- Акции и другие ценные бумаги
- В помощь студентам и аспирантам
- Вклады и кредиты
- Животные на рынке
- Задача 3.1.4.
- Задача 3.1.6.
- Задача 3.2.4.
- Коварные и анонимные математики
- Методы оптимальных решений
- Уравнение рынка
- Финансовые задачи для курса математики 5—6 классов | учебно-методический материал по математике (5 класс): | образовательная социальная сеть
- Шум как источник прибыли
Акции и другие ценные бумаги
Следующий блок, который мы рассмотрим, затрагивает относительно новое понятие ценной бумаги. Что вам нужно знать о ценной бумаге, чтобы решать подобные задания, не вдаваясь в экономические особенности, это то, как она может приносить доход.
Тип 1: когда вы получаете доход от того, что ценная бумага, которую вы купили ранее, растет в цене. Например, сначала ценная бумага стоила 3 000, а через год стала стоить 4 000. Непосредственно этих 4 000 у вас нет, но вы можете продать ценную бумагу за 4 000 и получите больше, чем потратили за год до этого.
Тип 2: когда вы получаете некий процент от прибыли компании за то, что ранее приобрели ценную бумагу этой компании. Если вы являетесь владельцем акции, то доход данного типа вы получаете в форме дивидендов.
Помимо этого дохода вы также можете продать эту ценную бумагу и, если она теперь стоит больше, чем когда вы ее покупали, вы также получите прибыль. Это не все пути получения дохода от ценных бумаг, но других особенностей вам знать не нужно. При необходимости все дополнительные условия будут описаны в самой задаче.
Рассмотрим следующую задачу, в которой как раз фигурирует понятие ценной бумаги.
Задача 3.
Григорий приобрёл ценную бумагу компании за 9000 рублей в начале 2022 года. Компания находится на стадии активного роста, поэтому цена данной бумаги каждый год возрастает на 2000 рублей. В любой момент Григорий может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт.
Решение:
Продать бумагу нужно тогда, когда прирост стоимости ценной бумаги станет меньше, чем банковский процент. Пусть это случится в год n.
К этому моменту n к изначальной цене акции 9000 прибавится n раз по 2000, тогда на текущий момент её цена составит:
9000 2000n
Чтобы получить прирост, который Григорий получит, если хранить деньги в форме акции, необходимо ежегодный прирост (в данной задаче – 2000 рублей) поделить на накопленную к данному моменту сумму.
Прирост денежной суммы в банке всегда одинаков и равен предложенному проценту, то есть 0,12.
Либо можем составить уравнение, которое объединит все строчки нашей таблицы:
По прошествии четырёх лет Григорий должен продать бумагу, то есть в начале 2020 года.
Ответ: 2020
В помощь студентам и аспирантам
Рассмотрим ряд задач по анализу и оценке бизнес-проектов.
Задача. Размер инвестиции — 200 000 тыс.руб. Доходы от инвестиций в первом году: 50 000 тыс.руб.; во втором году: 50 000 тыс.руб.; в третьем году: 90000 тыс.руб.; в четвертом году: 110000 тыс.руб. Ставка дисконтирования равна 15%. Определить период по истечении которого инвестиции окупаются.
Также определить чистый дисконтированный доход (ЧДД), индекс прибыльности. Сделать вывод.
Решение задачи
Чистые денежные потоки рассчитываются следующим образом:
Где CFi – денежные потоки по годам.
r – ставка дисконта.
t – номер года, 1-й, 2-й, 3-й и т.д.
Например в первый год получим чистый денежный поток, равный 50000*(1 0,15) 1 =43478,26 (т.р.)
Чистый дисконтированный доход ЧДД (английское сокращение NPV) ЧДД =∑CFi/(1 r) i – I,
Где I – размер инвестиций.
∑CFi/(1 r) i – сумма чистых денежных потоков.
Заполним таблицу с расчетными данными.
Сальдо денежных потоков =
ЧДД=3354,76 тыс. руб.
Срок окупаемости простой равен 3 10000 /110000=3,09 ( лет).
Срок дисконтированный равен 3 5 9 538,09 / 62 892,86 =3, 95 ( лет).
Индекс прибыльности рассчитывается следующим образом:
(чистые денежные потоки делим на размер инвестиций).
Индекс прибыльности равен = (43478,26 37807,18 59176,46 62892,86) / 200000 = 1 , 02 .
Выводы:
Таким образом, ЧДД >0,
Индекс прибыльности (рентабельности инвестиций) >1.
Срок окупаемости простой и дисконтированный менее 4 лет. Что говорит о том, что проект окупается в среднесрочной перспективе, и его можно считать эффективным.
Рассмотрим следующую задачу по оценке экономической эффективности вложения денежных средств в бизнес-проект.
Задача. Требуется рассчитать значение показателя чистого дисконтированного дохода для проекта со сроком реализации 3 гола, первоначальными инвестициями в размере 10 млн. руб. и планируемыми входящими денежными потоками равными: в первый год 3 млн руб., во второй год – 4 млн руб, в третий год – 7 млн руб.
Решение
Рассчитаем ЧДД.
ЧДД (Чистый дисконтированный доход) рассчитывается:
Где I – размер инвестиций.
∑CFi/(1 r) i – сумма чистых денежных потоков.
Чистые денежные потоки рассчитываются следующим образом:
Где CFi – денежные потоки по годам.
r – ставка дисконта.
t – номер года, 1-й, 2-й, 3-й и т.д.
Например в первый год получим чистый денежный поток, равный 3*(1 0,12) 1 =2,679 (млн руб.).
Вклады и кредиты
Вклады и кредиты – самый обширный блок. Здесь вы можете встретить различные схемы возврата кредита или увеличения суммы вклада, и ваша задача – упорядочить данные таким образом, чтобы большой массив текста превратился в удобную математическую схему.
Чтобы правильно решать такие задачи, необходимо владеть формулой сложных процентов. Начисление по этой формуле предполагает, что каждый последующий год процент начисляется не на исходную сумму, а на исходную сумму, увеличенную предыдущим начислением процентов.
Формула выглядит следующим образом:
где FV – будущая сумма.
PV – текущая сумма.
p – процент, в соответствии с которым происходит начисление
n – количество лет начисления процента.
Если начисления происходят не ежегодно, а чаще, например, ежеквартально, формула модифицируется в следующий вид:
где
FV – будущая сумма
PV – текущая сумма
p – процент, в соответствии с которым происходит начисление
n – количество лет начисления процента
m – количество начислений в год (например, m=4, если начисления ежеквартальные).
Давайте отработаем эту формулу на подготовительной задаче.
Задача 1
Алексей положил 100 000 рублей в банк под 6% годовых на 3 года. Какая сумма будет у Алексея через год? Через 2 года? Через 3 года?
Решение:
Рассчитаем по формуле сложного процента сумму через год:
Теперь сумму через 2 года:
Теперь сумму через 3 года:
Более того, вам придётся работать со схемами кредитов/вкладов, поэтому решим более сложную задачу, в которой нужно будет переводить текст в таблицы и уравнения/неравенства.
Задача 2
Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего года и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 28 млн рублей.
Решение:
Пусть искомая сумма составит a млн рублей.
Составим таблицу, чтобы упорядочить данные и построить математическую модель.
По условию, нужно найти наименьшее целое x, для которого выполнено неравенство
14,641 2,31a ≥ 28
a ≥ 
Наименьшее целое число, при котором знак неравенства выполняется, это число 6.
Значит, искомая сумма — 6 млн рублей.
Ответ: 6 млн рублей.
Животные на рынке
Рассказ о том, как математика перешла от понимания рынков в терминах простого сигнала к оценке шума и в итоге к учету социальной обратной связи, — это хорошо, но здесь упускается важный момент. Звучит слишком похоже на сказку о том, как на каком-то этапе человеческое безумие было исправлено с помощью новых методов мышления.
Математики, работавшие в сфере финансов в 1980-е, смогли разделить сигнал и шум, собрав достаточно наблюдений. Такое математическое знание уже позволяло трейдерам снижать воздействие случайностей, которым подвергались их клиенты. Это давало им преимущество над теми, кто не понимал случайности, смешивал сигнал и шум.
Более чем за 10 лет до кризиса 2007 года одна группа физиков-теоретиков заявила, что уравнение рынка, основанное только на сигнале и шуме, опасно. Они показали, что такая модель не дает достаточных колебаний цены акций, которые объяснили бы значительные всплески и спады, наблюдавшиеся в предыдущее столетие.
Простая рыночная модель сигнала и шума предполагает независимость событий при ценообразовании. Согласно ей, будущая стоимость акций должна следовать нормальному распределению. В реальности дела обстоят не так.
Физики-теоретики из Санта-Фе и других научных центров мира показали, что колебания будущих цен на акции могут оказаться более высокими. Это делает рынок крайне волатильным, а прогнозы почти невозможными: акция за день способна потерять всю стоимость.
Причина этих колоссальных колебаний в том, что трейдеры не действуют независимо друг от друга. В рулетке одно вращение колеса не зависит от другого, и можно применять центральную предельную теорему. Однако на фондовом рынке один продающий трейдер заставляет другого потерять уверенность и тоже продавать.
Участники фондового рынка — стадные животные, которые следуют друг за другом и в подъемах, и в спадах.
На рубеже тысячелетий многие физики-теоретики, пришедшие на работу в финансовую сферу, нашли на рынке определенное преимущество. Они сохраняли это преимущество в течение всего финансового кризиса и выиграли, когда рынки рухнули. Добавив слагаемое с f(X) в свои уравнения рынка, они оказались готовыми к таким событиям, как крах Lehman Brothers, когда трейдеры занимали друг за другом экстремальные и рискованные п позиции.
Сейчас все специалисты по финансовой математике знают, что рынки — комбинация сигнала, шума и стадности: их модели показывают, что крахи будут происходить, и позволяют им хорошо представлять, насколько масштабными они будут в долгосрочной перспективе.
Задача 3.1.4.
Компания N располагает двумя альтернативными вариантами инвестиционных проектов, требующих одинаковых вложений. Данные, характеризующие эти проекты, приведены в табл. 3.1.2 и на рис. 3.1.1. Найти срок окупаемости инвестиций для каждого из проектов. Выбрать проект для реализации с точки зрения: а) сохранения ликвидности; б) получения дохода; в) эффективности. Принять решение на основе учетных оценок.
Таблица 3.1.2 — Денежные потоки по проектам, А и Б, у. е.
Денежные потоки по проектам
Рис. 3.1.1 — денежные потоки по проектам, А и Б: синим цветом обозначены вложения, коричневым — денежные потоки для проекта А; желтым — денежные потоки для проекта Б.
Методические указания: использовать формулы (3.1.2) и(3.1.3).
1. Решим задачу на основе учетных (не дисконтированных) оценок.
Срок окупаемости проекта, А:
Считаем сумму доходов нарастающим итогом до тех пор, пока она не превысит капиталовложения:
сумма доходов за первые 3 года составляет
150 200 300 = 650 у. е., что недостаточно для покрытия инвестиций;
сумма доходов за первые 4 года составляет
650 400 = 1050 у. е., что покрывает инвестиции с избытком, т. е. срок окупаемости, согласно формуле (3.1.2), — 4 года.
Найдем более точно срок окупаемости:
через 3 года непокрытый остаток капиталовложений (Кост) равен:
который может быть покрыт за 0,875 (350/400) четвертого года, т. е. за 10,5 (0,875 
Таким образом, срок окупаемости проекта, А составляет 3 года и 10,5 месяца.
Аналогичным образом находим срок окупаемости проекта Б — 3 года, а более точно:
Кост = K — (D1 D2) = 1000 — (500 400) = 100 у. е.,
который может быть покрыт за 0,33 (100/300) третьего года, т. е. за 4 (0,33
Таким образом, срок окупаемости проекта Б составляет 2 года и 4 месяца.
Рассчитаем общий доход (D) по проектам:
DA = 150 200 300 400 500 600 = 2150 у. е.
DБ = 500 400 300 100 = 1300 у. е.
Эффективность проекта можно оценить путем расчета коэффициента эффективности инвестиций, для чего необходимо рассчитать среднегодовую прибыль (Р) и среднегодовую стоимость эксплуатируемых инвестиций (I):
Среднегодовая стоимость эксплуатируемых инвестиций у обоих проектов одинаковая:
I = K/2 = 1000/2 = 500 у. е.
Коэффициент эффективности инвестиций:
Ответ: С точки зрения ликвидности (по сроку окупаемости) более предпочтителен проект Б, окупающийся через 2 года и 4 месяца, чем проект, А, окупающийся за 3 года и 10,5 месяца. Однако проект, А приносит больше дохода (2150 у. е.), чем проект Б, (1300 у. е.) Проект, А также более эффективен (
Задача 3.1.6.
У компании имеются два проекта -А и Б. Каждый проект имеет издержки в 10 тыс. р., альтернативные издержки для каждого проекта составляют 12 %. Ожидаемые денежные потоки, генерируемые этими проектами представлены в таблице 3.1.4.
Таблица 3.1.4 — Денежные потоки по двум проектам, А и Б
а) подсчитать период окупаемости, чистую приведенную стоимость, коэффициент внутренней нормы доходности для каждого проекта;
б) решить, какой проект должен быть принят, если они независимые;
в) решить, какой проект должен быть принят, если они взаимоисключаемые;
г) оценить, как изменение ставки дисконтирования могло бы привести к конфликту в ранжировании этих двух проектов по чистой приведенной стоимости и по внутренней норме доходности;
д) ответить на вопрос, какой проект предпочтительнее — при r = 4,5 % или при r = 8 %?
Методические указания: использовать формулы (3.1.2), (3.1.5), (3.1.6), ( 3.1.10 ), ( 3.1.11 ) и ( 3.1.13 ).
а) 1. Расчет периода окупаемости.
Окупаемость проекта, А (лет):
Т. к. ожидаемый поток доходов меняется из года в год, период окупаемости можно определить, суммируя доходы по годам до тех пор, пока их сумма не станет равной первоначальному вложению. Через 2 года накопленный доход 9,5 тыс. р. (6,5 3) меньше капвложений, через 3 года — 12,5 тыс. р. (6,5 3 3) — больше.
Точный расчет срока окупаемости:
Аналогичный расчет сделаем для проекта Б.
Окупаемость проекта Б (лет):
года.
При независимости оба проекта следует принять, т. к. срок окупаемости не превышает срока эксплуатации проектов. Если следует выбрать один, то более предпочтительным оказывается проект, А, имеющий меньший срок окупаемости.
2. Чистая приведенная стоимость:
При независимости оба проекта следует принять, т. к. NPV для обоих проектов положителен. Если следует выбрать один, то более предпочтительным оказывается проект, А, имеющий больший чистый дисконтированный доход.
3. Внутренняя норма доходности:
Для расчета внутренней нормы доходности воспользуемся приблизительным расчетом на основе формулы:
В качестве r1 используем исходную ставку дисконтирования 12 %. В качестве r2 возьмем, например, 20 %.
Рассчитаем NPV со ставкой 20 %:
При независимости проекты следует принять, если PI не превышает стоимости привлекаемых средств. Если следует выбрать один, то более предпочтительным оказывается проект, А, имеющий большую внутреннюю норму доходности.
б) По всем рассмотренным критериям оба проекта являются приемлемыми. Таким образом, оба проекта должны быть приняты, если они независимые.
в) При альтернативности проектов выбрать следует проект А. Он лучше по всем показателям.
г) Найдем r, при котором NPV двух проектов равны (точку Фишера):
Домножим обе части уравнения на 
Подставим в левую часть r = 6 % и r = 7 %. В первом случае левая часть уравнения:
Во втором случае:
Теперь возьмем 
Поскольку существует точка Фишера, конфликт критериев при выборе инвестиционного проекта возможен.
Если r 0, а при другой NPV d, т. е. эффективность проекта выше эффективности предприятия, поэтому проект приемлем.
Теперь рассмотрим критерии, основанные на дисконтированных оценках. Первый — общий дисконтированный доход:
PV 15), проект Е (и проект А, имеющий еще более низкую внутреннюю норму доходности) в бюджет не включается.
Итоговый бюджет представлен в табл. 3.2.7.
Таблица 3.2.7 — Бюджет капиталовложений
Ответ: В бюджет капиталовложений включаются проекты В, Г, Ж, Д и Б, финансируемые за счет источников И, П, М, К и Л. При этом из источника Л используется только 200 тыс. р.
Задача 3.2.4.
Компания имеет возможность инвестировать ежегодно не более 20 млн р.; кроме того, все доходы от дополнительно введенных инвестиционных проектов также могут использоваться для целей инвестирования. На момент анализа имеются четыре независимых проекта (табл. 3.2.8).
Таблица 3.2.8 — Денежные потоки по имеющимся проектам
Требуется составить портфель капиталовложений, если стоимость источников финансирования 12 %.
Методические указания: использовать формулы (3.1.4), (3.1.6) и (3.1.9).
Дано:
Решение:
Прежде чем приступать к составлению портфеля, необходимо рассчитать значения критериев NPV и PI для каждого проекта:
Для четвертого проекта рассчитаем NPV на начало 1-го года:
На начало 2-го года (начало эксплуатации проекта D) NPV составит:
Все проекты являются приемлемыми, т. к. все они обеспечивают положительный чистый дисконтированный доход.
Индекс рентабельности инвестиций рассчитаем с учетом приведения всех денежных потоков к началу 1-го года (концу 0-го):
Для расчета индекса рентабельности проекта D необходимо рассчитать современную стоимость капиталовложений:
Критерий РI дает возможность ранжировать проекты по степени предпочтительности: С, В, A, D.
В нулевой год имеется 20 млн р., следовательно, можно начать реализацию проектов С и В, для которых требуется 5 и 15 млн р. соответственно. На следующий год у компании будет еще 20 млн р., а также 12 млн р., полученных от эксплуатации проектов С и В (8 4)
, итого 32 млн р., которых оказывается недостаточно для реализации проекта D. При условии, что проекты могут реализоваться только в указанные сроки (не могут начинаться раньше или позже), суммарный чистый дисконтированный доход в рассматриваемом варианте составит:
Рассмотрим другой вариант: реализуем вначале проект, А, для которого требуется 20 млн р. Тогда на следующий год у компании кроме ее ресурсов в 20 млн р. добавится 25 млн р. от эксплуатации проекта, А, т. е. всего 45 млн р., что будет достаточно для реализации проекта D. В таком случае суммарный чистый дисконтированный доход составит:
Таким образом, видим, что при данных условиях критерий PI прямо указывает на первый вариант, который в конечном итоге дает меньше чистого дисконтированного дохода.
Однако следует иметь в виду, что в первом варианте остаются неиспользованными 32 млн р., настоящая стоимость которых составляет 28,6 млн р. (32/1,12), что в 2 раза перекрывает доход от реализации проектов А и D.
Ответ: Следует реализовать проекты С и В.
Коварные и анонимные математики
Математики — люди хитрые и коварные. Как только мы говорим вам, что все случайно, то обнаруживаем какое-нибудь новое преимущество. Когда мы устанавливаем, что с помощью математики невозможно предсказать долговременные тенденции для стоимости акций, то двигаемся в противоположном направлении.
15 апреля 2022 года на биржу вышла компания Virtu Financial. Она была основана семью годами ранее трейдерами Винсентом Виолой и Дугласом Сифу и разработала новаторские методы для высокочастотной торговли — покупки и продажи акций в течение миллисекунд после совершения сделки на фондовой бирже на другом конце страны.
Вплоть до момента предложения своих акций Virtu была крайне скрытна в отношении своих методов и заработанных сумм. Но для выхода на биржу через IPO (первичное публичное размещение акций) ей требовалось раскрыть для проверки свои финансовые дела и детали бизнеса.
Секрет вышел наружу. В течение пяти лет торговли Virtu понесла убытки всего в один день. Этот результат был поразителен по любым меркам. Финансовые трейдеры обычно имели дело со случайностью; они привыкли, что неотъемлемой частью получения прибыли оказываются недели или месяцы убытков. Virtu убрала из трейдинга спады, оставив только подъемы.
Первоначальная оценка Virtu на фондовой бирже составляла $3 млрд. Заинтригованный гарантированными ежедневными прибылями, профессор астрономии Йельского университета Грег Лафлин захотел узнать, почему деятельность Virtu была такой надежной.
Дуглас Сифу говорил в интервью Bloomberg, что только 51–52% сделок Virtu прибыльные. Сначала это заявление озадачило Лафлина: если 48–49% сделок убыточны, то для того, чтобы гарантированно ежедневно оставаться в плюсе, требуется очень большое их количество.
Лафлин подробно изучил тип сделок, которыми занималась Virtu. Компания получала прибыль, зная об изменении цен раньше конкурентов. Ее документы для IPO раскрыли, что компания контролировала корпорацию Blueline Communications LLC, разработавшую технологию высокочастотной связи, благодаря которой информация о ценах проходила между фондовыми биржами Иллинойса и Нью-Джерси примерно за 4,7 миллисекунды.
В своей книге 2022 года о высокочастотном трейдинге Flash Boys Майкл Льюис указывал, что при использовании волоконной оптики для связи между биржами задержка составляет примерно 6,65 миллисекунды. В результате Virtu имела преимущество примерно в 2 миллисекунды над волоконной оптикой.
Предположив, что 24% сделок убыточные, а 25% — «нулевые», Грег Лафлин вычислил среднюю прибыль от одной сделки: 0,51 ∙ 0,01 – 0,24 = 0,0027 доллара на одну акцию. Предоставленная компанией Virtu отчетность говорила о доходе в $440 000 в день, откуда следовало, что Virtu ежедневно совершала 160 млн сделок с акциями.
Я позвонил своему другу Марку (имя в целях конфиденциальности изменено), который работает на другого крупного алгоритмического трейдера, и спросил, не может ли он рассказать мне секрет компаний, подобных Virtu. Он выделил пять способов получения преимуществ трейдерами, занимающимися высокочастотной торговлей.
- Первый — скорость. Благодаря обладанию высокоскоростными каналами коммуникации, такими как технология микроволновой связи, разработанная Blueline, трейдеры узнавали направление сделок раньше конкурентов.
- Второй — вычислительная мощность. Загрузка расчетов по трейдингу в центральный процессор компьютера требует времени, поэтому группы из сотен разработчиков используют видеокарты в своих машинах для обработки сделок по мере поступления.
- Третий — тот, что наиболее часто используют Марк и его команда — основан на уравнении, которое я приводил в начале этой главы. В последние годы популярной формой инвестиций были биржевые инвестиционные фонды (exchange-traded funds, ETF), которые представляют собой «корзины» инвестиций в различные компании на более крупном рынке, например S&P 500 (индекс, который отражает капитализацию 500 крупнейших компаний США). Марк объяснял мне: «Мы ищем арбитражные сделки для разницы между стоимостью отдельных акций в ETF и самим ETF». Команда Марка определяет арбитражные сделки не только для текущей стоимости акций, но и для будущих цен. Чтобы оценить опционы на покупку или продажу какой-то акции для срока в неделю, месяц или год в будущем, используется некий вариант уравнения рынка. Если Марк и его команда способны вычислить будущую стоимость ETF и всех отдельных акций раньше других, то они могут получить прибыль без риска.
- Четвертый способ получения преимущества состоит в том, что такая компания — крупный игрок. «Чем больше вы торгуете, тем дешевле обходятся транзакции, — объясняет Марк. — Еще одна польза состоит в наличных кредитах или кредитах ценными бумагами, которые можно использовать для покрытия инвестиций, для выплат по которым уходит три или четыре месяца». По сути, богатые становятся богаче, потому что их капитал больше, а расходы ниже.
- Пятый способ — тот, который сам Марк за 15 лет трейдинга на самом высоком уровне с капиталами в миллионы долларов никогда не использовал: он заключается в попытке спрогнозировать истинную стоимость продаваемых акций и товаров.
Существуют трейдеры, которые для принятия решений по инвестициям смотрят на принципы различного бизнеса, используя опыт и здравый смысл. Марк не из них. «Я придерживаюсь мнения, что рынок умнее меня в отношении цен, когда я смотрю, верно ли установлены цены на фьючерсы или опционы, если предполагать, что рынок правильный».
Не верьте, будто вы сможете надежно предсказать, что произойдет в жизни. Принимайте решения, которые кажутся вам разумными, в которые вы действительно верите. Затем используйте три слагаемых уравнения рынка, чтобы морально подготовиться к неопределенному будущему.
Помните о слагаемом для шума: будет множество подъемов и спадов вне вашего контроля. Помните о социальном слагаемом: не дайте ажиотажу поймать себя и не огорчайтесь, если толпа не разделяет ваших убеждений. И помните слагаемое для сигнала: истинная стоимость ваших инвестиций существует, даже если вы не всегда можете увидеть ее.
Пока трейдеры играли на фондовом рынке подобно любителям, делающим спортивные ставки, математики старались использовать то, что эти трейдеры не понимали случайности, и зарабатывали свои деньги благодаря крохотным преимуществам, анонимно, незаметно и без суеты.
Методы оптимальных решений
Это особый блок, позволяющий максимизировать одну целевую функцию при учёте данных в условии ограничений.
Основные типы заданий в этом блоке:
1. Оптимизация работы на производстве с учётом цен на рынке товара и факторов производства;
2. Многозаводское производство (включая разные заводы/ отели/ другие рабочие пространства);
3. Транспортная задача.
Разберём несколько задач с основными методами решения.
Задача.
У фермера есть 2 поля, площадь каждого из которых составляет 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать пшеницу и ячмень. Урожайность пшеницы на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором поле – 300 ц/га. Урожайность ячменя, наоборот, на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором поле – 500 ц/га. При этом известно, что между данными злаками поля можно делить в любом соотношении.
Если известно, что на рынке установилась цена на пшеницу 7000 рублей за центнер, а цена на ячмень 9000 рублей за центнер, то какой наибольший доход фермер может получить?
Решение:
Имеем 2 поля с различными характеристиками.
В целом, продавать ячмень выгоднее, чем продавать пшеницу, так как 9000 > 7000 рублей.
Более того, известно, что на втором поле урожайность ячменя выше, чем урожайность пшеницы (500 ц/га против 300 ц/га). Тогда очевидно, что второе поле полностью фермер займёт ячменём, откуда получит:
10·500· 9000= 45000000 рублей
Ситуация с первым полем не так очевидна.
Продавать ячмень, как и прежде, выгоднее, чем продавать пшеницу. Однако на первом поле урожайность ячменя ниже, чем урожайность пшеницы (300 ц/га против 500 ц/га).
Поэтому необходимо сравнить соотношения этих величин:
Тогда получается, что засеять первое поле пшеницей выгоднее, так как низкая цена компенсируется высокой урожайностью.
Доход с первого поля:
10 · 500 ·7000 = 35000000 рублей
Суммарный доход составит:
35000000 рублей 45000000 рублей = 80000000 рублей
Ответ: 80000000 рублей
Есть и другие типы заданий, в которых необходимо будет применить не житейские знания, а навыки составления уравнений и нахождения наименьшего/ наибольшего значений функций.
Задача.
На двух заводах есть по 360 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки для обработки чёрных или цветных металлов. На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов. На втором заводе для обработки x кг чёрных металлов в день требуется x2 человеко-часов труда, а для обработки у кг цветных металлов в день требуется у2 человеко-часов труда.
Владельцу заводов поступил заказ на обработку металлов, причём 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов. Какую наибольшую массу обработанных металлов может за сутки суммарно получить заказчик?
Решение:
Как и дано в условии, 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов, что означает, что металлы взаимозаменяемы в пропорции 1:1.
Пусть на втором заводе t рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда (360-t) рабочих обрабатывают цветные металлы.
Знаем, что x2 человеко-часов труда требуется обработки x кг чёрных металлов, а у2 человеко-часов труда требуется в день для обработки у кг цветных металлов.
На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов, однако чёрные и цветные металлы для заказчика равнозначны, из чего сделаем вывод, что все 360 рабочих обрабатывают чёрные металлы, то есть 108*5 = 540 кг в день.
Имея соотношение на втором заводе и производительность рабочих на первом заводе, составим функцию возможного количества обработанных металлов:
Необходимо найти наибольшее значение этой функций. Последовательность действий мы уже знаем из темы «Анализ функций». Необходимо:
1. Найти производную функции;
2. Приравнять производную к 0, получить точки, подозрительные на экстремум;
3. Определить знаки производной на полученных промежутках и проверить, какие точки являются точкой максимума, а какие – точкой минимума.
Проведём такую последовательность действий с нашей производственной функцией.
Приведём к общему знаменателю.
Приравняем числитель к 0.
Приравняем числитель к 0.Возведём в квадрат.
Получили единственную точку экстремума.- Проверим, является ли она точкой максимума.
Видим, что в точке t=180 производная меняет знак с на -, тогда, по определению, это точка максимума.Итак, на втором заводе 180 рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда 180 рабочих обрабатывают цветные металлы.Поставим данные значения в изначальную целевую функцию.
Видим, что в точке t=180 производная меняет знак с на -, тогда, по определению, это точка максимума.Итак, на втором заводе 180 рабочих обрабатывают чёрные металлы, тогда 180 рабочих обрабатывают цветные металлы.Поставим данные значения в изначальную целевую функцию.Ответ: 600 кг
Видим, что экономическая задача достаточно разнообразна, но и решать вы её можете абсолютно разными способами – через производные, составление таблиц, схем, выведение формул и простой перебор вариантов.
Самое главное – внимательно прочитать и понять условие.
Уравнение рынка
Нельзя раскрыть секреты финансовых рынков, не начав с этого фундаментального уравнения: dX = hdt f(X)dt σ ∙ εt.
Уравнения упрощают мир, концентрируя много знаний в небольшом количестве символов, и уравнение рынка — блестящий пример. Это уравнение описывает, как меняется величина X, которая представляет «ощущение» инвесторов в отношении текущей стоимости какой-то акции.
Это ощущение может быть положительным или отрицательным, так что X = –100 означает реально плохое ощущение о будущем, а X = 25 — довольно хорошее. Экономисты говорят о «быках» и «медведях» на рынке. В нашей модели бычий рынок в будущем положителен (X > 0), а медвежий отрицателен (X < 0).
Если мы хотим большей конкретики, то можем представлять себе нашу величину X как количество «медведей» (людей, играющих на повышение) минус количество «быков» (играющих на понижение). Но на этом этапе мы не хотим связываться с конкретной единицей для измерения X.
В математике принято ставить слева в уравнениях то, что мы желаем объяснить, а справа — то, что, по нашему мнению, дает объяснение. Именно это мы делаем в нашем случае. Слева стоит величина dX. Буква d обозначает изменение. Соответственно, dX — «изменение в ощущении».
Обратите внимание, как атмосфера в помещении мрачнеет, когда вы обнаруживаете, что ваша работа под угрозой. Такая угроза сокращения может быть dX = –12. Если новый заказ поможет вашей компании работать еще несколько лет, то dX = 6. А если он еще и большой, то может оказаться, что dX = 15.
Не надо фокусироваться на единицах, которые я использую для этих величин. Когда мы решаем школьные задачки, то обычно складываем и вычитаем реальные предметы — яблоки, апельсины или деньги; сейчас же мы можем позволить себе бóльшую свободу. Я понимаю, что не существует такой вещи, как изменение эмоций ваших коллег dX = –12, но это не означает, что мы не можем написать уравнение, которое пытается уловить изменения в ощущениях группы людей.
Именно это и есть цена какой-нибудь акции: это то, как инвесторы ощущают будущую стоимость компании. Мы хотим объяснить изменения в наших коллективных ощущениях по поводу инвестиций в конкретные активы или в отношении к какому-то политику либо потребительскому бренду.
В правой части уравнения три слагаемых —hdt, f(X)dt и σ∙εt . Самая важная часть здесь — сигнал h, далее обратная связь f(X) и стандартное отклонение σ (или шум). Коэффициенты, на которые умножены эти величины, указывают, что мы интересуемся изменениями (d) во времени (t).
Финансовые задачи для курса математики 5—6 классов | учебно-методический материал по математике (5 класс): | образовательная социальная сеть
Финансовые задачи для курса математики 5—6 классов
1. Купили 1,5 кг рыбы по цене 105 р. за 1 кг и 0,6 кг картофеля по цене 22,5 за 1 кг. Какую сдачу должны получить с 500 р.? 500 – (157,5 13,5) = 500 – 171 = 329 (р.)
[5 класс, задачи на оплату товаров и услуг, вычисления]
2. На кондитерской фабрике в каждую коробку шоколадных конфет вкладывают талон. За 8 накопленных талонов покупателю бесплатно выдается коробка конфет. Какую часть стоимости коробки конфет составляет стоимость одного талона?
[5 класс, задача на смекалку, уравнивание]
3. На летних каникулах Митя ездит в конноспортивный клуб за город. Билет в одну сторону на электричке стоит 185 р., а льготный абонемент на месяц стоит 7 400 р., дающего право проезда до клуба и обратно неограниченное число раз в течение месяца. При каком минимальном количестве поездок в месяц приобретение абонемента выгодно?
[5 класс, оптимизация расходов, вычисления]
4. Ученик 5 класса Олег каждый день ездит в школу на автобусе. Цена билета в автобусе 20 р., а цена его проездного билета на месяц 130 р. Сколько денег Олег экономит на каждой поездке? Сколько денег Олег экономит за месяц?
[5 класс, оптимизация расходов, вычисления]
5. В таблице представлены цены на некоторые товары в трех магазинах.
Татьяна Анатольевна хочет купить 0,5 кг орехов, 10 плиток шоколада и 2 кг зефира. В каком магазине стоимость покупки будет наименьшей, если в магазине Б проводится акция – скидка 20% на развесные продукты, а в магазине В скидка 10% на весь ассортимент?
[5 класс, оптимизация расходов, чтение таблиц, вычисления]
6. Смешали три сорта конфет: 14 кг по цене 120 р. за 1 кг, 16 кг по 350 р. и 10 кг по 470 р. Сколько будет стоить 1 кг смеси конфет?
[5 класс, задачи на смеси, пропорциональное деление, вычисления]
7. Антон, Борис и Виктор купили вскладчину лотерейный билет за 50 р. Антон заплатил 24% стоимости билета, Борис − 0,21 стоимости билета, а оставшуюся сумму внес Виктор. Мальчики договорились, что выигрыш делят между собой пропорционально внесённому вкладу. На билет выпал выигрыш 1000 р. Какая сумма из выигрыша причитается каждому из мальчиков?
[5 класс, справедливое распределение, пропорциональное деление]
8. Два магазина торгуют одним и тем же товаром. В первом магазине цены на 10% ниже, а количество проданного за день товара на 20% больше, чем во втором. В каком из магазинов выручка больше?
[5 класс, задачи на изменение цены товара, сложные проценты]
9. 1) Ежемесячный бюджет семьи Ивановых, проживающих в Москве, составляет
35 664 р. Сколько рублей приходится на каждого из четырех членов семьи в месяц?
2) Если доход на члена семьи меньше 15 397 р., то семья считается малоимущей. Является ли семья Ивановых малоимущей?
[5 класс, бюджет семьи, вычисления]
10. Ежемесячный доход семьи увеличился в первом квартале на 7%, а во втором – на 10%. На сколько процентов увеличился ежемесячный доход семьи за два квартала?
[5 класс, бюджет семьи, сложные проценты]
11. 1) Какую заработную плату начисляют работнику, если после уплаты единого социального налога 13%, он получает на руки 12 500 р.?
2) В аванс рабочий получил 8100 р., что составило 45% его заработной платы. Какова зарплата рабочего?
[5 класс, зарплата и налоги, простые проценты]
12. Транспортный налог на автомобили одного года выпуска тем больше, чем больше мощность автомобиля. В семьях Кати и Оли, проживающих в Москве, одинаковый доход и по одному автомобилю одного и того же года выпуска. Транспортный налог в семье Кати составляет 
[5 класс, транспортный налог, сравнение обыкновенных дробей]
13. 1) В банке по некоторому вкладу начисляют 8% годовых. Это значит, что внесенная сумма через год увеличится на 8%. На сколько увеличится вклад, составляющий 25 000 р.?
2) За перевод денег банк берет 3% от переводимой суммы. Сколько денег надо внести в банк, чтобы перевести 2000 р.?
3) В банк на срочный вклад положили 30 000 р. Банк начисляет 10% в год. Если клиент не снимает деньги со счета, то через год проценты по вкладу капитализируются, т.е. прибавляются к сумме вклада. Какая сумма будет на счете клиента, который не снимал деньги: а) через 1 год; б) через 2 года; в) через 3 года.
[5 класс, банковские задачи, простые проценты, вычисления]
Финансовые задачи из ВПР для 5—6 классов
14. В интернет-магазине действует акция «Каждая третья книга – бесплатно». Покупатель сделал заказ на 7 книг. Сколько из этих книг покупатель получит бесплатно по акции? (5 класс)
Решение. 
Комментарии. По-видимому, условие этой задачи предполагает ситуацию, когда покупаются одинаковые книги. В случае покупки разных по цене книг, покупатель захочет оплатить самые дешевые, а продавец – получить плату за наиболее дорогие из выбранных. Понятно, что это может вызвать конфликт. Собственно это типичный конфликт интересов покупателя и продавца, поэтому полезно фронтально обсудить такую ситуацию с классом.
15. В июне за водоснабжение заплатили 1500 руб., а в июле – на 40% меньше. На сколько рублей меньше заплатили в июле, чем в июне? (5 класс. ВПР)
Решение. Посчитаем, сколько рублей составляет 40% от 1500.
40 : 100 ∙ 1500 = 40 ∙ 15 = 15 ∙ 4 ∙ 10 = 600 (р.). Ответ: 600 р.
Комментарии. Заметим, что, предлагая школьникам эту задачу, можно дополнить ее сюжет, сказав, что речь идет о садовом участке. После чего предложить высказать гипотезы о том, почему плата за воду в июле уменьшилась (изменение тарифа или увеличение осадков в июле, отключение горячей воды).
16. Олег подошел к кассе в кинотеатре «Луч» в 12:30, чтобы купить билет на какой-нибудь фильм. У него было 300 р. на билет. Пользуясь таблицей, определите, сколько рублей стоит билет на ближайший сеанс, на который может пойти Олег. (6 класс. ВПР)
17. Билет на «ШОУ мыльных пузырей» стоит для взрослого 600 р., а для школьника – половину стоимости взрослого билета, а для дошкольника – четверть стоимости взрослого билета. Сколько рублей должна заплатить за билеты семья, включающая двух родителей, двух школьников и одного трехлетнего малыша? (6 класс. ВПР)
Решение. 600 2 600 : 2 2 600 : 4 = 1200 600 150 = 1950 (р.). Ответ: 1950 р.
18. В магазине продается несколько видов творога в различных упаковках и по различной цене. Какова наименьшая цена килограмма творога среди данных в таблице видов? (5 класс. ВПР)
Решение.
1) 52 5 = 260 (р.) − за 1 кг.
2) 62 4 = 248 (р.) − за 1 кг.
3) 125 2 = 250 (р.) − за 1 кг.
4) 85 5 = 425 (р.) − за 1 кг.
Ответ: 248 р.
Финансовые задачи из ОГЭ, которые можно решить в 5—6 классах
19. Стоимость проезда в пригородном электропоезде составляет 198 р. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей стоит проезд группы из 4 взрослых и 12 школьников?
Решение. 198 4 198 : 2 12 = 792 1188 = 1980 (р.). Ответ: 1980 р.
Комментарии. Рассматривая эту задачу, полезно обратить внимание на иное ее решение. Так, можно заметить, что проезд 12 школьников стоит столько же, сколько проезд 6 взрослых. Затем найти стоимость проезда 10 взрослых.
20. Магазин сначала снизил цену кофемолки на 15%, а затем предоставил скидку 20% на все товары. За какую сумму (в рублях) теперь можно приобрести кофемолку, если до снижения цены она стоила 2750 рублей?
Комментарии. Ключевой момент решения – понимание, что процентные базы уценок разные. Это понимание исключит частую ошибку сложения процентов.
21. Стоимость ветровки составляет 1000 руб. На распродаже покупатель приобрёл её за 40% от стоимости. Сколько рублей сэкономил покупатель?
Комментарии. Многие ученики склонны найти сначала новую цену ветровки, а затем размер экономии как разность. Следует обратить их внимание на то, что можно сначала найти процент скидки (60%), который и составляет экономию.
22. Цена килограмма яблок — 80 рублей, апельсинов — 120 рублей. Магазин объявил акцию: при покупке свыше 5 кг предоставляется скидка 15% от стоимости всей покупки. Сколько рублей заплатила хозяйка за покупку 3 кг яблок и 4 кг апельсинов?
Финансовые задачи из ЕГЭ базового уровня, которые можно решить в 5—6 классах
23. Баночка йогурта стоит 14 р. 60 к. Какое наибольшее количество баночек йогурта можно купить на 100 р.?
24. Килограмм моркови стоит 40 р. Олег купил 1 кг 600 г моркови. Сколько рублей сдачи он должен получить со 100 р.?
25. Турист подбирает экскурсии. Сведения об экскурсиях представлены в таблице.
Пользуясь таблицей, подберите экскурсии так, чтобы турист посетил четыре объекта: крепость, загородный дворец, парк и музей живописи, а суммарная стоимость экскурсий не превышала 650 р. В ответе укажите какой-нибудь один набор экскурсий без пробелов и запятых.
26. Строительная фирма планирует купить 70 м3 пеноблоков у одного из трех поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешевую покупку с доставкой?
Шум как источник прибыли
Вдохновленный неизбежной силой ньютоновского тяготения, шотландский экономист XVIII века Адам Смит описал невидимую руку, которая приводит рынок к равновесию. Обмен продуктами уравновешивает спрос и предложение. Итальянский инженер Вильфредо Парето формализовал взгляды Смита с помощью математики, описав наше постоянное экономическое развитие в сторону оптимальности. Сигнал прибыли неизбежно ведет нас к стабильному процветанию. Во всяком случае, так они считали.
Первые редкие признаки нестабильности — тюльпанная лихорадка в Голландии или крах Компании Южных морей — давали мало реальных оснований для беспокойства. Только после распространения капитализма по всему миру для взлетов и падений потребовались объяснения.
На протяжении большей части XX века новым источником прибыли стал шум. Для разработки и определения цены деривативов, фьючерсов и опционов используются дальнейшие развития базовой теории — например, модель Блэка-Шоулза. Участников общества привлекали как для создания, так и для управления этими новыми моделями. По сути, им поручили управлять денежной массой мира.
Мы ищем сигнал в шуме и в процессе влияем на других людей, учимся у них, манипулируем ими. Математическая теория не имеет права пренебрегать человеческой сложностью. Институт Санта-Фе в Нью-Мексико собрал математиков, физиков и других ученых со всего мира.
Они начали набрасывать новую теорию сложности, которая пыталась учесть наши социальные взаимодействия. Она прогнозировала большие непредсказуемые колебания цен на акции, вызванные стадными действиями трейдеров. Модели утверждали, что по мере увеличения волатильности следует ожидать еще более серьезных всплесков и спадов, чем те, что мы видели в прошлом.
Один из исследователей в Санта-Фе, Дж. Дойн Фармер, покинул институт, чтобы претворять эти идеи на практике. Позже он рассказывал мне, что работа была очень тяжелой, гораздо сложнее, чем он мог себе представить, но она окупилась. Во время азиатского кризиса 1997–1998 годов, пузыря доткомов в 2000-м и финансового кризиса 2007 года инвестиции Фармера оказались в безопасности: они были защищены от потрясений, обрушивших финансовые учреждения и правительства и посеявших семена политического недовольства по всей Европе и в США.
Математики могли бы с определенным основанием сказать, что они с самого начала знали о будущих катастрофах. В отличие от других, они были к ним готовы. Пока многие теряли, они по-прежнему получали прибыль.
