Единичные факторные модели и формирование портфеля
Мы уже говорили о том, как новости влияют на актив. Вспомните главу 5 и 6, где рассматривалась идея диверсификации. Факторные модели также помогают нам найти различия между систематическим и несистематическим риском. Мы можем легко интерпретировать изменчивость ошибок как несистематический или несистемный риск. Мы можем диверсифицировать этот риск, увеличивая число активов в нашем портфеле. Риск, который связан с факторами, является тогда систематическим или рыночным риском. Мы можем теперь просчитать, почему мы можем диверсифицировать несистемный риск, но не рыночный риск. Давайте рассматривать самый простой случай, модель только с одним фактором для актива i. Предположим, что одним остающимся фактором является индекс рынка, для примера Eurostoxx50. Уравнение 7.1 тогда упрощается до
Коэффициент Pi показывает, что, если рыночный доход увеличивается (уменьшается) на х процентов, доход актива будет в среднем увеличиваться (уменьшаться) в pi раз на х процентов. Модель, где единственными факторами являются индексы, называют индексной.
Поскольку ошибки и фактор являются некоррели- роваными, полный риск актива будет равняться:
Полный риск = систематический риск характерный для фирмы риск
Уравнение (7.3) позволяет различать систематический или рыночный риск Pi2Gm2, который исключительно определяется рынком (фактор), подверженность актива определенному или несистемному риску с(е,)2 происходит от изменчивости величины ошибки г*.
Как уже упомянуто выше, два актива могут быть только связаны через общий фактор, и их ковариация определена их подверженности общему фактору и изменчивости общего фактора. Ковариация является результатом значения беты- показателем изменчивости индекса рынка.
Мы можем также выразить (7.4) коэффициент корреляции вместо ковариации, который упрощает вычисление:
Уравнения (7.4) и (7.5) имеют особое значение, поскольку они показывают, что нет необходимости вычислять все двумерные корреляции доступных активов, используя данные о более ранних доходах, но мы можем просто получить их из коэффициентов, что существенно сокращает количество необходимых вычислений.
Другое главное преимущество факторной модели состоит в том, что мы можем легко узнать об особенностях портфеля, смотря на отдельные активы.
Доход портфеля п отдельных активов выглядит следующим образом:
– где коэффициенты для портфеля являются простыми (невзвешенными) средними числами коэффициентов для определенных уравнений:
Уравнения (7.6) – (7.9) позволяют нам описать эффект произвольного добавления дополнительных активов, к которым мы можем считать как простую диверсификацию. Предположим, что мы только увеличиваем число активов, включенных в наш портфель, не делая анализа. Мы можем вывести эффекты для каждого из коэффициентов.
Избыточные доходы ai каждого актива, которые находятся на нуле (потому что среднее число всех доступных активов равняется рыночному и избыточный доход рынка является нулем по определению), стоит отметить, что больше активов позволят избыточному доходу портфеля (уравнение 7.7) сходится к нулю, это только сближение выборочного среднего и средней совокупности. Так же бета портфеля (уравнение 7.8) будет сходиться к 1, поскольку бета для целого рынка является такой по определению. И наконец, также средняя ошибка будет сходиться со средней совокупностью, которая является нулем.
Наши предположения заключают два важных вывода: во-первых, просто увеличивая число активов, то есть производя диверсификацию, наш портфель становится все ближе к рыночному портфелю. Во-вторых, средняя ошибка будет приблизительно равна нулю.
Мы можем также получить некоторую информацию о вариации портфеля:
И поэтому:
Таким образом, риск портфеля, состоящего из произвольно выбранных активов, более или менее равняется рыночному, если количество активов является достаточно большим. Хорошие новости – то, что мы можем свести несистемный риск почти к нулю. Плохие новости – то, что мы не можем диверсифицировать рыночный риск. Кроме того, так как аР стремится к нулю, мы будем не в состоянии рассчитать систематические избыточные доходы. Это также означает, что наш риск исполнения хуже, чем на рынке.
Обобщение моделей
Для обобщения модели при наличии более двух факторов придется отказаться от диаграмм, поскольку обсуждение выходит за рамки трех параметров. Тем не менее все понятия остаются прежними. Для случая к факторов многофакторная модель может быть записана в следующем виде:
где каждая ценная бумага характеризуется к чувствительностями, по одной на каждый из к факторов.
Уравнение (11.17) может содержать как факторы, так и сектор-факторы. Например, F] и F2 могут обозначать ВВП и инфляцию, как в табл. 11.1, тогда как F3 и F4 могут представлять доходности промышленных и непромышленных акций соответственно.
Отраслевые факторные модели
Курсы ценных бумаг, относящихся к одной и той же отрасли экономики, часто меняются сходным образом в ответ на изменения перспектив этого сектора. Некоторые инвесторы принимают это во внимание, применяя специальный тип многофакторной модели, известный как отраслевая факторная модель {sector-factor model).
Например, пусть сектор I состоит из промышленных компаний, а сектор 2 — из непромышленных компаний (коммунальное хозяйство, транспорт, финансовые компании). При этом можно считать, что F{ и F2 представляют доходности по индексам промышленных и непромышленных акций соответственно.
В двухсекторной факторной модели процесс формирования дохода по ценным бумагам имеет тот же общий вид, что и в двухфакторной модели, описываемой уравнением (11.7). Но в двухсекторной факторной модели Z7, и У7 теперь обозначают сектор- факторы 1 и 2 соответственно.
Далее, любая конкретная ценная бумага принадлежит к одному из секторов, 1 или 2, но не к обоим. По определению, чувствительность ценной бумаги к фактору того сектора, к которому эта ценная бумага не относится, принимается равной нулю. Это означает, что либо Ь.{, либо b 2 равно нулю в зависимости от того, к какому из секторов ценная бумага / не относится. Величина других коэффициентов чувствительности нуждается в оценке. (В целях простоты ему иногда приписывается значение 1.)
В качестве иллюстрации рассмотрим компании General Motors (GM) и Delta Airlines (DAL). Двухсекторная факторная модель для GM (временной индекс /опущен для простоты изложения) представлена уравнением:
Однако из-за того, что GM как промышленная компания принадлежит к сектору 1, коэффициенту bGM2 приписывается нулевое значение. После этого уравнение (11.13) сводится к уравнению:
Итак, в двухсекторной факторной модели для GM необходимо оценить только значения а(;м, Ьст и о,см. Для сравнения отметим, что в двухфакторной модели необходимо оценить значения аам, Ьаш, Ьош и о сдг.
Аналогично, поскольку DAL принадлежит к непромышленному сектору, двухсекторная факторная модель для нее имеет вид:
что сводится к уравнению:
так как bDAU приписывается нулевое значение. В итоге в двухсекторной факторной модели нужно оценить только значения aDAL, bDAl2 и oeDAL.
В общем, в то время как в двухфакторной модели для каждой ценной бумаги нужно оценить четыре параметра (а., bn, bj2 и о .), в двухсекторной факторной модели нужно оценить лишь три параметра (а , о и либо Ьп, либо bj2).
Имея эти оценки вместе с оценками для F, F, ап и ап, инвестор может применить уравнения (11.8) и (11.9) для расчета ожидаемых доходностей и дисперсий для каждой ценной бумаги. Парные ковариации могут быть оценены с помощью уравнения (11.10).
Способ абсолютных разниц
За основу факторного анализа берется математическая формула ПР (прибыль от продаж). Формула включает три анализируемых фактора:
- объем продаж в натуральных единицах;
- цену;
- себестоимость одной единицы продаж.
Рассмотрим ситуации, влияющие на прибыль. Определим изменение величины прибыли за счет каждого фактора. Расчет строится на последовательной замене плановых значений факторных показателей на их отклонения, а затем на фактический уровень этих показателей. Приведем формулы расчета для каждой ситуации, оказавшей влияние на прибыль.
Ситуация 1. Влияние на прибыль объема продаж:
ΔПРобъем = ΔVпрод × (Цплан – Sед. план) = (Vпрод. факт – Vпрод. план) × (Цплан – Sед. план).
Ситуация 2. Влияние на прибыль продажной цены:
ΔПРцена = Vпрод. факт × ΔЦ = Vпрод. факт × (Цфакт – Цплан).
Ситуация 3. Влияние на прибыль себестоимости единицы продукции:
ΔПРSед = Vпрод. факт × (–ΔSед) = Vпрод. факт × (–(Sед. факт – Sед. план)).
Способ цепной подстановки
Используя такой метод, сначала рассматривают влияние одного фактора при неизменности прочих, затем второго и т. д. За основу берут все ту же математическую формулу модели факторного анализа прибыли от продаж.
Выявим влияние факторов на сумму прибыли.
Ситуация 1. Изменение объема продаж.
ПР1 = Vпрод. факт × (Цплан – Sед. план);
ΔПРобъем = ПР1 – ПРплан.
Ситуация 2. Изменение цены продаж.
ПР2 = Vпрод. факт × (Цфакт – Sед. план);
ΔПРцена = ПР2 – ПР1.
Ситуация 3. Изменение себестоимостипродаж единицы продукции.
ПРSед = Vпрод. факт × (Цфакт – Sед. факт);
ΔПРSед = ПР3 – ПР2.
Условные обозначения, применяемые в приведенных формулах:
ПРплан — прибыль от реализации (плановая или базовая);
ПР1 — прибыль, полученная под влиянием фактора изменения объема продаж (ситуация 1);
ПР2 — прибыль, полученная под влиянием фактора изменения цены (ситуация 2);
ПР3 — прибыль, полученная под влиянием фактора изменения себестоимости продаж единицы продукции (ситуация 3);
ΔПРобъем — сумма отклонения прибыли при изменении объема продаж;
ΔПРцена — сумма отклонения прибыли при изменении цены;
ΔПSед — сумма отклонения прибыли при изменении себестоимости единицы реализованной продукции;
ΔVпрод — разница между фактическим и плановым (базисным) объемом продаж;
ΔЦ — разница между фактической и плановой (базисной) ценой продаж;
ΔSед — разница между фактической и плановой (базисной) себестоимостью единицы реализованной продукции;
Vпрод. факт — объем продаж фактический;
Vпрод. план — объем продаж плановый;
Цплан — цена плановая;
Цфакт — цена фактическая;
Sед. план — себестоимость единицы реализованной продукции плановая;
Sед. факт — себестоимость единицы реализованной продукции фактическая.
Замечания
- Способ цепной подстановки дает те же результаты, что и способ абсолютных разниц.
- Суммарное отклонение прибыли будет равно сумме отклонений под влиянием всех факторов, по которым проводят факторный анализ.
Факторный анализ прибыли от продаж
Проведем факторный анализ прибыли от продаж с помощью Excel. Сначала сравним фактические и плановые показатели в Excel-таблицах, далее построим диаграмму и график, которые наглядно покажут результаты и отклонения проведенного факторного анализа.
В Excel можно построить стандартную план-факт таблицу, состоящую из нескольких блоков: в левой части таблицы в колонке будет стоять название показателя, в центре — данные с планом и фактом, в правой части — отклонение (в абсолютных и относительных величинах).
ПРИМЕР 1
Организация реализует металлопрокат. Косвенные расходы распределяются на себестоимость реализованной продукции, то есть формируется полная себестоимость продукции. Проведем факторный анализ прибыли от продаж двумя способами (метод абсолютных разниц и метод цепных подстановок) и определим, какие из показателей оказали наибольшее влияние на прибыль компании.
Плановые показатели взяты из бизнес-плана по продажам, фактические — из бухгалтерской отчетности (формы № 2) и бухгалтерского учета — (отчетов о продажах в натуральных единицах).
Данные о результатах финансовой деятельности компании (фактические и плановые) представлены в табл. 1.
Таблица 1. Данные о результатах финансовой деятельности компании, тыс. руб. | ||||
Фактор | План | Факт | Отклонения от плана | |
абсолютные | в процентах | |||
1 | 2 | 3 | 4 = [3] – [2] | 5 = [4] / [2] × 100 % |
Объем продаж, тыс. т | 520,20 | 510,10 | –10,10 | –1,94 |
Цена 1 т | 35,00 | 35,15 | 0,15 | 0,43 |
Выручка | 18 207, 00 | 17 930,02 | –276,99 | –1,52 |
Себестоимость продаж | 10 220,00 | 11 350,00 | 1130,00 | 11,06 |
Себестоимость продаж 1 т | 19,65 | 22,25 | 2,60 | 13,26 |
Прибыль | 7985,07 | 6580,29 | –1404,78 | –17,59 |
Из данных табл. 1 следует, что объем продаж фактический ниже планового на 10,1 тыс. т, продажная цена была выше плановой на 0,15 тыс. руб. При этом сумма фактической выручки меньше плановой на 276,99 тыс. руб., а себестоимость продаж, наоборот, выше плановой на 1130 тыс. руб.
Факторный анализ: общая характеристика и способы проведения
Факторный анализ — это способ комплексного и системного исследования влияния отдельных факторов на размер итоговых показателей. Основная цель проведения такого анализа — найти способы увеличить доходность фирмы.
Факторный анализ позволяет определить общее изменение прибыли в текущем периоде по отношению к предыдущему (базовому) периоду или изменение фактических показателей прибыли по отношению к плану, а также влияние на эти изменения следующих факторов:
- объем продажи продукции;
- себестоимость реализуемой продукции;
- цены реализации;
- ассортимент реализуемой продукции.
Таким образом, с помощью факторного анализа можно установить объем продаж, себестоимость или цену реализации, которые увеличат прибыль компании, а факторный анализ по ассортименту реализуемой продукции даст возможность выявить товар, который продается лучше всего, и товар, пользующийся наименьшим спросом.
Показатели для факторного анализа берут из бухгалтерского учета. Если анализируют итоги за год, то используют данные формы № 2 «Отчет о финансовых результатах».
Факторный анализ можно проводить:
1) способом абсолютных разниц;
2) способом цепных подстановок.
Математическая формула модели факторного анализа прибыли от продаж:
ПР = Vпрод × (Ц – Sед),
где ПР — прибыль от продаж (плановая или базовая);
Vпрод — объем продаж продукции (товаров) в натуральных величинах (штуки, тонны, метры и т. д.);
Ц — продажная цена единицы реализованной продукции;
Sед — себестоимость единицы реализованной продукции.
