Математическое и банковское дисконтирование, Эффективная ставка процентов — Процентные ставки

#3. форвардные процентные ставки

Допустим, мы с вами договоримся о процентной ставке. Под эту процентную ставку я через год возьму у вас деньги в долг, которые верну через два года плюс процент. Какова должна быть в данном случае процентная ставка, чтобы она была справедливой? Распишем этот пример подробнее.

Мы находимся сейчас в моменте времени «ноль». Через год я у вас по ставке

x

возьму деньги и верну их вам через два года. Как рассчитать ставку

x

? У нас есть несколько опций. Вы можете сейчас положить деньги по ставке

r₁

на год, а затем реинвестировать их по ставке

x

Либо положить деньги сразу по ставке

r₂

на два года.

На финансовом рынке существует

правило отсутствия арбитража (No-Arbitrage Condition)

. Оно говорит о том, что если в конце срока мы получаем одинаковые выплаты, то для инструментов с одинаковым риском начальная сумма должна быть тоже одинаковая. Давайте распишем и это. Будущее значение первого варианта инвестиции

FV₁

будет равняться текущему значению, умноженному на сумму единицы и

rT₁

(будем считать, что у нас простое начисление процентов).

Момент времени T1 у нас равняется одному году. Дальше у нас произойдет реинвестирование суммы, и мы положим на промежуток времени от T2-T1, умноженную на нашу процентную ставку x. T2 – это момент времени, в нашем случае два года.

Либо будущее значение

FV₂

будет равняться текущему значению

PV

, умноженному на единица плюс

r₂

, умноженное на

T₂

. Согласно условию отсутствия арбитража

FV₁

должно равняться

FV₂

Из этого мы получаем следующее:

Формула получилась достаточно громоздкая. Давайте рассчитаем по этой формуле пример, а затем подумаем, что мы можем сделать, чтобы она выглядела проще.

Пусть процентные ставки у нас r1=4%; r2=6%. В таком случае имеем следующее:

x=(1 0,06*2)/(1 0,04*1)-1 = 1,077-1 = 0,077 = 7,7% 

Казалось бы странно, что ставка на два года равняется шести процентам, на год она равняется четырем процентам, а от года до двух мы получаем ставку более семи процентов. Объясняется это так. Поскольку в первый год у нас годовая ставка ниже чем на два года, в следующий год она должна быть выше, чем обе этих ставки.

Это необходимо для того, чтобы компенсировать недостаток начисления процентов в первом году, и после реинвестирования можно было бы получить такую же сумму, как при инвестировании на два года по более высокой ставке. Такая ставка называется форвардной процентной ставкой.

Чтобы облегчить себе жизнь, давайте упростим эту формулу. Если мы будем использовать формулу непрерывного начисления процентов (FV=PVerT), то тогда мы можем переписать условие отсутствия арбитража следующим образом:

PVer2T2=PVer1T1e(T2-T1)x

Если мы возьмем логарифм от обеих сторон нашего равенства и сократим константы, мы получим:

r2T2=r1T1 (T2-T1)x

Далее легко найти x:

x=(r2T2-r1T1)/(T2-T1)

Согласитесь, такую формулу для будущих процентных ставок использовать гораздо проще и удобнее.

Вы можете задать вопрос – а зачем такой странный продукт и кто им пользуется?

Представьте себе ситуацию, когда у вас или у вашей компании точно будет поступление средств через год. Сейчас вы бы хотели обезопасить себя от риска изменения процентных ставок. Вы понимаете, что через год процентная ставка может увеличиться и стать более выгодной, но также вы понимаете, что она может понизиться.

И вам вполне комфортно с действующей на рынке форвардной процентной ставкой. Тогда вы можете заключить контракт, указав в нем, что на те деньги которые поступят в будущем через год, вы заключаете договор по заданной ставке. Ставка фиксируется, и вы больше не переживаете о том, как будут происходить изменения процентных ставок на рынке.

Обратите внимание, что форвардная процентная ставка ни в коем случае не является предсказанием будущей цены. Это абсолютно не значит, что процентные ставки будут равны 7,7% через год, когда мы окажемся в точке T1. Они могут принимать какое угодно значение, и вот почему.

В момент, когда мы рассчитываем форвардную процентную ставку из ставок, действующих на рынке, мы можем сказать, что эта ставка является ожиданием рынка относительно будущих цен. Но к моменту, когда мы перемещаемся в будущее, происходят новые события, добавляется новая информация, и рынок каким-то образом меняется. Поэтому процентные ставки через год не будут совпадать с форвардными ставками, рассчитанными на год сейчас.

Все статьи этой серии

• Стоимость денег, типы процентов, дисконтирование и форвардные ставки. Ликбез для гика, ч. 1
• Облигации: купонные и бескупонные, расчет доходности. Ликбез для гика, ч. 2
• Облигации: оценка рисков и примеры использования. Ликбез для гика, ч. 3
• Как банки берут друг у друга в долг. Плавающие ставки, процентные свопы. Ликбез для гика, ч. 4
• Построение кривой дисконтирования. Ликбез для гика, ч. 5
• Что такое опционы и кому это нужно. Ликбез для гика, ч. 6
• Опционы: пут-колл парити, броуновское движение. Ликбез для гика, ч. 7

Дисконтирование

Когда мы наращиваем — мы идём от сегодняшнего дня в будущее.

Дисконтирование и дисконтированная стоимость

Для людей, не имеющих экономического образования, термин «дисконтирование» скорее всего даже не знаком. Более того – при расчете ставки дисконтирования в оценке денежных потоков требуется использование специальных формул, так что на первый взгляд понятие выглядит довольно сложным.

Законы экономики гласят: деньгам свойственно обесцениваться. Так было не всегда – но с 1930-х деньги стали терять статус постоянной ценности, подвергаясь постоянной инфляции. Именно поэтому инвестору важно понимать, что его ждет в будущем, есть ли смысл вкладывать свой капитал в определенный актив – насколько это выгодно или, напротив, рискованно.

Дисконтирование– это определение текущей стоимости будущих денежных потоков.

Не правда ли, в слове «дисконтирование» слышится слово «дисконт» или по-русски скидка? И действительно, если посмотреть на этимологию слова discount, то уже в 17 веке оно использовалось в значении «deduction for early payment», что означает «скидка за раннюю оплату».

Уже тогда много лет назад люди учитывали временную стоимость денег. Таким образом, можно дать еще одно определение: дисконтирование – это расчет скидки за быструю оплату счетов. Эта «скидка» и является мерилом временной стоимости денег или time value of money.

Дисконтированная стоимость – это текущая стоимость будущего денежного потока (т.е. будущий платеж за вычетом «скидки» за быструю оплату). Ее еще называют приведенной стоимостью, от глагола «приводить». Говоря простыми словами, приведенная стоимость – это будущая денежная сумма, приведенная к текущему моменту.

Если быть точным, то дисконтированная и приведенная стоимость – это не абсолютные синонимы. Потому что приводить можно не только будущую стоимость к текущему моменту, но и текущую стоимость к какому-то моменту в будущем. Например, в самом первом примере можно сказать, что 1000 долларов, приведенные к будущему моменту (через два года)

Кстати, в английском языке такого термина (приведенная стоимость) нет. Это наше, чисто русское изобретение. В английском языке есть термин present value (текущая стоимость) и discounted cash flows (дисконтированные денежные потоки). А у нас есть термин приведенная стоимость, и он чаще всего используется именно в значении «дисконтированная» стоимость.

Задача 19

В банк положены 300 тыс. руб., на которые ежемесячно начисляются сложные проценты по ставке 24%. Через 4 месяца сняты 5 тыс. руб., а через 8 месяцев вклад был закрыт. Какая сумма была на счете в момент закрытия вклада (решить задачу при помощи дисконтирования)?

Значение и использование ставки дисконтирования

К сожалению в том случае, когда мы имеем дело с реальным рынком и акциями, точный расчет доходности компании в будущем становится невозможным, так как мы вынуждены использовать те или иные допущения для прогноза денежных потоков компании. Всего есть три варианта: денежный поток может уменьшиться, сохраниться или увеличиться.

К примеру, мы можем предположить рост на 5% в год. Причем помимо предположения о величине денежного потока для расчета реальной стоимости акции нужно также знать (предположить) показатель P/FCF — он показывает, сколько свободных денежных потоков будет (должна) стоить анализируемая компания.

Наконец, стоимость акции зависит от их будущего числа. Скажем, есть 500 000 акций по цене 15 долларов каждая, прогноз дает 20 долларов через пять лет. Допустим, он сбывается и компания должна стоить 500 000 × 20 = 10 млн. долларов.

Однако компания выпустила дополнительные акции — если их число равняется 166 666 штук, то цена каждой должна остаться около отметки в прежние 15 долларов. Поэтому не стоит забывать о том, что в точные цифры расчета «зашиты» наши предположения — так что расчет остается в области вероятности и не является гарантией будущей прибыли или убытка.

Методика прогноза ставки применяется в следующих случаях:

1. когда имеется достаточный объем информации, который дает возможность вычислить размеры будущей прибыли

2. если есть предположение, что финансовые потоки в будущем будут иметь другое значение

Математическое и банковское дисконтирование

Задача 4. Вексель номинальной суммы 500 тыс. руб. был учтён в банке за 90 дней до срока погашения по учётной ставке 16% годовых. Определить дисконтируемую величину векселя, используя антисипативный метод начисления процентов.

Дано:

Р — 500 00 руб.

d — 16%

— 90 дней

К — 365 дней

Найти: $

Решение:

Определите дисконтируемую величину векселя, используя антисипативный метод начисления процентов:

P = $ ( 1-d*), где

К — число дней в году

Р — сумма капитала

— число дней до погашения срока

d — учётная ставка

$ = 500 000 ( 1 — 0,16 * ) = 480 273 руб.

Ответ: 480 273 руб.

Задача 14. Найти дисконтный множитель ( 1 i ) при t=1,2,3,4,5 и i=20%

Дано:

i — 20%

t — 1,2,3,4,5

Найти: Кдис

Решение:

Определить дисконтный множитель, по формуле:

Кдис = 1 / ( 1 i ), где

Кдис — дисконтный множитель

i — процентная ставка

t — период,

если t = 1, то Kдис = 1/( 1 0,2) = 0,833

если t = 2, то Kдис = 1/( 1 0,2)= 0,694

если t = 3, то Kдис = 1/( 1 0,2)= 0,578

если t = 4, то Kдис = 1/( 1 0,2)= 0,448

если t = 1, то Kдис = 1/( 1 0,2) = 0,402

Ответ: 0,833; 0,694; 0,578; 0,448; 0,402;

Наращение

Формула для расчета дисконтированной стоимости или формула дисконтирования для данного примера имеет вид: 1500 * 1/(1 R)n = 1240.

Математическая   формула дисконтирования в общем случае будет такая: FV * 1/(1 R)n = PV. Обычно её записывают в таком виде:

PV = FV * 1/(1 R)n

Коэффициент, на который умножается будущая стоимость 1/(1 R)nназывается фактором дисконтирования от английского слова factor в значении «коэффициент, множитель».

В данной формуле дисконтирования: R – ставка процента, N – число лет от даты в будущем до текущего момента.

Таким образом:

• Compounding или Приращение – это, когда вы идете от сегодняшней даты в будущее.
• Discounting или Дисконтирование – это, когда вы идете из будущего к сегодняшнему дню.

Обе «процедуры» позволяют учесть эффект изменения стоимости денег с течением времени.

Конечно, все эти математические формулы сразу наводят тоску на обычного человека, но главное, запомнить суть. Дисконтирование – это когда вы хотите узнать сегодняшнюю стоимость будущей суммы денег (которую вам надо будет потратить или получить).

Надеюсь, что теперь, услышав фразу «понятие дисконтирования», вы сможете объяснить любому, что подразумевается под этим термином.

Приведенная стоимость – это дисконтированная стоимость?

В предыдущем разделе мы выяснили, что

Простые проценты

Рассмотрим пример, когда проценты начисляются в конце срока вклада. Будущее значение будет равняться текущему значению плюс текущее значение, умноженное на годовую процентную ставку. Годовая процентная ставка будет прибавляться к сумме нашего вклада столько раз, на сколько лет мы сделали вклад.

Результат – текущее значение, умноженное на сумму единица плюс процентная ставка

(r)

, умноженная на число лет вклада

(T)

. Такой способ начисления процентов называется

простыми процентамиЕсли же процентная ставка начисляется каждый год, то формула будет выглядеть иначе.

Рассмотрим ситуацию с начислением за период в несколько лет. Считаем, что действующая процентная ставка на протяжении всего периода будет одинаковая. Тогда формула принимает следующий вид: текущее значение, умноженное на сумму единица плюс процентная ставка, затем еще раз на сумму единицы и процентной ставки и т. д.

Обратите внимание – если в первом случае к нашему вкладу каждый год прибавлялась сумма процентов (как в первом примере, где добавлялось к сумме вклада 50 рублей), то в случае с ежегодным начислением на 50 рублей, добавленные в первом периоде, у нас каждый раз начисляется процент.

Всегда важно обращать внимание на то, каким образом происходит начисление процентов. Проценты могут начисляться не только раз в год, но и раз в полгода, каждый день. И в принципе нам ничего не мешает начислять эти проценты непрерывно.

Различия в дисконтировании в россии и на западе

При достаточном уровне развития фондового рынка в стране ставка дисконтирования используется как показатель средневзвешенной цены капитала – WACC. В России данный показатель можно применять только в отношении задолженностей небольшого числа компаний – общественных эмитентов ценных бумаг. Для оценки рисков применяется базисная безрисковая ставка дисконтирования.

В российской практике аналитики дисконтируют не денежные потоки, как указано в теории дисконтирования, а доходы. В качестве доходных статей выступают:

1. чистый денежный поток, за вычетом всех необходимых расходов и инвестиций
2. чистый операционный доход, при условии, что ни по одному направлению оценки нет задолженностей
3. прибыль, которая будет облагаться налогом

Для расчета показателя преимущественно используется затратный подход, поскольку он наиболее прост и понятен.

На Западе ставка дисконтирования, помимо модели CAPM, обычно определяется одним из следующих способов (однако всего можно насчитать не менее десятка):

1. Методика кумулятивного построения, при котором ставка выступает одной из функций риска и рассчитывается как общая сумма риска для конкретного объекта

2. Метод сравнения альтернативных вложений. Используется при расчете инвестиционной цены объекта
3. Метод выделения. В рамках методики проводится анализ сделок с подобными объектами

4. Метод мониторинга. Заключается в постоянном отслеживании конъюнктуры рынка и формированием его основных показателей

Решение:

Используем формулу наращения для простых процентов:

где Р – первоначальная сумма ссуды;

i – ставка простых процентов;

P=20 тыс. руб.

I=0.5

1) точные проценты с точным числом дней ссуды (английская практика):

K=365 (дней) – количество дней в году;

t – количество дней, за которые начисляются проценты;

15 марта – порядковый номер в году – 74;

5 июля – порядковый номер в году – 186.

Точное число дней ссуды:

T=186-74=112  дней.

2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (французская практика):

K=365  (дней) – количество дней в году;

T=112 (дней) – количество дней, за которые начисляются проценты;

3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская практика):

K=365   (дней) – количество дней в году;

t – количество дней, за которые начисляются проценты;

Рассчитаем приближенное число дней ссуды t. Продолжительность ссуды определяется из условия, согласно которому месяц принимается за 30 дней:

15.03 – 30.03 – 16 дней;

апрель, май, июнь – по 30 дней;

1.07 – 5.07 – 5 дней.

T=16 30*3 5-1=110 дней.

Ответ: совокупный доход за период при начислении процентов по английской практике составит 20920 руб., при использовании французской практики начисления процентов – 20933 руб., а при начислении процентов по германской практике совокупный доход за данный период составит 20917 руб.

Экскурс в историю

В экономической теории такие термины, как «дисконтирование», «дисконт» и «ставка дисконтирования» используются достаточно широко и могут иметь несколько смыслов. С одной стороны, слово discount (англ.) дословно переводится как результат подсчета и, соответственно, понятие трактуется итоги проведенных расчетов или итоговый результат.

Впервые термин «ставка дисконтирования» был озвучен в 70-х годах, во время появления новой модели оценки капитальных активов САРМ (Capital Asset Pricing Model). Автором данной модели стал экономист У. Шарм. Методика использовалась для определения будущей доходности акций методом капитализации.

Постепенно показатель стал использоваться для оценки выгодности вложений в определенный период времени. Сегодня для бездолгового денежного потока ставка дисконтирования рассчитывается по средневзвешенной стоимости собственного и заемного капитала, без учета изменений размеров заемных средств в заданном периоде.

Эффективная ставка процентов

Задача 4. Облигация достоинство 10 тыс. руб. выпущена на 5 лет при номинальной ставке 5%. Рассчитать эффективную процентную ставку и определить наращенную стоимость по эффективной ставке, если начисление процентов производится один раз в месяц.

Дано:

m — 12

n — 5

P — 10 000 руб.

j — 5%

Найти: S, i

Решение:

1). Определить эффективную процентную ставку, по формуле:

i= ( 1 j/m) — 1, где

i- эффективная процентная ставка

j — номинальная ставка

m — количество начисленных процентов

i= ( 1 0,05/12 )-1 = 0,051%

• 2). Определить наращенную стоимость по эффективной ставке, по формуле:
  • S = P ( 1 i), где
  • S — наращенная сумма

P — сумма капитала

n — период обращения облигации

i- эффективная процентная ставка

S = 100 000 ( 1 0,051) = 12 823 руб.

Ответ: 1) 0,051% 2) 12 823 руб.

Задача 14. Определить годовую номинальную ставку при эжеквартальном начислении процентов, если эффективная ставка равна 30%.

Дано:

d — 30%

m — 4

Найти: j

Решение:

Определить годовую номинальную ставку, по формуле:

d= ( 1 j/m ) — 1, где

j — номинальная ставка

m — количество начисленных процентов

d- эффективная ставка

0,3 = ( 1 j/4 )- 1

j/4 = — 1

j = 4 (- 1 ) = 27, 1%

Ответ: 27,1%

Заключение

Как было показано выше, в зависимости от задачи ставка дисконтирования может означать и величину ставки банковского депозита, и величину инфляции, и величину ожидаемого дохода от инвестиций. В последнем случае значение ставки можно брать произвольно, рассчитывая реальную стоимость акций при прогнозируемом денежном потоке в следующие 5, 10 или 15 лет — однако чем выше будет ставка (т.е. чем выше ожидания), тем меньше будет реальная цена акции относительно ее текущей цены.

В случае точных данных по ставке (банковских депозитов или купонов по облигациям, а также ретроспективной инфляции) есть возможность точной оценки дисконтированной стоимости. Расчет самой ставки дисконтирования для конкретной компании хотя и может быть выполнен несколькими способами, однако каждый их них несет в себе определенные допущения — так что полученный результат должен рассматриваться только как прогноз, который может и не сбыться.

Добавление отзыва к работе

Добавить отзыв могут только зарегистрированные пользователи.