Наращение по сложной учетной ставке, Непрерывное наращение и дисконтирование — Модели финансового рынка и прогнозирование в финансовой сфере

Влияние инфляции на ставку процента

Говорят, что инфляция (или темп инфляции) составляет долю а в год, если один и тот же набор товаров стоит в конце года в (1 а) раз больше, чем в начале этого года. Можно также сказать, что в (1 а) раз уменьшилась покупательная способность одной денежной единицы.

Последнее означает, что если в начале года на 1 руб. можно было купить, например, 100 г сахара, то в конце года только, скажем, 90 г. Ясно, что инфляция уменьшает реальную ставку процента. Это будет уже ставка процента с учетом инфляции. Действительно, одна денежная единица возрастает за год в (1 /) раз из-за наращения процентов, но ее покупательная способность уменьшается в (1 а) раз из-за инфляции.

Таким образом, ее реальная ценность — покупательная способность — станет (1 0/0 а), а годовая реальная ставка есть (1 0/(1 а) — 1=(/ — а)/(1 а). Видно, что при малой инфляции (когда а мало) реальная процентная ставка меньше номинальной приблизительно на величину инфляции.

Для того чтобы номинальная ставка / обеспечивала наращение реальной ценности денежных сумм на долю j в год при годовой инфляции а, темп инфляции должен удовлетворять уравнению: (/ — а)/(1 а) =у, откуда i = а j (1 а).

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ —

• 1. При какой ставке сложных процентов за 9 лет сумма удваивается?
• 2. В день рождения внука бабушка положила в банк $1000 под 3% годовых. Какой будет эта сумма к семнадцатилетию внука?
• 3. Как найти инфляцию за квартал, если известна годовая инфляция?
• 4. Найдите несколько сумм в прошлом и в будущем, эквивалентных сумме 1000 д.е. в момент 0 при ставке 8% годовых.
• 5. Счет «СБ100» в Сбербанке обещает 2,9% за 100 дней. Сколько это составит процентов годовых?
• 6. Докажите строго, что при одной и той же ставке / наращение сложных процентов идет быстрее, чем простых процентов, при длине периода наращения, более единичного, и медленнее, если период наращения менее единичного, т.е. докажите неравенства (1 i)^{ > (1 ft), если t > 1 и (1 i)^{ <</i> (1 ft), если 0 < t<</i> 1. Докажите, что при удержании процентов, наоборот, простые проценты уменьшают сумму медленнее, чем сложные.
• 7. Рассмотрим последовательность оставшихся после удержания 4% сумм из примера 8 в обратном порядке и будем считать их наращенными суммами:

Первая последовательность есть последовательность наращенных сумм по простым процентам, вторая — по сложным. Найдите соответствующие ставки.

• 8. Докажите, что /= (1 i/m)^m —1 > i, т.е. что эффективная ставка больше номинальной (т — натуральное число).
• 9. Убедитесь, что для расчетов по инфляции (во сколько раз упала покупательная способность одной денежной единицы и т.п.) можно использовать мультиплицирующие или дисконтирующие множители.
• 10. Какую ставку должен назначить банк, чтобы при годовой инфляции 12% реальная ставка оказалась 6%?
• 11. Наращение простых процентов с переменной ставкой. Пусть простые проценты за к-й год равны /*. Найдите наращенную сумму через п лет.
• 12. Наращение сложных процентов с переменной ставкой. Пусть сложные проценты за к-й год равны /*. Найдите наращенную сумму через п лет.
• 13. По договору зафиксирован платеж через 3 года в размере 1000 д.е. Через год процентная ставка увеличилась. Кому это выгодно: тому, кому будут платить, или тому, кто будет платить?
• 14. С помощью компьютера получены следующие значения наращенных сумм через дробные промежутки времени.

Проверьте компьютерные расчеты, используя приведенные в § 1.3 формулы наращения простых и сложных процентов.