Вклады в банки под простые проценты, простые проценты по вкладам, формула простых процентов по вкладам | Банки.ру

Что такое сложный процент (простыми словами)

Сложный процент – это расчет прибыли от постоянно растущего капитала. сложный процент — это процент по депозиту (или иным образом вложенным средствам), учитывающий как вашу первоначальную сумму, так и проценты, накопленные за предыдущие периоды. Доход, полученный за период, не выводится из актива, а включается к сумме основного капитала и участвует при дальнейшем расчете доходности.

Если дать определение более понятными словами, то сложный процент – это «снежный ком», позволяющий без дополнительных усилий увеличивать свой капитал. Доход приносит новый доход, на порядок выше предыдущего.

Сложный процент простыми словами – это способ, позволяющий в разы увеличить доход. Мировые финансовые магнаты именно по такому принципу заработали свои первые миллионы.

Суть сложного процента (Compound interest) состоит в том, что первый год при вложении денег вы получаете определенный доход, но не забираете его себе, а добавляете к уже вложенным средствам. Соответственно, на второй год хоть и процент остался тот же, но сумма дохода выше, так как увеличилась база для начисления дохода. На третий год сумма полученного дохода ещё больше и так далее.

Если взять среднюю доходность на фондовом рынке в 20%, то вот как это будет выглядеть на цифрах:

За 24 года при простом проценте ваш капитал составит 17 400 долларов, против $242 907 при использовании сложного процента. При этом доходность в первом варианте сохранилась на уровне $600, когда во втором она достигла $48 581.

При более высоких вложениях или проценте доходности эти цифры растут в геометрической прогрессии.

Сложные проценты работают и дают невероятный эффект именно на длительных инвестициях. Чем больше вкладываемая сумма и чем дольше срок вклада — тем в разы больше дохода вы получите в финале.

Вложение средств под сложный процент на длительный срок — это идеальный вариант для создания пассивного дохода на пенсии или возможность отложить и преумножить средства на образование детей в долгосрочной перспективе.

Виды ставок

Чаще всего ставка фигурирует в кредитном договоре и финансовом соглашении. При подписании такого документа заёмщик берёт перед кредитором обязательства по выплате конкретной суммы. Она определяется как отношение процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени, к величине ссуды. Называется ставкой, считается в процентах.

Способы начисления процентов бывают разными и зависят от условий контракта. Ставки могут применяться в одной и той же начальной сумме на протяжении всего периода кредитования или к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами.

Первый вариант расчётов называется простой процентной ставкой, второй — сложной. Простая ставка действует в отношении одной и той же первоначальной суммы долга на протяжении всего срока, т. е. исходная база (денежная сумма) всегда одна и та же (без учёта последовательного её погашения). Такой способ начисления используется в потребительском кредитовании.

Сложная применяется к наращенной сумме кредита, т. е. к сумме, возросшей на величину процентов, начисленных за предыдущий период. Поэтому исходная база постоянно растёт.

Помимо простой и сложной, существует ещё несколько разновидностей ставок. Дополнительно выделяют:

• Фиксированную. Устанавливается в виде конкретного числа в финансовых контрактах.
• Переменную. Дискретно изменяется во времени, не имеет конкретной числовой характеристики.
• Плавающую. Привязывается к определённой величине, изменяющейся во времени, состоит из базы и надбавки к ней (маржи). База представляет собой начальную величину, маржа — переменную, которая зависит от таких условий, как срок операции, финансовое положение заёмщика и пр.

Также в экономике есть понятие номинальных, обыкновенных, точных и реальных процентов. Все они имеют свои особенности.

Какие бывают

Маркетинговые службы банков изощряются в придумывании разных названий для этих вкладов. Спектр их крайне широк. Например, в Сбербанке это, помимо классической тройки «Сохраняй», «Пополняй» и «Управляй», — различные «Лидеры», «Просто семь», «Юбилейные» и много-много других.

В других банках встречаются вклады «Выгодный», «Доходный», «Максимальная выгода» и прочие. Необходимо помнить, что все эти названия служат лишь одной цели – максимального привлечения клиентов с их деньгами. Поэтому обращать на них особое внимание явно не стоит.

Вам будет интересно:Фигура флаг в техническом анализе. Как использовать фигуру флаг на «Форексе»Вам будет интересно:Куда инвестировать деньги под проценты

Примеры задач на сложные проценты

1. Какой величины достигнет долг, равный P = 1 млн.руб., через n = 5 лет при росте по сложной ставке i = 15,5% годовых, если проценты начисляются раз в год, ежемесячно, поквартально и два раза в год?
   Решить аналогичную
   1) Сложные проценты начисляются раз в год: S = 1 000 000·(1 0.155)5 = 2 055 464,22 руб
   2) Сложные проценты начисляются два раза в год:
   
   S=1 000 000·(1 0,1552​)2·5 = 2 109 467,26 руб.
   3) Сложные проценты начисляются 4 раза в год (поквартально):
   
   S=1 000 000·(1 0,1554​)4·5 = 2 139 049,01 руб.
   4) Сложные проценты начисляются ежемесячно (12 раз в год):
   
   S=1 000 000·(1 0,15512​)12·5 = 2 159 847,20 руб.
2. Через n = 5 лет предприятию будет выплачена сумма S = 1 млн.руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется ставка сложных процентов i = 10% годовых.
   Решить аналогичную
   P=S(1 i)n​
   P=1 000 000(1 0,1)5​ = 620 921,32 руб.
   Если проценты начислялись ежеквартально.
   
   P=S(1 im​)m·n​
   P=1 000 000(1 0,14​)4·5​ = 610 270,94 руб.
3. Определить современную стоимость S = 20 тыс.руб., которые должны быть выплачены через четыре года (n = 4). В течение этого периода на первоначальную сумму начислялись сложные проценты по i = 8 %годовых: а)ежегодно; б)ежеквартально.
   Решить аналогичную
   P=S(1 i)n​
   P=20 000(1 0,08)4​ = 14 568,92 руб.
   Если проценты начислялись ежеквартально.
   
   P=S(1 im​)m·n​
   P=20 000(1 0,084​)4·4​ = 14 570 руб.
4. За взятые в долг деньги под сложную процентную ставку i=35% годовых должник обязан уплатить кредитору 30 тыс. руб. 1 июля 1997 г. Какую сумму необходимо уплатить должнику, если он вернет долг: а) 1 января 1997 г.; б) 1 января 1998 г.; в) 1 июля 1999 г.?
   Количество дней в 1997 году: T=365.
   
   а) 1 января 1997 г.;
   
   Эта дата ранее 1 июля 1997 г., поэтому речь идет о поиске исходной суммыP (S=30000). Количество дней между 1 января 1997 г. и 1 июля 1997 г. составляет d=181 дн..
   
   б) 1 января 1998 г.;
   
   Эта дата позже 1 июля 1997 г., поэтому находим наращенную суммуS (P=30000). d1=01.07.1997 и d2=01.01.1998.
   
   в) 1 июля 1999 г.
   Количество лет между 1 июля 1997 г. и 1 июля 1999 г. составляет n=2 года.
   
   S=P·(1 i)ⁿ=30000·(1 0.35)² = 54 675 руб.

Примеры решения задач по сложным процентам

В этом разделе мы пройдемся по некоторым типичным задачам на сложные проценты. Также вы найдете шаблоны расчётов в Excel, в которых можно поменять вводные данные и получить нужное вам решение.

Задача №1. Рассчитать прибыль по вкладу на 5 лет под 10% годовых, начальная сумма вложений 100000 рублей (с капитализацией).

Находим конечную сумму вклада по формуле сложных процентов:

Результат: инвестор через 5 лет получит 61051 рублей прибыли.

Задача №2. Рассчитать прибыль по вкладу на 10 лет под 10% годовых с капитализацией. Начальная сумма вложений 50000 рублей, дополнительно каждый год начиная с первого счёт пополняется на 10000 рублей.

Сначала находим конечную сумму по формуле сложного процента с регулярными пополнениями:

Результат: инвестор через 10 лет получит 139061 рубль прибыли, инвестировав 140000 рублей.

Задача №3. Рассчитать, сколько времени понадобится инвестору, чтобы увеличить капитал с 500000 до 1000000 рублей. Средняя доходность портфеля — 12% годовых, прибыль реинвестируется.

У нас есть все необходимые данные, используем одну из производных формул сложных процентов:

Решение: инвестору понадобится чуть больше 6 лет.

Задача №4. Посчитать среднюю процентную ставку, которая позволит превратить 100000 рублей в 500000 рублей за 10 лет путём инвестирования. Прибыль реинвестируется.

Используем одну из производных формул сложных процентов:

Решение: инвестору нужно вложить деньги под 17.5% годовых (довольно сложно на практике, кстати).

Думаю, этого достаточно. Если ваша задача не похожа ни на одну из предыдущих, возможно вам поможет информация из следующего раздела статьи.

Простые проценты в математике

Задача 5.В класс закупили 3 энергосберегающие окна, которые на 20 % дороже обычных. Сколько потратили денег, если за обычные окна нужно заплатить 1400 гривен.

Решение: Найдем цену энергосберегающего окнаP[в]=1400*(1 20/100)=1680 (грн.)За три окна заплатили1680*3=5040 (грн).

Задача 6.В бочке объемом 200 литров перевозили масло . На станции отлили 60 литров. Сколько процентов от обьема осталось?

Решение: Задача состоит в нахождении количества в процентах масла от общего объема бочки.200-60=140 (л); 140/200*100%=70 % Осталось 70% объема бочки.

Задача 7.При несвоевременной уплате долгов насчитывают 2% пени за каждый просроченный день. Какую сумму нужно заплатить через 12 дней после срока погашения 500 рублей долга?

Решение: По формуле простых процентов находимP[i]=500*(1 2/100*12)=620 (рублей)Нужно заплатить 620 рублей.

Рассмотрим задачи из учебника для 9 класса авторов А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир « Аглгебра ». (Номер в скобках)

Задача 8. (542) К сплаву массой 600 г, содержащему 12 % серебра, добавили 60 г серебра. Какое содержание серебра в новом сплаве?

Решение: Определяем сколько грамм серебра в первом сплавеP[i]=600*12/100=72 (г)К найденному значению добавляем 60 грамм серебра P1=72 60=132 (г)При определении процентного содержания серебра не следует забывать, что вес нового сплава вырос на массу серебра, которую добавили.

Если би Вы вычисляли следующим образом 132/600*100%=22% то получили — неправильный результат .ЗАПОМНИТЕ: в подобных задачах сначала находят меру ( вес, объем, длину) нового объекта, а затем находят содержание.

Задача 9. (543)В саду росли яблони и вишни, причем яблони составляли 42% всех деревьев. Вишен было на 48 деревьев больше, чем яблонь. Сколько деревьев росло в саду?

Решение: К правильному ответу можно идти несколькими способами. Рассмотрим следующий из них.Пусть яблони составляют 42% всех деревьев, тогда вишни100-42=58%.Вишен на 48 больше нежели яблонь.

Разница между ними в процентах составляет58-42=16%а в количестве — 48 деревьев.Задача состоит в нахождении количества деревьев, поэтому складываем отношения16% – 48 деревьев100 % –Х деревьевОтсюда находим количество деревьев в садуХ=100*48/16=300 (деревьев).

Задача 10. (544) За два дня был проложен кабель. За первый день проложили 56% кабеля, а за другой — на 132 м меньше, чем первого. Сколько всего метров кабеля было проложено за два дня?

Решение: Задача похожа на предыдущую. За второй день проложили 100-56=44%кабеля, разница между первым и вторым днем составляет 56-44=12%и составляет 132 метра.

На основе этого составляем отношение12% – 132 м100 % –Х мОтсюда находим искомую длинуХ=100*132/12=1100 (м.)За два дня проложили 1100 м.. кабеля.

Задача 11. (545) За первый день мальчик прочитал 25% всей книги, за второй — 72% от количества страниц что осталась, а за третий — остальные 84 страницы. Сколько страниц в книге?

Решение: 72 % процента от остатка книги составляет72*(100-25)/100= 54%.На третий день оставалось прочитать100-25-54=21% или 84 страницы.Составляем соотношение21% – 84 ст 100 % –Х стс которого находимХ=100*84/21=400 (ст), что книга содержит 400 страниц.

Сложные задачи на простые проценты

В данную категорию входят задачи , которые вызывают немало трудностей у школьников. Однако , если достаточно хорошо разобраться в их решении, то все сложности отходят на второй план.

Задача 12. (547) Морская вода содержит 5% соли. Сколько пресной воды нужно добавить к 40 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 2% ?

Решение: Находим вес соли в 40 кг морской воды 40*5/100=2 (кг).Находим вес воды, которая содержала 2% соли (2 кг) 2% – 2 кг 100 % –Х кгили Х=100*2/2=100 кг.Сейчас у нас есть 40 кг воды, поэтому нужно добавить100-40=60 кгпресной воды.

Задача 13. (554) Перемешали 30- процентный раствор соляной кислоты с 10- процентным раствором и получили 800 г 15 — процентного раствора. Сколько граммов каждого раствора взяли для этого?

Решение: В таких задачах требуется составить два уравнения, решение которых и приведет к отысканию нужных величин.Обозначим A – вес первого раствора, B – соответственно второго.

Тогда из условия задачи составляем два уравнения:первый касается процентных соотношений ( * 100 )30*A 10*B=800*15 второе — веса смесиA B=800.С второго выражаем одну из неизвестных и подставляем в первое уравнение A=800-B;30*(800-B)

10*B=800*15и решаем его 24000-30*B 10*B=12000; 20*B=24000-12000=12000;B=12000/20=600 (г).Массу первого раствора находим из зависимостиA=800-B=800-600=200 (г). Следовательно, нужно 600 г 30% раствора и 200 г 10% раствора соляной кислоты.

Задача 14. (560) К сплаву меди и цинка, содержащему меди на 12 кг больше, чем цинка, добавили 6 кг меди. Вследствие этого содержание цинка в сплаве снизилось на 5%. Сколько цинка и сколько меди содержал сплав в самом начале?

Решение: Обозначим вес меди через X, тогда вес цинка – X-12.
Процентное содержание цинка при этом составляет
(X-12)/(X X-12)*100%=(X-12)/(2*X -12)*100%.
К сплаву добавили 6 кг меди. Вес меди теперь составляет X 6,
а сплава
X 6 X-12=2*X-6.
Процентное содержание цинка в новом сплаве
(X-12)/(2*X-6)*100% .
Разница между предыдущим сплавом и новым составляет 5%. Это запишем в виде уравнения

Делим данную запись на 100%

Делим данную запись на 100%

и сводим к квадратному уравнению (избавляемся знаменателей)

Упрощаем левую часть уравнения

Упрощаем левую часть уравнения

и правую

После переноса слагаемых в правую сторону, получим квадратное уравнение

После переноса слагаемых в правую сторону, получим квадратное уравнение

Вычисляем дискриминант

и корни уравнения

и корни уравнения

Итак имеем не единое, а пару решений. При 21 кг меди получим цинка
X-12=21-12=9 (кг) ,
а при 18 кг меди
X-12=18-12=6 (кг).
Итак возможны два сплавы — 9 кг цинка и 21 меди, 18 кг цинка и 6 меди. Можете убедиться, что при подстановке в процентное уравнения первый сплав будет содержать 30% цинка, а второй — 25% цинка.

Подобных задач Вы встретите в литературе немало. Задачи на проценты требуют от Вас только хорошо разобраться, что известно? и что нужно найти? Все остальное сводится к простым математическим действиям.

Сложные проценты

Выберите необходимый вид задачи (кнопка
Решить
) и заполните требуемые поля.

Сложная процентная ставка наращения
— это ставка, при которой база начисления является переменной, то есть проценты начисляются на проценты. Формула наращения для сложных процентов имеет вид:

S=P·(1 i)n
Если в качестве периода наращения процентов используется не год, а, например, месяц (
m=12
), квартал (
m=4
) или другой период, то наращенная сумма определяется по формуле:

S=P·(1 im​)m·n
Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, то наращенную сумму можно найти
смешанным методомS = P·(1 i)[n]·(1 {n}·i)
где [n] — целая часть числа; {n} — дробная часть числа
n

Современная стоимость Р величины S находится в случае сложной процентной ставки по формуле:
P=S(1 i)n​

Сложные проценты на фондовом рынке

Что касается того как работает сложный процент в инвестициях в фондовый рынок, то принцип сохраняется тот же за исключением того, что понятия капитализации процентов нет. Вместо этого трейдер вручную реинвестирует полученный доход или выбирает инвестиционные инструменты, в которых реинвестирование предусмотрено по умолчанию.

При работе в этом направлении трейдер вкладывает деньги в акции и облигации . За счет комбинации разных инструментов можно создать портфель с акцентом на рост его стоимости или стабильным регулярным доходом (аналог банковского вклада).

При инвестировании активной торговли нет. Составляется инвестпортфель , затем трейдер лишь корректирует его, исключая бумаги, показывающие ухудшение доходности. Вместо них в состав портфеля включаются акции, находящиеся в стадии роста.

Часть компаний, выплачивает держателям своих акций дивиденды – распределяет между ними определенную часть прибыли (дивидендные аристократы делают это даже в убыточные годы). Инвестор может вывести эти деньги, а может реинвестировать их, докупив на полученные деньги акции, и таким образом задействовав сложный процент в инвестировании.

Разберем пример с инвестпортфелем, копирующим американский индекс S&P 500. В него входит около 500 крупнейших американских компаний, есть среди них и те, кто платит дивиденды.

Для удобства работаем с ETFSPY, это старейший ETF фонд, работает с 1993 г. и уже привлек в управление сотни миллиардов долларов. Без учета дивидендов доход за период с начала 2021 г. по июнь 2020 г. составил 176,71%. Стартовые $10000 превратились в $27671.За тот же период начислены дивиденды в размере $3783. Совокупный доход на этой дистанции составил 214,54% или $21454.

При реинвестировании начисленных дивидендов доход на той же дистанции увеличивается. Стартовые $10000 выросли до $34161, прибыль составила 241,61%, что превышает предыдущий показатель.

Средняя годовая доходность индекса без реинвестирования дивидендов составляет 11,37%, с реинвестированием – 13,35%. Разница не настолько очевидна как в примере с банковским депозитом, но инвестиции под сложный процент и здесь повышают доходность.

При этом дивидендные выплаты «размазаны» по времени и не ощущаются как солидный доход. Их повторное вложение не бьет по карману инвестора, но даст преимущество в будущем.

Главное неудобство дивидендов – необходимость уплачивать налоги, нет легальных методов избежать их уплаты. Выплаты зачисляются на брокерский счет уже после уплаты налогов и для реализации схемы сложных процентов трейдеру придется самостоятельно докупать акции на них. За счет уплаты налога несколько уменьшается реинвестируемая сумма, возникают дополнительные расходы на комиссиях.

Удобнее работать через ETF фонды, в которых предусмотрено автоматическое реинвестирование дивидендов. Каждая акция ETF соответствует целому портфелю из ценных бумаг компаний, входящих в индекс, который копирует ETF фонд . В том же примере со SPY достаточно купить акцию фонда, чтобы автоматически инвестировать во все акции S&P 500.

ПИФы также не выплачивают налог на дивиденды, реинвестируя их. Но в ПИФах по сравнению с ETF на порядок выше комиссия за управление.

Еще один вариант – инвестирование в облигации и еврооблигации . Этот тип инструмента дает гарантированный купонный доход, как правило, до 7-10%, если брать в расчет только высоконадежных эмитентов. Стоимость бумаги также меняется, но в узком по сравнению с акциями диапазоне.

После завершения срока обращения облигации эмитент погашает ее, выплачивая держателю сумму, равную номиналу. Здесь реализация этой схемы предполагает трату купонного дохода на покупку новых облигаций. Увеличивается число бумаг в портфеле, что повышает его доходность в деньгах. Таким образом здесь и применяется сложный инвестиционный процент.

Еще один вариант – не просто реинвестировать доход, а одновременно с этим диверсифицировать риски , включая новые инструменты в инвестпортфель. Это повышает его устойчивость и доходность.

Формула расчёта сложного процента для разных периодов

Помимо стандартного вида капитализации, когда проценты начисляются раз в год, существует и более выгодный вид капитализации. Речь идёт о ежемесячных начислениях процентов и с последующим ростом общей прибыли.

Единственным отличием от основной формулы является, тот факт, что n это уже не количество лет, а количество месяцев. Также показатель процентов стоит разделить на 12 месяцев, чтобы получить точные месячные данные.

Если бы данная формула использовалась для полугодового расчёта, то процентный показатель стоило бы разделить на 2 ( так как 2 полугодия в году), а n обозначало бы количество полугодий. Подобный принцип будет и для расчётов за квартал.

Сложные проценты способны вас обеспечить прибылью гораздо лучше чем простые проценты. Однако стоит заметить, что прибыль здесь будет формироваться на долгосрочной основе. Чтобы вы наглядно поняли разницу между этими процентами и оценили выгоду для себя, рассмотрим два небольших сравнительных примера.

Представьте, что вы инвестировали 1 000 000 рублей на 12 лет под 10 % годовых. Вы не осуществляете дополнительных взносов к вкладу, а прибыль снимаете.

Во втором случае условия остаются таким же, только с разницей, что вы прибыль не снимаете и она суммируется к основному вкладу и уже прибыль рассчитывается от новой суммы с каждым годом. Для наглядности сделаем расчёты в цифрах.

Как видите, отличие значительное. Важным моментом здесь будет являться, тот факт, что чем чаще буду начисляться проценты, чем выше ваша ожидаемая доходность. При одинаковой процентной ставке начисление по сложным процентам, намного выгоднее, чем по простым.

Часто бывает так, что перед человеком стоит нелёгкая задача, выбрать вклад с более простым начислением процентов, но с большой процентной ставкой, либо выбрать вклад с меньшей процентной ставкой, но с возможностью капитализацией этих самых процентов.

Перед выбором внимательно изучите договор, который предоставляется банком. Также оцените ваши цели и задачи, чтобы лучше понять, что вам больше подходит.

Не стоит забывать, что проценты способны приносить выгоду лишь до определённого периода времени либо после определённого периода.  Немаловажное значение играет время.

Ведь капитализация процентов способна принести ощутимую выгоду и пользу не всем, а лишь тем, кто собирается осуществить вложения на более длительный срок, как правило, от 5 лет и более.  Вся прелесть капитализации процентов в том, что чем дольше лежит вклад, тем на большую доходность можно претендовать.

Также, банком в договорах могут указываться разные условия, например, если вкладчик ранее чем через 10 лет снимет прибыль со своего вклада, то это может привести к значительному понижению его дохода, а может и к полной утрате дохода в будущем.

Понимание, того как работают сложные проценты вам поможет больше заработать на своих капиталовложениях. Практически любой банкир вам скажет, что вклад по более низкой ставке но с возможностью капитализации, более выгоден, чем вклад с более высокой ставкой, но без возможности сложного начисления процентов.

Лучше я буду получать 1 % денег в результате усилий 100 человек, чем 100 % в результате своих собственных усилий.

Формула расчета сложных процентов с пополнением

Где,

• FV — планируемая сумма,
•  i — годовая процентная ставка(будьте внимательны, она идет в десятых и сотых долях),
• n — срок возможного вклада в годах
• PMT — сумма пополнения вклада раз в период начисления.
• m — количество периодов в году(если ежедневно, то 365)

В нашем случае имеем следующие данные

Условия по вкладу

Планируемая сумма FV	1 млн. 500 тыс
Ставка i	10%
Срок n	10 лет, начисление ежегодно
Капитализация процентов	Да

Мы можем выразить из формулы нужный нам ежегодный взнос

Подставив в эту формулу наши значения получим

94118,09232 — именно эту сумму мы должны вкладывать каждый год, чтобы получить через 10 лет 1.5 млн. рублей.
Но на самом деле этот расчет приблизительный. Точный расчет можно получить с помощью калькулятора вкладов

Выше приведен расчет депозита на 10 лет с 2 июля 2009. Ежегодное пополнение 94118,09232Сумма получилась примерно такой(разница 35 рублей не существенна)