Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 –

Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 - Вклады Тинькофф

1. Текущее значение

Зная
сумму инвестиций Р и процентную ставку
i, можно вычислить наращенное
по простым процентам значение S
для произвольного момен­та времени
t по формуле

Часто
приходится решать обратную задачу.
Какую сумму Р нужно инвестировать, чтобы
спустя срок t получить
наращенное значение S?
Если ставка, по которой начисляются
проценты, равна i, то ответ
очевиден

Величина
Р называется текущим (приведенным,
настоящим) значением суммы S,
относящейся к будущему моменту времени
t. Процесс вычисления
текущего значения называется
дисконтированием по заданной процентной
ставке. Множитель

называется дисконтным множителем по
простой процентной ставке i
за период t.

Пример.

Какую
сумму инвестор должен вложить под
простые проценты по ставке 14% годовых
сегодня, чтобы накопить 210 тысяч а) за
один год; b) за два года;
с) за пять лет.

Решение.

Обозначив
через St
наращенную к концу года t
сумму, получим для наших случаев:

a)
St =
210 тыс. руб.,
t = 1 год, i = 14%

и следовательно,

аналогично для случая b)
St.=
210 тыс. руб., t = 2 года, i
= 14% и

и для случая с) St
= 210 тыс. руб., t = 5 лет, i
= 14% и

Текущее
значение вычисляется для начального
момента времени, и поэтому, казалось
бы, что оно не должно зависеть от времени,
тогда как формула

указывает на явную зависимость от
времени. Здесь, конечно, нет никакого
противоречия, поскольку текущее значение
вычисляется для суммы S,
относящейся к моменту t
в будущем, т.е., строго говоря, нужно
писать St
и тогда Р — есть текущее значение этой
суммы, а приведенная выше формула
показывает, как вычисляется текущее
значение для любой суммы, отнесенной к
любому моменту времени.

В англоязычной
финансовой литературе употребляется
специальное обозначение — РV
(сокращение от present value).
Используя это обозначение, текущее
значение суммы St
можно обозначить как PV(St),
и тогда формула для текущего значения
примет вид

Если
St =
1, т.е. мы будем рассматривать единичные
суммы, отнесенные к различным моментам
времени, то их текущее значение совпадет
с дисконтным множителем

Тогда
текущее значение любой суммы S,
отнесенной к моменту t,
будет равно
Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 -

Связь
между приведенными величинами можно
изобразить временной диаграммой.

Текущее
значение фиксированной суммы S
убывает при увеличении t.
Это естественно, т.к. необходимый для
накопления этой суммы капитал уменьшается,
если срок инвестирования увеличивается.
Эскиз графика текущей
стоимости
Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 -

Текущее
значение (сегодняшняя стоимость) играет
важную роль в анализе финансовых проблем.
Многие из этих проблем касаются выбора
между альтернативами, например: платить
наличными или взять кредит? Окупит ли
себя новая машина (станок)? Текущая
стоимость является основой для сравнения
различных финансовых проектов, поскольку
позволяет привести различные суммы
(взносы или выплаты) к одному и тому же
моменту времени и сравнивать их по
текущей (сегодняшней) стоимости.

Пример.

Инвестор
может купить квартиру за $5000 наличными
или заплатив $5400 через год. Если у
инвестора на счету в банке не менее
$5000 и банк платит 7% годовых, то какая
альтернатива предпочтительнее?

Решение.

Мы не
можем непосредственно сравнивать $5000
и $5400, поскольку они относятся к разным
моментам времени. Но для того, чтобы
получить $5400 в конце года, нужно иметь
на счету, т.е. инвестировать в начале
года

Таким
образом, текущая стоимость $5400 равна
$5046,73, что больше суммы оплаты наличными,
и значит, оплата наличными при данных
условиях предпочтительнее.

Конечно,
результат сравнения зависит от процентной
ставки. Так, если бы банк начислял не
7%, а 9% годовых, то текущая стоимость
$5400 составила бы

т.е. примерно на $6 меньше оплаты сразу
и наличными. В этом случае лучше
расплатиться через год.

2. Долговое обязательство

Долговое
обязательство — это финансовый документ,
удостоверяющий кредитную операцию.
Примерами долговых обязательств могут
служить векселя, депозитные сертификаты,
облигации и т.п.

Простейший
тип долгового обязательства — вексель
(долговая расписка). Вексель — письменное
обещание одного лица выплатить
определенную сумму денег другому лицу
в указанный срок. Лицо, выдающее
(подписывающее) вексель, называется
векселедателем, а лицо, получающее
вексель, — векселедержателем.

Хотя
обычно вексель выдается заемщиком
кредитору при получении ссуды, сам по
себе вексель представляет собой
безусловное обязательство выплаты
лицом, выдавшим вексель, суммы (с
процентами), в нем указанной, по требованию
лица, на которого вексель выписан.

Выплачиваемая
по векселю сумма называется величиной
долга при погашении, а момент выплаты
— датой погашения. Хотя только величина
долга при погашении и дата погашения
являются существенными, в векселе часто
указываются и другие его характеристики.
Приведем стандартный набор характеристик
(позиций), указываемых в векселе:

  1. основная
    сумма долга;

  2. дата
    выписки векселя;

  3. срок,
    на который вексель выдан;

  4. процентная
    ставка с указанием периода, к которому
    она относится;

  5. лицо,
    выписавшее вексель (плательщик по
    векселю);

  6. лицо,
    на которое выписан вексель (получатель
    суммы по векселю);

  7. дата
    погашения векселя;

  8. сумма
    при погашении (основная сумма плюс
    проценты).

10 февраля 1993 г.

Через
три месяца выплатить Нечаеву М.А. 150
тысяч руб. и простые проценты по ставке
2% за месяц

(подпись) Иванов Г.И.

ример.

Следующие
два векселя равносильны и для кредитора,
и для должника.

Ясно,
что по обоим векселям требуется выплатить
159 тысяч руб. 10 мая 1993г.

10 февраля 1993 г.

Через
три месяца обязуюсь выплатить Нечаеву
М.А. 159 тысяч руб.

(подпись) Иванов Г.И.

сли срок погашения указан в месяцах,
то обычно датой погашения считается то
же число в соответствующем месяце.
Исключение составляет вексель со сроком
2 месяца, подписанный 30 декабря. В этом
и подобных случаях датой погашения
считается последний день февраля.

Вексель
представляет собой именное долговое
обязательство, и получить деньги по
нему может лишь лицо, на которое вексель
выписан. Хотя в принципе возможна
передача долгового обязательства с
помощью так называемого переводного
векселя. В этом случае круг лиц, участвующих
в финансовой сделке, указан явно.

Существуют, однако, долговые обязательства
на предъявителя. К ним относятся некоторые
виды депозитных сертификатов, выпускаемых
коммерческими банками. В силу анонимного
характера эти финансовые инструменты
могут свободно покупаться и продаваться,
т.е. обращаться на финансовом рынке.

Депозитные сертификаты выпускаются на
определенные суммы, обычно кратные 100,
например, на 10000, 100000 руб., и на определенные
сроки: три или шесть месяцев. В конце
указанного срока банк, выпустивший
сертификат, погашает (выкупает) его,
уплачивая указанную сумму и проценты.

В отличие от срочного вклада в банке
деньги по депозитному сертификату
нельзя получить до срока погашения в
банке, его выпустившем, но сертификат
может быть продан на финансовом рынке
до времени погашения со скидкой (с
дисконтом). Обращающиеся депозитные
сертификаты являются инструментом
краткосрочного финансового рынка.

3. Дисконт и учетная ставка

Дисконтом
называется скидка с цены товара, курса
ценной бумаги и т.п. при различных
сделках. В финансовой математике дисконт
— это скидка со стоимости погашения
долгового обязательства, например,
векселя, при его продаже до срока
погашения.

Пример.

Пусть
владелец векселя на 100 тыс. руб. и сроком
погашения 5 месяцев спустя два месяца
с момента получения векселя, нуждаясь
в наличных деньгах, продает его банку.
Банк выкупает, или, как еще говорят,
учитывает вексель, но не за полную
стоимость 100 тыс. руб., а за 94 тыс. руб.
Тогда дисконт — сумма, взимаемая банком
за учет векселя до срока погашения,
составляет

100 – 94
= 6 тыс. руб.,

или 6% от стоимости векселя. В этом случае
говорят, что учетная ставка банка за 3
месяца (т.е. до срока, оставшегося до
погашения) составляет 6%. В общем случае
учетной ставкой за период называется
отношение разницы между полной и выкупной
суммой векселя, т.е. дисконта, к его
полной сумме:

где S— сумма долга при
погашении,

Р —
выкупная (учетная) стоимость,

D
-— величина дисконта.

Связь
между указанными величинами можно
изобразить диаграммой

Ясно,
что величина дисконта, учетная ставка
и выкупная цена за период оставшийся
до погашения, зависят от длительности
этого периода. Поэтому формулу следовало
бы переписать более строго в виде

Из этой
формулы следует, что дисконт и выкупная
стоимость выражается формулами

Банки
обычно указывают учетную ставку за
некоторый фиксированный период, как
правило, год, и эта учетная ставка
называется годовой учетной ставкой.
Ставка же за период вычисляется так же,
как вычисляется процентная ставка за
период по годовой ставке, т.е. по формуле

где d — годовая учетная
ставка,

t
— остаток срока до погашения в годах.

Таким
образом, предыдущие формулы примут вид

Учетная
ставка, описываемая формулами, называется
простым и банковским дисконтом. Величина
Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 -

Пример.

Найти
годовую учетную ставку и выкупную
стоимость векселя за месяц до погашения
для примера в начале параграфа.

Решение.

Поскольку
в том примере учетная ставка за три
месяца до погашения составляет 6%, то
годовая ставка согласно формуле равна

Здесь
t = 3 месяца, или
Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 -

Пример.

Пусть
вексель выписан 10 января 1993 года с датой
погашения 10 октября 1993 года. Проценты
по векселю начисляются исходя из 12% в
год. Если вексель учтен в банке 10 мая
1993 года по учетной ставке 10%, то какова
учетная (выкупная) стоимость векселя?

Решение.

Для
подсчета длин периодов будем пользоваться
банковским правилом. Точное число дней
между 10 января и 10 октября 1993 года
согласно таблице равно

283 — 10
= 273 дня.

Длительность
периода погашения в годах при банковском
правиле

Читайте также:  Сбербанк: вклады физических лиц 2019, проценты по вкладам

Тогда
полная сумма векселя при погашении
равна

Если
вексель учитывается 10 мая, то оставшийся
срок до погашения составляет

283 – 130
= 153 дня,

или

При
учетной ставке d = 10% годовых
учетная стоимость векселя составит

4. Эквивалентность учетной и процентной
ставки

На
дисконт можно посмотреть несколько
иначе, чем было приведено выше. Для
банка, учитывающего вексель на сумму
S, учетная стоимость
векселя является текущей стоимостью
суммы S, которую банк
получит (взыщет) с векселедержателя в
момент погашения, т.е. через срок t,
оставшийся до погашения векселя.

В
отличие от обычной ситуации, когда
инвестируется известная сумма, на
которую с течением времени начисляются
проценты, при учете заранее известна
конечная (наращенная) сумма, а ее текущая
стоимость находится исходя из учетной
ставки и срока, оставшегося до погашения.

Поэтому дисконт и ставка дисконта
являются такими же параметрами кредитной
сделки, как процент и процентная ставка,
но различаются лишь “направлением”
схемы расчета. При вычислении процента
и процентной ставки базовой величиной
является начальная (текущая, исходная)
стоимость, а при вычислении дисконта и
учетной ставки базовой величиной
является конечная сумма. Оформим
сказанное выше в виде равенств.

Рассмотрим
диаграмму

Проценты
за период

составляют

а процентная ставка за этот период равна

С другой
стороны, дисконт за этот период составляет

а учетная ставка за период

Таким
образом, процентная и учетная ставки
связывают две суммы, относящиеся к
началу (Р) и концу (5) произвольного
периода t, т.е.

Из этих
соотношений немедленно следует, что

или

откуда получаем формулы, связывающие
it и
dt:

Если
it и
dt —
простые ставки (процентная и учетная),
соответствующие годовым ставкам
(процентной и учетной) i
и d, т.е.

то для периода в один год (t
= 1) получаем соотношения

Эти
соотношения позволяют дать еще одну
интерпретацию дисконту. Пусть единичная
сумма инвестируется в начале года под
проценты со ставкой i.
Тогда в конце года проценты на эту сумму
составят i, а текущее
значение этой величины будет равно

Соотношение
дает по существу то же самое:

Иными
словами, на дисконт можно смотреть как
на проценты, но уплачиваемые не в конце
года (периода), а в начале, поэтому иногда
(это бывает редко) дисконтную ставку
называют авансированной процентной
ставкой.

Нужно
отчетливо понимать различие между
процентной и учетной ставками. Они
описывают кредитную операцию с двух
различных сторон. Различие между ними
состоит в выборе временной базы, т.е.
момента времени, относительно которого
вычисляется эффект кредитной операции.

Часто
говорят, что эти формулы задают условия
эквивалентности учетной и процентной
ставки относительно заданного периода
времени. Формула

дает еще один способ вычисления текущего
значения исходя из учетной ставки. Если
i — соответствующая
(эквивалентная) для периода t
процентная ставка, то вычисление по
формуле

дает тот же результат, т.к. эквивалентность
i и d означает,
что

Пример.

Найти
текущую стоимость $100, получаемых через
год:

а) при
процентной ставке 12,5%; b)
при учетной ставке 12,5%.

Решение:

а) Для
процентной ставки 12,5% имеем S
= 100$, i = 0,125, t
= 1 год, и, следовательно,

b)
Для учетной ставки 12,5% имеем S
= 100$, d = 0,125, t
= 1 год, и следовательно,

ЗАМЕЧАНИЕ

Очень
важно помнить, что о соответствии
(эквивалентности) процентной и учетной
ставок можно говорить, лишь указав
период (срок), относительно которого
утверждается эквивалентность. Ставки,
эквивалентные относительно одного
периода, не будут эквивалентны и
относительно другого. Это касается как
ставок за период, так и годовых ставок.

Пример.

Пусть
простая годовая процентная ставка равна
15%. Найти эквивалентные годовые учетные
ставки для периодов: а) один месяц; b)
полгода.

Решение.

а) В
этом случае
Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 -

Если d
— соответствующая годовая учетная
ставка, то из уравнения эквивалентности

получаем, что

b)
Здесь
Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 -Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 -Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 -

1. Временное значение денег. Понятие
эквивалентности

С
экономической точки зрения бессмысленно
говорить о величине денежной суммы без
указания даты ее получения. Очевидно,
что 1000 рублей сегодня и 1000 рублей,
ожидаемые через год, не равноценны, так
как деньги могут быть вложены в дело и
принести доход.

Допустим, что банковская
процентная ставка на все вклады составляет
20% годовых и инвестор по некоторым
причинам предпочитает вкладывать
средства именно в этот банк. Для такого
инвестора безразлично, получить 1000
рублей через год или 1400 – через два года
и т.д.

Однако он, естественно, предпочтет
получить 2000 рублей через год, чем 1000
рублей сегодня, которые при ставке 20%
годовых к концу года обеспечат только
1200 рублей. Таким образом, для сравнения
денежных сумм, относящихся к различным
моментам времени, необходимо фиксировать
процентную ставку.

Введем
теперь следующее определение
эквивалентности. Сумма Р, относящаяся
к началу срока, состоящего из n
периодов, эквивалентна по ставке сложных
процентов i за период
сумме S, относящейся к
концу срока, если выполнено соотношение

Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 -Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 -Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 -Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 -
тметим
важное свойство эквивалентности. При
фиксированной ставке сложных процентов
из того, что сумма А эквивалентна сумме
В и сумма В эквивалентна сумме С, следует,
что сумма А эквивалентна сумме С.


Рис. 1

Для
доказательства этого свойства введем
следующие обозначения (см. рис. 1):

0 —
данный момент,

n1
— срок выплаты суммы А,

n2
— срок выплаты суммы B,

n3
— срок выплаты суммы C,

А
эквивалентно В, следовательно

Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 -

В
эквивалентна С, значит,

Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 -

Подставляя
(*) в (**), получим

и следовательно, А эквивалентна С.
Последнее соотношение не выполняется
ни для простой процентной ставки, ни
для простой учетной ставки, поэтому
понятие эквивалентности для этих ставок
логически не обосновано.

Пусть
сумма D получена в момент
n0. Все эквивалентные
по ставке i значения лежат
на кривой, изображенной на рисунке 2.

Рис. 2

Для
сравнения денежных сумм необходимо
найти эквивалентные им значения,
соответствующие одному и тому же моменту
времени, и сравнить эти значения.

Пример.

Долг в
размере 300 тысяч рублей должен быть
выплачен через два года. Найти эквивалентные
по ставке 25% значения а) в конце года; б)
через 5 лет.


Рис. 3

ЗАДАЧИ

1. Найти
эквивалентное по ставке 12% годовых
значение для 70000 рублей, которые должны
быть выплачены через год для следующих
моментов времени:

сегодня;

через
два года;

через
пять лет.

2. Найти
эквивалентное через два года значение
для долга, равного 420 тысячам рублей
сегодня, при поквартальном начислении
процентов по ставке 40% годовых.

Начисление процентов. расчет наращенной стоимости

В условиях рыночной экономики любое взаимодействие лиц, фирм и предприятий с целью получения прибыли называется сделкой. При кредитных сделках прибыль представляет собой величину дохода от предоставления денежных средств в долг, что на практике реализуется за счет начисления процентов (процентной ставки – i). Проценты зависят от величины предоставляемой суммы, срока ссуды, условий начисления и т. д.

Важнейшее место в финансовых сделках занимает фактор времени (t). С временным фактором связан принцип неравноценности и неэквивалентности вложений. Для того чтобы определить изменения, происходящие с исходной суммой денежных средств (P), необходимо рассчитать величину дохода от предоставления денег в ссуду, вложения их в виде вклада (депозита), инвестированием их в ценные бумаги и т. д.

Процесс увеличения суммы денег в связи с начислением процентов (i) называют наращением, или ростом первоначальной суммы (P). Таким образом, изменение первоначальной стоимости под влиянием двух факторов: процентной ставки и времени называется наращенной стоимостью (S).

Наращенная стоимость может определяться по схеме простых и сложных процентов. Простые проценты используются в случае, когда наращенная сумма определяется по отношению к неизменной базе, то есть начисленные проценты погашаются (выплачиваются) сразу после начисления (таким образом, первоначальная сумма не меняется); в случае, когда исходная сумма (первоначальная) меняется во временном интервале, имеют дело со сложными процентами.

При начислении простых процентов наращенная сумма определяется по формуле

S = P (1 i t), (1)

где S – наращенная сумма (стоимость), руб.; P – первоначальная сумма (стоимость), руб.; i – процентная ставка, выраженная в коэффициенте; t – период начисления процентов.

Пример 1

Рассчитать сумму начисленных процентов и сумму погашения кредита, если выдана ссуда в размере 10 000 руб., на срок 1 год при начислении простых процентов по ставке 13 % годовых.

Решение

S = 10 000 (1 0,13 · 1) = 11 300, руб. (сумма погашения кредита);

ДР = 11 300 – 10 000 = 1 300, руб. (сумма начисленных процентов).

Пример 2

Определить сумму погашения долга при условии ежегодной выплаты процентов, если банком выдана ссуда в сумме 50 000 руб. на 2 года, при ставке – 16 % годовых.

Решение

S = 50 000 (1 0,16 · 2) = 66 000, руб.

Таким образом, начисление простых процентов осуществляется в случае, когда начисленные проценты не накапливаются на сумму основного долга, а периодически выплачиваются, например, раз в год, полугодие, в квартал, в месяц и т. д., что определяется условиями кредитного договора. Также на практике встречаются случаи, когда расчеты производятся за более короткие периоды, в частности на однодневной основе.

В случае, когда срок ссуды (вклада и т. д.) менее одного года, в расчетах необходимо скорректировать заданную процентную ставку в зависимости от временного интервала. Например, можно представить период начисления процентов (t) в виде отношения , где q – число дней (месяцев, кварталов, полугодий и т. д.) ссуды; k – число дней (месяцев, кварталов, полугодий и т. д.) в году.

Таким образом, формула (1) изменяется и имеет следующий вид:

S = P (1 i ). (2)

Пример 3

Банк принимает вклады на срочный депозит на срок 3 месяца под 11 % годовых. Рассчитать доход клиента при вложении 100 000 руб. на указанный срок.

Читайте также:  Шифр 51. Рассчитать сумму вклада с начисленным процентом — контрольная по информатике, НГУЭУ (Нархоз)

Решение

S = 100 000 (1 0,11 · ) = 102 749,9, руб.;

ДР = 102 749,9 – 100 000 = 2 749,9, руб.

В зависимости от количества дней в году возможны различные варианты расчетов. В случае, когда за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней), исчисляют обыкновенные, или коммерческие проценты. Когда за базу берут действительное число дней в году (365 или 366 – в високосном году), говорят о точных процентах.

При определении числа дней пользования ссудой также применяется два подхода: точный и обыкновенный. В первом случае подсчитывается фактическое число дней между двумя датами, во втором – месяц принимается равным 30 дням. Как в первом, так и во втором случае, день выдачи и день погашения считаются за один день. Также существуют случаи, когда в исчислении применяется количество расчетных или рабочих банковских дней, число которых в месяц составляет 24 дня.

Таким образом, выделяют четыре варианта расчета:

1) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

2) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды;

3) точные проценты с приближенным числом дней ссуды;

4) точные проценты с банковским числом рабочих дней.

При этом необходимо учесть, что на практике день выдачи и день погашения ссуды (депозита) принимают за один день.

Пример 4

Ссуда выдана в размере 20 000 руб. на срок с 10.01.06 до 15.06.06 под 14 % годовых. Определить сумму погашения ссуды.

Решение

1. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:

156=21 28 31 30 31 15;

Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 -

S = 20 000 (1 0,14 · ) =21 213,3, руб.

2. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:

155= (30·5) 5

Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 -

S = 20 000 (1 0,14 · ) =21 205,6, руб.

3. Точные проценты с приближенным числом дней ссуды:

Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 -

S = 20 000 (1 0,14 · ) =21 189,0, руб.

4. Точные проценты с банковским числом рабочих дней:

Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 -

S = 20 000 (1 0,14 · ) =21 516,7, руб.

Данные для расчета количества дней в периоде представлены в прил. 1, 2.

Как сказано выше, кроме начисления простых процентов применяется сложное начисление, при котором проценты начисляются несколько раз за период и не выплачиваются, а накапливаются на сумму основного долга. Этот механизм особенно эффективен при среднесрочных и долгосрочных кредитах.

После первого года (периода) наращенная сумма определяется по формуле (1), где i будет являться годовой ставкой сложных процентов. После двух лет (периодов) наращенная сумма S2 составит:

S2 = S1(1 it) = P (1 it) · (1 it) = P (1 it)2.

Таким образом, при начислении сложных процентов (после n лет (периодов) наращения) наращенная сумма определяется по формуле

S = P (1 i t)n , (3)

где i – ставка сложных процентов, выраженная в коэффициенте; n – число начислений сложных процентов за весь период.

Коэффициент наращения в данном случае рассчитывается по формуле

Кн = (1 i t)n , (4)

где Кн – коэффициент наращения первоначальной стоимости, ед.

Пример 5

Вкладчик имеет возможность поместить денежные средства в размере 75 000 руб. на депозит в коммерческий банк на 3 года под 10 % годовых.

Определить сумму начисленных процентов к концу срока вклада, при начислении сложных процентов.

Решение

S = 75 000 (1 0,1 · 1)3 = 99 825, руб.

ДР = 24 825, руб.

Таким образом, коэффициент наращения составит:

Кн = (1 0,1 · 1)3 = 1,331

Следовательно, коэффициент наращения показывает, во сколько раз увеличилась первоначальная сумма при заданных условиях.

Доля расчетов с использованием сложных процентов в финансовой практике достаточно велика. Расчеты по правилу сложных процентов часто называют начисление процентов на проценты, а процедуру присоединения начисленных процентов – их реинвестированием или капитализацией.

Динамика увеличения денежных средств при начислении простых и сложных процентов

Рис. 1. Динамика увеличения денежных средств при начислении простых и сложных процентов

Из-за постоянного роста базы вследствие реинвестирования процентов рост первоначальной суммы денег осуществляется с ускорением, что наглядно представлено на рис. 1.

В финансовой практике обычно проценты начисляются несколько раз в году. Если проценты начисляются и присоединяются чаще (m раз в год), то имеет место m-кратное начисление процентов. В такой ситуации в условиях финансовой сделки не оговаривают ставку за период, поэтому в финансовых договорах фиксируется годовая ставка процентов i, на основе которой исчисляют процентную ставку за период (). При этом годовую ставку называют номинальной, она служит основой для определения той ставки, по которой начисляются проценты в каждом периоде, а фактически применяемую в этом случае ставку (()mn) – эффективной, которая характеризует полный эффект (доход) операции с учетом внутригодовой капитализации.

Наращенная сумма по схеме эффективных сложных процентов определяется по формуле

S = P (1 )mn , (5)

где i – годовая номинальная ставка, %; (1 )mn – коэффициент наращения эффективной ставки; m – число случаев начисления процентов за год; mn – число случаев начисления процентов за период.

Пример 6

Рассчитать сумму выплаты по депозиту в размере 20 000 руб., помещенному на 1 год под 14 % годовых с ежеквартальным начислением процентов.

Решение

Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 -

S = 20 000 (1 )4·1 = 22 950, руб.

Следует отметить, что при периоде, равным 1 году, число случаев начисления процентов за год будет соответствовать числу случаев начисления процентов за весь период. Если, период составляет более 1 года, тогда n (см. формулу (3)) – будет соответствовать этому значению.

Пример 7

Рассчитать сумму погасительного платежа, если выдан кредит в размере 20 000 руб. на 3 года под 14 % годовых с ежеквартальным начислением процентов.

Решение

S = 20 000 (1 )4·3 = 31 279, 1 , руб.

Начисление сложных процентов также применяется не только в случаях исчисления возросшей на проценты суммы задолженности, но и при неоднократном учете ценных бумаг, определении арендной платы при лизинговом обслуживании, определении изменения стоимости денег под влиянием инфляции и т. д.

Как говорилось выше, ставку, которая измеряет относительный доход, полученный в целом за период, называют эффективной. Вычисление эффективной процентной ставки применяется для определения реальной доходности финансовых операций. Эта доходность определяется соответствующей эффективной процентной ставкой.

Эффективную процентную ставку можно рассчитать по формуле

Iэф = (1 )mn – 1 . (6)

Пример 8

Кредитная организация начисляет проценты на срочный вклад, исходя из номинальной ставки 10 % годовых. Определить эффективную ставку при ежедневном начислении сложных процентов.

Решение

Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 -

i = (1 )365 – 1 = 0,115156, т. е. 11 %.

Реальный доход вкладчика на 1 руб. вложенных средств составит не 10 коп. (из условия), а 11 коп. Таким образом, эффективная процентная ставка по депозиту выше номинальной.

Пример 9

Банк в конце года выплачивает по вкладам 10% годовых. Какова реальная доходность вкладов при начислении процентов: а) ежеквартально; б) по полугодиям.

Решение

а) i = (1 )4 – 1 = 0,1038, т. е. 10,38 %;

б) i = (1 )2 – 1 = 0,1025, т. е. 10,25 %.

Расчет показывает, что разница между ставками незначительна, однако начисление 10 % годовых ежеквартально выгодней для вкладчика.

Расчет эффективной процентной ставки в финансовой практике позволяет субъектам финансовых отношений ориентироваться в предложениях различных банков и выбрать наиболее приемлемый вариант вложения средств.

В кредитных соглашениях иногда предусматривается изменение во времени процентной ставки. Это вызвано изменением контрактных условий, предоставлением льгот, предъявлением штрафных санкций, а также изменением общих условий совершаемых сделок, в частности, изменение процентной ставки во времени (как правило, в сторону увеличения) связано с предотвращением банковских рисков, возможных в результате изменения экономической ситуации в стране, роста цен, обесценения национальной валюты и т. д.

Расчет наращенной суммы при изменении процентной ставки во времени может осуществляться как начислением простых процентов, так и сложных. Схема начисления процентов указывается в финансовом соглашении и зависит от срока, суммы и условий операции.

Пусть процентная ставка меняется по годам. Первые n1 лет она будет равна i1, n2 – i2 и т. д. При начислении на первоначальную сумму простых процентов необходимо сложить процентные ставки i1, i2, in, а при сложных – найти их произведение.

При начислении простых процентов применяется формула

S = P (1 i1 t1 i2 t2 i3 t3 in tn) , (7)

где in – ставка простых процентов; tn – продолжительность периода начисления.

Пример 10

В первый год на сумму 10 000 руб. начисляются 10 % годовых, во второй – 10,5 % годовых, в третий – 11 % годовых. Определить сумму погашения, если проценты выплачиваются ежегодно.

Решение

S = 10 000 (1 0,10 · 1 0,105 · 1 0,11 · 1)=13 150, руб.;

ДР = 3 150, руб.

При начислении сложных процентов применяется формула

S = P(1 i1 t1)·(1 i2 t2)·(1 i3 t3)·(1 in tn) (8)

где in – ставка сложных процентов; tn – продолжительность периода ее начисления.

Пример 11

В первый год на сумму 10 000 руб. начисляются 10 % годовых, во второй – 10,5 % годовых, в третий – 11 % годовых. Определить сумму погашения, если проценты капитализируются.

Решение

S = 10 000 (1 0,10 · 1)·(1 0,105 · 1)·(1 0,11 · 1)= 13 492, 05, руб.

Приведенные примеры подтверждают тот факт, что начисление простых процентов связано с определением наращенной суммы по отношению к неизменной базе, т. е. каждый год (период) проценты начисляются на одну и ту же первоначальную стоимость. Если рассмотреть пример 10, то в этом случае наращенная стоимость составит:

– за первый год: S1 = 10 000 (1 0,10 · 1) = 11 000, руб.;

ДР1 = 1 000, руб.;

– за второй год: S2 = 10 000 (1 0,105 · 1) = 11 050, руб.;

ДР 2 = 1 050, руб.;

– за третий год: S3 = 10 000 (1 0,11 · 1) = 11 100, руб.;

ДР 3 = 1 100, руб.

Таким образом, сумма процентов за 3 года составит:

ДР = 1 000 1 050 1 100 = 3 150, руб. (см. пример 10).

В случае начисления сложных процентов, исходная сумма меняется после каждого начисления, так как проценты не выплачиваются, а накапливаются на основную сумму, т. е. происходит начисление процентов на проценты. Рассмотрим пример 11:

Читайте также:  Самый выгодный вклад ВТБ 24 на сегодня: проценты в 2019 году

– в первом году: S1 = 10 000 (1 0,10 · 1) = 11 000, руб.;

– во втором году: S2 = 11000 (1 0,105 · 1) = 12 100, руб.;

– в третьем году: S3 = 12100 (1 0,11 · 1) = 13 431, руб.

Таким образом, сумма процентов за 3 года составит: i3 = 3 431, руб. (см. пример 10).

При разработке условий контрактов или их анализе иногда возникает необходимость в решении обратных задач – определение срока операции или уровня процентной ставки.

Формулы для расчета продолжительности ссуды в годах, днях и т. д. можно рассчитать, преобразуя формулы (1) и (5).

Срок ссуды (вклада):

Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 -

t = · 365 . (9)

Пример 12

Определить на какой срок вкладчику поместить 10 000 руб. на депозит при начислении простых процентов по ставке 10 % годовых, чтобы получить 12 000 руб.

Решение

Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 -

t = () · 365 = 730 дней (2 года).

Процентную ставку можно рассчитать по формуле

Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 -

i = (). (10)

Пример 13

Клиент имеет возможность вложить в банк 50 000 руб. на полгода. Определить процентную ставку, обеспечивающую доход клиента в сумме 2 000 руб.

Решение

Контрольная работа: Контрольная работа по Теории финансового менеджмента Вариант №1 -

t = () = 0,08 = 8 % годовых

Аналогично определяется необходимый срок окончания финансовой операции и ее протяженность, либо размер требуемой процентной ставки при начислении сложных процентов.

Для упрощения расчетов значения коэффициента (множитель) наращения представлены в прил. 3.

Задачи для самостоятельного решения

1. Предприятие получило кредит на 1 год в размере 7 000 000 руб. с условием возврата 8 000 000 руб. Рассчитать простую процентную ставку.

2. Какую сумму нужно положить в банк, выплачивающий 4 % годовых по простой процентной ставке, чтобы получить 50 000 руб.: а) через 4 месяца; б) через 1 год; в) через 2 года 9 месяцев.

3. Организации предоставлен кредит в размере 100 000 000 руб. под 17 % годовых с 1 января по 1 июля текущего года. Определить подлежащую возврату сумму, применяя разные способы начисления процентов (точные и обыкновенные).

4. Г-н Семенов имеет возможность поместить на депозит в коммерческий банк «Енисей» 60 000 руб. под 12 % годовых. При простом начислении процентов на счете г-на Семенова накопится 75 000 руб. через:

а) _______ лет;

б) _______ месяцев;

в) _______ дней.

5. Для финансирования оборотного капитала предприятие взяло кредит в банке в размере 100 000 000 руб. сроком на 2 года с ежегодным погашением процентов. Ставка процента за пользование заемными средствами 15 % годовых. Определить сумму погашения кредита и сумму начисленных процентов.

6. Молодая семья получила в банке ипотечный кредит на приобретение квартиры в размере 600 000 руб., сроком на 5 лет под простую процентную ставку 15 % годовых. Определить сумму основного долга и процентов по кредиту.

7. Банк принимает вклады на срочный депозит на следующих условиях: процентная ставка при сроке 35 дней – 3 % годовых; при сроке – 65 дней – 5 % годовых; при сроке 90 дней – 6 % годовых. Определить доход клиента при вкладе 70 000 руб. на указанные сроки.

8. Клиент вложил в банк на депозит 2 000 долл. на срок с 12 апреля по 26 июня под простую процентную ставку 9 % годовых. Рассчитать доход клиента разными способами начисления процентов (точные и обыкновенные). Год не високосный.

9. Коммерческий банк привлекает средства населения под простые проценты 10 % годовых. Клиент внес 20 000 руб. на депозит с 10 мая по 15 октября. Определить величину коэффициента наращения и наращенную сумму:

а) при начислении точных процентов с точным числом дней в году;

б) при начислении точных процентов с банковским числом рабочих дней. Год не високосный.

10. Вкладчик положил в банк выплачивающий 6 % годовых 100 000 руб. Какая сумма будет на счете вкладчика через:

а) 2 месяца;

б) полгода;

в) 1 год.

11. Клиент поместил в банк 120 000 руб. 1 февраля. Процентная ставка банка с 1 февраля по 18 февраля – 8 % годовых; с 19 февраля по 7 марта – 9 % годовых; с 8 марта по 23 марта – 10 % годовых; с 24 марта по 19 апреля, когда был изъят вклад – 11 % годовых. Определить доход клиента и эффективную процентную ставку, используя методику расчета обыкновенных процентах с приближенных числом дней.

12. Производственное объединение «Русь» 1 сентября имеет на расчетном счете обслуживающего банка среднедневные остатки денежных средств в размере 612 000 руб. На вклады «до востребования» банк начисляет проценты – 3 % годовых. Определить сумму начисленных процентов на 16 декабря этого же года, применяя различные способы начисления процентов (точные и обыкновенные).

13. Коммерческая фирма получила в банке ссуду на 1,5 года на следующих условиях: за первое полугодие начисляется 17 % годовых, за второе и третье полугодие – 15 % годовых. Определить размер ссуды, полученной в банке, если сумма погашения ссуды составит 300 000 руб.

14. Условия кредитного договора между коммерческим банком «Югра» и промышленным предприятием «Ника» предусматривают следующий порядок начисления процентов: в первый квартал 20 % годовых; во второй 19 % годовых; в третий 18 % годовых; в четвертый 16 % годовых. Рассчитать сумму погашения кредита в размере 500 000 руб., если предприятию представляется возможность погашения суммы долга в конце срока и право ежеквартального погашения процентов.

15. Банк принимает валютные вклады на депозит под 12 % годовых при ежемесячном начислении процентов и их погашением в конце срока. Рассчитать доход клиента при вкладе 2 500 долл. на 6 месяцев.

16. Кредитная организация принимает вклады юридических лиц под 13 % годовых с ежеквартальным начислением процентов и их погашением в конце срока. Рассчитать сумму возврата денежных средств, если вложено:

а) 250 000 на 2 года;

б) 150 000 на 3 года;

в) 170 000 на 3,5 года.

17. Кредитная организация начисляет сложные проценты на срочный вклад, исходя из номинальной ставки 11 % годовых. Определить эффективную ставку:

а) при ежемесячном начислении процентов;

б) при ежеквартальном начислении процентов.

18. АО «Вектор» заключило контракт с финансовой корпорацией по займу денежных средств в размере 10 000 000 руб. сроком на 3 года и следующими условиями начисления процентов: в первый год 20 %, а каждое последующее полугодие ставка процента снижается на 0,5 %. Определить сумму, которую должно вернуть АО «Вектор» финансовой корпорации по истечении срока действия контракта, если проценты погашаются в конце срока.

19. По дебетовой платежной карте ежеквартально начисляются и присоединяются проценты по ставке 2 % годовых. Рассчитать сумму, которой будет располагать владелец платежной карты через 8 месяцев, если она оформлена на 500 долл.

20. Вкладчик имеет возможность поместить в коммерческий банк 200 000 руб. на 2 года. Первый банк предлагает 13 % годовых с ежемесячным начислением процентов; второй банк – 15 % годовых с ежеквартальным начислением процентов; третий банк – 16 % годовых с полугодовым начислением процентов. Определить наиболее эффективный вариант вложения средств при условии погашения процентов в конце установленного срока.

21. КФ «Банк Москвы» принимает вклады физических лиц на рублевый депозит под 10 % годовых и на валютный по 7 % годовых. Рассчитать эффективность вложения 1 000 евро на 1 год при ежемесячном начислении процентов в валютном и рублевом эквиваленте, если курс евро на начало года составил 35,14 руб., а к концу года ожидается его повышение к рублю на 70 пунктов:

а) при начислении простых процентов;

б) при начислении сложных процентов.

22. КФ «Банк Москвы» принимает вклады юридических лиц на рублевый депозит под 11 % годовых и на валютный по 9 % годовых. Выбрать оптимальный вариант вложения 10 000 евро на 1,5 года при ежеквартальном начислении процентов в валютном и рублевом эквиваленте, если курс евро на начало года составил 35,34 руб., а на конец периода – 35,91 руб.:

а) при начислении простых процентов;

б) при начислении сложных процентов;

23. Банк в конце периода выплачивает по вкладам 9 % годовых (по сложной ставке). Какова реальная доходность вкладов при начислении процентов:

а) ежемесячно;

б) ежеквартально;

в) по полугодиям.

25. Клиент имеет возможность вложить в банк 10 000 руб. на 2 года. Определить сложную процентную ставку при ежегодном начислении процентов, обеспечивающую совокупный доход клиента в конце срока в сумме 5 000 руб.

26. Кредитная организация принимает срочные вклады на 1 год с условием начисления сложных процентов по ставке 12 % годовых и минимальной суммой вклада 100 000 руб. Разработать график начисления процентов, при котором сумма средств на депозите клиента на конец срока составит не менее:

а) 112 500 руб.;

б) 120 000 руб.

27. На срочные «накопительные» вклады населения коммерческий банк начисляет в первый год 4 % годовых, а в последующие 4 года ставка увеличивается на 1,5 %. Определить эффективную процентную ставку на конец периода, если проценты по вкладу капитализируются.

28. Рассчитать период времени, в течение которого вложенные средства в банке под 14 % годовых при ежемесячном, поквартальном и полугодовом начислении процентов удвоятся (использовать сложные проценты).

29. Реклама одного коммерческого банка предлагает 8 % годовых при ежемесячном начислении процентов; другого 9 % годовых при поквартальном начислении. Срок хранения вклада – 12 месяцев. Какому банку отдать предпочтение, если начисляются сложные проценты?

30. Появилась возможность получить кредит либо на условиях 12 % годовых с квартальным начислением процентов, либо на условиях 12,4 % годовых с годовым начислением процентов. Какой вариант предпочтительней, если выплата процентов будет сделана единовременно с погашением кредита?

Оцените статью
Adblock
detector