Проблемы оптимизации бюджета капиталовложений, Пространственная оптимизация – Анализ эффективности инвестиционных проектов

В общем случае под риском в экономике понимают возможность отклонения фактических результатов проводимых финансовохозяйственных операций от ожидаемых (прогнозируемых). При этом под результатом (эффективностью) финансовой операции обычно понимают ее доходность, прибыль, дивиденды и т. д. Чем шире диапазон возможных отклонений, тем выше риск данной операции.

Риск и доходность, как правило, изменяются в одном направлении: чем выше доходность, тем больше риск.

Количественная оценка риска финансовой операции возможна только при известной вероятностной характеристике множества исходов операции.

Случайной называется величина, которая в зависимости от случая может принимать то или иное, заранее неизвестное значение из некоторого множества возможных значений.

Случайная величина будет полностью определена, если указаны не только возможные ее значения, но и соответствующие им вероятности (закон распределения случайной величины).

Для дискретной случайной величины X этот закон задается в виде таблицы, в которой перечисляются все ее возможные значения (х,) и их вероятности (/?,), при этом ?/?,-= 1.

Однако для решения многих практически важных задач часто бывает достаточно знать лишь числовые характеристики случайной величины.

Важнейшие из них следующие: математическое ожидание М, дисперсия (о²), среднее квадратическое отклонение а:

Математическое ожидание М случайной величины — это среднее ее значение и не позволяет достаточно обоснованно принять решение в пользу какого-либо варианта. Для окончательного решения необходимо измерить колеблемость показателей, т. е. степень их отклонения от ожидаемого значения.

Дисперсия о² и среднее квадратическое отклонение а являются мерами колеблемости (разброса) случайной величины, при этом о выражена в тех же единицах измерения, что и сама случайная величина.

Принято считать, что риском операции является число о — среднее квадратическое отклонение случайной величины (например, дохода).

Чем больше а, тем рискованнее операция. Если о = 0, то риск полностью отсутствует. Например, в условиях стабильной экономики операции с государственными ценными бумагами считаются безрисковыми.

Еще одним полезным показателем, применяемым при анализе рисков, является коэффициент вариации:

Коэффициент вариации — относительный показатель, поэтому с его помощью можно сравнивать колеблемость признаков, выраженных в разных единицах измерения. Чем больше коэффициент вариации, тем сильнее колеблемость.

Пример 1.1. Сравним по риску вложения в акции трех типов: А, В, С, если каждая из них по-своему откликается на возможные рыночные ситуации, достигая с известными вероятностями определенных значений доходности, заданных в таблице.

Для акции А находим:

Для акции В находим:

Для акции С находим:

Так как наименьшее значение коэффициента вариации имеем для акции В, то и вложения в эту акцию наиболее предпочтительны, тем более что и ав = 0,995% наименьшее.

Пример 1.2. Пусть имеются два инвестиционных проекта. Первый с вероятностью 0,6 обеспечивает прибыль 15 млн руб., однако с вероятностью 0,4 можно потерять 5,5 млн руб. Для второго проекта с вероятностью 0,8 можно получить прибыль 10 млн руб. и с вероятностью 0,2 потерять 6 млн руб. Какой проект выбрать?

Составляем следующую таблицу распределения:

Первый проект:

Второй проект:

Оба проекта имеют одинаковую среднюю прибыль, равную 6,8 млн руб., однако среднеквадратичное отклонение прибыли для первого проекта равно 10,03 млн руб., а для второго — 6,40 млн руб., поэтому предпочтителен второй проект.

Следующие утверждения о риске являются следствиями соответствующих утверждений о дисперсии и среднем квадратическом отклонении из теории вероятностей.

• 1. При увеличении масштаба операции в к раз, т. е. при увеличении всех значений случайного дохода в к раз, дисперсия операции увеличивается в к² раз, а риск — в к раз.
• 2. При изменении всех доходов на одно и то же постоянное число дисперсия и риск операции не изменяются.
• 3. Пусть операции Q и Q₂ некоррелированы, тогда дисперсия

их суммы равна сумме дисперсий, следовательно, риск суммы операций равен
. Напомним, что случайные величины X, У

называются некоррелированными, если их коэффициент корреляции равен нулю.

4. В общем случае для двух произвольных операций Q и Q₂ риск суммарной операции

где р 12 — коэффициент корреляции случайных доходов операций. Пример 1.3. Рассмотрим две вероятностные операции:

Пусть операции Q и Q₂ некоррелированы. Найдем риск операции:
(например, денег не хватит на проведение обеих

операций в полном объеме).

Найдем сначала математические ожидания, дисперсии и риски первой и второй операций.

Аналогичные вычисления для второй операции дают:

Первая операция менее рискованная.

Риск операции Q равен

Выбор оптимального решения с помощью доверительных интервалов. Если результаты экономической деятельности (прибыль, доход и т. д.) как случайные величины подчиняются нормальному закону, то с вероятностью 0,997 (практически достоверно) возможные значения случайной величины лежат в пределах М ± За, или М- За <м > За.

Пример 1.4. Акционерному обществу предлагают два рискованных проекта. Исходные данные приведены в таблице.

Учитывая, что фирма имеет долг в 80 млн руб., какой проект должны выбрать акционеры и почему?

Первый проект:

Второй проект:

Как видно из вычислений, математические ожидания М для обоих проектов оказываются равными, но <5> < a₂, т. е. проект 2 является более рискованным. Казалось бы, без сомнений следует принять проект 1.

Однако не следует терять из виду представленное в условиях задачи указание, что фирма имеет фиксированные платежи по долгам 80 млн руб. и этот факт может изменить решение на противоположное.

Если предположить доходность Q по проектам 1 и 2 распределенной по нормальному закону, то с вероятностью 0,997 возможные значения выигрышей и платежей окажутся в диапазонах:

проект 1: Q = 50 ± 3 • 6,324, или 31,03 < Q <</i> 68,97;

проект 2: Q = 50 ± 3 • 44,72, или -84,16 < Q<</i> 184,16.

При выборе менее рискового проекта 1 компания может в большей степени уменьшить свой долг в 80 млн руб., но без дополнительных финансовых источников (условием задачи они не предусмотрены) от долгов предприятие полностью не освободится.

Сильно рискуя при принятии проекта 2, фирма (если повезет) может полностью освободиться от долгов, получив при этом еще и немалую прибыль, а при неудаче компанию ожидает банкротство.

Вывод. Принимая рисковый проект 2, если повезет, можно сразу решить все финансовые проблемы, оставшись еще с прибылью, тогда как, выбрав низко-рисковый проект 1, от долгов не уйти ни при каких обстоятельствах.

Некоторые общие измерители риска. В большинстве случаев общие измерители риска—это вероятности нежелательных событий.

Пусть известна функция распределения F случайного дохода Q, т. е.

где л: — некоторое действительное число.

Зная F(x), можно придать смысл следующим вопросам и ответить на них.

1. Какова вероятность того, что доход операции будет меньше заданного дохода s, т. е. каков риск получения дохода, менее заданного?

2. Какова вероятность того, что операция окажется неуспешной, т. е. ее доход будет меньше среднего ожидаемого дохода mg?

3. Какова вероятность убытков и каков их средний ожидаемый размер q, т. е. каков риск убытков и их оценка?

4. Каково отношение средних ожидаемых убытков q к среднему ожидаемому доходу mg?

Чем меньше это отношение, тем меньше риск разорения, если ЛПР (лицо, принимающее решение) вложило в операцию все свои средства.

При анализе операций ЛПР желает иметь доход как можно больше, а риск — как можно меньше. Такие оптимизационные задачи называют двухкритериальными. При их анализе два критерия — доход и риск — часто «свертывают» в один критерий.

Например, одно и то же значение среднего квадратического отклонения од, которое измеряет риск операции, воспринимается по- разному в зависимости от величины среднего ожидаемого дохода mg, поэтому величину Cq /mg иногда называют относительным риском операции (коэффициент вариации). Такую меру риска можно трактовать как свертку двухкритериальной задачи:

т. е. максимизировать средний ожидаемый доход при одновременной минимизации риска.

Риск разорения. Особый вариант риска связан с разорением. Количественной мерой риска разорения является вероятность столь больших потерь, которые ЛПР не может компенсировать и которые, следовательно, ведут к разорению.

Пример 1.5. Пусть случайный доход операции Q имеет следующий ряд распределения:

Потери в 30 ден. ед. или более ведут к разорению ЛПР. Следовательно, вероятность возникновения риска разорения в результате данной операции равна 0,1 0,2 0,5 = 0,8.

Степень риска разорения оценивается именно величиной соответствующей вероятности. Если эта вероятность очень мала, то ею часто пренебрегают.

Определим вероятностную меру разорения, приписывая ей вероятность осуществления подобного события.

Пример 1.6. Предположим, что на рынке могут возникнуть только два исхода и на каждый из них акции А и В откликаются неслучайным образом. Вероятности этих исходов и соответствующих им значений доходности задаются следующей таблицей:

Ожидаемые доходности акций:

совпадают, а средние квадратичные отклонения (риски) равны:

Предположим теперь, что инвестор взял деньги в долг под процент, равный 2,5%. Ставка процента по кредиту ниже ожидаемой доходности по акциям (3,2%), которые будут приобретены на заемные деньги, поэтому действия инвестора вполне разумны.

Однако если инвестор вложил деньги в акции А, то при исходе 2 он проиграет (2 – 2,5) = -0,5%, причем с вероятностью р2 = 0,7. Напротив, если он вложит деньги в акции В, то разорение ему грозит с вероятностью р = 0,2 в первой ситуации (исход 1), когда он теряет (-1-2,5) = -3,5%.

Подсчитаем ожидаемые потери (77) при покупке акций А и В: П_А = 0,5 • 0,7 = 0,35, П_в = 3,5 • 0,2 = 0,7.

Ожидаемые потери П_А < Пв склоняют инвестора к выбору в пользу акций А, зато риски разорения, оцениваемые через вероятность наступления события, наоборот, при приобретении акций А будут больше (0,7 > 0,2).

Как действовать в подобной ситуации инвестору? Это зависит от его индивидуальных предпочтений, выражаемых, в том числе, функцией полезности инвестора.

Показатели риска в виде отношения. Если средства ЛПР равны К, то при превышении убытков У над К возникает реальный риск разорения.

Для предотвращения этого отношение к = У/К, называемое коэффициентом риска, ограничивают специальным числом Операции, для которых этот коэффициент превышает ?i, считают особо рискованными. Часто учитывают также вероятность р убытков У и тогда рассматривают коэффициент кг= р ‘ У/К, который ограничивают другим числом ^2 (?,2 < 5i).

В финансовом менеджменте чаще применяют обратные отношения К / У и К /{р • У), которые называют коэффициентами покрытия рисков и которые ограничиваются снизу числами l/?i и 1/?₂.

Именно такой смысл имеет так называемый коэффициент Кука, равный отношению:

Коэффициент Кука используется банками и другими финансовыми компаниями. В роли весов при «взвешивании» выступают вероятности — риски потери соответствующего актива.

Кредитный риск. Так называется вероятность невозврата в срок взятого кредита.

Пример 1.7. Обработка статистических данных показала, что запросы кредитов в банке следующие: 15% — государственные органы, 25% — другие банки и остальные — физические лица. Вероятность невозврата взятого кредита соответственно такова: 0.03; 0,06 и 0,15. Найти: а) вероятность невозврата очередного запроса на кредит; б) вероятность, что данный кредит не возвращает государственная организация.

Пусть событие-гипотеза Н — запрос поступил из госоргана, //₂ — от банка, Нъ — от физического лица и событие-тест А — невозврат рассматриваемого кредита. Тогда

а) по формуле полной вероятности имеем:

б) по формуле Байеса имеем:

На практике все приведенные в этом примере вероятности определяются из соответствующих статистических данных. Например, пусть физические лица взяли всего 1000 кредитов и 200 из них не вернули (данные берутся из информационной базы данных банка). Значит, соответствующая вероятность рнз{А) оценивается как 0,2.

Депозитный риск. Так называется вероятность досрочного отзыва депозита. Депозитный риск нарушает нормальную работу банка, заставляя его перегруппировать свой активы по-другому, что приводит часто к потерям. Массовый отток депозитов может привести к банкротству банка.

Пример 1.8. Пусть у банка п клиентов и вероятность досрочного отзыва депозита для каждого из них равна р. Найти вероятность того, что число досрочных отзывов депозитов т окажется в пределах от mi до т₂ включительно.

Искомая вероятность определяется по интегральной формуле Муавра-Лапласа:

где Ф — функция Лапласа.

Таким образом, при большом числе примерно одинаковых независимых клиентов отток депозитов можно прогнозировать.

Выбор одного из двух вариантов инвестиций в условиях риска. Если имеются две стратегии инвестирования Aw В, для которых известны М_А, <5а, М_в, ъ_в, то предпочтение должно быть отдано варианту А, если выполняется одно из следующих условий:

и варианту В, если:

В случаях, если:

решение о выборе проекта А или В зависит от отношения к риску ЛПР.

В частности, в случае 7 проект А обеспечивает более высокую среднюю прибыль, однако он и более рискован. Выбор при этом определяется тем, какой дополнительной величиной средней прибыли компенсируется для ЛПР заданное увеличение риска. В случае 8 для проекта А риск меньший, но и ожидаемая прибыль меньше.

Составить план оптимального размещения инвестиций при условии, что лимит инвестиций не должен превышать 70 млн. руб., а к реализации могут быть приняты проекты только в полном объеме. Ставку дисконтирования принять равной 10%.

Решение:

NPV _А = -39 / 1,1⁰ 12 / 1,1¹ 16 / 1,1² 17 / 1,1³ 19 / 1,1⁴ = 10,88 млн. руб.

NPV _Б = -30 / 1,1⁰ 12 / 1,1¹ 15 / 1,1² 18 / 1,1³ 14 / 1,1⁴ = 16,39 млн. руб.

NPV _В =-50 / 1,1⁰ 20 / 1,1¹ 25 / 1,1² 25 / 1,1³ 25 / 1,1⁴ = 24,69 млн. руб.

NPV _Г =-25 / 1,1⁰ 10 / 1,1¹ 12 / 1,1² 15 / 1,1³ 15 / 1,1⁴ = 15,53 млн. руб.

Таблица 5.2

Сочетание проектов Б и Г будет являться оптимальным.

В случае, когда проекты поддаются дроблению, алгоритм решения принимает следующий вид:

• – Рассчитывается индекс рентабельности каждого из рассматриваемых проектов;
• – Проекты ранжируются по признаку убывания данного индекса;
• – Первыми в инвестиционный портфель включаются проекты, которые имеют наибольшее значение PI, и стоимость которых в сумме не превышает предназначенного на инвестиции лимита средств;
• – Очередной проект берется в той его части, в которой он может быть профинансирован (при этом доля инвестиций и доля денежных поступлений учитываются соразмерно).

Пример:

Фирма планирует инвестировать в основные фонды 70 млн. руб. Стоимость капитала составляет 10 %.

Рассматриваются четыре альтернативных проекта со следующими потоками (данные представлены в табл. 5.3):

Таблица 5.3

Составить оптимальный план размещения инвестиций при условии, что проекты поддаются дроблению.

Решение:

NPV _А = 10,88 млн. руб., PI _А = 1,28;

NPV _Б = 16,39 млн. руб., PI _Б = 1,55;

NPV _В = 24,69 млн. руб., PI _В = 1,49;

NPV _Г = 15,53 млн. руб., PI _Г = 1,62.

По степени убывания PI проекты ранжируются следующим образом: Г, Б, В, А. В табл.5.4 отразим схему финансирования проектов:

Таблица 5.4

Под временной оптимизацией понимается задача, при которой из-за ограниченности ресурсов в планируемом году не могут быть одновременно реализованы несколько проектов, при этом нереализованные проекты (либо их часть) будут осуществлены в следующем году.

Алгоритм решения в данном случае будет выглядеть следующим образом:

– По каждому из проектов рассчитывается индекс возможных потерь, характеризующий относительную потерю NPV в случае, если проект будет отложен на год.

(5.1)

где I – индекс возможных потерь,

NPV₁ – приведенная стоимость рассматриваемого проекта в конце первого года;

NPV₀ – дисконтированная величина NPV₁ по ставке r, то есть

(5.2)

где r – «цена» источников финансирования;

IC – размер отложенных на год инвестиций.

• – Проекты ранжируются по признаку убывания индекса возможных потерь.
• – Реализация проектов, обладающих наименьшей величиной индекса возможных потерь, переносится на следующий год.

Пример:

Фирма рассматривает четыре альтернативных варианта инвестирования имеющихся у него денежных средств (данные о движении денежного потока представлены в табл. 5.5):

Таблица 5.5

Составить оптимальный план размещения инвестиций на 2 года, при условии, что инвестиции на планируемый год не могут превышать 70 млн. руб. Стоимость капитала составляет 10 %.

Решение:

Расчет индекса возможных потерь отразим в табл. 5.6

Таблица 5.6

По степени убывания индекса возможных потерь проекты ранжируются следующим образом: Г, Б, В, А. Наименьшие потери связаны с переносом на следующий год проектов В (I = 0,045) и А (I = 0,025). Решение отразим в табличной форме (табл. 5.7):

Таблица 5.7

Для реализации в полном объеме в текущем году будут приняты проекты Г и Б, а также часть проекта В (инвестиции для него составляют 70 – (25 30) = 15). А оставшаяся часть проекта В и проект А полностью будут реализованы во втором году.

Задачи для текущего контроля

• 1 вариант
• 1. На рассмотрение компании-инвестора предложены следующие проекты (табл. 5.8):

Таблица 5.8

Сформируйте оптимальный инвестиционный портфель, исходя из условия ограниченности бюджета компании 70 млн. руб. (проекты дроблению не поддаются).

• 2. Используя данные предыдущей задачи составить оптимальный план размещения инвестиций, если проекты могут быть реализованы только в полном объеме.
• 3. Используя данные задачи №2 составить оптимальный план размещения инвестиций на два года при условии, что на планируемый год инвестиции не могут превысить 900 млн. руб., во второй год ограничений нет.
• 4. Ресурсы компании ограничены 700 млн. руб. Рассматриваются четыре альтернативных инвестиционных проекта со следующими потоками (табл. 5.8):

Таблица 5.8

Цена источников финансирования – 8,5 %.

Составить оптимальный план размещения инвестиций при условии, что дробление рассматриваемых проектов возможно.

• 2 вариант
• 1. Ресурсы компании ограничены 25 млн. руб. Рассматриваются четыре альтернативных инвестиционных проекта со следующими потоками (табл. 5.9):

Таблица 5.9

Цена источников финансирования – 10 %.

Составить оптимальный план размещения инвестиций при условии, что дробление рассматриваемых проектов возможно.

2. Анализируются четыре проекта (табл. 5.10):

Таблица 5.10

Проекты 1 и 3, равно как и 2 и 4 – взаимоисключающие. Необходимо выбрать оптимальную комбинацию проектов.

• 3. Используя данные задачи №2 составить оптимальный план размещения инвестиций на два года при условии, что на планируемый год инвестиции не могут превысить 30 млн. руб., во второй год ограничений нет.
• 4. Используя данные предыдущей задачи составить оптимальный план размещения инвестиций, если проекты могут быть реализованы только в полном объеме.
• 3 вариант
• 1. Компания планирует инвестировать не более 200 млн. руб. ежегодно. Все доходы от введенных в действие инвестиционных проектов также могут быть реинвестированы. Рассматриваются четыре независимых проекта (табл. 5.12):

Таблица 5.12

Цена капитала – 11 %.

Оцените приемлемость проектов по показателю NPV. Выберите оптимальную комбинацию проектов.

2. Ресурсы компании ограничены 100 млн. руб. Рассматриваются четыре альтернативных инвестиционных проекта со следующими потоками (табл. 5.11):

Таблица 5.11

Цена источников финансирования – 12 %.

Составить оптимальный план размещения инвестиций, если проекты могут быть реализованы только в полном объеме.

• 3. Используя данные задачи №2 составить оптимальный план размещения инвестиций на два года при условии, что на планируемый год инвестиции не могут превысить 110 млн. руб., во второй год ограничений нет.
• 4. Используя данные предыдущей задачи составить оптимальный план размещения инвестиций при условии, что дробление рассматриваемых проектов возможно.

Задачи для самостоятельного решения:

• 1. Негосударственный пенсионный фонд предлагает разместить средства в размере 10 млн. руб. В качестве объектов инвестирования рассматриваются: государственные ценные бумаги с доходностью 7 % годовых; муниципальные ценные бумаги с доходностью 9 % годовых; банковский депозит сроком на один год с доходностью 10 % годовых; акции с доходностью 20 % годовых; корпоративные облигации с доходностью 18 % годовых. Требуется сформировать инвестиционный портфель с учетом следующих условий:
  • А) предполагаемая доходность фонда – не менее 9 %;
  • Б) необходимо учесть требования к размещению пенсионных резервов:
    • – в один объект инвестирования суммарно должно быть размещено не более 20 % средств;
    • – в государственные ценные бумаги может быть размещено от 30 % до 50 % общего объема пенсионных резервов;
    • – при самостоятельном размещении средств (не используя услуги управляющей компании) фонд не имеет права инвестировать в корпоративные ценные бумаги.
• 2. Рассматриваются четыре независимых проекта, денежные потоки по которым отражены в табл. 5.13:

Таблица 5.13

Максимальный объем инвестиций, который планирует организация, 150 млн. руб. Цена источников финансирования 9 %. Проекты дроблению не поддаются.

Определить показатели, характеризующие эффективность инвестиций. Составить оптимальный план размещения инвестиций.

2. Рассматриваются четыре независимых инвестиционных проекта (дроблению поддаются), денежные потоки по которым представлены в табл. 5.14

Таблица 5.14

Цена капитала – 14 %. Бюджет ограничен 200 млн. руб. Составить оптимальный план размещения инвес…