- Что представляет собой наращение?
- Что представляет собой дисконтирование?
- #1. временная стоимость денег. типы начисления процентов
- Дисконтирование и приведенная стоимость: соотнесение понятий
- Инфляционный аспект наращения и дисконтирования
- Логика дисконтирования и наращения как практический инструмент
- Наращение и дисконтирование — в чем их практическая значимость?
- Наращение и дисконтирование как аспект финансового анализа
- Наращение, дисконтирование. расчеты по непрерывным процентам
- Непрерывное начисление процентов
- Простые проценты
- Резюме
- Универсальность формул дисконтирования и наращения
Что представляет собой наращение?
Изучим теперь специфику операций наращения. Под ними понимается вычисление суммы, отражающей результат инвестирования денежных средств в некоторый проект с учетом действующей ставки. Фактически наращение позволяет определить, насколько рентабельным будет вложение капитала.
Что представляет собой дисконтирование?
Изучим для начала, в чем сущность операций наращения и дисконтирования. Также полезно будет определить принципиальную разницу между ними. Начнем со специфики дисконтирования. Под данным термином принято понимать процедуру, посредством которой исчисляется величина, отражающая сумму денежных средств, необходимых в настоящем времени для получения требуемого объема капитала в будущем посредством инвестирования в некоторый проект.
Дисконтирование предполагает осуществление вычислений, в рамках которых в расчет берутся такие показатели, как: ожидаемая сумма, отражающая результаты инвестирования, ставка дисконтирования и приведенная сумма — та, которую необходимо инвестировать по соответствующей ставке.
С экономической точки зрения дисконтирование нужно для того, чтобы определить, какую сумму инвестиций требуется вложить для получения желаемого финансового результата с учетом доступной ставки. Рассмотрим, посредством какой формулы осуществляется соответствующий расчет.
#1. временная стоимость денег. типы начисления процентов
Сначала поговорим о том, что такое временная стоимость денег, или
Time Value of Money (TVM)
, почему деньги имеют стоимость и какие виды процентов существуют.
На картинке ниже показан список фильмов с максимальными кассовыми сборами.
Можем ли мы их сравнить по этим цифрам? Учитывая, что фильмы выходили в разные годы, вряд ли такое сравнение будет правильным. Как быть?
Давайте рассмотрим более простой пример. Допустим, у вас есть тысяча рублей, и я у вас прошу эту сумму в долг. Сколько вы хотите, чтобы я вам отдала через год? Возможно, вы подумаете, что на эту тысячу рублей вы сейчас можете купить бутылку вкусного вина или что-то другое.
Также вы можете предположить, что через год на ту же самую тысячу рублей вы вряд ли сможете купить этот товар по причине инфляции. Кроме того, существует риск, что деньги я не верну. Поэтому, скорее всего, вы захотите компенсацию за то, что вы пока не будете покупать бутылку вина или какую-нибудь другую вещь.
Итак, деньги имеют стоимость, потому что их владелец хочет компенсации за то, что он не может купить какой-то товар или услугу, и за риск, который он несет, давая деньги в долг.
На языке математики это будет выглядеть так:
PV=1000
Сейчас вы мне даете тысячу рублей. Обозначим это как PV (Present Value). Допустим ставка (r) равна 5%, и деньги вы даете мне сроком на один год. Тогда возвращая деньги FV (Future Value), мне придется добавить к исходной сумме 50 рублей.
Если записать эту формулу в общем виде, то будущее значение равняется сумме долга, умноженной на единицу плюс процентная ставка.
А что, если начисление процентов происходит не раз в год, а чаще? Или что если проценты начисляются в течение двух, трех, десяти лет? В данном случае нам нужно всегда уточнять, каким образом происходит начисление процентов, в конце срока или с какой-то периодичностью и на сколько лет.
Дисконтирование и приведенная стоимость: соотнесение понятий
Рассмотрим один примечательный нюанс, характеризующий специфику дисконтирования, — соотнесение данного термина с понятием приведенной стоимости. В чем его особенность?
Дело в том, что дисконтированная стоимость капитала и приведенная — термины, которые часто рассматриваются как синонимы, но они не всегда означают одно и то же. Выше мы указали, что второй термин можно применять в целях обозначения суммы вложений, необходимой для получения целевого значения результативности инвестирования капитала в проект с установленной ставкой рентабельности.
Можно отметить, что термин «приведенная стоимость» прижился главным образом в русском языке. Зарубежные экономисты чаще используют понятие дисконтированного финансового потока. Но в большинстве случаев, конечно, приведенная стоимость — термин, который применяется в качестве синонима к понятию дисконтированного капитала.
Инфляционный аспект наращения и дисконтирования
Выше мы отметили, что операции наращения и дисконтирования — это инструменты, позволяющие оценить покупательную способность капитала с учетом факторов инфляции. Полезно будет изучить данный аспект подробнее. Рыночная экономика характеризуется особенностью: со временем покупательная способность капитала меняется.
Как правило, в сторону снижения. Это обусловлено инфляцией — ростом цен. Ставка дисконтирования, коррелирующая с процессами обесценивания валюты, позволяет наглядно зафиксировать, что инвестирование одних и тех же сумм капитала в разное время существенно отличается по эффективности.
Логика операций дисконтирования (наращения) капитала обязана, таким образом, учитывать инфляционные, а в ряде случаев и дефляционные процессы, когда, наоборот, стоимость капитала в будущем увеличивается вследствие снижения цен. При этом может рассматриваться как инфляция в среднем по экономике, так и изменение динамики цен по отдельным сегментам товаров и сервисов — в зависимости от задач, которые стоят перед исследователем.
Не считая рассматриваемого экономического критерия, дисконтированная стоимость капитала на практике зависит также от таких факторов, как доступность альтернативных инвестиций, величина кредитных ставок, динамика спроса и предложения в том сегменте рынка, куда направляется капитал, сроки вложений.
Логика дисконтирования и наращения как практический инструмент
Изучим, как логика операций дисконтирования (наращения) капитала может на практике помочь предпринимателю оптимизировать политику инвестирования. В случае с наращением, как мы уже знаем, вычисляется стоимость текущего объема денежных средств в расчете на их покупательную способность в будущем. Таким образом, в рамках данной операции в расчет берутся:
- размер исходного капитала;
- ставка наращения — как правило, выражаемая в процентах;
- длительность периода наращения — как правило, в годах.
Для того чтобы вычислить наращенную величину исходного капитала при инвестировании в бизнес, нужно знать расчетную рентабельность предприятия. То есть определить ставку наращения. Она может быть исчислена исходя из среднерыночных показателей или же из исторических сведений о предыдущем опыте инвестирования в фирму либо другие предприятия того же сегмента.
Стоит отметить, что формулы, задействуемые в процессе операций дисконтирования (наращения) капитала, состоят из элементов, которые могут довольно легко вычисляться, если известны другие. То есть если инвестор знает величину исходного капитала и полученного в рамках предыдущего контракта, то без проблем сможет вычислить ставку наращения, равно как и дисконтирования.
Наращение и дисконтирование — в чем их практическая значимость?
Операции наращения и дисконтирования могут применяться как инструмент анализа эффективности инвестирования в бизнес. Так, предприниматель, рассматривающий перспективы вложения в то или иное предприятие, будет заинтересован, чтобы условные 1000 долларов, проинвестированные в фирму сегодня, увеличились через несколько лет настолько, чтобы соответствующая инвестиция была выгоднее, чем какое-либо другое из доступных вложений. Например, в виде, депозита в банке.
Операции наращения и дисконтирования могут оказаться полезны в тех случаях, когда инвестору нужно просчитать, в какие именно бизнес-процессы стоит направлять денежные средства. Так, может выясниться, что для повышения рентабельности бизнеса потребуется осуществить своевременную модернизацию основных фондов в одних случаях и инвестирования в разработку — в других.
Наращение и дисконтирование как аспект финансового анализа
Полезно будет более подробно рассмотреть, как могут применяться операции наращения и дисконтирования в финансовом анализе показателей деятельности коммерческого предприятия. Рассматриваемые инструменты позволяют выявить следующие моменты:
- какова зависимость между объемами инвестируемого в фирму капитала и вероятным ростом производства;
- насколько более привлекательными выглядят вложения в бизнес для инвестора в сравнении с альтернативными способами увеличения стоимости капитала;
- каковы оптимальные показатели рентабельности предприятия с точки зрения соблюдения баланса между интересами партнеров, вкладывающих в фирму свой капитал, и собственниками, для которых более важным фактором выстраивания стратегии развития бизнеса может быть расширение рынков сбыта.
Таким образом, рассматриваемые операции — эффективный инструмент оценки принимаемых менеджментом фирмы решений и анализа результатов практической реализации мероприятий, которые предусмотрены их принятием.
Наращение, дисконтирование. расчеты по непрерывным процентам
Наращение — это процесс инвестирования с целью увеличения денежных средств, при котором известны текущая стоимость инвестиции (первоначальная сумма), процентная ставка и общее число периодов выплат инвестиции. Первоначальную сумму вместе с процентными деньгами называют наращенной суммой.
В Excel 2021 в категории финансовых функций для определения наращения приведена функция БС.
БС (Ставка; Кнер; Плт; Пс; Тип) — вычисляет будущую стоимость инвестиции на основе периодических, равных но величине сумм платежей и постоянной процентной ставки.
Пример 8.9
Необходимо произвести увеличение средств. Текущая стоимость инвестиции составляет 8000 долл. Какая сумма будет накоплена через 18 месяцев, если вложить эти средства в банк под 11% годовых. Никаких дополнительных вложений и изъятий не производится. Начисление процентов производится ежемесячно.
Решение
Речь в задаче идет об инвестировании с целью увеличения денежных средств. В этом случае следует обратиться к функции БС (рис. 8.3). Раз это инвестиция (вложение), то результат БС получит знак «плюс», так как ожидается приток денежных средств клиенту. Текущая стоимость инвестиции Пс равна 8000 долл, со знаком «минус», так как эти деньги будут вложены в банк, т.е. на данный момент происходит отток денежных средств у клиента. Проценты начисляются ежемесячно, следовательно, периодом является месяц и необходимо найти процентную ставку Ставка за месяц. Для этого годовую процентную ставку 11% нужно разделить на 12. Выплаты будут производиться в течение 18 месяцев, следовательно, периодов выплат Кнер будет 18. Тип равняется «0» так как дополнительных изъятий или вложений не предусмотрено.
Рис. 8.3. Функция БС
В результате видно, что при заданных условиях наращенная сумма будет равна 9428,06 руб.
Дисконтирование — это процесс инвестирования, при котором известны будущая стоимость инвестиции (наращенная сумма), процентная ставка и общее число периодов выплат инвестиции. Процесс дисконтирования предполагает определение текущей стоимости инвестиции (первоначальной суммы).
В Excel 2021 в категории финансовых функций для определения наращения приведена функция ПС.
ПС (Ставка; Кпер; Плт; Бс; Тип) — рассчитывает приведенную к текущему моменту стоимость инвестиции, которая на настоящий момент равноценна ряду будущих выплат.
Наращение и дисконтирование — взаимно обратные процессы.
Пример 8.10
Нужно определить какую сумму кредита можно взять под 18% годовых с ежемесячным начислением процентов на протяжении двух лет, если в итоге клиент готов выплатить 300 000 руб.
Решение
Из условия задачи понятно, что найти нужно начальное значение кредита, т.е. ПС (рис. 8.4). Раз это кредит, то ПС получит знак «плюс», так как ожидается приток денежных средств клиенту. Будущее значение кредита Бс равно 300 000 руб. со знаком «минус», так как эти деньги будут возвращены банку. Проценты начисляются ежемесячно, следовательно, периодом является месяц, и необходимо найти процентную ставку Ставка за месяц. Для этого годовую процентную ставку 18% нужно разделить на 12. Выплаты будут производиться в течение двух лет ежемесячно, следовательно, периодов выплат Кпср будет 24 (2 • 12).
Рис. 8.4. Функция ПС
В результате получается, что кредит можно взять в размере 209 863,18 руб.
Функции ПС и БС предполагают наличие периодических, равных по величине сумм платежей и постоянной процентной ставки на весь период инвестирования. Однако бывает, что в течение периода инвестирования процентная ставка или суммы платежей изменяются. В этом случае суммы наращения (дисконтирования) рассчитываются отдельно для каждого периода, в течение которого процентная ставка и платежи постоянны, при этом накопленная к этому моменту сумма (Бс), становится первоначальной суммой (Пс) для следующего периода.
Пример 8.11
Взят кредит на сумму 350 000 руб. на 7 лет. Проценты начисляются следующим образом: первые 3 года по 16,9% годовых ежемесячно. В последующие 4 года предполагается изменение процентной ставки и порядок начисления процентов: по 17,2% годовых один раз в квартал. Нужно определить будущую стоимость инвестиции.
Решение
Известно первоначальное значение инвестиции. Так как это кредит, то значение инвестиции берется со знаком «плюс». Решение задачи нужно разделить на два этапа. Сначала определяем будущую стоимость инвестиции за первые 3 года (рис. 8.5). Затем за последующие 4 года (рис. 8.6).
Рассчитываем ежемесячную процентную ставку Ставка для первой части решения. Для этого годовую процентную ставку 16,9% делим на 12. Выплаты будут произволиться в течение трех лет ежемесячно, следовательно, периодов выплат Кнер будет 36 (3 • 12). Будущая стоимость инвестиции определяется по функции БС.
Рис. 85. Будущая стоимость за первые 3 года
В результате получаем значение 579054,27 со знаком «минус», что говорит о том, что эту сумму должен вернуть банку клиент через 3 года. Эта сумма будет первоначальной для последующего расчета Пс. На втором этапе определяем процентную ставку за квартал Ставка, разделив 17,2% на 4, так как в году 4 квартала. Затем определяем количество периодов начисления процентов за 4 года Кпер, которое составит значение 16.
Рис. 8.6. Будущая стоимость за последующие 4 года
В результате получаем значение 1 135 711,27 со знаком «минус».
В условиях капитализации процентов наращение суммы осуществляется разными темпами в зависимости от частоты начисления процентов. Чем больше частота, тем сумма накапливается быстрее. Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала. Особым видом процентной ставки, используемым в теоретическом финансовом анализе, является процентная ставка «Сила роста», применяемая при непрерывном начислении процентов. Непрерывное начисление процентов на практике употребляется крайне редко, однако такое начисление целесообразно применить при анализе сложных финансовых задач, например, когда платежи за период поступают многократно, и наращенная сумма непрерывно меняется во времени.
Чтобы отличать непрерывную ставку от дискретной, ввели специальное обозначение непрерывной ставки — 5 (дельта).
Формула для определения наращения по непрерывной процентной ставке имеет вид:
где S — будущая сумма; Р — первоначальная сумма; е — основание натурального логарифма (= 2,718281…); б — непрерывная процентная ставка; п — продолжительность ссуды, измеренная в годах; еЬп— множитель наращения непрерывных процентов.
Пример 8.12
Чему будет равна через 3 года сумма 350 000 руб., если сегодня положить ее на банковский депозит под 18% годовых, начисляемых непрерывно?
Решение
Рассчитаем наращенную сумму, применив формулу расчета по непрерывным процентам
5 = 350 000 • 2,7182810183 = 600 602,30.
Результат — 600 602,30.
Теперь решим ту же задачу при условии, что проценты будут начисляться ежедневно, считая, что в году 365 дней, применив функцию БС (рис. 8.7). Рассчитываем ежедневную процентную ставку Ставка. Для этого годовую процентную ставку 18% делим на 365 дней в году. Выплаты будут производиться в течение 3 лет ежедневно, следовательно, периодов выплат Кнер будет 1095 (3 • 365).
Рис. 8.7.Будущая стоимость при ежедневном начислении процентов
Результат — 600 522,46.
А в случае, к примеру, ежемесячного начисления процентов результат будет 598 198,84 (рис. 8.8).
Рис. 8.8.Будущая стоимость при ежемесячном начислении процентов
Полученные в примере 8.12 результаты иллюстрируют разные итоги накоплений в зависимости от периодичности начисления процентов при одинаковой первоначальной сумме, одинаковой процентной ставке и одном и том же сроке инвестиции.
Непрерывное начисление процентов
Давайте рассмотрим, как будет выглядеть формула для начислений процентов чаще одного раза в год. В этом случае будущее значение будет равняться текущему значению, умноженному на сумму единица плюс годовая процентная ставка, деленная на количество периодов начислений в году
(n)
в степени
nT
. Если начисления производятся каждые полгода, то
n=2
, если каждый день, то
n=365
Как же будет выглядеть формула, если мы хотим начислять проценты непрерывно? Тут придется вспомнить школьную математику. Формула будет следующей:
Для того, чтобы привести наш предел к какому-то удобному виду, нам нужно сделать подстановку. В итоге мы получаем следующее:
С учетом того, что наш предел равен
(е=2,71), наша формула преобразуется в очень простое выражение. Текущее значение нашего вклада умножается на экспоненту, которая возводится в степень, представленную произведением процентной ставки и количества лет, на которые начисляются наши проценты.
Давайте сравним, как выглядят платежи в зависимости от периодичности начислений. В таблице представлено будущее значение вклада в сто тысяч рублей, который положен на десять лет по ставке двадцать процентов.
Как вы можете видеть – 300 тысяч рублей вкладчик получит в случае, если начисления производятся в конце срока действия вклада.
Таким образом сумма вклада при начислении процентов ежегодно в два раза превышает сумму вклада при выплате процентов единожды в конце срока.
Если же начисления производятся непрерывно, то сумма вклада оказывается более 700 тысяч рублей против 300 тысяч рублей при простом начислении процентов.
На графике ниже наглядно показано, как растет итоговая сумма вкладов при разных способах начисления процентов.
Отсюда необходимо сделать вывод:
выбирая вклад, важно смотреть не только на размер процентной ставки, но и на периодичность начисления процентов. Высокая процентная ставка не всегда является по-настоящему выгодной.
Поэтому, перед тем как сделать свой выбор, имеет смысл сделать небольшие вычисления, чтобы узнать итоговую сумму вклада при заданных условиях.
Простые проценты
Рассмотрим пример, когда проценты начисляются в конце срока вклада. Будущее значение будет равняться текущему значению плюс текущее значение, умноженное на годовую процентную ставку. Годовая процентная ставка будет прибавляться к сумме нашего вклада столько раз, на сколько лет мы сделали вклад.
Результат – текущее значение, умноженное на сумму единица плюс процентная ставка
(r)
, умноженная на число лет вклада
(T)
. Такой способ начисления процентов называется
простыми процентамиЕсли же процентная ставка начисляется каждый год, то формула будет выглядеть иначе.
Рассмотрим ситуацию с начислением за период в несколько лет. Считаем, что действующая процентная ставка на протяжении всего периода будет одинаковая. Тогда формула принимает следующий вид: текущее значение, умноженное на сумму единица плюс процентная ставка, затем еще раз на сумму единицы и процентной ставки и т. д.
Обратите внимание – если в первом случае к нашему вкладу каждый год прибавлялась сумма процентов (как в первом примере, где добавлялось к сумме вклада 50 рублей), то в случае с ежегодным начислением на 50 рублей, добавленные в первом периоде, у нас каждый раз начисляется процент.
Всегда важно обращать внимание на то, каким образом происходит начисление процентов. Проценты могут начисляться не только раз в год, но и раз в полгода, каждый день. И в принципе нам ничего не мешает начислять эти проценты непрерывно.
Резюме
Итак, мы изучили, какое практическое значение имеют операции наращения и дисконтирования в финансовом менеджменте, определили их сущность и различия. Какие выводы мы можем сделать? Прежде всего стоит отметить, что операции наращения и дисконтирования в финансовом анализе носят в достаточной мере универсальный характер.
Операции наращения и дисконтирования по простым процентам или с учетом иных факторов, например, инфляции, рыночной конъюнктуры, позволяют отследить изменения в динамике стоимости капитала. Поэтому их применение — значимый фактор реализации успешных инвестпроектов и выстраивания конструктивных взаимоотношений предприятий и банков в бизнесе.
При исследовании эффективности предприятий также могут задействоваться операции наращения и дисконтирования. Использование в финансовом анализе данных показателей осуществляется в целях оценки перспектив инвестирования в фирмы, а также выявления потенциала роста бизнеса.
Универсальность формул дисконтирования и наращения
Формулы операций дисконтирования (наращения) капитала в достаточной мере универсальны. Они могут быть задействованы не только при анализе перспектив инвестирования, но также, к примеру, в банковском деле, при исследовании макроэкономических процессов, при изучении трендов в развитии отдельных сегментов национального хозяйства.
Так, вполне возможно осуществить операции наращения и дисконтирования аннуитетных платежей и определить, какие суммы кредита оптимальны для реализации того или иного проекта, и какие банки (исходя из процентной ставки) предлагают рынку самые выгодные условия.
Пользоваться рассматриваемыми инструментами могут, таким образом, не только финансовые организации, но и их клиенты. Задействование соответствующих операций — обычная практика для современного предпринимателя. Могут использоваться операции наращения и дисконтирования в финансовом анализе — деятельности предприятия в целом или отдельных его подразделений.
