MLITG | Акции Integral SA –

, где , ,

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) совместна, если имеет хотя бы одно решение и несовместна, если не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более чем одно решение.

Система называется однородной, если все элементы столбца свободных членов b1, b2 … bn равны нулю и неоднородной, если хотя бы один этих элементов отличен от нуля.

Для решения СЛАУ с квадратной матрицей коэффициентов разработан ряд методов. Рассмотрим метод определителей (формула Крамера), матричный метод и метод Гаусса:

4.1.1. Метод определителей (формула Крамера)

Пусть система

имеет квадратную матрицу коэффициентов, определитель которой не равен нулю. Тогда система имеет единственное решение, которое по формулам Крамера записывается:

, , … , ,

где – определитель матрицы коэффициентов системы А, а , , … , – определители замещения, которые получаются, когда в матрице А столбец, содержащий соответствующую переменную, заменяется столбцом свободных членов.

Пример.

Решение.

, ,

Проверка

Метод определителей позволяет решать системы только с квадратной матрицей коэффициентов при условии, что .

4.1.2. Матричный метод (математический метод, метод обратнойматрицы)

Пусть система

Имеет квадратную матрицу коэффициентов, определитель которой не равен нулю. Тогда система имеет единственное решение, которое представляется в следующем виде:

Матричный метод позволяет решать системы только с квадратной матрицей коэффициентов при условии, что .

Пример.

Решение.

4.1.3. Метод Гаусса (универсальный метод)

Метод Гаусса позволяет решать системы не только с квадратной, но и с прямоугольной матрицей коэффициентов, а также позволяет решать системы, когда определитель матрицы . Метод Гаусса основан на следующих эквивалентных преобразованиях системы уравнений:

Ø Перестановка уравнений в системе;

Ø Умножение любого уравнения на любое число, отличное от нуля;

Ø Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число;

Ø Отбрасывание уравнений, в которых все коэффициенты и свободный член равны нулю.

Цель преобразований:

Свести матрицу к ступенчатому виду и последовательно, методом обратного хода, начиная с последней строки записать решение системы.

Метод Жордана – Гаусса:

Свести исходную систему уравнений к равносильной системе с единичной матрицей коэффициентов.

Пример 1.

Решение (метод Гаусса):

Метод Жордана – Гаусса:

Пример 2.

Решение (Метод Гаусса):

Метод Жордана – Гаусса:

Система m линейных уравнений с n переменными называется системой линейных однородныхуравнений, если все их свободные члены равны нулю.

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере, нулевое (тривиальное) решение (0;0;…;0).

Если в системе (2) m=n, а её определитель отличен от нуля, то такая система имеет только нулевое решение, как это следует из теоремы и формул Крамера.

Ненулевые решения, возможны лишь для таких систем линейных однородных уравнений, в которых число уравнений меньше числа переменных или, когда m=n, но определитель системы равен нулю.

Иначе: система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. .

Обозначим решение системы

,

в виде строки .

Свойства решений системы линейных однородных уравнений.

1. Если строка -решение системы, то и строка -также решение этой системы.

2. Если строки и -решения системы (2), то при и их линейная комбинация -так же решение этой системы.

Из свойств следует, что всякая линейная комбинация решений системы линейных однородных уравнений также является решением этой системы.

Определение. Система линейно независимых решений называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений .

Теорема: Если ранг матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений (2) меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы (2) состоит из n-r решений.

Поэтому общее решение системы (2) линейных однородных уравнений имеет вид:

,

где – любая фундаментальная система решений, -произвольные числа, .

Пример решения задач.

Пример. Найти фундаментальную систему решений системы линейных однородных алгебраических уравнений.

Такая система совместна всегда, так как имеет тривиальное решение (0; 0; 0; 0; 0).

Решение.

система имеет множество решений.

система имеет три свободные переменные

– базисные переменные, , , – свободные переменные

Условия для нахождения фундаментальных решений:

1)

2)

3)

Данные строки – , , (векторы) – образуют фундаментальную систему решений данной системы линейных однородных алгебраических уравнений.

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ

Расчетная работа № 1.

Обработка экспериментальных данных

Методом наименьших квадратов

Основные положения

При обработке данных экспериментов возникает необходимость определения закономерности их изменения:

– представление в виде какой-либо функциональной зависимости с целью исследования и прогнозирования характера и протекания процесса;

Из методов построения эмпирической прямой наиболее обоснован и распространён метод наименьших квадратов, заключающийся в следующем:

– из множества функциональных зависимостей определённого вида выбирается та, для которой сумма квадратов отклонений экспериментальных значений от теоретических (вычислительных) является наименьшей.
Впервые этот метод предложил Гаусс.

Пусть данные опыта представляют собой некоторое кол-во n-точек с координатами (x_i;y_i), (i= 1; 2; …; n)

Если в таблице участвуют две величины, то получают зависимость в видефункции одной переменной y(x) или x(y).

Удобно изображать эти процессы графически

Можно этот набор точек попытаться описать прямой типа (y=ax b), можно считать, что это часть параболы (y=ax2 bx c), степенно-показательной (y=be^ax) или обобщённо-степенной (y=b^xa) функции.

Согласно методу наименьших квадратов, параметры функции f(x) следует выбирать так, чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей, а значит минимизировались отклонения статистических данных от теоретических.

Этот метод постоянно используется в статистике, эконометрике, в финансовой математике и т.д.

Часто такой метод называют получением уравнений регрессии методом наименьших квадратов по сущности вычислительной процедуры. Это классическая задача дифференциального исчисления.

Рассмотрим применение данного метода для получения эмпирических формул на примере линейной функции y=ax b

Пусть принято решение искать эмпирическую формулу в виде линейной функции.

Очевидно, что в искомом уравнении линейной функции y=ax b неизвестными являются коэффициенты a и b, при этом их значение должно обеспечить минимальное суммарное отклонение экспериментальных данных от теоретических, т.е. обеспечить прохождение прямой наиболее близко ко всем экспериментальным точкам. Данная цель достигается при минимальной величине суммы квадратов отклонений.

При этом a и b являются переменными.

Определим функцию

Для нахождения экстремума функции 2-х переменных необходимо найти частные производные данной функции по каждой переменной, приравнять их к нулю, и решив полученную систему двух уравнений, определить критические значения a и b.

После преобразований получим следующую систему

Найденные значения a и b соответствуют min функции S .

Расчет значений известных величин, входящих в уравнения системы, удобно вести с помощью таблиц.

Подставляя найденные значения коэффициентов при a и b в систему уравнений, получаем значения неизвестных a и b. Таким образом эмпирическая формула будет найдена.

Графиком её является прямая, проходящая наиболее близко ко всем экспериментальным точкам.

Рассмотрим функцию вида у=bx^a (обобщенно-степенная функция)

Прологарифмируем её.

Теперь линейное уравнение рассмотрим не для табличных значений, а для их логарифмов:

Расчет значений, входящих в уравнения системы, удобно вести с помощью таблиц.

Рассмотрим функцию вида у=be^ax (степенно-показательная функция)

Прологарифмируем её:

Теперь линейное уравнение рассмотрим не для табличных значений, а для их логарифмов:

Расчет значений, входящих в уравнения системы, удобно вести с помощью таблиц.

Протабулируем данные:

Найдем соответствующее отклонение от заданных точек:

Сравнив отклонения, можно сделать вывод, какая функция лучше подходит.

Расчетная работа № 2.

Матрицы. Определители.

Решение систем линейных алгебраических уравнений.

Часть 1

1. Выполнить сложения матриц разных размеров.

2. Выполнить умножение матриц:

1) Прямоугольных матриц

2) Квадратных матриц

3. Посчитать определитель всеми способами ( правило треугольника, правило Сарриуса, универсальный метод (через миноры)).

4. Найти обратную матрицу и выполнить проверку.

Часть 2

5. Решить систему линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов:

1) Метод определителей (Формулы Крамера)

2) Матричный метод

3) Метод Гаусса

4) Метод Жордана-Гаусса.

Часть 3

6. Решить систему с прямоугольной матрицей коэффициентов:

1) Найти общее решение, задать его параметрически

2) Найти все базисные решения этой системы.

7. Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы линейных однородных алгебраических уравнений.

Расчетная работа № 3 (дополнительная).

Приближенные вычисления определенных интегралов.

Разбивая отрезок интегрирования на 10 равных частей, а затем на 20 частей, найти приближенно интегралы и .Определить точность с помощью разности .

а) по формуле трапеций;

б) по формуле Симпсона.

Решение. Имеем подинтегральную функцию . Составим вспомогательную таблицу

			При делении на 10 частей	При делении на 20 частей
-1			2,23607	2,23607
-0,5	0,25	4,25		2,06155
			2,0	2,0
0,5	0,25	4,25		2,06155
			2,23607	2,23607
1,5	2,25	6,25		2,5
			2,82843	2,82843
2,5	6,25	10,25		3,20216
			3,60555	3,60555
3,5	12,25	16,25		4,03113
			4,47214	4,47214
4,5	20,25	24,25		4,92443
			5,38516	5,38516
5,5	30,25	34,25		5,85235
			6,32456	6,32456
6,5	42,25	46,25		6,80074
			7,28011	7,28011
7,5	56,25	60,25		7,76209
			8,24621	8,24621
8,5	72,25	76,25		8,73212
			9,21954	9,21954

а) По формуле трапеций.

При делении на 10 частей:

При делении на 20 частей

Точность вычислений оценивается с помощью разности:

б) По формуле Симпсона.

При делении на 10 частей:

При делении на 20 частей

Точность вычислений оценивается с помощью разности:

Известно, что при одинаковом числе точек разбиения формула Симпсона дает более точный результат.

ЛИТЕРАТУРА

1. Практикум по высшей математике для экономистов. Учеб. Пособие для вузов. /Кремер Н.Ш., Тришин И.М., Путко Б.А. и др.; Под ред. Н.Ш.Кремера. – М. ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 403 с.

2. Математика: учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям /Под ред. Горлача Б.А. Учебное пособие: – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006.-911 с. – Допущ.Мин-м образования и науки РФ.

3. Высшая математика для экономистов. Учебник для вузов /Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

4. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике. Учебник: В 2-х ч. – М.: Финансы и статистика, Ч.I. 2005. – 384 с.; Ч. II. 2006 – 560 с.

5. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. – СПб.: Питер, 2005. – 464 с.

Учебное издание

Лищинская Евгения Эльявна

Коваленко Татьяна Дмитриевна

Лищинский Наум Яковлевич

МАТЕМАТИКА

Часть 2

Учебно-методическое пособие

Корректор Петрова И.Н.

Международный институт рынка

443030, Самара, ул. Желябова, 21

Множительный участок МИР

443030, Самара, ул. Желябова, 21