- Выбор инвестиции на основе коэффициентов оценки эффективности
- Аннуитеты – любимая банковская цифра
- Внутренняя ставка доходности irr (всд)
- Выбор периода дисконтирования для функции чпс()
- Нюансы и тонкости
- О точности расчета ставки дисконтирования
- Расчет приведенной стоимости платежей, осуществляемых за любые промежутки времени
- Чистая приведенная стоимость (npv)
Выбор инвестиции на основе коэффициентов оценки эффективности
На рисунке ниже показана таблица критериев выбора инвестиционного проекта/инвестиции на основе рассмотренных коэффициентов. Данные показатели позволяют дать экспресс-оценку привлекательности проекта. Следует заметить, что данные показатели плохо применяются для оценки венчурных проектов, потому что сложно спрогнозировать какие будут продажи, доходы и спрос в этом проекте. Показатели хорошо себя зарекомендовали в оценке уже реализованных проектов с четко выстроенными бизнес процессами.
| Показатель | Критерий выбора инвестиции |
| Статистические методы оценки эффективности инвестиций | |
| Период окупаемости | PP -> min |
| Рентабельность инвестиционного капитала | ARR>0 |
| Динамические методы оценки эффективности инвестиций | |
| Чистый дисконтированный доход | NPV>0 |
| Внутренняя норма прибыли | IRR>WACC |
| Индекс прибыльности | PI>1 |
| Дисконтированный период окупаемости | DPP -> min |
Резюме
Использование коэффициентов оценки инвестиционных проектов позволяет сделать выбрать наиболее привлекательные объекты для вложения. Мы рассмотрели как статистические, так и динамические методы оценки, на практике, первые подходят для отражения общей характеристики объекта, тогда как динамические позволяют более точно оценить параметры инвестиции.
В современной экономике, во времена кризисов, использование данных показателей эффективно на сравнительно не большой горизонт инвестирования. Помимо внешних факторов, на оценку влияют внутренние – сложность точного определения будущих денежных поступлений от проекта.
Показатели дают в большей степени финансовое описание жизни инвестиции и не раскрывают причинно-следственных связей с получаемыми доходами (сложно оценить венчурные проекты и стартапы ). В тоже время, простота расчетов коэффициентов позволяет уже на первом этапе анализа исключить не рентабельные проекты.
Аннуитеты – любимая банковская цифра
Сначала поговорим о волнующем вопросе – как банки рассчитывают сумму равномерного платежа, как их проверить и как это понимать. Допустим, вы собираетесь взять кредит 1 000 000 руб. на 5 лет под 10% годовых. Платить будете раз в год равными платежами.
ПЛТ(Ставка дисконтир; Количество периодов; Сумма кредита которую вы берете)
В формуле есть еще два необязательных пункта: сумма, которая должна остаться (по умолчанию ноль), и как высчитывать сумму – на начало месяца, и тогда ставят 1, или на конец – ставят ноль. В 90% случаев эти пункты не нужны, поэтому их можно не ставить вообще. Итого аннуитет определяется так:
Сумма ежегодного платежа получается сразу с минусом. Эту сумму нужно каждый год платить банку.
В ней содержатся две части: 1) платеж по кредиту, 2) тело кредита.
Ниже они показаны. Платеж по кредиту берется как 10% (процент по кредиту) от суммы задолженности на начало периода. Тело – как разность между ежегодным платежом и платежом по процентам (в Excel можно найти формулы, которые рассчитают вам и эти платежи). Задолженность на конец рассчитывается как разность между Задолженностью на начало и платежом по телу кредита.
Если платежи не ежегодные, а ежемесячные или ежеквартальные, то нужно ставку и период приводить к этим значениям. Так если бы у нас платеж был каждый месяц, формула выглядела бы так:
Мы бы годовую ставку разделили на 12 (привели к ежемесячному), и взяли не 5 периодов, а 5 • 12 = 60 месяцев. И получили ежемесячный платеж в 21 247 руб.
Внутренняя ставка доходности
irr
(всд)
Внутренняя ставка доходности (англ.
internal rate of return
, IRR (ВСД)) — это ставка дисконтирования, при которой Чистая приведённая стоимость (NPV) равна 0. Также используется термин Внутренняя норма доходности (ВНД) (см.
файл примера, лист IRR
).
Достоинством IRR состоит в том, что кроме определения уровня рентабельности инвестиции, есть возможность сравнить проекты разного масштаба и различной длительности.
Для расчета IRR используется функция
ВСД()
(английский вариант – IRR()). Эта функция тесно связана с функцией
ЧПС()
. Для одних и тех же денежных потоков (B5:B14)
Ставка доходности, вычисляемая функцией
ВСД()
, всегда приводит к нулевой Чистой приведённой стоимости. Взаимосвязь функций отражена в следующей формуле:
=ЧПС(ВСД(B5:B14);B5:B14)
Примечание4
. IRR можно рассчитать и без функции
ВСД()
: достаточно иметь функцию
ЧПС()
. Для этого нужно использовать инструмент
Подбор параметра
(поле «Установить в ячейке» должно ссылаться на формулу с
ЧПС()
, в поле «Значение» установите 0, поле «Изменяя значение ячейки» должно содержать ссылку на ячейку со ставкой).
Выбор периода дисконтирования для функции чпс()
При выборе периода дисконтирования нужно задать себе вопрос: «Если мы прогнозируем на 5 лет вперед, то можем ли мы предсказать денежные потоки с точностью до месяца/ до квартала/ до года?». На практике, как правило, первые 1-2 года поступления и выплаты можно спрогнозировать более точно, скажем ежемесячно, а в последующие года сроки денежных потоков могут быть определены, скажем, один раз в квартал.
Примечание3
. Естественно, все проекты индивидуальны и никакого единого правила для определения периода существовать не может. Управляющий проекта должен определить наиболее вероятные даты поступления сумм исходя из действующих реалий.
Определившись со сроками денежных потоков, для функции
ЧПС()
нужно найти наиболее короткий период между денежными потоками. Например, если в 1-й год поступления запланированы ежемесячно, а во 2-й поквартально, то период должен быть выбран равным 1 месяцу.
В таблице NPV подсчитан двумя способами: через функцию
ЧПС()
и формулами (вычисление приведенной стоимости каждой суммы). Из таблицы видно, что уже первая сумма (инвестиция) дисконтирована (-1 000 000 превратился в -991 735,54).
Предположим, что первая сумма (-1 000 000) была перечислена 31.01.2022г., значит ее приведенная стоимость (-991 735,54=-1 000 000/(1 10%/12)) рассчитана на 31.12.2009г. (без особой потери точности можно считать, что на 01.01.2022г.) Это означает, что все суммы приведены не на дату перечисления первой суммы, а на более ранний срок – на начало первого месяца (периода).
Таким образом, в формуле предполагается, что первая и все последующие суммы выплачиваются в конце периода. Если требуется, чтобы все суммы были приведены на дату первой инвестиции, то ее не нужно включать в аргументы функции
ЧПС()
, а нужно просто прибавить к получившемуся результату (см.
файл примера
). Сравнение 2-х вариантов дисконтирования приведено в
файле примера
, лист NPV:
Нюансы и тонкости
А теперь обсудим, как проверять банки на честность. Любой поток платежей по кредиту подразумевает под собой, что все выбытия денег приведены к поступлениям на ставку кредитования. Теперь по-русски: если мы построим денежный поток из полученного нами кредита и последующих наших аннуитетных платежей, то затем мы можем посчитать по ним NPV и IRR. NPV при этом должно принять нулевое значение, а IRR, что интереснее, — показать нам реальную процентную ставку.
Когда кредит и платежи по нему рассчитаны правильно, то NPV, взятый по той же процентной ставке, равен нулю. А IRR показывает ставку. Когда банк делает предложение, от которого невозможно отказаться и которое увеличит кредитную ставку «всего» на несколько процентов – не верьте и пересчитывайте!
В результате видно, что NPV не равен нулю. А реальный процент не 10, а 12,9%! Обратите внимание: здесь же выросла сумма переплаты. Если вас это смутит, вам могут предложить «еще более выгодные условия» — заплатить переплату сейчас, а остальное потом, меньшими платежами, или в нашем примере просто заплатить больше, а потом меньше. Сумма переплаты не изменится, а вот процент…
Что здесь сделано? Из каждого последующего платежа взята сумма 43 797 руб. и добавлена к первому же платежу (а бывает выкручивают сумму в момент выдачи кредита). Если для реального сектора финансовая математика «деньги вчера – деньги завтра» кажется несколько отдаленной от жизни, для банков это реальная прибыль.
Да, не забудьте, если речь идет про ежемесячные платежи, умножать на 12.
О точности расчета ставки дисконтирования
Существуют десятки подходов для определения ставки дисконтирования. Для расчетов используется множество показателей: средневзвешенная стоимость капитала компании; ставка рефинансирования; средняя банковская ставка по депозиту; годовой процент инфляции; ставка налога на прибыль; страновая безрисковая ставка; премия за риски проекта и многие другие, а также их комбинации.
Не удивительно, что в некоторых случаях расчеты могут быть достаточно трудоемкими. Выбор нужного подхода зависит от конкретной задачи, не будем их рассматривать. Отметим только одно: точность расчета ставки дисконтирования должна соответствовать точности определения дат и сумм денежных потоков. Покажем существующую зависимость (см.
файл примера, лист Точность
).
Пусть имеется проект: срок реализации 10 лет, ставка дисконтирования 12%, период денежных потоков – 1 год.
NPV составил 1 070 283,07 (Дисконтировано на дату первого платежа). Т.к. срок проекта большой, то все понимают, что суммы в 4-10 году определены не точно, а с какой-то приемлемой точностью, скажем /- 100 000,0. Таким образом, имеем 3 сценария: Базовый (указывается среднее (наиболее «вероятное») значение)
, Пессимистический (минус 100 000,0 от базового) и оптимистический (плюс 100 000,0 к базовому). Надо понимать, что если базовая сумма 700 000,0, то суммы 800 000,0 и 600 000,0 не менее точны. Посмотрим, как отреагирует NPV при изменении ставки дисконтирования на /- 2% (от 10% до 14%):
Рассмотрим увеличение ставки на 2%. Понятно, что при увеличении ставки дисконтирования NPV снижается. Если сравнить диапазоны разброса NPV при 12% и 14%, то видно, что они пересекаются на 71%.
Много это или мало? Денежный поток в 4-6 годах предсказан с точностью 14% (100 000/700 000), что достаточно точно. Изменение ставки дисконтирования на 2% привело к уменьшению NPV на 16% (при сравнении с базовым вариантом). С учетом того, что диапазоны разброса NPV значительно пересекаются из-за точности определения сумм денежных доходов, увеличение на 2% ставки не оказало существенного влияния на NPV проекта (с учетом точности определения сумм денежных потоков).
Конечно, это не может быть рекомендацией для всех проектов. Эти расчеты приведены для примера. Таким образом, с помощью вышеуказанного подхода руководитель проекта должен оценить затраты на дополнительные расчеты более точной ставки дисконтирования, и решить насколько они улучшат оценку NPV.
Совершенно другую ситуацию мы имеем для этого же проекта, если Ставка дисконтирования известна нам с меньшей точностью, скажем /-3%, а будущие потоки известны с большей точностью /- 50 000,0
Увеличение ставки дисконтирования на 3% привело к уменьшению NPV на 24% (при сравнении с базовым вариантом). Если сравнить диапазоны разброса NPV при 12% и 15%, то видно, что они пересекаются только на 23%.
Таким образом, руководитель проекта, проанализировав чувствительность NPV к величине ставки дисконтирования, должен понять, существенно ли уточнится расчет NPV после расчета ставки дисконтирования с использованием более точного метода.
Расчет приведенной стоимости платежей, осуществляемых за любые промежутки времени
Если денежные потоки представлены в виде платежей произвольной величины, осуществляемых за
любые
промежутки времени, то используется функция
ЧИСТНЗ()
(английский вариант – XNPV()).
Функция
ЧИСТНЗ()
возвращает Чистую приведенную стоимость для денежных потоков, которые не обязательно являются периодическими. Расчеты выполняются по формуле:
Где, dn = дата n-й выплаты; d1 = дата 1-й выплаты (начальная дата); i – годовая ставка.
Принципиальным отличием от
ЧПС()
является то, что денежный поток привязан не к конкретным периодам, а к датам. Другое отличие: ставка у
ЧИСТНЗ()
всегда годовая, т.к.
В случае, когда платежи осуществляются регулярно можно сравнить вычисления функций
ЧИСТНЗ()
и
ЧПС()
. Эти функции возвращают несколько отличающиеся результаты.
Это связано с тем, что у
ЧИСТНЗ()
длительность периода (месяц) «плавает» от месяца к месяцу. Даже если вместо месяца взять 30 дней, то в этом случае разница получается из-за того, что 12*30 не равно 365 дням в году (ставка у
ЧПС()
указывается за период, т.е.
Чистая приведенная стоимость (npv)
Задача 1.73.
Размер инвестиции – 115000$.
Доходы от инвестиций в первом году: 32000$; во втором году: 41000$; в третьем году: 43750$; в четвертом году: 38250$. Размер барьерной ставки – 9,2%, n = 4.
Пересчитаем денежные потоки в вид текущих стоимостей:
PV1 = 32000 / (1 0,092) = 29304,03$ PV3 = 43750 / (1 0,092)3 = 33597,75$ PV2 = 41000 / (1 0,092)2 = 34382,59$ PV4 = 38250 / (1 0,092)4 = 26899,29$
NPV = (29304,03 34382,59 33597,75 26899,29) – 115000 = 9183,66$
Ответ: чистая текущая стоимость равна 9183,66$
Оценка финансовой реализуемости проекта
При расчете приведенной стоимости необходимо разделять инвестиционные и финансовые решения, иными словами, данный проект должен быть одобрен при любом способе финансирования. То есть, если источником начальных сумм помимо собственных средств акционеров «Ориона» служат заемные средства,то их суммы не следует вычитать из объемов инвестиционных затрат, как и следует учитывать в виде оттока денег процентные выплаты по занятым деньгам и номинал долга. При оценке эффективности проекта в целом следуетсчитать,что финансирование проекта как бы целиком происходит за счет собственных средств фирмы.
Тем не менее, для окончательного принятия эффективного в целомпроекта с положительной величиной NPV, необходимо оценить финансовые возможности фирмы по реализации проекта, т. е. оценить эффективность участия фирмы проекте.Для этого находят составляющие потока денег Фф(t) финансовой деятельности на каждом этапе проекта. Такие расчеты рекомендуется проводить согласно табл. 1. При составлении этой таблицы следует учитывать, что и для потоков денег от финансовой деятельности инвестиционного проекта притоками и оттоками денег будут являться только дополнительные суммы денег, обусловленные реализацией проекта.
Так, фирма в начале проекта на шаге 0 вкладывает собственные средства в размере 8000 тыс. руб., а также берет кредит в сумме 2100 тыс. руб. под 20% годовых, начисляемых раз в полугодие. Итого на шаге 0 образуется приток денег для финансовойдеятельности в сумме 10100 тыс. руб.
Таблица 1.
Данные для расчета составляющих потока денег от финансовой деятельности
| № | Наименование показателя | Шаг 0 | Шаг 1 | Шаг 2 | Шаг 3 | Шаг 4 | Шаг 5 | Шаг 6 |
| Собственный капитал | ||||||||
| Краткосрочные кредиты | ||||||||
| Долгосрочные кредиты | ||||||||
| Погашение задолженностей по кредитам | ||||||||
| Выплата дивидендов | ||||||||
| Сальдо финансовой деятельности Фф | 10100 | -3075 | -5000 |
Возврат кредита и процентов по нему намечен на конец шага 4 расчета, в связи с чем по кредиту надо вернуть сумму:
2100х(1 0,1)4 =3075 тыс. руб.
Кроме того, на стадии ликвидации проекта планируется выплатить дивиденды в размере 5000 тыс. руб.
Чтобы оценить приемлемость проекта по финансовым возможностям, надо засчитать сальдо реальных денег b(t) на каждом шаге расчета t. Для этого суммируют потоки денег на этом шаге от всех трех видов деятельности — инвестиционной, операционной и финансовой:
В частности, для оцениваемого проекта имеем:
Вывод о приемлемости проекта по финансовым возможностям фирма делает на основе рассчитанного сальдо накопленных денег B(t), которое на любом шаге расчета k находят как сумму:
.
Так, например, сальдо накопленных денег В (3) на третьем шаге находят как сумму:
При этом начальное значение сальдо накопленных денег В (0) принимаете равным значению суммы на текущем счете участника проекта на начальный момент t=0. Необходимым критерием принятия инвестиционного решения при этом является положительное значение сальдо накопленных денег В (t) любом этапе инвестиционного проекта. Отрицательная величина сальдо накопленных денег свидетельствует о необходимости привлечения дополнительных заемных или собственных средств. Для оцениваемого проекта сальдо накопленных денег на каждом шаге расчета положительное, поэтому эффективное участия фирмы в проекте также положительная, и проект может быть принят фирмой для реализации.
Срок окупаемости инвестиций
Задача 1.74.
Размер инвестиции – 115000$.
Доходы от инвестиций в первом году: 32000$; во втором году: 41000$; в третьем году: 43750$; в четвертом году: 38250$.
Определим период по истечении которого инвестиция окупается.
Сумма доходов за 1 и 2 года: 32000 41000 = 73000$, что меньше размера инвестиции равного 115000$.
Сумма доходов за 1, 2 и 3 года: 73000 43750 = 116750 больше 115000, это значит, что возмещение первоначальных расходов произойдет раньше 3 лет.
Если предположить что приток денежных средств поступает равномерно в течении всего периода (по умолчанию предполагается что денежные средства поступают в конце периода), то можно вычислить остаток от третьего года.
Остаток = (1 – (116750 – 115000)/43750) = 0,96 года
Ответ: период окупаемости равен 3 годам (точнее 2,96 года).
Окупаемость не учитывает временной стоимости денег. Этот показатель позволяет вам узнать, пренебрегая влиянием дисконтирования, сколько потребуется времени, чтобы ваши инвестиции принесли столько денежных средств, сколько вам пришлось потратить.
1.9. Внутренняя норма доходности (прибыли, внутренний коэффициент окупаемости, Internal Rate of Return – IRR)
IRR = r, при котором NPV = f(r) = 0,
Ее значение находят из следующего уравнения:
CFt – приток денежных средств в период t; It – сумма инвестиций (затраты) в t-ом периоде; n – суммарное число периодов (интервалов, шагов) t = 0, 1, 2, …, n.
Задача 1.75.
Размер инвестиции – 115000$.
Доходы от инвестиций в первом году: 32000$; во втором году: 41000$; в третьем году: 43750$; в четвертом году: 38250$.
Решим задачу без использования специальных программ. Используем метод последовательного приближения. Подбираем барьерные ставки так, чтобы найти минимальные значения NPV по модулю, и затем проводим аппроксимацию. Стандартный метод – не устраняется проблема множественного определения IRR и существует возможность неправильного расчета (при знакопеременных денежных потоках). Для устранения проблемы обычно строится график NPV(r)).
Рассчитаем для барьерной ставки равной ra=10,0%
Пересчитаем денежные потоки в вид текущих стоимостей:
PV1 = 32000 / (1 0,1) = 29090,91$ PV3 = 43750 / (1 0,1)3 = 32870,02$
PV2 = 41000 / (1 0,1)2 = 33884,30$ PV4 = 38250 / (1 0,1)4 = 26125,27$
NPV(10,0%) = (29090,91 33884,30 32870,02 26125,27) – 115000 =
= 121970,49 – 115000 = 6970,49$
Рассчитаем для барьерной ставки равной rb=15,0%
Пересчитаем денежные потоки в вид текущих стоимостей:
PV1 = 32000 / (1 0,15) = 27826,09$ PV3 = 43750 / (1 0,15)^3 = 28766,34$
PV2 = 41000 / (1 0,15)^2 = 31001,89$ PV4 = 38250 / (1 0,15)^4 = 21869,56$
NPV(15,0%) = (27826,09 31001,89 28766,34 21869,56) – 115000 =
= 109463,88 – 115000 = -5536,11$
Делаем предположение, что на участке от точки а до точки б функция NPV(r) прямолинейна, и используем формулу для аппроксимации на участке прямой:
IRR = ra (rb – ra)*NPVa/(NPVa – NPVb) = 10 (15 – 10)*6970,49 / (6970,49 – (- 5536,11)) = 12,7867%
2. 
3. Рис. 1 Определение IRR методом подбора
Формула справедлива, если выполняются условия ra < IRR < rb и NPVa > 0 > NPVb. Ответ: внутренний коэффициент окупаемости равен 12,7867%.
Индекс рентабельности (PI)
Дисконтированный индекс доходности (ТС-индекс, PV-index, Present value index, Discounted Profitability Index, DPI)(иногда называемый отношением дохода к издержкам (benefit cost ratio), выраженным в текущих стоимостях).
Формула для расчета дисконтированного индекса доходности:
DPI >= 1,0
CFt – приток денежных средств в период t; It – сумма инвестиций (затраты) в t-ом периоде; r – барьерная ставка (ставка дисконтирования); n – суммарное число периодов (интервалов, шагов) t = 0, 1, 2, …, n.
Задача 1.76.
Размер инвестиции – 115000$. Доходы от инвестиций в первом году: 32000$; во втором году: $41000; в третьем году: $43750; в четвертом году: $38250.Размер барьерной ставки – 9,2%.
Пересчитаем денежные потоки в вид текущих стоимостей:
PV1 = 32000 / (1 0,092) = $29304,03 PV3 = 43750 / (1 0,092)3 = $33597,75
PV2 = 41000 / (1 0,092)2 = $34382,59 PV4 = 38250 / (1 0,092)4 = $26899,29
DPI = (29304,03 34382,59 33597,75 26899,29) / 115000 = 1,07985
Ответ: дисконтированный индекс доходности равен 1,079
2. ОБЛИГАЦИИ И ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ
Определение цены облигации
Задача 2.1.
Облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 3 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 12%.
Решение.
Принцип расчета цены облигации основан на дисконтировании будущих доходов, которые будут выплачены по ней. Технику определения курсовой стоимости можно представить в три действия:
1) определяем поток доходов, который ожидается по бумаге;
2) находим дисконтированную стоимость величины каждого платежа по бумаге; дисконтирование осуществляем под процентную ставку, соответствующую доходности до погашения облигации[1];
3) суммируем дисконтированные стоимости; полученная сумма и является ценой облигации.
В задаче поток доходов по облигации представлен выплатой купонов и ем номинала. По купону в конце каждого года выплачивается сумма:
1000 руб.∙0,1 = 100руб.
В конце третьего года также погашается номинальная стоимость бумаги. Таким образом,
облигация принесет следующий поток доходов:
Дисконтированные стоимости платежей для каждого года соответственно равны:
Цена облигации равна:
89,29 79,72 782,96 = 951,97руб.
Задача 2.2.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 3 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8%.
Решение.
В соответствии с алгоритмом определения стоимости облигации, представленном в задаче 2.1, формула расчета цены облигации имеет вид:
(2.1)
где Р — цена облигации; С — купон в рублях; N — номинал;
n — число лет до погашения облигации;
r — доходность до погашения облигации.
Согласно формуле (2.1) цена облигации равна:
Задача 2.9.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается два раза в год. До погашения облигации 2 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8%.
Решение.
Когда купон выплачивается m раз в год, формула (2.1) принимает вид:
(2.2)
Согласно (2.2) цена облигации равна:
Примечание.
Данную задачу можно решить, используя формулу (2,1), только в этом случае периоды времени выплаты купонов следует учитывать не в купонных периодах, а, как и раньше, в годах. Первый купон выплачивается через полгода, поэтому для него время выплаты равно 0,5 года, второй купон выплачивается через год, для него время выплаты равно 1 год и т.д. Ставка дисконтирования учитывается в этом случае как эффективный процент на основе заданной доходности до погашения, т.е. она равна:
(1 0,08/2)2 – 1= 0,0816.
Согласно формуле (2.1) цена облигации составляет:
руб.
§
Задача 3.1.
Инвестор планирует купить акцию компании A и продать ее через год. Он полагает, что к моменту продажи курс акции составит 120 руб. За год по акции не будут выплачиваться дивиденды. Определить цену акции, если доходность от владения бумагой должна составить 25% годовых.
Решение.
Цена акции определяется дисконтированием возможных будущих доходов, которые она принесет. В данном случае это доход от ее продажи. Цена бумаги равна:
120/1,25 = 96руб.
Задача 3.2.
Инвестор планирует купить акцию компании А и продать ее через год. Он
полагает, что к моменту продажи курс акции составит 120 руб. К этому моменту по акции будет выплачен дивиденд в размере 5 руб. Определить цену
акции, если доходность от владения бумагой должна составить 25% годовых.
Решение.
(120 5)/1,25 = 100руб.
Задача 3.3.
Инвестор планирует купить акцию компании А и продать ее через год. Он полагает, что к моменту продажи курс акции составит 120 руб. Через полгода по акции будет выплачен дивиденд в размере 5 руб. Определить цену акции, если эффективная доходность от владения бумагой должна составить 25% годовых.
Решение.
Определение доходности акции
Задача 3.17.
Инвестор купил акцию за 100 руб. и продал через три года за 200 руб. В конце первого года ему выплатили дивиденд в размере 10 руб., за второй – 12 руб., за третий – 14 руб. Определить ориентировочно доходность операции вкладчика.
Решение.
Ориентировочно доходность, полученная по акции, определяется по формуле:
где r – доходность от операции с акцией;
Ps – цена продажи акции;
Рb – цена покупки акции;
div – средний дивиденд за n лет (он определяется как среднее арифметическое); n- число лет владения акцией. Средний дивиденд за три года равен:
Доходность операции составила:
Задача 3.18.
Инвестор купил акцию за 80 руб. и продал через 90 дней за 120 руб. За это время на акцию был выплачен дивиденд 4 руб. Определить доходность операции вкладчика.
Решение.
Если покупка и продажа акции происходят в рамках года, то доходность операции можно определить по формуле:
где t – число дней с момента покупки до продажи акции.
Доходность операции вкладчика равна: 
или 223,06% годовых.
Задача 3.19.
Инвестор купил акцию компании А по цене 20 руб. и продал ее через три года по 60 руб. За это время дивиденды на акцию не выплачивались. Определить доходность операции инвестора в расчете на год.
Решение.
0,4423 или 44,23% годовых.
Задача 3.20.
Инвестор купил акции компании А на сумму 1000 руб. Из них он занял 600 руб. под 15% годовых. Через год он продал акции за 1200 руб. На акции был выплачен дивиденд в сумме 20 руб. Определить доходность операции инвестора.
Решение.
При покупке финансовых активов на собственные и заемные средства доходность операции рассчитывается относительно собственных средств. Средства, которые следует отдать по кредиту, вычитаются из полученной прибыли. С учетом сказанного доходность операции равна:
R= 
= 0,325 или 32,5%.
Маржинальная торговля. Дробление акций
Задача 3.24.
Инвестор ведет маржинальную торговлю. Он купил акции компании А по 40 руб. за акцию, заняв у брокера 40% затраченной суммы. Брокер направит ему уведомление о необходимости внести в обеспечение дополнительные средства или закрыть позицию (margin call), если уровень маржи опустится до 35% от собственных средств инвестора. Определить, до какого значения должна упасть цена акции, чтобы брокер направил ему маржевое уведомление.
Решение.
При покупке одной акции инвестор использовал заемные средства в размере 16 руб. В случае падения цены акции величина собственных средств инвестора с учетом существующей задолженности должна составить 35% от стоимости акции, чтобы брокер направил ему маржевое уведомление. Поэтому цену акции можно определить из равенства:
Р-16 руб. = 0,35Р.
Отсюда: Р = 16/0,65 = 24,62 руб.
Задача 3.25.
Инвестор ведет маржинальную торговлю. Он купил акции компании А по 40 руб. за акцию, заняв у брокера 40% затраченной суммы. Через некоторое время курс акции упал до 30 руб. Определить уровень маржи, соответствующий данной цене бумаги.
Решение.
Уровень маржи рассчитывается по следующей формуле:
Уровень маржи = 
100% (3.11)
где сцб -стоимость ценных бумаг клиента;
зк – задолженность клиента перед брокером по маржинальным сделкам. Согласно формуле (3.11) уровень маржи равен:
Уровень маржи = 
100% = 46,67%.
Задача 3.26.
Инвестор ведет маржинальную торговлю. Он купил акции компании А по 60 руб. за акцию, заняв у брокера 50% затраченной суммы. Через некоторое время курс акции упал до 45 руб. Определить уровень маржи, соответствующий данной цене бумаги.
Решение.
Клиент занял у брокера для покупки акции сумму:
60*0,5 = 30ру6.
Уровень маржи = 
100% = 33,33%.
§
ЦЕННЫХ БУМАГ
Ожидаемая доходность актива
И портфеля ценных бумаг
Задача 4.1.
Данные о доходности актива за прошедшие 10 лет представлены в таблице:
| Годы | |||||||||
| Доходность (%) | -5 | -3 |
Определить ожидаемую доходность актива.
Решение.
На основе прошлых данных статистики ожидаемая доходность актива определяется как среднеарифметическая доходность ( 
):
Задача 4.2.
Данные о доходности актива за прошедшие 9 лет представлены в таблице:
Определить ожидаемую доходность актива.
Ответ.
=4,56%.
Задача 4.3.
Данные о доходности актива за прошедшие 9 месяцев представлены в таблице:
| Годы | |||||||||
| Доходность (%) | -2 | -1 |
Определить ожидаемую доходность в расчете на месяц.
Ответ.
= 4,78%.
Задача 4.4.
Инвестор полагает, что в будущем году можно ожидать следующего вероятностного распределения доходности актива.
| Доходность (%) | Вероятность (%) |
| -10 | |
| -5 | |
Определить ожидаемую доходность актива.
Решение.
Ожидаемая доходность актива определяется как среднеарифметическая взвешенная доходность. Весами выступают вероятности каждого возможного исхода.
.
Риск актива
Задача 4.17.
Доходность актива за 8 лет представлена в таблице:
| Годы | ||||||||
| Доходность (%) | -10 | -5 |
Определить риск актива, представленный показателями выборочной дисперсии и стандартного отклонения доходности.
Решение.
Выборочная дисперсия доходности актива определяется по формуле:
(4.1)
где: r1 — доходность актива в i- м периоде;
_
r — средняя доходность актива;
n – число периодов наблюдения.
Средняя доходность определяется по формуле:
Средняя доходность актива за 8 лет составила:
Выборочная дисперсия доходности актива равна:
σ 2 =(10-8)2 (14-8)2 (18-8)2 (16-8)2 (-10-8)2 (-5-8)2 (б-8)2 (15-8)2/8 = 93,75.
Стандартное отклонение доходности определяется как корень квадратный из дисперсии:
Выборочное стандартное отклонение доходности равно:
= 9,68%
Задача 4.18.
На основе данных задачи 4.17 определить, какую доходность инвестор может получить по активу через год с вероятностью
а) 68,3%,
б) 95,4%,
в) 99,7%?
Распределение доходности актива предполагается нормальным.
Решение.
Как было определено в задаче 4.17, ожидаемая доходность актива равна 8%, стандартное отклонение 9,68%.
а) С вероятностью 68,3% можно ожидать, что доходность актива через год
будет располагаться в интервале одного стандартного отклонения от ожидаемой доходности, т.е. 8 ±9,68 или:
от 8-9,68 = -1,68% до 8 9,68 = 17,68%.
б) С вероятностью 95,4% можно ожидать, что доходность актива через год
будет располагаться в интервале двух стандартных отклонений от ожидаемой
доходности, т.е. 8 ± 2∙ 9,68 или:
от 8-2∙9,68 = -11,36% до 8 2∙9,68 = 27,36%.
в) С вероятностью 99,7% можно ожидать, что доходность актива через год
будет располагаться в интервале трех стандартных отклонений от ожидаемой
доходности, т.е. 8 3∙9,68 или:
от 8-3∙9,68 = -21,04% до 8 3∙9,68 = 37,04%.
Задача 4.19.
На основе данных задачи 4.17 определить исправленную дисперсию и
стандартное отклонение доходности актива.
Решение.
Исправленная дисперсия доходности актива определяется по формуле:
(4.2)
Исправленная дисперсия доходности актива равна:
σ 2=(10-8)2 (14-8)2 (18-8)2 (16-8)2 (-10-8)2
(-5-8)2 (б-8)2 (15-8)2/(8-1) = 107,14.
Исправленное стандартное отклонение доходности составляет:
=10,35.
Задача 4.20.
Доходность актива за 10 дней представлена в таблице:
| Дни | ||||||||||
| Доходность (%) | 0,1 | 0,5 | 1,2 | -0,4 | -0,2 | -0,01 | 0,3 | 0,6 | -0,05 | 1,3 |
Определить риск актива, представленный показателями выборочной
дисперсии и стандартного отклонения доходности.
Решение.
Средняя доходность актива в расчете на день равна:
Выборочная дисперсия доходности актива в расчете на один день согласно формуле (4.1) составляет:
Стандартное отклонение доходности за один день равно:
= 0,541%.
Риск портфеля ценных бумаг
Задача 4.43.
Доходность двух активов за 8 периодов представлена в таблице:
| Периоды | ||||||||
| Доходность актива X | -5 | -3 | ||||||
| Доходность актива Y | -2 | -7 | -2 |
Определить коэффициент выборочной ковариации доходностей активов.
Решение.
Коэффициент выборочной ковариации определяется по формуле:
(4.9)
где: rxi, ryi -доходности активов Х и Yв i-м периоде;
-средняя доходность актива X;
– средняя доходность активаY;
п – число периодов наблюдения.
Определяем среднюю доходность активов:
Ковариация доходностей равна:
Задача 4.44.
На основе данных задачи 4.43 определить коэффициент корреляции доходностей
активов X и Y.
Решение.
Коэффициент корреляции определяется по формуле:
(4.10)
где: corrxv — коэффициент корреляции переменных Xи Y;
– стандартное отклонение переменой X;
– стандартное отклонение переменой Y.
Определяем дисперсии доходностей активов согласно формуле (4.1):
Стандартные отклонения доходностей равны:
Коэффициент корреляции составляет:
.
§
Модель оценки стоимости активов (САРМ)
Задача 5.1.
Ставка без риска равна 10%, ожидаемая доходность рыночного портфеля – 20%, стандартное отклонение доходности рыночного портфеля – 15% . Определить ожидаемую доходность портфеля, стандартное отклонение доходности которого составляет 30%.
Решение.
Ожидаемая доходность портфеля определяется с помощью уравнения CML:
(5.1)
где: 
– риск i-го портфеля, для которого определяется уровень ожидаемой доходности;
– ожидаемая доходность i-го портфеля;
– риск рыночного портфеля;
– ожидаемая доходность рыночного портфеля.
Согласно уравнению (5.1) ожидаемая доходность портфеля равна:
Задача 5.2.
Ставка без риска равна 8%, ожидаемая доходность рыночного портфеля – 22%, стандартное отклонение доходности рыночного портфеля — 14%. Определить ожидаемую доходность портфеля, стандартное отклонение доходности которого составляет 25% .
Решение.
СТРАТЕГИИ УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ
Механические стратегии
Задача 6.1.
Инвестор сформировал портфель из 10 акций и 30 облигаций. Стоимость одной акции и облигации равна 10 руб. Стоимостная пропорция акций и. облигаций в портфеле составляет 70/30. Инвестор планирует восстанавливать данное соотношение всякий раз при его нарушении вследствие изменения курсовой стоимости бумаг. На следующий день курс акции вырос до 11 руб.- и инвестор пересматривает портфель, чтобы восстановить стоимостную пропорцию 70/30 между бумагами. Определить новое количество акций, которое должно входить в портфель.
Решение.
Стоимость портфеля после роста курса акций составила:
70акиий 
11руб. 30облигаций 10руб. =1070руб.
Акции должны от данной суммы составить 70%, поэтому новое количество акций равно:
или 68 акций
Инвестору необходимо продать две акции и на вырученные деньги купить
облигации.
Задача 6.2.
Инвестор сформировал портфель из 6000 акций и 400 облигаций. Стоимость
одной акции 10 руб., облигации — 100 руб. Стоимостная пропорция акций и
облигаций в портфеле составляет 60/40. Инвестор планирует восстанавливать данное соотношение всякий раз при его нарушении вследствие изменения курсовой стоимости бумаг.
На следующий день цена облигации упала до 99 руб.
Инвестор восстанавливает первоначальную ценовую пропорцию между акциями и облигациями в портфеле. Определить новое количество акций и облигаций,
которое должно входить в портфель.
Решение.
Стоимость портфеля после падения цены облигаций составила:
6000акций 10руб. 40облигаций 99руб. = 99600 руб.
Акции должны от данной суммы составить 60%, поэтому новое количество
акций составит:
Новое количество облигаций в портфеле должно составить:
Инвестор продает 24 акции и на вырученные деньги покупает две облигации
Задача 6.3.
Инвестор сформировал портфель из 6000 акций и 400 облигаций стоимость одной акции 10 руб., облигации — 100 руб. Стоимостная пропорция акций и облигаций в портфеле составляет 60/40. Инвестор планирует восстанавливать
данное соотношение всякий раз при его нарушении вследствие изменения
курсовой стоимости бумаг. На следующий день цена облигации упала до 99 руб.
и акции выросла до 11 руб. Инвестор восстанавливает первоначальную ценовую
пропорцию между акциями и облигациями в портфеле. Определить новое
количество акций и облигаций, которое должно входить в портфель.
Решение.
Стоимость портфеля после падения цены облигаций и роста курса акций составила:
Новое количество акций в портфеле составит:
Новое количество облигаций в портфеле составит:
или 427 облигаций.
Инвестор продает 240 акции и покупает 27 облигаций. Если для покупки облигаций инвестор строго ограничен средствами, которые он получил от продажи акций, то он сможет купить 26 облигаций.
Дюрация и кривизна портфеля облигаций
Задача 6.6.
Доказать, что при горизонтальной структуре кривой доходности дюрация -портфеля облигаций является средневзвешенной дюрацией входящих в него облигаций. Доказательство привести для портфеля из двух облигаций.
Решение.
Цена и дюрация первой облигации равны 
и 
, второй – 
и 
.
Инвестор формирует портфель, купив первую облигацию в количестве 
,
вторую – 
штук. Цена портфеля равна:
Возьмем производную 
по r :
(6.1)
Умножим правую и левую части равенства (6.1) на 
(6.2)
Умножим и разделим первое слагаемое правой части равенства (6.2) на ,
Второе – на
(6.3)
Левая часть равенства (6.3) представляет собой дюоацию портфеля.
Выражения в скобках в правой части равенства — это соответственно дюрации
первой и второй облигаций. Поэтому можно записать:
(6.4)
Отношения 
и 
= это уд. веса облигаций в стоимости портфеля,
обозначим их через 
и 
. Равенство (6.4) принимает вид:
(6.5)
Равенство (6.5) говорит о том, что дюрация портфеля является средне-
взвешенной дюрацией входящих в него облигаций.
Задача 6.7.
Портфель состоит из трех облигаций. Цена первой 915,75 руб., второй 1000
руб., третьей 1194,25 руб. Первая облигация погашается через 5 лет, вторая 10
лет, третья 15 лет. Инвестор покупает 6 штук первой облигации, 5 второй и 4
третьей. Дюрация первой облигации равна 4,61, второй 7,8, третьей 9.75 года.
Кривая доходности имеет горизонтальную структуру. Определить дюрацию
портфеля.
Решение.
Стоимость портфеля равна:
915,75 
6 1000 5 1194,25 4=15271,5руб.
Удельные веса облигаций в портфеле равны:
Дюрация портфеля составляет:
0,36 4,61 0,33 7,8 0,31 9,75 = 7,26 года
ОЦЕНКА УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ
Задача 7.1.
Менеджер управлял портфелем в течение четырех лет. В начале первого
года в портфель инвестировали 100 млн.руб. В конце года его стоимость выросла до 105млн. руб. В начале второго года из портфеля изъяли 10 млн.руб. В конце года его стоимость составила 110 млн.руб. В начале третьего года в портфель внесли 20 млн. руб. В конце года его стоимость составила 115 млн.руб. В начале четвертого года из портфеля изъяли 5 млн.руб. В конце года его стоимость составила 120 млн. руб. Определить доходность управления портфелем в расчете на год.
Решение.
Доходность управления портфелем за первый год составила:
В начале второго года из портфеля изъяли 10 млн.руб., поэтому на второй год
менеджер начал управлять портфелем стоимостью: 105 — 10=95 млн.руб.
Доходность управления портфелем за второй год равна:
В начале третьего года в портфель внесли 20 млн.руб., поэтому на третий год менеджер начал управлять портфелем стоимостью: 110 20=130 млн.руб.
Доходность управления портфелем за третий год равна:
В начале четвертого года из портфеля изъяли 5 млн.руб., поэтому на четвертый год менеджер начал управлять портфелем стоимостью: 115-5 =110 млн.руб.
Доходность управления портфелем за четвертый год равна:
Доходность портфеля в расчете на год составляет:
или 4,08% годовых.
Задача 7.2.
Менеджер управлял портфелем в течение четырех лет. В начале первого года в портфель инвестировали 100 млн. руб. . В конце года его стоимость выросла до 110 млн. руб. В начале второго года из портфеля изъяли 20 млн. руб. В конце года его стоимость составила 100 млн. руб. В начале третьего года из портфеля изъяли 10 млн. руб, В конце года его стоимость составила 95 млн. руб. В начале четвертого года из портфеля изъяли 3 млн. руб. В конце года его стоимость составила 93 млн. руб. Определить доходность управления портфелем в расчете на год.
Решение.
Доходность портфеля в расчете на год равна:
Задача 7.3.
Менеджер управлял портфелем в течение трех лет. В начале первого года в -портфель инвестировали 50 млн. руб. В конце года его стоимость выросла до 60 млн. руб. В начале второго года из портфеля изъяли 10 млн. руб. В конце года. его стоимость составила 55 млн. руб. В начале третьего года из портфеля. изъяли 5 млн. руб. В конце года его стоимость составила 57 млн. руб. Определить доходность управления портфелем в расчете на год.
Решение.
ОПЦИОНЫ
Опционы колл и пут
Задача 11.1.
Инвестор купил европейский трехмесячный опцион колл на акцию с пеной исполнения 100 руб. за 5 руб. К моменту окончания контракта спотовая цена акции составила 120 руб. Определите финансовый результат операции для инвестора.
Решение.
Европейский опцион колл исполняется, если к моменту истечения контракта цена спот акции больше пены исполнения. Финансовый результат покупателя опциона определяется по формуле:
финансовый результат = ST – X – с , (11.1)
где ST – цена слот акции к моменту истечения контракта;
X – цена исполнения опциона;
с – премия опциона колл.
Цена слот акции больше цены исполнения, поэтому инвестор исполнил опцион. Прибыль равна:
ST – X – с = 120-100 – 5 = 15руб.
Задача 11.2.
Инвестор купил европейский трехмесячный опцион колл на акцию с пеной исполнения 100 руб. за 5 руб. К моменту окончания контракт слоговая цена акции составила 103 руб. Определите финансовый результат операции для инвестора.
Решение.
К моменту истечения контракта пена спот акции больше цены исполнения. Поэтому инвестор исполнил опцион. Согласно (11.1) финансовый результат по операции равен:
103 – 100 – 5 = –2руб.
т.e. убыток составил 2 руб.
Задача 11.3.
Инвестор купил европейский трехмесячный опцион колл на акцию с ценой исполнения 100 руб. за 5 руб. К моменту окончания контракта спотовая цена акции составила 80 руб. Определите финансовый результат операции для инвестора.
Решение.
Цена спот акции к моменту окончания контракта меньше цены исполнения. Поэтому инвестор не исполнил опцион. Убыток по операции равен уплаченной премии, т.е. 5 руб.
Задача 11.4.
Инвестор купил европейский трехмесячный опцион на акцию с ценой исполнения 100 руб. за 5 руб. К моменту окончания контракта спотовая цена акции составила 100 руб. Определите финансовый результат операции для инвестора.
Решение.
Цена спот акции к моменту окончания контракта. Поэтому инвестор не исполнил опцион. Убыток по премии, т.е. 5 руб.
Задача 11.5.
Инвестор купил европейский трехмесячный опцион колл на акцию с ценой исполнения 250 руб. за 25 руб. К моменту окончания контракта спотовая цена акции составила 266 руб. Определите финансовый результат для инвестора.
Решение.
Согласно (11.1) финансовый результат равен:
266 – 250 – 25 = –9руб.
8.2. Стоимость опционов перед моментом истечения контрактов.
Задача 11.28.
Перед истечением срока действия контракта цена опциона колл на акцию равна 5 руб., цена исполнения – 100 руб., цена спот акции – 100руб. Определить, возможен ли арбитраж и величину арбитражной прибыли.
Решение.
Непосредственно перед истечением срока действия контракта стоимость европейского и американского опционов колл может принимать только два значения. Если S ≤ X (где S – цена спот базисного актива к моменту истечения контракта, X – цена исполнения опциона), то премия равна нулю, поскольку покупка опциона не принесет инвестору выигрыша. Если S > X , то премия должна равняться его внутренней стоимости, т.е.:
S – X. (11.7)
При нарушении данного условия возникает возможность совершить арбитражную операцию.
Цена опциона должна составить:
S – X = 110 – 100 = 10руб.
Поскольку премия опциона равна 5 руб., то условие (11.7) нарушено, опцион недооценен. Арбитражная прибыль равна:
10 – 5 = 5руб.
Задача 11.29.
Перед истечением срока действия контракта цена опциона колл на акцию равна 10 руб., цена исполнения – 100 руб., цена спот акции – 112 руб. Определить величину арбитражной прибыли и перечислить действия арбитражера.
Решение.
Внутренняя стоимость опциона равна:
112 – 100 = 12руб.
Условие (11.7) нарушено, так как внутренняя стоимость опциона больше его премии. Арбитражер покупает опцион за 10 руб., так как он стоит дешевле чем должен стоить, и осуществляет короткую продажу акции на спотовом рынке за 112 руб. Исполняет опцион, т.е. приобретет акцию по контракту за 100 руб., и возвращает ее кредитору. Его выигрыш равен:
–10 112 – 100 = 2руб.
Задача 11.30.
Перед истечением срока действия контракта цена опциона колл на акцию равна 14 руб., цена исполнения – 10 руб., цена спот акции – 112 руб., Определить
[1] Данную величину также часто называют доходностью к погашению.
