Как работает формула простых и сложных процентов?

Как работает формула простых и сложных процентов? Выгодные вклады

Введение в финансовую математику. 2. простые и сложные проценты (георгий димитриади, 2020)

2. Простые и сложные проценты

Процентная ставка

Обычно процентный доход выражается не в виде конкретной суммы I, а с помощью так называемой процентной ставки i. Ставка i используется как некоторый показатель, индикатор, применимый для множества различных ситуаций и позволяющий проводить сравнения, что объясняет удобство его использования.

Простые и сложные проценты

Исторически сложилось два разных вида используемых процентов: простые и сложные.

Простые проценты представляют собой равномерный по времени способ начисления процентного дохода на первоначальную сумму кредита:

S = P (1 in).

Процентный доход прямо пропорционален сроку кредита:

I = inP.

Такие проценты являются наиболее простыми и исторически возникли первыми. Но если срок рассматриваемого кредита велик (например, составляет несколько лет), то возникает следующий вопрос. По прошествии года кредитор уже получил право на получение процентного дохода за прошедший год. Но согласно условиям сделки фактического получения этих денежных средств нужно ждать еще n — 1 лет. Значит, на эти денежные средства также должны начисляться проценты. Таким образом, по истечении двух лет кредитор должен получить

S = [ P (1 i) ] (1 i).

Рассуждая аналогично получим, что через n лет наращенная сумма составит:

S = P (1 i)n.

Это и есть формула начисления сложных процентов. Их основным отличием от простых процентов является начисление процентов на уже начисленные за прошедшие периоды проценты. Присоединение процентов к основной сумме долга для дальнейшего наращения называется капитализацией.

Годовая процентная ставка

В приведенных выше формулах процентная ставка i предполагается годовой, т.е. срок необходимо выражать в годах.

Процентная ставка всегда считается годовой, если не указано противное.

Отметим, что при рассмотрении сложных процентов выше считалось, что они начисляются один раз в год (после истечения года, собственно, их можно капитализировать). Начисление сложным процентов считается начислением один раз в год, если не указано противное.

Нецелые значения срока

В формулах наращения простых и сложных процентов срок n может быть как целым числом (целое число лет), так и нецелым.

Действительно, для простых процентов процентных доход прямо пропорционален сроку. Соответственно, срок может быть любым: год, полтора, любая доля года и др.

Для сложных процентов нецелое число лет является логичным обобщением концепции капитализации. Например, срок в 2,5 года означает два полных года и еще половину, то есть два годовых начисления процентов и еще одно «половинное» начисление по истечении полугода.

Сравнение простых и сложных процентов

Предположим, что выдаются два кредита с одинаковой начальной суммой P и одинаковой процентной ставкой i на одинаковый срок n лет, но для первого кредита проценты начисляются по формуле простых процентов, а для второго — по формуле сложных процентов. Давайте сравним суммы начисленного процентного дохода.

Для простых процентов функция

S = P (1 in)

представляет собой линейную функцию от n, а для сложных:

S = P (1 i)n

показательную.

Сделаем иллюстративной расчет для случая P = 100 руб., различных сроков n и значений процентной ставки i. Полученные значения наращенной суммы S приведены в Таблице 1.

Как работает формула простых и сложных процентов?

Изучив таблицу, легко увидеть, что при сроке меньше года наращенная сумма при расчете по формуле простых процентов превышает наращенную сумму при расчете по формуле сложных процентов, а при сроке более года — наоборот.

Для полного понимания изобразим на Рис. 1 график зависимости S(n) для сложных и простых процентов.

Как работает формула простых и сложных процентов?

Из графика видно, что при сроке меньше года простые проценты превышают сложные, а при сроке более года — наоборот. Пользуясь этим, банки иногда в кредитных договорах устанавливают начисление процентов по формуле простых процентов при сроках до года и по формуле сложных процентов — в остальных случаях.

Различные процентные ставки

Процентная ставка рассматриваемого кредита может быть как фиксированной (постоянной), так и переменной, в зависимости от условий договора. Примером переменной ставки является ставка вида «LIBOR1 1,5%». Ставки такого рода часто применяются на западных рынках. Произведем расчет наращенной суммы в случае переменной ставки.

Предположим, что ставка кредита меняется в течение его срока. Пусть полный срок кредита n разбит на периоды длины n1,…, nk лет, причем в течение первого периода действовала процентная ставка i1, в течение второго периода — i2,…, в течение k-ого периода — ik.

Тогда в случае расчета по формуле простых процентов процентный доход за промежуток времени n1 будет:

I = in1P,

…,

за промежуток времени nk:

I = inkP.

В итоге наращенная сумма составит:

Как работает формула простых и сложных процентов?

Из полученной формулы можно сделать следующие выводы. Размер наращенной суммы не зависит от порядка чередования периодов с различными процентными ставками. Кроме того, если в два или более периода имело место одна и та же процентная ставка, то для целей расчета наращенной суммы их можно объединить в один период, длительность которого равна сумме длительностей исходных.

Формулу можно переписать еще и так:

Как работает формула простых и сложных процентов?

где νm = nm / n — доля промежутка nm в полном сроке n рассматриваемого кредита. Получается, что для случая с переменной процентной ставкой можно ввести понятие эффективной процентной ставки простых процентов (см. об эффективных ставках подробнее ниже)

Как работает формула простых и сложных процентов?

рассчитываемой как взвешенная сумма процентных ставок каждого периода. Эту ставку можно использовать как единый эквивалент для расчета наращенной суммы:

S = P (1 iэффn).

Теперь перейдем к аналогичному расчету с использованием методики сложных процентов. По истечении первого периода n1 наращенная сумма составит:

Как работает формула простых и сложных процентов?

.

Поскольку сложные проценты начисляются на капитализированную сумму, после второго периода n2 наращенная сумма составит:

Как работает формула простых и сложных процентов?

После k-ого периода nk найдем требуемую наращенную сумму:

Как работает формула простых и сложных процентов?

Из полученной формулы можно сделать следующие выводы, аналогичные тем, что были сделаны ранее для простых процентов: размер наращенной суммы не зависит от порядка чередования периодов с различными процентными ставками. Кроме того, если в два или более периода имело место одна и та же процентная ставка, то для целей расчета наращенной суммы их можно объединить в один, длительность которого равна сумме длительностей исходных промежутков.

Аналогично предыдущему можно ввести понятие эффективной ставки сложных процентов (см. подробнее об этом ниже):

Как работает формула простых и сложных процентов?Как работает формула простых и сложных процентов?

Здесь νr = nr / n — доля промежутка nr в полном сроке рассматриваемого кредита. Получается, что для случая с переменной процентной ставкой можно ввести понятие эффективной процентной ставки сложных процентов, рассчитываемой как взвешенное произведение процентных ставок каждого периода, и которую можно использовать как единый эквивалент для расчета наращенной суммы:

S = P (1 iэфф)n.

Сложные проценты с начислением чаще, чем раз в год

Во всех рассуждениях ранее при использовании сложных процентов предполагалось, что они начисляются один раз в год. Однако на практике встречаются случаи, когда начисление происходит чаще. Пусть оно происходит m раз в год, где m — натуральное число. Например, начисление может происходить ежемесячно (m = 12).

Для сложных процентов с начислением один раз в год была получена формула:

S = P (1 i)n.

Теперь мысленно предположим, что в рассуждениях, из которых была выведена эта формула, период времени «год» будет заменен на период времени «1/m года» или «m-ая доля года». Поскольку все рассуждения останутся в силе, получим формулу:

Как работает формула простых и сложных процентов?

где if — процентная ставка за «m-ую часть года», nf — срок, отраженный в «m-ых частях года» (а не в годах, как ранее). Для того, чтобы вернуться к используемым ранее обозначениям выразим if и nf через годовые переменные:

if =i / m, nf = mn.

Последнее соотношение легко интерпретируемо: при сроке n лет количество периодов размером «1/m года» равно mn.

Тогда с использованием годовой процентной ставки итоговую формулу расчета наращенной суммы с использованием сложных процентов с начислением m раз в год можно записать как:

S = P (1 i / m)mn.

Поскольку, как было выяснено, формула сложных процентов с начислением m раз в год верна и для нецелого числа лет n, то и полученная формула верна для нецелого n. Более того, можно показать, что она остается верной и для нецелого m.

Отметим, что всегда предполагается, что сложные проценты начисляются один раз в год, если не указано противное.

Читайте также:  Проценты по вкладам., калькулятор онлайн, конвертер

Дня того, чтобы продемонстрировать зависимость наращенной суммы от количества начислений m раз в год, сведем в Таблицы 2 и 3 результаты расчетов при Р = 100 руб. и ставке i = 10% в Таблице 2 и ставке i = 25% в Таблице 3.

Как работает формула простых и сложных процентов?Как работает формула простых и сложных процентов?

Дискретное и непрерывное начисление процентов

Зададимся вопросом: как изменится формула начисления процентов, если увеличивать количество m начислений процентов в год.

Например, сначала предполагать, что m = 12, затем 24, 365 (ежедневное начисление), 365*24 (ежечасное) и др. При m, стремящемся к бесконечности, получим непрерывные проценты (проценты с непрерывным начислением):

Как работает формула простых и сложных процентов?

Сделаем замену z = m / i.

Как работает формула простых и сложных процентов?

Вспомним, что замечательный предел внутри скобок равен e. Тогда:

S = Peni.

Обычно годовую ставку начисления непрерывных процентов обозначают δ. Итоговая формула непрерывных процентов выглядит как:

Конец ознакомительного фрагмента.

1. Потенциальный валовый доход

Потенциальный валовый доход (ПВД) – доход, который способен приносить объект при сдаче его или его элементов в аренду и получении арендной платы в полном объеме:

PVD=AC×N{displaystyle PVD=ACtimes N}

где:
AC{displaystyle AC} – арендная ставка, ден.ед./ед.площади/год;
N{displaystyle N} – Количественная характеристика объекта, например, ед., кв.м.

Связь PVD с другими уровнями дохода от эксплуатации объекта описывается следующими формулами:

PVD−NZ−NP DXPR=DVD{displaystyle PVD-NZ-NP DX_{PR}=DVD}DVD−OR−RZ=CHOD{displaystyle DVD-OR-RZ=CHOD}

где:
PVD{displaystyle PVD}– потенциальный валовый доход, ден.ед.;
NZ{displaystyle NZ}– потери от недозагрузки, ден.ед.;
NP{displaystyle NP}– потери от неплатежей, ден.ед.;
DXPR{displaystyle DX_{PR}}– прочие доходы от нормального рыночного использования объекта недвижимости, ден.ед.;
DVD{displaystyle DVD}– действительный валовый доход, ден.ед.;
OP<{displaystyle OP<}– операционные расходы, ден.ед.;
PZ{displaystyle PZ}– расходы на замещение, ден.ед.;
CHOD{displaystyle CHOD}– чистый операционный доход, ден.ед..

На что обратить внимание в оценочной практике: при определении дохода от сдачи недвижимости в аренду необходимо соблюдать соответствие между ставкой аренды и базой для ее начисления. Ставке аренды за общую площадь соответствует общая площадь, за полезную площадь – полезная площадь.

10.Методы капитализации по расчетным моделям

Метод капитализации по расчетным моделям применяется для оценки недвижимости, генерирующей регулярные потоки доходов с ожидаемой динамикой их изменения. При этом динамика изменения может быть описана математически – как правило линейная, либо экспоненциальная (регулярное изменение на какую-либо величину, либо изменение с заданным темпом).

Капитализация таких доходов проводится по общей ставке капитализации, конструируемой на основе ставки дисконтирования, принимаемой в расчет модели возврата капитала, способов и условий финансирования, а также ожидаемых изменений доходов и стоимости недвижимости в будущем.Общая формула капитализации по расчетным моделям:

Отличие методов капитализации по расчетным моделям от метода прямой капитализации заключается в том, что:

  • в методах капитализации по расчетным моделям величина ставки капитализации рассчитывается на основе величины ставки дисконтирования и нормы возврата капитала, определяемой, например, по моделям Ринга, Инвуда, Хоскольда;
  • в методе прямой капитализации величина ставки капитализации определяется напрямую, например, на основе данных по объектам-аналогам методом рыночной экстракции.

Норма возврата капитала (норма возврата) – величина ежегодной потери стоимости капитала за время ожидаемого периода использования объекта. Выделяют следующие основные методы расчета величины нормы возврата капитала: Ринга, Хоскольда, Инвуда.

Метод Ринга – метод расчета нормы возврата капитала. Предусматривается возмещение инвестированного капитала равными суммами:

iVOZVR=1T×100%{displaystyle i_{VOZVR}={frac {1}{T}}times 100%}

где:
iVOZVR{displaystyle i_{VOZVR}} – норма возврата, %;
T{displaystyle T} – оставшийся срок экономической жизни объекта оценки, лет.

Как правило, метод Ринга используется при периоде прогнозирования, совпадающем с оставшимся сроком экономической жизни.

Метод Хоскольда – метод расчета нормы возврата капитала. Для реинвестируемых средств предполагается получение дохода по безрисковой ставке:

iVOZVR=iBR(1 iBR)T−1{displaystyle i_{VOZVR}={begin{array}{l}\{frac {i_{BR}}{(1 i_{BR;})^{T}-1}}end{array}}}

где:
iBR{displaystyle i_{BR}} – безрисковая ставка доходности,

Т – период прогнозирования. Может быть равным остаточному сроку эксплуатации, либо быть меньше его.

Метод Инвуда – метод расчета нормы возврата капитала. Для реинвестируемых средств предполагается получение дохода по ставке, равной требуемой норме доходности (норме отдачи) на собственный капитал:

iVOZVR=i(1 i)T−1{displaystyle i_{VOZVR}={begin{array}{l}\{frac {i}{(1 i)^{T}-1}}end{array}}}
Т – период прогнозирования.

Модели Хоскольда и Инвуда содержат в качестве нормы возврата на капитал фактор фонда возмещения (SFF). В модели Хоскольда используется безрисковая ставка, в модели Инвуда – ставка дисконтирования.

Пример задачи. Определить рыночную стоимость объекта оценки методом капитализации по расчетной модели при следующих условиях: ЧОД = 100 000 ден.ед., i = 15%, оставшийся срок экономической жизни 10 лет, норму возврата определить по модели Инвуда. Решение:

iVOZVR=CHODR=CHODi iVOZVR{displaystyle i{VOZVR}={frac {CHOD}{R}}={frac {CHOD}{i i{VOZVR}}}}iVOZVR=0,15(1 0,15)T−1≈0,05.{displaystyle i{VOZVR}={frac {0,15}{(1 0,15)^{T}-1}}approx 0,05.}PV=CHODiVOZVR=1000000,15 0,05=1000000,2=500000{displaystyle PV={frac {CHOD}{i{VOZVR}}}={frac {100000}{0,15 0,05}}={frac {100000}{0,2}}=500000}
Следует отметить, что приведенные простые модели описывают идеальный случай постоянного чистого операционного дохода.
Для учета регулярно изменяющихся доходов модели корректируются.

11. Норма возврата капитала (методы Ринга, Хоскольда, Инвуда)

Норма возврата капитала (норма возврата) – величина ежегодной потери стоимости капитала за время ожидаемого периода использования объекта. Выделяют следующие основные методы расчета величины нормы возврата капитала: Ринга, Хоскольда, Инвуда.

Метод Ринга – метод расчета нормы возврата капитала. Предусматривается возмещение инвестированного капитала равными суммами:

iVOZVR=1T×100%{displaystyle i_{VOZVR}={frac {1}{T}}times 100%}

где:
iVOZVR{displaystyle i_{VOZVR}} – норма возврата, %;
T{displaystyle T} – оставшийся срок экономической жизни объекта оценки, лет.

Метод Хоскольда – метод расчета нормы возврата капитала. Для реинвестируемых средств предполагается получение дохода по безрисковой ставке:

iVOZVR=iBR(1 iBR)T−1{displaystyle i_{VOZVR}={begin{array}{l}\{frac {i_{BR}}{(1 i_{BR;})^{T}-1}}end{array}}}

где:
iBR{displaystyle i_{BR}} – безрисковая ставка доходности.

Метод Инвуда – метод расчета нормы возврата капитала. Для реинвестируемых средств предполагается получение дохода по ставке, равной требуемой норме доходности (норме отдачи) на собственный капитал:

iVOZVR=i(1 i)T−1{displaystyle i_{VOZVR}={begin{array}{l}\{frac {i}{(1 i)^{T}-1}}end{array}}}

Пример задачи. Определить рыночную стоимость объекта оценки методом капитализации по расчетной модели при следующих условиях: ЧОД = 100 000 ден.ед., i = 15%, срок экономической жизни 10 лет, норму возврата определить по модели Инвуда. Решение:  

iVOZVR=CHODR=CHODi iVOZVR{displaystyle i{VOZVR}={frac {CHOD}{R}}={frac {CHOD}{i i{VOZVR}}}}iVOZVR=0,15(1 0,15)T−1≈0,05.{displaystyle i{VOZVR}={frac {0,15}{(1 0,15)^{T}-1}}approx 0,05.}PV=CHODiVOZVR=1000000,15 0,05=1000000,2=500000{displaystyle PV={frac {CHOD}{i{VOZVR}}}={frac {100000}{0,15 0,05}}={frac {100000}{0,2}}=500000}

2. Действительный валовый доход

Действительный валовый доход (ДВД) – потенциальный валовый доход (ПВД) за вычетом потерь от недозагрузки, неплатежей арендаторов, а также с учетом дополнительных видов доходов.

Связь ДВД с другими уровнями дохода от эксплуатации недвижимости описывается следующими формулами:

PVD−NP−NZ DXPR=DVD{displaystyle PVD-NP-NZ DX_{PR}=DVD}DVD−OP−PZ=CHOD{displaystyle DVD-OP-PZ=CHOD}

где:
PVD{displaystyle PVD} – потенциальный валовый доход, ден.ед.;
NP{displaystyle NP} – потери от неплатежей, ден.ед.;
NZ{displaystyle NZ}– потери от недозагрузки, ден.ед.;
DXPR{displaystyle DX_{PR}} – прочие доходы от нормального рыночного использования объекта недвижимости, ден.ед.;
DVD{displaystyle DVD} – действительный валовый доход, ден.ед.;
OP{displaystyle OP} – операционные расходы, ден.ед.;
PZ{displaystyle PZ} – расходы на замещение, ден.ед.;
CHOD{displaystyle CHOD} – чистый операционный доход, ден.ед..

На что обратить внимание в оценочной практике: при определении дохода от сдачи недвижимости в аренду необходимо соблюдать соответствие между ставкой аренды и базой для ее начисления. Ставке аренды за общую площадь соответствует общая площадь, за полезную площадь – полезная площадь.

Полезная (арендопригодная площадь) – площадь объекта недвижимости, которая может быть сдана в аренду.

Коэффициент арендопригодной площади здания – отношение площади, которую можно сдать в аренду, к общей площади здания

4. Чистый операционный доход

Чистый операционный доход (ЧОД) – действительный валовый доход от приносящей доход недвижимости за вычетом операционных расходов и расходов на замещение.

Связь ЧОД с другими уровнями дохода от эксплуатации недвижимости описывается следующими формулами:
PVD−NP−NZ DHPR=DVD{displaystyle PVD-NP-NZ DH_{PR}=DVD}DVD−OP−PZ=CHOD{displaystyle DVD-OP-PZ={CH}OD}

где:
PVD{displaystyle PVD}– потенциальный валовый доход, ден.ед.;
NP{displaystyle NP}– потери от неплатежей, ден.ед.;
NZ{displaystyle NZ}– потери от недозагрузки, ден.ед.;
DHPR{displaystyle DH_{PR}}– прочие доходы от нормального рыночного использования объекта недвижимости, ден.ед.;
DVD{displaystyle DVD}– действительный валовый доход, ден.ед.;
OP{displaystyle OP}– операционные расходы, ден.ед.;
PZ{displaystyle PZ}– расходы на замещение, ден.ед.;
CHOD{displaystyle CHOD}– чистый операционный доход, ден.ед..

5. Функции сложного процента

3.5.1. Сложный процент – модель расчета, при которой проценты прибавляются к основной сумме [вклада] и в дальнейшем сами участвуют в создании новых процентов.

3.5.2. Шесть функций сложного процента (подразумевается, что платежи возникают в конце соответствующего периода):

Таблица 8
№ п/пНаименование функцииФормула расчета, пример решения задачи
1

Накопленная
(будущая) сумма единицы

Показывает накопление 1 ден.ед. за период:
FV=PV×(1 i)t,{displaystyle FV=PVtimes (1 i)^{t},}

где:
FV – будущая стоимость, ден. ед.
PV – текущая стоимость, ден. ед.
i – ставка накопления (дисконтирования), доли ед./период времени
t – интервал времени, периодов времени
2

Текущая стоимость единицы

Показывает текущую стоимость 1 ден.ед., которая возникает в будущем:
PV=FV(1 i)t.{displaystyle PV={frac {FV}{(1 i)^{t}}}.}

3

Накопление единицы за период

Показывает, какой по истечении всего срока будет будущая стоимость серии аннуитетных платежей:
FV=(1 i)n−1i×PMT,{displaystyle FV={frac {(1 i)^{n}-1}{i}}times PMT,}

где:
PMT – аннуитетный платеж, ден. ед.
Аннуитетный – серия равновеликих периодических платежей.
4

Фактор фонда возмещения

Показывает величину единичного аннуитетного платежа, который необходим для того, чтобы к концу срока накопить 1 ден.ед.:
PMT=FV×i(1 i)n−1.{displaystyle PMT={frac {FVtimes i}{(1 i)^{n}-1}}.}

5

Текущая стоимость обычного аннуитета

Показывает величину текущей стоимости будущего аннуитетных платежей:
PV=PMT×1−(1 i)−ni.{displaystyle PV=PMTtimes {frac {1-(1 i)^{-n}}{i}}.}

6

Взнос на амортизацию единицы

Показывает величину будущего аннуитетного платежа, необходимого для полной амортизации (погашения) кредита:
PMT=PV×i1−(1 i)−n.{displaystyle PMT={frac {PVtimes i}{1-(1 i)^{-n}}}.}

Читайте также:  Страхование инвестиций - понятие и сущность явления

3.5.3. Зависимость между ставками накопления (дисконтирования) для различных по продолжительности периодов времени начисления:

базовый вариант:

1 it=Ttsqrt(1 it)=(1 i)tT,{displaystyle 1 i_{t}={^{dfrac {T}{t}}sqrt{(1 i_{t})}}={(1 i)^{dfrac {t}{T}}},}

упрощенный вариант:

it=iT(Tt),{displaystyle i_{t}={frac {i_{T}}{({displaystyle {frac {T}{t}}})}},}

где:

T – бóльший по продолжительности период времени;

t – меньший по продолжительности период времени.

Упрощенный вариант используется при малых величинах ставки / невысоких требованиях к точности расчета. Например, при годовой ставке дисконтирования в размере 20% расчет величины месячной ставки по нормальному варианту даст результат в размере 1,531%, а по упрощенному – в размере 1,667%.

3.5.4. Функции 2, 4, и 6 являются обратными по отношению к 1, 3 и 5 (соответственно) – если забыта прямая, то ее можно вывести из обратной (и наоборот).

3.5.5. Примеры задач.

Задача 1. Какова текущая стоимость 1 000 000 руб., которые будут получены через 5 лет при средней величине годовой инфляции 10%?
Решение:

PV=1000000(1 0,10)5=620921{displaystyle PV={frac {1000000}{(1 0,10)^{5}}}=620921}

При условно равномерном распределении денежных потоков в течение срока (0; t) дисконтирование осуществляется на середину периода, а общая формула преобразуется следующим образом:

PV=FV(1 i)t−0,5.{displaystyle PV={frac {FV}{(1 i)^{t-0,5}}}.}Задача 2. Определить текущую стоимость 1 000 000 руб., которые будут получены в течение года после даты оценки. Поступления равномерны в течение всего года, ставка дисконтирования 15% годовых.
Решение:
PV=1000000(1 0,15)0,5=932505.{displaystyle PV={frac {1000000}{(1 0,15)^{0,5}}}=932505.}При изменении величины ставки дисконтирования в течение времени (переменная ставка дисконтирования) общая формула принимает следующий вид:
PV=FV(1 t1)t1×(1 i2)t2×…×(1 im)tm{displaystyle PV={frac {FV}{(1 t_{1})^{t_{1}};times (1 i_{2};)^{t_{2;}}times …times (1 i_{m};)^{t_{m}}}}}

где: im – ставка дисконтирования в интервал времени с tm доли ед./период.

Задача 3. – определить текущую стоимость денежной суммы при следующих условиях: FV = 200 000 руб., t1 = t2 = 1 год, i1 = 15%/год, i2 = 20%/год.

Решение.

PV=FV(1 i1)t1×(1 i1)t2=200000(1 0,2)1×(1 0,15)1=144928.{displaystyle PV={frac {FV}{(1 i_{1})^{t_{1}}times (1 i_{1})^{t_{2}}}}={frac {200000}{(1 0,2)^{1}times (1 0,15)^{1}}}=144928.}Пояснение: процесс дисконтирования для наглядности разобьём на два этапа: приведение FV к моменту t1; приведение FV1 к моменту времени 0:
PV=FV(1 i2)t2−t1=200000(1 0,2)1=166667{displaystyle PV={frac {FV}{(1 i_{2})^{t_{2}-t_{1}}}}={frac {200000}{(1 0,2)^{1}}}=166667}PV=FV1(1 i1)t1=166667(1 0,15)1=144928{displaystyle PV={frac {FV_{1}}{(1 i_{1})^{t_{1}}}}={frac {166667}{(1 0,15)^{1}}}=144928}

3.5.6. На что обратить внимание в оценочной практике: величины ставки накопления и периода времени должны соответствовать друг другу. Месячной ставке соответствует период времени в месяцы; годовой – в годах и т.д.

6.Ставка дисконтирования и капитализации (метод кумулятивного построения, метод рыночной экстракции)

3.6.1. Ставка дисконтирования:

  • процентная ставка, используемая для приведения прогнозируемых денежных потоков (доходов и расходов) к заданному моменту времени, например, к дате оценки;
  • процентная ставка, характеризующая требуемую инвестором доходность при инвестировании в объекты и проекты.

Синонимы – требуемая норма (ставка) доходности, норма отдачи на вложенный капитал. Размерность – проценты или доли единицы.
В зависимости от учета инфляционной составляющей выделяют реальную (очищенная от инфляционной составляющей) и номинальную (без очищения) ставку дисконтирования. Взаимосвязь между ними имеет следующий вид (формула Фишера):

ip=iH−iinf1 iinf{displaystyle i_{p}={frac {i_{H}-i_{inf}}{1 i_{inf}}}}

где:
ip{displaystyle i_{p}} – реальная ставка, доли ед.
iH{displaystyle i_{H}} – номинальная ставка, доли ед.;
iinf{displaystyle i_{inf}} – темп инфляции, доли ед.

3.6.2. Ставка капитализации (коэффициент капитализации) – выраженное в процентах отношение чистого операционного дохода объекта к его рыночной стоимости.

3.6.3. Метод кумулятивного построения – метод расчета ставки дисконтирования, учитывающий риски, связанные с инвестированием в объекты недвижимости. Ставка дисконтирования определяется как сумма “безрисковой” доходности, премии за низкую ликвидность, премии за риск вложения в недвижимость, премии за инвестиционный менеджмент:

iNL=i12×N{displaystyle i_{NL}={frac {i}{12}}times N}

где:
>N{displaystyle >N}– срок экспозиции объекта на рынке, мес.;
<iBR{displaystyle i_{BR}} – безрисковая ставка, %.

Срок экспозиции объекта недвижимости на открытом рынке (срок экспозиции) – период времени от выставления объекта на продажу до поступления денежных средств за проданный объект или типичный период времени, который необходим для того, чтобы объект был продан на открытом и конкурентном рынке при соблюдении всех рыночных условий.

3.6.4. Метод рыночной экстракции – метод определения коэффициента капитализации на основе анализа соотношения чистого арендного дохода и цен продаж по данным реальных сделок или соответствующим образом скорректированных цен предложений объектов недвижимости при условии, что существующее использование объектов соответствует их наилучшему и наиболее эффективному использованию:

R=CHODC{displaystyle R={frac {CHOD}{C}}}

где:
R{displaystyle R} – общая ставка капитализации, доли е
C{displaystyle C} – рыночная стоимость, ден.ед.;
CHOD{displaystyle CHOD} – чистый операционный доход, ден.ед./год.

Результаты, полученные по различным аналогам, взвешиваются.

3.6.5. На что обратить внимание в практической деятельности: величины ставок дисконтирования и капитализации должны соответствовать типу денежного потока (например, в части учета инфляционной или налоговой составляющей).

8. Ипотечно-инвестиционный анализ

3.8.1. Основные определения.

3.8.1.1. Ипотечный кредит – кредит, обеспечением (залогом) по которому выступает недвижимое имущество. При получении кредита на покупку недвижимого имущества сама приобретаемая недвижимость поступает в ипотеку (залог) кредитору как гарантия возврата кредита.

Основные виды кредитов:

  • с постоянным платежом (самоамортизирующийся кредит) – погашение процентов и основного тела кредита осуществляется равными платежами;
  • с переменными платежами – погашение процентов и основного тела кредита осуществляется платежами, величина которых изменяется с течением времени под действием различных факторов (например, изменение остатка основного тела кредита или процентной ставки). Одним из вариантов кредита данного вида является кредит с шаровым платежом, погашение которого осуществляется единым платежом в конце срока.

3.8.1.2. Ипотечная постоянная – отношение ежегодных расходов по обслуживанию ипотечного кредита к первоначальной сумме (величина аннуитетного платежа, определяемого по функции «взнос на амортизацию единицы» для самоамортизирующегося кредита):

Ипотечная постоянная для самоамортизирующегося кредита рассчитывается при помощи функции сложного процента «взнос на амортизацию единицы» и равна шестой функции сложного процентаСм. таблицу здесь

В случае шарового платежа ипотечная постоянная равна ставке процента по кредиту.

3.8.1.3. Эффективная ставка по кредиту – показатель, определяющий реальную стоимость кредита. Помимо номинальной процентной ставки по кредиту учитывает и все сопутствующие расходы по его обслуживанию (комиссии за открытие и ведение счета, за прием в кассу наличных денег, за получение наличности в банкомате и пр.).

3.8.1.4. Коэффициент ипотечной задолженности – отношение суммы кредита к стоимости объекта недвижимости, выступающего залогом по соответствующему кредиту:

KIZ=KCH×100%{displaystyle {K}_{IZ};=;{frac {K}{C}}_{H}times 100%}

где:

КИЗ  –

коэффициент ипотечной задолженности, доли ед.;

К  –

сумма кредита, ден.ед.;

СН  –

стоимость объекта недвижимости, ден.ед.

3.8.3. Финансовый леверидж (применительно к ипотечно инвестиционному анализу) – соотношение ставок доходности на собственный капитал и недвижимости в целом:

  • положительный – RСК > RН (свидетельствует об эффективном инвестировании собственного капитала);
  • отрицательный – RСК<RН.

3.8.4. Пример задачи. Определить знак финансового левериджа при следующих условиях: ставка доходности недвижимости 15%; коэффициент ипотечной задолженности 70%; кредит получен на 20 лет под 10% годовых, в течение срока кредитования уплачиваются только проценты, тело кредита возвращается единым платежом в конце.Решение:

CH=x.{displaystyle C_{H};=;x.}
K=Kiz×CH=x×0.7=0.7x.{displaystyle K=K_{iz}times C_{H}=xtimes 0.7=0.7x.}CK=CH−K=x−0.7x=0.3x.{displaystyle CK=C_{H};-;K;=;x;-;0.7x;=;0.3x.}
POK=0.1×K=0.1×0.7x=0.07x.{displaystyle {begin{array}{l}POK=0.1times K=0.1times 0.7x=0.07x.\end{array}}}

9. Метод дисконтирования денежных потоков

Метод дисконтирования денежных потоков – метод расчета стоимости, основанный на приведении (дисконтировании) будущих денежных потоков доходов и расходов, связанных с объектом недвижимости, в том числе от его продажи в конце прогнозного периода, к дате, на которую определяется стоимость.

Дисконтирование денежных потоков – процесс определения стоимости денежных потоков на предыдущий момент (движение влево по оси времени).

Общая формула расчета имеет следующий вид (при возникновении денежных потоков в конце периода):

Читайте также:  Карта с процентом на остаток выгоднее банковского вклада?

C=∑j=1nCFj(1 i)j CFREV(1 i)n{displaystyle C;=;sum _{j=1}^{n}{frac {CF_{j}}{(1 i)^{j}}} {frac {CF_{REV}}{(1 i)^{n}}}}

где:

С –

стоимость объекта оценки, ден. ед.;

  CFj

денежный поток j-ого периода, ден. ед.;

  CF РЕВ

реверсия, ден.ед.;

 

i

cтавка дисконтирования, доли ед.;

Дисконтный множитель (фактор (коэффициент) дисконтирования) – коэффициент, умножение на который величины денежного потока будущего периода дает его текущую стоимость:

d=1(1 i)t{displaystyle d=;{frac {1}{(1 i)^{t}}}}

где:

d

Дисконтный множитель, доли ед.


В случае, когда период генерации денежных потоков условно бесконечен, его разделяют на:

· прогнозный период – период времени, в течение которого моделируются денежные потоки от объекта недвижимости. В качестве прогнозного периода могут рассматриваться типичный срок владения подобными активами, период до выхода объекта на стабильные потоки доходов и расходов;

· постпрогнозный период – период времени, наступающий после прогнозного периода.

Для определения денежных потоков постпрогнозного периода может быть использована модель капитализации.

Денежный поток постпрогнозного периода (реверсия) определяется с помощью следующих методов:1. Определения цены предполагаемой продажи по истечении прогнозного периода, исходя из анализа текущего состояния рынка, из мониторинга стоимости аналогичных объектов и предположений относительно будущего состояния объекта;2.


При использовании модели капитализации для определения денежных потоков постпрогнозного периода используется следующая формула расчета (при возникновении денежных потоков в конце каждого периода):

PV=∑j=1nFVj(1 i)j FVn 1R×1(1 i)n{displaystyle PV;=;sum _{j=1}^{n}{frac {FV_{j}}{(1 i)^{j}}} {frac {FV_{n 1}}{R}}times {frac {1}{(1 i)^{n}}}}

где:

PV

текущая стоимость денежных потоков прогнозного и постпрогнозного периодов, ден.ед.;

 

FVj  

денежный поток в j-ом периоде, ден. ед.;

 

n

продолжительность прогнозного периода, периодов;

R

ставка капитализации, доли ед.

Пример задачи. Определить текущую стоимость следующих денежных потоков. 1 год – 100 ед., 2 год – 150 ед., 3 год – 100 ед., 4 год (первый год постпрогнозного периода) – 120 ед. I = 15%, R = 20%. Дисконтирование выполнять на конец периода.

Решение:

Таблица 10.

Показатель

Значение

Прогнозный период

Первый год постпрогнозного периода

1 год

2 год

3 год

Денежный поток, ден.ед.

100

150

100

120

Период дисконтирования, лет

1

2

3

3

Ставка дисконтирования, %

15

15

15

15

Дисконтный множитель, доли ед.

0,8696

0,7561

0,6575

0,6575

Текущая стоимость, ден.ед.

87

113

66

Ставка капитализации, %

20

Будущая стоимость реверсии, ден.ед.

600

Текущая стоимость реверсии, ден.ед.

395

Текущая стоимость денежных потоков прогнозного и постпрогнозного периодов, ден.ед.

661

Как сэкономить на кредите

Даже если деньги нужны срочно, не стоит соглашаться на любые предложения банков. Нужно попробовать сделать кредит дешевле и соответственно меньше переплатить. Для этого можно:

  • Отказаться от страховок, если это возможно
  • Отказаться от дополнительных платных услуг
  • Сравнить несколько предложений на рынке и выбрать оптимальное. Например, некоторые банки предлагают программы, которые предусматривают снижение процентной ставки, если заемщик вовремя вносит платежи
  • Узнать, есть ли способы внесения платежей без комиссии
  • Узнать о размере штрафов в случае просрочки
  • Обратиться в банк, услугами которого вы уже пользуетесь – например, ранее брали кредиты или получаете зарплату на его карту
  • Внимательно ознакомиться с договором до его подписания и задать все вопросы кредитному специалисту
  • Вносить ежемесячно дополнительные суммы сверх платежа по графику. В этом случае уточните в банке, нужно ли предупреждать заранее о частично-досрочном погашении. В большинстве кредитных организаций без соответствующего уведомления заемщика банк будет списывать со счета только рассчитанный по графику платеж, а оставшиеся суммы будут копиться на нем. При этом проценты будут начисляться в прежнем размере

Если не торопиться и выполнить все шаги, то вы сможете получить выгодный кредит.

Экспертное мнение

Прежде чем взять кредит в банке, необходимо просчитать его погашения. Для этого нужно знать график погашения, размер ежемесячного платежа и общую сумму, которую вам предстоит выплатить банку. В интернете можно найти онлайн-калькуляторы, которые позволят вам рассчитать кредит. Для этого понадобится ввести сумму кредита, срок погашения и процентную ставку. Кроме того, вам нужно выбрать схему оплаты – аннуитетную (равными платежами) или дифференцированную (уменьшающимися платежами).

Аннуитетную схему использует большинство банков, поскольку она позволяет им больше зарабатывать на процентах по кредиту. Однако, она бывает удобна и заемщику, поскольку он точно знает сумму каждого платежа на протяжении всего срока погашения кредита.

При дифференцированной схеме заемщик платит меньше, поскольку каждый платеж постепенно снижается. Но в этом случае сумму каждого следующего платежа приходится рассчитывать отдельно.

Не стоит ограничиваться одним онлайн-калькулятором – сверьте результат с расчетами в других сервисах. Перебрав суммы, сроки и процентные ставки по кредиту, вы сможете выбрать самые удобные для вас условия. Не факт, что банк согласится на них, поскольку его цель – побольше заработать на вас. Но зная подходящий вам вариант, вы сможете внимательнее изучать условия и, в конечном итоге, получить удобный для вас кредит.

После предварительного расчета вы можете удивиться тому, что полученный результат не совпадает с реальностью. Нужно помнить, что банк может начислять комиссии за дополнительные услуги и взимать оплату за страховки. Чтобы точно знать, за что вы платите необходимо внимательно читать кредитный договор и все прилагаемые к нему документы. Недобросовестные банки могут вписать в договор сложную схему погашения кредита, при которой заемщик вынужден возвращать сумму в несколько раз превосходящую выданную. Такую схему, к примеру, часто применяют мошенники при автокредитовании.

Заемщик должен знать, что условия вашего кредита можно изменить. Почти каждый потребительский кредит может быть реструктурирован. Реструктуризация позволит увеличить срок погашения или снизить процентную ставку. Банк предложит реструктуризацию, если заемщик не сможет выплачивать кредит из0за снижения дохода.

Можно также рефинансировать кредит – оформить новый, с более удобными условиями, для погашения старого. В этом случае вы можете перейти с одной схемы погашения на другую, снизить процентную ставку по кредиту или изменить валюту. Рефинансировать кредит можно в своем или чужом банке. В каждом случае нужно заново пересчитать проценты и общую сумму выплат по новому кредитному договору.

Примеры задач на сложные проценты

  1. Какой величины достигнет долг, равный P = 1 млн.руб., через n = 5 лет при росте по сложной ставке i = 15,5% годовых, если проценты начисляются раз в год, ежемесячно, поквартально и два раза в год?
    Решить аналогичную
    1) Сложные проценты начисляются раз в год: S = 1 000 000·(1 0.155)5 = 2 055 464,22 руб
    2) Сложные проценты начисляются два раза в год:

    S=1 000 000·(1 0,1552)2·5 = 2 109 467,26 руб.
    3) Сложные проценты начисляются 4 раза в год (поквартально):

    S=1 000 000·(1 0,1554)4·5 = 2 139 049,01 руб.
    4) Сложные проценты начисляются ежемесячно (12 раз в год):

    S=1 000 000·(1 0,15512)12·5 = 2 159 847,20 руб.
  2. Через n = 5 лет предприятию будет выплачена сумма S = 1 млн.руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется ставка сложных процентов i = 10% годовых.
    Решить аналогичную
    P=S(1 i)n
    P=1 000 000(1 0,1)5 = 620 921,32 руб.
    Если проценты начислялись ежеквартально.

    P=S(1 im)m·n
    P=1 000 000(1 0,14)4·5 = 610 270,94 руб.
  3. Определить современную стоимость S = 20 тыс.руб., которые должны быть выплачены через четыре года (n = 4). В течение этого периода на первоначальную сумму начислялись сложные проценты по i = 8 %годовых: а)ежегодно; б)ежеквартально.
    Решить аналогичную
    P=S(1 i)n
    P=20 000(1 0,08)4 = 14 568,92 руб.
    Если проценты начислялись ежеквартально.

    P=S(1 im)m·n
    P=20 000(1 0,084)4·4 = 14 570 руб.
  4. За взятые в долг деньги под сложную процентную ставку i=35% годовых должник обязан уплатить кредитору 30 тыс. руб. 1 июля 1997 г. Какую сумму необходимо уплатить должнику, если он вернет долг: а) 1 января 1997 г.; б) 1 января 1998 г.; в) 1 июля 1999 г.?
    Количество дней в 1997 году: T=365.

    а) 1 января 1997 г.;

    Эта дата ранее 1 июля 1997 г., поэтому речь идет о поиске исходной суммыP (S=30000). Количество дней между 1 января 1997 г. и 1 июля 1997 г. составляет d=181 дн..

    б) 1 января 1998 г.;

    Эта дата позже 1 июля 1997 г., поэтому находим наращенную суммуS (P=30000). d1=01.07.1997 и d2=01.01.1998.

    в) 1 июля 1999 г.
    Количество лет между 1 июля 1997 г. и 1 июля 1999 г. составляет n=2 года.

    S=P·(1 i)n=30000·(1 0.35)2 = 54 675 руб.
Оцените статью
Adblock
detector