Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6 Надежные вклады

Задачник по макроэкономике – решение задачи 1


Подборка по базе: 4 ДЗ«Ситуационные задачи по уголовному праву».docx, 3. СИТУАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ И ЭТАЛОНЫ.docx, ~$ Задачи 5.doc, ситуционные задачи.docx Ерназарова Зарина 734 группа.docx, Ссылка на транспортные задачи.docx, Рома задачи экономика.docx, Типовые задачи на расчёт показателей.pdf, Грыжи_ситуационные задачи.docx, 2109 задачи.docx, Фучеджи РимПраво Задачи.docx


Задачи по макроэкономике:

Задача № 1
Приводится список компонентов ВНП в млрд. долларов за один год. Необходимо
рассчитать ВНП, ЧНП и НД как по потоку расходов, так и по потоку доходов.
Исходные данные:
а) личные потребительские расходы 245
б) трансфертные платежи 12
в) арендная плата 14
г) амортизация 27
д) взнос на социальное страхование 20
е) проценты 13
ж) доходы от собственности 31
з) чистый экспорт 3
и) дивиденды 16
к) заработная плата наемных рабочих 221
л) косвенные налоги на бизнес 18
м) нераспределенные прибыли корпораций 21
н) индивидуальные налоги 26
о) подоходные налоги с корпораций 19
п) прибыли корпораций 56
р) государственные закупки товаров и услуг 72
с) чистые частные внутренние инвестиции 33
т) личные сбережения 16
Решение задачи 1.

ВНП(по сумме расходов) = потребительские расходы валовые частные инвестиции(чистые инвестиции амортизация) гос. расходы чистый экспорт.
ВНП = 245 33 27 72 3=380 млрд.долларов
ВНП(по сумме доходов)=зарплата рабочих прибыль предпринимателя процент рентные платежи амортизация косвенные налоги на бизнес
ВНП=221 56 13 14 18=322 млрд.долларов
ЧНП=ВВП-А=322-27=295 млрд.долларов
НД=ЧНП-косвенные налоги=295-18=277 млрд.долларов

Задача № 2
Все население составляет 500 человек. 120 человек – это дети до 16 лет и люди,
находящиеся в психиатрических больницах и исправительных учреждениях. 150 человек
выбыли из состава рабочей силы. Безработные – 23 человека. Рабочие, занятые неполный
день, и ищущие работу – 10 человек. Рассчитайте:
а) величину рабочей силы
б) официальный уровень безработицы
Решение задачи 2.
Величина рабочей силы равна: все население страны минус дети, псих.больные минус выбывшие из состава раб. силы (скорее всего пенсионеры) минус занятые неполный день (фактически они работают). 10 человек (ищущие работу) мы не учитываем, вследствие того, что они могут искать новую работу, не уйдя со старой (потенциальная раб. сила)
Получаем:
500-120-150=230 человек – рабочая сила.
Тогда официальный уровень безработицы равен:
23:230=0,1 или 10%,
что, безусловно, многовато для нормальной страны (норма 5-7%)

Задача3.

Сопоставить размеры инвестиций и сбережений, сделать выводы:
Наименование показателя

1. Трансфертные платежи 7,0
2. Валовые внутренние инвестиции 22,4
3. Косвенные налоги на бизнес (НДС, акцизы, импортные пошлины) 10,5
4. Чистый экспорт -0,6
5. Нераспределенная прибыль 2,2
6. Амортизация 4,2
7. Личные потребительские расходы 66,3
8. Налоги на прибыль корпораций 0,3
9. Взносы на социальное страхование 1,0
10. Государственные закупки товаров и услуг 6,6
Решение задачи 3.

Сбережения = Доход – Личные потребительские расходы;
Доход = ВНП = Личные потребительские расходы Валовые внутренние инвестиции Государственные закупки товаров и услуг Чистый экспорт = 66,3 22,4 6,6 – 0,6 = 94,7.
Сбережения = 94,7 – 66,3 =13,7.
Инвестиции превышают сбережения.

4) Спрос домашних хозяйств на отечественные блага характеризуются функцией С = 0,5у 50, а спрос предпринимателей на инвестиции задан формулой I = 400 – 50i. Государство закупает 100 ед. Вывести уравнение линии IS.

Решение:
Линия IS— совокупность сочетаний у, i, соответствующих равновесию на рынке благ, выводится из равенства

y = C I G;
у = 50 0,5у 400 – 50 i 100 =>у = 1100- 100 i.
5) В экономике без участия государства и заграницы функции сбережений и инвестиций имели соответственно следующий вид:
S= 0,5y – 50; I= 175 – 25i.
С появлением государства была введена постоянная ставка подоходного налога 10% и все собранные налога расходовались им на покупку благ. Функция сбережений тогда приобретает вид:
S = 0,5yv – 50.
Определить линию IS до и после появления государства: а) аналитически; б) графически.

Решение:
а) Исходное уравнение линии IS определяется из следующего равенства:
0,5у – 50 = 175 – 25i => у = 450 – 50i. С появлением государства условие равновесия на рынке благ принимает вид: S Т= I G. Согласно условиям задачи
0,5(y – 0,1y) – 50 0,1y = 175 – 25i 0,1y => y = 500 – 55,56i.

б)

На рынке благ установилось равновесие при у=1000.

6) Изменится ли равновесное значение НД и почему в результате следующих мероприятий правительства: а) повышения ставки подоходного налога с 20 до 25 % и одновременного увеличения государственных расходов со 150 до 200 ед.; б) сокращения на 15 ед. субвенции и увеличения на 15 ед. закупки благ.

Решение:
а) Национальный доход увеличится, так как мультипликатор государственных расходов больше налогового мультипликатора. Поэтому прирост вследствие повышения госрасходов (Δy(ΔG)) будет больше, чем снижение из-за роста ставки налога (Δу(ΔТу)).

По абсолютной величине (1) > (2).

б) Национальный доход возрастет, так как уменьшение субвенций сократит потребительский спрос на 15  , а спрос государства увеличится на 15 ед.

7) При С = 0,6yv; I = 120; G = 100; Tу = 0,25 на рынке благ установилось равновесие, но существующие производственные мощности позволяют увеличить НД в 1,25 раза.
Как государство должно изменить расходы на покупку благ и (или) ставку подоходного налога, чтобы обеспечить полное использование  производственных мощностей при сбалансированности государственного бюджета?

Решение:
у = 0,6(у – 0,25у) 120 100 => у = 400.
Следовательно, yF = 400 х 1,25 = 500.

Дальнейший ход решения основывается на теории Хаавельмо.

8) В экономике без участия государства и заграницы объем автономных инвестиций равен 50 ед., а функция сбережений имеет вид: S = 0,2у – 100. При полном использовании производственного потенциала величина НД достигает 1000 ед.
1.  Как посредством участия государства в экономике обеспечить производство на уровне НД полной занятости при условии, что: а) все государственные расходы должны осуществляться за счет налогов, взимаемых по прямой (единой) ставке подоходного налога; б) предельная склонность к сбережению от располагаемого дохода остается равной 0,2.
2. На сколько при этом возрастет НД?

Решение

1. В исходных условиях равновесная величина НД определяется из следующего равенства:
0,2у – 100 = 50=> у* = 750.

С появлением государства, осуществляющего закупку благ в объеме собираемых налогов, равновесие на рынке благ устанавливается при

Поскольку

то в условиях задачи полная занятость будет обеспечена при
1000 = 0,8(1000 – 1000Ту) 50 1000 Ту, => Ту = 0,25
т.е. государство должно ввести 25%-ной подоходный налог и закупить 250 ед. благ.

2. Точно на такую же величину увеличится НД

9)Объем потребления домашних хозяйств определяется по формуле: С= 20 0,6у, предприниматели постоянно осуществляют инвестиции в размере 30 ед. Определить, как повлияет на величину равновесного НД прирост автономных сбережений на 5 ед.? Как объяснить такое изменение?

Решение:
В исходных условиях S= у – 20 – 0,6у = -20 0,4у.
Из условия равновесия на рынке благ определим величину НД:
у = 20 0,6у 30 => у* =125.
При увеличении автономных сбережений на 5 ед. функция сбережений принимает вид S = -15 0,4у.
Тогда у = 15 0,6у 30 => у* =112,5.
Таким образом, НД сократится на 12,5 ед.
Наблюдается «парадокс сбережений». Он объясняется тем, что с увеличением автономных сбережений на 5 ед. на столько же сократилось автономное потребление. Так как в условиях задачи мультипликатор равен 1/( 1 – 0,6) = 2,5, то при снижении автономного потребления на 5 ед. НД сократится на 5*2,5 = 12,5 ед.

10) Дано: S = 0,25y -10; I= 30.

Определить: а) при какой величине НД на рынке благ будет равновесие; б) равновесный НД и объем сбережений, если, ожидая снижения дохода в будущем, домашние хозяйства при каждом уровне текущего дохода увеличат сбережения на 10 ед.; в) то же, что и в «б», если предприниматели, ожидая в будущем снижения спроса, сократят инвестиции до 20 ед.

Решение

а)  Из условия равновесия на рынке благ (I = S) следует, что
0,25у- 10 = 30  => у = 160.

б)  В этих условиях S = 0,25у, поэтому 0,25у = 30 => у* = 120;
S * = 0,25*120 = 30.

в) 0,25у = 20 => у* = 80; S * = 0,25*80 = 20.
11) Функция потребления домашних хозяйств C = 40 0,75 yv.
Определить объем сбережений, если ставка подоходного налога равна 20 % и общий доход домашних хозяйств равен 300 ед.

Решение:
Поскольку S = yv – C, а yv = y – Tyy = 300 – 0,2·300 = 240

то

S = 240 – 40 – 0,75· 240 = 20.
12) Дана функция потребления C = 0,7yν 50. Представить объем сбережений в виде функции от дохода до налогообложения, если ставка подоходного налога равна 13 %.

Решение:
По определению Cy = Cyv(1-Ty)

В условиях задачи Сy = 0,7 0,87 = 0,609.
Поэтому S = y – C = y – 50 – 0,609y = –50 0,261y.
13) Даны следующие показатели, ден. ед.: НД — 500; располагаемый доход — 410; превышение косвенных налогов над субсидиями предпринимательскому сектору — 20; потребление домашних хозяйств — 380; дефицит торгового баланса (превышение импорта над экспортом) — 10.
Определить:
а) объемы сбережений и чистых инвестиций;
б) государственные расходы;
в) сумму прямых налогов, если дефицит государственного бюджета равен 10.

Решение:
а) В соответствии с СНС In = S. Так как S = yv – C = 410 – 380 = 30,
то и In = 30.

б) Теперь чистый экспорт можно определить как остаточную величину статей использования НД
G = y – C – In (E – Z) = 500 – 380 – 30 – 10 = 80.

в) Поскольку чистые косвенные налоги равны 20, а дефицит госбюджета (- 10), то прямые налоги равны
T = G – Tкос δ= 80 – 20 – 10 = 50.

14) Даны следующие показатели, ден. ед.: ВНП — 480; объем валовых инвестиций — 80; объем чистых инвестиций — 30; объем потребления домашних хозяйств — 300; государственные расходы — 96; избыток государственного бюджета — 3.
Определить:
а) ЧНП;
б) чистый экспорт (NE);
в) располагаемый доход домашних хозяйств, их объем сбережений.

Читайте также:  Вклады в Москве максимальная ставка 10% на сегодня 21.11.2021 | Банки.ру

Решение:
а) ЧНП отличается от ВНП на величину амортизации. На эту же величину отличаются валовые и чистые инвестиции.
Следовательно,
D = Ibr– In = 80 – 30 = 50
тогда ЧНП = 480 – 50 = 430.
Так как в условиях задачи нет косвенных налогов и субвенций, то
ЧНП = НД = 430.

б) Теперь чистый экспорт можно определить как остаточную величину
NE = y – C – In – G = 430 – 300 – 30 – 96 = 4.

в) Для определения располагаемого дохода домашних хозяйств нужно из НД вычесть прямые налоги. Определим их по формуле
δ= G – T , отсюда
(— 3) = 96 – T
T = 99.
Следовательно, yv = 430 – 99 = 331. Поскольку yv = C S, то
S = 331 – 300 = 31.

15) Проанализируйте, каким образом следующие изменения отразятся на кривой равновесия платежного баланса при отсутствии мобильности капитала:

а) рост цен за рубежом,
б) повышение мировой ставки процента,
в) падение выпуска за рубежом.

Решение:
а) При отсутствии мобильности капитала равновесие платежного баланса эквивалентно равновесию торгового баланса. Рост цен за рубежом означает, что отечественные товары стали относительно дешевле и, значит, конкурентоспособнее на мировом рынке. В результате (при выполнении условия Маршалла-Лернера) увеличится чистый экспорт. Для восстановления равновесия платежного баланса необходимо вернуть торговый баланс в равновесие (поскольку нет мобильности капитала). Это возможно лишь при увеличении внутреннего выпуска. Таким образом, выпуск при каждой ставке процента должен возрасти, то есть кривая платежного баланса сдвинется вправо, как показано на рисунке.

б) Поскольку движение капитала отсутствует, а торговый баланс не зависит от ставки процента, то изменение мировой ставки процента не повлияет на положение кривой платежного баланса.

в) Падение выпуска за рубежом приведет к снижению спроса на экспорт и падению чистого экспорта. В результате возникнет дефицит торгового баланса. Для восстановления равновесия необходимо, чтобы вырос наш импорт, а это возможно при падении выпуска. Таким образом, кривая платежного баланса сдвинется влево.

16. Исходные данные:
С = 1600 0,8Yd;
G = 800;
I = 420;
Т = 750;
Yd = ВНП – Т;
Т – G =В;
X – M = 0.
Задание: Рассчитать:
– равновесный ВНП;
– мультипликатор государственных расходов;
– влияние на величину ВНП прироста налогов на 10 долл.
Решение:
1) Равновесный уровень ВНП будет достигаться в случае равенства ВНП, рассчитанного по доходам, и ВНП, рассчитанного по расходам. То есть:
ВНПр = С I G;
ВНПд = Yd Т;
ВНПр = ВНПд;
С I G = Yd Т.
Отсюда,
1600 0,8Yd 420 800 = Yd 750. Далее: 1600 420 800 – 750 = Yd – 0,8Yd; 2070 = 0,2Yd; Yd = 2070 / 0,2 = 10350.
ВНПравн = 10350 750 = 11100.
2) Мультипликатор государственных расходов = 1 / (1 – MPC),
где MPC – предельная склонность к потреблениюю
MPC = ?C/ ?Yd,
Пусть Yd1 = 10350, Yd2 = 12000. Тогда, С1 = 1600 0,8*10350 = 9880, С2 = 1600 0,8*12000 = 11200. В результате MPC = (11200 – 9880) / (12000 – 10350) = 1320 / 1650 = 0,8.
Таким образом, мультипликатор государственных расходов составляет 1 / (1 – 0,8) = 1 / 0,2 = 5.
3) В случае прироста налогов на 10 долл. Их величина составит Т = 760. Отсюда рассчитаем ВНП:
1600 0,8Yd 420 800 = Yd 760. Далее: 1600 420 800 –
760 = Yd – 0,8Yd; 2060 = 0,2Yd; Yd = 2060 / 0,2 = 10300.
?ВНП = 10300 – 10350 = – 50 долл.
Таким образом, прирост налогов на 10 долл. обусловил снижение равновесного уровня ВНП на 50 долл.
17) Известны следующие показатели национального хозяйства:

ВНП 1000

потребление домашних хозяйств 500

чистые инвестиции частного сектора 200

государственные закупки 150

прямые налоги 70

косвенные налоги 30

субвенции 50

экспорт 300

импорт 250

Определить:

а) величину амортизационного фонда;

б) состояние государственного бюджета.

РЕШЕНИЕ:

а) Определим величину национального дохода (НД). С одной стороны, он равен сумме потребления домашних

хозяйств, частных инвестиций, государственных закупок и сальдо внешней торговли: НД = 500 200 150

(300 – 250) = 900.

С другой стороны, он равен сумме ВНП и субвенций за вычетом косвенных налогов и амортизационного

фонда (АФ): НД = 1000 50 – 30 – АФ = 900.

Отсюда АФ = 1000 50 – 30 – 900 = 120.

б) Доходы государственного бюджета складываются из налогов (30 70 = 100), расходы — объемов

государственных закупок (150).

Состояние государственного бюджета характеризуется дефицитом 150 – 100 = 50.

18) Известны следующие показатели национального хозяйства:

ВНП 1000

потребление домашних хозяйств 600

чистые инвестиции частного сектора 100

валовые инвестиции частного сектора 250

государственные расходы 100

избыток государственного бюджета 10

Определить:

а) ЧНП;

б) располагаемый доход домашних хозяйств;

в) сбережения домашних хозяйств;

г) сальдо внешней торговли.

РЕШЕНИЕ:

а) ВНП превышает ЧНП на величину превышения валовых инвестиций над чистыми, так что ЧНП = 1000 –

(250 – 100) = 850.

б) ЧНП равен сумме располагаемого дохода домохозяйств и государственных доходов, так что располагаемый

доход домохозяйств определяется величиной

850 – (100 10) = 740.

в) Доход домохозяйств есть сумма их сбережений и потребительских расходов, так что величина сбережений

равна 740 – 600 = 140.

г) Величина ЧНП отличается от суммы потребительских расходов, государственных расходов и чистых

инвестиций на величину сальдо внешней торговли. Поэтому сальдо внешней торговли равно 850 – (600

100 100) = 50, т. е. экспорт превышает импорт на 50.
19) В закрытой экономике поведение субъектов описывается следующими соотношениями:

потребление C связано с располагаемым национальным доходом y0 соотношением: C = 0,75y0 60;

инвестиции I связаны с национальным доходом y равенством: I = 0,1y 20;

ставка подоходного налога t = 0,2;

государственные доходы совпадают с государственными расходами.

Найти величину равновесного национального дохода.

РЕШЕНИЕ:

При отсутствии внешней торговли равновесный национальный доход достигается при равенстве y = C I G,

где G — государственные расходы, по условию равные государственным доходам, G = t

Применение интеграла в экономике

4.1) Найти излишек потребителя, если кривая спроса задана уравнением P=40-4Q2, а равновесное количество товара Q равно 2.

4.2) Определить добавочную выгоду производителя PS, если кривая предложения имеет вид P=10 8Q3, а точка равновесия между спросом и предложением достигается при количестве товара Q=5.

4.3) Заданы чистые инвестиции I(t)=10000 Лабораторная работа 6 . Определить приращение капитала за 5 лет.

4.4) Функция, задающая инвестиции остается прежней (см. условие задачи 3). Через сколько лет приращение составит 80000?

4.5) Вычислить начальный вклад P, если выплаты должны составлять 200 ед. в течение 5 лет, а процентная ставка равна 3.

4.6) Предельные издержки описываются формулой Лабораторная работа 6 . Записать формулу издержек, зная, что постоянные издержки равны 80.

4.7) Записать вид экономической функции, если её предельный величина описывается формулой Лабораторная работа 6 .

4.8) Найти излишек потребителя, если кривая спроса задана уравнением P=1000-10Q4, а равновесное количество товара Q=3.

4.9) Определить добавочную выгоду производителя, если кривая предложения имеет вид P=40Q3 80, а точка равновесия между спросом и предложением достигается при количестве товара Q=100.

4.10) Чистые инвестиции заданы формулой Лабораторная работа 6 . Определить приращение капитала за 4 года.

4.11) Лабораторная работа 6 – функция, задающая инвестиции. Через сколько лет приращение составит 2000?

4.12) Вычислить начальный вклад P, если выплаты должны составлять 300 ед. в течение 2 лет, а процентная ставка равна 5.


Дополнительные задания для самостоятельного решения

1.Найти неопределенный интеграл.

1. а) Лабораторная работа 6 ; б) Лабораторная работа 6 .

2. а) Лабораторная работа 6 ; б) Лабораторная работа 6 .

3. а) Лабораторная работа 6 ; б) Лабораторная работа 6

4. а) Лабораторная работа 6 ; б) Лабораторная работа 6 .

5. а) Лабораторная работа 6 ; б) Лабораторная работа 6 .

6. а) Лабораторная работа 6 ; б) Лабораторная работа 6 .

7. а) Лабораторная работа 6 ; б) Лабораторная работа 6 .

8. а) Лабораторная работа 6 ; б) Лабораторная работа 6 .

9. а) Лабораторная работа 6 ; б) Лабораторная работа 6 .

10. а) Лабораторная работа 6 ; б) Лабораторная работа 6

2.Найти площадь фигуры, образованной линиями:

1. Лабораторная работа 6 , Лабораторная работа 6 .

2. Лабораторная работа 6 , Лабораторная работа 6 .

3. Лабораторная работа 6 , Лабораторная работа 6 .

4. Лабораторная работа 6 , Лабораторная работа 6 .

5. Лабораторная работа 6 , Лабораторная работа 6 .

6. Лабораторная работа 6 , Лабораторная работа 6 .

7. Лабораторная работа 6 , Лабораторная работа 6 .

8. Лабораторная работа 6 , Лабораторная работа 6 .

9. Лабораторная работа 6 , Лабораторная работа 6 .

10. Лабораторная работа 6 , Лабораторная работа 6 .

Матрицы и определители.

Определение матрицы

1. Матрицей называется прямоугольная таблица элементов. Обозначаются матрицы заглавными латинскими буквами.

Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6 , Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6

m x n – размер матрицы.

m = n – матрица – квадратная.

Квадратная матрица, имеющая единицы по главной диагонали и остальные элементы, равные нулю, называется единичной и обозначается буквой E или I.

Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6

Матрица может иметь только одну строку (матрица-строка) или только один столбец (матрица-столбец).

Вектор – столбец m x 1 Лабораторная работа 6

Вектор – строка 1 x n Лабораторная работа 6

Операция, при которой меняются местами строки и столбцы A с сохранением порядка элементов называется транспонированием.

Лабораторная работа 6 ; Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6 ; Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6

Для симметричных матриц Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6

Две матрицы, имеющие одинаковые размеры называются равными тогда и только тогда, когда равны их соответственные элементы.

Действия над матрицами.

1) Лабораторная работа 6 Лабораторная работа 6 = Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6 ; Лабораторная работа 6

2) kA=C; Лабораторная работа 6

Сложение и умножение на число являются линейными операциями. Они не меняют размеров матрицы.

3) Введём операцию умножения:

Лабораторная работа 6

Правило “строка на столбец”.

Умножение двух матриц A и B возможно только тогда, когда число столбцов матрицыA равно числу строк матрицыB.

Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6 = Лабораторная работа 6 ;

Лабораторная работа 6

Обратная матрица.

Пусть A – квадратная матрица. Единственная матрица Лабораторная работа 6 от умножения которой на матрицу A как слева, так и справа получается единичная матрица E, называется матрицей, обратной для матрицы A.

Лабораторная работа 6 ·A=A· Лабораторная работа 6 =E

§

Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6 , где Лабораторная работа 6 , Лабораторная работа 6 , Лабораторная работа 6

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) совместна, если имеет хотя бы одно решение и несовместна, если не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более чем одно решение.

Система называется однородной, если все элементы столбца свободных членов b1, b2 … bn равны нулю и неоднородной, если хотя бы один этих элементов отличен от нуля.

Для решения СЛАУ с квадратной матрицей коэффициентов разработан ряд методов. Рассмотрим метод определителей (формула Крамера), матричный метод и метод Гаусса:

4.1.1. Метод определителей (формула Крамера)

Пусть система

Лабораторная работа 6

имеет квадратную матрицу коэффициентов, определитель которой не равен нулю. Тогда система имеет единственное решение, которое по формулам Крамера записывается:

Лабораторная работа 6 , Лабораторная работа 6 , … , Лабораторная работа 6 ,

где Лабораторная работа 6 – определитель матрицы коэффициентов системы А, а Лабораторная работа 6 , Лабораторная работа 6 , … , Лабораторная работа 6 – определители замещения, которые получаются, когда в матрице А столбец, содержащий соответствующую переменную, заменяется столбцом свободных членов.

Читайте также:  Тинькофф Инвестиции. Экзамен. Ответы на вопросы

Пример.

Лабораторная работа 6

Решение.

Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6 , Лабораторная работа 6 , Лабораторная работа 6


Проверка

Лабораторная работа 6

Метод определителей позволяет решать системы только с квадратной матрицей коэффициентов при условии, что Лабораторная работа 6 .

4.1.2. Матричный метод (математический метод, метод обратнойматрицы)

Пусть система

Лабораторная работа 6

Имеет квадратную матрицу коэффициентов, определитель которой не равен нулю. Тогда система имеет единственное решение, которое представляется в следующем виде:

Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6

Матричный метод позволяет решать системы только с квадратной матрицей коэффициентов при условии, что Лабораторная работа 6 .

Пример.

Лабораторная работа 6

Решение.

Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6

4.1.3. Метод Гаусса (универсальный метод)

Метод Гаусса позволяет решать системы не только с квадратной, но и с прямоугольной матрицей коэффициентов, а также позволяет решать системы, когда определитель матрицы Лабораторная работа 6 . Метод Гаусса основан на следующих эквивалентных преобразованиях системы уравнений:

Ø Перестановка уравнений в системе;

Ø Умножение любого уравнения на любое число, отличное от нуля;

Ø Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число;

Ø Отбрасывание уравнений, в которых все коэффициенты и свободный член равны нулю.

Цель преобразований:

Свести матрицу к ступенчатому виду и последовательно, методом обратного хода, начиная с последней строки записать решение системы.

Метод Жордана – Гаусса:

Свести исходную систему уравнений к равносильной системе с единичной матрицей коэффициентов.

Пример 1.

Лабораторная работа 6

Решение (метод Гаусса):

Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6

Метод Жордана – Гаусса:

Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6

Пример 2.

Лабораторная работа 6

Решение (Метод Гаусса):

Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6

Метод Жордана – Гаусса:

Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6

§

Система m линейных уравнений с n переменными называется системой линейных однородныхуравнений, если все их свободные члены равны нулю.

Лабораторная работа 6

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере, нулевое (тривиальное) решение (0;0;…;0).

Если в системе (2) m=n, а её определитель отличен от нуля, то такая система имеет только нулевое решение, как это следует из теоремы и формул Крамера.

Ненулевые решения, возможны лишь для таких систем линейных однородных уравнений, в которых число уравнений меньше числа переменных или, когда m=n, но определитель системы равен нулю.

Иначе: система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. Лабораторная работа 6 .

Обозначим решение системы

Лабораторная работа 6 , Лабораторная работа 6

в виде строки Лабораторная работа 6 .


Свойства решений системы линейных однородных уравнений.

1. Если строка Лабораторная работа 6 -решение системы, то и строка Лабораторная работа 6 -также решение этой системы.

2. Если строки Лабораторная работа 6 и Лабораторная работа 6 -решения системы (2), то при Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6 и Лабораторная работа 6 их линейная комбинация Лабораторная работа 6 -так же решение этой системы.

Из свойств следует, что всякая линейная комбинация решений системы линейных однородных уравнений также является решением этой системы.

Определение. Система линейно независимых решений Лабораторная работа 6 называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений Лабораторная работа 6 .

Теорема: Если ранг матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений (2) меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы (2) состоит из n-r решений.

Поэтому общее решение системы (2) линейных однородных уравнений имеет вид:

Лабораторная работа 6 ,

где Лабораторная работа 6 – любая фундаментальная система решений, Лабораторная работа 6 -произвольные числа, Лабораторная работа 6 .

Пример решения задач.

Пример. Найти фундаментальную систему решений системы линейных однородных алгебраических уравнений.

Лабораторная работа 6

Такая система совместна всегда, так как имеет тривиальное решение (0; 0; 0; 0; 0).

Решение.

Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6 система имеет множество решений.

Лабораторная работа 6 система имеет три свободные переменные

Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6 – базисные переменные, Лабораторная работа 6 , Лабораторная работа 6 , Лабораторная работа 6 – свободные переменные

Условия для нахождения фундаментальных решений:

Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6

1)

Лабораторная работа 6

2)

Лабораторная работа 6

3)

Лабораторная работа 6

Данные строки – Лабораторная работа 6 , Лабораторная работа 6 , Лабораторная работа 6 (векторы) – образуют фундаментальную систему решений данной системы линейных однородных алгебраических уравнений.

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ

Расчетная работа № 1.

Обработка экспериментальных данных

Методом наименьших квадратов

Основные положения

При обработке данных экспериментов возникает необходимость определения закономерности их изменения:

– представление в виде какой-либо функциональной зависимости с целью исследования и прогнозирования характера и протекания процесса;

Из методов построения эмпирической прямой наиболее обоснован и распространён метод наименьших квадратов, заключающийся в следующем:

– из множества функциональных зависимостей определённого вида выбирается та, для которой сумма квадратов отклонений экспериментальных значений от теоретических (вычислительных) является наименьшей.
Впервые этот метод предложил Гаусс.

§

Пусть данные опыта представляют собой некоторое кол-во n-точек с координатами (xi;yi), (i= 1; 2; …; n)

Если в таблице участвуют две величины, то получают зависимость в видефункции одной переменной y(x) или x(y).

Лабораторная работа 6

Удобно изображать эти процессы графически

Можно этот набор точек попытаться описать прямой типа (y=ax b), можно считать, что это часть параболы (y=ax2 bx c), степенно-показательной (y=beax) или обобщённо-степенной (y=bxa) функции.

Лабораторная работа 6

Согласно методу наименьших квадратов, параметры функции f(x) следует выбирать так, чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей, а значит минимизировались отклонения статистических данных от теоретических.

Этот метод постоянно используется в статистике, эконометрике, в финансовой математике и т.д.

Часто такой метод называют получением уравнений регрессии методом наименьших квадратов по сущности вычислительной процедуры. Это классическая задача дифференциального исчисления.

Рассмотрим применение данного метода для получения эмпирических формул на примере линейной функции y=ax b

Пусть принято решение искать эмпирическую формулу в виде линейной функции.

Лабораторная работа 6 Очевидно, что в искомом уравнении линейной функции y=ax b неизвестными являются коэффициенты a и b, при этом их значение должно обеспечить минимальное суммарное отклонение экспериментальных данных от теоретических, т.е. обеспечить прохождение прямой наиболее близко ко всем экспериментальным точкам. Данная цель достигается при минимальной величине суммы квадратов отклонений.

При этом a и b являются переменными.

Определим функцию Лабораторная работа 6

Для нахождения экстремума функции 2-х переменных необходимо найти частные производные данной функции по каждой переменной, приравнять их к нулю, и решив полученную систему двух уравнений, определить критические значения a и b.

Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6

После преобразований получим следующую систему

Лабораторная работа 6

Найденные значения a и b соответствуют min функции S .

Расчет значений известных величин, входящих в уравнения системы, удобно вести с помощью таблиц.

Лабораторная работа 6

Подставляя найденные значения коэффициентов при a и b в систему уравнений, получаем значения неизвестных a и b. Таким образом эмпирическая формула будет найдена.

Графиком её является прямая, проходящая наиболее близко ко всем экспериментальным точкам.

Рассмотрим функцию вида у=bxa (обобщенно-степенная функция)

Прологарифмируем её.

Лабораторная работа 6

Теперь линейное уравнение рассмотрим не для табличных значений, а для их логарифмов:

Расчет значений, входящих в уравнения системы, удобно вести с помощью таблиц.

Рассмотрим функцию вида у=beax (степенно-показательная функция)

Прологарифмируем её:

Лабораторная работа 6

Теперь линейное уравнение рассмотрим не для табличных значений, а для их логарифмов:

Расчет значений, входящих в уравнения системы, удобно вести с помощью таблиц.

§

Протабулируем данные:

Лабораторная работа 6

Найдем соответствующее отклонение от заданных точек:

Лабораторная работа 6

Сравнив отклонения, можно сделать вывод, какая функция лучше подходит.

Расчетная работа № 2.

Матрицы. Определители.

Решение систем линейных алгебраических уравнений.

Часть 1

1. Выполнить сложения матриц разных размеров.

2. Выполнить умножение матриц:

1) Прямоугольных матриц

2) Квадратных матриц

3. Посчитать определитель всеми способами ( правило треугольника, правило Сарриуса, универсальный метод (через миноры)).

4. Найти обратную матрицу и выполнить проверку.

Часть 2

5. Решить систему линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов:

1) Метод определителей (Формулы Крамера)

2) Матричный метод

3) Метод Гаусса

4) Метод Жордана-Гаусса.

Часть 3

6. Решить систему с прямоугольной матрицей коэффициентов:

1) Найти общее решение, задать его параметрически

2) Найти все базисные решения этой системы.

7. Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы линейных однородных алгебраических уравнений.

Расчетная работа № 3 (дополнительная).

Приближенные вычисления определенных интегралов.

Разбивая отрезок интегрирования на 10 равных частей, а затем на 20 частей, найти приближенно интегралы Лабораторная работа 6 иЛабораторная работа 6 .Определить точность с помощью разности Лабораторная работа 6 .

Лабораторная работа 6

а) по формуле трапеций;

б) по формуле Симпсона.


Решение. Имеем подинтегральную функцию Лабораторная работа 6 . Составим вспомогательную таблицу

Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6Лабораторная работа 6 При делении на 10 частей
Лабораторная работа 6
При делении на 20 частей
Лабораторная работа 6
-1Лабораторная работа 6 2,23607Лабораторная работа 6 2,23607
-0,5 0,25 4,25  Лабораторная работа 6 2,06155
Лабораторная работа 6 2,0Лабораторная работа 6 2,0
0,5 0,25 4,25  Лабораторная работа 6 2,06155
Лабораторная работа 6 2,23607Лабораторная работа 6 2,23607
1,5 2,25 6,25  Лабораторная работа 6 2,5
Лабораторная работа 6 2,82843Лабораторная работа 6 2,82843
2,5 6,25 10,25  Лабораторная работа 6 3,20216
Лабораторная работа 6 3,60555Лабораторная работа 6 3,60555
3,5 12,25 16,25  Лабораторная работа 6 4,03113
Лабораторная работа 6 4,47214Лабораторная работа 6 4,47214
4,5 20,25 24,25  Лабораторная работа 6 4,92443
Лабораторная работа 6 5,38516Лабораторная работа 6 5,38516
5,5 30,25 34,25  Лабораторная работа 6 5,85235
Лабораторная работа 6 6,32456Лабораторная работа 6 6,32456
6,5 42,25 46,25  Лабораторная работа 6 6,80074
Лабораторная работа 6 7,28011Лабораторная работа 6 7,28011
7,5 56,25 60,25  Лабораторная работа 6 7,76209
Лабораторная работа 6 8,24621Лабораторная работа 6 8,24621
8,5 72,25 76,25  Лабораторная работа 6 8,73212
Лабораторная работа 6 9,21954Лабораторная работа 6 9,21954

а) По формуле трапеций.

При делении на 10 частей:

Лабораторная работа 6

При делении на 20 частей

Лабораторная работа 6

Точность вычислений оценивается с помощью разности: Лабораторная работа 6

б) По формуле Симпсона.

При делении на 10 частей:

Лабораторная работа 6

При делении на 20 частей

Лабораторная работа 6

Точность вычислений оценивается с помощью разности: Лабораторная работа 6

Известно, что при одинаковом числе точек разбиения формула Симпсона дает более точный результат.

ЛИТЕРАТУРА

1. Практикум по высшей математике для экономистов. Учеб. Пособие для вузов. /Кремер Н.Ш., Тришин И.М., Путко Б.А. и др.; Под ред. Н.Ш.Кремера. – М. ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 403 с.

2. Математика: учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям /Под ред. Горлача Б.А. Учебное пособие: – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006.-911 с. – Допущ.Мин-м образования и науки РФ.

3. Высшая математика для экономистов. Учебник для вузов /Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

4. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике. Учебник: В 2-х ч. – М.: Финансы и статистика, Ч.I. 2005. – 384 с.; Ч. II. 2006 – 560 с.

5. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. – СПб.: Питер, 2005. – 464 с.

Учебное издание

Лищинская Евгения Эльявна

Коваленко Татьяна Дмитриевна

Лищинский Наум Яковлевич

МАТЕМАТИКА

Часть 2

Учебно-методическое пособие

Корректор Петрова И.Н.

 
Подписано в печать 10.02.2009
Бумага тип. № 1
Усл.печ.л. 2,75 Тираж 150 экз.
 
 
Формат 60х90 1/16
Отпечатано на ризографе
Заказ 21

Международный институт рынка

443030, Самара, ул. Желябова, 21

Множительный участок МИР

443030, Самара, ул. Желябова, 21

Читайте также:  Переводы денег в Сбербанке - 6 простых способов

Решение задач по инвестиционному анализу 2

Ниже приведены условия и решения задач. Закачка решений в формате doc и mcd начнется автоматически через 10 секунд.

Задача №1

Предприятие собирается приобрести оборудование, чтобы самостоятельно производить детали, которые раньше покупали от поставщиков. Стоимость оборудования — 500000. Эксплуатационные расходы в первый год составляют100000 и ежегодно возрастают на 10000. За поставку деталей ежегодно платили поставщикам по 250000. Срок эксплуатации оборудования – 5 лет. Ликвидационная стоимость – 30000 (чистый доход от продажи оборудования в конце 5-го года). Ставка по альтернативным проектам- 8% годовых. Эффективна ли данная инвестиция (NPV, PI, IRR, MIRR, PP, PPD)? Дайте письменное заключение о целесообразности реализации проекта.

Решение.

Период

Отток средств

Приток средств

Поток платежей

Коэффициент дисконтирования

Дисконтированный поток платежей

(t)

Kt

Dt

(CFt)

Лабораторная работа 6

DCFt

Kt·t

Dt·t

1

2

3

4

5

6

7

8

-500000

-500000

1

-500000

-500000

1

-100000

250000

150000

0,92593

138888,889

-92593

231481

2

-110000

250000

140000

0,85734

120027,435

-94307

214335

3

-120000

250000

130000

,79383

103198,191

-95260

198458

4

-130000

250000

120000

0,73503

88203,5823

-95554

183757

5

-140000

280000

140000

0,68058

95281,6476

-95282

190563

Итого

45599,745

-972995

1018595

Для проекта определяем приведенную стоимость поступлений от инвестиций по формуле:     

 Лабораторная работа 6

, где Si – поступления в i-ый период времени, r– норма прибыли альтернативных проектов.

NPV = 31443,6

Определим индекс прибыльности.

ИД определим по формуле:

Лабораторная работа 6  

    Индекс прибыльности:

PI = 1018595/972995 = 1,047

Внутренняя норма доходности (IRR) – это такая норма дисконта, при которой сумма дисконтированных доходов за жизненный цикл проекта равна сумме дисконтированных инвестиций.

Определим внутреннюю норму доходности для каждого из проектов.

Для первого проекта решим уравнение:

∑ CFk / ( 1 IRR )k = ∑ INVt / (1 IRR) t

Лабораторная работа 6

Решим уравнение аналитически, методом подбора.

Лабораторная работа 6

Следовательно, IRR = 0,115.

Определим срок окупаемости для проектас учетом дисконтирования.

Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6

PPD = 4,761.

При ставке сравнения 8% имеет смысл инвестировать средства в данный проект, имеем положительный чистый дисконтированный доход, индекс доходности 104,7%. Однако при увеличении инфляции свыше 11,5% не имеет смысла инвестировать средства в данный проект (IRR=0,115), так же срок окупаемости проекта достаточно высокий и составляет 4,761 года, и близок к эксплуатационному сроку работы оборудования.

Задача №2

Фирма «Смирнов и Андрианов» покупает завод по производству глиняной посуды за 100 млн.рублей. Кроме того расчёты показывают, что для модернизации этого предприятия в первый же год потребуются дополнительные затраты в 50 млн. рублей. Однако, при этом предполагается, что в последующие 9 лет этот завод будет обеспечивать ежегодные денежные поступления по 25 млн. рублей. Затем, через 10 лет, предполагается, что фирма продаст завод по остаточной стоимости, которая составит согласно расчётам 80 млн. рублей. Средняя ставка доходности 10%. Эффективна ли данная инвестиция (NPV, PI, IRR, MIRR, PP, PPD)? Дайте письменное заключение о целесообразности реализации проекта

Решение.

Период

Отток средств

Приток средств

Поток платежей

Коэффициент дисконтирования

Дисконтированный поток платежей

(t)

Kt

Dt

(CFt)

Лабораторная работа 6

DCFt

Kt·t

Dt·t

1

2

3

4

5

6

7

8

-100

-100

1

-100

-100

1

-50

25

-25

0,90909091

-22,7272727

-45,455

22,7273

2

25

25

0,82644628

20,661157

20,6612

3

25

25

0,7513148

18,78287

18,7829

4

25

25

0,68301346

17,0753364

17,0753

5

25

25

0,62092132

15,5230331

15,523

6

25

25

0,56447393

14,1118483

14,1118

7

25

25

0,51315812

12,828953

12,829

8

25

25

0,46650738

11,6626845

11,6627

9

105

105

0,42409762

44,5302499

44,5302

Итого

 

32,4488594

-145,45

177,903

Для проекта определяем приведенную стоимость поступлений от инвестиций по формуле:     

 Лабораторная работа 6

, где Si – поступления в i-ый период времени, r– норма прибыли альтернативных проектов.

NPV = 3245

Определим индекс прибыльности.

ИД определим по формуле:

Лабораторная работа 6  

    Индекс прибыльности:

PI = 177,9/145,45 = 1,223

Внутренняя норма доходности (IRR) – это такая норма дисконта, при которой сумма дисконтированных доходов за жизненный цикл проекта равна сумме дисконтированных инвестиций.

Определим внутреннюю норму доходности для каждого из проектов.

Для первого проекта решим уравнение:

∑ CFk / ( 1 IRR )k = ∑ INVt / (1 IRR) t

Лабораторная работа 6

Решим уравнение аналитически, методом подбора.

Лабораторная работа 6

Следовательно, IRR = 0,147.

Определим срок окупаемости для проектас учетом дисконтирования.

Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6

PPD = 8,263.

При ставке сравнения 10% имеет смысл инвестировать средства в данный проект, имеем положительный чистый дисконтированный доход, индекс доходности 122,3%. Однако при увеличении инфляции свыше 14,7% не имеет смысла инвестировать средства в данный проект (IRR=0,147), так же срок окупаемости проекта достаточно высокий и составляет 8,263 года, и близок к эксплуатационному сроку работы оборудования.

Задача №3

Городской мясокомбинат планирует приобрести ещё один холодильник, для чего сначала необходимо подготовить помещение. Эти подготовительные работы займут год и составят в денежном выражении 5 млн.р. Сама же холодильная камера будет куплена в конце этого года за 30 млн.р. и будет эксплуатироваться 3 года. Денежные поступления соответственно составят 10, 15 и 20 млн.р. Требуемый уровень доходности – 10%.

Эффективна ли данная инвестиция (NPV, PI, IRR, MIRR, PP, PPD)? Дайте письменное заключение о целесообразности реализации проекта

Решение.

Период

Отток средств

Приток средств

Поток платежей

Коэффициент дисконтирования

Дисконтированный поток платежей

(t)

Kt

Dt

(CFt)

Лабораторная работа 6

DCFt

Kt·t

Dt·t

1

2

3

4

5

6

7

8

-5

-5

1

-5

-5

1

-30

10

-20

0,90909091

-18,1818182

-27,27

9,09091

2

15

15

0,82644628

12,3966942

12,3967

3

20

20

0,7513148

15,026296

15,0263

Итого

4,24117205

-32,27

36,5139

Для проекта определяем приведенную стоимость поступлений от инвестиций по формуле:     

 Лабораторная работа 6

, где Si – поступления в i-ый период времени, r– норма прибыли альтернативных проектов.

NPV =4,24

Определим индекс прибыльности.

ИД определим по формуле:

Лабораторная работа 6  

    Индекс прибыльности:

PI = 36,51/32,27 = 1,131

Внутренняя норма доходности (IRR) – это такая норма дисконта, при которой сумма дисконтированных доходов за жизненный цикл проекта равна сумме дисконтированных инвестиций.

Определим внутреннюю норму доходности для каждого из проектов.

Для первого проекта решим уравнение:

∑ CFk / ( 1 IRR )k = ∑ INVt / (1 IRR) t

Лабораторная работа 6

Решим уравнение аналитически, методом подбора.

Лабораторная работа 6

Следовательно, IRR = 0,21.

Определим срок окупаемости для проектас учетом дисконтирования.

Лабораторная работа 6

Лабораторная работа 6

PPD = 2,717.

При ставке сравнения 10% имеет смысл инвестировать средства в данный проект, имеем положительный чистый дисконтированный доход, индекс доходности 131,1%. Однако при увеличении инфляции свыше 21% не имеет смысла инвестировать средства в данный проект (IRR=0,21).Cрок окупаемости проекта составляет 2,717 года.

Решение задачи оптимального распределения инвестиций

Назначение сервиса. Данный сервис предназначен для решения задачи оптимального распределения инвестиций в онлайн режиме. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word.

Такого рода задачи основаны на функции Беллмана и при решении используется метод обратной прогонки (см. Типовые задания). Также можно воспользоваться сервисом Процедура прямой прогонки.

Пример №1. Определите оптимальный план расширения производства трех предприятий, если известна их прибыль в год при отсутствии вложений и при инвестировании 1, 2, 3 или 4 млн. Определите, при каком инвестировании будет максимальный процент прироста прибыли.

f1 f2 f3 xi
40 30 35 0
90 110 95 1
395 385 270 2
440 470 630 3
620 740 700 4

I этап. Условная оптимизация.
1-ый шаг. k = 3.

e2 u3 e3 = e2 – u3 f3(u3) F*3(e3) u3(e3)
1 0 1 35
1 0 95 95 1
2 0 2 35
1 1 95
2 0 270 270 2
3 0 3 35
1 2 95
2 1 270
3 0 630 630 3
4 0 4 35
1 3 95
2 2 270
3 1 630
4 0 700 700 4

2-ый шаг. k = 2.

e1 u2 e2 = e1 – u2 f2(u2) F*2(e1) F1(u2,e1) F*2(e2) u2(e2)
1 0 1 30 95 125 125 0
1 0 110 0 110
2 0 2 30 270 300
1 1 110 95 205
2 0 385 0 385 385 2
3 0 3 30 630 660 660 0
1 2 110 270 380
2 1 385 95 480
3 0 470 0 470
4 0 4 30 700 730
1 3 110 630 740 740 1
2 2 385 270 655
3 1 470 95 565
4 0 740 0 740

3-ый шаг. k = 1.

e u1 e1 = e – u1 f1(u1) F*1(e) F(u1,e) F*1(e1) u1(e1)
1 0 1 40 125 165 165 0
1 0 90 0 90
2 0 2 40 385 425 425 0
1 1 90 125 215
2 0 395 0 395
3 0 3 40 660 700 700 0
1 2 90 385 475
2 1 395 125 520
3 0 440 0 440
4 0 4 40 740 780 780 0
1 3 90 660 750
2 2 395 385 780
3 1 440 125 565
4 0 620 0 620

Примечание: Столбцы 1 (вложенные средства), 2 (проект) и 3 (остаток средств) для всех трех таблиц одинаковы, поэтому их можно было бы сделать общими. Столбец 4 заполняется на основе исходных данных о функциях дохода, значения в столбце 5 берутся из столбца 7 предыдущей таблицы, столбец 6 заполняется суммой значений столбцов 4 и 5 (в таблице 3-го шага столбцы 5 и 6 отсутствуют).
В столбце 7 записывается максимальное значение предыдущего столбца для фиксированного начального состояния, и в 8 столбце записывается управление из 2 столбца, на котором достигается максимум в 7.
Этап II. Безусловная оптимизация.

Из таблицы 3-го шага имеем F*1(e = 4 млн.руб.) = 780 тыс.руб., то есть максимальная прибыль от инвестирования e = 4 млн.руб. равна 780 тыс.руб.

Из этой же таблицы получаем, что первому предприятию следует выделить u*1(e = 4 млн.руб.) = 0 млн.руб.

При этом остаток средств составит: e1 = e – u1, e1 = 4 – 0 = 4 млн.руб.

Из таблицы 2-го шага имеем F*2(e1 = 4 млн.руб.) = 740 тыс.руб., т.е. максимальная прибыль при e1 = 4 млн.руб. равна 740 тыс.руб.

Из этой же таблицы получаем, что второму предприятию следует выделить u*2(e1 = 4 млн.руб.) = 1 млн.руб.

При этом остаток средств составит: e2 = e1 – u2, e2 = 4 – 1 = 3 млн.руб.

Последнему предприятию достается 3 млн.руб. Итак, инвестиции в размере 4 млн.руб. необходимо распределить следующим образом: первому предприятию ничего не выделять, второму предприятию выделить 1 млн.руб., третьему предприятию выделить 3 млн.руб., что обеспечит максимальную прибыль, равную 780 тыс.руб.

Пример №2. Имеются 4 предприятия, между которыми необходимо распределить 100 тыс. усл. ед. средств. Значения прироста выпуска продукции на предприятии в зависимости от выделенных средств Х представлены в таблице. Составить оптимальный план распределения средств, позволяющий максимизировать общий прирост выпуска продукции.

Оцените статью
Adblock
detector