Виды потоков платежей и их основные параметры
Современные финансово-банковские операции часто предполагают не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени, например, погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплаты пенсии и т. д. Такого рода последовательность, или ряд платежей, называют потоком платежей. (В западной финансовой литературе в аналогичном смысле применяется термин cash flows stream — буквально, потоки наличности, хотя речь идет о потоке денег в любом виде.) Отдельный элемент такого ряда платежей назовем членом потока (cash flow). Введение понятия поток платежей в финансовый количественный анализ, что произошло сравнительно недавно, заметно расширило рамки и возможности последнего.
Классификация потоков.В практике встречаются разнообразные потоки платежей. Причем один и тот же вид потока может быть использован в анализе различных финансово-кредитных операций.
Потоки платежей могут быть регулярными(размеры платежей постоянные или следуют установленному правилу, предусматривающему равные интервалы между платежами) и нерегулярными. Члены потоков могут быть как положительными (поступления), так и отрицательными величинами (выплаты).
Поток платежей, все члены которого — положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой,или просто рентой (rent). Например, рентой является последовательность получения процентов по облигации, платежи по потребительскому кредиту, выплаты в рассрочку страховых премий и т.д. Иногда подобного рода поток платежей называют аннуитетом (annuity), что, строго говоря, применимо только к ежегодным выплатам.
Использование в финансово-банковской операции условий, предполагающих выплаты в виде финансовой ренты, существенно упрощает количественный их анализ, дает возможность применять стандартные формулы и таблицы значений многих, необходимых для финансовых расчетов коэффициентов.
Рента описывается следующими параметрами:
член ренты (rent) — размер отдельного платежа;
период ренты (rent period, payment period) — временной интервал между двумя последовательными платежами;
срок ренты (term) — время от начала первого периода ренты до конца последнего;
процентная ставка. Размер ставки не всегда прямо оговаривается в условиях финансовой операции. Однако, этот параметр крайне необходим для ее анализа.
При характеристике некоторых видов рент необходимо указать дополнительные условия и параметры. Например, число платежей в году, способ и частота начислений процентов, параметры, характеризующие закономерность изменения размеров члена ренты во времени.
В практике применяют разные по своим условиям ренты. В основу их классификации может быть положен ряд признаков. Рассмотрим некоторые из таких классификаций.
1. По количеству выплат членов ренты на протяжении года ренты делятся на годовые (выплата раз в году) и р-срочные (р — количество выплат в году). В анализе производственных инвестиций иногда применяют ренты с периодами, превышающими год. Перечисленные виды рент называют дискретными. В финансовой практике встречаются и с такими последовательностями платежей, которые производятся так часто, что их практически можно рассматривать как непрерывные.
2. По числу раз начислений процентов на протяжении года различают: ренты с ежегодным начислением, с начислением т раз в году, с непрерывным начислением. Моменты начисления процентов необязательно совпадают с моментами выплат членов ренты. Однако, расчеты заметно упрощаются, если два указанных момента совпадают.
3. По величине своих членов ренты делятся на постоянные (с одинаковыми размерами члена ренты) и переменные. Члены переменных рент изменяют свои размеры во времени, следуя какому-либо закону, например арифметической или геометрической прогрессии, или несистематично (задаются таблицей). Постоянные ренты — наиболее распространенный вид ренты.
4. По вероятности выплат ренты делятся на верные (annuity certain) и условные (contingent annuity). Верные ренты подлежат безусловной уплате, например, при погашении кредита. Число членов такой ренты заранее известно. В свою очередь выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события, число ее членов заранее неизвестно. К такого рода рентам относятся страховые аннуитеты — последовательные платежи в имущественном и личном страховании. Типичным примером страхового аннуитета является пожизненная выплата пенсии.
5. По количеству членов различают ренты с конечным числом членов, или ограниченные ренты (их срок заранее оговорен), и бесконечные, или вечные ренты (perpetuity). С вечной рентой встречаются на практике в ряде долгосрочных операций, когда предполагается, что период функционирования анализируемой системы или срок операции весьма продолжителен и не оговаривается конкретными датами. В качестве вечной ренты логично рассматривать и выплаты процентов по бессрочным облигационным займам.
6. По соотношению начала срока ренты и какого-либо момента времени, упреждающего начало ренты (например, начало действия контракта или даты его заключения), ренты делятся на немедленные и отложенные, или отсроченные (deffered annuity). Пример отсроченной ренты: погашение долга в рассрочку после льготного периода.
7. По моменту выплат платежей в пределах периода ренты. Если платежи осуществляются в конце этих периодов, то соответствующие ренты называют обыкновенными, или постнумерандо (ordinary annuity), если же платежи производятся в начале периодов, то их называют пренумерандо (annuity due). Иногда контракты предусматривают платежи или поступления денег в середине периодов.
Приведем пример. Контракт предусматривает периодическое погашение задолженности путем выплаты в конце каждого полугодия одинаковых погасительных платежей на протяжении фиксированного числа лет, Таким образом, предусматривается постоянная, полугодовая, верная, ограниченная рента постнумерандо.
Обобщающие параметры потоков платежей. Вподавляющем числе практических случаев анализ потока платежей предполагает расчет одной из двух обобщающих характеристик: наращенной суммы или современной стоимости потока.
Наращенная сумма (amount of cash flows) — сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.
Современная стоимость потока платежей (present value of cash flows) — это сумма всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени. Конкретный смысл этих характеристик определяется содержанием его членов или их происхождением. Наращенная сумма может представлять собой общую сумму накопленной задолженности к концу срока, итоговый объем инвестиций, накопленный денежный резерв и т. д. В свою очередь современная стоимость характеризует приведенные к началу осуществления проекта инвестиционные затраты, суммарный капитализированный доход или чистую приведенную прибыль от реализации проекта и т. п.
Обобщающие поток платежей характеристики, особенно его современная стоимость, широко применяются в различных финансовых расчетах. Так, без них, например, невозможно разработать план последовательного погашения задолженности, измерить финансовую эффективность проекта, осуществить сравнение или безубыточное изменение условий контрактов, решать многие другие практические задачи
Прямой метод расчета наращенной суммы и современной стоимости потока платежей.Рассмотрим общую постановку задачи. Допустим, имеется ряд платежей Rt, выплачиваемых спустя время nt, после некоторого начального момента времени. Общий срок выплат п лет. Необходимо определить наращенную на конец срока потока платежей сумму. Если проценты начисляются раз в году по сложной ставке i, то, обозначив искомую величину через FVR, получим по определению
.
Современную стоимость такого потока также находим прямым счетом как сумму дисконтированных платежей:
где PVR — современная стоимость потока платежей.
Пример: График предусматривает следующий порядок выдачи ссуды во времени: 1 июля 2005 г. — 5 млн. руб., 1 января 2006 г. — 15 млн. руб., 1 января 2008 г. — 18 млн. руб. Необходимо определить сумму задолженности на начало 2009 г. при условии, что проценты начисляются по ставке 20%. Схематично условия задачи показаны на рисунке.
5 15 18 FVR = ?
1 июля 1 января 1 января 1 января t.
2005 г. 2006 г. 2008 г 2009 г.
Находим FVR = 5 ×1,23,5 15 ×1,23 18 × 1,21 = 56,985 млн. руб.
По этим же данным определим современную стоимость потока на момент выплаты первой суммы. При прямом счете получим
PVR = 5 15 ×1,2-0,5 18 × 1,2-2,5= 30,104 млн . руб.
PVR = 56,985 × 1,2-3,5= 30,104 млн. руб.
§
Методом прямого счета можно найти наращенную сумму и современную стоимость любого потока платежей, в том числе и постоянной ренты. Однако удобнее, особенно в аналитических целях, воспользоваться более компактными формулами. Поскольку обобщающие характеристики постоянных рент играют существенную роль в анализе финансовых операций, получим эти формулы для всех видов постоянных рент.
Годовая рента.Начнем с наиболее простого случая — годовой ренты постнумерандо. Пусть в течение п лет в банк в конце каждого года вносится по R рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i. Таким образом, имеется рента, член которой равен R , а срок — п. Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты — на первый член проценты начисляются п — 1 год, на второй п — 2и т.д. На последний взнос проценты не начисляются (напомним, что рента постнумерандо). Наращенная к концу срока каждого взноса сумма составит:
.
Пример: Создается фонд посредством ежегодных взносов по 10 тыс. $ в течение шести лет. На собранные средства банк начисляет проценты по ставке 15% годовых. Определить размер фонда к концу шестого года.
.
Годовая рента, начисление процентов m раз в году. Пусть, как и выше, анализируется годовая рента постнумерандо. Однако проценты теперь начисляются m раз в году. Число членов ренты равно n.
где j – номинальная ставка процентов.
множители: 
и 
называются коэффициентами наращения ренты.
Пример: Предположим, что при условиях, изложенных в предыдущем примере, проценты капитализируются поквартально, тогда:
.
Как видим, переход от годового начисления процентов к квартальному несколько увеличил наращенную сумму.
Рассмотрим теперь методы расчета наращенной суммы для вариантов р-срочной ренты постнумерандо при условии, что m =1, m = p и m ≠ p.
Рента р-срочная (m = 1).Пусть рента выплачивается р раз в году равными суммами, процент начисляется раз в конце года. Если годовая сумма платежей равна R, то каждый раз выплачивается R/p. Общее число членов ренты равно np.
.
Пример: Вернемся к первому примеру. Допустим, платежи выплачиваются поквартально: R/p=2,5 тыс. $., общее число платежей равно 24. Наращенная сумма составит
$.
Рента р-срочная (m = р).На практике наиболее часто встречаются случаи, когда число выплат в году равно числу начислений процентов: m = p. В этом случае наращенная сумма ренты составит:
.
Пример: Продолжим наш сквозной пример. Пусть выплата членов ренты и начисление процентов производится поквартально. Тогда:
$.
Рента р-срочная(m ≠ p). Определим теперь наращенную сумму для наиболее общего случая – р-срочная рента с начислением процентов m раз в году. Общее количество членов ренты равно np, величина члена ренты R/p. наращенная сумма такой ренты составит:
.
Пример: Если в ренте, наращенная сумма которой определялась в предыдущем примере, начисление процентов производится ежемесячно, то
$.
Непрерывное начисление процентов. В целой области финансовых расчетов, главным образом это касается финансового анализа, целесообразно воспользоваться методом наращения ренты с помощью непрерывных процентов. При дискретном потоке платежей общая формула выглядит следующим образом:
,
d — где непрерывная сложная процентная ставка,
е – основание натуральных логарифмов.
Аналогично для р-срочной ренты находим
.
Пример: Используя данные вышеназванных примеров, наращенную сумму фонда определим с помощью непрерывных процентов.
.
При ежеквартальной выплате членов ренты получим
$.
§
Под современной стоимостью потока платежей понимают сумму дисконтированных членов этого потока на некоторый предшествующий момент времени.
Годовая рента:
.
Множитель, на который умножается член ренты R, называется коэффициентом приведения ренты.
Пример: Годовая рента постумерандо характеризуется параметрами: R = 4 млн. руб., n = 5. При дисконтировании по сложной ставке процента, равной 18,5% годовых, получим:
млн. руб.
Таким образом, все будущие платежи оцениваются в настоящий момент в сумме 12,368 млн.руб. Иначе говоря, 12,368 млн. руб., размещенных под 18,5% годовых, обеспечивают ежегодную выплату 4 млн. руб. в течение 5 лет.
Годовая рента, начисление процентов m раз в году:
.
Рента p-срочная (m = 1):
.
Рента p-срочная (p = m). Число членов ренты здесь равно числу начислений процентов; величина члена ренты составляет R/m:
.
Рента p-срочная (p ≠ m).
.
Рента с непрерывным начислением процентов.Пусть, как и выше, ряд состоит из ежегодных платежей, равных R, однако проценты начисляются непрерывно, сила роста равна δ.
.
Если имеет место p-срочная рента с непрерывным начислением процентов, то:
.
Консолидация задолженности
В практике возникают случаи, когда необходимо заменить одно обязательство другим, с более отдаленным сроком платежа, досрочно погасить задолженность, объединить несколько платежей в один (консолидировать платежи) и т.п. В таких случаях речь идет о финансовой эквивалентности обязательств, которая предполагает неизменность финансовых отношений сторон до и после изменения контракта.
Эквивалентными считаются такие платежи, которые после приведения их к одному моменту времени оказываются равными.
Метод решения подобного рода задач заключается в разработке уравнения эквивалентности. Одним из распространенных случаев изменения условий сделки является консолидация (объединение) платежей.
Рассмотрим это на примере.
Пусть платежи FV1, FV2, …, FVm со сроками n1, n2, …, nm заменяются одним в сумме FVo со сроком no. В этом случае возможны две постановки задачи:
1. Определение суммы консолидированного платежа FVo при заданном сроке no;
2. Определение срока консолидированного платежа no при заданной сумме FVo.
1. Определение суммы консолидированного платежа
При объединении обязательств можно применять простые и сложные процентные и учетные ставки. При этом все сроки приводится к одному no, с учетом, что часть из них больше (no<nk), а часть меньше консолидированного срока (no>nj). Формулы для определения суммы консолидированного платежа:
1.1 По простой процентной ставке:
,
где FVj– размеры объединяемых платежей со сроками nj<no;
tj=no-nj;
FVk – размеры объединяемых платежей со сроками nk>no;
tj=nk-no;
1.2 По сложной процентной ставке:
,
1.3 По простой учетной ставке:
,
Пример: Два платежа 1000 и 500 руб. со сроками уплаты 180 и 210 дней объединяются в один со сроком 200 дней. Ставка 20% годовых. Определить сумму консолидированного платежа, при использовании простой процентной ставки.
руб.
2. Определение срока консолидированного платежа
Если при объединении платежей задана величина консолидированного платежа FVo, то для определения срока no уравнение эквивалентности удобно представить в виде равенства современных стоимостей соответствующих платежей. В расчетах также применяются простые и сложные ставки.
Формулы для определения срока консолидированного платежа:
2.1 По простой процентной ставке:
,
2.2 По сложной процентной ставке:
,
2.3 По простой учетной ставке:
,
Пример: Суммы в размере 800, 1000 и 200 руб. должны быть выплачены через 50, 70 и 120 дней соответственно. Определить срок консолидированного платежа в размере 600 руб. при использовании простой учетной ставки 10% годовых.
3,06 года
Эквивалентность ставок
Эквивалентные ставки – это ставки, в конкретных условиях сделки приводящие к одному и тому же результату.
Принцип эквивалентности ставок применяется при сравнении ставок, используемых в различных сделках и соглашениях, определении эффективности финансово-кредитной операции, безубыточной замене одного вида процентных ставок (или метода их начисления) другим.
Вывод формул эквивалентности ставок во всех случаях основывается на равенстве взятых попарно множителей наращения:
1) простая процентная и сложная процентная ставки:
,
,
,
где i – простая процентная ставка;
is – сложная процентная ставка;
n – срок .
2) простая процентная и простая учетная ставки:
,
,
,
где d – простая учетная ставка.
3) простая процентная и сложная учетная ставки:
,
,
,
где ds – сложная учетная ставка.
4) сложная процентная и простая учетная ставки:
,
,
,
5) сложная процентная и сложная учетная ставки:
,
,
,
6) простая учетная и сложная учетная ставки:
,
.
Пример: За 2 года до даты погашения вексель учтен по простой учетной ставке 20% годовых. Определить доходность учетной операции в виде сложной учетной ставки.
или 22,5%.
