4. Если известны , то •” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-64.jpg” alt=”> Расчёт параметров ренты • 4. Если известны , то •” />
Расчёт параметров ренты • 4. Если известны , то • 5. Если заданы , то процентная ставка определяется из уравнения • 6. Если заданы то процентная ставка определяется из уравнения
Расчёт параметров ренты • Последние два уравнения не решаются аналитически,” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-65.jpg” alt=”> Расчёт параметров ренты • Последние два уравнения не решаются аналитически,” />
Расчёт параметров ренты • Последние два уравнения не решаются аналитически, их можно решить только приближённо с любой степенью точности. • Пример. Найти срок ренты постнумерандо, если известны S=2000, i=15%, R=100.
Расчёт срока ренты (решение примера) • Воспользуемся формулой • Тогда ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-66.jpg” alt=”> Расчёт срока ренты (решение примера) • Воспользуемся формулой • Тогда ” />
Расчёт срока ренты (решение примера) • Воспользуемся формулой • Тогда • Таким образом годовая рента может выплачиваться 10 лет. Но в конце десятого года наращенная сумма немного превысит величину поэтому платёж в конце десятого года можно уменьшить.
Вечные ренты • Если рента выплачивается бесконечно долго, ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-67.jpg” alt=”> Вечные ренты • Если рента выплачивается бесконечно долго, ” />
Вечные ренты • Если рента выплачивается бесконечно долго, , то наращенная сумма не существует, она тем более бесконечна, . Однако приведённая величина существует. Можно вычислить сумму денег , которую надо положить на счёт, чтобы из этой суммы ежегодно выплачивался платёж
Вечные ренты • Рассмотрим бесконечную последовательность платежей • Приведённая сумма” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-68.jpg” alt=”> Вечные ренты • Рассмотрим бесконечную последовательность платежей • Приведённая сумма” />
Вечные ренты • Рассмотрим бесконечную последовательность платежей • Приведённая сумма платежей определяется как бесконечная сумма • Эта сумма представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Вечные ренты • И вычисляется по формуле • В нашем случае ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-69.jpg” alt=”> Вечные ренты • И вычисляется по формуле • В нашем случае ” />
Вечные ренты • И вычисляется по формуле • В нашем случае • Поэтому приведённая сумма • Множитель приведения
Примеры • 1. Найти размер вклада, обеспечивающего получение” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-70.jpg” alt=”> Примеры • 1. Найти размер вклада, обеспечивающего получение” />
Примеры • 1. Найти размер вклада, обеспечивающего получение в конце каждого года 2000 руб. бесконечно долго при сложной ставке 14% годовых • По формуле 2. Для бессрочной ренты определить, что больше увеличит приведённую стоимость этой ренты: увеличение рентного платежа на 1% или уменьшение процентной ставки на 1%?
Решение примера 2 • Приведённая стоимость вечной ренты равна ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-71.jpg” alt=”> Решение примера 2 • Приведённая стоимость вечной ренты равна ” />
Решение примера 2 • Приведённая стоимость вечной ренты равна При увеличении рентного • Платежа на 1% увеличивается на и приведённая стоимость ренты становится равной • При уменьшении ставки на 1% заменяется на и приведённая рента становится равной
P-срочная рента • Когда рентный платёж производится не единовременно (один” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-72.jpg” alt=”> P-срочная рента • Когда рентный платёж производится не единовременно (один” />
P-срочная рента • Когда рентный платёж производится не единовременно (один раз в конце годового периода), а разбит на одинаковых платежей, равномерно распределённых в течении года, то соответствующий поток платежей имеет вид • И называется p-срочной рентой.
P-срочная рента в случае однократного начисления процентов (k=1) • Найдём приведённую” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-73.jpg” alt=”> P-срочная рента в случае однократного начисления процентов (k=1) • Найдём приведённую” />
P-срочная рента в случае однократного начисления процентов (k=1) • Найдём приведённую величину p- срочной ренты постнумерандо. Всего за • лет производится платежей по • каждый. • Наращенная величина равна
P-срочная рента с k-кратным начислением процентов • Если рентные платежи производятся p в” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-74.jpg” alt=”> P-срочная рента с k-кратным начислением процентов • Если рентные платежи производятся p в” />
P-срочная рента с k-кратным начислением процентов • Если рентные платежи производятся p в год, а проценты начисляются k раз в год, то наращенная величина ренты вычисляется по формуле • А приведённая величин по формуле
P-срочная рента с непрерывным начислением процентов • Переходя к пределу в предыдущих формулах” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-75.jpg” alt=”>P-срочная рента с непрерывным начислением процентов • Переходя к пределу в предыдущих формулах” />
P-срочная рента с непрерывным начислением процентов • Переходя к пределу в предыдущих формулах при , найдём приведённую и соответствующих рент
Непрерывная рента • Переходя к пределу при , получим ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-76.jpg” alt=”> Непрерывная рента • Переходя к пределу при , получим ” />
Непрерывная рента • Переходя к пределу при , получим непрерывный поток платежей с постоянной плотностью , называемую непрерывной рентой. • Находя предел при • получим выражение для приведенной величины непрерывной ренты
Непрерывная рента • Для наращенной суммы непрерывной ренты аналогичным образом получаем” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-77.jpg” alt=”> Непрерывная рента • Для наращенной суммы непрерывной ренты аналогичным образом получаем” />
Непрерывная рента • Для наращенной суммы непрерывной ренты аналогичным образом получаем формулу • Найдём приведенную величину непрерывной ренты с k-кратным начислением процентов как p-срочной ренты с k-кратным начислением процентов • при • Получим
Непрерывная рента с k-кратным начислением процентов • Вычисляя предел находим • Аналогичным образом вычисляем” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-78.jpg” alt=”>Непрерывная рента с k-кратным начислением процентов • Вычисляя предел находим • Аналогичным образом вычисляем” />
Непрерывная рента с k-кратным начислением процентов • Вычисляя предел находим • Аналогичным образом вычисляем наращенную величину непрерывной ренты с k-кратным начислением процентов
Непрерывная рента с непрерывным начислением процентов • Переходя в последних формулах” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-79.jpg” alt=”> Непрерывная рента с непрерывным начислением процентов • Переходя в последних формулах” />
Непрерывная рента с непрерывным начислением процентов • Переходя в последних формулах к пределу при получаем формулы для вычисления приведённой и наращенной величин непрерывной ренты с непрерывным начислением процентов
Непрерывная рента с непрерывным начислением процентов • Приведём эти формулы ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-80.jpg” alt=”> Непрерывная рента с непрерывным начислением процентов • Приведём эти формулы ” />
Непрерывная рента с непрерывным начислением процентов • Приведём эти формулы
Задача 1 • Определить период, за который начальный капитал” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-81.jpg” alt=”> Задача 1 • Определить период, за который начальный капитал” />
Задача 1 • Определить период, за который начальный капитал в размере 46000 руб. вырастет до 75000 руб. , если ставка простых процентов равна 15% годовых. • Выразим период из равенства • Откуда
Задача 2 • На счет в банке кладется сумма в” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-82.jpg” alt=”> Задача 2 • На счет в банке кладется сумма в” />
Задача 2 • На счет в банке кладется сумма в размере 20000 руб. на 4 года под 11% годовых по схеме простых процентов с дальнейшей пролонгацией на последующие 2 года под 6% годовых по той же схеме. Найти размер вклада через 6 лет. Определить наращенную сумму, если вклад изымается через 4 года и кладется на новый счет на 2 года по той же схеме.
Задача 2 В первом случае проценты начисляются на первоначальную сумму 20000.” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-83.jpg” alt=”> Задача 2 В первом случае проценты начисляются на первоначальную сумму 20000.” />
Задача 2 В первом случае проценты начисляются на первоначальную сумму 20000. Во втором последние 2 года проценты начисляются на наращенную за первые 4 года сумму 20000(1 4∙ 0, 11). Поэтому в первом случае наращенная сумма равна 20000(1 4∙ 0, 11) 2000∙ 2∙ 0, 06=31200 Во втором 20000(1 4∙ 0, 11)(1 2∙ 0, 06)=32256
Задача 3 • В банк положена сумма 150000 руб. сроком на” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-84.jpg” alt=”> Задача 3 • В банк положена сумма 150000 руб. сроком на” />
Задача 3 • В банк положена сумма 150000 руб. сроком на 6 лет по ставке 14% годовых. Найти наращенную сумму, величину полученного процента и эффективную процентную ставку для следующих вариантов начисления процентов: а) полугодового; б) ежеквартального; в) ежемесячного; г) непрерывного при силе роста 14%.
Задача 3 • Воспользуемся формулами • А) ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-85.jpg” alt=”> Задача 3 • Воспользуемся формулами • А) ” />
Задача 3 • Воспользуемся формулами • А)
Задача 3 • Б) • В) ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-86.jpg” alt=”> Задача 3 • Б) • В) ” />
Задача 3 • Б) • В)
Задача 3 • Г) наращенная сумма вычисляется по формуле ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-87.jpg” alt=”> Задача 3 • Г) наращенная сумма вычисляется по формуле ” />
Задача 3 • Г) наращенная сумма вычисляется по формуле а эффективная процентная ставка по формуле
Задача 4 • . Для создания премиального фонда один раз ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-88.jpg” alt=”> Задача 4 • . Для создания премиального фонда один раз ” />
Задача 4 • . Для создания премиального фонда один раз в год производятся взносы в размере 15000 руб. На вносимые средства начисляются проценты под 12% годовых. Определить размер фонда через 7 лет в следующих случаях: а) поступление средств в конце года, ежеквартальное начисление процентов; б) поступление средств в конце квартала, начисление процентов 6 раз в году; в) ежемесячное поступление средств и ежеквартальное начисление процентов.
Задача 4 • Воспользуемся формулой вычисления наращенной суммы p-кратной” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-89.jpg” alt=”> Задача 4 • Воспользуемся формулой вычисления наращенной суммы p-кратной” />
Задача 4 • Воспользуемся формулой вычисления наращенной суммы p-кратной ренты при k-кратном начислении процентов • А) p=1, k=4 б) p=4, k=6 в) p=12, k=4
Задача 4 • А) • Б) • В) ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-90.jpg” alt=”> Задача 4 • А) • Б) • В) ” />
Задача 4 • А) • Б) • В)
Немедленные и отложенные ренты • Немедленная рента − это рента,” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-91.jpg” alt=”> Немедленные и отложенные ренты • Немедленная рента − это рента,” />
Немедленные и отложенные ренты • Немедленная рента − это рента, выплаты которой производятся в настоящее время (в начале или конце периодов). Отложенная рента − это рента, начало выплат которой отложено на некоторое время . Отсроченность ренты не влияет на её наращенную величину, однако современная величина уменьшается при отсрочивании выплат и вычисляется по формуле
Пример1 • В течении 12 лет предполагается погасить долг” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-92.jpg” alt=”> Пример1 • В течении 12 лет предполагается погасить долг” />
Пример1 • В течении 12 лет предполагается погасить долг в размере 1000000 у. е. платежами постнумерандо по 100000 у. е. ежегодно. Первые пять выплат были сделаны согласно достигнутой договорённости. Затем было решено на три года отложить погашение задолженности и возобновить погашение равными выплатами постнумерандо с конца восьмого года. Каковы должны быть погасительные платежи во втором периоде, чтобы выплатить задолженность в установленный срок?
Решение примера 1. • Воспользуемся формулой ,” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-93.jpg” alt=”> Решение примера 1. • Воспользуемся формулой ,” />
Решение примера 1. • Воспользуемся формулой , подставив A=1000000, R=100000, n=12. Получим уравнение относительно i • Преобразуем это уравнение. • Обозначим x=1 i и запишем уравнение в виде
Решение примера 1. • Полученное уравнение можно решить только приближённо.” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-94.jpg” alt=”> Решение примера 1. • Полученное уравнение можно решить только приближённо.” />
Решение примера 1. • Полученное уравнение можно решить только приближённо. Решим его с точностью до 0, 01, найдя числа a и b, такие что f(a) и f(b) имеют разные знаки, b – a < 0, 01 b и положив 0, 5(b – a). Вычислим последовательно f(1. 02) = -0, 015<0, f( 1 , 03) = 0 , 002>0 , f( 1 , 0 29 ) = – 0, 00056, f( 1 , 0 294 ) = 0, 0 Следовательно x=1, 02 92 , i=0, 02 92 (2, 92%)
Решение примера 1. • Вычислим современную величину первой части долга” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-95.jpg” alt=”> Решение примера 1. • Вычислим современную величину первой части долга” />
Решение примера 1. • Вычислим современную величину первой части долга (пятилетнего аннуитета). • Далее вычислим вторую часть долга ( отложенного на срок t = 3 5 = 8 аннуитета со сроком n = 12 – 5 – 3 = 4, процентной ставкой 0, 025 и неизвестным ежегодным платежом)
Решение примера 1. • Приравнивая сумму современных величин двух выплат ко” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-96.jpg” alt=”> Решение примера 1. • Приравнивая сумму современных величин двух выплат ко” />
Решение примера 1. • Приравнивая сумму современных величин двух выплат ко всей сумме долга, получим уравнение относительно погасительного платежа во втором периоде. • Откуда
Пример 2 • Начало выплат годовой ренты со сроком 12″ src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-97.jpg” alt=”> Пример 2 • Начало выплат годовой ренты со сроком 12″ />
Пример 2 • Начало выплат годовой ренты со сроком 12 лет, процентной ставкой 11%, рентным платежом 16000 руб. отложено на 4, 5 года. Найти современную величину отсроченной ренты.
Пример 3 • В течение 7 лет предполагается погасить долг” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-98.jpg” alt=”> Пример 3 • В течение 7 лет предполагается погасить долг” />
Пример 3 • В течение 7 лет предполагается погасить долг в размере 400000 у. е. равными выплатами в конце каждого года. На остаток долга начисляется 6% годовых. В каком случае годовые расходы на обслуживание долга возрастут больше и на сколько, если: а) будет предоставлена годовая отсрочка, проценты за этот период присоединяются к сумме долга, б) ставка годовых процентов возрастёт на 0, 25%?
Решение примера 3. • Для вычисления суммы долга воспользуемся” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-99.jpg” alt=”> Решение примера 3. • Для вычисления суммы долга воспользуемся” />
Решение примера 3. • Для вычисления суммы долга воспользуемся формулой , где R =400000, n =7, I = 6. А для ответа на вопрос воспользуемся той же формулой при A = 2232925, 58, I =6, 25% Откуда Т. о. первоначально запланированный платёж вырастет на 3556, 62 у. е.
Решение примера 3. • Для ответа на вопрос а) воспользуемся ” src=”https://procenty-po-vkladam.ru/presentation/3/5252117_336590118.pdf-img/5252117_336590118.pdf-100.jpg” alt=”> Решение примера 3. • Для ответа на вопрос а) воспользуемся ” />
Решение примера 3. • Для ответа на вопрос а) воспользуемся формулой при t= 0, 5. Откуда • Т. о. годовые расходы на обслуживание долга в случае б) вырастут на 11820, 23, что на 8263, 61 у. е. больше , чем в случае а).
