MLITG | Акции Integral SA —

Mlitg | акции integral sa —

  Название Послед. Макс. Мин. Изм. Изм.% Объём Время
 Норникель22.030,022.450,021.866,0-142,0-0,64%711,42K05/03 
 ЛУКОЙЛ6.197,56.214,05.852,0 391,5 6,74%3,57M05/03 
 Сбербанк275,44278,98272,76 0,69 0,25%77,91M05/03 
 Фонд первичных2.763,202.895,002.700,00-109,50-3,81%330,09K05/03 
 Газпром225,34228,42220,02 4,20 1,90%51,54M05/03 
 Роснефть556,50558,30541,55 16,40 3,04%12,61M05/03 
 АК АЛРОСА107,62107,62104,17 4,00 3,86%25,51M05/03 
 Татнефть562,50567,80536,30 28,80 5,40%11,29M05/03 
 Магнит5.021,05.059,54.906,5 55,5 1,12%543,84K05/03 
 Полюс14.414,514.625,014.115,0 350,5 2,49%156,84K05/03 

Дисклеймер: Fusion Media не несет никакой ответственности за утрату ваших денег в результате того, что вы положились на информацию, содержащуюся на этом сайте, включая данные, котировки, графики и сигналы форекс. Операции на международном валютном рынке Форекс содержат в себе высокий уровень риска. Торговля на рынке Форекс может не подходить для всех инвесторов. Спекулируйте только теми деньгами, которые Вы можете позволить себе потерять.

Fusion Media напоминает вам, что данные, предоставленные на данном сайте, не обязательно даны в режиме реального времени и могут не являться точными. Все цены на акции, индексы, фьючерсы носят ориентировочный характер и на них нельзя полагаться при торговле. Версия этого документа на английском языке является определяющей и имеет преимущественную силу в том случае, если возникают разночтения между версиями на английском и русском языках. Таким образом, Fusion Media не несет никакой ответственности за любые убытки, которые вы можете понести в результате использования этих данных. Вы ищете акции, котировки или графики форекс? Взгляните на портал Investing.com — лучший технический анализ и современный экономический календарь к вашим услугам!

Английская версия данного соглашения является основной версией в случае, если информация на русском и английском языке не совпадают.

Teqra – краткий обзор, мысли вслух

Рынок инвестиций заняли несколько гигантов с осени 2020 года, однако в СНГ пространстве никто о них не знает. Предварительно можно связать их все одной группой создателей, хотя это лишь плод наших фантазий без каких-либо фактов. Даже если работаю разные люди, результат демонстрируют отличный.

Похожие шаги предпринимались в ряде других зарубежных направлений. С момента старта работы данного фонда информация в сфере хайп блогов и мониторингов не появилась. Рекламу там не берут, такая аудитория им не нужна, ведь деньги тратят на качественный трафик.

Именно поэтому отзывы о Teqra найти в рунете практически невозможно. Администрация заботится о репутации. Данные шаги подобны ранее упомянутым гигантам, поэтому решились рискнуть и заработать пока на рынке штиль и платят большие деньги без проблем. Однако гарантий здесь нет.

Деятельность и подготовка

Компания Teqra принимает средства в доверительное управление от частных инвесторов. Средства распределяются по нескольким направлениям трейдинга. В частности, деньги распределяются на торговлю акциями и криптовалютой. Также часть идет на добычу крипто монет и традиционный майнинг.

Долгая память микросхем: как «интеграл» превращает инновации в прибыль | экономическая газета

"Интеграл" Виталий СолодухаХолдинг «ИНТЕГРАЛ» ожидает, что завершившиеся в прошлом году исследования и разработки начнут приносить положительный экономический эффект. Развивая перспективные проекты, компания рассчитывает в т.ч. на господдержку. Об этом в интервью «ЭГ» рассказал генеральный директор управляющей компании холдинга «ИНТЕГРАЛ» Виталий СОЛОДУХА.

Виталий Александрович, какие достижения в области инновационной деятельности за 2021 г. для «Интеграла» наиболее значимы?

– Основным направлением создания инноваций у нас являются разработка и освоение в серийном производстве изделий микроэлектроники. Динамика науч­но-технической деятельности в холдинге носит цикличный характер. В 2021 г. закрылся предыдущий пятилетний цикл (2021–2021 гг.) с завершением большинства НИОКР и запуска в серийное производство новых изделий в 2021–2021 гг.

В прошлом году начались новые проекты. В УК «ИНТЕГРАЛ» выполнялось 56 НИОКР, в рамках которых разрабатывалось 74 изделия.

Значимость созданных инноваций мы оцениваем в первую очередь по коммерческой успешности разработанных изделий, результатам продаж. Чтобы их кор­ректно оценивать, требуется некоторый временной лаг. Как правило, разработанные изделия окупаются в течение 3–5 лет.

Мы выделяем 2 типа реализуемых проектов: краткосрочные и долгосрочные. Так, по некоторым изделиям достигается приличный объем продаж уже на следующий год после освоения. Но, к сожалению, всплеск спроса на них быстро проходит. Это в первую очередь касается электронных компонентов для бытовой электроники. Другие изделия продвигаются на рынок довольно долго, спрос на них сравнительно невелик, но они стабильно продаются в течение 10 и более лет. Это характерно для изделий военной, промышленной, автомобильной электроники. Зачастую благодаря временной составляющей второй тип проектов оказывается более выгодным.

Положительного экономического эф­фекта мы ожидаем от всех завершившихся в 2021 г. НИОКР. Но наиболее перспективные – это интегральные микросхемы однократно электрически программируемого запоминающего устройства информационной емкостью 64 Кґ 8, устойчивого к специальным факторам, с номинальным напряжением питания 3,3 В и базовый кристалл для серии регулируемых стабилитронов универсального применения.

Что «ИНТЕГРАЛ» ждет от Госпрограммы инновационного развития Рес­публики Беларусь на 2021–2020 гг.?

– В рамках этой программы государство пытается найти в нашей экономике потенциальные точки роста и придать им дополнительный импульс. Это соответствует нормальной мировой практике. Грамотный соб­ственник (в нашем случае – государство) всегда заботится о развитии и повышении эффективности своих активов. Время экстенсивного пути давно про­шло. Сегодня рост может быть достигнут только благодаря со­зданию принципиально новых производств, разработке новых изделий и технологий, т.е. инноваций. Холдинг развивает ряд проектов, имеющих неплохие перспективы. Но, чтобы реализовать их потенциал, предстоит выполнить огромные объемы работ и задействовать существенные ресурсы, в т.ч. финансовые. Поэтому государственная поддержка здесь окажется совсем не лишней.

Требуется ли господдерж­ка дляразработки новых тех­нологий?

– В сфере микроэлектроники только глобальные компании работают с видимой прибылью (TSMC, Intel, Samsung и немногие другие). После появления каждой новой технологии пер­вые заводы-монополисты, обладающие ей, и получают основную прибыль, а те, кто приходит на 2–5–10 лет позже, вынуждены работать практически по себестоимости.

Рис. 1. Стоимость полупроводникового завода в зависимости от проектных норм (млн. USD).

Рис. 1. Стоимость полупроводникового завода в зависимости от проектных норм (млн. USD).

Тем не менее «ИНТЕГРАЛ» работает стабильно и рентабельно. Наше экономическое положение устойчиво. Однако разработка принципиально новых технологий связана с закупкой дорогостоящего оборудования. Для столь масштабных капиталовложений собственных средств зачастую недостаточно.

Какие направления на международном рынке мик­роэлектронных компонентов и промышленной электроники сейчас находятся на пике спроса? Чем может ответить на него «ИНТЕГРАЛ»?

– Здесь нужно рассматривать конечные (завершенные) устройства, в которых используются микроэлектронные компоненты. Именно они формируют этот спрос. Наибольший вклад в него в стоимостном выражении вносят смартфоны, затем идут компьютеры, цифровые телевизоры, автомобильная электроника и планшеты.

Соответственно, самые большие продажи наблюдаются в секторах интегральных схем памяти (ОЗУ и FLASH), микропроцессоров и специализированных логических ИС.

Читайте также:  Сделка «Роснефти» и китайской CNPC может иметь важные последствия для мирового рынка нефти От

В сумме эти сектора обеспечивают более 60% продаж на рынке полупроводников. Дан­ные изделия отличаются высоким уровнем конструктивной слож­ности, высокой ценой и изготавливаются по технологиям, недоступным сегодня хол­дингу «ИНТЕГРАЛ», в первую очередь из-за высокой капиталоемкости. Ключевая особенность микроэлектронного (полупроводникового) производства – структура затрат. Здесь особенно велика доля амортизации, расходов на содержание оборудования, технологии, НИОКР. Стоимость последних сущест­венно возрастает вместе с проектными нормами. Это связано не только с трудоемкостью и зарплатой, но и с внешними факторами – стоимостью САПР, библиотек проектирования (IP-­блоков), фотошаблонов и др.

Рис. 2. Стоимость разработки изделия зависимости от проектных норм (млн. USD).

Рис. 2. Стоимость разработки изделия зависимости от проектных норм (млн. USD).

Помимо микросхем памяти, микропроцессоров, специализированных логических ИС в электронных устройствах необходимы и другие элементы. В материнской плате есть сотни полупроводниковых приборов – MOSFET, драйверы, микросхемы питания и т.п. Почти для всех из них хватает и 1 мкм (1000 нм) технологии.

Иногда применение самых передовых проектных норм технологически или экономически нецелесообразно. Наиболее на­глядно это видно в силовой электронике, где уменьшение размеров элемента противоречит требованиями по пробивным напряжениям и протекающим токам, и военной электронике, где начиная с определенного значения проектных норм снижается устойчивость (надежность) изделия к специальным внешним воздействующим факторам.

Сегодня в мире большинство микросхем делается по «грубым» технологиям (0,35–0,5 мкм и более), и миллиарды микросхем, уходящих в Китай, в т.ч. и от «ИНТЕГРАЛА» (правда, в основном в виде пластин), – вполне востребованы и продаются. Так что в холодильниках, телевизорах, пылесосах, материнских платах и сотовых телефонах есть наши микросхемы и силовые транзисторы – но под зарубежными именами.

Известно, что «ИНТЕГРАЛ» экспортирует 80% своей продукции. Какие направления экспорта более успешны? Почему?

– Можно выделить два основных направления экспорта. В Российскую Федерацию мы по­ставляем преимущественно эле­ктронные компоненты двойного и специального назначения. У нас сложились устоявшиеся партнерские отношения с российскими предприятиями оборонно-промышленного комп­лекса, а также входящими в федеральное космическое агент­ство «Роскосмос» и государст­венную корпорацию «Росатом». Благодаря высокому качеству наша продукция пользуется там устойчивым спросом.

В страны Юго-Восточной Азии мы поставляем электронные компоненты гражданского применения, преимущественно силовой электроники. Например, в комплекте к каждому смартфону идет зарядное устройство на основе микросхемы импульсного регулятора напряжения. В каждом ЖК-мониторе компьютера есть микросхема управления подсветкой.

Какую долю в вашей выручке приносит продажа тех­нологий?

– Мы – производственное предприятие. Все разработанные технологии внедряем у себя. Продажа технологии означает, что она перестает быть уникальной – появляется конкурент, который ее использует. Получается, что, заработав какие-то деньги сейчас, теряешь больше в перспективе. Это подтверждено на опыте работы с нашими китайскими «партнерами». Поэтому технологии мы продаем только в составе изделий.

Доступен ли для «ИНТЕГРАЛА» российский рынок гос­закупок? Сколько тендеров удалось выиграть в 2021 году? Насколько это выгодно?

– Основные потребители нашей продукции – предприятия оборонно-промышленного комп­лекса РФ и производители бытовой и промышленной элект­роники. Поставки идут напрямую потребителям, а также с помощью института квалифицированных поставщиков, сертифицированных соответствующими органами РФ.

Каковы финансовые результаты вашего предприятия за прошлый год? Удалось ли улучшить эти показатели?

– За 2021 г. по холдингу «ИНТЕГРАЛ» объем выручки от реализации увеличился в сра­внении с 2021 г. на 18,4%, до 184,7 млн. BYN, в т.ч. по управляющей компании – на 17,1%, до 174,2 млн. BYN. Соотношение между отгруженной и произведенной продукцией составило в холдинге 105,3% против 91,4% в 2021-м.

Темп роста выручки на одного работающего по холдингу со­ставил 121,8%, коэффициент опережающего роста выручки от реализации продукции, товаров, работ и услуг на одного сред­несписочного работника над ростом номинальной начисленной среднемесячной зарплаты составил 1,09, а в УК – 1,08 при плане больше 1,0.

При этом средняя зарплата выросла на 11,8% и составила 701,5 BYN, в т.ч. в управляющей компании – 728 BYN. Рентабельность продаж за 2021–2021 годы составила более 10%, чис­тая прибыль за данный период – 11,6 млн. BYN, а в УК «ИНТЕГРАЛ» – 13,4% и почти 3,5 млн. BYN соответственно. Удельный вес отгруженной инновационной продукции в общем объеме – 35,1%.

На текущий год в холдинге запланирован объем производства промышленной продукции на уровне 206,5 млн. BYN, чис­тая прибыль – 2,575 млн. BYN, рентабельность продаж – не менее 8%. При этом соотношение запасов готовой продукции и среднемесячного объема производства должно составить 250%. Мы намерены снизить затраты на 5,1% и увеличить экспорт на 11,7%, до 87,7 млн. USD.

Какие преимущества дало «ИНТЕГРАЛУ» создание хол­динга?

– В целях сохранения технологических и производственных связей между бывшими пред­приятиями НПО «ИНТЕГРАЛ», для содействия их кооперации, обеспечения единой инвестиционной и научно-технической политики и, как следствие, увеличения экспортного потенциала, сохранения достигнутой управляемости было принято решение о создании холдинга, что должно обеспечить достижение целого ряда стратегически важ­ных производственно-­экономических показателей и эффектов. В частности, это увеличение доли рынка и расширение сферы сбыта продукции, конкурентоспособность продукции по цене через экономию на эффекте масштаба и снижении доли управленческих расходов. Важ­ное направление – диверсификация производства через освоение и выпуск новых конкурентоспособных продуктов. Кроме того, мы надеемся увеличить инвестиционную привлекательность холдинга и его участ­ников, а также их рыночную стоимость.

Автор публикации: Оксана КУЗНЕЦОВА


Инвестиционные условия

Желающие зарабатывать на пассиве получают в распоряжение множество инвестиционных тарифов. Скажем сразу, не все стоит рассматривать к работе, ведь маркетинг с подвохом. Если делать все правильно никакого подвоха не будет. Инвесторы Teqra могут начать с 50$ и получать плавающий ежедневный процент от 1,1% до 1,5% в течение 10 рабочих дней. По окончанию срока инвестирования депозит возвращается на баланс и становится доступным к выводу.

Прибыль начисляется везде ежедневно. Стоит рассматривать максимум тарифы до Plan 3, если ваш кошелек велик и может себе позволить выделить 10%, которые составят не менее 5000$. Подобные проекты такие суммы переваривают, однако первых двух тарифов достаточно для работы.

Рекомендуется инвестировать деньги на линейку тарифов до Plan 3. Также стоит определиться с суммой инвестирования сразу, ведь проект платит, а докладывая средства в будущем вы увеличите для себя риски.

Инструкция по работе

Переходим на официальный сайт Teqra com.

Официальный сайт

Жмем на главной странице «Регистрация».

Заполняем поля, проверяем достоверность информации и аплайна, после чего жмем «регистрация». В личном кабинете пополняем баланс на вкладке «Пополнение».

Указываем способ пополнения и сумму. Затем следуя инструкции оплачиваем заявку. После того, как деньги оказались на балансе создаем депозит.

Во вкладке «Открыть депозит» выберите тариф, введите сумму и нажмите «инвестировать».

Маркетинг платформы

Инвестиционная программа Teqra использует традиционный маркетинг. Подключена пассивная составляющая с инвестицией и стабильным процентом прибыли, а также активная – партнерская программа. Лидеры индустрии не смогут вымывать кассу проекта своими заработками на партнерке, ведь математически она довольно сдержанная. Условия направлены на мотивацию инвестора делать реинвест, чем обуславливать дальнейшую работу и заработок.

Читайте также:  Закон Республики Крым от 2 июля 2019 г. N 624-ЗРК/2019 "Об инвестиционной политике и государственной поддержке инвестиционной деятельности в Республике Крым"

Партнерская программа

С первого взгляда партнерская программа Teqra глубокая, чрезмерно щедрая и может навредить проекту. Углубляясь, приходит понимание, что админ проделал отличную работу и подобрал идеальные условия. Партнерка состоит из карьерных статусов, где при достижении определенного оборота открываются новые уровни и растут проценты отчисления.

За каждый сделанный депозит партнерами система возвращает в виде бонуса на баланс часть от суммы. Требования к статусам слишком необъятные, поэтому рабочими остаются проценты на статусе Manager, доступного всем. Каждый вклад с 5 уровней рефералов в глубину приносит 5-2-1-1-1% соответственно. Условия не позволяют лидерам зарабатывать слишком много, а значит пассивная составляющая у руководства в приоритете.

Применение интеграла в экономике

4.1) Найти излишек потребителя, если кривая спроса задана уравнением P=40-4Q2, а равновесное количество товара Q равно 2.

4.2) Определить добавочную выгоду производителя PS, если кривая предложения имеет вид P=10 8Q3, а точка равновесия между спросом и предложением достигается при количестве товара Q=5.

4.3) Заданы чистые инвестиции I(t)=10000 MLITG | Акции Integral SA  - . Определить приращение капитала за 5 лет.

4.4) Функция, задающая инвестиции остается прежней (см. условие задачи 3). Через сколько лет приращение составит 80000?

4.5) Вычислить начальный вклад P, если выплаты должны составлять 200 ед. в течение 5 лет, а процентная ставка равна 3.

4.6) Предельные издержки описываются формулой MLITG | Акции Integral SA  - . Записать формулу издержек, зная, что постоянные издержки равны 80.

4.7) Записать вид экономической функции, если её предельный величина описывается формулой MLITG | Акции Integral SA  - .

4.8) Найти излишек потребителя, если кривая спроса задана уравнением P=1000-10Q4, а равновесное количество товара Q=3.

4.9) Определить добавочную выгоду производителя, если кривая предложения имеет вид P=40Q3 80, а точка равновесия между спросом и предложением достигается при количестве товара Q=100.

4.10) Чистые инвестиции заданы формулой MLITG | Акции Integral SA  - . Определить приращение капитала за 4 года.

4.11) MLITG | Акции Integral SA  - — функция, задающая инвестиции. Через сколько лет приращение составит 2000?

4.12) Вычислить начальный вклад P, если выплаты должны составлять 300 ед. в течение 2 лет, а процентная ставка равна 5.


Дополнительные задания для самостоятельного решения

1.Найти неопределенный интеграл.

1. а) MLITG | Акции Integral SA  - ; б) MLITG | Акции Integral SA  - .

2. а) MLITG | Акции Integral SA  - ; б) MLITG | Акции Integral SA  - .

3. а) MLITG | Акции Integral SA  - ; б) MLITG | Акции Integral SA  -

4. а) MLITG | Акции Integral SA  - ; б) MLITG | Акции Integral SA  - .

5. а) MLITG | Акции Integral SA  - ; б) MLITG | Акции Integral SA  - .

6. а) MLITG | Акции Integral SA  - ; б) MLITG | Акции Integral SA  - .

7. а) MLITG | Акции Integral SA  - ; б) MLITG | Акции Integral SA  - .

8. а) MLITG | Акции Integral SA  - ; б) MLITG | Акции Integral SA  - .

9. а) MLITG | Акции Integral SA  - ; б) MLITG | Акции Integral SA  - .

10. а) MLITG | Акции Integral SA  - ; б) MLITG | Акции Integral SA  -

2.Найти площадь фигуры, образованной линиями:

1. MLITG | Акции Integral SA  - , MLITG | Акции Integral SA  - .

2. MLITG | Акции Integral SA  - , MLITG | Акции Integral SA  - .

3. MLITG | Акции Integral SA  - , MLITG | Акции Integral SA  - .

4. MLITG | Акции Integral SA  - , MLITG | Акции Integral SA  - .

5. MLITG | Акции Integral SA  - , MLITG | Акции Integral SA  - .

6. MLITG | Акции Integral SA  - , MLITG | Акции Integral SA  - .

7. MLITG | Акции Integral SA  - , MLITG | Акции Integral SA  - .

8. MLITG | Акции Integral SA  - , MLITG | Акции Integral SA  - .

9. MLITG | Акции Integral SA  - , MLITG | Акции Integral SA  - .

10. MLITG | Акции Integral SA  - , MLITG | Акции Integral SA  - .

Матрицы и определители.

Определение матрицы

1. Матрицей называется прямоугольная таблица элементов. Обозначаются матрицы заглавными латинскими буквами.

MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  - , MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  -

m x n – размер матрицы.

m = n – матрица – квадратная.

Квадратная матрица, имеющая единицы по главной диагонали и остальные элементы, равные нулю, называется единичной и обозначается буквой E или I.

MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -

Матрица может иметь только одну строку (матрица-строка) или только один столбец (матрица-столбец).

Вектор – столбец m x 1 MLITG | Акции Integral SA  -

Вектор – строка 1 x n MLITG | Акции Integral SA  -

Операция, при которой меняются местами строки и столбцы A с сохранением порядка элементов называется транспонированием.

MLITG | Акции Integral SA  - ; MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  - ; MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -

Для симметричных матриц MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -

Две матрицы, имеющие одинаковые размеры называются равными тогда и только тогда, когда равны их соответственные элементы.

Действия над матрицами.

1) MLITG | Акции Integral SA  - MLITG | Акции Integral SA  - = MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  - ; MLITG | Акции Integral SA  -

2) kA=C; MLITG | Акции Integral SA  -

Сложение и умножение на число являются линейными операциями. Они не меняют размеров матрицы.

3) Введём операцию умножения:

MLITG | Акции Integral SA  -

Правило “строка на столбец”.

Умножение двух матриц A и B возможно только тогда, когда число столбцов матрицыA равно числу строк матрицыB.

MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  - = MLITG | Акции Integral SA  - ;

MLITG | Акции Integral SA  -

Обратная матрица.

Пусть A – квадратная матрица. Единственная матрица MLITG | Акции Integral SA  - от умножения которой на матрицу A как слева, так и справа получается единичная матрица E, называется матрицей, обратной для матрицы A.

MLITG | Акции Integral SA  - ·A=A· MLITG | Акции Integral SA  - =E

§

MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  - , где MLITG | Акции Integral SA  - , MLITG | Акции Integral SA  - , MLITG | Акции Integral SA  -

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) совместна, если имеет хотя бы одно решение и несовместна, если не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более чем одно решение.

Система называется однородной, если все элементы столбца свободных членов b1, b2 … bn равны нулю и неоднородной, если хотя бы один этих элементов отличен от нуля.

Для решения СЛАУ с квадратной матрицей коэффициентов разработан ряд методов. Рассмотрим метод определителей (формула Крамера), матричный метод и метод Гаусса:

4.1.1. Метод определителей (формула Крамера)

Пусть система

MLITG | Акции Integral SA  -

имеет квадратную матрицу коэффициентов, определитель которой не равен нулю. Тогда система имеет единственное решение, которое по формулам Крамера записывается:

MLITG | Акции Integral SA  - , MLITG | Акции Integral SA  - , … , MLITG | Акции Integral SA  - ,

где MLITG | Акции Integral SA  - – определитель матрицы коэффициентов системы А, а MLITG | Акции Integral SA  - , MLITG | Акции Integral SA  - , … , MLITG | Акции Integral SA  - – определители замещения, которые получаются, когда в матрице А столбец, содержащий соответствующую переменную, заменяется столбцом свободных членов.

Пример.

MLITG | Акции Integral SA  -

Решение.

MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  - , MLITG | Акции Integral SA  - , MLITG | Акции Integral SA  -


Проверка

MLITG | Акции Integral SA  -

Метод определителей позволяет решать системы только с квадратной матрицей коэффициентов при условии, что MLITG | Акции Integral SA  - .

4.1.2. Матричный метод (математический метод, метод обратнойматрицы)

Пусть система

MLITG | Акции Integral SA  -

Имеет квадратную матрицу коэффициентов, определитель которой не равен нулю. Тогда система имеет единственное решение, которое представляется в следующем виде:

MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  -

Матричный метод позволяет решать системы только с квадратной матрицей коэффициентов при условии, что MLITG | Акции Integral SA  - .

Пример.

MLITG | Акции Integral SA  -

Решение.

MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -

4.1.3. Метод Гаусса (универсальный метод)

Метод Гаусса позволяет решать системы не только с квадратной, но и с прямоугольной матрицей коэффициентов, а также позволяет решать системы, когда определитель матрицы MLITG | Акции Integral SA  - . Метод Гаусса основан на следующих эквивалентных преобразованиях системы уравнений:

Ø Перестановка уравнений в системе;

Ø Умножение любого уравнения на любое число, отличное от нуля;

Ø Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число;

Ø Отбрасывание уравнений, в которых все коэффициенты и свободный член равны нулю.

Цель преобразований:

Свести матрицу к ступенчатому виду и последовательно, методом обратного хода, начиная с последней строки записать решение системы.

Метод Жордана – Гаусса:

Свести исходную систему уравнений к равносильной системе с единичной матрицей коэффициентов.

Пример 1.

MLITG | Акции Integral SA  -

Решение (метод Гаусса):

MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -

Метод Жордана – Гаусса:

MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -

Пример 2.

MLITG | Акции Integral SA  -

Решение (Метод Гаусса):

MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -

Метод Жордана – Гаусса:

MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -

§

Система m линейных уравнений с n переменными называется системой линейных однородныхуравнений, если все их свободные члены равны нулю.

MLITG | Акции Integral SA  -

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере, нулевое (тривиальное) решение (0;0;…;0).

Если в системе (2) m=n, а её определитель отличен от нуля, то такая система имеет только нулевое решение, как это следует из теоремы и формул Крамера.

Ненулевые решения, возможны лишь для таких систем линейных однородных уравнений, в которых число уравнений меньше числа переменных или, когда m=n, но определитель системы равен нулю.

Иначе: система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. MLITG | Акции Integral SA  - .

Обозначим решение системы

MLITG | Акции Integral SA  - , MLITG | Акции Integral SA  -

в виде строки MLITG | Акции Integral SA  - .


Свойства решений системы линейных однородных уравнений.

1. Если строка MLITG | Акции Integral SA  - -решение системы, то и строка MLITG | Акции Integral SA  - -также решение этой системы.

2. Если строки MLITG | Акции Integral SA  - и MLITG | Акции Integral SA  - -решения системы (2), то при MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  - и MLITG | Акции Integral SA  - их линейная комбинация MLITG | Акции Integral SA  - -так же решение этой системы.

Из свойств следует, что всякая линейная комбинация решений системы линейных однородных уравнений также является решением этой системы.

Определение. Система линейно независимых решений MLITG | Акции Integral SA  - называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений MLITG | Акции Integral SA  - .

Теорема: Если ранг матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений (2) меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы (2) состоит из n-r решений.

Читайте также:  Инвестиции в IT-технологии — варианты, особенности рынка ИТ, что должен знать инвестор

Поэтому общее решение системы (2) линейных однородных уравнений имеет вид:

MLITG | Акции Integral SA  - ,

где MLITG | Акции Integral SA  - — любая фундаментальная система решений, MLITG | Акции Integral SA  - -произвольные числа, MLITG | Акции Integral SA  - .

Пример решения задач.

Пример. Найти фундаментальную систему решений системы линейных однородных алгебраических уравнений.

MLITG | Акции Integral SA  -

Такая система совместна всегда, так как имеет тривиальное решение (0; 0; 0; 0; 0).

Решение.

MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  - система имеет множество решений.

MLITG | Акции Integral SA  - система имеет три свободные переменные

MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  - — базисные переменные, MLITG | Акции Integral SA  - , MLITG | Акции Integral SA  - , MLITG | Акции Integral SA  - — свободные переменные

Условия для нахождения фундаментальных решений:

MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  -

1)

MLITG | Акции Integral SA  -

2)

MLITG | Акции Integral SA  -

3)

MLITG | Акции Integral SA  -

Данные строки — MLITG | Акции Integral SA  - , MLITG | Акции Integral SA  - , MLITG | Акции Integral SA  - (векторы) – образуют фундаментальную систему решений данной системы линейных однородных алгебраических уравнений.

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ

Расчетная работа № 1.

Обработка экспериментальных данных

Методом наименьших квадратов

Основные положения

При обработке данных экспериментов возникает необходимость определения закономерности их изменения:

— представление в виде какой-либо функциональной зависимости с целью исследования и прогнозирования характера и протекания процесса;

Из методов построения эмпирической прямой наиболее обоснован и распространён метод наименьших квадратов, заключающийся в следующем:

— из множества функциональных зависимостей определённого вида выбирается та, для которой сумма квадратов отклонений экспериментальных значений от теоретических (вычислительных) является наименьшей.
Впервые этот метод предложил Гаусс.

§

Пусть данные опыта представляют собой некоторое кол-во n-точек с координатами (xi;yi), (i= 1; 2; …; n)

Если в таблице участвуют две величины, то получают зависимость в видефункции одной переменной y(x) или x(y).

MLITG | Акции Integral SA  -

Удобно изображать эти процессы графически

Можно этот набор точек попытаться описать прямой типа (y=ax b), можно считать, что это часть параболы (y=ax2 bx c), степенно-показательной (y=beax) или обобщённо-степенной (y=bxa) функции.

MLITG | Акции Integral SA  -

Согласно методу наименьших квадратов, параметры функции f(x) следует выбирать так, чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей, а значит минимизировались отклонения статистических данных от теоретических.

Этот метод постоянно используется в статистике, эконометрике, в финансовой математике и т.д.

Часто такой метод называют получением уравнений регрессии методом наименьших квадратов по сущности вычислительной процедуры. Это классическая задача дифференциального исчисления.

Рассмотрим применение данного метода для получения эмпирических формул на примере линейной функции y=ax b

Пусть принято решение искать эмпирическую формулу в виде линейной функции.

MLITG | Акции Integral SA  - Очевидно, что в искомом уравнении линейной функции y=ax b неизвестными являются коэффициенты a и b, при этом их значение должно обеспечить минимальное суммарное отклонение экспериментальных данных от теоретических, т.е. обеспечить прохождение прямой наиболее близко ко всем экспериментальным точкам. Данная цель достигается при минимальной величине суммы квадратов отклонений.

При этом a и b являются переменными.

Определим функцию MLITG | Акции Integral SA  -

Для нахождения экстремума функции 2-х переменных необходимо найти частные производные данной функции по каждой переменной, приравнять их к нулю, и решив полученную систему двух уравнений, определить критические значения a и b.

MLITG | Акции Integral SA  -

MLITG | Акции Integral SA  -

После преобразований получим следующую систему

MLITG | Акции Integral SA  -

Найденные значения a и b соответствуют min функции S .

Расчет значений известных величин, входящих в уравнения системы, удобно вести с помощью таблиц.

MLITG | Акции Integral SA  -

Подставляя найденные значения коэффициентов при a и b в систему уравнений, получаем значения неизвестных a и b. Таким образом эмпирическая формула будет найдена.

Графиком её является прямая, проходящая наиболее близко ко всем экспериментальным точкам.

Рассмотрим функцию вида у=bxa (обобщенно-степенная функция)

Прологарифмируем её.

MLITG | Акции Integral SA  -

Теперь линейное уравнение рассмотрим не для табличных значений, а для их логарифмов:

Расчет значений, входящих в уравнения системы, удобно вести с помощью таблиц.

Рассмотрим функцию вида у=beax (степенно-показательная функция)

Прологарифмируем её:

MLITG | Акции Integral SA  -

Теперь линейное уравнение рассмотрим не для табличных значений, а для их логарифмов:

Расчет значений, входящих в уравнения системы, удобно вести с помощью таблиц.

§

Протабулируем данные:

MLITG | Акции Integral SA  -

Найдем соответствующее отклонение от заданных точек:

MLITG | Акции Integral SA  -

Сравнив отклонения, можно сделать вывод, какая функция лучше подходит.

Расчетная работа № 2.

Матрицы. Определители.

Решение систем линейных алгебраических уравнений.

Часть 1

1. Выполнить сложения матриц разных размеров.

2. Выполнить умножение матриц:

1) Прямоугольных матриц

2) Квадратных матриц

3. Посчитать определитель всеми способами ( правило треугольника, правило Сарриуса, универсальный метод (через миноры)).

4. Найти обратную матрицу и выполнить проверку.

Часть 2

5. Решить систему линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов:

1) Метод определителей (Формулы Крамера)

2) Матричный метод

3) Метод Гаусса

4) Метод Жордана-Гаусса.

Часть 3

6. Решить систему с прямоугольной матрицей коэффициентов:

1) Найти общее решение, задать его параметрически

2) Найти все базисные решения этой системы.

7. Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы линейных однородных алгебраических уравнений.

Расчетная работа № 3 (дополнительная).

Приближенные вычисления определенных интегралов.

Разбивая отрезок интегрирования на 10 равных частей, а затем на 20 частей, найти приближенно интегралы MLITG | Акции Integral SA  - иMLITG | Акции Integral SA  - .Определить точность с помощью разности MLITG | Акции Integral SA  - .

MLITG | Акции Integral SA  -

а) по формуле трапеций;

б) по формуле Симпсона.


Решение. Имеем подинтегральную функцию MLITG | Акции Integral SA  - . Составим вспомогательную таблицу

MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  -MLITG | Акции Integral SA  - При делении на 10 частей
MLITG | Акции Integral SA  -
При делении на 20 частей
MLITG | Акции Integral SA  -
-1MLITG | Акции Integral SA  - 2,23607MLITG | Акции Integral SA  - 2,23607
-0,5 0,25 4,25  MLITG | Акции Integral SA  - 2,06155
MLITG | Акции Integral SA  - 2,0MLITG | Акции Integral SA  - 2,0
0,5 0,25 4,25  MLITG | Акции Integral SA  - 2,06155
MLITG | Акции Integral SA  - 2,23607MLITG | Акции Integral SA  - 2,23607
1,5 2,25 6,25  MLITG | Акции Integral SA  - 2,5
MLITG | Акции Integral SA  - 2,82843MLITG | Акции Integral SA  - 2,82843
2,5 6,25 10,25  MLITG | Акции Integral SA  - 3,20216
MLITG | Акции Integral SA  - 3,60555MLITG | Акции Integral SA  - 3,60555
3,5 12,25 16,25  MLITG | Акции Integral SA  - 4,03113
MLITG | Акции Integral SA  - 4,47214MLITG | Акции Integral SA  - 4,47214
4,5 20,25 24,25  MLITG | Акции Integral SA  - 4,92443
MLITG | Акции Integral SA  - 5,38516MLITG | Акции Integral SA  - 5,38516
5,5 30,25 34,25  MLITG | Акции Integral SA  - 5,85235
MLITG | Акции Integral SA  - 6,32456MLITG | Акции Integral SA  - 6,32456
6,5 42,25 46,25  MLITG | Акции Integral SA  - 6,80074
MLITG | Акции Integral SA  - 7,28011MLITG | Акции Integral SA  - 7,28011
7,5 56,25 60,25  MLITG | Акции Integral SA  - 7,76209
MLITG | Акции Integral SA  - 8,24621MLITG | Акции Integral SA  - 8,24621
8,5 72,25 76,25  MLITG | Акции Integral SA  - 8,73212
MLITG | Акции Integral SA  - 9,21954MLITG | Акции Integral SA  - 9,21954

а) По формуле трапеций.

При делении на 10 частей:

MLITG | Акции Integral SA  -

При делении на 20 частей

MLITG | Акции Integral SA  -

Точность вычислений оценивается с помощью разности: MLITG | Акции Integral SA  -

б) По формуле Симпсона.

При делении на 10 частей:

MLITG | Акции Integral SA  -

При делении на 20 частей

MLITG | Акции Integral SA  -

Точность вычислений оценивается с помощью разности: MLITG | Акции Integral SA  -

Известно, что при одинаковом числе точек разбиения формула Симпсона дает более точный результат.

ЛИТЕРАТУРА

1. Практикум по высшей математике для экономистов. Учеб. Пособие для вузов. /Кремер Н.Ш., Тришин И.М., Путко Б.А. и др.; Под ред. Н.Ш.Кремера. – М. ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 403 с.

2. Математика: учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям /Под ред. Горлача Б.А. Учебное пособие: — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006.-911 с. – Допущ.Мин-м образования и науки РФ.

3. Высшая математика для экономистов. Учебник для вузов /Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

4. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике. Учебник: В 2-х ч. – М.: Финансы и статистика, Ч.I. 2005. – 384 с.; Ч. II. 2006 – 560 с.

5. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. – СПб.: Питер, 2005. – 464 с.

Учебное издание

Лищинская Евгения Эльявна

Коваленко Татьяна Дмитриевна

Лищинский Наум Яковлевич

МАТЕМАТИКА

Часть 2

Учебно-методическое пособие

Корректор Петрова И.Н.

 
Подписано в печать 10.02.2009
Бумага тип. № 1
Усл.печ.л. 2,75 Тираж 150 экз.
 
 
Формат 60х90 1/16
Отпечатано на ризографе
Заказ 21

Международный институт рынка

443030, Самара, ул. Желябова, 21

Множительный участок МИР

443030, Самара, ул. Желябова, 21

Закладка Постоянная ссылка.
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (1 оценок, среднее: 4,00 из 5)
Загрузка...

Комментарии запрещены.