Случай произвольного потока платежей – ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Вклады Возрождение

Виды потоков платежей и их основные параметры

Современные финансово-банковские операции часто пред­полагают не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени, например, погашение задол­женности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплаты пенсии и т. д. Такого рода последователь­ность, или ряд платежей, называют потоком платежей. (В западной финансовой литературе в аналогичном смысле приме­няется термин cash flows stream – буквально, потоки налично­сти, хотя речь идет о потоке денег в любом виде.) Отдельный элемент такого ряда платежей назовем членом потока (cash flow). Введение понятия поток платежей в финансовый количественный анализ, что произошло сравнительно недавно, за­метно расширило рамки и возможности последнего.

Классификация потоков.В практике встречаются разнообраз­ные потоки платежей. Причем один и тот же вид потока может быть использован в анализе различных финансово-кредитных операций.

Потоки платежей могут быть регулярными(размеры платежей постоянные или следуют установленному правилу, предусмат­ривающему равные интервалы между платежами) и нерегулярны­ми. Члены потоков могут быть как положительными (поступле­ния), так и отрицательными величинами (выплаты).

Поток платежей, все члены которого – положительные ве­личины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой,или просто рентой (rent). Напри­мер, рентой является последовательность получения процентов по облигации, платежи по потребительскому кредиту, выплаты в рассрочку страховых премий и т.д. Иногда подобного рода по­ток платежей называют аннуитетом (annuity), что, строго гово­ря, применимо только к ежегодным выплатам.

Использование в финансово-банковской операции условий, предполагающих выплаты в виде финансовой ренты, сущест­венно упрощает количественный их анализ, дает возможность применять стандартные формулы и таблицы значений многих, необходимых для финансовых расчетов коэффициентов.

Рента описывается следующими параметрами:

член ренты (rent) – размер отдельного платежа;

период ренты (rent period, payment period) – временной интервал между двумя последова­тельными платежами;

срок ренты (term) – время от начала пер­вого периода ренты до конца последнего;

процентная ставка. Размер ставки не всегда прямо оговаривается в условиях фи­нансовой операции. Однако, этот параметр крайне необходим для ее анализа.

При характеристике некоторых видов рент необходимо указать дополнительные ус­ловия и параметры. Например, число платежей в году, способ и частота начислений процентов, параметры, характеризующие закономерность изменения размеров члена ренты во времени.

В практике применяют разные по своим условиям ренты. В основу их классификации может быть положен ряд признаков. Рассмотрим некоторые из таких классификаций.

1. По количеству выплат членов ренты на протяжении года ренты делятся на годовые (выплата раз в году) и р-срочные (р – количество выплат в году). В анализе производственных инве­стиций иногда применяют ренты с периодами, превышающими год. Перечисленные виды рент называют дискретными. В фи­нансовой практике встречаются и с такими последовательно­стями платежей, которые производятся так часто, что их практически можно рассматривать как непрерывные.

2. По числу раз начислений процентов на протяжении года различают: ренты с ежегодным начислением, с начислением т раз в году, с непрерывным начислением. Моменты начисления процентов необязательно совпадают с моментами выплат чле­нов ренты. Однако, расчеты заметно упро­щаются, если два указанных момента совпадают.

3. По величине своих членов ренты делятся на постоянные (с одинаковыми размерами члена ренты) и переменные. Члены переменных рент изменяют свои размеры во времени, следуя ка­кому-либо закону, например арифметической или геометриче­ской прогрессии, или несистематично (задаются таблицей). По­стоянные ренты – наиболее распространенный вид ренты.

4. По вероятности выплат ренты делятся на верные (annuity cer­tain) и условные (contingent annuity). Верные ренты подлежат без­условной уплате, например, при погашении кредита. Число членов такой ренты заранее известно. В свою очередь выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некото­рого случайного события, число ее членов заранее неизвестно. К такого рода рентам относятся страховые аннуитеты – последовательные платежи в имущественном и личном страхова­нии. Типичным примером страхового аннуитета является по­жизненная выплата пенсии.

Читайте также:  Размер оплаты за услуги правового и технического характера

5. По количеству членов различают ренты с конечным числом членов, или ограниченные ренты (их срок заранее оговорен), и бесконечные, или вечные ренты (perpetuity). С вечной рентой встречаются на практике в ряде долгосрочных операций, когда предполагается, что период функционирования анализируемой системы или срок операции весьма продолжителен и не огова­ривается конкретными датами. В качестве вечной ренты логич­но рассматривать и выплаты процентов по бессрочным облига­ционным займам.

6. По соотношению начала срока ренты и какого-либо момен­та времени, упреждающего начало ренты (например, начало действия контракта или даты его заключения), ренты делятся на немедленные и отложенные, или отсроченные (deffered annu­ity). Пример отсроченной ренты: погашение долга в рассрочку после льготного периода.

7. По моменту выплат плате­жей в пределах периода ренты. Если платежи осуществляются в конце этих периодов, то соответствующие ренты называют обыкновенными, или постнумерандо (ordinary annuity), если же платежи производятся в начале периодов, то их называют пренумерандо (annuity due). Иногда контракты предусматривают платежи или поступления денег в середине периодов.

Приведем пример. Контракт предусматривает периодическое погашение задолженности путем выплаты в конце каждого по­лугодия одинаковых погасительных платежей на протяжении фиксированного числа лет, Таким образом, предусматривается постоянная, полугодовая, верная, ограниченная рента постну­мерандо.

Обобщающие параметры потоков платежей. Вподавляющем числе практических случаев анализ потока платежей предпола­гает расчет одной из двух обобщающих характеристик: нара­щенной суммы или современной стоимости потока.

Наращен­ная сумма (amount of cash flows) – сумма всех членов потока пла­тежей с начисленными на них к концу срока процентами.

Современная стоимость потока платежей (present value of cash flows) – это сумма всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент вре­мени. Конкретный смысл этих характеристик определяется со­держанием его членов или их происхождением. Наращенная сумма может представлять собой общую сумму накопленной задолженности к концу срока, итоговый объем инвестиций, на­копленный денежный резерв и т. д. В свою очередь современ­ная стоимость характеризует приведенные к началу осуществле­ния проекта инвестиционные затраты, суммарный капитализи­рованный доход или чистую приведенную прибыль от реализа­ции проекта и т. п.

Обобщающие поток платежей характеристики, особенно его современная стоимость, широко применяются в различных фи­нансовых расчетах. Так, без них, например, невозможно разра­ботать план последовательного погашения задолженности, из­мерить финансовую эффективность проекта, осуществить срав­нение или безубыточное изменение условий контрактов, ре­шать многие другие практические задачи

Прямой метод расчета наращенной суммы и современной сто­имости потока платежей.Рассмотрим общую постановку задачи. Допустим, имеется ряд платежей Rt, выплачиваемых спустя вре­мя nt, после некоторого начального момента времени. Общий срок выплат п лет. Необходимо определить наращенную на ко­нец срока потока платежей сумму. Если проценты начисляют­ся раз в году по сложной ставке i, то, обозначив искомую вели­чину через FVR, получим по определению

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ .

Современную стоимость такого потока также находим пря­мым счетом как сумму дисконтированных платежей:

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

где PVRсовременная стоимость потока платежей.

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

Пример: График предусматривает следующий порядок вы­дачи ссуды во времени: 1 июля 2005 г. – 5 млн. руб., 1 января 2006 г. – 15 млн. руб., 1 января 2008 г. – 18 млн. руб. Необходи­мо определить сумму задолженности на начало 2009 г. при усло­вии, что проценты начисляются по ставке 20%. Схематично усло­вия задачи показаны на рисунке.

5 15 18 FVR = ?

1 июля 1 января 1 января 1 января t.

2005 г. 2006 г. 2008 г 2009 г.

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Находим FVR = 5 ×1,23,5 15 ×1,23 18 × 1,21 = 56,985 млн. руб.

По этим же данным определим современную стоимость пото­ка на момент выплаты первой суммы. При прямом счете получим

PVR = 5 15 ×1,2-0,5 18 × 1,2-2,5= 30,104 млн . руб.

PVR = 56,985 × 1,2-3,5= 30,104 млн. руб.

Читайте также:  ООО Сириус Трейд – что это за организация, отзывы

§

Методом прямого счета можно найти наращенную сумму и современную стоимость любого потока платежей, в том числе и постоянной ренты. Однако удобнее, особенно в аналитических целях, воспользо­ваться более компактными формулами. Поскольку обобщаю­щие характеристики постоянных рент играют существенную роль в анализе финансовых операций, получим эти формулы для всех видов постоянных рент.

Годовая рента.Начнем с наиболее простого случая – годо­вой ренты постнумерандо. Пусть в течение п лет в банк в кон­це каждого года вносится по R рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i. Таким образом, име­ется рента, член которой равен R , а срок – п. Все члены рен­ты, кроме последнего, приносят проценты – на первый член проценты начисляются п – 1 год, на второй п – 2и т.д. На по­следний взнос проценты не начисляются (напомним, что рента постнумерандо). Наращенная к концу срока каждого взноса сумма составит:

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ .

Пример: Создается фонд посредством ежегодных взносов по 10 тыс. $ в течение шести лет. На собранные средства банк начисляет проценты по ставке 15% годовых. Определить размер фонда к концу шестого года.

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ .

Годовая рента, начисление процентов m раз в году. Пусть, как и выше, анализируется годовая рента постнумерандо. Однако проценты теперь начисляются m раз в году. Число членов ренты равно n.

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

где j – номинальная ставка процентов.

множители: Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ и Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ называются коэффициентами наращения ренты.

Пример: Предположим, что при условиях, изложенных в предыдущем примере, проценты капитализируются поквартально, тогда:

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ .

Как видим, переход от годового начисления процентов к квартальному несколько увеличил наращенную сумму.

Рассмотрим теперь методы расчета наращенной суммы для вариантов р-срочной ренты постнумерандо при условии, что m =1, m = p и mp.

Рента р-срочная (m = 1).Пусть рента выплачивается р раз в году равными суммами, процент начисляется раз в конце года. Если годовая сумма платежей равна R, то каждый раз выплачивается R/p. Общее число членов ренты равно np.

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ .

Пример: Вернемся к первому примеру. Допустим, платежи выплачиваются поквартально: R/p=2,5 тыс. $., общее число платежей равно 24. Наращенная сумма составит

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ $.

Рента р-срочная (m = р).На практике наиболее часто встречаются случаи, когда число выплат в году равно числу начислений процентов: m = p. В этом случае наращенная сумма ренты составит:

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ .

Пример: Продолжим наш сквозной пример. Пусть выплата членов ренты и начисление процентов производится поквартально. Тогда:

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ $.

Рента р-срочная(mp). Определим теперь наращенную сумму для наиболее общего случая – р-срочная рента с начислением процентов m раз в году. Общее количество членов ренты равно np, величина члена ренты R/p. наращенная сумма такой ренты составит:

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ .

Пример: Если в ренте, наращенная сумма которой определялась в предыдущем примере, начисление процентов производится ежемесячно, то

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ $.

Непрерывное начисление процентов. В целой области финансовых расчетов, главным образом это касается финансового анализа, целесообразно воспользоваться методом наращения ренты с помощью непрерывных процентов. При дискретном потоке платежей общая формула выглядит следующим образом:

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ,

d – где непрерывная сложная процентная ставка,

е – основание натуральных логарифмов.

Аналогично для р-срочной ренты находим

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ .

Пример: Используя данные вышеназванных примеров, наращенную сумму фонда определим с помощью непрерывных процентов.

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ .

При ежеквартальной выплате членов ренты получим

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ $.

§

Под современной стоимостью потока платежей понимают сумму дисконтированных членов этого потока на некоторый предшествующий момент времени.

Годовая рента:

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ .

Множитель, на который умножается член ренты R, называется коэффициентом приведения ренты.

Пример: Годовая рента постумерандо характеризуется параметрами: R = 4 млн. руб., n = 5. При дисконтировании по сложной ставке процента, равной 18,5% годовых, получим:

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ млн. руб.

Таким образом, все будущие платежи оцениваются в настоящий момент в сумме 12,368 млн.руб. Иначе говоря, 12,368 млн. руб., размещенных под 18,5% годовых, обеспечивают ежегодную выплату 4 млн. руб. в течение 5 лет.

Читайте также:  Порядок вступления в наследство: как получить в наследство недвижимость, вклады и другое имущество | - новости Перми

Годовая рента, начисление процентов m раз в году:

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ .

Рента p-срочная (m = 1):

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ .

Рента p-срочная (p = m). Число членов ренты здесь равно числу начислений процентов; величина члена ренты составляет R/m:

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ .

Рента p-срочная (pm).

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ .

Рента с непрерывным начислением процентов.Пусть, как и выше, ряд состоит из ежегодных платежей, равных R, однако проценты начисляются непрерывно, сила роста равна δ.

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ .

Если имеет место p-срочная рента с непрерывным начислением процентов, то:

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ .

Консолидация задолженности

В практике возникают случаи, когда необходимо заменить одно обязательство другим, с более отдаленным сроком платежа, досрочно погасить задолженность, объединить несколько платежей в один (консолидировать платежи) и т.п. В таких случаях речь идет о финансовой эквивалентности обязательств, которая предполагает неизменность финансовых отношений сторон до и после изменения контракта.

Эквивалентными считаются такие платежи, которые после приведения их к одному моменту времени оказываются равными.

Метод решения подобного рода задач заключается в разработке уравнения эквивалентности. Одним из распространенных случаев изменения условий сделки является консолидация (объединение) платежей.

Рассмотрим это на примере.

Пусть платежи FV1, FV2, …, FVm со сроками n1, n2, …, nm заменяются одним в сумме FVo со сроком no. В этом случае возможны две постановки задачи:

1. Определение суммы консолидированного платежа FVo при заданном сроке no;

2. Определение срока консолидированного платежа no при заданной сумме FVo.

1. Определение суммы консолидированного платежа

При объединении обязательств можно применять простые и сложные процентные и учетные ставки. При этом все сроки приводится к одному no, с учетом, что часть из них больше (no<nk), а часть меньше консолидированного срока (no>nj). Формулы для определения суммы консолидированного платежа:

1.1 По простой процентной ставке:

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ,

где FVj– размеры объединяемых платежей со сроками nj<no;

tj=no-nj;

FVk – размеры объединяемых платежей со сроками nk>no;

tj=nk-no;

1.2 По сложной процентной ставке:

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ,

1.3 По простой учетной ставке:

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ,

Пример: Два платежа 1000 и 500 руб. со сроками уплаты 180 и 210 дней объединяются в один со сроком 200 дней. Ставка 20% годовых. Определить сумму консолидированного платежа, при использовании простой процентной ставки.

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ руб.

2. Определение срока консолидированного платежа

Если при объединении платежей задана величина консолидированного платежа FVo, то для определения срока no уравнение эквивалентности удобно представить в виде равенства современных стоимостей соответствующих платежей. В расчетах также применяются простые и сложные ставки.

Формулы для определения срока консолидированного платежа:

2.1 По простой процентной ставке:

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ,

2.2 По сложной процентной ставке:

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ,

2.3 По простой учетной ставке:

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ,

Пример: Суммы в размере 800, 1000 и 200 руб. должны быть выплачены через 50, 70 и 120 дней соответственно. Определить срок консолидированного платежа в размере 600 руб. при использовании простой учетной ставки 10% годовых.

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ 3,06 года

Эквивалентность ставок

Эквивалентные ставки – это ставки, в конкретных условиях сделки приводящие к одному и тому же результату.

Принцип эквивалентности ставок применяется при сравнении ставок, используемых в различных сделках и соглашениях, определении эффективности финансово-кредитной операции, безубыточной замене одного вида процентных ставок (или метода их начисления) другим.

Вывод формул эквивалентности ставок во всех случаях основывается на равенстве взятых попарно множителей наращения:

1) простая процентная и сложная процентная ставки:

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ,

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ,

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ,

где i – простая процентная ставка;

is – сложная процентная ставка;

n – срок .

2) простая процентная и простая учетная ставки:

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ,

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ,

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ,

где d – простая учетная ставка.

3) простая процентная и сложная учетная ставки:

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ,

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ,

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ,

где ds – сложная учетная ставка.

4) сложная процентная и простая учетная ставки:

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ,

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ,

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ,

5) сложная процентная и сложная учетная ставки:

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ,

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ,

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ,

6) простая учетная и сложная учетная ставки:

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ,

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ .

Пример: За 2 года до даты погашения вексель учтен по простой учетной ставке 20% годовых. Определить доходность учетной операции в виде сложной учетной ставки.

Случай произвольного потока платежей - ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ или 22,5%.

Оцените статью
Adblock
detector