Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул – примеры переплат

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат Удобные вклады

Основы процентных финансовых вычислений

Накладные расходы (НР) включают в себя затраты на оплату труда административно-управленческого персонала, командировочные расходы и т.д.

НР, руб, составляют 50-100 % от общего фонда заработной платы, нашем случае НР составляет 50 % и рассчитывается по формуле:

НР = ФЗПобщ ∙ 0,5 (4.16)

НР= 137058,93∙0,5 = 68529,46 р.

Результаты расчета затрат на проведение исследований сведены в таблицу 4.5.

Таблица 4.7 – Сметная стоимость проведения исследований

Статьи затрат Сумма, руб.
Оплата труда исполнителей (ФЗПобщ) 137058,93
Отчисления на социальные нужды 41391,79
Затраты на материалы
Амортизация оборудования, относящегося к основным фондам 570,24
Расходы на обслуживание и ремонт оборудования
Затраты на энергоресурсы 308,85
Затраты на использование помещения
Накладные расходы 68529,46
Итого 278785,27

Договорная цена на проведение исследований Циссл, р., определяется по формуле:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , (4.17)

где Сиссл – сметная стоимость исследований, р.;

Нр=30% – нормативная рентабельность;

К=1,5 – коэффициент, учитывающий зарплату обслуживающих и управляющих подразделений.

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат р.

Наиболее важные технико-экономические показатели и их числовые значения сведены в итоговую таблицу 4.6

Таблица 4.8 – Технико-экономические показатели проведения исследований

Наименование показателей Значение
Трудоемкость исследования, чел./дн. 46,8
Продолжительность, дн.
Численность рабочих, чел.
Площадь помещения, м2. 32,25
Сметная стоимость, р. 278785,27
Договорная цена, р. 340461,78

Вывод: расчеты показывают, что затраты направленные на разработку стандарта организации «Управление нормативно-техническими документами внешнего происхождения (НТД)» для ОАО «Завод «Инвертор» будут составлять 340 тысяч 461 рубль78 копеек[36].

ОСНОВЫ ПРОЦЕНТНЫХ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Сущность и виды процентных ставок

Под процентной ставкой понимают относительную величину, выступающую измерителем финансовой операции.

Процентные ставки классифицируются:

1. В зависимости от базы начисления:

а) простые, по которым начисление процентов производится исключительно на постоянную сумму финансовой операции (например, на первоначальную сумму вклада);

б) сложные, по которым в качестве базы начисления используется изменяющаяся база (например, первоначальная сумма с учетом капитализации процентов, т.е. увеличенная на сумму процентов, образовавшихся в предыдущие периоды).

2. В зависимости от принципа расчета:

а) ставки наращения — декурсивные — от настоящего к будущему;

б) ставки дисконирования — учетные — антисипативные — от будущего к настоящему.

3. По методу исчисления:

а) проценты «со 100».

Содержание данного метода демонстрирует следующий условный пример. Так, если полная себестоимость продукции промышленного предприятия составила 200 млн р., а рентабельность затрат сложилась на уровне 20%, то сумма прибыли будет определена:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ;

б) проценты «на 100».

Применительно к данному методу постановка задачи будет следующая. При уровне рентабельности затрат в 20% и выручке от реализации продукции в сумме составляющей 240 млн р., полученная прибыль будет определена:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ;

в) проценты «во 100».

В случае, если организация оказывает услуги по цене ниже себестоимости (например, городской пассажирский транспорт) определяется уровень убыточности услуг, который, к примеру, равен 20%. Выручка от реализации услуг составляет 160 млн р. Исходя из этого величина убытков определится:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

4. По степени стабильности:

а) фиксированные (четко определены в договоре и не могут быть изменены без согласования сторон);

б) плавающие, при которых указывается не сама ставка, а меняющаяся во времени база и размер надбавки к ней (маржи). В качестве базы может выступать ставка рефинансирования Национального банка Республики Беларусь (т. е. ставка, по которой коммерческие банки берут кредиты у центрального банка), либо лондонская межбанковская ставка ЛИБОР (LIBOR: London interbank offered rate).

Наращение и дисконтирование по простым процентным ставкам

Финансовые расчеты с использованием простых процентов используются в практике, как правило, при определении эффективности краткосрочных финансовых операций (заключенных на срок не более 1 года), либо в случаях, когда проценты не присоединяются к первоначальной сумме, а периодически используются выгодаприобретателями.

Расчет наращенной суммы зависит от вида применяемой процентной ставки и условий наращения. Для годовой ставки простых процентов (i) наращенная сумма S за n лет определяется по формуле 1:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ,

где Р первоначальная величина — стоимость финансовых ресурсов изначально задействованных в конкретной финансовой операции.

Из формулы следует, что процентный доход, полученный за n лет будет в n раз больше, чем за год.

Если срок финансового соглашения измеряется не в годах в днях, что характерно для краткосрочных сделок, то в качестве n следует взять Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , где К — временная база, т.е. число дней в году. Если временная база К=360 дней (12 месяцев по 30 дней), то утверждают, что в сделке используются коммерческие (либо обыкновенные) проценты, а при использовании действительного количества дней в году, получаются точные проценты.

Подсчет числа дней t финансовой сделки может быть также двояким. При точном вычислении берут фактическое число дней сделки, при этом день получения и погашения денежных средств считают за один день. При приближенном подсчете принимают количество дней в месяце за 30, в квартале за 90, а полугодии за 180. Таким образом, на практике применяют три варианта простых процентов:

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (банковский метод). Применяется центральными банками многих стран и крупными коммерческими банками (например, США, Великобритания). В коммерческих документах обозначается как 365/365 или АСТ/АСТ.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Распространен в межстрановых ссудных операциях коммерческих банков, а также в экономике Франции, Швейцарии, Бельгии (обозначается как 365/360 или АСТ/360).

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Принят в практике коммерческих банков Германии, Швеции, Дании (360/360).

Применение в сделках плавающих ставок требует корректировки расчета наращенной суммы финансовой операции следующим образом:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ,

В финансовой практике возможны варианты погашения краткосрочных обязательств частями. При этом база начисления процентов определяется по одному из двух возможных методов:

1. Актуарный метод применяется в операциях со сроком более одного года и предполагает последовательное начисление процентов на непогашенный остаток основной задолженности (т.е. без учета задолженности по начисленным процентам). Однако следует иметь в виду, что промежуточные платежи засчитываются в счет погашения основной долга лишь при их превышении над текущей задолженностью по процентам. Если частичный платеж меньше начисленных процентов, то зачет к сумме долга не предусмотрен.

Окончательный погасительный платеж определяется по формуле наращения по простым процентам, с учетом того, что совокупная задолженность на конец срока должна быть полностью погашена.

Для улучшения восприятия сути данного метода приведен следующий условный пример.

Организация взяла в банке кредит на 180 дней на сумму 300 млн р. под 20% годовых. По истечении 30 дней в счет погашения долга произведен платеж в размере 11 млн р., а через 90 дней — на сумму 7 млн р. Необходимо определить величину окончательного платежа, если временная база по договору определена как 360 дней.

При такой постановке задачи, сумма начисленных процентов на дату внесения первого платежа составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Поскольку первый промежуточный платеж (10 млн р.) больше суммы начисленных процентов, то в счет погашения основного долга будет зачислено 6 млн р. (11-5), и остаток задолженности для последующих начислений составит 294 млн р. (300-6).

В свою очередь проценты, начисленные на дату внесения второго погасительного платежа, будут определены следующим образом:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Срок в 60 дней определен как разница между датой внесения первого и второго погасительного промежуточного платежа. В связи с тем, что размера промежуточного платежа (7 млн р.) оказался меньше суммы начисленных процентов (9,8 млн р.), то он не может быть засчитан в счет погашения основного долга. Поэтому за период, начиная с даты первого промежуточного платежа до конца срока финансового соглашения, определяют наращенную сумму, которую затем корректируют на величину второго промежуточного платежа. То есть, наращенная сумма на дату возврата кредита составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Учитывая, что за рассматриваемый период был проведен промежуточный платеж, то остаток задолженности, т.е. окончательный погасительный платеж, составит:

318,5-7=311,5 млн р.

2. Правило торговца применяется в операциях со сроком менее одного года и предполагает накопление частичных платежей у кредитора (лица дающего в долг) без уменьшения базы начисления процентов. При этом на величину накопленной суммы кредитор производит начисление процентов, как по депозиту. Взаимозачет производится в конце срока сделки.

Для демонстрации методики вычисления взят тот же цифровой пример, что и при актуарном методе.

Поскольку кредит взят на 180 дней, то наращенная сумма по завершении сделки должна составить:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Поскольку при данном методе промежуточные погасительные платежи рассматриваются как отдельные депозитные операции, то необходимо определить срок их хранения на сберегательных счетах. Так как первый платеж внесен через 30 дней после даты выдачи кредита, то он будет храниться у кредитора 150 дней (180-30). В свою очередь второй платеж — 90 дней (180-90). Исходя из этого, наращенная сумма двух депозитов составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Сравнение наращенной суммы по кредиту с наращенными величинами депозитов позволит определить размер окончательного платежа:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Окончательный платеж выступает балансировочным показателем между кредитной и депозитной сделками, реализуемыми в рамках одной финансовой операции.

Дисконтирование — это процесс приведения будущей стоимости финансовых ресурсов к современному (предшествующему, начальному) моменту времени. Процесс дисконтирования является обратным процессу наращения и в большей мере позволяет учесть временной фактор в вычисления. При этом, следует иметь в виду, что величина Р, найденная посредствам дисконтирования, называется современной (текущей, капитализируемой) стоимостью, а исчисленные и удержанные проценты — дисконтом (скидкой).

В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования:

1. Математическое, при котором применяется ставка наращения, а современная величина рассчитывается по формуле:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ,

2. Банковский (коммерческий) учет с соответствующей учетной ставкой. Суть банковского дисконтирования заключается в приобретении банком либо небанковской финансово-кредитной организацией платежного обязательства с определенным дисконтом до наступления срока платежа по нему (т.е. учета долгового обязательства). При этом размер компенсации по такой сделке определяется по формуле:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ,

где v — срок от даты учета до даты погашения долгового обязательства;

d — годовая учетная ставка.

Размер дисконта с конечной суммы по соглашению сторон может устанавливаться и в твердой сумме, но при этом эффективность сделки оценивается в относительной величине.

Наращение и дисконтирование по сложным процентным ставкам

Сделка считается сделанными на условиях сложных процентных ставок, если доход за последующий временной период исчисляется не с первоначальной величины инвестированного капитала (Р), а с наращенной суммы предшествующих периодов. В этом случае происходит капитализация процентов, т.е. присоединение начисленных процентов к их базе, что постоянно увеличивает саму базу для последующих периодов начисления. Сложные проценты применяются, как правило, в средне- и долгосрочных финансовых операциях.

Приращенная сумма финансовой сделки определяется:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Формула представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем 1 i, а ее применение не ограничивается годовым интервалом начисления. Так, к примеру, при ежемесячном начислении процентов в качестве i применяется процентная ставка за один месяц, а в качестве n — срок финансовой операции, выраженный в месяцах. В отличие от формулы наращения по простым процентным ставкам в данном случае приращение капитала I не пропорционально ни сроку финансовой операции, ни ставке процента (за исключением n=1).

При применении в финансовых сделках плавающих ставок наращенная сумма определяется: Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

В финансовых контрактах временной срок зачастую определяется не целым числом (например, 3 года и 1 месяц). В этом случае в правилах ряда коммерческих банков определено правило, по которому начисление процентов производится исключительно на целую часть без учета дробной.

Однако, учесть полный срок позволяет одна из двух схем:

1. Общая схема сложных процентов:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

где n — целая часть периода начисления

f — дробная часть периода начисления.

2. Смешанная схема, при которой схема сложных процентов применяется для целой части периода начисления, а схема простых процентов для дробной:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Сравнение множителей наращения по схеме простых и сложных процентов приводит к выводу, что для кредитора предпочтительнее применение схемы сложных процентов в сделках со сроком реализации более 1 года, а простых — до одного года, что демонстрирует система неравенств:

Кроме этого, наращенная сумма при использовании смешанной схемы будет больше чем при применении общей схемы сложных процентов.

Базовой формулой для математического дисконтирования является:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат .

Эта формула означает, что для инвестора современная величина (Р) и доход (S) планируемый к получению через n лет в будущем равнозначны с позиции своей покупательной способности. Множитель Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат называют дисконтным (учетным) множителем, который показывает «сегодняшнюю» цену одной денежной единицы будущих периодов при заданной процентной ставке. Его значение уменьшается при росте сроков реализации финансовой операции и процентной ставки по ней.

При кратном начислении процентов m раз в году формула для нахождения современной величины приобретает следующий вид:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат .

В практике учетная ставка применяется, как правило, в случаях, когда продается долговое обязательство ранее установленного срока погашения с дисконтом. Однако дисконтирование по учетным ставкам происходит с замедлением, т. к. каждый раз учетная ставка применяется не к первоначальной сумме (как при простой ставке), а к сумме, дисконтированной на предыдущем шаге времени. Таким образом, дисконтирование по сложной учетной ставке производится по формуле:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ,

где d — сложная годовая учетная ставка.

С позиции лиц осуществляющих дисконтирование наиболее предпочтительным является применение:

а) сложной учетной ставки, если срок учета менее одного года;

б) простой учетной ставки, если срок учета более одного года.

Эквивалентность процентных ставок и конверсия платежей

Как процентные, так и учетные ставки предназначены для решения аналогичной задачи: определения степени доходности финансовой операции. В связи с этим возможно варьирование ставками без изменения конечного финансового результата.

Две ставки называются эквивалентными, если при замене одной из них на другую финансовые отношения контрагентов не меняются. При этом равноценность финансовых последствий обеспечивается в том случае, если наблюдается равенство множителей наращения и дисконтирования. Так, например, в выражениях

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

и

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

при равенстве суммы первоначального вклада и наращенной суммы в конце сделки, множители наращения должны быть также равны друг другу, т.е.

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , откуда эквивалентность ставок может быть выражена следующим образом:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ,

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Такой принцип используется при расчете всех эквивалентных ставок.

Вместе с тем при выводе искомых соотношений эквивалентности следует учитывать и временную базу (коммерческие либо точные проценты). Так, например, при равенстве временных баз простых процентной и учетной ставок, уравнение эквивалентности может иметь следующий вид:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ,

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат .

Если же начисление процентов по ставке наращения производится при временной базе равной 365 дней, а по учетной ставке — при временной базе равной 360 дней, то уравнение эквивалентности выглядит следующим образом:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ,

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат .

Если в финансовой операции размер процентной ставки изменяется во времени, то все значения можно обобщить с помощью средней величины. При этом замена фактических ставок на усредненное значение производится на условиях эквивалентности.

Усреднение процентной ставки для простых процентов производится по формуле средневзвешенной, где весами могут выступать либо временные периоды, либо количественный показатель финансовой сделки. Так, например, при усреднении ставки по отношению к разным периодам времени, средняя ставка наращения определяется по формуле:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатКак рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , (3.7)

При осуществлении в рамках одной финансовой операции нескольких платежей на различные суммы под разный процент, средняя процентная ставка определяется по средней арифметической, где весами выступают не только количество сроков наращения, но и размеры платежей:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат .

Определение величины простой учетной ставки производится аналогично ставки наращения. В свою очередь средняя ставка сложных процентов определяется как:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат .

Изменение экономических условий функционирования нередко побуждает одну из сторон финансовой сделки обратиться к другой стороне с предложением пересмотра условий ранее заключенных договоров. Операция по замене ключевых позиций, базирующаяся на принципе эквивалентности, называется конверсией.

Наиболее распространенными примерами такой операции является отнесение сроков исполнения долгового обязательства на более поздние периоды, объединение нескольких платежей в один (консолидация платежа) с установлением единого срока погашения.

При консолидации платежей в один платеж на условиях отнесения срока исполнения долгового обязательства уравнение эквивалентности имеет следующий вид:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ,

где Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат — платежи, подлежащие консолидации со сроками уплаты Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат не превышающими сроки уплаты консолидированного платежа;

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат — временные интервалы между сроком консолидированного платежа и конкретными сроками Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат до консолидации.

Объединение платежей может производиться на условиях, предусматривающих различные сроки выплаты консолидированного платежа. Данный платеж может быть определен по формуле:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ,

где Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат — платежи, подлежащие консолидации со сроками уплаты Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат превышающими сроки уплаты консолидированного платежа;

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат — временные интервалы между сроком консолидированного платежа и конкретными сроками Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат до консолидации.

При консолидации платежей, по отношению к которым применяется учетная ставка, наращенная сумма может быть определена:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат .

Оценка эквивалентности финансовой сделки при применении сложной процентной ставки возможна по формуле:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат .

При консолидации платежей возможны ситуации, при которых контрагенты заранее определяют сумму объединенного платежа, что требует расчета сроков его осуществления. Так при применении ставки наращения срок уплаты консолидированного платежа определяется:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ,

где Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат — сумма консолидированного платежа;

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат — современная величина консолидированного платежа.

А при применении учетной ставки:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат .

Процент с продаж: формулы расчета, схемы, достоинства и недостатки

Соглашение о конфиденциальности

и обработке персональных данных

1.Общие положения

1.1.Настоящее соглашение о конфиденциальности и обработке персональных данных (далее – Соглашение) принято свободно и своей волей, действует в отношении всей информации, которую ООО «Инсейлс Рус» и/или его аффилированные лица, включая все лица, входящие в одну группу с ООО «Инсейлс Рус» (в том числе ООО «ЕКАМ сервис»), могут получить о Пользователе во время использования им любого из сайтов, сервисов, служб, программ для ЭВМ, продуктов или услуг ООО «Инсейлс Рус» (далее – Сервисы) и в ходе исполнения ООО «Инсейлс Рус» любых соглашений и договоров с Пользователем. Согласие Пользователя с Соглашением, выраженное им в рамках отношений с одним из перечисленных лиц, распространяется на все остальные перечисленные лица.

1.2.Использование Сервисов означает согласие Пользователя с настоящим Соглашением и указанными в нем условиями; в случае несогласия с этими условиями Пользователь должен воздержаться от использования Сервисов.

1.3.Сторонами (далее – «Стороны) настоящего Соглашения являются:

«Инсейлс» – Общество с ограниченной ответственностью «Инсейлс Рус», ОГРН 1117746506514, ИНН 7714843760, КПП  771401001, зарегистрированное по адресу: 125319, г.Москва, ул.Академика Ильюшина, д.4, корп.1, офис 11 (далее – «Инсейлс»), с одной стороны, и

«Пользователь»

либо физическое лицо, обладающее дееспособностью и признаваемое участником гражданских правоотношений в соответствии с законодательством Российской Федерации;

либо юридическое лицо, зарегистрированное в соответствии с законодательством государства, резидентом которого является такое лицо;

либо индивидуальный предприниматель, зарегистрированный в соответствии с законодательством государства, резидентом которого является такое лицо;

которое приняло условия настоящего Соглашения.

1.4.Для целей настоящего Соглашения Стороны определили, что конфиденциальная информация – это сведения любого характера (производственные, технические, экономические, организационные и другие), в том числе о результатах интеллектуальной деятельности, а также сведения о способах осуществления профессиональной деятельности (включая, но не ограничиваясь: информацию о продукции, работах и услугах; сведения о технологиях и научно-исследовательских работах; данные о технических системах и оборудовании, включая элементы программного обеспечения; деловые прогнозы и сведения о предполагаемых покупках; требования и спецификации конкретных партнеров и потенциальных партнеров; информацию, относящуюся к интеллектуальной собственности, а также планы и технологии, относящиеся ко всему перечисленному выше), сообщаемые одной стороной другой стороне в письменной и/или электронной форме, явно обозначенные Стороной как ее конфиденциальная информация.

1.5.Целью настоящего Соглашения является защита конфиденциальной информации, которой Стороны будут обмениваться в ходе переговоров, заключения договоров и исполнения обязательств, а равно любого иного взаимодействия (включая, но не ограничиваясь, консультирование, запрос и предоставление информации, и выполнение иных поручений).

2.Обязанности Сторон

2.1.Стороны соглашаются сохранять в тайне всю конфиденциальную информацию, полученную одной Стороной от другой Стороны при взаимодействии Сторон, не раскрывать, не разглашать, не обнародовать или иным способом не предоставлять такую информацию какой-либо третьей стороне без предварительного письменного разрешения другой Стороны, за исключением случаев, указанных в действующем законодательстве, когда предоставление такой информации является обязанностью Сторон.

2.2.Каждая из Сторон предпримет все необходимые меры для защиты конфиденциальной информации как минимум с применением тех же мер, которые Сторона применяет для защиты собственной конфиденциальной информации. Доступ к конфиденциальной информации предоставляется только тем сотрудникам каждой из Сторон, которым он обоснованно необходим для выполнения служебных обязанностей по исполнению настоящего Соглашения.

2.3.Обязательство по сохранению в тайне конфиденциальной информации действительно в пределах срока действия настоящего Соглашения, лицензионного договора на программы для ЭВМ от 01.12.2022г., договора присоединения к лицензионному договору на программы для ЭВМ, агентских и иных договоров и в течение пяти лет после прекращения их действия, если Сторонами отдельно не будет оговорено иное.

2.4.Не будут считаться нарушением настоящего Соглашения следующие случаи:

(а)если предоставленная информация стала общедоступной без нарушения обязательств одной из Сторон; 

(б)если предоставленная информация стала известна Стороне в результате ее собственных исследований, систематических наблюдений или иной деятельности, осуществленной без использования конфиденциальной информации, полученной от другой Стороны;

(в)если предоставленная информация правомерно получена от третьей стороны без обязательства о сохранении ее в тайне до ее предоставления одной из Сторон; 

(г)если информация предоставлена по письменному запросу органа государственной власти, иного государственного органа,  или органа местного самоуправления в целях выполнения их функций и ее раскрытие этим органам обязательно для Стороны. При этом Сторона должна незамедлительно известить другую Сторону о поступившем запросе;

(д)если информация предоставлена третьему лицу с согласия той Стороны, информация о которой передается.

2.5.Инсейлс не проверяет достоверность информации, предоставляемой Пользователем, и не имеет возможности оценивать его дееспособность.

2.6.Информация, которую Пользователь предоставляет Инсейлс при регистрации в Сервисах, не является персональными данными, как они определены в Федеральном законе РФ №152-ФЗ от 27.07.2006г. «О персональных данных».

2.7.Инсейлс имеет право вносить изменения в настоящее Соглашение. При внесении изменений в актуальной редакции указывается дата последнего обновления. Новая редакция Соглашения вступает в силу с момента ее размещения, если иное не предусмотрено новой редакцией Соглашения.

2.8.Принимая данное Соглашение Пользователь осознает и соглашается с тем, что Инсейлс может отправлять Пользователю персонализированные сообщения и информацию (включая, но не ограничиваясь) для повышения качества Сервисов, для разработки новых продуктов, для создания и отправки Пользователю персональных предложений, для информирования Пользователя об изменениях в Тарифных планах и обновлениях, для направления Пользователю маркетинговых материалов по тематике Сервисов, для защиты Сервисов и Пользователей и в других целях.

Пользователь имеет право отказаться от получения вышеуказанной информации, сообщив об этом письменно на адрес электронной почты Инсейлс – contact@procenty-po-vkladam.ru.

2.9.Принимая данное Соглашение, Пользователь осознает и соглашается с тем, что Сервисами Инсейлс для обеспечения работоспособности Сервисов в целом или их отдельных функций в частности могут использоваться файлы cookie, счетчики, иные технологии и Пользователь не имеет претензий к Инсейлс в связи с этим.

2.10.Пользователь осознает, что оборудование и программное обеспечение, используемые им для посещения сайтов в сети интернет могут обладать функцией запрещения операций с файлами cookie (для любых сайтов или для определенных сайтов), а также удаления ранее полученных файлов cookie.

Инсейлс вправе установить, что предоставление определенного Сервиса возможно лишь при условии, что прием и получение файлов cookie разрешены Пользователем.

2.11.Пользователь самостоятельно несет ответственность за безопасность выбранных им средств для доступа к учетной записи, а также самостоятельно обеспечивает их конфиденциальность. Пользователь самостоятельно несет ответственность за все действия (а также их последствия) в рамках или с использованием Сервисов под учетной записью Пользователя, включая случаи добровольной передачи Пользователем данных для доступа к учетной записи Пользователя третьим лицам на любых условиях (в том числе по договорам или соглашениям). При этом все действия в рамках или с использованием Сервисов под учетной записью Пользователя считаются произведенными самим Пользователем, за исключением случаев, когда Пользователь уведомил Инсейлс о несанкционированном доступе к Сервисам с использованием учетной записи Пользователя и/или о любом нарушении (подозрениях о нарушении) конфиденциальности своих средств доступа к учетной записи.

2.12.Пользователь обязан немедленно уведомить Инсейлс о любом случае несанкционированного (не разрешенного Пользователем) доступа к Сервисам с использованием учетной записи Пользователя и/или о любом нарушении (подозрениях о нарушении) конфиденциальности своих средств доступа к учетной записи. В целях безопасности, Пользователь обязан самостоятельно осуществлять безопасное завершение работы под своей учетной записью по окончании каждой сессии работы с Сервисами. Инсейлс не отвечает за возможную потерю или порчу данных, а также другие последствия любого характера, которые могут произойти из-за нарушения Пользователем положений этой части Соглашения.

3.Ответственность Сторон

3.1.Сторона, нарушившая предусмотренные Соглашением обязательства в отношении охраны конфиденциальной информации, переданной по Соглашению, обязана возместить по требованию пострадавшей Стороны реальный ущерб, причиненный таким нарушением условий Соглашения в соответствии с действующим законодательством Российской Федерации.

3.2.Возмещение ущерба не прекращают обязанности нарушившей Стороны по надлежащему исполнению обязательств по Соглашению.

4.Иные положения

4.1.Все уведомления, запросы, требования и иная корреспонденция в рамках настоящего Соглашения, в том числе включающие конфиденциальную информацию, должны оформляться в письменной форме и вручаться лично или через курьера, или направляться по электронной почте адресам, указанным в лицензионном договоре на программы для ЭВМ от 01.12.2022г., договоре присоединения к лицензионному договору на программы для ЭВМ и в настоящем Соглашении или другим адресам, которые могут быть в дальнейшем письменно указаны Стороной.

4.2.Если одно или несколько положений (условий) настоящего Соглашения являются либо становятся недействительными, то это не может служить причиной для прекращения действия других положений (условий).

4.3.К настоящему Соглашению и отношениям между Пользователем и Инсейлс, возникающим в связи с применением Соглашения, подлежит применению право Российской Федерации.

4.3.Все предложения или вопросы по поводу настоящего Соглашения Пользователь вправе направлять в Службу поддержки пользователей Инсейлс www.procenty-po-vkladam.ru либо по почтовому адресу: 107078, г. Москва, ул. Новорязанская, 18, стр.11-12 БЦ «Stendhal» ООО «Инсейлс Рус».

Дата публикации: 01.12.2022г.

Полное наименование на русском языке:

Общество с ограниченной ответственностью «Инсейлс Рус»

Сокращенное наименование на русском языке:

ООО «Инсейлс Рус»

Наименование на английском языке:

InSales Rus Limited Liability Company (InSales Rus LLC)

Юридический адрес:

125319, г. Москва, ул. Академика Ильюшина, д. 4, корп.1, офис 11

Почтовый адрес:

107078, г. Москва, ул. Новорязанская, 18, стр.11-12, БЦ «Stendhal»

ИНН: 7714843760 КПП: 771401001

Банковские реквизиты:

Р/с 40702810600001004854

В ИНГ БАНК (ЕВРАЗИЯ) АО, г.Москва,
к/с 30101810500000000222, БИК 044525222

Электронная почта: contact@procenty-po-vkladam.ru

Контактный телефон: 7(495)133-20-43

Типовые примеры и методы их решения

Пример 1.1.1.Предприниматель получил на полтора года кредит в размере 40 тыс. руб. с условием возврата 50 тыс. руб. Определите процентную ставку, учетную ставку и дисконт-фактор за полтора года. Чему равен индекс роста суммы кредита?

Решение.Полагая в формуле (1) (см. приложение 1) t = 1,5 го­да, PV = 40 тыс. руб., FV = 50 тыс. руб., получим величину про­центной ставки за полтора года:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , или, что равносильно, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 25% .

Аналогичным образом учетную ставку и дисконт-фактор на­ходим соответственно по формулам (2),(4):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат или d1,5 = 20%;

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат или v1,5 = 80%.

Заметим, что величины d1,5, v1,5 можно было найти, исполь­зуя и другие соотношения. Например,

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ;

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат .

Индекс роста B1,5 суммы кредита показывает, во сколько раз возвращаемая сумма больше выданной:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат .

Пример 1.1.2.Известно, что капитал, помещенный в банк, вырос за первый год в 1,4 раза, а за второй год вся сумма увели­чилась в 1,2 раза. Определите индекс роста вклада и процент­ную ставку за два года. На сколько процентов увеличился капи­тал за все время?

Решение.Индекс роста капитала В2 за два года находим пе­ремножением индексов роста за каждый год:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат .

Следовательно, двухгодовая процентная ставка, показываю­щая, на сколько процентов увеличится капитал, составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат .

Таким образом, капитал за два года увеличится на 68%.

Пример 1.1.3.Имеется два варианта вложения капитала на 3 года. Согласно первому варианту исходный капитал за первый год увеличится на 15%, за второй год вся сумма увеличится на 35%, а за третий год – еще на 10%. Для второго варианта рост капитала составит каждый год 20% от суммы предыдущего года.

Какой вариант лучше?

Решение.Поскольку для первого варианта индексы роста капитала за каждый год равны 1,15; 1,35 и 1,1, то индекс роста за 3 года составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат .

Подобным образом находим индекс роста капитала за 3 года для второго варианта:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат .

Так как согласно первому варианту за 3 года капитал увели­чится на 70,8%, а согласно второму варианту – на 72,8%, то вто­рой вариант вложения капитала лучше.

Заметим, что 70,8% и 72,8% представляют собой процент­ные ставки за 3 года.

Пример 1.1.4.Определите доходность в виде процентной ставки за предоставление потребительского кредита на следую­щих условиях: 45% стоимости покупок оплачивается сразу, а через год вносится оставшаяся часть стоимости покупок и 10% от стоимости покупок в качестве платы за кредит.

Решение.Воспользуемся формулой (1). Обозначим через Р стоимость покупок. Поскольку 45% стоимости покупок оплачи­вается сразу, то на один год кредит предоставляется в размере PV = 0,55P. Величина дохода за предоставленный кредит соста­вит FV – PV = 0,1Р. Поэтому

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат или =18,18%.

Пример 1.1.5.Найдите с 90 тыс. руб.: а) 15% “со 100”; б) 15% “на 100”; в) 15% “во 100”.

Решение.Выражая 15% в десятичных дробях (т.е. получая 0,15), пользуемся последовательно формулами (6), (7), (8) при r = 0,15 и Q = S = К = 90 тыс. руб.:

a) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб.;

б) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб.;

в) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб.

Получили, что по отношению к одному числу проценты “на 100” меньше процентов “со 100”, которые в свою очередь меньше процентов “во 100”.

Для проверки найденных процентов “на 100” надо из данно­го числа (90 тыс. руб.) вычесть полученные проценты “на 100” (11,739 тыс. руб.), определив тем самым так называемое началь­ное число. Затем от начального числа найти проценты “со 100”, которые должны совпадать с найденными согласно условию за­дачи процентами “на 100”. Выполним эти действия:

90 -11,739 = 78,261 тыс. руб.;

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб.

Для проверки найденных процентов “во 100” надо к данно­му числу (90 тыс. руб.) прибавить полученные проценты “во 100” (15,882 тыс. руб.) и затем от найденной суммы (т.е. на­чального числа 105,882 тыс. руб.) найти проценты “со 100”:

90 15,882 = 105,882 тыс. руб.;

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб.

Пример 1.1.6.Предприниматель реализовал партию товара за 80 тыс. руб., получив при этом 25% прибыли. Определите ве­личину прибыли и себестоимость товара.

Решение.Поскольку 80 тыс. руб. представляют собой сумму себестоимости товара и процентов “со 100” этой себестоимости (прибыли), то величина прибыли определяется по формуле (7) вычисления процентов “на 100”. Полагая S= 80 тыс. руб., r = 0,25 , находим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб.

Следовательно, себестоимость товара составляет 80 – 16 = 64 тыс. руб.

Пример 1.1.7.Предприниматель реализовал партию товара за 57 тыс. руб., получив при этом 5% убытка. Определите вели­чину убытка и себестоимость товара.

Решение.Поскольку 57 тыс. руб. представляют собой раз­ность себестоимости товара и процентов “со 100” этой себе­стоимости (убытка), то величина убытка определяется по фор­муле (8) вычисления процентов “во 100” при К = 57 тыс. руб. и r = 0,05:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб.

Следовательно, себестоимость товара составляет 57 3 = = 60 тыс. руб.

Из разобранных двух последних примеров видно, что при применении формул вычисления процентов “на 100” или “во 100” (формулы (7) и (8)) вначале нужно определить, с каким капиталом (согласно условию задачи) имеем дело – с наращен­ным или уменьшенным, после чего решение задачи не пред­ставляет трудностей. Задачи

1.1.1. Предприятие получило кредит на один год в размере 100 тыс. руб. с условием возврата 160 тыс. руб. Рассчитайте процентную и учетную ставки.

1.1.2. Предприятие за взятый кредит через год должно вер­нуть 400 тыс. руб. Определите величину кредита, если учетная ставка равна 25%. Чему равен дисконт-фактор?

1.1.3. Кредит в размере 40 тыс. руб. выдан на два года с ус­ловием возврата 45 тыс. руб. Определите двухгодовые процент­ную и учетную ставки и дисконт-фактор.

1.1.4. Вклад 5 тыс. руб. положен в банк на 3 месяца с усло­вием, что доход от финансовой сделки составит 800 руб. Опре­делите квартальные процентную и учетную ставки и дисконт-фактор. Чему равен индекс роста вклада за квартал?

1.1.5. Определите доходность в виде процентной ставки за предоставление потребительского кредита на следующих усло­виях: 35% стоимости покупок оплачивается сразу, а через год вносится оставшаяся часть стоимости покупок и 20% от стоимо­сти покупок в качестве платы за кредит.

1.1.6. Доходы от трех финансовых операций, проведенных в течение одного и того же срока, составили соответственно 10, 8 и 20 тыс. руб. Сравните между собой нормы прибыли этих опе­раций, если в них было вложено 50, 20 и 100 тыс. руб. Чему бу­дут равны учетная ставка и дисконт-фактор в каждой финансо­вой операции?

1.1.7. Предполагается инвестировать три проекта в размере соответственно 40, 20 и 80 тыс. руб. Ожидается, что в зависимо­сти от ситуации доходности этих инвестиций за два года могут колебаться в следующих границах: для первой – от 15 до 30%, для второй – от 35 до 50%, для третьей – от 10 до 15%. Опреде­лите, какой минимальный и какой максимальный доход можно получить за два года.

1.1.8. В результате инвестирования первоначальный капитал за первый год вырос в 1,4 раза, за второй год общий капитал вы­рос в 1,6 раза и за третий год вся сумма увеличилась в 1,3 раза. Чему равен индекс роста суммы? Определите, на сколько про­центов увеличилась первоначальная сумма за 3 года.

■ -ч

1.1.9. Имеется два варианта вложения капитала на 2 года. Согласно первому варианту исходный капитал за первый год увеличится на 50%, а за второй год вся сумма увеличится на 10%. Для второго варианта рост капитала составит каждый год 30% от суммы предыдущего года. Какой вариант лучше?

1.1.10. Клиент банка получил от помещения денег на депо­зит на год 900 руб. Какая сумма была помещена на депозит, ес­ли индекс роста ее за это время составил 1,4?

1.1.11. Индексы роста вклада за четыре квартала, следующие друг за другом, составили 1,15; 1,1; 1,12 и 1,05. На сколько про­центов за это время увеличился вклад? Определите учетную ставку и дисконт-фактор: а) за полгода; б) за год.

1.1.12. Партия товара была куплена предпринимателем за 200 тыс. руб., а продана за 325 тыс. руб. Сколько процентов прибыли получил предприниматель?

1.1.13. Товарооборот магазина в июне составил 940 тыс. руб., а,в июле – 890 тыс. руб. На сколько процентов уменьшился товарооборот в июле?

1.1.14. За продажу дачного участка комиссионер получил 8 тыс. руб., что составило 5% с продажной цены. Определите, за какую сумму был продан дачный участок.

1.1.15. Предприниматель, купив первую и вторую партии то­вара соответственно за 36 тыс. руб. и 42 тыс. руб., продал их со­ответственно за 48 тыс. руб. и за 58 тыс. руб. При продаже какой партии был получен больший процент прибыли?

1.1.16. Найдите: а) 3% “на 100” с 412 руб.; б) 5% “на 100” с 735 руб.; в) 10% “на 100” с 2300 руб.; г) 25% “на 100” с 42 тыс. руб.; д) 50% “на 100” с 9 тыс. руб.

1.1.17. Найдите: а) 3% “во 100” с 1261 руб.; б) 5% “во 100” с 760 руб.; в) 10% “во 100” с 1150 руб.; г) 25% “во 100” с 23 тыс. руб.; д) 50% “во 100” с 8 тыс. руб.

1.1.18. Найдите с 1500 руб. и 12 тыс. руб.: а) 25% “со 100”; б) 25% “на 100”; в) 25% “во 100”.

1.1.19. Предприятие реализовало партию товара за 230 тыс. руб., получив при этом 30% прибыли. Определите величину прибыли и себестоимость товара.

1.1.20. Предприятие реализовало партию товара за 45 тыс. руб., получив при этом 8% убытка. Определите величину убыт­ка и себестоимость товара.

1.1.21. Из-за порчи было списано 10% товара. Определите, сколько товара было списано, если его осталось 963 кг.

1.1.22. Общий заработок рабочего, включая премию в размере 10% от месячного оклада, составил 1980 руб. Найдите величину премии и величину оклада.

1.1.23. Предприниматель за 1 кг некоторого товара хочет получить 12 руб. 60 коп. Какую цену ему следует назначить, чтобы, сделав 3%-ную скидку, получить 12 руб. 60 коп. за 1 кг?

Простая процентная ставка

Основные положения

• Схема простых процентов предполагает неизменность ве­личины, с которой происходит начисление.

• При наращении с использованием простой процентной ставки приращение капитала пропорционально сроку ссуды и процентной ставке, т.е. доход инвестора растет линейно вместе со сроком.

• Точные проценты определяются исходя из точного числа дней в году (365 или 366), а обыкновенные – из приближенного числа дней в году (360).

• При точном подсчете числа дней срока ссуды определяется фактическое количество дней между двумя датами (цатой выда­чи и датой возврата ссуды). При приближенном подсчете опре­деляют точное число полных месяцев в сроке и добавляют чис­ло оставшихся дней. Длительность каждого полного месяца по­лагается равной 30 дням. При точном и при приближенном под­счете числа дней срока ссуды день ее выдачи и возврата счита­ют за один день.

• Используются следующие способы расчета простых про­центов: а) обыкновенные проценты с приближенным числом дней, обозначаемые как 360/360; б) обыкновенные проценты с точным числом дней, обозначаемые как 365/360 или ЛСГ/360; в) точный процент с точным числом дней, обозначаемый как 365/365 или ACT/ACT.

• В финансовой практике при расчете процента используют и такие величины, как дивизор и процентное число. Дивизор – это отношение принятого числа дней в году к процентной ставке. Численно дивизор равен такому количеству рублей, с которого при данной процентной ставке получается 1 руб. дохода в день. Процентным числом называется произведение величины капитала на время, в течение которого происходит наращение на капитал простых процентов (иногда это произведение еще делят на 100).

• Финансовое соглашение может не только предусматривать постоянную процентную ставку на весь период, но и устанавли­вать изменяющуюся во времени (переменную) ставку.

• При применении простых процентов доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления или ис­пользования в других инвестиционных проектах или текущей деятельности.

• Для сравнения доходности финансовых операций с различ­ными сроками используют показатели, учитывающие временной период, в течение которого получен доход. Одним из показате­лей является эквивалентное значение простой годовой процент­ной ставки. При этом считается, что если в результате инвести­рования некоторой суммы получен доход, то такой же доход можно получить в результате размещения той же суммы по соот­ветствующей эквивалентной простой годовой процентной ставке.

• Реинвестированием называется вложение доходов в неко­торый проект производственного или финансового характера с намерением получить на них в дальнейшем дополнительный доход.

• Математическое дисконтирование является процессом, об­ратным к наращению первоначального капитала. При математи­ческом дисконтировании решается задача нахождения такой величины капитала (называемой приведенной стоимостью), ко­торая через заданное время при наращении простыми процента­ми по данной процентной ставке будет равна сумме, ожидаемой к получению (уплате) через это заданное время.

• При математическом дисконтировании в качестве ставки дисконтирования используется процентная ставка.

• Понятие приведенной стоимости является одним из важ­нейших в количественном анализе финансовых операций.

Вопросы для обсуждения

1. Как происходит начисление простых процентов на капитал в течение всего срока?

2. Что показывает множитель наращения в формуле нараще­ния простыми процентами? Как он связан с индексом роста первоначальной суммы?

3. Если вклад в банке увеличился на 300%, то во сколько раз увеличился вклад?

4. Верно ли, что наращение по простой процентной ставке происходит процентами “со 100”!

5. Какова зависимость наращенной суммы от времени при на­числении простых процентов по процентной ставке на ин­вестируемый капитал? Каков вид ее графика?

6. Как связаны между собой наращение по простой процент­ной ставке и арифметическая прогрессия?

7. За какой период происходит удвоение первоначальной сум­мы в результате наращения по простой процентной ставке?

8. Изменится ли величина наращенной суммы за несколько лет, если начисление простых процентов по данной процентной ставке будет осуществляться не каждый год, а чаще, напри­мер каждый месяц?

9. В каких случаях применяют наращение по простой про­центной ставке?

10. Если простую процентную ставку увеличить в два раза, то во сколько раз увеличится величина начисленных процен­тов по сравнению с ситуацией, когда использовалась ис­ходная процентная ставка?

11. Если простую процентную ставку увеличить в два раза, то на сколько процентов увеличится наращенная сумма по сравнению с ситуацией, когда использовалась исходная процентная ставка?

12. Чем отличаются точные проценты от обыкновенных?

13. Какие существуют способы подсчета числа дней срока ин­вестирования?

14. Чем можно пользоваться для упрощения процедуры расчета точного числа дней ссуды?

15. Может ли подсчет точного числа дней ссуды и приближен­ного числа дней ссуды давать один и тот же результат?

16. Какие способы расчета простых процентов используются на практике? Какие из них выгоднее для кредитора, а какие -для должника?

17. Как можно пояснить, что на практике не используется спо­соб начисления точных процентов с приближенным числом дней?

18. Что представляет собой способ начисления процентов 365/360? Чем он отличается от способа 360/360?

19. Что называется дивизором? Дайте ему экономическую ин­терпретацию.

20. Какая величина называется процентным числом? Приведи­те пример ее применения в банковских расчетах.

21. Какая ставка называется переменной? В каких случаях она применяется?

22. Чем объяснить, что доходность финансовой операции часто определяется в расчете на год?

23. Каким образом можно сравнить доходности финансовых операций с различными сроками?

24. Взимание комиссионных при выдаче ссуды увеличивает или уменьшает доходность сделки для кредитора?

25. Каким образом можно определить стоимость привлеченных денежных средств для заемщика?

26. Какая финансовая операция называется реинвестированием?

27. В чем заключается основное преимущество операции реинве­стирования при начислении простых процентов?

28. Как связано математическое дисконтирование с процессом наращения?

29. Какая ставка используется в качестве ставки дисконтирова­ния при математическом дисконтировании?

30. Что называется приведенной стоимостью?

31. Существует ли связь между дисконтным множителем и множителем наращения?

32. Как определяется дисконт при дисконтировании? Можете ли вы привести иные понятия, также называемые дисконтом?

33. Поясните фразу: «При математическом дисконтировании в условиях простых процентов ожидаемый в будущем к полу­чению капитал учитывается процентами “на 100″».

§

Пример 1.2.1.Вы поместили в банк вклад 10 тыс. руб. под простую процентную ставку 26% годовых. Какая сумма будет на вашем счете через 3 года? Какова будет величина начисленных процентов? Если банк осуществляет регулярные выплаты начис­ленных процентов, то какую сумму Вы будете получать: а) каж­дый год; б) каждый квартал?

Решение.Полагая в формуле (9) Р = 10.тыс. руб., п = 3 года, г = 0,26, получим наращенную сумму через 3 года, если не про­исходят выплаты простых процентов:

F = 10 * (1 3 • 0,26) = 17,8 тыс. руб.

Следовательно, величина начисленных процентов / составит: / = F- Р = 17,8 – 10 = 7,8 тыс. руб.

Величину начисленных простых процентов, выплачиваемых ежегодно, определяем из формулы (12) при / = 1:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатКак рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 11 = 10 • 1 • 0,26 = 2,6 тыс. руб.

При ежеквартальных выплатах i = 0,25 года, и поэтому вели­чина каждой выплаты составит:

12 = 10 * 0,25 • 0,26 = 0,65 тыс. руб.

Заметим, что проценты на уже начисленные проценты не на­числяются независимо от срока хранения вклада. Поэтому имеет смысл начисленные простые проценты регулярно получать и использовать, например, для иных инвестиций. Поскольку при­ращение вклада при наращении простыми процентами растет линейно вместе со сроком его хранения, то величины 11 и 12 можно найти, поделив / соответственно на 3 и на 12.

Пример 1.2.2.На какой срок необходимо поместить денеж­ную сумму под простую процентную ставку 28% годовых, что­бы она увеличилась в 1,5 раза?

Решение.Искомый срок определяем из равенства множите­ля наращения величине 1,5:

1 n*0.28=1.5

Решая это уравнение относительно п, получим п = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 1,786

года. Таким образом, если в году 365 дней, то необходимый срок составит 1 год и 287 дней.

Пример 1.2.3.Предпринимателю 14 февраля была предос­тавлена ссуда в размере 20 тыс. руб. с погашением 14 июля того же года под процентную ставку 30% годовых. Рассчитайте раз­личными способами сумму к погашению, если начисляются простые проценты и год невисокосный.

Решение.Величина уплачиваемых процентов за пользова­ние ссудой зависит от числа дней, которое берется в расчет. Для упрощения процедуры расчета точного числа дней пользуются специальными таблицами (одна – для обычного года, вторая -для високосного), в которых все дни в году последовательно пронумерованы. Продолжительность финансовой операции оп­ределяется вычитанием номера первого дня из номера последне­го дня. Поэтому точное число дней находим по таблице 1 в при­ложении 2: 195 — 45 = 150 дней. Естественно, это число можно найти и непосредственно, исходя из количества дней в соответ­ствующих месяцах. Приближенное число дней ссуды состоит из 16 дней февраля (30 – 14); 120 дней (по 30 дней четырех меся­цев: март, апрель, май, июнь) и 14 дней июля. Т.е. приближен­ное число дней составляет: 16 120 14 = 150. Теперь с помо­щью формулы (10) можно рассчитать возможные значения сум­мы к погашению. Во всех случаях Р = 20 тыс. руб., r= 0.3

1. В расчёт принимаются точные проценты и точное число дней ссуды (т.е. Г = 365, f = 150):

F = 20 (1 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,3) = 22,466 тыс. руб.

2. В расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число дней ссуды (т.е. Т =360 t ==150):

F = 20 (1 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0.3) = 22,5 тыс. руб.

3. В расчет принимаются обыкновенные проценты и при­ближенное число дней ссуды (т.е. T = 360, f = 150):

F = 20 (1 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,3) = 22,5 тыс. руб. 360

Очевидно, что обыкновенные проценты и точное число дней ссуды доставляют большее значение суммы к погашению, чем точные проценты и точное число дней ссуды. В условиях этого примера второй и третий варианты расчета обеспечивают оди­наковые суммы при возврате долга. Вообще, как правило, число точных и число приближенных дней краткосрочной (до одного года) ссуды либо очень близки, либо совпадают, что позволяет в банковских расчетах обычно пользоваться приближенным чис­лом дней ссуды. Так, если бы ссуда была выдана с 15 января по 14 июля, то точное число дней ссуды – 180, а приближенное -179. Следовательно, по второму и третьему вариантам расчета соответственно получим:

F Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс.руб.

F = 20(1 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,3) = 22,983 тыс. руб.

Вообще видно, что во всех случаях суммы к погашению раз­личаются незначительно, но при больших величинах ссуд даже небольшие расхождения могут иметь значение.

Отметим, что число точных и число приближенных дней ссуды могут достаточно сильно отличаться друг от друга, если срок ссуды более 360 дней. Если, например, ссуда предоставле­на с 14 февраля одного года до 13 февраля следующего, то точ­ное число дней равно 364, а приближенное – 359. Отсюда сле­дуют и более существенные различия в суммах к погашению.

Пример 1.2.4.Предприниматель 18 апреля обратился в банк за ссудой до 19 ноября того же года под простую процентную ставку 25% годовых. Банк, удержав в момент предоставления ссуды проценты за весь ее срок, выдал предпринимателю 12 тыс. руб. Какую сумму необходимо будет вернуть банку, если при расчете начисленных процентов использовались обыкно­венные проценты с точным числом дней?

Решение.Обозначим через F сумму, которую необходимо будет вернуть банку, и вначале для определения процентов I, удержанных банком, воспользуемся формулой (14), где P = F. Число дней находим либо прямым подсчетом, либо по таблице:

t= 215 дней (323 – 108). Так как Т = 360, г = 0,25, дивизор Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат P-I = F-I= 12тыс.руб.,то

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс.руб.

Следовательно, предприниматель обязан возвратить долг в размере:

F= 12 7= 12 2,106 =14,106 тыс. руб.

Для проверки найдем простые проценты, начисленные за 215 дней на сумму 14,106 тыс. руб.:

14106 * Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,25 = 2,106 тыс. руб., 360

что подтверждает правильность вычислений.

Заметим, что проценты / представляют собой проценты “во 100” с 12 тыс. руб. Действительно, поскольку процентная ставка

за 215 дней (215/360 года) составляет Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0.25 = 0.1493, то

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб

При решении примера можно было рассуждать и таким об­разом. Поскольку проценты, удержанные банком, составили величину F* Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,25, то предпринимателю выдана сумма

F – F* Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат • 0,25 = 12 тыс. руб. Отсюда:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс.руб

Забегая немного вперед, можно сказать, что на 12 тыс. руб. в течение 215 дней происходит наращение по простой учетной ставке 25% годовых.

Пример 1.2.5.Сберегательный счет был открыт 10 марта и на него была положена сумма 8 тыс. руб. В следующем месяце (14 апреля) на счет поступило 4 тыс. руб. Затем 25 июня со счетабыло снято 3 тыс. руб. и 4 сентября – 2 тыс. руб. Счет был закрыт 20 декабря. Все операции осуществлялись в течение високосного года. Определите сумму, полученную владельцем счета, если процентная ставка равнялась 30% годовых и при расчете исполь­зовались обыкновенные проценты с точным числом дней.

Решение.Этот пример можно решить обычным способом, определяя величину начисленных процентов последовательно за промежутки времени, когда сумма на счете не менялась. Мы же воспользуемся (как это и делают в банках при обслуживании текущего счета) величинами Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , которые, так же как и Pt назы­ваются процентными числами (через Р обозначена величина вклада, через t — время его хранения). В этом случае в формуле

для вычисления дивизора D = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ставка r выражена не десятичной дробью, а в процентах.

Для того чтобы найти общую величину начисленных про­центов за весь срок, определим процентные числа за каждый промежуток времени, когда сумма на счете не менялась. Затем сложим все процентные числа и полученное значение поделим на дивизор.

Вначале определяем суммы, которые последовательно фик­сировались на счете: 8 тыс. руб., 12 (8 4) тыс. руб., 9 (12 – 3) тыс. руб., 7 (9 – 2) тыс. руб. Затем находим сроки хранения этих сумм. Они соответственно равны 35 (105 – 70) дням, 72 (177 -105) дням, 71 (248-177) дню, 107 (355 – 248) дням. Сумма про­центных чисел составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Дивизор в данном случае равен: D = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 12 . Следовательно,

общая величина начисленных процентов составит: Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб.,

а владелец счета получит: 7 2,11 = 9,11 тыс. руб.

Отметим, что процентные числа можно было вычислять и с несколько иным образом найденными сроками, а именно: для каждого поступления срок хранения определяется исходя из да-

ты поступления и даты закрытия счета. Если происходило изъя­тие денег, то соответствующее процентное число берется со зна­ком минус. Тогда: для 8 тыс. руб. – 285 (355 – 70) дней, для 4 тыс. руб. – 250 (355 – 105) дней, для 3 тыс. руб. – 178 (355 – 177) дней и для 2 тыс. руб. – 107 (355 – 248) дней. Находим (учитывая зна­ки) сумму процентных чисел:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

т.е. получили такую же величину, как и способом, изложенным ранее.

Поскольку февраль не входит в период работы со сберега­тельным счетом, то при осуществлении операций и в течение ие-високосного года получим окончательно также 9,11 тыс. руб.

Пример 1.2.6,Господин N поместил в банк 16 тыс. руб. на следующих условиях: в первые полгода процентная ставка рав­на 24% годовых, каждый последующий квартал ставка повыша­ется на 3%. Найдите наращенную сумму за полтора года, если проценты начисляются только на первоначальную сумму вкла­да. При какой постоянной процентной ставке можно получить такую же наращенную сумму? Найдите наращенную сумму за полтора года, если с изменением ставки происходит одновре­менно и капитализация процентного дохода.

Решение.Пусть вначале проценты начисляются только на первоначальную сумму вклада. Рассмотрим отдельно периоды, в течение которых ставка была постоянной. Поскольку на первый период длительностью Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,5 года установлена процентная ставка i1 = 0,24, то приращение капитала (в тыс. руб.) за этот пе­риод равно величине 16*0,5*0,24. На второй период длительно­стью n2 = 0,25 года (квартал) установлена процентная ставка i2 = 0.24 0,03 = 0,27, и, следовательно, приращение капитала за этот период равно величине 16*0.25*0.27. Аналогичным образом на периоды n3 ,n4 ,n5 , каждый из которых равен 0,25 года, уста­новлены соответственно ставки j3 = 03, i4 = 0,33, i6 = 0,36, дос­тавляющие приращения капитала 16*0,25*0,3; 16*0.25*033; 16*0.25*036. Суммируя первоначальный капитал и все его при­ращения, получим наращенную сумму за полтора года (общий множитель всех слагаемых 16 вынесем за скобки): F = 16 (1 0,5 0,24 0,25 0,27 3,25 0,3 0,25 – 033 0,25 036) – 22,96 тыс. руб.

Такую же наращенную сумму можно получить, если про­стые проценты начисляются за полтора года по ставке

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Действительно, F = l6( 1 1,5* 0,29)=22,56 тыс. руб.

Отметим, что в указанных обозначениях величины F и Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , конечно, можно найти по формулам (15) и (16). Записывая (16) в виде

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

замечаем, что ставка / равна взвешенной сумме процентных ставок, где весом для каждой ставки ik служит доля длительно­сти периода пк, которую он составляет от общей суммы длительностей периодов Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , причем очевидно, что сумма всех

весов равна единице. Таким образом, для ставки 24% весом явля­ется дробь Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат (так как полгода составляют третью часть от полу­тора лет), для каждой доследующей ставки весом будет дробь Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат (так как квартал составляет шестую часта от полутора лет).

Если же с изменением ставки происходит одновременно и капитализация процентного дохода (т.е наращенная сумма вкладывается вновь под измененную простую процентную став­ку), то за полтора года наращенная сумма составит:

F = 16 * (1 0,5 * 0,24)(1 0,25 – 0.27)(1 0,25 * 0,3) * (1 025 * 0,33)(1 0,25 – 0,36) = 24,264 тыс. руб.

Естественно, получили сумму, превышающую 22,96 тыс. руб., поскольку в этом случае за каждый период проценты на­числяются не только на первоначальную сумму вклада, но и на проценты, начисленные за предыдущий период.

Пример 1.2.7. В финансовом договоре клиента с банком предусмотрено погашение долга в размере 8,9 тыс. руб. через 120 дней при взятом кредите в размере 8 тыс. руб. Определите доходность такой сделки для банка в виде годовой процентной ставки. При начислении банк использует простые обыкновен­ные проценты.

Решение. Подставляя в формулу (23) значения F = 8,9 тыс. руб., Р = 8 тыс. руб., t= 120 дней, Т= 360 дней, получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Таким образом, инвестируя 8 тыс. руб. под простую про­центную ставку 33,75% годовых, через 120 дней при использо­вании обыкновенных процентов можно получить 8,9 тыс. руб. Действительно,

8*(1 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат *0.3375)=8,9 тыс. руб.

Пример 1.2.8. Банк в начале года выдал кредит на сумму 30 тыс. руб. сроком на два месяца по ставке 28% годовых и через два месяца – кредит на сумму 45 тыс. руб. сроком на четыре ме­сяца по ставке 34% годовых. Определите общую доходность этих кредитных операций за полгода в виде годовой процентной ставки в двух случаях: когда при выдаче второго кредита не ис­пользуются и когда используются деньги, возвращенные банку после погашения первого кредита. За предоставление кредита банк начислял простые обыкновенные проценты.

Решение. Найдем начисленные проценты за первый кредит по формуле (12) при Р = 3О тыс. руб., i = 60/360 года, r = 0,28:

i1=30 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат *0,28 = 1,4 тыс. руб.

Аналогичным образом при Р = 45 тыс. руб., i = 120/360 го­да, r = 034 ваходим для второго кредита:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб.

Следовательно, общий доход, полученный банком, равен:I = I1 I1 = 1,4 5.1 = 6,5 тыс. руб.

Если при выдаче второго кредита не использовались деньги, возвращенные банку после погашения первого кредита, то об­щая величина вложенных средств равна 75 (30 45) тыс. руб. Поэтому общая доходность этих кредитных операций за полгода в виде простой годовой процентной ставки по формуле (23) со­ставляет:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат или 17.33%

Если же второй кредит в размере 45 тыс. руб. включает 30 тыс. руб. (первый кредит), то

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат или 28,89% годовых.

Очевидно, повторное использование финансовых ресурсов повышает доходность.

Пример 1.2.9.Предприниматель получил в банке кредит на 90 дней по процентной ставке 36% годовых, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 2,5% от величины кре­дита. Найдите доходность такой финансовой операции для бан­ка в виде годовой простой процентной ставки, если банк начис­ляет простые проценты на исходную сумму кредита, полагая, чтов году 360 дней. Как изменится доходность при выдаче кре­дита на 60 дней и на 120 дней?

Решение.Обозначим через Р величину кредита (в каких-либо денежных единицах), тогда величина удержанных комис­сионных составит 0.025Р и, следовательно, предпринимателю будет выдана сумма Р -0,025Р =0,975Р. Через 90 дней предприниматель должен будет вернугь сумму Р(1 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,36) = 1,09Р.

Таким образом, общий доход банка составит: 1.09Р – 0,975Р = = 0,115Р. Теперь, используя формулу (23), можно определить доходность финансовой операции для банка в виде годовой процентной ставки:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

т.е. r = 47.18%, что больше объявленных банком 36% годовых. Таким образом, удержание комиссионных увеличивает доход­ность финансовой операции для кредитора (банка).

При выдаче кредита на 60 дней его величина вместе с начис­ленными процентами составит: Р(1 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,36) = 1,06 Р, и, следовательно, доходность для банка будет равна:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат или 52.31%

т.е. больше, чем при выдаче кредита на 90 дней.

Если же срок кредита составляет 120 дней, то предпринима­тель должен будет вернуть 1.12Р и доходность для банка в виде простой годовой процентной ставки составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 360 = 0,4462, или 44,62%,

т.е. меньше, чем при сроке кредита 90 дней.

Рассмотренный пример показывает, что при удержании ко­миссионных увеличение срока кредита уменьшает доходность финансовой сделки для кредитора. Конечно, если комиссионные не взимаются, то при любом сроке кредита доходность такой финансовой сделки в виде простой годовой процентной ставки будет постоянна и равна 36%.

Пример 1.2.10.Банк за использование в течение двух месяцев 800 тыс. руб. должен выплатить 60 тыс. руб. Определите стои­мость привлеченных средств в виде простой годовой процентной ставки в условиях начисления обыкновенных процентов.

Решение.Стоимость привлеченных средств можно найти по формуле (23), где через Р обозначена использованная сумма средств; через F-P – проценты, выплаченные за использование суммы Р в течение времени и. Полагая Р = 800 тыс. руб., F-P = 60 тыс. руб., n =2/12 = 1/6 года, получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,45, или, что эквивалентно, 45% годовых.

Пример 1.2.11.Из какого капитала можно получить 24 тыс. руб. через два года наращением по простым процентам по про­центной ставке 25%? Чему равен дисконт?

Решение.Пользуясь формулой (18), где F = 24 тыс. руб.,n= 2 года, r = 0,25, получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 16 тыс. руб.

Отсюда можно найти дисконт Dr = F-P = 24 -16 = 8 тыс. руб. Этот дисконт представляет собой 50% (процентная ставка за два года) “на 100” с 24 тыс. руб. Действительно, по формуле (7):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 8 тыс. руб.

С целью проверки можно по формуле (9) определить нара­щенную сумму с капитала Р = 16 тыс. руб. за 2 года по простой процентной ставке 25% годовых:

F = 16(1 2 *0,25) = 24 тыс. руб.

Дисконтный множитель

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,6667 представляет собой

величину, обратную множителю наращения 1 2 * 0,25, и показы­вает долю капитала Р = 16 тыс. руб. в капитале F = 24 тыс. руб.

Пример 1.2.12.Вам 27 декабря будет нужна сумма 15 тыс. руб. Какую сумму 10 июня этого же года Вы должны положить в банк под простую процентную ставку 36% годовых, если в расчете применяется обыкновенный процент с точным числом дней?

Решение.Полагая в формуле (18) F =5 тыс. руб., п = 200/360 года (200 дней), r = 0,36, получим;

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 12,5 тыс. руб.

Если бы в расчете применялся точный процент с точным числом дней, то величина вклада должна быть несколько боль­шей. Так, для невисокосного года:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 12,529 тыс. руб.,

что превышает полученную ранее сумму на 29 руб.

Пример 1.2.13.На какой срок клиент банка может взять кредит в размере 20 тыс. руб. под простые проценты с условием, чтобы величина возврата долга не превышала 22 тыс. руб., если процентная ставка равна 34%, в расчет принимаются точные проценты с точным числом дней и год високосный?

Решение. Полагая в формуле (21) для расчета срока в днях F = 22 тыс. руб., Р = 20 тыс. руб., T = 366 дней, r = 0,34, полу­чим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс.руб

Так что клиент банка может взять кредит не более чем на 107 дней. Для проверки по формуле (9) найдем наращенную сумму за 107 дней:

F = 20(l Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,34) = 21,988 тыс.руб. 366

Кстати, если взять 108 дней, то получим 22,007 тыс. руб., т.е. превышение всего на 7 руб., что, конечно, не является сущест­венным.

Пример 1.2.14.Депозитный сертификат номиналом 20 тыс. руб. с начислением процентов по простой процентной ставке 40% годовых выпущен на один год. По какой цене его можно приобре­сти за 60 дней до срока погашения, чтобы обеспечить доходность такой финансовой сделки в виде простой процентной ставки 45% годовых? Расчетное количество дней в году равно 365.

Решение.Депозитный сертификат – документ, подтвер­ждающий, что его владелец является держателем срочного де­позита в банке. Для определения допустимой цены покупки сер­тификата необходимо его номинал вместе с начисленными за год процентами дисконтировать по простой процентной ставке 45% годовых, исходя из периода в 60 дней:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс.руб

Если цена покупки депозитного сертификата будет больше полученной величины 26,071 тыс. руб., то при его приобретении доставляется доходность, меньшая 45%.

Задачи

1.2.1. Клиент поместил в банк вклад в сумме 4,5 тыс. руб. под 18% годовых с ежеквартальной выплатой простых процентов. Какую сумму клиент будет получать каждый квартал? Как изме­нится сумма при выплате простых процентов каждый месяц?

1.2.2.Клиент поместил в банк вклад 6 тыс. руб. под простую процентную ставку 20% годовых. Какая сумма будет на счете клиента через: а) 7 месяцев; б) 3 года; в) 3 года 9 месяцев?

1.2.3. Банк принимает депозиты на 3 месяца по процентной ставке 28% годовых, на 6 месяцев – по 32% годовых и на год -по 34% годовых. Определите сумму, которую получит владелец депозита в размере 20 тыс. руб. при начислении простых про­центов во всех трех случаях.

1.2.4. В финансовом договоре клиента с банком предусмот­рено погашение долга в размере 24 тыс. руб. через 150 дней при взятом кредите в 20 тыс. руб. Определите доходность такой сделки для банка в виде годовой процентной ставки. При начис­лении банк использует простые обыкновенные проценты.

1.2.5. Банк в начале года выдал кредит на сумму 20 тыс. руб. сроком на три месяца по ставке 30% годовых и через три месяца кредит на сумму 40 тыс. руб. сроком на полгода по ставке 35% годовых. Определите общую доходность этих кредитных опера­ций за девять месяцев в виде простой годовой процентной став­ки в двух случаях: когда при выдаче второго кредита яе исполь­зуются и когда используются деньги, возвращенные банку после погашения первого кредита. За предоставление кредита банк начислял простые обыкновенные проценты.

1.2.6. Предприниматель взял в банке ссуду на два года под процентную ставку 32% годовых. Определите, во сколько раз сумма долга к концу срока ссуды будет больше выданной бан­ком суммы, если банк начисляет простые проценты.

1.2.7. Банк выдал ссуду на 45 дней в размере 10 тыс. руб. под простую процентную ставку 30% годовых. Рассчитайте доход

банка, если при начислении простых процентов считается, что в году: а) 360 дней; б) 365 дней.

1.2.8. Имеются две денежные суммы, одна из которых боль­ше другой на 2 тыс. руб. Обе суммы помещаются в банк под простые проценты, причем большая сумма – на 9 месяцев под 30% годовых, а меньшая – на 4 месяца под 25% годовых. На­численные проценты за большую сумму в 3 раза больше начис­ленных процентов за меньшую сумму. Найдите размеры перво­начальных денежных сумм.

1.2.9. Найдите величину дохода кредитора, если за предос­тавление в долг на полгода некоторой суммы денег он получил 46,55 тыс. руб. При этом применялась простая процентная став­ка а 22%.

1.2.10. Сертификат, выданный на 120 дней, обеспечивает держателю доход в виде дисконта, равного 15% от суммы пога­шения. Определите размер простой годовой процентной ставки, доставляющей такой же доход при начислении: а) обыкновенных процентов; б) точных процентов (год невисокосный); в) точных процентов (год високосный).

1.2.11. Вклад до востребования был размещен с 10 января по 14 апреля того же года. Рассчитайте двумя способами (прибли­женно и точно) количество дней, которое может быть использо­вано для начисления процентов, если год: а) високосный; б) не­високосный. Выполните аналогичные расчеты, если вклад до востребования был размещен с 18 марта по 26 июля.

1.2.12. Определите количество дней для начисления процен­тов при точном и приближенном способе подсчета, если вклад до востребования был размещен: а) с 12 февраля по 15 мая того же года; б) с 5 июня по 3 ноября того же года. Как изменились бы результаты, если бы рассматриваемый год был високосный?

1.2.13. Предоставлена ссуда в размере 180 тыс. руб. 16 янва­ря с погашением через 9 месяцев под 25% годовых (год невисо­косный). Рассчитайте сумму к погашению при различных спо­собах начисления простых процентов: а) обыкновенный процент с точным числом дней; б) обыкновенный процент с приближен­ным числом дней; в) точный процент с точным числом дней.

1.2.14. Предоставлена ссуда в размере 60 тыс. руб. 12 марта с погашением 15 августа того же года под процентную ставку 32% годовых. Рассчитайте различными возможными способамисумму к погашению, если начисляются простые проценты и год високосный.

1.2.15. Предприниматель 7 февраля обратился в банк за ссу­дой до 14 мая того же года под простую процентную ставку 18% годовых. Банк, удержав в момент предоставления ссуды про­центы за весь ее срок, выдал предпринимателю 50 тыс. руб. Ка­кую сумму необходимо будет вернуть банку, если при расчете начисленных процентов использовались обыкновенные процен­ты с точным числом дней и год високосный?

1 .2.16. Предприятие обратилось 1 марта в банк за кредитом в 150 тыс. руб., обязуясь вернуть сумму с процентами в конце го­да. Какой способ начисления простых процентов выгоден для предприятия и какой – для банка, если используется процентная ставка 26% годовых и год невисокосный?

1.2.17. Вы получили ссуду 12 февраля на условиях начисления простых процентов. Взятую сумму с процентами необходимо вер­нуть 27 декабря того же года. Во сколько раз вырастет долг при различных способах начисления простых процентов, если приме­няется процентная ставка 32% годовых и год невисокосный?

1.2.18. Вклад в размере 40 тыс. руб. был размещен в банке 12 марта под простую процентную ставку 30% годовых. При востребовании вклада 15 октября того же года вкладчику были начислены проценты в размере 47,134 тыс. руб. Какой способ начисления процентов использовал банк?

1.2.19. За срок ссуды величина обыкновенных процентов (с точным числом дней) составила 6,4 тыс. руб. Определите ве­личину точных процентов при условии, что год невисокосный. Как изменится ответ, если год високосный?

1.2.20. За срок ссуды сумма к погашению составила 86 тыс. руб., причем начислялись обыкновенные проценты с точным числом дней. Определите величину суммы к погашению при начислении точных процентов при условии, что размер ссуды 70 тыс. руб. и год: а) невисокосный; б) високосный.

1.2.21. Какое необходимо время, чтобы 28 тыс. руб., поме­щенные в банк под простую процентную ставку 20% годовых, увеличились на такую же величину, как и 30 тыс. руб., помещен­ные в банк с 16 февраля по 28 июля того же года под простую процентную ставку 25% годовых? На первый капитал начисля­ются обыкновенные проценты с точным числом дней, на второй -обыкновенные проценты с приближенным числом дней.

1.2.22. По депозитному 30-дневному сертификату номина­лом в 10 тыс. руб. начисляются обыкновенные проценты по ставке 25% годовых. Рассчитайте, какой должна быть годовая процентная ставка при начислении точных процентов с услови­ем, чтобы они были равны обыкновенным. Какова величина на­численных процентов? Год високосный.

1.2.23. За какой срок вклад 5 тыс. руб. возрастет до 6 тыс. руб. при начислении процентов по простой процентной ставке 32% годовых?

1.2.24. На какой срок необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под простую процентную ставку 20% годовых, чтобы она увеличилась в 2,5 раза?

1.2.25. На какой срок необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под простую процентную ставку 30% годовых, чтобы начисленные проценты были в 1,8 раза больше первона­чальной суммы?

1.2.26. Предпринимателю через некоторое время понадобит­ся сумма в 25 тыс. руб., между тем он располагает лишь 22 тыс. руб. С целью накопления требуемой суммы предприниматель собирается положить в банк 22 тыс. руб. Предлагаемая банком процентная ставка равна 30% годовых. Какое количество дней необходимо для накопления требуемой суммы, если банк начис­ляет простые проценты, используя в расчетах точные проценты, и год невисокосный?

1.2-27. Заемщик собирается взять в банке кредит в размере 20 тыс. руб. с погашением его суммой, не превышающей 22 тыс. руб. Простая процентная ставка банка по кредитам равна 27% годовых. На какое максимальное количество дней заемщик мо­жет взять кредит, если банк начисляет точные проценты, пола­гая в году 365 дней?

1.2.28. Вкладчик, владея суммой в 20,5 тыс. руб., хочет по­лучить, положив деньги на депозит, через год не менее 27 тыс. руб. Имеет ли смысл ему обратиться в банк, применяющий про­стую процентную ставку 26% годовых? Какая ставка необходи­ма для осуществления намерения вкладчика?

1.2.29. Вкладчик хочет положить на депозит 15 тыс. руб. и за 5 месяцев накопить не менее 18 тыс. руб. Определите требуе­мую простую годовую процентную ставку, на основании кото-рой вкладчик должен выбрать банк для размещения своих средств, если в расчете применяются обыкновенные проценты и приближенное число дней.

1.2.30. Банк за использование в течение четырех месяцев 960 тыс. руб. должен выплатить 70 тыс. руб. Определите стоимость привлеченных средств в виде простой годовой процентной став­ки в условиях начисления обыкновенных процентов.

1.2.31. Вкладчик намеревается положить в банк 8 тыс. руб., чтобы через 200 дней накопить 9,2 тыс. руб. Какова должна быть простая процентная ставка, обеспечивающая такое накоп­ление? Зависит ли величина ставки от способа начисления про­стых процентов?

1.2.32. Банк выдал кредит на 9 месяцев по простой процент­ной ставке 28% годовых, при этом удержав комиссионные в размере 3% от суммы кредита. Определите действительную до­ходность для банка такой кредитной операции в виде годовой простой процентной ставки, если простые проценты начисля­лись на исходную сумму кредита.

1.2.33. Предприниматель получил в банке кредит на 150 дней по процентной ставке 30% годовых, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 1,5% от величины кредита. Найдите доходность такой финансовой операции для банка в виде годовой простой процентной ставки, если банк начисляет простые проценты на исходную сумму кредита, полагая в году 360 дней. Изменится ли величина доходности при выдаче кре­дита на 90 дней?

1.2.34. Выдается ссуда по процентной ставке 40% годовых, при этом взимаются комиссионные в размере 2% от величины ссуды. Простые точные проценты начисляются на исходную величину ссуды, год високосный. На какой срок должна быть выдана ссуда, чтобы доходность такой сделки для кредитора в виде годовой простой процентной ставки составляла 100%?

1.2.35. При выдаче ссуды по процентной ставке 42% годо­вых были удержаны комиссионные в размере 2,5% от величины ссуды. Простые точные проценты начислялись на исходную ве­личину ссуды, год високосный. На какой срок была выдана ссу­да, если доходность такой сделки для кредитора в виде годовой простой процентной ставки составила 64%?

1.2.36. При выдаче банком ссуды на 80 дней по процентной ставке 38% годовых сразу удерживаются комиссионные. Про­стые обыкновенные проценты начисляются на исходную вели­чину ссуды, год невисокосный. Определите, какой процент от величины ссуды составили комиссионные, если доходность та­кой финансовой операции для банка в виде простой годовой процентной ставки оказалась равной 40%.

1.2.37. Банк выдал одному предпринимателю 30 тыс. руб. на 80 дней, затем полученные от него деньги выдал второму пред­принимателю на 60 дней и, наконец, полученную от второго предпринимателя сумму выдал третьему предпринимателю на 160 дней. Все ссуды были выданы под простую процентную ставку 30% годовых, и начислялись обыкновенные проценты. Какую сумму должен вернуть банку третий предприниматель? Определите доходность для банка всей финансовой операции в виде годовой простой процентной ставки.

1.2.38. Банк выдавал кредиты своим четырем клиентам А, В, С и D – следующим образом: клиенту А – на 45 дней под 28% годовых; все деньги, полученные от клиента А, сразу’выдал клиенту В на 120 дней под 33% годовых; всю сумму, получен­ную от клиента В, выдал клиенту С на 100 дней под 32% годо­вых и, получив деньги от клиента С, выдал их клиенту D на 40 дней под 30% годовых. Клиент D в конце срока вернул банку 37 632 руб. Какую сумму получил клиент А, если во всех случа­ях начислялись простые обыкновенные проценты?

1.2.39. Банк выдал клиенту ссуду в размере 20 тыс. руб. 5 ян­варя с условием возврата долга 4 мая. Всю полученную сумму банк в этот же день выдал другому клиенту, который 3 июля вернул в банк 23,1 тыс. руб. В обоих случаях применялась оди­наковая простая процентная ставка и расчет велся способом 365/360 (обыкновенный процент с точным числом дней). Опре­делите эту ставку, если все действия совершались в течение од­ного года, являющегося високосным.

1.2.40. Банк продает депозитные сертификаты на следующих условиях: сертификат сроком на 3 месяца под 40% годовых или на год – под 45% годовых. Какие сертификаты выгоднее приоб­ретать с целью получения в конце года наибольшего дохода, если банк начисляет по вкладам простые обыкновенные проценты? 1.2.41. Банк продает депозитные сертификаты на следующих условиях: сертификат сроком аа 3 месяца под 40% годовых; на 6 месяцев – под 42% годовых; на год – под 45% годовых. Какие сертификаты выгоднее приобретать с целью получения в конце года наибольшего дохода, если банк начисляет по вкладам про­стые обыкновенные проценты?

1.2.42. Какую сумму необходимо положить в банк под про­центную ставку: а) 25% годовых; б) 50% годовых; в) 80% годо­вых, чтобы получать ежегодную ренту в 400 руб., а сумма на счете в банке оставалась бы неизменной?

1.2.43. Какую сумму необходимо положить в банк под про­стую процентную ставку 30% годовых, чтобы получать: а) еже­квартально ренту в 300 руб.; б) ежемесячно ренту в 100 руб., а сумма на счете в банке оставалась бы неизменной?

1.2.44. Банк предоставляет клиенту кредит в размере 8 тыс. руб. под простую процентную ставку 20% годовых. Используя дивизор, найдите доход банка, если срок кредита составляет: а) 40 дней; б) 4 месяца; в) 200 дней. Расчет ведется способом 360/360.

1.2.45. Используя дивизор, вычислите простой процент с ка­питала 4,8 тыс. руб., отданного в долг по ставке 20% годовых на срок с 8 июля по 25 ноября (год невисокосный), если расчет ве­дется способом 365/365 (точный процент с точным числом дней). t

1.2.46. Банк за предоставление кредита с 18 апреля по 10 сен­тября того же года под 24% годовых получил от заемщика в со­вокупности 12 тыс. руб. Используя дивизор, определите доход банка и сумму, полученную заемщиком, если начисленные про­стые проценты были удержаны банком в момент предоставле­ния кредита и использовался способ 365/360. Чему равны были бы искомые величины, если бы применялся способ 360/360?

1.2.47. При открытии сберегательного счета на него 16 января была положена сумма 14 тыс. руб., однако 20 февраля со счета бы­ло снято 8 тыс. руб. Позже, 14 апреля, на счет была добавлена сумма 3 тыс. руб., 16 июня – 2 тыс. руб., а 10 сентября счет был закрыт. Рассчитайте с помощью процентных чисел сумму, полу­ченную владельцем счета, если процентная ставка составляла 20% годовых, начислялись простые проценты способом 365/360 и все операции осуществлялись в течение одного високосного года.

1.2.48. Предприниматель открыл счет в банке, положив на него 20 тыс. руб. Затем 4 июля он добавил 5 тыс. руб. и 20 нояб­ря этого же года счет закрыл, получив 28.2 тыс. руб. Найдите дату открытия счета, если простая процентная ставка составляла 24% годовых и использовался способ 365/360.

1.2.49. Какую сумму необходимо поместить в банк под про­стую процентную ставку 40% годовых, чтобы накопить 26 тыс. руб.: а) за 9 месяцев; б) за 2,5 года; в) за 4 года?

. 1.2.50. Какую сумму необходимо поместить в банк под про­стую процентную ставку 36% годовых, чтобы накопить 12 тыс. руб.: а) за 20 дней; 6) за 70 дней; в) за 300 дней? Рассмотрите отдельно случай начисления обыкновенных процентов и случай начисления точных процентов в високосном году.

1.2.51. Предпринимателю 18 ноября будет нужна сумма в 25 тыс. руб. Какую сумму 10 февраля этого же года он должен положить в банк под простую процентную ставку 34% годовых, если в расчете применяется обыкновенный процент с прибли­женным числом дней?

1.2.52. Предприниматель взял 14 апреля банковский кредит и погасил его 10 августа того же года суммой в 180 тыс. руб. Какой величины был кредит, если процентная ставка по кредитам равна 25% годовых и банк начислял простые проценты способом: а) 365/360; б) 365/365?

1.2.53. Господин N поместил свой капитал в банк под про­центную ставку 30% годовых. Через год он взял из своего капи­тала половину, а затем через 8 месяцев закрыл счет. Величина начисленных процентов за весь период нахождения денег в бан­ке составила 2340 руб. Определите величину капитала, поме­щенного в банк, если банк начисляет простые проценты спосо­бом 360/360.

1.2.54. Клиент поместил в банк свободные денежные средст­ва под процентную ставку 30% годовых. Через 1 год и 8 месяцев клиент закрыл счет, получив 9 тыс. руб. Определите величину наращенной суммы, которая была в конце первого года, если банк начисляет простые проценты способом 360/360. Если бы клиент не закрыл счет, то через какое время он смог бы полу­чить 9,6 тыс. руб.?

1.2.55. Сумма в 30 тыс. руб. помещена в банк под 20% годо­вых на два счета таким образом, чтобы брат и сестра по мере дос­тижения ими возраста 18 лет получили по одинаковой сумме. Определите, сколько получит каждый из них, если в данный мо­мент брату 15 лет 4 месяца и 3 дня, а сестре 14 лет 1 месяц и 20 дней. Каким образом 30 тыс. руб. будут распределены на два счета? Банк начисляет простые проценты, используя в расчетах обыкновенный процент с приближенным числом дней.

1.2.56. Сумма в 50 тыс. руб. помещена в банк под 30% годо­вых на три счета таким образом, чтобы три брата по мере дости­жения ими возраста 18 лет получили по одинаковой сумме. Опре­делите, сколько получит каждый из братьев, если в данный мо­мент старшему брату 16 лет 5 месяцев и 10 дней, среднему брату 12 лет 6 месяцев и 2 дня, а младшему брату 10 лет и 3 месяца. Ка­ким образом 50 тыс. руб. будут распределены на три счета? Банк начисляет простые проценты, используя в расчетах обыкновен­ный процент с приближенным числом дней.

1.2.57. На сумму 200 тыс. руб. начисляются простые процен­ты по процентной ставке 35% годовых. Определите наращенную сумму на конец первого квартала, если ежемесячно проводится операция реинвестирования и начисляются обыкновенные про­центы. Какова была бы наращенная сумма в случае непроведения операции реинвестирования?

1.2.58. Контрактом предусматриваются следующие процент­ные ставки на год: за первый квартал – 30% годовых; за второй квартал – 32% годовых; за третий и четвертый кварталы – 25% годовых. Определите множитель наращения за год, если в тече­ние года начисляются простые проценты. Какой одной простой годовой процентной ставкой можно заменить данные ставки?

1.2.59. За предоставленный на год кредит предусмотрены следующие процентные ставки: за первый квартал – 3% ежеме­сячно; за второй квартал – 3,5% ежемесячно; за третий и четвер­тый кварталы – 2,5% ежемесячно. Определите множитель нара­щения за год, если в течение года начисляются простые процен­ты. Какой одной простой годовой процентной ставкой можно заменить данные ставки?

1.2.60. Контрактом было предусмотрено, что после первого квартала годовая процентная ставка повысится на 3%; после вто­рого – еще на 5% и после третьего квартала – еще на 7%. Множи­тель наращения за год оказался равным 1,365. Определите вели­чину первоначальной годовой процентной ставки, если в течение года начислялись простые проценты.

1.2.61. Заключается финансовое соглашение на 3 года, в ко­тором предусматривается схема начисления простых процентов по следующим годовым процентным ставкам: за первый год — 20%; в каждые следующие два полугодия процентная ставка повышается на 5%; в каждом последующем квартале годовая процентная ставка повышается на 1%. Определите множитель наращения за 3 года.

1.2.62. На некоторую сумму в течение полугода начисляются простые проценты по следующим процентным ставкам: за пер­вые два месяца – 30% годовых; за третий месяц – 32% годовых и за оставшиеся месяцы – 35% годовых. Определите множитель наращения за полгода, если: а) первоначальная сумма, на кото­рую начисляются проценты, не изменяется; б) при каждом из­менении процентной ставки происходит реинвестирование (ка­питализация процентов).

1.2.63. Простая процентная ставка по вкладам до востребо­вания, составляющая в начале года 26% годовых, через квартал была увеличена до 30%, а еще через полгода – до 35% годовых. Определите величину процентов, начисленных за год на вклад 10 тыс. руб. При какой постоянной годовой процентной ставке можно обеспечить такую же величину начисленных простых про­центов?

1.2.64. Вклад 15 тыс. руб. был положен в банк 9 апреля при простой процентной ставке 40% годовых. С 1 июня банк снизил процентную ставку по вкладам до 35% годовых. Вклад был за­крыт 10 августа того же года. Рассчитайте различными возмож­ными способами величину начисленных процентов.

1.2.65. Господин N поместил в банк свободные денежные средства, на которые согласно договору начисляются простые проценты по изменяющейся процентной ставке: за первые че­тыре месяца – 27% годовых, каждый следующий месяц ставка увеличивается на 0,5%. Через год, закрыв счет, господин N по­лучил 64,25 тыс. руб, Определите, какую сумму получил бы господин N, закрыв счет через 9 месяцев.

1.2.66. Вкладчик поместил в банк 35 тыс. руб. на следующих условиях: в первый год процентная ставка равна 28% годовых, каждые следующие полгода ставка повышается на 2%. Найдите наращенную сумму за три года, если начисляются простые про­центы. При какой постоянной процентной ставке можно полу-чить такую же наращенную сумму? Найдите наращенную сумму за три года, если с изменением ставки происходит одновременно и капитализация процентного дохода.

1.2.67. Клиент 4 января положил в банк 5 тыс. руб. и закрыл счет 10 сентября этого же года, являющегося високосным. Ка­кую сумму банк выдал клиенту, если в течение всего срока на­числялись простые проценты способом 365/365 (точные процен­ты с точным числом дней), но процентная ставка менялась: в начале года – 24%, с 1 апреля – 28% и с 1 июня – 32% годовых?

1.2.68. Депозитный сертификат номиналом 60 тыс. руб. с на­числением процентов по простой процентной ставке 35% годо­вых выпущен на один год. По какой цене его можно приобрести за 150 дней до срока погашения, чтобы обеспечить доходность такой финансовой сделки в виде простой процентной ставки 42% годовых? Расчетное количество дней в году равно 365.

Простая учетная ставка

Основные положения

• Банковское (коммерческое) дисконтирование применяется в ситуации предварительного начисления простого процента, например при операции по учету векселя, заключающейся в по­купке банком или другим финансовым учреждением векселя у владельца до наступления срока оплаты по цене, меньшей той суммы, которая должна быть выплачена по векселю в конце срока. Сумма, которую получает векселедержатель при досроч­ном учете векселя, называется дисконтированной величиной векселя. Проценты, удерживаемые банком в свою пользу, часто называют дисконтом.

• Если специальным образом не оговорены условия, вексель, как правило, учитывается по простой учетной ставке и при этом используются обыкновенные проценты.

• Банковское дисконтирование (в отличие от математическо­го) нельзя осуществить во всех ситуациях (например, по доста­точно большой учетной ставке и задолго до срока платежа).

• Математическое дисконтирование выгоднее для векселе­держателя, а банковское дисконтирование – для банка.

• Удержание простых процентов в момент предоставления ссуды можно рассматривать как соглашение между кредитором и должником о том, что наращение будет осуществляться по простой учетной ставке. Аналогичное соображение можно вы­сказать и относительно операции учета векселя.

• При применении наращения на основе простой учетной ставки величина начисляемых процентов с каждым годом уве­личивается, в то время как при наращении капитала на основе простой процентной ставки капитал ежегодно увеличивается на одну и ту же величину. Простая учетная ставка обеспечивает более быстрый рост капитала, чем такая же по величине про­центная ставка.

• Финансовый результат, полученный с помощью простой учетной ставки, можно получить и с помощью эквивалентной ей простой процентной ставки.

• Финансовое соглашение может не только предусматривать постоянную учетную ставку на весь период, но и устанавливать изменяющуюся во времени (переменную) ставку.

Вопросыдля обсуждения

1. Что представляет собой банковское дисконтирование? В ка­ких случаях оно применяется?

2. Какая ставка используется при банковском дисконтировании?

3. Что называется дисконтированной величиной векселя?

4. Как часто называют проценты, удерживаемые банком в свою пользу?

5. Поясните фразу: «Банковское дисконтирование осуществля­ется процентами “со 100″».

6. Что может произойти, если при достаточно большой учетной ставке попытаться учесть вексель задолго до срока платежа?

7. Верно ли, что по простой процентной ставке вексель можно учесть за любое время до срока его погашения?

8. Какая ставка (учетная или процентная) и в каком смысле более жестко отражает временной фактор? 9. Сравните (аналитически и графически) между собой матема­тическое и банковское дисконтирование в случае, когда про­центная и учетная ставки одинаковы по величине.

Ю.Может ли в принципе банк при учете денежных обязательств (в частности, векселей) использовать процентную ставку и математическое дисконтирование?

11.Какого типа дисконтирование (математическое или банков­ское) выгоднее для векселедержателя?

12.В каких ситуациях возникает задача, обратная банковскому дисконтированию?

13.Какие существуют способы наращения капитала простыми процентами?

14.Чем отличается наращение на основе простой учетной ставки от наращения на основе простой процентной ставки?

15.Какая из простых ставок, процентная или учетная, обеспечи­вает более быстрый рост капитала? Поясните аналитически и графически.

16.Можно ли установить связь между операцией учета векселя и наращением по простой учетной ставке?

П.Верно ли, что наращение капитала по простой учетной ставке осуществляется процентами “во 100”?

18.Какие учетная и процентная ставки называются эквивалент­ными?

19.Может ли простая учетная ставка, эквивалентная простой процентной ставке, превышать 100%?

20. Каким образом с помощью понятий наращенной суммы и приведенной стоимости можно интерпретировать соотноше­ние между эквивалентными ставками (учетной и процентной)?

21. Как можно оценить доходность операции учета векселя? 22.Чем отличается декурсивный способ начисления процентов от

антисипативного? 23.В чем заключается суть факторного анализа учета векселя?

§

Пример 1.3.1.В банк 6 мая предъявлен для учета вексель на сумму 14 тыс. руб. со сроком погашения 10 июля того же года. Банк учитывает вексель по учетной ставке 40% годовых, ис­пользуя способ 365/360. Определите сумму, которую получит

векселедержатель от банка, и комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу за предоставленную услугу. За какое вре­мя до срока платежа операция учета векселя по учетной ставке 40% годовых имеет смысл?

Решение.Величина суммы, полученной векселедержателем,

рассчитывается по формуле (19) и при F = 14 тыс. руб., n= Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат года, d = 0,4 составит:

P = 14(1- Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,4)=12,989 тыс. руб.

Дисконт Dd, полученный банком, представляет собой раз­ность между F (номинальной величиной векселя) и Р (дискон­тированной величиной векселя): Dd =14-12,989 = 1,011 тыс. руб.

Учет векселя по учетной ставке d имеет смысл, если п< Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ,

т.е. для данного случая n <2.5 года. Если n = 2,5 года, то Р = 14(1-2,5 0,4) = 0, т.е. владелец векселя вообще ничего не получит. При и > 2,5 сумма Р, которую должен получить при учете векселя его владелец, становится отрицательной, что не может иметь места.

Отметим, что поскольку Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 40% = 7,22%, то комиссионные

360 Dd, полученные банком, представляют собой и 7,22% “во 100”

с 12,989 тыс. руб. Действительно, по формуле (8) получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 1,011 тыс. руб.

Пример 1.3.2.Вексель на сумму 9 тыс. руб. учитывается по простой учетной ставке за 120 дней до погашения с дисконтом 600 руб. впользу банка. Определите величину этой годовой учетной ставки при временной базе, равной 360 дней в году.

Решение.Полагая в формуле (24) F = 9 тыс. руб., F- P = 0,6 тыс.py6. f = 120дней, Т = 360 дней,получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Таким образом, простая учетная ставка составляет 20% го­довых. Для проверки можно определить дисконт в пользу банка (т.е. решаем обратную задачу: по известной учетной ставке оп­ределяем дисконт):

F-P = F Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат d = 9 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб.

Пример 1.3.3. Банк 7 июня учел три векселя со сроками по­гашения в этом же году соответственно 8 августа, 30 августа и 21 сентября. Применяя учетную ставку 25% годовых, банк удержал комиссионные в размере 2750 руб. Определите номи­нальную стоимость первых двух векселей, если номинальная стоимость второго векселя в два раза больше первого и третий вексель предъявлен на сумму 20 тыс. руб.

Решение, По таблице I приложения 2 находим, что первый вексель учтен за 62 дня до срока погашения, второй – за 84 дня и

третий – за 106 дней. Полагая F = 20 тыс. руб., п = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат года,

d = 0,25 , по формуле Dd = Fnd определим комиссионные, удер­жанные банком за согласие учесть третий вексель:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 1,472 тыс. руб.

Таким образом, общий дисконт от учета остальных двух векселей составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб

Обозначим теперь через F номинальную стоимость первого векселя, тогда номинальная стоимость второго векселя равна 2F. Следовательно,

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатКак рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатКак рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Поскольку в сумме эти дисконты доставляют 1,277 тыс оуб то, складывая их, получим уравнение:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

решая которое относительно F, находим

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб

Отсюда получаем и номинальную стоимость второго векселя –

16 тыс. руб.

Пример 1.3.4. Вексель на сумму 18 тыс. руб., выданный 14 мая и сроком погашения 20 ноября этого же года, был учтен в банке 10 октября по учетной ставке 36% годовых способом 365/360. На номинальную стоимость векселя предусматривалось начисление простых процентов по процентной ставке 25% годо­вых способом 365/365. Найдите сумму, полученную векселе­держателем. Провести анализ дохода банка. Год високосный.

Решение. Поскольку на 18 тыс. руб. будут начислены про­стые проценты за 190 дней, то вначале по формуле (10) находим сумму, которая должна быть выплачена предъявителю векселя при его погашении:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс.руб.

Поскольку вексель был учтен за 41 день до срока погашения, то по формуле (19) владелец векселя получит сумму:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 19,502 тыс.руб.

В данном случае можно провести более глубокий анализ процесса учета векселя. Общий доход банка составит величину A = F-P = 20,336-19,502 = 0,834 тыс. руб. Этот доход складыва­ется из двух частей – проценты по векселю, причитающиеся за время, оставшееся до момента погашения векселя, и собственно комиссионные за предоставленную услугу.

Найдем срочную стоимость векселя в момент учета его банком:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 18(1 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,25) = 19,832 тыс. руб.

Теперь можно определить проценты по векселю, состав­ляющие часть дохода банка:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат р = F- Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 20,336-19,832 = 0,504 тыс.руб.

Следовательно, собственно комиссионные, получаемые банком за услугу, оказываемую векселедержателю, составят величину:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,834 – 0,504 = 033 тыс. руб.

Величину Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатс можно было найти и по формуле Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатс = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат – Р. С позиции банка сумма 330 руб. представляет собой плату за возможность более быстрого получения наличных векселедер­жателем. Отметим, что реальные потери векселедержателя со­ставляют именно величину 330 руб., а не 834 руб., как это ка­жется на первый взгляд. Конечно, банк может получить больше 330 руб., увеличивая учетную ставку.

Следует отметить, что если бы учетная ставка была, допус­тим, 30% годовых, а процентная – 40% годовых, то банк оказал­ся бы в проигрыше. Действительно, используя обозначения примера, получим:

F = 18(l Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,4)=21,738 тыс.руб.;

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс.руб.;

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс.руб.;

Поэтому банк потеряет величину:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат р Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = Р- Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =20,995-20,931 =0,064 тыс.руб.

Пример 1.3.5.В банк 15 февраля предъявлен для учета век­сель на сумму 40 тыс. руб. со сроком погашения 30 июня того же года. Банк учитывает вексель по простой процентной ставке 30% годовых. Определите сумму, полученную векселедержате­лем, и величину дисконта банка, если при учете использовался способ 365/365 и год високосный. Каковы будут определяемые величины при учете по простой учетной ставке 30% и использо­вании способа 365/360?

Решение.Если учет производится по простой процентной ставке, то, полагая в формуле (18) F = 40 тыс. руб., n = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат года,

r = 0.3, находим сумму, полученную владельцем векселя:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 35,988 тыс.руб.

Следовательно, дисконт банка составляет:

Dr =40-35,988 = 4,012 тыс.руб.

Если же учет производится по простой учетной ставке, то

пользуемся формулой (19) при F = 40 тыс. руб., n = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат года,

d = 0,3. В этом случае векселедержатель получит:

Р = 40(1 – Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,3) = 35,467 тыс. руб.,

и поэтому дисконт банка составит:

Dd = 40 – 35,467 = 4,533 тыс. руб.

Таким образом, во втором случае векселедержатель получит на 521 руб. меньше, а банк – соответственно на 521 руб. больше.

Заметим, что если бы владелец векселя предъявил в банк вексель за 4 года до срока погашения, а банк учел вексель по простой процентной ставке, то векселедержатель получил бы:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс.руб

т.е. достаточно большую сумму, в то время как учет по простой учетной ставке 30% годовых за 4 года до срока погашения в принципе невозможен, так как для этой ставки верхней грани­цей является 10/3 года.

Обратим внимание и на следующий факт. Поскольку

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 30% = 11.148%, то комиссионные Dr , полученные банком,

представляют собой и 11,148% “на 100” с 40 тыс. руб. Действи­тельно, по формуле (7) получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 4,012 тыс. руб.

Пример 1.3.6. За вексель, учтенный за 5 лет по учетной ставке 14% годовых, заплачено 4 тыс. руб. Определите номи­нальную величину векселя.

Решение. Ситуация, описанная в условии примера, равно­сильна следующей: на сумму 4 тыс. руб. в течение 5 лет осуще­ствляется наращение простыми процентами по простой учетной ставке 14% годовых . Необходимо опреднлить наращенную сумму . Поэтому можно воспользоваться формулой (20) в которой Р=4 тыс.руб., n=5 лет,d=0.14:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 13,333 тыс. руб.,

что и равно номинальной величине векселя.

Если же описанную ситуацию рассматривать с точки зрения процесса наращения, то приращение капитала в 4 тыс. руб. за 5 лет составит величину: Id =13,333-4 = 9,333 тыс. руб. Найдем приращение капитала за каждый год.

За первый год (п = 1) капитал увеличится на величину

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс.руб

За два года (n = 2) капитал увеличится на величину

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб.,

и, следовательно, его приращение за второй год составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 1,556-0,651 = 0,905 тыс.руб.

Аналогичным образом получаем приращения за третий, чет­вертый и пятый годы:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

С целью проверки просуммируем полученные величины Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс.руб т.е как и должно быть получим Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Пример 1.3.7. Найдите учетную ставку, эквивалентную про­стой процентной ставке 30% годовых, при наращении капитала: а) за год; б) за 150 дней. Временные базы ставок одинаковы.

Решение, а) Для расчета воспользуемся формулой (26), где r = 03, n = 1 год:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Таким образом, ученая ставка 23,08% годовых обеспечивает за год такое же наращение простыми процентами, как и про­центная ставка 30% годовых.

б) Здесь возможны три случая, когда в году 360, 365 или 366

дней, т.е. и n = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат года, п = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат года или п = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат года. Пользу-

ясь формулой (26), соответственно получаем:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатКак рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Если бы в слычае а) временные базы были бы неодинаковы , например , для учетнойт ставки -360 дней ,для процентной ставки -365 дней то следовало бы пользоваться формулой (28) где Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =365 дней Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =360 дней и t =150 дней

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Пример 1.3.8. Предприниматель получил 12 марта ссуду в банке по простой учетной ставке 22% годовых и должен возвра­тить 15 августа того же года 30 тыс. руб. Определите различны­ми возможными способами сумму, полученную предпринима­телем, и величину дисконта, если год невисокосный и проценты ., удерживаются банком при выдаче ссуды. Какова будет доход­ность такой операции для банка в виде годовой простой про центной ставки?

Решение. Величина суммы, полученной предпринимателем, зависит от числа дней, которое берется в расчет. Точное число дней ссуды определяется, например, по таблице: 227 – 71 = 156 дней. Приближенное число дней состоит из 18 дней марта (30 -12); 120 дней (по 30 дней четырех месяцев: апрель, май, июнь, июль) и 15 дней августа. Т.е. приближенное число дней состав­ляет 18 120 15 = 153 дня. Теперь с помощью формулы (19) можно рассчитать возможные значения суммы Р, полученной предпринимателем, и величину дисконта Dd.

1. В расчет принимаются точные проценты и точное число дней ссуды:

Р = 30(1 – Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,22) = 27.179 тыс. руб.,

Dd =30-27,179 = 2,821 тыс. руб.

2. В расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число дней ссуды:

Р = 30(1 – Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,22) =27.140 тыс. руб., 360

Dd = 30 – 27,140 = 2,860 тыс. руб.

3. В расчет принимаются обыкновенные проценты и прибли­женное число дней ссуды:

P = 30(1- Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,22)=27Д95 тыс. руб., 360

Dd = 30 – 27,195 = 2,805 тыс. руб.

Для определения доходности для банка такой кредитной операции необходимо учитывать расчетное количество дней в году. Если для учетной и прояентной ставок используется одна и та же временная база, например 365 дней в году, и в расчет принимается точное число дней ссуды, то по формуле (25), по­лагая п = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат года, d = 0,22, находим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Таким образом, процентная ставка r=- 24,28% обеспечивает через 156 дней (считая, что в году 365 дней) получение такой же наращенной величины из начального капитала, что и учетная ставка d = 22%. Действительно,

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 30 тыс. руб.

В предположении, что в году 360 дней для точного ( n = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат )

и приближенного (n = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ) числа дней ссуды, соответственно

получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатКак рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Если временные базы для процентной и учетной ставок раз­ные, то варианты расчета доходности для банка в виде годовой простой процентной ставки рассматриваются аналогичным об­разом. Например, полагая в формуле (27) Тr = 365, Td = 360, при

точном числе дней t= 156 находим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,2466.

Продолжая подобным образом, можно рассчитать г для всех возможных случаев. Конечно, формулу (27) можно было ис­пользовать и в случае одной и той же временной базы для про­центной и учетной ставок.

Пример 1.3.9.В банк предъявлен вексель на сумму 50 тыс. руб. за полтора года до срока его погашения. Банк согласен учесть вексель по переменной простой учетной ставке, установ­ленной следующим образом: первые полгода – 30% годовых, следующие полгода – 36% годовых, затем каждый квартал став­ка повышается на 2%. Определите дисконт банка и сумму, кото­рую получит векселедержатель.

Решение.Так как на первое полугодие установлена учетная ставка 30% годовых, то дисконт за этот период равен 50 * 0,5 * 03 тыс. руб. Дисконт за второе полугодие – 50 *0.5*0,36 тыс. руб. По­скольку на последующие кварталы установлены учетные ставки36% 2% = 38% и 38% 2% = 40% годовых, то дисконты равны соот­ветственно 50*0.25*0.38 тьтс.руб.и 50*0,25*0,4 тыс. руб.

Суммируя полученные величины, находим дисконт Dj за полтора года:

Dd =50(0.5*0.3 0.5*0.36 0.25*0.38 0.25*0.4) = 26.25 тыс. руб.

Следовательно, владелец векселя получит 50 – 26,25 = 23,75 тыс. руб.

Такой же дисконт Dd = 26,25 тыс. руб. можно было получить,

и установив на полтора года постоянную простую учетную ставку

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

т.е. d= 35% годовых.

Пример 1.3.10.При учете предъявленного векселя на сумму 30 тыс. руб. за 40 дней до срока его погашения доход банка со­ставил 1,5 тыс. руб. Определите доходность этой финансовой операции для банка в виде простой годовой процентной ставки при расчетном количестве дней в году, равном 360.

Решение.Вначале находим сумму, выплаченную предъяви­телю векселя: Р = 30 -1,5 = 28,5 тыс. руб. Затем, полагая F – Р = 1,5 тыс. руб., t = 40 дней, Т = 360 дней, по формуле (23) получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 360 = 0,4737, или 47,37%.

Решим этот пример другим способом, согласно которому вначале находим по формуле (24) простую годовую учетную ставку, по которой осуществлялся учет векселя:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

И после этого по формуле (27) определяем эквивалентную простую процентную ставку:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Естественно, получили тот же результат.

Пример 1.3.11. Депозитный сертификат дисконтного типа номиналом 300 тыс. руб. куплен за 100 дней до его погашения по цене, определяемой простой учетной ставкой 30% годовых, и через 40 дней продан по цене, определяемой простой учетной ставкой 28% годовых. Найдите доходность такой финансовой операции в виде простой годовой процентной ставки при расчет­ном количестве дней в году, равном 360. Какова будет доход­ность, если владелец сертификата продержит его до погашения?

Решение. Доход от приобретения депозитного сертификата дисконтного типа определяется тем, что он продается по цене ниже номинала, а погашается по номиналу. Также владелец та­кого сертификата может получить доход, продав сертификат до

даты его погашения.

Цену покупки депозитного сертификата находим по форму­ле (19) при F = 300 тыс. руб., t = 100 дней, T= 360 дней, d = 0,3 :

300(1 – Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,3) =274,882 тыс.руб.

Поскольку позже депозитный сертификат был продан за 60 дней до срока погашения, то его цена продажи составила (t = 60 дней, d=02H):

300(l- Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,28) = 286 тыс.руб.

Доходность такой операции кушш-продажи определяем по формуле (23), где P= 274,882 тыс. руб., F = 286 тыс. руб., t = 40 дней, T = 360 дней:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат или 36,40% годовых.

Следует заметить, что найденная доходность по существу не зависит от величины номинала данного депозитного сертифика­та, а зависит от размеров учетных ставок и сроков от момента покупки и продажи до момента погашения сертификата. Это хорошо видно при решении аналогичного примера в общем ви­де. Кстати, и этот пример можно было решать, полагая величину номинала депозитного сертификата произвольной величиной F, которая при нахождении доходности просто сократится. Если же сертификат не будет продан до срока погашения, то в этом случае доходность будет равна простой процентной став­ке, обеспечивающей через 100 дней получение такой же нара­щенной величины из начального капитала, что и учетная ставка ЗО% годовых, т.е. надо воспользоваться формулой (25):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 03273, или 32,73% годовых.

Пример 1.3.12. Вексель учитывается банком за 120 дней до срока его погашения по простой учетной ставке 39% годовых. Определите доходность для банка такой финансовой операции в виде простой годовой процентной ставки, если: а) комиссион­ные не удерживаются; 6) удерживаются комиссионные в разме­ре 1% от суммы, выплачиваемой за вексель. Расчетное число дней в году принимается равным 360.

Решение, а) Пусть предъявлен вексель на некоторую сумму

120 F, тогда доход банка составит: F Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0.39 = 0.13F, а предьявитель векселя получит сумму F~0,13F = 0,87F. Следовательно, по формуле (23) доходность для банка будет:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 360 = 0,4483,т.е.44,83%.

Очевидно, можно было и сразу применить формулу (27) при

Tr = Td = 360:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

б) Так как сумма, выплачиваемая за вексель, равна O.87.F, то величину удержанных комиссионных определяем, взяв от этой суммы 1%: 0,87F* 0,01 = 0,0087F. Предъявитель векселя получит величину 0.87F – 0.0087F = 0.8613.F. Следовательно, общий доход банка составит: F-0,8613F = 0.1387F Теперь по формуле (23) можно определить доходность учета векселя для банка в виде простой годовой процентной ставки:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат т.е 48.31%

Таким образом, взимание комиссионных повышает доход-

ность учета для банка.

Задачи

1.3.1. Векселедержатель 20 февраля предъявил для учета вексель со сроком погашения 28 марта того же года. Банк учел вексель по учетной ставке 35% годовых и выплатил клиенту 19,3 тыс. руб. Какой величины комиссионные удержаны банком в свою пользу, если год невисокосный?

1.3.2. Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 60 тыс. руб. со сроком погашения 21 октября текущего года. Вексель предъявлен 3 октября. Банк согласился учесть вексель с дисконтом в 26% годовых. Определите сумму, кото­рую векселедержатель получит от банка, и величину комисси­онных, удерживаемых банком в свою пользу за предоставлен­ную услугу. За какое время до срока платежа операция учета векселя по учетной ставке 26% имеет смысл?

1.3.3. Банк 9 июня учел два векселя со сроками погашения соответственно 29 июня и 23 июля того же года. Применяя учетную ставку 30% годовых, банк выплатил клиентам в общей сложности 34 216 руб. Определите номинальную стоимость первого векселя, если второй вексель предъявлен на сумму 10 тыс. руб.

1.3.4. Вексель на сумму 15 тыс. руб., выданный 3 апреля со сроком погашения 10 августа, был учтен в банке 11 июля по учетной ставке 26% годовых способом 365/360. На номиналь­ную стоимость векселя предусматривалось начисление простых процентов по процентной ставке 32% годовых способом 365/365. Найдите сумму, полученную векселедержателем.

1.3.5. Предприятие продало товар на условиях потребитель­ского кредита с оформлением простого векселя: его номиналь­ная стоимость – 1,8 млн. руб., срок векселя – 90 дней, простая процентная ставка за предоставленный кредит – 20% годовых. Через 60 дней с момента оформления векселя предприятие ре­шило учесть вексель в банке; предложенная банком простая го-довая учетная ставка составляет: а) 18%; 6) 25%. Рассчитайте сумму, получаемую предприятием, и комиссионные, получае­мые банком, если начисляются обыкновенные проценты.

1.3.6. Какой величины прибыль получит банк в результате учета 5 февраля по простой учетной ставке 30% годовых трех векселей, каждый из которых на сумму 15 тыс. руб., а сроки их погашения – 5 мая, 7 июня и 1 августа того же високосного года?

1.3.7. Вексель на сумму 80 тыс. руб. предъявлен в банке за 120 дней до срока его погашение. Банк учитывает вексель по простой процентной ставке 32% годовых. Определите дисконт, полученный банком, если при учете полагалось, что в году 360 дней. Какова была бы величина дисконта, если бы банк исполь­зовал простую учетную ставку 32% годовых?

1.3.8. В банк 13 июля предъявлен для учета вексель, выдан­ный 4 мая того же года и со сроком погашения 1 сентября, при­чем на номинальную стоимость векселя предусматривалось на­числение простых процентов по процентной ставке 35% годо­вых способом 365/365. Банк для определения своих комиссион­ных при учете векселя применяет простую процентную ставку 40% годовых и способ 365/360. Определите номинальную стои­мость векселя, если величина общего дохода банка составила 3521 руб.

1.3.9. Банк за 20 дней до срока учел вексель на сумму 40 тыс. руб., при этом удержав комиссионные в размере 800 руб. Какую учетную ставку использовал банк, еслн считается, что в году 360 дней? Как изменится результат, если банк при учете векселя ис­пользует простую процентную ставку?

1.3.10. Векселедержатель собирается предъявить какому-либо банку для учета вексель на сумму 50 тыс. руб. за 45 дней до срока его погашения. Один баше предлагает учесть вексель по учетной ставке 30% годовых. Другой банк предлагает учесть вексель по простой процентной ставке 30% годовых. Чьи усло­вия выгоднее для векселедержателя?

1.3.11. В банк предлагаются для учета два векселя: на сумму 30 тыс. руб. со сроком погашения через 2 месяца и на сумму 34 тыс. руб. со сроком погашения через 8 месяцев. При какой: а) учетной ставке, б) процентной ставке банк при учете этих век-

• селей выплатит одинаковые суммы, если расчетное число дней в году равно 360?

1.3.12. За вексель, учтенный за полтора года до срока по простой учетной ставке в 12%, заплачено 4,5 тыс. руб. Опреде­лите номинальную величину векселя.

1.3.13. Банк за 200 дней до срока учел вексель по учетной ставке 28% годовых и в тот же день продал этот вексель друго­му банку, который учел вексель по процентной ставке, также равной 28% годовых. В результате такой операции первый банк получил доход в 1,5 тыс. руб. Определите номинальную стои­мость векселя, если при любом учете предполагалось, что в году 360 дней.

1.3.14. Предприниматель разделил свой капитал на две рав­ные части, одну из них он поместил в банк под простую про­центную ставку 30% годовых, а другую часть потратил на по­купку векселя со сроком погашения через 250 дней, при этом он учел вексель по простой учетной ставке, также равной 30% го­довых. Через 250 дней деньги, полученные предпринимателем но векселю, превышали сумму, образовавшуюся к этому сроку в банке, на 572 руб. Какова была величина первоначального капи­тала предпринимателя, если во всех расчетах предполагалось, что в году 360 дней?

1.3.15. Дисконтный сертификат, выданный на 90 дней, обес­печивает держателю доход в виде дисконта, равного 18% от ве­личины номинала. Определите размер простой годовой учетной ставки, доставляющей такой же доход при наращении, если в году: а) 360 дней; б) 366 дней.

1.3.16. Предприниматель хочет получить ссуду в 50 тыс. руб. на полгода. Банк согласился предоставить ссуду на условиях начисления простых процентов по учетной ставке 24% годовых. Какую сумму предприниматель будет должен банку?

1.3.17. Банк выдал предпринимателю ссуду на полгода по простой учетной ставке 20% годовых, удержав проценты при выдаче ссуды. Определите сумму, полученную предпринимате­лем, и величину дисконта, если предприниматель должен воз­вратить 30 тыс. руб.

1.3.18. Клиент получил 14 апреля ссуду в банке по простой учетной ставке 25% годовых и должен возвратить 20 ноября того же года 10 тыс. руб. Определите различными возможными способами сумму, полученную клиентом, и величину дисконта, если год невисокосный и проценты удерживаются банком при выдаче ссуды. 1.3Л9. Клиент получил 10 февраля ссуду в банке по простой учетной ставке 30% годовых н должен возвратить весь долг 27 мая того же года. Какова будет доходность такой операции для банка в виде годовой простой процентной ставки, если год високосный и: а) временная база для учетной и процентной ставок одна и та же и равна числу дней в году; б) для учетной ставки временная база равна 360 дней, а для процентной ставки – 3 66 дней?

1.3.20. На капитал в 10 тыс. руб. в течение 4 лет осуществля­ется наращение простыми процентами по учетной ставке 12% годовых. Найдите приращение первоначального капитала за ка­ждый год и общую наращенную сумму.

1.3.21. Предприниматель получил в банке кредит на 60 дней по учетной ставке 30% годовых, при этом банком были удержа­ны комиссионные в размере 2% от величины кредита. Найдите доходность такой финансовой операции для балка в виде годо­вой простой процентной ставки, если банк начисляет простые проценты на исходную сумму кредита, полагая в году 360 дней. Как изменится доходность при выдаче кредита на 30 дней и на 90 дней?

1.3.22. На какой срок необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под простую процентную ставку 34% годовых, чтобы она увеличилась в 1,5 раза? Как изменится ответ, если наращение осуществляется по простой учетной ставке 34% го­довых?

1.3.23. На какой срок необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под простую процентную ставку 40% годовых, чтобы начисленные проценты были в 1,2 раза больше первона­чальной суммы? Как изменится ответ, если наращение осущест­вляется по простой учетной ставке 40% годовых?

1.3.24. Найдите простую учетную ставку, эквивалентную простой процентной ставке 20% годовых, при наращении капи­тала за невисокосный год. Рассмотрите случаи одинаковых и разных временных баз.

1.3.25. Депозитный сертификат дисконтного типа сроком на 45 дней продается по цене, определяемой простой учетной став­кой 32% годовых и расчетным количеством дней в году, равным 360. Определите эквивалентное значение простой годовой про­центной ставки, определяющей стоимость привлеченных средств банка, при расчетном количестве дней в году, равном 365.

1.3.26. Депозитный сертификат дисконтного типа номина­лом 400 тыс. руб. куплен за 150 дней до его погашения по цене, определяемой простой учетной ставкой 34% годовых, и через 90 дней продан по цене, определяемой простой учетной ставкой 30% годовых. Найдите доходность такой финансовой операции в виде простой годовой процентной ставки при расчетном коли­честве дней в году, равном 360. Какова будет доходность, если владелец сертификата продержит его до погашения? Влияет ли на доходность величина номинала этого сертификата?

1.3.27. Какая простая процентная ставка при учете векселя (по формуле математического дисконтирования) за 60 дней до срока погашения эквивалентна учетной ставке при коммерче­ском учете, если учетная ставка равна: а) 10%, б) 20%, в) 50% годовых? Временные базы при использовании ставок одинаковы и равны 360 дней.

1.3.28. Банк учитывает вексель за 180 дней до срока по учет­ной ставке 34% годовых, используя временную базу в 360 дней. Определите доходность такой операции в виде простой годовой процентной ставки при временной базе, равной 365.

1.3.29. При учете предъявленного векселя на сумму 150 тыс. руб. за 200 дней до срока его погашения доход банка составил 24 тыс. руб. Определите: а) доходность этой финансовой опера­ции для банка в виде простой годовой процентной ставки; б) по какой простой учетной ставке был учтен вексель. Расчетное число дней в году принимается равным 360.

1.3.30. Вексель на сумму 50 тыс. руб., выданный 1 июня и сроком погашения 1 сентября того же года, был учтен в банке 2 августа по учетной ставке 32% годовых. На номинальную стоимость векселя предусматривалось начисление простых процентов по процентной ставке 30% годовых. Определите в виде простой годовой процентной ставки доходность этой финансовой операции для предъявителя векселя и для банка, если и яри учете, и при наращении берутся в расчет точные проценты с точным числом дней и год невисокосный. Зависит ли величина доходности от суммы, написанной на векселе? Зависит ли величина доходности финансовой операции для банка от процентной ставки, по которой начисляются простые проценты? 1.3.31. В банк предъявлен вексель за 280 дней до срока пла­тежа. Какова должна быть простая годовая учетная ставка, ис­пользуемая банком, чтобы доходность операции учета в виде простой процентной ставки составляла 40% годовых? Расчетное количество дней в году равно 360.

1.3.32. Банк использует при выдаче кредитов простую про­центную ставку 45% годовых для расчетного количества дней в году, равном 365. За 70 дней до срока погашения в банк предъ­явлен вексель. Какую простую учетную ставку должен исполь­зовать банк, полагая в году 360 дней, чтобы обеспечить равенст­во доходностеЙ операции учета и кредитных операций?

1.3.33. Вексель учитывается банком за 80 дней до срока его погашения по простой учетной ставке 35% годовых. Определите доходность для банка такой финансовой операции в виде про­стой годовой процентной ставки, если: а) комиссионные не удерживаются; б) удерживаются комиссионные в размере 2% от суммы, выплачиваемой за вексель. Расчетное число дней в году принимается равным 360.

1.3.34. Вексель, до срока оплаты которого осталось 140 дней, учтен в банке по простой учетной ставке 38% годовых при рас­четном количестве дней в году, равном 360. Доходность опера­ции учета в виде простой годовой процентной ставки составила: а) 44,59%; б) 45,33%. Определите, какое при этом принималось расчетное количество дней в году.

1.3.35. На сумму 20 тыс. руб. начисляются с начала года простые проценты по учетной ставке 30% годовых. Определите наращенную сумму на конец первого квартала, если ежемесячно проводится операция реинвестирования, начисляются точные проценты с точным числом дней и год високосный. Какова была бы наращенная сумма в случае непроведения операции реинве­стирования?

1.3.36. В банк предъявлен вексель на сумму 80 тыс. руб. за полгода до срока его погашения. Банк согласен учесть вексель по переменной простой учетной ставке, установленной следую­щим образом: первые два месяца – 24% годовых и затем в каж­дом следующем месяце ставка повышается на 1,5%. Определите дисконт банка и сумму, которую получит векселедержатель. Можно ли воспользоваться постоянной учетной ставкой, дос­тавляющей такой же дисконт?

1.3.37. За какое время до срока погашения необходимо предъявить для учета вексель на сумму 1000 руб., чтобы резуль­таты учета по простой процентной ставке 30% годовых и по простой учетной ставке 30% годовых отличались меньше чем на одну копейку? Временные базы при использовании ставок оди­наковые.

§

Основные положения

• Потребительским (или личным) кредитом называется кре­дит, который предоставляет банк, финансовая компания или розничный торговец отдельному индивидууму на потребитель­ские цели.

• Один из способов погашения потребительского кредита предусматривает начисление процентов на всю сумму кредита и присоединениелх к основному долгу в момент открытия креди­та, причем погашение долга с процентами (наращенной суммы) происходит равными величинами в течение всего срока кредита.

• При погашении потребительского кредита равными плате­жами для определения доли каждой выплаты, идущей на пога­шение основного долга, и доли этой же выплаты, идущей на по~ гашение начисленных процентов, пользуются “правилом 78”.

• Для должника более приемлемым является способ погаше­ния кредита, учитывающий, что долг не является постоянной величиной, а с течением времени уменьшается. В этом случае процентные платежи за пользование потребительским кредитом рассчитываются каждый раз на оставшуюся часть долга. Сам же основной долг выплачивается равными суммами.

• Существуют различные варианты выплаты долга, оговариваемые контрактом. Например, в случае невыплаты заемщиком

вовремя всего долга может быть предусмотрена возможность частичного погашения долга и продления срока кредита. Если превышен срок погашения кредита, то устанавливается так на-зываемая штрафная (более высокая) процентная ставка, по кото­рой заемщик и рассчитывается с кредитором за весь период про­срочки.

• Амортизация представляет собой постепенное снижение ценности основных фондов вследствие их изнашивания, а также постепенное перенесение стоимости основных фондов на выра­батываемую продукцию с целью накопления средств для их об­новления. Суммы, на которые уменьшается стоимость основных фондов, образуют амортизационные отчисления,

• В практической деятельности устанавливают нормативные сроки службы и единые нормы амортизации. Они корректиру­ются с учетом фактических условий работы, естественных усло­вий, влияния агрессивной среды.

• С помощью выбора способа расчета амортизационных от­числений можно управлять размером прибыли до годам, а сле­довательно, и размером’ налогов на прибыль. Возможны различ­ные схемы амортизационных отчислений. Наиболее распро­страненными являются схема равномерной амортизации и схема ускоренной амортизации.

• Согласно схеме равномерной амортизации сумма годовых амортизационных отчислений определяется делением первона­чальной стоимости, уменьшенной на величину предполагаемой ликвидационной стоимости, на экономически обоснованную про­должительность (в годах) периода эксплуатации данного актива.

• Во многих ситуациях целесообразно применять ускорен­ную схему амортизации (например, стимулируя замену старею­щего оборудования). Для этого, например, можно руководство­ваться таким способом расчета уменьшения стоимости имуще­ства, который использует дроби, получающиеся в результате применения “правила 78”.

Вопросы для обсуждения

1. Какой кредит называется потребительским? Приведите при­меры.

2. Какие способы погашения потребительского кредита Вы знаете?

3. При каком способе погашения кредита фактическая про­центная ставка оказывается больше ставки, предусмотрен­ной при оформлении кредита? Почему так происходит?

4. Что называется стоимостью кредита?

5. В чем заключается “правило 78” и для каких целей оно служит?

6. Что послужило названием “правила 78″1

7. Какие еще схемы выплат общей суммы процентов в течение периода кредитования Вы можете предложить?

8. Соответствует ли логике ссудозаемвых операций схема с убывающей величиной процентного платежа?

9. Какие ситуации можно предусмотреть с помощью “правила 75”?

10. Почему банки заинтересованы в том, чтобы должник пога­шал сумму долга частями в течение данного ему срока, а не в конце его?

11. Почему способ погашения, учитывающий, что долг с тече­нием времени уменьшается, выгоден клиенту, взявшему кредит?

12. Что собой представляет кредит под залог материальных ценностей?

13. Какие проценты используют, как правило, при расчетах, связанных с обслуживанием кредита под залог материаль­ных ценностей?

14. Что такое амортизация?

15. Что такое амортизационные отчисления?

16. На что влияет выбор схемы амортизационных отчислений?

17. Что собой представляет равномерная амортизация?

18. Почему целесообразно применять схему ускоренной амор­тизации?

19. Приведите пример схемы ускоренной амортизации.

§

Пример 1.4.1.Покупатель приобрел телевизор стоимостью 3,6 тыс. руб. При этом он сразу уплатил 25% стоимости телеви­зора, а на остальную сумму получил кредит на б месяцев под простую процентную ставку 20% годовых. Кредит погашается ежемесячными платежами. 1. Составьте план погашения кредита с помощью “правила 78”, если проценты начисляются на всю сумму кредита и при­соединяются к основному долгу в момент открытия кредита, причем погашение долга с процентами происходит равными ве­личинами в течение всего срока кредита.

2. Составьте план погашения кредита с учетом, что долг с течением времени уменьшается и процентные платежи за поль­зование потребительским кредитом рассчитываются каждый раз на оставшуюся часть долга. Сам же основной долг выплачивает­ся равными суммами.

Решение. Поскольку покупатель сразу уплатил 3,6 * 0,25 = = 0,9 тыс. руб., то он получил кредит в размере 3,6 – 0,9 = = 2,7 тыс. руб.

1. Наращенную сумму долга за 6 месяцев (0,5 года) находим по формуле наращения простыми процентами (10):

F = 2,7(1 0,5 * 0,2) = 2,97 тыс. руб.

Определяем величину начисленных процентов: I = 2,97 – 2,7 = ~ 0,27 тыс. руб.

Так как всего 6 погасительных платежей, то величина каж­дого из них составит;

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =0,495тыс. руб.

Составим план выплат с помощью “правила 78”. Находим сум­му порядковых номеров всех платежей: 1 2 3 4 5 6 = 21. Согласно “правилу 78” часть первого погасительного платежа пойдет на выплату Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат от общей начисленной величины процентов

(т.е. Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат )> а оставшаяся часть погасительного платежа (а- Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат I)

пойдет в счет выплаты основного долга. Часть второго погасительного платежа пойдет на выплату Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат от общей начисленной

величины процентов (т.е. Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат I), а оставшаяся часть платежа (а- Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат I) пойдет в счет выплаты основного долга. Для третьего платежа надо взять дробь Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат и т.д.

Таким образом, из первого погасительного платежа в счет уплаты процентов пойдет 0,27 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,077 тыс. руб. Следователь­но, в первом месяце часть основного долга погашается в размере 0,495-0,077 = 0,418 тыс. руб. На начало следующего месяца полу­чим остаток основного долга, равный 2,7 – 0,418 = 2,282 тыс. руб.

Во втором месяце в счет уплаты процентов пойдет Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат от общей суммы начисленных процентов, что составляет 0,27- Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,064 тыс. руб., а часть основного долга погашается в

размере 0,495-0,064 = 0,431 тыс. руб. На начало третьего месяца получим остаток основного долга, равный 2.282-0,431 = 1,851 тыс. руб. и т.д. Для наглядности результаты всех расчетов пред­ставим в виде таблицы.

План погашения кредита

Номер месяца Остаток основного долга на нача­ло месяца, тыс. руб. Дроби Погашение общей величины начисленных процентов, тыс. руб. Погашение основного
долга, тыс. руб.
2,7 6/21 0,077 0,418 ~*
2,282 5/21 0,064 0,431
1,851 4/21 0,051 0,444
1,407 3/21 0,039 0,456
0,951 2/21 0,026 0,469
0,482 1/21 0,013 0,482
ъ     0,27 2,7

Последняя строка таблицы служит для контроля произве­денных расчетов: сумма всех чисел, стоящих в строчках четвер­того столбца, должна равняться общей величине начисленных процентов (называемой стоимостью кредита), а аналогичная сумма для пятого столбца – основному долгу. Кроме того, для каждого месяца сумма соответствующих строчек четвертого и пятого столбцов постоянна и равна величине погасительного платежа – 0,495 тыс. руб. С помощью “правила 78” заемщик также может приблизи­тельно узнать, какую сумму в счет оплаты процентов ему не придется отдавать в случае возврата кредита раньше срока (ес­ли, конечно, такая ситуация предусмотрена в договоре). Пусть в нашем примере после двух погасительных платежей было при­нято решение возвратить кредит. Начиная с единицы, нумеруем оставшиеся четыре планируемых платежа и находим сумму их новых порядковых номеров: 3 2 3 4 = 10. Тогда Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат общей величины начисленных процентов не придется выплачивать, что в данном примере составит 0,27 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0.129 тыс. руб.

Очевидно, что в кредитном договоре могут предусматри­ваться любые схемы весовых коэффициентов в распределении общей суммы процентов в течение периода кредитования. На­пример, при составлении плана погашения кредита можно взять последовательность равных дробей (конечно, в сумме дающих единицу). В данном случае каждая дробь будет равна Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , и по­этому каждый раз в счет уплаты процентов пойдет величина Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,045 тыс. руб., и каждый раз часть основного долга погашается в размере 0,45 – 0,045 = 0,405 тыс. руб. Таким образом, получаем равномерное распределение выплат процентов и вы­плат основного долга.

2. При втором способе погашения кредита учитывается, что долг не является постоянной величиной, а с течением времени уменьшается и процентные платежи за пользование потреби­тельским кредитом рассчитываются каждый раз на оставшуюся часть долга. Сам же долг выплачивается равными суммами.

Как и в первом способе, ежемесячные погасительные плате­жи представляют собой сумму выплаты части основного долга и процентного платежа для данного месяца.

Каждый месяц выплачивается часть основного долга, равная

R = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,45 тыс. руб., или 450 руб.

Процентные платежи для каждого месяца найдем с учетом постепенного уменьшения величины долга. За первый месяц начисляются проценты в размере

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,045 тыс. руб., или 45 руб. 1 второй месяц начисляются проценты на остаток долга:

Читайте также:  Вклады в банках Канска до 12% в 2022 – открыть выгодный депозит для физ.лиц под высокий процент

1г = (2,7 -0,45) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 11Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,0375 руб., или 37,5 руб.

Аналогичным образом для третьего платежа получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат руб или 30руб.,

и т.д. Фактически при вычислении процентных платежей мы величину первого процентного платежа умножаем последова-

тельно на дроби Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат Таким образом: Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =45 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 22,5 руб.,

I5=45 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 15 руб., I6=45 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 7,5 руб. Следовательно, общая величина процентного платежа (стоимость кредита): I = 45 37,5 30 22,5 15 7,5 =157,5 руб.,

что можно получить и пользуясь формулой (17). Действительно, полагая Р = 2700 руб., к = 6, n = 0,5 и r = 0,2, получим:

I=2700*0,5*0,2 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 157,5 руб.

Для наглядности представим план погашения кредита в таб­личном виде.

(руб.)

Заметим, что, как и в предыдущей таблице, последняя строка служит для контроля правильности расчетов.

Видно, что при данной схеме погасительных платежей об­щая величина выплат меньше на 112,5 руб. по сравнению со способом погашения кредита, изложенным ранее.

Если же выплачивать кредит равными долями, то каждый погасительный платеж равен:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 476,25 руб.

Заметим, что при изложенном способе погашения кредита можно считать, что первоначальная величина долга остается постоянной, но каждый месяц меняется процентная ставка. Так, если в первый месяц она равнялась 20% годовых, то во втором

месяце- 20% Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 16,67%, в третьем – 20% Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 13,33% ит.д.

Пример 1.4.2.Банк предоставил господину N кредит с 4 марта по 16 июля того же года под залог ста пятидесяти ценных бумаг. Курсовая стоимость каждой ценной бумаги на день вы­дачи кредита составляет 400 руб. Кредит предоставлен под про­центную ставку 30% годовых, и его сумма составляет 75% вели­чины залога. Затраты банка на обслуживание долга в размере 1% от номинальной суммы кредита были удержаны вместе с начисленными процентами в момент предоставления кредита. Господин N 16 июля выплатил банку только 25 тыс. руб. Банк согласился на продление погашения кредита до 16 августа под 36% годовых, не взимая сразу при этом начисленные проценты на остаток долга. Найдите величину креднта, полученного гос­подином N, и определите, какую сумму господин N должен бу­дет выплатить банку 16 августа.

Решение.При расчетах, связанных с обслуживанием креди­та под залог материальных ценностей, используют обыкновен­ные проценты с точным числом дней.

Вначале определяем курсовую стоимость всех ценных бумаг:

400 150 = 60 000 руб.

Следовательно, номинальная величина кредита составляет:

60 000 0,75 =45 000 руб.

Так как с 4 марта по 16 июля – 134 дня, то по формуле (12) вычисляем процентный платеж за кредит:

45 000 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0.3 = 5025 руб.,

который, естественно, можно было найти и пользуясь формулой I = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , определив вначале значение дивизора D’ = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 1200 и

полагая t=134 дня. Затраты банка на обслуживание долга со­ставят:

45 000 *0,01 = 450 руб.

Банк предварительно взыскивает процентный платеж и оп­лату за обслуживание долга, поэтому клиент получил кредит в размере:

45 000 – 5025 – 450 = 39 525 руб.

Видно, что господин N получил “на руки” меньшую сумму, чем номинальная величина кредита.

На 16 июля остаток долга составит: 45 000 – 25 000 = 20 000 тыс. руб. Определяем процентный платеж за 31 просроченный день:

20000 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 036 = 620 руб.

Таким образом, господин N 16 августа должен будет отдать

банку:

20000 620 = 20 620 руб.

Пример 1.4.3.Предпринимателю необходима сумма а 100 тыс. руб. на 3 месяца. Банк предоставил ему кредит в размере 80% от стоимости залога под 24% годовых и за обслуживание долга взы­скал 1% от номинальной суммы кредита. Определите величину залога, если кредит взят 1 февраля и год невисокосный.

Решение.Обозначим через Р величину залога. Поскольку номинальная величина кредита равна 100 тыс. руб., плата за об­служивание долга равна 100-0,01 = 1 тыс. руб., то Р равняется сумме 101 тыс. руб. (100 тыс. руб. 1 тыс. руб.) и процентного платежа. Кредит выдается на 89 дней. Величину процентного платежа можно получить, вычисляя проценты “во 100” с помощью одного из соотношений форму­лы (14). В данном случае, так как срок финансовой операции выражен в днях, воспользуемся соотношением, содержащим дивизор. Последовательно определяем дивизор Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

процентный платеж:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 6371 тыс. руб.

Следовательно, Р = 101 6,371 = 107,371 тыс. руб. Поэтому стоимость материальных ценностей, отдаваемых в залог, должна быть равна величине:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 134,214 тыс. руб.

Заметим, что данный пример (как, впрочем, и другие) можно решить с помощью алгебраического уравнения. Обозначим че­рез х стоимость залога, тогда 0,8x- номинальная величина кредита. Пользуясь условием примера, составляем уравнение:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

решая которое находим х = 134,213 тыс. руб.

Отличие полученных результатов на 1 руб. объясняется при­нятой в данном примере точностью вычисления, увеличивая ко­торую можно, в частности, получить при решении первым спосо­бом 134,21331 тыс. руб., при решении вторым способом -134,21332 тыс. руб., т.е. разница между значениями составляет 1 коп.

Пример 1.4.4.Предприятие приобрело универсальный ста’ нок за 320 тыс. руб. Срок службы станка – 8 лет, после чего он реализуется по остаточной стоимости 50 тыс. руб. Составьте таблицу уменьшения стоимости станка по годам. Рассмотрите два случая: а) уменьшение стоимости станка происходит равно* мерно; б) уменьшение стоимости станка происходит в соответ­ствии с “правилам 78”.

Решение,а) Срок службы станка составляет n = 8 лет. Обо­значим Р первоначальную стоимость станка, Рп — остаточную стоимость станка через и лети Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = Р-Рn. Полагая Р = 320 тыс.

руб., Рn = Р8 = 50 тыс. руб., получим Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 320 – 50 = 270 тыс. руб. При осуществлении схемы равномерной амортизации стоимость уменьшается ежегодно на одну и ту же величину Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 33,75 тыс. руб. и таблица принимает вид:

Год службы Амортизационные отчисления за год, тыс. руб. Стоимость на конец года, тыс. руб.
33,75 286,25
33,75 252,5
33,75 218,75
33,75
33,75 151,25
33,75 117,5
33,75 83,75
S 33,75

Остаточные стоимости, представленные в таблице, образу­ют арифметическую прогрессию с первым членом 320 и разно­стью-33,75.

б) Рассмотрим теперь схему ускоренной амортизации в со­ответствии с “правилом 78”. Обозначим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Суть зтой схемы заключается в следующем: в конце первого

года стоимость имущества уменьшается на Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат -ю часть величины Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ; в конце второго года – на Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат -ю часть величины Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

в конце третьего года – на Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат -ю часть величины Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат и т.д. до

n -го года, в конце которого стоимость имущества уменьшается

на Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ю часть величины Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат . Поскольку

1 2 …… 8= Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 8 = 36, то для составления таблицы необходимо величину Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат последовательно умножать на Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатКак рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 46 тыс. руб. и т.д. Поэтому стоимость станка, напри-36

мер, на конец первого года составит: 320 – 60 – 260 тыс. руб.; на конец второго года – 260 – 52,5 = 207,5 тыс. руб. Продолжая вы­числения аналогичным образом, получим таблицу:

Год
службы
Амортизационные отчисления за год, тыс. руб. Стоимость на конец года, тыс. руб.
52,5
162,5
37,5
22,5 72,5
57,5
7,5

Очевидно, амортизационные отчисления, представленные в таблице, образуют арифметическую прогрессию с первым чле­ном 60 и разностью (-7,5). Относительно значений остаточных стоимостей такого вывода, конечно, сделать нельзя.

Задачи

1.4.1. Товар стоимостью 2,7 тыс. руб. продается в кредит на 3 года под простую процентную ставку 16% годовых с равными ежеквартальными погасительными платежами. Проценты начис­ляются на всю сумму кредита и присоединяются к основному долгу в момент открытия кредита. Определите долг с процента­ми, проценты и величину разового погасительного платежа.

1.4.2. Товар стоимостью 4 тыс. руб. продается в кредит на 2 года под простую процентную ставку 20% годовых с равными ежеквартальными погасительными платежами. Проценты на­числяются на всю сумму кредита и присоединяются к основно­му долгу в момент открытия кредита. Определите долг с процен­тами, проценты и величину разового погасительного платежа. С помощью “правила 78 ” составьте план погашения кредита.

1.4.3. Покупатель приобретает музыкальный центр, стои­мость которого 14,6 тыс. руб. Он уплатил сразу 3 тыс. руб., а на остальную сумму получил кредит на 9 месяцев под простую процентную ставку 12% годовых с ежемесячными равными по­гасительными платежами. Определите долг с процентами, про­центы и величину разового погасительного платежа, если про­центы начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основному долгу в момент открытия кредита. С помощью “правила 78” составьте план погашения кредита.

1.4.4. Товар стоимостью 5,4 тыс. руб. продается в кредит на 3 года под процентную ставку 15% годовых с полугодовыми погасительными платежами, причем начисляются простые про­центы. Составьте план погашения кредита с учетом того, что долг с течением времени уменьшается и процентные платежи за пользование потребительским кредитом рассчитываются каж­дый раз на оставшуюся часть долга. Сам же основной долг вы­плачивается равными суммами.

1.4.5. Фирма предлагает бытовую технику и компьютеры в кредит на срок до 6 месяцев с первым взносом не менее 33% от стоимости товара и ежемесячными погасительными платежами. Простая процентная ставка по кредитам – 2,5% в месяц. Поку­патель приобретает компьютер стоимостью 8,4 тыс. руб., запла­тив 45% его стоимости и оформив кредит на 5 месяцев. Составь­те план погашения кредита с учетом, что долг с течением вре­мени уменьшается и процентные платежи за пользование креди­том рассчитываются каждый раз на оставшуюся часть долга. Сам же основной долг выплачивается равными суммами.

1.4.6. Клиент обратился в банк 9 апреля с целью получения кредита под залог двухсот ценных бумаг, причем курсовая стоимость каждой ценной бумаги на этот день составляет 1000 руб. Банк предоставляет кредит под 25% годовых на 3 месяца в размере 80% курсовой стоимости ценных бумаг. В контракте с клиентом оговаривается, что затраты банка на обслуживаниедолга составляют 1% от номинальной суммы кредита и удержи­ваются вместе с процентным платежом в момент предоставле­ния кредита. В случае просрочки выплаты долга клиент рассчи­тывается с банком за каждый лишний день по ставке 30% годо­вых. Найдите величину кредита, который получит клиент. Если клиент возвратит долг только 30 июля, то какую сумму ему придется дополнительно выплатить за просроченные дни? При расчетах, связанных с обслуживанием кредита под залог мате­риальных ценностей, банк использовал обыкновенные проценты с точным числом дней.

1.4.7. Предпринимателю необходима сумма в 45 тыс. руб. на 2 месяца. Банк предоставит ему кредит в размере 75% от стои­мости залога под 28% годовых и за обслуживание долга взыщет 450 руб. Определите величину залога, если кредит взят 10 сен­тября и в расчетах используются обыкновенные проценты с точным числом дней.

1.4.8. Банк предоставил предпринимателю кредит на 3 меся­ца (с 20 мая по 20 августа) под залог двухсот пятидесяти ценных бумаг. Курсовая стоимость каждой ценной бумаги на день вы­дачи кредита составляет 100 руб. Кредит предоставлен под про­центную ставку 20% годовых, и его сумма составляет 80% вели-чяны залога. Затраты банка на обслуживание долга в размере 1% от номинальной суммы кредита были удержаны вместе с начисленными процентами в момент предоставления кредита. Предприниматель 20 августа выплатил банку только 10 тыс.

– руб. Банк согласился на продление погашения кредита еще на три месяца под 24% годовых, не взимая сразу при этом начис­ленные проаенты на остаток долга. Найдите величину кредита, полученного предпринимателем, и определите, какую сумму предприниматель должен будет выплатить банку 20 ноября. При расчетах, связанных с обслуживанием кредита под залог мате­риальных ценностей, банк использовал обыкновенные проценты с точным числом дней.

1.4,9. Банк предоставил кредит в размере 80% от стоимости залога под процентную ставку 20% годовых, а за обслуживание долга удержал 1% от номинальной суммы кредита при его вы­даче. На какой срок получил кредит клиент, если банк ему вы­дал 20 760 руб., а величина залога составляет 30 тыс. руб.? В расчетах банк применяет обыкновенные проценты.

1:4.10. Туристическая фирма приобрела микроавтобус за 42 тыс. руб. Полагая, что срок службы микроавтобуса б лет, со­ставьте таблицу уменьшения его стоимости по годам. Рассмот­рите два случая: а) уменьшение стоимости микроавтобуса про­исходит равномерно; б) уменьшение стоимости микроавтобуса происходит в соответствии с “правилом 78”.

1.4,11. Фирма приобрела оборудование за 950 тыс. руб. Срок службы оборудования – 10 лет, после чего фирма намеревается реализовать изношенное оборудование за 70 тыс. руб. Составьте таблицу уменьшения стоимости оборудования по годам. Рас­смотрите два случая: а) уменьшение стоимости оборудования происходит равномерно; б) уменьшение стоимости оборудова­ния происходит в соответствии с “правилом 78”.

§

Основные положения

• На практике периодически возникают задачи, связанные с переоформлением финансовых соглашений на новых условиях или с заменой нескольких финансовых сделок на одну. Одним из методов решения такого типа задач при применении простых процентов является вычисление средних значений срока, ставки

и капитала.

• Средним сроком называется срок, на который необходимо предоставить несколько капиталов под соответствующие ставки с целью получения такого же дохода, как и при предоставлении этих же капиталов под соответствующие эти же ставки на ис­ходные разные сроки.

• Средней ставкой называется ставка, под которую необхо­димо предоставить несколько капиталов на соответствующие исходные сроки с целью получения такого же дохода, как и при предоставлении этих же капиталов на соответствующие эти же сроки, но под разные ставки.

• Средним капиталом называется капитал, который приносит такой же доход по соответствующим ставкам и за соответст­вующие им сроки, что и исходные капиталы по тем же ставкам за соответствующие им сроки. • Одним из подходов к определению стоимости привлечен­ных средств в условиях применения простых процентов являет­ся нахождение ставки через взвешенную сумму ставок, под ко­торые эти средства были привлечены. Обычно указанная стои­мость (ее еще называют средневзвешенной стоимостью) выра­жается в виде средней простой процентной ставки без учета сроков использования средств, т.е. весом для каждой ставки служит доля соответствующего привлеченного капитала, кото­рую он составляет в общей сумме привлеченных средств.

• Доходность (средневзвешенная) выданных под простые проценты средств определяется аналогичным образом, как и стоимость привлеченных средств, в виде взвешенной суммы -ставок, под которые эти средства были выданы. Как правило, средневзвешенная доходность выражается средней простой процентной ставкой без учета сроков, на которые выдавались средства.

Вопросы для обсуждения

1 По какой формуле определяется средний срок кредита в ус­ловиях применения простых процентов?

2 По какой формуле определяется средняя процентная ставка?

3 Что такое средняя величина кредита?

4 Поясните фразу: “Средняя процентная ставка является взве­шенной суммой исходных процентных ставок”.

5 Каким образом определяются одновременно две средние вели^ чины в условиях применения простых процентов (например, средний срок кредита и средняя процентная ставка)?

6 Пусть даны простые годовые процентные ставки, под кото­рые взяты кредиты, а соответствующие сроки даны в меся­цах. Можно ли найти средний срок сразу в месяцах, не пере­водя исходные сроки в годы?

7 Что произойдет со средним сроком, если каждый исходный срок умножить или разделить на одно и то же число, не рав­ное нулю?

8 Что произойдет со средним сроком, если каждый исходный срок изменить на одно и то же время?

9. В каком случае средний срок будет равен просто среднему арифметическому исходных сроков?

10. Верно ли утверждение, что средняя процентная ставка не изменится, если каждый исходный срок умножить на одно и то же число или изменить на одно и то же время?

11. Как могут характеризовать работу банка средняя процентная ставка и средний срок кредита?

12. Могут ли значительно отличаться средние значения, най­денные по разным формулам как взвешенные суммы исход­ных значений? Если да, то почему это происходит?

13. Если простые проценты взыскиваются при выдаче ссуд, то какими формулами надо пользоваться при отыскании сред­них значений?

14. Можно ли при использовании соответствующей формулы значение средней ставки сразу получать в процентах?

15. Каким образом можно определить стоимость привлеченных средств?

16. Какие величины, как правило, выступают в качестве весов в формуле определения стоимости привлеченных средств?

17. Каким образом можно определить доходность выданных средств?

18. Сравните между собой доходность выданных средств под простые проценты для кредитора и стоимость привлеченных средств для заемщика. В чем их сходство и отличие?

§

Пример 1.5.1.Предприятие получило следующие кредиты под разные простые процентные ставки:’36 тыс. руб. на 240 дней под 35% годовых; 28 тыс. руб. на 150 дней под 32% годо­вых; 60 тыс. руб. на 100 дней под 38% годовых; 52 тыс. руб. на 80 дней под 34% годовых. Определите: а) средний срок кредита; б) среднюю процентную ставку; в) средний срок и среднюю процентную ставку одновременно; г) среднюю величину кредита.

Решение,а) Вначале сделаем некоторые замечания по пово­ду использования формулы (32), представляющей один из вари­антов определения среднего срока кредита. Конечно, в формуле периоды пк измеряются в любых единицах времени (годы, кварталы, месяцы, дни и т.д.), согласованных с размерностями соответствующих процентных ставок ik (годовые, квартальные, месячные, дневные и т.д.). Однако вид формулы (32) позволяет определять средний срок, не особенно заботясь о согласовании размерностей исходных сроков и процентных ставок. Так, если, например, сроки пк даны в днях (вообще в любых, но единых для всех сроков единицах времени), a ik представляют собой годовые процентные ставки, то, не занимаясь переводом пк в годы, по формуле (32) сразу получаем средний срок л в днях. Аналогичные соображения можно высказать и в связи с приме­нением формул (30), (34), (36).

Полагаем Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 36 тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 28 тыс. руб., P3 = 60 тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 52 тыс. руб. Несмотря на то что i1 = 035; i2 – 032; i3 = 038 и i4 = 034 – годовые процентные ставки, в соответствии со сказан­ным выше, средний срок будем измерять в днях, а исходные сроки переводить в годы не будем, т.е. Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатКак рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =240 дней, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =150 дней, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 100 дней, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 80 дней. По формуле (32) получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат дня

т.е. Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 130 дней.

Если же срок каждого кредита измерять в годах, считая, что в году 360 дней, то Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =0,667 года, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =0,417 года, n3 =0,278 го­да, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,222 года и

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,361 года,

или Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,361* 360 = 129,96 дня, т.е. Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 130 дней. Естественно, по­лучили тот же самый результат.

Для проверки правильности результата найдем начисляемые проценты на каждый кредит при исходных сроках, считая в году 360 дней, и сложим эти проценты:

Теперь найдем сумму процентов при замене всех сроков на средний срок:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 22,396 тыс. руб.

Теперь найдем сумму процентов при замене всех сроков на средний срок:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 36*0.61*0.35 28*0.361*0.32 60*0.361*0.38 52*0.361*0.34=22.396 тыс.руб

Таким образом, получили (в пределах точности вычислений) одну и ту же сумму – 22,4 тыс. руб. Если исходный срок каждо­го кредита в годах взять с большим количеством знаков после запятой, то сумма начисляемых процентов на каждый кредит при исходных сроках составит 22,396 тыс. руб.

Формулу (32) можно записать и таким образом:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

т.е. средний срок равен взвешенной сумме исходных сроков, где весом для каждого срока пк служит доля-произведения Рк ik,

которую оно составляет от общей суммы Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат причем очевидно, что сумма всех весов обязательно равна единице. Вы­полняя вычисления для данного случая, получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,2031 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0.1444 пг 0.3675 n3 0.2850 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Конечно, 0,2031 0,1444 0,3675 0,2850 = 1. Заметим, что из-за приближенных вычислений сумма весов может незначи­тельно отличаться от единицы.

б) Как и в пункте а), измеряя сроки в днях, воспользуемся

формулой (30):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 22,404 тыс. руб.

или 35,05%. Записывая формулу (30) таким образом:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

получаем представление i в виде взвешенной суммы процент­ных ставок. Для нашего случая:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Обратим внимание на тот факт, что, применяя формулы (29), (30), (33) и (34), ставки можно выражать как в десятичных дро­бях, так и в процентах. Это утверждение следует из вида фор­мул. Если, в частности, исходные ставки даны в процентах, то в результате применения формул соответствующие ставки сразу будут выражены в процентах.

в) В этом случае нельзя одновременно применять формулы (30) и (32). Можно показать, что если средний срок кредита рас­считывается по формуле (32), то среднюю процентную ставку надо рассчитывать по формуле (29). А если средняя процентная ставка находится по формуле (30), то средний срок кредита надо находить по формуле (31). Обычно время учитывается при рас­чете среднего срока кредита. Следовательно, воспользуемся формулами (32) и (29). По формуле (32) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 130 дней, а по фор­муле (29):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 36* 0,35 28 *0,32 60*0,38 52*0,34

36 28 60 52 =0.3525

т.е. отличается от 35,05% – средней процентной ставке, найден­ной в предыдущем пункте. Заметим, что, применяя формулу (29), мы фактически решаем следующую задачу: найти среднюю процентную ставку, когда кредиты выданы на одинаковый срок (130 дней).

Если бы применяли формулы (30) и (31), то Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =35,05% и Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =130,68 дней или Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =131 день.

По существу задача одновременного определения среднего срока кредита и средней процентной ставки имеет бесчисленное

множество решений, так как величины ЙиГ можно находить просто из равенства начисленных процентов:

(36 28 60 52) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат * Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =22,40,т.е. Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат * Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0.1273.

Определяя подходящим образом Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , находим Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат (или наобо­рот). Только надо учитывать соответствие размерностей Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат и Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат . Так, если Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат измеряется в годах, то Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат – годовая процентная ставка; если я измеряется в днях, то Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат – дневная процентная ставка и т.п. Например, пусть Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 130 дней, тогда

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,0009792,

т.е. Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,09792% в день, или, умножая на 360, получаем 35,25%

в год.

г) Среднюю величину кредита Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат можно определить по формуле, аналогичной формулам (30) и (32):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Подставляя вместо букв численные значения, находим, что Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 40,884 тыс. руб.

Подобным образом, как и в предыдущем пункте, можно од­новременно находить среднюю величину кредита и среднюю процентную ставку или одновременно находить среднюю вели­чину кредита и средний срок, но эти задачи на практике встре­чаются реже, чем задача определения среднего срока и средней процентной ставки.

В разобранном примере значения средней процентной став­ки, найденной по различным формулам, не отличались значи­тельно друг от друга. Но так бывает не всегда.

Пример1.5.2. Выданы следующие кредиты под простые процентные ставки: 340 тыс. руб. на 1 день под 20% годовых и 1 тыс. руб. на 340 дней под 40% годовых. Сравните между собой средние процентные ставки, определенные разными способами.

– = 0,2006,

Решение. Пусть Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 340 тыс. руб., Рг = 2 тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 1 день, пг = 340 дней, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,2, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0.4

Если воспользоваться формулой (29), то:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

а если применить формулу (30), то:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Таким образом, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , найденное по формуле (29), практически совпадает с одной из исходных процентных ставок Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 20%; a Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , найденное по формуле (30), является средним арифметическим! ставок Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 20% и i2 = 40% . Это хорошо видно из представления! средней ставки в виде взвешенной суммы исходных ставок:

а) для формулы (29) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,9971 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,0029 i2;

б) для формулы (3 0) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,5 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,5 i2.

Пример1.5.3. Заемщик взял 27 января у одного кредитора под одну и ту же простую процентную ставку в 40% суммы в размере 10 тыс. руб., 6 тыс. руб., 20 тыс. руб. и 16 тыс. руб. со сроками погашения соответственно 1 марта, 14 мая, 25 июня и 18 августа того же года. Определите средний срок погашения всех ссуд и сумму, которую заемщик должен будет отдать кре­дитору, если в расчет принимаются точные проценты с точным числом дней и согласно соглашению для кредитора важно толь­ко то, чтобы величина начисленных процентов оставалась неиз­менной. Год невисокосный.

Решение.Всего заемщик взял у кредитора сумму в 52 тыс. руб. Считая, что на эту сумму сразу начисляются проценты и так как Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = i3 = i4 = 0,4, по любой формуле для определения средней процентной ставки получим Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,4.

Несмотря на то что процентные ставки Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =0.4 являются годовыми, в соответствии со сделанными выше замечаниями средний срок погашения всех ссуд будем измерять в днях и от­считывать от дня первого планового платежа, т.е. Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =74, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =116, n4 =170. Взятые суммы измеряем в тыс. руб.:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =10, Р2 =6, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =20, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =16. Следовательно, сразу воспользо­вавшись формулой (31), являющейся в этой ситуации частным случаем формулы (32), получаем:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 105,46 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 106 дней.

Отсчитывая от 1 марта 106 дней, получим 15 июня – дату, когда заемщик может отдать единовременно весь долг.

Поскольку кредитор выдал суммы 27 января, найдем, что 15 июня заемщик должен отдать долг в размере:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб

Если бы в расчет принимались обыкновенные проценты с точным числом дней, то средний срок погашения ссуды остался бы тот же (т.е. 15 июня – дата единовременного возврата долга), однако размер возвращаемой суммы, естественно, увеличился:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 60,031 тыс. руб.

Пример 1.5.4.Банк собирался выдать ссуды в размере 15 тыс. руб., 25 тыс. руб. и 20 тыс. руб. на сроки соответственно 2, 6 и 9 месяцев под простые ставки 36, 40 и 44% годовых, при­чем проценты удерживались сразу. Под какую единую ставку банк согласится выдать эти ссуды, если он намерен взыскать при выдаче ссуд ту же величину процентов, как в первоначаль­ном контракте с клиентом? Чему будет равен средний срок ссу­ды при таком изменении контракта?

Решение.Так как банк сразу удерживает проценты, то кли­ент на руки получает меньшую по величине ссуду, чем объявле­но банком. Например, при ссуде 20 тыс. руб. на 9 месяцев под простую ставку 44% годовых клиент получает 20(1-0,75-0,44) = 13,4 тыс. руб. и должен будет вернуть банкучерез 9 месяцев 20 тыс. руб., т.е. на сумму 13,4 тыс. руб. в тече­ние полугода фактически происходит наращение по простой учетной ставке 40%. Таким образом, при определении новой ставки можно воспользоваться формулой (34) определения среднего значения простой учетной ставки. Измеряя ссуды в тыс. руб., а сроки – в месяцах, полагаем Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =15, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =25, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =20; Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =2, п2 = 6, п3 =9; dl =0,36, d2 =0,4, d3 = 0,44. Отсюда:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат или 41.67%

Поскольку уже определена средняя ставка, то для нахожде­ния среднего срока воспользуемся формулой (35):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 6 месяцев.

Если же, как это обычно делается, время учитывать при оп­ределении среднего срока, то по формулам (36) и (33) получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатКак рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 6.2 месяца;

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат или 40.33%

Пример 1.5.5. Банк выдает предпринимателю три ссуды со­ответственно на 180, 300 я 240 дней под простые ставки 38, 45 я 40% годовых. После того как банк при выдаче ссуд взыскал простые обыкновенные проценты, предприниматель получил на руки суммы 30 тыс., 20 тыс. и 50 тыс. руб. Определите средний срок ссуды.

Решение. Поскольку проценты удержаны сразу, то на выдан­ные суммы по существу происходит наращение по соответствую­щим учетным ставкам. Пусть Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 30 тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =20 тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 50 тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатКак рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,38, d2 = 0,45, d3 = 0,4. Воспользуемся формулой (36). Можно либо в ней заменить Fk на Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , либо вначале найти Fk = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ,, а затем применить формулу (36).

Поступим в соответствии с последним способом, т.е. вначале найдем суммы, которые надо вернуть банку. Обратим внимание, что в данном случае при вычислениях исходные сроки необходимо

перевести в годы: Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =180/360 = 0,5 года, п2 =300/360 = 0,833 года,Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =40/360 = 0,667 года. Применяя формулу (20), получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 37,037 тыс. руб.;

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 31,992 тыс. руб.;

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 68,194 тыс. руб.

1-0,667 0,4

А теперь воспользуемся формулой (36), причем для упроще­ния расчетов заметим, что Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат Следовательно

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат года

т.е Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 360 *0,668 = 240,48 дня. Округляя, получим средний срок

ссуды, равный 241 дню.

Полезно представлять себе и другой способ решения. Можно вначале определить по формуле (25) эквивалентные простые процентные ставки:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатКак рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,4691;

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,5456,

= 0,7198;

а затем воспользоваться формулой (30):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,668 года.

Пример 1.5.6.Банк использовал в течение 4 месяцев депози­ты на суммы 40, 20 и 80 тыс. руб., размещенные соответственно на 1, 2 и 1 месяц по простым процентным ставкам 34, 30 и 42% годовых. Определите стоимость привлеченных средств за 4 ме­сяца для банка в виде средней годовой процентной ставки.

Решение.Полагаем Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 40 тыс.руб Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 80 тыс. руб.; Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатКак рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 34% ; i2 m 30%; Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатКак рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 2% и воспользуемся формулой (29). Так как исходные ставки берем в процентам(а это, как уже отмечалось, благодаря виду формулы можно сде­лать), то и результат получим в процентах:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Заметим, что другой способ определения стоимости привле­ченных средств основан на использовании формулы (23), где через Р обозначена использованная сумма средств; через F-P – проценты, выплаченные за использование суммы Р в течение времени л. Таким образом, эта стоимость (обозначим ее через Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ) определяется по формуле

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Поскольку для любого к = 1,2…m cправедливо Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат показать, что для Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат из формулы (29) выполнено нера­венство Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат . Если Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , для любого к = 1,2,„.,m, то Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

В нашем примере Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 1 месяц, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 2 месяца, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = I месяц, n = 4 месяца, поэтому

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Бели бы все депозиты были размещены в течение 4 месяцев, то получили бы Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 38%.

В ситуации, когда банк выдает денежные средства, ставки Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат я Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат определяют доходность для банка выданных средств. Ве­личину Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат называют также средневзвешенной доходностью.

Задачи

1.5.1. Заемщик взял 18 мая у одного кредитора под одну и ту же простую процентную ставку в 30% суммы в размере б тыс. руб., 4 тыс. руб., 3,5 тыс. руб. и 12 тыс. руб. со сроками погаше-

ния соответственно 20 июня, 18 августа, 30 сентября и 14 октября того же года. Определите средний срок погашения всех ссуд и сумму, которую заемщик должен будет отдать кредитору, если в расчет принимаются: а) обыкновенные проценты с точным чис­лом дней; б) точные проценты с точным числом дней, и согласно соглашению дли кредитора важно только то, чтобы величина на­численных процентов оставалась неизменной. Год невисокосный.

1.5.2. Предприятие получило следующие кредиты под раз­ные простые процентные ставки: 40 тыс. руб. на 7 месяцев под 30% годовых, 60 тыс. руб. на 9 месяцев под 36% годовых и 30 тыс. руб. на 4 месяца под 26% годовых. Определите: а) средний срок кредита; б) среднюю процентную ставку; в) средний срок и среднюю процентную ставку одновременно; г) среднюю вели­чину кредита. В расчетах полагать год равным 360 дням.

1.5.3. Выданы следующие кредиты под простые процентные ставки: 150 тыс. руб. на 2 дня под 15% годовых и 2 тыс. руб. на 300 дней под 25% годовых. Определите двумя способами сред­ние процентные ставки.

1.5.4. Выданы три кредита под разные простые процентные ставки: 42,5 тыс. руб. на 100 дней под 40% годовых, 37 тыс. руб. на 140 дней под 30% годовых и третий кредит на 200 дней под 60% годовых. Найдите величину третьего кредита, если средняя процентная ставка составляет 50%.

1.5.5. Выданы три кредита под разные простые процентные ставки: 35 тыс. руб. на 133 дня под 45% годовых, 19,5 тыс. руб. на 275 дней под 30% годовых и 42,75 тыс. руб. на 111 дней. Найдите величину процентной ставки, под которую выдан тре­тий кредит, если средний срок кредита составляет приблизи­тельно 139 дней.

1.5.6. Банк собирался выдать ссуды 10 тыс. руб., 40 тыс. руб. и 20 тыс. руб. на сроки соответственно 2, 5 и 7 месяцев под простые ставки 34, 40 и 42% годовых, причем проценты удерживались сра­зу. На какой единый срок банк согласится выдать эти ссуды, если он намерен взыскать при выдаче ссуд ту же величину процентов, как в первоначальном контракте с клиентом? Чему будет равна средняя ставка при таком изменении контракта?

1.5.7. Банк выдает клиенту три ссуды соответственно на 120, 270 и 150 дней под простые ставки 38, 45 и 42% годовых. После того как банк при выдаче ссуд взыскал простые обыкновенныепроценты, клиент получил на руки суммы 10 тыс. руб., 16 тыс. руб. и 24 тыс. руб. Определите: а) средний срок ссуды; б) сред­нюю ставку; в) средний срок и среднюю ставку одновременно; г) среднюю величину ссуды.

1.5.8. Банк использовал в течение полугода депозиты на суммы 50, 30 и 90 тыс. руб., размещенные соответственно на 3, 1 и 2 месяца. Депозиты размещены по простым процентным ставкам соответственно 26, 20 и 32% годовых. Определите стоимость привлеченных средств за полгода для банка в виде средней годовой процентной ставки. Каким еще образом можно оценить стоимость привлеченных средств?

1.5.9. Банк в течение 4 месяцев выдавал следующие одноме­сячные кредиты на условиях начисления простых процентов: 80 тыс. руб., 30 тыс. руб., 70 тыс. руб. и 20 тыс. руб. соответствен­но по процентным ставкам 38, 32, 35 и 30% годовых. Определите средневзвешенную доходность кредитных операций за 4 месяца.

1.5.10. Банк в течение 4 месяцев выдал четыре одномесяч­ных кредита на условиях начисления простых процентов соот­ветственно по процентным ставкам 30, 24, 26 и 20% годовых. Средневзвешенная доходность кредитных операций за все время оказалась равной 26,625%. Определите величины кредитов, если первый из них больше на 20 тыс. руб. второго, на 10 тыс. руб. третьего и на 50 тыс. руб. четвертого кредита.

Валютные расчеты

Основные положения

В(процессе взаимного обмена национальных валют уста­навливается их курс, представляющий собой цену денежных единиц одной страны, выраженную в денежных единицах дру­гой страны. Само определение курса валют называется их коти­ровкой. Полная котировка предполагает определение курса по­купателя (покупки) и курса продавца (продажи), согласно кото­рым банки покупают и продают валюту. Единица низшего раз­ряда установленной котировки называется пунктом.

Курс валют в зависимости от формы его выражения назы­вается обменным или девизным. Обменный курс показывает, сколько единиц отечественной валюты можно получить в обмен на единицу иностранной, т.е. это цена иностранной валюты, вы­раженная в единицах отечественной валюты. Девизный курс, являясь обратной величиной к обменному, показывает, сколько единиц иностранной валюты можно получить за единицу отече­ственной, т.е. это цена отечественной валюты, выраженная в единицах иностранной валюты. Определение обменного курса также называют прямой котировкой, а девизного курса – кос­венной котировкой.

• Кроме обменного и девизного используются также и кросс-курсы валют, представляющие собой соотношения между двумя валютами, следующие из их курсов по отношению к некоторой

третьей валюте.

• Девизы называются конвертируемыми, если есть возмож­ность их свободного обмена (конверсии) на валюту других стран по действующему курсу.

• Финансовая операция, связанная с инвестированием де­нежных средств в валюте, в общем виде представляет собой по­следовательность следующих действий: конвертирование средств в другую валюту; размещение на рынках финансовых инструментов полученных средств на некоторый срок; обратная конвертация средств, полученных от инвестирования, в исход­ную (или иную) валюту.

Вопросы для обсуждения

1. Что понимается под курсом валюты?

2. Что такое котировка валют? Из чего состоит полная коти­ровка валют?

3. Что означает термин “девизы”? Что показывает девизный

курс?

4. Как называется единица низшего разряда объявленной коти­ровки валют?

5. Чем отличается обменный курс от девизного? Можно ли, зная обменный курс, указать девизный, и наоборот?

6. Каким еще образом называют обменный и девизный курсы? 7. Какие девизы называются конвертируемыми?

8. Как соотносятся между собой до величине курсы покупки и продажи валюты при прямой котировке?

9. Как соотносятся между собой по величине курсы покупки и продажи валюты при косвенной котировке?

10. Как определяется кросс-курс валют?

11. Выгодно ли российским экспортерам снижение курса рубля по отношению к доллару?

12. В каких случаях выгоднее пользоваться рублевым депози­том, а в каких – валютным?

13. Как можно определить в общем виде финансовую операцию, связанную с инвестированием денежных средств в валюте?

14. Может ли финансовая операция “конвертация – наращение -конвертация” дать отрицательную доходность в виде годо­вой простой процентной ставки?

15. Поясните, в каких случаях наращение, осуществляемое на валютном депозите, совпадает с результатом финансовой операции “конвертация – наращение – конвертация”.

§

Пример 1.6.1.В обменном пункте Санкт-Петербурга в нача­ле декабря 1998 г. установлена следующая котировка немецкой марки к рублю: покупка – 10,76 руб., продажа – 12,24 руб. Оп­ределите: а) сколько рублей будет получено при обмене 230 не­мецких марок; б) какое количество немецких марок можно при­обрести на 4284 руб.

Решение,а) Для перевода суммы в иностранной валюте (230 немецких марок) в эквивалентную ей сумму в национальной ва­люте (рубли) необходимо умножить ее на курс покупки:

230*10,76 = 2474,8 руб.

б) Для перевода суммы в национальной валюте (4284 руб.) в эквивалентную ей сумму в иностранной валюте (немецкие мар­ки) необходимо ее разделить на курс продажи:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 350 немецких марок.

В условии примера указана прямая котировка валюты (обмен­ный курс). Косвенная же котировка в данном случае составляет:

покупка : 1 руб. – 1/10,76 = 0,0929 нем. марки

продажа: 1 руб. – 1/12,24 = 0,0817 нем. марки.

При косвенной котировке количество рублей, которое будет получено за 230 немецких марок, находится следующим образом:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 2475,78 руб.

Полученное расхождение (в 2 копейки) с предыдущим отве­том объясняется выбранной точностью вычисления. Если косвенный курс покупки (основываясь на прямой котировке) взять точнее, например 0,0929368 немецкой марки, то получим 2474,8 руб.

Заметим, что при прямой котировке валюты курс покупки меньше курса продажи, при косвенной – наоборот.

Пример 1.6.2.Банк в Санкт-Петербурге в начале декабря 1998 г. установил следующую котировку валют:

Определите: а) кросс-курс доллара США к финляндской марке; б) сколько финляндских марок можно приобрести на 200 долларов США; в) сколько долларов США можно приобрести на 2500 финляндских марок.

Решение, а) Рассмотрим операцию обмена долларов на фин­ляндские марки. Вначале доллары обмениваются на рубли по курсу покупки 1 долл. США = 19,20 руб., а затем полученная сумма обменивается на финляндские марки по курсу продажи 1

фин. марка = 4,06 руб., т.е. 1 руб. = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат фин. марки. Таким образом, 1 долл. США = 19,20 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 4,729 фин. марки. Делаем вывод, что в этом банке кросс-курс покупки доллара США к фин­ляндской марке равен 4,729 фин. марки за доллар. Теперь рассмотрим операцию обмена финляндских марок на доллары. Вначале финляндские марки обмениваются на рубли

по курсу покупки 1 фин. марка = 3,62 руб., т.е. 1 руб. = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

фин. марки, а затем полученная сумма обменивается на доллары по курсу продажи 1 доля. США = 20,80 руб., т.е. 1 долл. США= 20,80 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 5,746 фин. марок. Следовательно, в этом банке

3,62

кросс-курс продажи доллара США к финляндской марке равен 5,746 фин. марок за доллар.

б) Так как кросс-курс покупки доллара США к финляндской марке равен 4,729 фин. марки за доллар, то при обмене 200 долл. получим: 200*,729 = 945,8 фин. марок.

Этот же результат можно получить, конечно, и с помощью рассуждений, аналогичных выше приведенным. Действительно, вначале доллары обмениваются на рубли по курсу покупки: 200*9,20 = 3840 руб. Полученная сумма обменивается на финляндскке марки по курсу продажи: Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 945,8 фин. марок.

в) Аналогичным образом, обменивая финляндские марки на рубли по курсу покупки и затем рубли – на доллары по курсу продажи, соответственно получаем:

2500*3,62 = 9050 руб.;

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 435.10 долл.

Поделив 2500 фин. марок на 5,746 (кросс-курс продажи долла­ра США к финляндской марке), приходим к тому же ответу.

Пример 1,6.3.Предприниматель обменивает имеющиеся у него немецкие марки и помещает полученную сумму на рубле­вом депозите сроком на полгода под простую процентную став­ку 40% годовых, после чего наращенную сумму будет конвер­тировать опять в немецкие марки. Определите доходность такой финансовой операции в виде годовой простой процентной став­ки, если курс покупки немецких марок на начало срока -9,24 руб., ожидаемый курс продажи через полгода – 10,6 руб.

Целесообразна ли эта финансовая операция, если на валютном депозите для наращения используется простая учетная ставка 12% годовых?

Решение.Обозначим имеющееся количество немецких ма­рок через Р. Обменивая их на рубли, предприниматель получит 9,24Р руб. Через полгода наращенная сумма на рублевом депо­зите составит (формула (9)): 9.24Р(1 0.5*0,4) = 11,088Р руб., что

при конвертации по ожидаемому курсу продажи даст

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 1,0467 P немецких марок. Теперь по формуле (23) определяем доходность финансовой операции:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,092.

Далее найдем по формуле (3) или (25) при п = 0,5 года вели­чину простой процентной ставки, обеспечивающей такой же доход, как и учетная ставка d = 12%:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Так как доходность финансовой операции равна 9,2%, то лучше поместить немецкие марки на валютный депозит, кото­рый обеспечивает доходность в 12,77%.

Если бы через полгода курс продажи немецких марок пре­высил 11,088 руб., то рассматриваемая финансовая операция, связанная с конвертацией валюты, доставила бы вообще отрица­тельную доходность, т.е. фактически часть денежных средств была бы просто потеряна.

Пример 1.6.4.Клиент собирается поместить в банке 3000 долл. США на рублевом депозите сроком на 120 дней под 42% годовых и затем наращенную сумму будет конвертировать опять в доллары. Курс покупки долларов на начало срока – 17 руб. 30 коп., ожидае­мый курс продажи через 120 дней – 19 руб. 10 коп. Процентная ставка при долларовом депозите – 18% годовых. При любом депо­зите начисляются простые обыкновенные проценты. Найдите на­ращенную сумму: а) при конвертации валюты; б) непосредственнона валютном депозите. Выясните максимальное значение курса продажи, выше которого нет смысла в конвертировании при по­мещении денежных средств на депозит.

Решение.Сумма, полученная при конвертации валюты, со­ставит: 3000*173 = 51900 руб. По формуле (10) при P = 51900 руб., t = 120 дней, Т = 360 дней, r = 0,42 определяем наращен­ную сумму на рублевом депозите:

51900(1 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,42) = 59 166 руб.,

конвертируя которую по ожидаемому курсу продажи, клиент получит

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 3097,70 долл.

Если же он воспользуется валютным депозитом, т.е. при прямом наращении исходной суммы по долларовой процентной ставке, то получит:

3000(1 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0.18) = 3180 долл.,

т.е. сумму, которая больше наращенной суммы, полученной при конвертации. Таким образом, при ожидаемом курсе продажи 19 руб. 10 коп. за доллар валюту не имеет смысла конвертировать.

Такой же вывод можно сделать, определяя доходность фи­нансовой операции “конвертация – наращение – конвертация” в виде годовой простой процентной ставки по формуле (23):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Конечно, доходность 9,77% существенно меньше ставки 18% при долларовом депозите. Заметим, что доходность, естественно, можно найти и не зная величины суммы, помещаемой на депозит.

Максимальное значение ожидаемого курса продажи К* , выше которого нет смысла в конвертировании при помещении денежных средств на депозит, должно быть такой величины, которая при конвертации 59 166 руб. дает 3180 долларов. Т.е.

К* определяется из уравнения 3180=59 166/К*, решая которое находим:

К* =18,61 руб.

Значение К* можно найти, и не используя величину суммы, помещаемой на депозит, а зная только процентные ставки на депозитах и курс покупки:

К* = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат руб.

Задачи

1.6.1. Банк в Санкт-Петербурге 9 ноября 1998 г. установил следующую котировку доллара США к рублю: покупка – 15,40; продажа- 16,50. Определите: а) сколько рублей будет получено при обмене 150 долл.; б) какое количество долларов можно при­обрести на 3,3 тыс. руб.

1.6.2. Банк в Санкт-Петербурге 9 ноября 1998 г. установил следующую котировку итальянской лиры: покупка – 8,30 руб. за 1000 лир, продажа – 9,25 руб. за 1000 лир. Определите: а) сколь­ко рублей будет получено при обмене 26 тыс. лир; б) какое ко­личество лир можно приобрести на 888 руб.

1.6.3. Банк в Санкт-Петербурге 9 ноября 1998 г. установил следующую котировку валют:

Определите: а) кросс-курс доллара США к немецкой марке; б) сколько немецких марок можно приобрести на 240 долл.; в) сколько долларов США можно приобрести на 873 немецкие марки.

1.6.4. Банк в Санкт-Петербурге 9 ноября 1998 г. установил следующую котировку валют:

Клиент имеет 250 фунтов стерлингов, 320 немецких марок и 550 французских франков. Какое количество долларов США он сможет приобрести, используя всю имеющуюся валюту?

1.6.5. Известны следующие курсы валют на 7 декабря 1998 г.:

Определите кросс-курс французского франка к рублю.

1.6.6. Известны следующие курсы валют на 7 декабря 1998 г.

Определите кросс-курс немецкой марки к французскому франку.

1.6.7. Доллары США были приобретены 1 августа 1998 г. по курсу 6 руб. 34 коп. за доллар. Минимальный и максимальный курсы покупки банками долларов 6 ноября 1998 г. составляли 14 руб. 20 коп. и 15 руб. 70 коп. за доллар. Какова эффектив­ность вложения рублей в доллары в виде: а) годовой процентной ставки; б) годовой учетной ставки (при способе 365/365)?

1.6.8. Клиент собирается поместить в банке 1500 долл. на рублевом депозите сроком на полгода под 36% годовых и затем наращенную сумму будет конвертировать опять в доллары. Курс покупки долларов на начало срока – 15 руб.2О коп., ожи­даемый курс продажи через полгода – 18 руб. 60 коп. Процент­ная ставка при долларовом депозите – 12% годовых. При любом депозите начисляются простые проценты. Найдите наращенную сумму: а) при конвертации валюты; б) непосредственно на ва­лютном депозите. Выясните максимальное значение курса про­дажи, выше которого нет смысла в конвертировании при поме­щении денежных средств на депозит.

1.6.9. Клиент, имея сумму в размере 20 тыс. руб., предпола­гает поместить ее на валютном (долларовом) депозите на 9 ме­сяцев под 14% годовых и затем обменять полученную сумму на рубли. Выясните целесообразность (в абсолютных и относи­тельных показателях) этой финансовой сделки с банком, если

I

курс продажи долларов на начало срока – 16 руб.15 коп., ожи­даемый курс покупки через 9 месяцев – 19 руб. 10 коп. Про­центная ставка при рублевом депозите – 38% годовых. При лю­бом депозите начисляются простые обыкновенные проценты.

1.6.10. Предприниматель обменивает имеющиеся у него доллары США и помещает полученную сумму на рублевом де­позите сроком на три месяца под простую процентную ставку 42% годовых, после чего наращенную сумму будет конвертиро­вать опять в доллары. Определите доходность такой финансовой операции в виде годовой простой процентной ставки, если курс покупки долларов на начало срока- 17,14 руб., ожидаемый курс продажи через три месяца – 18,2 руб. Целесообразна ли эта фи­нансовая операция, если простая процентная ставка при долла­ровом депозите равна 14% годовых?

1.6.11. Господин N 28 августа 1998 г. имеющиеся у него не­мецкие марки обменивает на рубли и полученную сумму поме­щает в банк на срок до 26 декабря 1998 г. на условиях начисле­ния простых процентов. После закрытия счета господин N кон­вертирует наращенную сумму опять в немецкие марки. Какова будет доходность такой финансовой операции в виде годовой простой процентной ставки при различных способах начисления простых процентов, если применяется процентная ставка 60% годовых и год невисокосный? Курс покупки немецких марок на начало срока – 9 руб. 60 коп., ожидаемый курс продажи в конце декабря – 11 руб. 20 коп.

1.6.12. Господин N 6 тыс. руб. конвертирует в доллары США, помещает их на валютном депозите сроком на 3 месяца под простую учетную ставку 12% годовых и полученную нара­щенную сумму обменивает на рубли. Какова будет доходность такой финансовой операции в виде годовой учетной ставки, ес­ли курс продажи долларов США на начало срока – 16 руб. 20 коп., а ожидаемый через 3 месяца курс покупки – 17 руб. 10 коп.? Ка­кую сумму в рублях надеется получить господин N?

1.6.13. Предприниматель собирается свободную сумму в 4000 долл. поместить на рублевый или долларовый депозит на три месяца, причем и в том и в другом случае проценты начис­ляются по простой учетной ставке. Курс покупки долларов на начало срока – 16 руб. 40 коп., ожидаемый курс продажи через три месяца – 17 руб~. 80 коп. Определите наращенную сумму: а) при конвертации валюты; б) непосредственно на валютномдепозите, если учетные ставки при рублевом и долларовом де­позитах соответственно равны 42 и 16%. Как следует поступить предпринимателю?

1.6.14. Господин N 1 августа 1998 г. поместил 8 тыс. руб. на трехмесячный депозит под простую процентную ставку 40% го­довых. На сколько больше рублей получил бы господин N, если бы он на все деньги приобрел доллары США, а 1 ноября обменял доллары на рубли? Банк 1 августа продавал доллары США по курсу 6 руб. 38 коп. за доллар, а 1 ноября покупал доллары США по курсу 14 руб. 30 коп. за доллар, и по рублевому депозиту на­числялись обыкновенные проценты с точным числом дней.

1.6.15. Балтийский банк в Санкт-Петербурге объявил о вкла­дах для физических лиц, которые можно сделать с 7 декабря 1998 г. по 1 февраля 1999 г. Один из вкладов – “новогодний” сроком на 3 месяца, причем в рублях – под процентную ставку 44% годовых, в долларах США – под 13% годовых. Минималь­ная сумма для рублевого вклада – 10 тыс. руб., для валютного -1000 долл. Вы имеете 20 тыс. руб. и намереваетесь 7 декабря сделать вклад в Балтийском банке. Курс продажи долларов США в этом банке – 20 руб. Укажите курсы покупки долларов через три месяца, при которых предпочтительнее рублевый вклад; при которых предпочтительнее валютный вклад. При любом вкладе начисляются простые обыкновенные проценты с приближенным числом дней.

Налог на прибыль

Основные положения

• Налогообложение играет большую роль в экономике лю­бой страны. В современной рыночной экономике применяется сложная и разнообразная система налогов, обеспечивающая по­давляющую часть государственных доходов.

• Налоги оказывают существенное влияние на принятие ин­вестиционных решений: предпочтительность того или иного инвестиционного решения определяется возможными размера­ми налоговых выплат.

• Физическое лицо выплачивает налог со своего совокупного дохода, в который входят прибыли из любого источника, в том числе прибыль от размещения капитала. В ряде стран облагают налогом и проценты, получаемые при помещении некоторой денежной суммы в рост.

• При прогрессивном подоходном налоге с ростом дохода его доля, изымаемая в госбюджет в форме налога, увеличивает­ся. Такое положение обеспечивается путем разбиения суммы дохода на несколько частей, к каждой из которой применяется своя ставка налога, называемая предельной.

• Средняя ставка налога показывает величину уплаченного налога впроцентах от совокупного подлежащего налогообло­жению дохода.

Вопросы для обсуждения

,1. В чем заключается важность налогообложения? 2.- Каким образом налоги оказывают влияние на принятие инве­стиционных решений?

3. Как определяется совокупный доход физического лица?

4. Чем отличается предельная ставка налога от средней ставки налога?

5. Какая ставка налога более важна для принятия решений по инвестициям: предельная или средняя?

6. В каких случаях средняя и предельная ставки налога совпадают?

7. Как влияет налог на проценты при наращении простыми про­центами на процентную ставку?

8. Каким образом с точки зрения коммерческого учета можно интерпретировать налог на проценты при наращении по про­стой учетной ставке?

§

Пример1.7.1. Дана следующая (условная) схема налога на проценты:

8% с части дохода от 0 тыс. руб. до 5 тыс. руб.; 12% с части дохода от 5 тыс. руб. до 20 тыс. руб.; 16% с части дохода от 20 тыс. руб. до 40 тыс. руб.;

22% с части дохода от 40 тыс. руб. и выше.

Предприниматель получил в качестве начисленных процен­тов сумму 41 тыс. руб. Какой налог он должен уплатить? Чему равна в этом случае средняя ставка налога?

Решение. Разобьем 41 тыс. руб. на части, соответствующие предельным ставкам налога: 41 = 5 15 20 1. Следователь­но, общая величина налога на проценты составит:

5 *0,08 15 *0.12 20 *0.1б 1 *0,22 = 5,62 тыс. руб.

Для определения средней ставки налога поделим получен­ную величину на 41 тыс. руб.:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0.13707, или 13,707%.

Таким образом, если бы ставка налога на проценты была не­изменной и равной 13,707%, то величина налога на сумму 41 тыс. руб. составила бы 5,62 тыс. руб.

Средняя ставка показывает общее влияние налогов, однако предельная ставка более четко отражает ситуацию. Так, если бы величина начисленных процентов возросла бы с 41 тыс. руб. до 61 тыс. руб., то размер налога увеличился бы согласно предель­ной ставке 22% на сумму 20 * 0,22 =4,4 тыс. руб., а не на сумму 20*0.13707 = 2,7414 тыс. руб. в соответствии со средней ставкой.

Пример 1.7.2.Для участия в некотором проекте предприни­мателю понадобится 28 тыс. руб. Между тем он располагает лишь 25 тыс. руб. С целью накопления требуемой суммы пред­приниматель собирается положить в банк 25 тыс. руб. Предла­гаемая банком процентная ставка равна 40% годовых. Какое ко­личество дней необходимо для накопления требуемой суммы с учетом уплаты налога на проценты, если банк начисляет про­стые проценты, используя в расчетах точные проценты и точное число дней, а ставка налога на проценты равна 12%? Год неви­сокосный. Какое будет количество дней, если налог на проценты не надо уплачивать?

Решение.Обозначим через t необходимое число дней, тогда, полагая в формуле (37) Р – 25 тыс. руб., Fq = 28 тыс. руб., п = t/365 года, r = 0,4, q = ОД2, получим уравнение относительно переменной t:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Решая это линейное уравнение, находим: t = 124,43 дня. Та­ким образом, 125 дней будет вполне достаточно для достижения требуемой суммы.

Бели бы не было налога на проценты, то, либо решая урав­нение 28 = 25-(1 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,4), получающееся из формулы (10), либо пользуясь непосредственно формулой (21), получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 365=109,5 дня.

Следовательно, необходимость уплаты налога на проценты увеличивает искомый срок на 15 дней. Вообще, как видно из формулы (37), налог на проценты по существу уменьшает став­ку наращения: начисление процентов фактически происходит не поставке 0,4, а по ставке 0,4(1-0.12) = 0,352, т.е. по процентной ставке 35,2% годовых, которая меньше 40%.

Заметим, что, обозначая n = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат и разрешая формулу (37) отно­сительно t, получим формулу, аналогичную (21):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

которой можно воспользоваться при ответе на первый вопрос примера и которая при q = 0 совпадает с формулой (21).

Пример 1.7.3.На депозит была помещена сумма в 20 тыс. руб. на 240 дней под простую учетную ставку 30% годовых. Оп­ределите наращенную сумму с учетом уплаты налога на процен­ты, если ставка налога на проценты равна 12% и начисляются обыкновенные проценты. Если в условиях примера наращение осуществлялось по годовой процентной ставке 30%, то какова будет наращенная сумма после уплаты налога на проценты?

Решение.Пользуемся формулой (38), где Р = 20 тыс. руб.,

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат года d=0.3 g =0.12

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс.руб

Без уплаты налога наращенная сумма равнялась бы (по фор­муле (20)) 25 тыс. руб. Формула (38) показывает, что государст­во как бы учитывает сумму 25 тыс. руб. за 240 дней по простой учетной ставке 0,3 • 0.12 = 0,036, что равносильно 3,6% годовых.

Если наращение осуществлялось по простой процентной ставке 30% годовых, то по формуле (37):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплаттыс.руб

Пример 1.7.4.Клиент положил в банк 60 тыс. руб. под про­стую процентную ставку 40% годовых и через полгода с учетом уплаты налога на проценты получил 70,2 тыс. руб. Определите ставку налога на проценты.

Решение.Пусть Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =70.2 тыс. руб., Р = 60 тыс. руб., n=0,5 года, r = 0,4. Разрешая формулу (37) относительно q, получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

что эквивалентно q = 15 %.

Задачи

1.7.1. Дала следующая (условная) схема налога на проценты: 9% с части дохода от 0 тыс. руб. до 10 тыс. руб.;

13% с части дохода от 10 тыс. руб. до 25 тыс. руб.;

18% с части дохода от 25 тыс. руб. до 38 тыс. руб.;

26% с части дохода от 38 тыс. руб. и выше.

Предприниматель получил в качестве начисленных процентов сумму: а) 37,9 тыс. руб.; б) 38,1 тыс. руб. Какой налог он должен уплатить? Чему равна средняя ставка налога?

1.7.2. На депозит была помещена сумма в размере 8 тыс. руб. под 20% годовых на 15 месяцев на условиях однократного начис­ления простых обыкновенных процентов. Определите наращенную

сумму с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 12%.

1.7.3. Клиент банка поместил деньги на депозит под простую процентную ставку и через год получил с учетом уплаты налога на проценты 860 руб. Какая сумма была помещена на депозит, если индекс роста ее за это время без учета уплаты налога на процевты составил 1,38 и ставка налога на проценты равна 12%?

1.7.4. В результате использования простой процентной став­ки индекс роста вклада за год составил 1,215. На сколько про­центов за это время увеличился вклад с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 14%?

1.7.5. На депозит была помещена сумма в размере 6 тыс. руб. на полтора года, по истечении которых на сумму были начисле­ны простые проценты по годовой учетной ставке 16%. Опреде­лите наращенную сумму с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 12%.

1.7.6. На какой срок необходимо поместить имеющуюся де­нежную сумму на условиях однократного начисления (по исте­чения срока) простых процентов по процентной ставке 35% го­довых, чтобы она с учетом уплаты налога на проценты увеличи­лась в 2 раза, если ставка налога равна 20%? Как изменится от­вет при осуществлении наращения по простой учетной ставке?

1.7.7. На какой срок необходимо поместить имеющуюся де­нежную сумму на условиях однократного начисления (по исте­чении срока) простых процентов по процентной ставке 40% го­довых, чтобы начисленные проценты с учетом уплаты налога на процевты были в 1,6 раза больше первоначальной суммы, если ставка налога на проценты равна 15%? Как изменится ответ при осуществлении наращения по простой учетной ставке?

1.7.8. Вклад 50 тыс. руб. был размещен в банке 10 февраля под простую процентную ставку 35% годовых и востребован 14 декабря того же года. После уплаты налога на проценты вклад­чик стал обладателем суммы в размере 63,133 тыс. руб. Какой способ начисления процентов использовал банк, если ставка на­лога на проценты равна 12%? Год невисокосный.

1.7.9. Простая процентная ставка по вкладам до востребова­ния, составляющая в начале года 28% годовых, через полгода была увеличена до 35%, а еще через квартал – до 40% годовых. Определите наращенную за год сумму с учетом уплаты налогана проценты, если ставка налога на проценты равна 15%, вели­чина вклада – 12 тыс. руб. и обыкновенные проценты начисля­ются в конце года.

1.7.10. За какой срок вклад 8 тыс. руб. возрастет до 9 тыс. руб. с учетом уплаты налога на проценты при однократном начисле­нии (по истечении срока) процентов по простой процентной став­ке 34% годовых, если ставка налога на проценты равна 12%?

1.7.11. Для участия в некотором проекте предпринимателю понадобится 12 тыс. руб. Между тем он располагает лишь 10 тыс. руб. С целью накопления требуемой суммы предприниматель собирается положить в банк 10 тыс. руб. Предлагаемая банком процентная ставка равна 35% годовых. Какое количество дней необходимо для накопления требуемой суммы с учетом уплаты налога на проценты, если банк начисляет простые проценты, ис­пользуя в расчетах точные проценты и точное число дней, а став­ка налога на проценты равна 12%? Каково необходимое количе­ство дней, если налог на проценты не надо уплачивать? Год висо­косный.

1.7.12. Какую сумму необходимо положить в банк под про­центную ставку 30% годовых с начислением простых процентов по истечении года, чтобы с учетом уплаты налога на проценты можно было бы получать ежегодную ренту в размере 600 руб., а сумма на счете в банке оставалась бы неизменной? Ставка нало­га на проценты равна 20%.

1.7.13. Какую сумму необходимо поместить в банк под про­стую процентную ставку 36% годовых на условиях однократного начисления процентов в конце срока помещения денег, чтобы накопить с учетом уплаты налога на проценты 20 тыс. руб.: а) за полгода; б) за 2 года, если ставка налога на проценты равна 15%7

1.7.14. Клиент собирается поместить в банк 2000 долл. на рублевом депозите сроком на полгода под 58% годовых. Курс покупки долларов на начало срока – 15 руб.40 коп., ожидаемый курс продажи через полгода – 18 руб. 70 коп. Процентная ставка при долларовом депозите – 24%. При любом депозите простые проценты начисляются по истечении срока. Найдите наращен­ную сумму: а) при конвертации валюты; б) непосредственно на валютном депозите с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 12%.

1.7.15. Господин N 1 июля 1998 г. поместил 12 тыс. руб. на трехмесячный депозит под простую процентную ставку 34% годовых. По рублевому депозиту начислялись точные проценты с точным числом дней, ставка налога на проценты равна 12%. На сколько больше рублей получил бы господин N, если бы он на все деньги приобрел доллары США, а 1 октября обменял доллары на рубли? Банк 1 июля продавал доллары США по кур­су 6 руб. 20 коп. за доллар, а 1 октября покупал доллары США по курсу 14 руб. 10 коп. за доллар, и комиссионные при обмене валюты не взимались.

1.7.16. Вкладчик, владея 18 тыс. руб., хочет получить, поло­жив деньги на депозит, через полгода не менее 20 тыс. руб. Оп­ределите требуемую простую годовую процентную ставку, на основании которой вкладчик должен выбрать банк, если ставка налога на проценты равна 15%,

1.7.17. Положив в банк 50 тыс. руб. под простую процент­ную ставку 42% годовых, предприниматель через 9 месяцев по­лучил с учетом уплаты налога на проценты 62,6 тыс. руб. Опре­делите ставку налога на проценты.

1.7.18. Клиент поместил 25 тыс. руб. в банк под простую процентную ставку 34% годовых сроком на 3 месяца. Определи­те доходность такой сделки для клиента в виде простой годовой процентной ставки, если ставка налога на проценты равна 15%. Зависит ли эта доходность от величины помещенной суммы?

Инфляция

Основные положении

• Инфляция представляет собой процесс, характеризующий­ся повышением общего уровня цен в экономике или, что ирак-тическн эквивалентно, снижением покупательной способности денег. При этом инфляция может проявляться двояко: во-первых, в переполнении сферы обращения бумажными деньга-ми вследствие их чрезмерного выпуска; во-вторых, в сокраще­нии товарной массы в обращении при неизменном количестве выпущенных денег. Основополагающим сущностным призна­ком инфляции является рост цен в среднем. • Темпы инфляции определяются с помощью системы ин дексов цен – относительных показателей, характеризующи; среднее изменение уровня цен некоторого фиксированного на­бора товаров и услуг за выбранный период.

• Индекс цен (его также называют индексом инфляции) по­казывает, во сколько раз выросли цены за рассматриваемый пе­риод. Наиболее широко используемым индексом цен является индекс потребительских цен, отражающий рост цен на некото­рый постоянный потребительский набор товаров и услуг (такой набор часто называют потребительской корзиной).

• Темп инфляции, выраженный в процентах, показывает, на сколько процентов выросли цены за рассматриваемый период. Вместо выражения “темп инфляции” часто используют термин ‘-‘уровень инфляции” или просто говорят “инфляция”, подразу­мевая именно ее темп за данный промежуток времени.

• Для того чтобы в условиях инфляции стоимость первона­чального капитала при его наращении на самом деле росла, ис­ходную процентную ставку увеличивают – происходит ее ин­дексация.

• При инфляции различают следующие виды процентных ставок. Номинальная процентная ставка – это исходная базовая (как правило, годовая) процентная ставка, указываемая в дого­ворах. Доходность, выражаемая этой ставкой, не скорректиро­вана на инфляцию. Номинальная ставка говорит об абсолютном увеличении денежных средств инвестора. Реальная процентная ставка показывает доходность с учетом инфляции, характери­зующейся снижением покупательной способности денег. Реаль­ная ставка говорит о приросте покупательной способности средств инвестора. Реальная процентная ставка в условиях ин­фляции всегда меньше номинальной и может быть даже отрица­тельной. Положительная процентная ставка – это любая ставка, при которой будет происходить реальное увеличение стоимости капитала при данном индексе инфляции. Иногда любую про­центную ставку, превышающую номинальную, называют брут-то-ставкой процента. Но, как правило, брутто-ставка является положительной процентной ставкой.

• Дефляция представляет собой процесс, характеризующийся снижением общего уровня цея в экономике.

Вопросы для обсуждения

1. Что представляет собой инфляция?

2. Каким образом могут проявляться инфляционные процессы?

3. Что называется индексом цен и что он показывает? В каких единицах измеряется? Как еще называется индекс цен?

4. Что такое индекс потребительских цен?

5. Как определяется и что характеризует темп инфляции?

6. Какая существует связь между индексом цен и темпом ин­фляции за рассматриваемый период?

7. Всегда ли повышение цены товара является результатом только инфляционных процессов?

8. Могут ли при высоком уровне инфляции цены на некоторые товары оставаться стабильными или даже падать?

9. Возможна ли инфляция при отсутствии денег?

10. Если текущий темп инфляции отличается от ожидаемого, то в каком случае оказывается в выигрыше кредитор, а в каком -должник?

11. Если известны индексы инфляции за каждый из нескольких периодов, расположенных последовательно друг за другом, то каким образом определить индекс инфляции сразу за эти несколько периодов?

12. Как связан среднемесячный темп инфляции с годовым ин­дексом инфляции?

13. В первом году инфляция составила 200%, в следующем году индекс инфляции был равен 2. Во сколько раз выросли цены за эти два года?

14. Можно ли утверждать, что при среднемесячном темпе ин­фляции в 2% годовой темп инфляции будет 24%?

15. Как определяется изменение реальной покупательной спо­собности денег за некоторый период при известном индексе инфляции за этот период?

16. При каком соотношении между множителем наращения и индексом инфляции будет происходить реальное наращение капитала?

17. Что понимается под эрозией капитала?

18. Какая должна быть в условиях инфляции простая процент­ная ставка по кредитам, чтобы взятая сумма с точки зрения ее покупательной способности оставалась постоянной? 19. Какая ставка называется положительной процентной ставкой?

20. Для каких целей в условиях инфляции осуществляют индек­сацию ставки?

21. Каким образом в условиях инфляции можно индексировать банковские вклады?

22. Почему в условиях инфляции необходимо различать номи­нальную и реальную процентные ставки?

23. Можно ли сказать, что номинальная процентная ставка представляет собой выраженное в процентах увеличение де­нежной суммы, которую получает кредитор от заемщика?

24. Можно ли сказать, что реальная процентная ставка представ­ляет собой выраженное в процентах увеличение покупатель­ной способности, которое получает кредитор от заемщика?

25. Может ли реальная процентная ставка быть отрицательной?

26. Может ли 1000% годовых быть отрицательной процентной ставкой?

27. Перечислите виды процентных ставок, которые различают в условиях инфляции.

28. Является ли эффективной финансовая сделка при большой инфляции?

29. Чем характеризуется процесс дефляции?

30. Как изменится за два года индекс потребительских цен, если в первый год дефляция составила 10%, а во втором году ин­фляция равнялась 10%?

§

Пример 1.8.1. За три месяца стоимость потребительской корзины возросла с 634 руб. до 692 руб. Определите: а) индекс потребительских цен за три месяца; б) среднемесячный индекс потребительских цен; в) темп инфляции за три месяца; г) сред­немесячный темп инфляции.

Решение, а) Полагая Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 634 руб., Рг = 692 руб., по форму­ле (39) находим индекс потребительских цен за 3 месяца t=0.25 года):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 1,0915.

Следовательно, за рассматриваемый период цены на некото­рый постоянный потребительский набор товаров выросли в 1,0915 раза, или на 9,15%.

б) Обозначим через Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат среднемесячный индекс потреби­тельских цен (индекс инфляции). Тогда по формуле (42) при

k = 3 получим

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

, откуда

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат .

в) Темп инфляции за три месяца находим из формулы (41):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

т.е темп инфляции, выраженный в процентах, показывает, на сколько проиенгов выросли цены. Такой же результат получает­ся и по формуле (40):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,0915.

г) Аналогичным образом, как в в предыдущем пункте, вос-

пользуемся формулой (41) при t= Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 1,0296-1 = 0,0296.

Конечно Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат можно найти и преобразуя формулу (42). Так как Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат то

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Пример 1.8.2, В течение полугода каждые два месяца цены росли соответственно на 12, 9 и 14%. Определите индекс и темп инфляции: а) за полгода; б) в среднем за месяц; в) в среднем за квартал.

Решение, а) Поскольку индексы цен за каждые два месяца по­следовательно равны 1,12; 1,09 и 1,14, то индекс цен (индекс ин­фляции) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат за полгода (0,5 части года) найдем по формуле (42):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =1.12*1.09*1.14= 1,3917,

откуда находим темп инфляции за этот же период:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =1,3917-1 = 03917,т.е. Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =39,17%.

б) Поскольку Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , то среднемесячный индекс инфляции составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

и поэтому среднемесячный темп инфляции Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 1,0566 -1 = 0,0566,

т.е. Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 5,66%,

в) Индекс инфляции в среднем за квартал (0,25 части года) можно найти либо по формуле (42):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

либо, учитывая, что квартал составляет полгода,

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

и поэтому Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 17,97%.

Пример 1.8.3. В 1993 г. инфляция в Сербии и Черногории составила 313 миллионов процентов [Мицкевич, с.24]. За какое время деньги теряли половину своей покупательной способно­сти, если год полагать равным 360 дням?

Решение, Известно, что при индексе инфляции за период п, равном Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , сумма Р через это время л по своей покупатель­ной способности в ценах текущего дня составит величину Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат . В условии примера речь идет о темпе инфляции за год,

и поэтому для годового индекса инфляции имеем Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 3130001, а следовательно, ежедневный ( за Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат года) индекс инфля­ции равен величине Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат . Таким образом, надо определить такое количество дней t, чтобы выполнялось равенство Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =2. Логарифмируя обе части этого равенства, получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

откуда:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат дня, т.е. примерно 17 дней.

Очевидно, что если считать в году 365 дней, то:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат дня,

т.е. также примерно 17 дней.

Таким образом, в частности, практически через месяц (через 34 дня) сумма Р по своей покупательной способности в цеаах текущего дня составит величину Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , т.е. потеряет три четверти своей покупательной способности.

Пример 1.8.4. Определите реальную процентную ставку за год, если номинальная простая процентная ставка равна 42% годовых при годовом темпе инфляции в 20%. Какова должна быть номинальная процентная ставка, чтобы при такой инфля­ции обеспечить реальную доходность 42% годовых?

Решение.Полагая в формуле (46) n=1, r = 0,42, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =1.2 получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

т.е. доходность с учетом инфляции при начислении простых процентов составляет: rreai =18,33% годовых.

Чтобы иметь реальную доходность 42% в условиях инфля­ции, необходимо установить процентную ставку, большую, чем 42%. Значение такой ставки находим по формуле (45):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = (1 0,42) 1.2 -1 = 0,704, или 70,4% годовых.

Естественно, можно было воспользоваться и формулой (44), полагая Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат :

r = 0,42 0,42 *0,2 0.2= 0,704.

Пример 1.8.5.Клиент положил на депозит 16 тыс. руб. на полгода под простую процентную ставку 46% годовых. Опреде­лите реальную (по. своей покупательной способности) сумму, которую получит через полгода клиент, если среднемесячный темп инфляции составлял 3%. Чему равна реальная доходность такой финансовой операции для клиента в виде годовой простой процентной ставки? При какой процентной ставке сумма на де­позите реально остается постоянной?

Решение.По формуле (42) находим индекс инфляции за полгода:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

По формуле (43) находим наращенную сумму с учетом ее обесценения:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс.руб

Таким образом, по своей покупательной способности 16 тыс. руб. увеличатся за полгода всего на 481 руб. Следовательно, из-за инфляции реальная доходность помещения денег на депозит в виде годовой процентной ставки по формуле (23) составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,0601,

т.е. всего 6,01%, а не 46%. Такой же результат получим, и вос­пользовавшись формулой (46), в которой и =0,5, r = 0,46, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =1.1941

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Сумма на депозите с учетом инфляции не изменится за пол­года, если множитель наращения будет равен индексу инфля­ции, т.е. 1 nr= Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат . Поэтому:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

т.е. для нашего примера:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 03882.

Итак, процентная ставка 38,82% годовых будет просто ком­пенсировать негативное действие инфляции за полгода, и только при ставках, больших 38,82% (так называемых положительных процентных ставках) будет происходить (при наращении) ре­альное увеличение капитала.

Конечно, при сохранении темпа инфляции 3% в месяц и процентной ставке 38,82% годовых сумма на депозите за год уменьшится. Чтобы она не изменилась за год с учетом инфля­ции, процентная ставка должна быть больше, чем 38,82%. Дей­ствительно, поскольку годовой индекс инфляции составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

то, применяя последнюю формулу при n = 1, получим:

r = 1,4258 -1 = 0,4258 = 42,58%.

Пример 1.8.6.Предприниматель получил в банке кредит 80 тыс. руб. на год. Какую процентную ставку но кредиту должен установить банк, чтобы обеспечить реальную доходность этойфинансовой операции в 28% годовых при ожидаемом годовом темпе инфляции 20%? Какую сумму должен будет вернуть предприниматель?

Решение.Так как для годового темпа инфляции имеем Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,2, то по формуле (44) находим искомое значение процент­ной ставки:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,28 0,28 *0.2 0,2 =0,536.

Следовательно, процентная ставка должна быть равной 53,6% годовых, и в соответствии с ней предприниматель через год должен будет возвратить сумму:

F =80(1 0,536) = 122,88 тыс. руб.

Очевидно, что процентная ставка, только компенсирующая действие инфляции, равна 20% годовых.

Пример 1,8.7.На сумму 8 тыс. руб. в течение трех кварталов начислялись простые проценты по следующим процентным ставкам: в первом квартале – 40% годовых, во втором – 45% го­довых, в третьем – 50% годовых. Среднемесячные темпы ин­фляции за кварталы оказались равными соответственно 3, 1,5 и 2%. Определите наращенную сумму с учетом инфляции и ре­альную доходность владельца счета в виде годовой процентной ставки.

Решение.Определим вначале наращенную сумму без учета инфляции по формуле (15), полагая Р = 8 тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0.25 года, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,4, i2 = 0,45, i3 = 0,5 :

.F = 8 * (1 0,25 * 0,4 0,25 * 0,45 0,25 * 0,5) = 10,7 тыс. руб.

Индекс инфляции за три квартала (0,75 года) составит вели­чину:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =(1 0.03)3 *(1 0.015)3 *(1 0.02)3 =1,2126. Теперь можно найти наращенную сумму с учетом инфляции:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 8,824 тыс. руб.

Реальный доход владельца счета равен:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат -P = 8,824-8 = 0,824 тыс.руб.

Таким образом, реальную доходность от помещения денег в рост определяем по формуле:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , т.е. 13,73% годовых.

Очевидно, что в данном примере множитель наращенияс учетом инфляции равен величине:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Пример 1.8.8.Банк выдает кредит по простой процентной ставке 44% годовых, при этом удерживая комиссионные в разме­ре 3,5% от суммы кредита. Определите действительную доход­ность для банка такой кредитной операции в виде простой годо­вой процентной ставки, если кредит выдается: а) на 4 месяца; б) на год. Банк начисляет обыкновенные проценты на исходную сумму кредита, и ежемесячный темп инфляции составляет 2%.

Решение,а) Обозначим величину кредита через Р, тогда банк удерживает в свою пользу комиссионные в размере 0,035Р и поэтому выдает сумму Р – 0.035P = 0,965Р. За 4 месяца (1/з года) с учетом инфляции величина кредита вместе с начисленными процентами составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Следовательно, общий доход банка равен 1,0593Р-0,965Р = 0,0943Р, Таким образом, действительная до­ходность кредитной операции для банка в виде годовой про­центной ставки составит: <

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

т.е. r = 2932% годовых.

б) Проводя аналогичные вышеприведенным рассуждения, |дим, что в этом случае общий доход банка равен:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

и, следовательно, доходность составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , или 17,66% годовых.

В данном случае доходность меньше, чем в предыдущем пункте, так как за год деньги обесоениваются в большей степе­ни, чем за 4 месяца, да и комиссионные в величину доходности доставляют в три раза меньший относительный вклад за год, чем за 4 месяца.

Пример 1.8.9. Вексель учитывается в банке за три месяца до срока его погашения. Какую простую учетную ставку должен применить банк, чтобы при ежемесячном темпе инфляции в 4,5% обеспечить реальную доходность операции учета в виде простой процентной ставки 40% годовых?

Решение. По формуле (42) определяем индекс инфляции за 3 месяца (0,25 года):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Изложим два подхода к решению примера. Согласно перво­му подходу вначале определяем по формуле (45) процентную ставку, обеспечивающую при данной инфляции реальную до­ходность 40% годовых:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат т.е 102.13%

Поскольку реальная доходность операции учета должна со­ответствовать реальной доходности, доставляемой реальной процентной ставкой 40% годовых, то искомая учетная ставка находится по формуле (26), где n = 0Д5 и r = 1,0213 . Таким обра­зом:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,8136, т.е. 81,36% годовых.

При другом подходе вначале находим по формуле (26) зна­чение реальной простой учетной ставки, соответствующее зна­чению реальной процентной ставки 40%:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,36364 = 36,364%.

Затем по формуле (47) находим учетную ставку, обеспечивоющую в условиях существующей инфляции реальную доходнось согласно учетной ставке 36,364%:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Получили тот же результат.

Пример 1.8.10. Под какую простую процентную ставку в условиях начисления обыкновенных процентов необходимо по­местить имеющуюся денежную сумму, чтобы она реально (по своей покупательной способности) увеличилась на 20% за 10 месяцев с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 12% и ежемесячный темп инфляции равен 3%? Если наращение осуществляется по простой учетной ставке, то какая она должна быть?

Решение. Определяем по формуле (42) индекс инфляции за

10 месяцев ( Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат года):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =(1 0,03)10 =13439.

Пусть Р – величина денежной суммы и г – искомая процент­ная ставка. Тогда начисленные проценты без учета инфляции на­ходим по формуле (12):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

С этой величины в счет уплаты налога проценты пойдет суыма 0.12 I и, следовательно, после уплаты величина наращен­ной суммы составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

а с учетом инфляции:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Полученная сумма должна быть больше исходной на 20%, т.е. в 1,2 раза:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =1.2P

Сокращая обе части уравнения на Р и решая уравнение от­носительно r, получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,8355,т.е. r-83,55% годовых.

Если наращение осуществляется по простой учетной ставке d, то:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

После уплаты налога величина наращенной суммы составят:

P 0.88I= Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Полученная сумма с учетом инфляции должна быть больше исходной в 1,2 раза:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатКак рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Сокращая обе части уравнения на Р и решая уравнение от­носительно d, получим d = 0,4926, или d= 49,26% годовых.

Заметим, что такой же результат получим сразу, определяя по формуле (26) учетную ставку, эквивалентную простой про­центной ставке r= 83,55% при n= 5/6

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,4926.

Задачи

1.8.1. За полгода стоимость потребительской корзины возросла с 645 руб. до 788 руб. Определите индекс и темп инфляции:

а) за полгода; б) среднемесячные; в) в среднем за два месяца.

1.8.2. Среднемесячный темп инфляции в течение года со­ставлял 4%. Определите индекс и темп инфляции: а) за квартал;

б) за полгода; в) за год.

1.8.3. В течение года каждый квартал цены росли соответст­венно на 10, 15, 8 и 12%. Определите индекс и темп инфляции: а) за год; б) в среднем за месяц; в) в среднем за квартал.

1.8.4. На сумму в 10 тыс, руб. в течение трех месяцев начис­лялись простые проценты но ставке 30% годовых. За каждый месяц цены росли соответственно на 7, 5 и 4%. Найдите нара­щенную сумму с учетом инфляции и величину годовой положи­тельной процентной ставки.

1.8.5. В стране годовой индекс инфляции составил 900%. Определите среднемесячный и средний ежедневный темпы ин­фляции. За какое время деньги теряли половину своей покупа­тельной способности, если год полагать равным 360 дням?

1.8.6. В некоторой стране годовая гиперинфляция составила 80 миллионов процентов. За какое время деньги теряли четвер­тую часть своей покупательной способности, если год считать равным 360 дням?

1.8.7. Доход от финансовой операции, проведенной в тече­ние полугода, составил 30 тыс. руб., причем было вложено в операцию 120 тыс. руб. Среднемесячный темп инфляции в это время составлял 1%. Определите реальную норму прибыли фи­нансовой операции с учетом инфляции.

1.8.8. В результате инвестирования в некоторый проект 35 тыс. руб. через 3 года получено 70 тыс. руб. Темпы инфляции по годам соответственно составили 30, 15 и 20%. Определите ре­альную норму прибыли от инвестирования с учетом инфляции. Какова норма прибыли при отсутствии инфляции?

1.8.9. В течение трех лет предприятие имело следующие по­казатели относительно вложенного капитала, при условии, что вся прибыль реинвестируется: 1-й год – 80% прибыли, 2-й год -10% убытков, 3-й год – 60% прибыли. Какова общая прибыль на вложенный капитал (в процентах) с учетом среднегодового тем­па инфляции в 20%?

1.8.10. В результате инвестирования первоначальный капи­тал за первые два квартала вырос в 1,5 раза, за третий квартал общий капитал вырос в 1,3 раза и за четвертый квартал вся сумма увеличилась в 1,1 раза. Определите, на сколько процентов ре­ально увеличилась первоначальная сумма по своей покупатель­ной способности, если среднемесячный темп инфляции состав­лял 2%.1.8.11. Индексы роста вклада за четыре квартала, следующие друг за другом, составили 1,16; 1,09; 1,12 и 1,22. При какой’ среднемесячной инфляции вклад за это время реально (по своей покупательной способности): а) увеличится на 10%; б) не изме­нится?

1.8.12. Господин N купил дом в январе 1986 г. за 18 тыс. руб. и продал его в январе 1991 г. за 250 тыс. руб. Инфляция по го­дам, с 1986 по 1990 г. включительно, составляла соответственно 15, 20, 40, 60, 200%. Выиграл или проиграл господин N и на сколько процентов?

1.8.13. В финансовом соглашении были предусмотрены сле­дующие процентные ставки на год: за первый квартал – 26% годовых; за второй квартал – 30% годовых; за третий и четвер­тый квартал – 35% годовых. Темпы инфляции за кварталы ока­зались равными соответственно 8, 5, 6 и 3%. Определите мно­житель наращения за год с учетом инфляции, если в течение го­да начисляются простые проценты.

1.8.14. Простая процентная ставка по вкладам до востребо­вания, составляющая в начале года 30% годовых, через полгода была увеличена до 35%, а еще через квартал – до 40% годовых. Определите реальную величину (по своей покупательной спо­собности) процентов, начисленных за год на вклад 20 тыс. руб., если темп инфляции каждый квартал составлял 6%

1.8.15. На сумму 15 тыс. руб. в течение четырех кварталов начислялись простые проценты по следующим процентным ставкам: в первом квартале – 38% годовых, во втором – 44% го­довых, в третьем – 50% годовых я в четвертом – 54% годовых. Среднемесячные темпы инфляции за кварталы оказались рав­ными соответственно 1,2, 1,5 и 0,5%. Определите наращенную сумму с учетом инфляции и реальную доходность владельца счета в виде годовой процентной ставки.

1.8.16. Господин N получил в банке ссуду на два года под процентную ставку 36% годовых. В первый год индекс цен со­ставил 1,3; во второй – 1,2. Определите, во сколько раз реальная сумма долга (по своей покупательной способности) к концу срока ссуды будет больше выданной банком суммы, если банк начислял простые проценты. Каков будет ответ при отсутствии инфляции?

1.8.17. Банк выдал ссуду на 75 дней в размере 700 тыс. руб. под простую процентную ставку 40% годовых. Рассчитайте ре­альный доход банка с учетом инфляции, если темп инфляции за это время составил 8% и при начислении простых процентов считается, что в году: а) 360 дней; б) 365 дней.

1.8.18. Имеется два варианта вложения капитала на 2 года. Согласно первому варианту исходный капитал за первый год увеличится на 40%, а за второй год вся сумма увеличится на 30%, Для второго варианта рост капитала составит каждый год 35% от суммы предыдущего года. Сколько процентов составит реальная прибыль по каждому варианту при ожидаемом еже­годном темпе инфляции 20%?

1.8.19. Определите реальную процентную ставку за год, если номинальная простая процентная ставка равна 30% годовых при годовом темпе инфляции в 16%. Какова должна быть номиналь­ная процентная ставка, чтобы при такой инфляции обеспечить реальную доходность 30% годовых?

1.8.20. Определите реальную простую процентную ставку, если номинальная годовая процентная ставка равна 36% годо­вых и годовой индекс инфляции составил 1,26. Чему должна быть равна величина положительной процентной ставки? Чему должна быть равна величина положительной процентной ставки, обеспечивающая реальную доходность в 36% годовых?

1.8.21. Определите реальную простую учетную ставку, если номинальная годовая учетная ставка равна 30% годовых и годо­вой индекс инфляции составил 1,2. Чему должна быть равна ве­личина учетной ставки, обеспечивающая реальную доходность, определяемую простой учетной ставкой в 30% годовых?

1.8.22. Предприниматель получил в банке кредит на сумму 60 тыс. руб. на год. Какую процентную ставку по кредиту дол­жен установить банк, чтобы обеспечить реальную доходность этой финансовой операции в 15% годовых при ожидаемом годо­вом темпе инфляции 30%? Какую сумму должен будет вернуть предприниматель?

1.8.23. Предприниматель получил в банке кредит на сумму 50 тыс. руб. на 9 месяцев. При ожидаемом среднемесячном тем­пе инфляции 3% банк хочет обеспечить реальную доходность такой финансовой операции в 20% годовых. Какая простая про-цеатная ставка по кредиту должна быть установлена? Какова будет величина погашаемой суммы?

1.8.24. Выдан кредит в размере 100 тыс. руб. с 19 февраля по 6 ноября того же года под простую процентную ставку при ус­ловии начисления: а) обыкновенных процентов с точным чис­лом дней; б) точных процентов с точным числом дней. Ожида­ется, что индекс цен к моменту погашения кредита составит 1,4. Какую процентную ставку по кредиту должен установить банк, чтобы обеспечить реальную доходность этой финансовой опе­рации в 25% годовых? Какова будет величина погашаемой сум­мы? Выполните расчеты, полагая год невисокосным.

1.8.25. Предприниматель получил ссуду с 15 февраля по 14 ноября того же года под простую процентную ставку 70% годо­вых. Во сколько раз вырос реальный долг (по своей покупатель­ной способности) при начислении обыкновенных процентов: а) с точным числом дней; б) с приближенным числом дней если за срок ссуды темп инфляции составил 42,6% и год висо косный?

1.8.26. Господин N, владея 30 тыс. руб., хочет получить, по­ложив деньги на депозит, через год не менее 35 тыс. руб. с точки зрения их покупательной способности. Имеет ли смысл ему об­ратиться в банк, применяющий простую процентную ставку 42% годовых, если прогнозируемый темп инфляции в году ра­вен 15%?

1.8.27. Вкладчик намеревается поместить в банк 9 тыс. руб. на 240 дней на условиях начисления простых обыкновенных процентов. Какова должна быть процентная ставка, обеспечи­вающая накопление 10 тыс. руб. (рассматриваемых с точки зре­ния сохранения их покупательной способности), если предпола­гаемый ежемесячный темп инфляции равен 3%?

1.8.28. Банк выдал кредит на 6 месяцев по простой процент­ной ставке 42% годовых, при этом удержав комиссионные в размере 3% от суммы кредита. Определите действительную до­ходность для банка такой кредитной операции в виде годовой процентной ставки, если простые обыкновенные проценты на­числялись на исходную сумму кредита и ежемесячный темп ин­фляции составлял 2%.

1.8.29. Под какую простую годовую процентную ставку в условиях начисления обыкновенных процентов необходимо по­местить имеющуюся денежную сумму, чтобы она реально (посвоей покупательной способности) увеличилась в 1,25 раза за 9 месяцев с учетом уплаты налога на проценты, если ставка нало­га на проценты равна 12% и ежемесячный темп инфляции равен 2%? Бели наращение осуществляется по простой учетной став­ке, то какая она должна быть?

1.8.30. Простая процентная ставка по вкладам до востребо­вания, составляющая в начале года 30% годовых, через каждые два месяца увеличивалась на 2,5%. Определите реальную вели­чину (по своей покупательной способности) наращенной за год суммы с учетом уплаты налога на проценты, если величина вклада – 20 тыс. руб., среднемесячный темп инфляции – 2% и ставка налога на проценты равна 12%.

1.8.31. В 1993 г. в России можно было поместить деньги на рублевый депозит под 500% годовых или на долларовый депо­зит под 35% годовых. Инфляция тогда составляла примерно 900%. Выясните, какой из депозитов был предпочтительнее, если курс продажи долларов в начале года был 450 руб., а в кон­це – 1250 руб. за 1 доллар.

1.8.32. Банк выдает клиенту кредит на 3 месяца, в течение которых, по оценкам экспертов, ежемесячный индекс инфляции составит 1,015. Начисление процентов осуществляется по про­стой учетной ставке. Найдите значение учетной ставки, компен­сирующей потери от инфляции, если банк желает обеспечить реальную доходность, определяемую простой учетной ставкой 22% годовых. Какова должна быть учетная ставка, обеспечи­вающая в условиях инфляции реальную доходность, определяе­мую простой процентной ставкой в 22% годовых?

1.8.33. При учете векселей в условиях инфляции должна быть обеспечена реальная доходность, определяемая простой учетной ставкой, равной 30% годовых. Какую простую учетную ставку в этом случае нужно применить, если ожидаемый темп инфляции составляет 4% в месяц и вексель предъявлен для уче­та за 2 месяца до срока его погашения?

1.8.34. Вексель учитывается в банке за 4 месяца до срока его погашения. Какую простую учетную ставку должен применить банк, чтобы при ежемесячном темпе инфляции 3,5% обеспечить реальную доходность операции учета в виде простой процент­ной ставки 42% годовых?

1.9. Замена и консолидация платежей

Основные положения

• На практике постоянно возникают ситуации, вынуждаю­щие участников сделки к изменению условий ранее заключен­ного финансового соглашения. В частности, это касается и пла­тежей. Например, изменение сроков платежей (обычно на более отдаленные, а иногда и в сторону уменьшения, т.е. досрочное погашение задолженности), объединение нескольких платежей в один (консолидация платежей) с установлением срока его пога­шения и т.п.

• В результате любых изменений ни один из участников не должен терпеть убыток, поэтому в такого рода ситуациях руко­водствуются принципом финансовой эквивалентности, устанав­ливающим неизменность финансовых отношений участников до и после изменения финансового соглашения.

• На практике при изменении условий выплат денежных сумм принцип финансовой эквивалентности реализуется путем составления уравнения эквивалентности, согласно которому сумма заменяемых платежей, приведенных к одному моменту времени, приравнивается сумме платежей по новому соглаше­нию, приведенных к тому же моменту времени. Для кратко­срочных контрактов процесс приведения, как правило, осущест­вляется на основе простых ставок.

• Для каждой конкретной ситуации получается свое уравне­ние эквивалентности, а в некоторых простых случаях можно обойтись и без него.

• Два контракта считаются эквивалентными, если приведен­ные стоимости потоков платежей по этим контрактам одинако­вы. Однако при использовании приведенных значений плате­жей, осуществленных на основе простых ставок, необходимо согласовать дату (ее называют базовой), на которую производят приведение, ведь от изменения базовой даты в случае простых процентов меняются (иногда в меньшей, а иногда в большей степени) значения новых искомых характеристик.

Вопросы для обсуждения

1. Что означает консолидация платежей?

2. Приведите примеры изменения финансового соглашения а результате изменения условий, касающихся выплат денеж­ных сумм?

3. Что такое принцип финансовой эквивалентности?

4. Каким образом на практике реализуется принцип финансо­вой эквивалентности?

5. На основе каких ставок, как правило, осуществляется про­цесс приведения для краткосрочных контрактов?

6. Верно ли положение о том, что при сравнении платежей их приведение к одному моменту времени может осуществ­ляться как путем дисконтирования, так и путем наращения?

7. При замене старого срока платежа новым в каком случае новый платеж будет больше прежнего платежа, а в каком -меньше?

8. При замене старого платежа новым в каком случае срок его выплаты будет больше прежнего срока платежа, а в каком -меньше?

9. (Всегда ли можно некоторый платеж, изменяя срок его вы-

платы, заменить любым по величине платежом?

10. Можно ли трактовать процесс наращения (в частности, про­стыми процентами) как один из случаев замены одного пла­тежа другим?

11. Каким образом можно связать между собой замену одного платежа другим и процесс дисконтирования?

12. Какие контракты считаются эквивалентными?

Типовые примеры н методы их решения

Пример 1,9.1. Согласно новому финансовому соглашению платеж 80 тыс. руб. со сроком уплаты 6 месяцев заменяется платежом со сроком уплаты: а) 3 месяца; б) 9 месяцев. Найдите величину нового платежа, если используется простая процент­ная ставка 40% годовых.

Решение. Пусть Р1=80 тыс. руб., r =0,4 . Считая, что год со­держит 360 дней и каждый месяц – 30 дней, полагаем Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,5 года. а) Полагая Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат года и учитывая,что Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , по формуле(49) получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 72,727 тыс. руб.

Этот же результат можно получить, и не пользуясь формулой (49), а составив для данной конкретной ситуации уравнение экви­валентности, руководствуясь принципом финансовой эквивалент­ности. В соответствии с этим принципом величина платежа Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат должна быть такой, что, получив через 3 месяца ( Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,25 года) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат и инвестировав эту сумму под простую процентную ставку r = 0,4, кредитор через время Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат мог бы получить сумму Р1 = 80 тыс. руб. Таким образом, получим уравнение:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

в котором неизвестной величиной будет Ро .

Обратим внимание на следующий факт.

Если не применять принцип финансовой эквивалентности, а просто воспользовать­ся равенством приведенных стоимостей (на начальный момеят времени) этих платежей, т.е. соотношением

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

то платеж Ро будет равен:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб.

Эта сумма больше, чем 72,727 тыс. руб. Инвестировав 73,333 тыс. руб. под 40% годовых, кредитор через 3 месяца ( Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат года) получил бы 73,333(1 0,25-0,4) = 80,666 тыс. руб., т.е. на 666 руб. больше, чем было предусмотрено первым финансовым соглашением.

б) Поскольку в этом случае Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат и Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат > Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат то по форму­ле (49) получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =80(1 (0,75 – 0,5) *0,4) = 88 тыс, руб,

Согласно принципу финансовой эквивалентности в этом случае величина платежа Ро должна быть такой, что, получив через 6 месяцев ( Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,5 года) сумму Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 80 тыс. руб. и инве­стировав эту сумму под простую процентную ставку r = 0,4, кредитор через время Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат мог бы получить сумму Ро. Следо­вательно, Ро находится из уравнения Ро = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат сов­падающего по виду с примененной формулой.

Если же просто воспользоваться равенством приведенных стоимостей, то

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс, руб,

что меньше, чем 88 тыс. руб. Т.е. кредитору не имеет смысла менять условия соглашения, так как по первому контракту он может получить больше.

Пример 1.9.2. Найдите величину нового срока, если платеж в 20 тыс. руб. с уплатой через 250 дней предполагается заменить платежом в 18 тыс. руб. Используется простая процентная став­ка 35% годовых, и расчетное число дней в году равно 360.

Решение. Очевидно, что так как 18 тыс. руб. меньше 20 тыс. руб., то новый срок Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат должен быть меньше 250 дней. Полагая Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =20 тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =250/360 года,Р=18 тыс. руб., r = 035,по формуле (50) для случая Ро < Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат года .или Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 135 дней.

Проверим этот результат. Пусть через 135 дней кредитор по­лучит 18 тыс. руб., тогда, инвестировав эту сумму на 115 дней (0,319 года) под простую процентную ставку 35% годовых, он получит 18(1 03190,35) = 20,0097=20 тыс. руб. Таким образом, с изменением финансового соглашения кредитор убытка не по­несет, поскольку через общий срок, равный 250 дням (135 115), он получит 20 тыс. руб., как и в первоначальном вариан­те контракта.

Обратим внимание, что платеж в 20 тыс. руб. нельзя заме­нить любым платежом f, меньшим этой суммы. По смыслу Ро не может бытьменьше приведенной к начальному моменту величины капитала Р1, т.е. РоКак рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат (что и указано в формуле (50)). В условиях разобранного примера: РоКак рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 16,089 тыс. руб.

Пример 1.9.3.Платежи в 6, 4 и 10 тыс. руб. должны быть погашены соответственно через 90, 165 и 270 дней. Кредитор и должник согласились заменить три платежа одним через 120 дней. Найдите величину консолидированного платежа, если используется простая процентная ставка 38% годовых и в расчет принимаются обыкновенные проценты.

Решение.При решении задач такого типа пользуются уравне­нием эквивалентности, согласно которому сумма заменяемых пла­тежей, приведенных к одному моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому соглашению, приведенных к той же дате. Причем приведение осуществляется путем дисконтирования к более ранней дате или путем наращения величины соответст­вующего платежа, если эта дата относится к будущему.

В данном случае платежи в 6, 4 и 10 тыс. руб. заменяются единым платежом Ро, величину которого обычно определяют путем приведения всех платежей к дате погашения платежа Ро.

Так как срок погашения платежа в 6 тыс. руб. меньше 120 дней, то процесс приведения для этого платежа будет осуществ­ляться в виде процесса наращения в течение 30 дней (120 – 90) по простой процентной ставке 38% годовых.

Так как срок погашения платежа в 4 тыс. руб. больше 120 дней, то процесс приведения для этого платежа будет осуществ­ляться в виде процесса дисконтирования по простой процентной ставке 38% годовых за 45 дней (165 – 120). По той же причине сумма 10 тыс. руб. дисконтируется за 150 дней (270 – 120).

Складывая приведенные суммы платежей, получим величи­ну консолидированного платежа Ро:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб.

Если бы за дату приведения выбрали, например, время выплаты платежа в 6 тыс. руб., то, рассуждая, как и выше» получи­ли бы такое уравнение:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

откуда Р =18,683 тыс. руб.

При выборе в качестве даты приведения момент отсчета всех сроков получим уравнение:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

из которого находим, что Ро =18,780 тыс. руб.

Отличие результатов из-за выбора даты приведения обу­словлено правилами наращения и дисконтирования по простым процентам. Поэтому при изменении финансового соглашения необходимо оговорить дату, на которую будет осуществляться приведение всех сумм.

Если же рассматривать в общем виде задачу замены плате­жей Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат2,…,Рт, выплачиваемых соответственно через время n1 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат,…,nm , одним платежом Ро с выплатой через время «о, то, рассуждая, как и выше, можно получить путем приведения всех платежей к дате выплаты платежа Ро уравнение эквивалентно­сти, в правой части которого платежу Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , будет соответствовать слагаемое Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат (1 ( Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат )r ). если, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат платежу Pj будет срответствовать слагаемое , Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат если Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат Таким образом, уравнение имеет вид:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

где в первой сумме происходит суммирование по тем i, для ко­торых выполнено Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , а во второй сумме – по тем j, для ко­торых Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат .

Пример 1.9.4.Платежи в 3 тыс, руб., 5 тыс. руб. и 7 тыс. руб. должны быть внесены через соответственно 70, 130 и 180 дней. Было достигнуто соглашение заменить три платежа одним, рав­ным им сумме. Определите срок уплаты консолидированного платежа, если используется простая процентная ставка 32% го­довых в условиях начисления обыкновенных процентов.

Решение.На практике для определения срока hq консоли­дированного платежа дисконтируют все величины платежей на начальный момент и затем приравнивают приведенную стои­мость консолидированного платежа к сумме приведенных стои­мостей исходных платежей. Решая полученное уравнение отно­сительно п, находим искомый срок.

Итак, находим вначале дисконтированные стоимости исход­ных платежей:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 2,824 тыс. руб.,

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 4,482 тыс. руб.,

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 6,034 тыс. руб.

Поскольку приведенная стоимость консолидированного платежа равна Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб., то приходим к уравнению:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 2,824 4,482 6,034,

решая которое, находим Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0389 года, или Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 140 дням.

Можно было и сразу воспользоваться формулой (51), пола­гая Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =3 тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =5 тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =7 тыс. руб., Ро= 15 тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 70/360 года, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =130/360 года, n3=180/36О года, r = 0,32:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0389 года.

Обратим внимание, что пользоваться формулой (51) можно только в том случае, когда справедливо неравенство

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

В противном случае эта формула даст отрядательные значения срока Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Если Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат и Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат для всех к, то вместо фор-

мулы (51) можно воспользоваться ее приближенным вариантом – формулой определения среднего срока (31). В изложенном примере указанные условия выполнены, поэтому (считая сразу в днях):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат дня

т.е. полученный результат отличается от ранее определенного на один день.

Пример 1.9.5.Согласно контракту предприниматель должен выплатить кредитору 10 тыс. руб. через год, 40 тыс. руб. – через 3 года и 30 тыс. руб. – через 5 лет. Предприниматель предлагает выплатить 30 тыс. руб. через 2 года и 40 тыс. руб. – через 4 года. Являются ли эти контракты эквивалентными, если в расчетах используется простая процентная ставка 34% годовых?

Решение.Два контракта считаются эквивалентными, если приведенные стоимости потоков платежей по этим контрактам одинаковы. В качестве даты приведения обычно принимают да­ту, от которой измеряются все сроки, В данном случае – это мо­мент заключения контракта.

Сумма приведенных стоимостей платежей по первому кон­тракту составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =38376 тыс. руб.

Аналогичным образом для второго контракта получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 34,806 тыс. руб.

Таким образом, первый контракт для кредитора выгоднее.

Пример 1.9.6.Имеется обязательство выплатить суммы 16 тыс. руб. и 24 тыс. руб. соответственно 12 апреля и I сен­тября. Стороны решили пересмотреть порядок выплат: 10 тыс. руб. выплачиваются 20 мая, 8 тыс. руб. – 10 июля и остаток долга погашается 1 августа. Определить величину третьего пла­тежа, если пересчет осуществляется по простой процентной ставке, равной 40% годовых, по способу 365/365. Все операции производятся в пределах одного невисокосного года.

Решение.За дату приведения примем 12 апреля – время вы­платы 16 тыс. руб. Для лучшего понимания вида уравнения эк­вивалентности в данном случае укажем явным образом поряд­ковые номера в году представленных в контракте дат: 12 апре­ля-102; 1 сентября – 244; 20 мая – 140; 10 июля- 191; 1 августа – 213. Обозначая остаток долга через Р, запишем уравнение эквивалентности:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

решая которое относительно Р, найдем Р = 22.297 тыс. руб.

Пример 1.9.7.Требуется заменить вексель на сумму 18 тыс. руб. со сроком погашения через 60 дней векселем со сроком по­гашения через 25 дней. В расчетах применяется простая учетная ставка 30% годовых и считается, что в году 360 дней.

Решение.Полагая Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =18 тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =60/360 года, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =25/360 года, d = 0,3 и учитывая, что Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат <п1 по формуле (52) получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 17,475 тыс. руб.

Пример 1.9.8.Определите величину нового срока при заме­не платежа 40 тыс. руб. со сроком уплаты 75 дней платежом 46 тыс. руб., если расчеты осуществляются с помощью простой учетной ставки 32% годовых на базе финансового года, равного 360 дням.

Решение.Пусть Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 40 тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =75/360 года, Ро = 46 тыс. руб., d = 032 . Учитывая, что Ро > Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , по формуле (53) получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =0,616 года,т.е. Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =222 дня.

Пример 1.9.9.Владелец векселей на сумму 3,5 тыс. руб., 9 тыс. руб. й 6 тыс. руб. со сроками погашения соответственно 14 июня, 20 августа и 5 октября согласился с предложением должника об объединении трех векселей в один со сроком по­гашения 10 сентября того же года. Какую сумму необходимо проставить в консолидированном векселе, если используется простая учетная ставка и способ 365/360?

Решение. Используя учетную ставку 30% годовых, осущест­вим приведение всех сумм на 10 сентября – дату погашения консолидированного векселя.

Так как срок погашения первого векселя меньше даты при­ведения, то на сумму 3,5 тыс. руб. происходит наращение про­стыми процентами по учетной ставке в течение 88 (253 – 165) дней. По той же причине осуществляется наращение в течение 21 (253 – 232) дня на сумму 9 тыс. руб. Вексель на сумму 6 тыс. руб. учитывается за 25 (278 – 253) дней.

Складывая приведенные суммы, получим величину Ро кон­солидированного векселя:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 18,812 тыс. руб.

Вообще, рассматривая задачу консолидации платежей Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат2,…,Рт, выплачиваемых соответственно через время n1 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат,…,nm, с применением учетной ставки d и выбирая за дату приведения момент уплаты консолидированного платежа Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , с помощью рассуждений, как и при решении примера, можно по­лучить следующее уравнение эквивалентности:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

где в первой сумме происходит суммирование по тем i, для ко­торых выполнено «о а щ, а во второй сумме – по тем j, для которых nQ<rtt.

Пример 1.9.10.В соответствии с контрактом предпринима­тель должен выплатить кредитору суммы в размерах 12, 20 и 50 тыс. руб. через 90, 120 и 210 дней после 15 марта. Однако бьшо принято совместное решение погасить все суммы единым платежом в 72 тыс. руб. Найдите дату уплаты консолидирован­ного платежа, если используется простая учетная ставка 34% годовых на базе финансового года, равного 360 дням.

Решение. Для пояснения существа дела покажем вначале, как в данном случае можно составить уравнение эквивалентно­сти для определения срока консолидированного платежа. Как и при использовании простой процентной ставки, в этой ситуации для определения срока «q консолидированного платежа осуще­ствляют дисконтирование всех сумм по простой учетной ставке на начальный момент (в примере – 15 марта) и затем приравни­вают приведенную стоимость консолидированного платежа к сумме приведенных стоимостей исходных платежей. Решая ло-лученное уравнение относительно «о, находят искомый срок.

Итак, находим вначале дисконтированные стоимости исход­ных платежей:

12(1 – Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0.34) =10,98 тыс.руб.,

20(1 – Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0.34) = 17,733 тыс. руб

50(1 – Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0.34) = 40,083 тыс. руб.

Так как приведенная стоимость консолидированного плате­жа равна 72(1 – Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат * 0,34) тыс. руб., то уравнение примет вид:

72(1- Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 034) = 10,98 17,733 40,083,

решая которое, находим mq =0,131 года, или ло =47 дней. Отсчи­тывая от 15 марта 47 дней, получим 1 мая – дату уплаты консоли­дированного платежа.

Можно и сразу воспользоваться формулой (54), полагая Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 12 тыс. руб., Р2 =20 тыс. руб., Р3=50 тыс. руб., Ро = 72 тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =90/360 года, п2 =120/360 года, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =210/360 года, d= 0,34:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =0,131 года.

В заключение отметим, что условие этого примера можно было записать и в таком виде: требуется заменить три векселя на суммы 12, 20 и 50 тыс. руб. со сроками погашения через 90, 120 и 210 дней одним векселем на сумму 72 тыс. руб. Тогда необходимо было бы найти срок погашения нового векселя. Кстати, согласно формуле (54), новый вексель не может быть выписан на сумму, меньшую 68,796 тыс. руб.

Задачи

1.9.1. Платеж в 4 тыс. руб. со сроком уплаты 3 месяца необ­ходимо заменить платежом со сроком уплаты: а) 2 месяца; б) 5 ме­сяцев. Определите величину нового платежа, если используется простая процентная ставка 36% годовых.

1.9.2. Найдите величину нового срока, если платеж в 5 тыс. руб. со сроком уплаты 6 месяцев предполагается заменить пла­тежом в 4,8 тыс. руб. и используется простая процентная ставка 34% годовых.

1.9.3. Требуется заменить вексель на сумму 50 тыс. руб. со сроком погашения через 90 дней векселем со сроком погашения: а) через 120 дней; б) через 60 дней. В расчетах применяется про­стая учетная ставка 30% годовых и в году 360 дней.

1.9.4. Найдите величину нового срока, если платеж в 10 тыс. руб. со сроком уплаты 75 дней предполагается заменить плате­жом в 12 тыс. руб. В расчетах применяется простая учетная ставка 28% годовых и в году 365 дней.

1.9.5. Изучаются варианты замены платежа 100 тыс. руб. со сроком уплаты 4 месяца новым платежом. В каких границах может изменяться величина нового платежа, если используетсяпростая процентная ставка 36% годовых? Как изменится ответ, если используется простая учетная ставка 36% годовых?

1.9.6. Платежи в 8 тыс. руб., 5 тыс. руб., 10 тыс. руб. и 7 тыс. руб. должны быть погашены соответственно через 60, 150, 120 и 200 дней. Кредитор и должник согласились заменить четыре платежа одним через 140 дней. Найдите величину консолидиро­ванного платежа, если используется простая процентная ставка 40% годовых и в расчет принимаются обыкновенные процен­ты.(За дату приведения принять момент выплаты консолидиро­ванного платежа.)

1.9.7. Клиент получил в банке кредит на сумму 12 тыс. руб. под 30% годовых. В соответствии с финансовым контрактом клиент обязался погасить кредит тремя платежами с процента­ми: 6, 2 и 4 тыс. руб. соответственно через 90 , 120 и 180 дней. Однако через некоторое время по обоюдному согласию сторон было решено погасить кредит одним платежом через 150 дней. Найдите величину консолидированного платежа, если начисля­ются простые обыкновенные проценты. (За дату приведения принять момент выплаты консолидированного платежа.)

1.9.8. Платежи в 5 тыс. руб. и 7 тыс. руб. должны быть пога­шены соответственно через 60 и 105 дней. Кредитор и должник согласились заменить два платежа одним в размере 11,5 тыс. руб. Найдите срок оплаты консолидированного платежа, если используется простая процентная ставка 32% годовых и начис­ляются обыкновенные проценты. Для сравнения платежей в ка­честве даты приведения выбрать день, от которого отмеряются все сроки. Как изменится результат, если в качестве даты приве­дения выбрать день уплаты платежа в 7 тыс. руб.?

1.9.9. Платежи в 4 тыс. руб., 12 тыс. руб. и 9 тыс. руб. долж­ны быть внесены через соответственно 80, 150 и 210 дней. Было достигнуто соглашение заменить три платежа одним, равным их сумме. Определите срок уплаты консолидированного платежа, если используется простая процентная ставка 30% годовых в условиях начисления обыкновенных процентов. В качестве даты приведения выбрать день, от которого измеряются все сроки.

1.9.10. В соответствии с контрактом предприниматель в те­чение двух лет в конце каждого квартала должен выплачивать по 5 тыс. руб. Через год, сделав четыре платежа, предприниматель решил сразу погасить оставшийся долг. Какую сумму он должен заплатить в условиях начисления процентов по простой процентной ставке 30% годовых?

1.9.11. По условиям контракта господин N в течение четы­рех лет каждые полгода должен выплачивать другому лицу по 12 тыс. руб. Через два года, сделав четыре платежа, господин N предложил через полгода выплатить весь оставшийся долг. Ка­кая сумма должна быть выплачена, если расчеты осуществляют­ся по простой процентной ставке 36% годовых?

1.9.12. Платеж 20 тыс. руб. со сроком уплаты 100 дней заме­няется двумя платежами со сроками 30 дней и 60 дней, причем первый платеж равен 12 тыс. руб. Какова величина второго пла­тежа- если расчеты осуществляются по простой процентной ставке 25% годовых и начисляются обыкновенные проценты? Для сравнения платежей в качестве даты приведения выбрать день, от которого измеряются все сроки. Как изменится резуль­тат, если в качестве даты приведения выбрать день уплаты пер-ноначального платежа?

1.9.13, Платеж 16 тыс. руб. со сроком 45 дней заменяется на четыре равных платежа со сроками 10, 30, 60 и 80 дней. Какова величина этих платежей, если в расчетах используется простая процентная ставка 36% годовых и начисляются обыкновенные проценты? Для сравнения платежей в качестве даты приведения выбрать депь, от которого измеряются все сроки. Как изменится результат, если в качестве даты приведения выбрать день упла­ты первоначального платежа?

1.9.14. По условиям контракта сумма в 40 тыс. руб. должна быть выплачена через 8 месяцев. Однако принято согласованное решение о новом порядке выплат через 4, б и 10 месяцев, при­чем первая сумма равна 10 тыс. руб., а две другие одинаковы по величине. Найдите эти суммы, если используется простая учет­ная ставка 20% годовых и начисляются обыкновенные проценты? Для сравнения платежей в качестве даты приведения выбрать день, от которого измеряются все сроки. Как изменится результат, если в качестве даты приведения выбрать день упла­ты первоначального платежа?

1.9.15. Владелец векселей (кредитор) со сроками уплаты 12 июля (2 тыс. руб.) и 20 сентября (5 тыс. руб.) согласился с пред­ложением должника об объединении двух векселей в один сосроком погашения I августа того же года. Какую сумму необ­ходимо проставить в консолидированном векселе, если исполь­зуется простая учетная ставка 32% годовых и способ 365/360 (обыкновенный процент с точным числом дней)? В качестве да­ты приведения принять 1 августа.

1.9.16. Владелец векселя на сумму 12 тыс. руб. со сроком уплаты 14 мая согласился заменить его на три векселя с одина­ковыми суммами и сроками погашения 10 марта, 1 июня и 10 августа того же года. Определите сумму, которую необходи­мо проставить в каждом из новых векселей, если используется простая учетная ставка -25% годовых и способ 365/360. Для сравнения сумм в качестве даты приведения выбрать 14 мая.

1.9.17. По финансовому соглашению фирма должна выпла­тить одному кредитору суммы в размерах 1, 5 и 4 тыс. руб. через 20, 45 и 90 дней после 1 июня. Однако позже было принято совместное решение погасить все суммы единым платежом в 10,1 тыс. руб. Найдите дату уплаты консолидированного плате­жа, если используется простая учетная ставка 30% годовых и считают, что в году 360 дней. В качестве даты приведения при­нять 1 июня.

1.9.18. По условию контракта суммы в 15, 5 и 10 тыс. руб. должны быть выплачены в течение года соответственно 15 ап­реля, 8 июня и 20 сентября. Стороны решили пересмотреть по­рядок выплат: 12 тыс. руб. выплачивается 25 мая, 4 тыс. руб. -15 июля и остаток долга погашается 1 августа. Определите ве­личину третьего платежа, если пересчет осуществляется по про­стой процентной ставке, равной 38% годовых, по способу 365/365 (точный Процент с точным числом дней) и год високос­ный. Для сравнения платежей в качестве базовой даты принять: а) 15 апреля; б) 20 сентября.

1.9.19. По финансовому соглашению предприниматель дол­жен выплатить банку в течение года суммы в 20, 10 и 30 тыс. руб. соответственно 1 марта, 15 июля и 18 октября. По обоюд­ному согласию решено осуществить три одинаковых платежа в новые сроки: 10 апреля, 1 июня и 1 сентября. Какова величина этих платежей, если пересчет осуществляется по простой про­центной ставке 26% годовых способом 365/365 и год невисокос­ный. Для сравнения платежей в качестве базовой даты принять: а) 1 марта; б) 18 октября.

§

Пример 2.1.1.Сумма 20 тыс. руб. инвестируется под л центную ставку 25% годовых: а) на 6 лет; б) на 9 лет. Найд наращенные суммы при условии ежегодного начисления ных и простых процентов.

Решение,а) Полагая п = 6, Р = 20 тыс. руб., r = 0,25 „ при на­ращении сложными процентами по формуле (55) получим:

■ F6 = 20(1 0,25)6 – 20 * 3,8147 = 76,294 тыс. руб.

Множитель наращения в формуле (55) всегда можно вычис­лить непосредственно по формуле, однако при решении этого примера можно воспользоваться и таблицей 1 значений этого множителя из приложения З1. В данном случае на пересечении строки, соответствующей числу периодов n = 6, и столбца для r = 25% находим, что значение множителя наращения составля­ет: FM(25%,6) = 3,81472.

Если бы наращение осуществлялось простыми процентами, то по формуле (9):

F = 20(1 6 * 0,25) = 50 тыс. руб.

б) Поскольку в этом случае п = 9, то при наращении слож­ными и простыми процентами соответственно получим:

F9 = 20(1 0.25)9 = 20 * 7,4506 = 149,012 тыс. руб.,

F= 20(l 9 0.25) = 65 тыс. руб.

В обоих случаях наращение сложными процентами достав­ляет большую по величине сумму, чем наращение простыми процентами. С увеличением числа периодов начисления разница между этими наращенными суммами все больше растет. Заме­тим, однако, что если бы проценты начислялись за время, мень­шее года, то наращение простыми процентами доставило бы ббльшую сумму, чем сложными.

Пример 2.1.2.Рассчитайте наращенную сумму с исходной суммы в 1 млн руб. при размещении ее в банке на условиях на­числения простых и сложных процентов, если годовая процент­ная ставка равна 30%, периоды наращения различны: 30 дней, 90 дней, 180 дней, 1 год, 3 года, 10 лет, 20 лет, 50 лет. Полагать год равным 360 дней, Обсудите полученные результаты.

Решение. Применяя при Р = 1 и r= 0,3 для простых проц тов формулу (9), а для сложных – формулу (55), получим ел дующие результаты, представленные для наглядности в табли ном виде:

(млн руб.)

Схема
начисления
30 дней (n=1/12) 90 дней (n=1/4) 180 дней 1 год (n=1) 3 года
(n=3)
10 лет (и=10) 20 лет (n=10) 50 лет (n=10}
Простые
проценты
1,025 1,075 1,15 1,3 1,9
Сложные проценты 1,0221 1,0678 1,1402   2,1970 13,7858 109,0496 497929,2230

Таким образом, если денежные средства размещены в банке на срок менее одного года, то более выгодна схема простых про­центов. Так, в частности, при сроке в 180 дней наращенная сумма составит: при использовании схемы простых процентов -1,15млн руб.; при использовании схемы сложных процентов -1,1402 млн руб., т.е. получили разницу между суммами в 9,8 тыс. руб. Если срок размещения денежных средств превышает один год, ситуация меняется диаметрально – более выгодна схема сложных процентов, причем наращение в этом случае идет очень быстрыми темпами. Так, при ставке в 30% годовых при исполь­зовании схемы простых процентов за 3 года еще не происходит удвоение исходной суммы, а при использовании схемы сложных процентов за 3 года исходная сумма увеличивается почти в 2,2 раза. Еще большую разницу между наращенными суммами мы видим через 10 лет и тем более через 20 и 50 лет.

Пример 2.1.3.В банке получена ссуда в размере 40 тыс. руб. на 8 лет на следующих условиях: для первых трех лет процент­ная ставка равна 28% годовых, на следующий год устанавлива­ется маржа в размере 1%, и на последующие годы маро равна 1,5%. Найдите сумму, которая должна быть возвращена банку по окончании срока ссуды при ежегодных начислениях процентов.

Решение.Поскольку имеем дело с ставкой, то, полагая в формуле (56) P = 40, m=3, п1 = 3, n2=1, n3 = 4 , i Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,28, i2 = 0,29, i3 = 0,305, лолуяий:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб.

Такая же величина наращенной суммы получается, если в течение 8 лет ежегодно начисляются сложные проценты по про-

центной ставке Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат -1 = 0,2937, т.е. Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 29,37% годовых. С целью проверки найдем наращенную сумму:

40(1 0,2937)8 =313,855 тыс. руб.,

т.е. с точностью до единиц рублей получили величину Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат . Если взять более точное значение Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , например Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 29,3697%, то ре­зультат проверки составит 313,850 тыс. руб.

Пример 2.1.4.Предприниматель получил в банке ссуду в размере 50 тыс. руб. на 39 месяцев под процентную ставку 27% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предприниматель должен будет вернуть банку по истече­нии срока при использовании схемы сложных процентов и при использовании смешанной схемы? Возможны ли другие методы начисления процентов?

Решение.При использовании схемы сложных процентов воспользуемся формулой (55). Так как период начисления равен одному году, то п =3.25 (как правило, при измерении срока в месяцах считают, что месяц равен Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат года, т.е. 3 месяца состав­ляют 0,25 года). Далее Р = 50 тыс. руб., r = 0.27, следовательно:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =108,726 тыс. руб.

Если использовать смешанную схему, то при w = 3 , f = 0,25 по формуле (57) получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =50(1 0.27)3(1 0.25*0.27) = 109332тыс.руб,

т.е. итоговая сумма больше, чем при начислении только сложпроцёнтами.

В случае нецелого числа лет кроме схемы сложных процентов и смешанной схемы (формулы (55) и (57)) возможны и дру-эды начисления процентов.

ю использовать схему сложных процентов для целого ^лст.взяв это число с избытком, и затем полученную сумму учесть *на 100″ из простых процентов за лишнее время, до-бавленнос для достижения целого числа лет. Таким образом, если n = w f (0<f<1), то добавляем время 1-f и получаем

целое число лет w 1 Наращенная сумма находится по форму­ле:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Если же сумму P(l r)w 1 учесть простыми процентами “со 100” за лишнее время, то наращенная сумма определяется фор­мулой:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Можно использовать схему сложных процентов для целого числа лет в затем полученную сумму нарастить простыми про­центами “во 100” за дробную часть года, т.е. применить фор­мулу:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Если обозначить наращенные суммы, найденные по схеме сложных процентов и по смешанной схеме соответственно через Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат и Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , то справедлива следующая цепочка неравенств:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Поскольку согласно условию примера w 1 = 3 1=4 1-f =1-0,25 = 0,75 , то, применяя последовательно три послед ние формулы, получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс.руб,

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс.руб.;

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс.руб,

Очевидно, полученные значения наращенных сумм удовле­творяют приведенным выше неравенствам.

Пример 2.1.5. Клиент помещает в банк 40 тыс. руб. на 33 месяца под процентную ставку 26% годовых на условиях едино­временного возврата основной суммы долга и начисленных сложных процентов. Проанализируйте, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления процентов: а) полугодовое; б) квартальное.

Решение, а) В случае полугодового начисления процентов продолжительность общего действия контракта не равна целому числу периодов начисления (т.е. не равна целому числу полуго­дий, поскольку 33 месяца (2,75 года) не делятся нацело на 6). Поэтому нужно воспользоваться формулами (58) и (59), когда параметры формул имеют следующие значения: Р = 40, п = 2,75, т = 2, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 5 (количество целых полугодий в 33 месяцах), Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,5 (поскольку 3 месяца от 6 месяцев составляют полови­ну или же можно формально найти таким образом Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = mn- Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =2.*2,75-5 = 5,5-5 = 0,5), r(2)=0.2б.

• При реализации схемы сложных процентов:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 78341 тыс. руб.

При реализации смешанной схемы:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб

Отметим, что в математике целую часть числа а принято обозначать через [а]. Используя это обозначение, величину Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат определяем таким образом: Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =[ т * n] = [2 * 2,75] = [5,5] = 5.

б) В случае квартального начисления процентов т = 4, r 4 = 0,26, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = [4 * 2,75] = [1] = 11, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0, т.е. срок помещения ка­питала равен целому числу кварталов. Поэтому формулы (58) и (59) дают один и тот же результат:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 79,966 тыс. руб.

Естественно, в этом случае мы фактически пользуемся форму­лой (55), в которой n=11, r = 0,26/4 = 0,065. В связи с этим заметим, что, используя обозначение множителя наращения в формуле (55): FM 1(r, n) = (1 r) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , формулу (58) можно записать в виде:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Следовательно, в ряде случаев значения множителя Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

можно найти по таблице значений множителя FM1(r,n), полагая

в качестве r и п соответственно Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат и тп (конечно, если таблица достаточно подробна и позволяет сделать это).

Пример 2.1.6.Предлагается оформить вклад под следующие процентные ставки: 110% годовых или 22% за квартал, причем в обоих случаях используется смешанная схема начисления про­центов. Какой вариант выгоднее, если срок хранения вклада со­ставляет: а) 9 месяцев; б) один год? До какого срока выгоднее иметь 110% годовых, а когда выгоднее ежеквартальное начис­ление по 22%? финансовый год принять равным 360 дней (ме­сяц – 30 дней).

Решение,а) Обозначим величину вклада через Р. Вначале рассмотрим вариант 110% годовых. Так как срок хранения (9 месяцев) меньше периода начисления (1 год), то согласно смешанной схеме начисляются простые проценты и можно вос­пользоваться, например, формулой (9), где r = 1,1, п = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,75 :

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Если начисляются проценты из расчета 22% за квартал, то, поскольку 9 месяцев равны трем периодам начисления, исполь­зуем формулу (55), где r = 0,22, n = 3 :

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Так как Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , то первый вариант выгоднее.

б) Когда срок хранения вклада равен одному году, рассуж­дая, как и в предыдущем случае, получим соответственно по первому (110%) и второму (22%) вариантам:

т.е. выгоднее второй вариант.

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Выясним, начиная с какого момента выгоднее начисление 22% за квартал. Из только что изложенного решения следует, что этот “пограничный” срок хранения больше 9 месяцев, но меньше года, т.е. искомый срок равен n = 0,75 f года, где 0<f<0,25,

Для первого варианта по формуле (9) получим:

F = Р{1 (0,75 f) 1,1) = 1,825Р 1,1Р.

Для второго варианта можно применить формулу (57), где г = 0,22, w = 3, и , используя уже введенное обозначение / из ис­комого срока хранения, в качестве / из формулы (57) надо взять 4/ (так как квартал в 4 раза меньше года). В результате получим:

F = Р( 0,22)3 (1 4/ ■ 0,22) = ]$16Р 1,598,/Р.

Приравнивая найденные наращенные суммы и сокращая обе части равенства на Р, получим уравнение с одним неизвестным / :

решая которое находим / = 0,018 года, или 6,48 дня, т.е. при­близительно 7 дней.

Прибавляя к 9 месяцам (270 дней) 7 дней, получим величину искомого срока – 277 дней.

Таким образом, в условиях примера до 277 дней выгоднее иметь 110% годовых, а после становится выгоднее начисление по 22% за квартал.

Пример 2.1.7.Некоторая сумма инвестируется под процент­ную ставку 30% годовых. Определите время, необходимое для увеличения первоначальной суммы: а) в 4 раза; б) в 2 раза при начислении в конце года сложных и простых процентов.

Решение, а) Если начисляются сложные проценты, то можно воспользоваться формулой (60), где Fn=4Pt т = 1, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

n= Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 5,284 года.

При начислении простых процентов найдем в общем виде время, необходимое для увеличения первоначальной суммы в к раз (кстати, формула (60) получается аналогично). Так как мно­житель наращения равен к, то для простых процентов из равенкства

1 пт = к получаем: n = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат . Полагая k = 4, r = 03, получим:

n= Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 10 лет.

Таким образом, для увеличения первоначальной суммы в 4 раза при начислении сложных процентов требуется времени го­раздо меньше (почти в 1,9 раза), чем при начислении простых процентов.

б) Для случая простых процентов находим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 3,333 года,

т.е. необходимый срок удвоения первоначальной суммы при начислении простых процентов равен обратной величине про­центной ставки, используемой при наращении.

Для случая сложных процентов формула (60) согласно уело-вию задачи примет вид (так как Fn=2P, m =1, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =r):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Таким образом,

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 2,642 года.

В практических расчетах для наглядной и быстрой оценки эффективности предлагаемой ставки наращения при реализации схемы сложных процентов пользуются приблизительным расче­том времени, необходимого для удвоения инвестированной суммы, известным как “правило 72-х”. Это правило заключается в следующем: если r – процентная ставка, выраженная в про­центах, то n = 72/r представляет собой число периодов, за кото­рое исходная сумма приблизительно удвоится. Это правило хо­рошо срабатывает для небольших значений r. Так, если годовая ставка r = 12%, то применение “правила 72-х” дает значение п = 6 годам (а по формуле (60) получим п = 6,116 года). Если же годовая ставка r = 30% (как в примере), то по правилу n = 2,4

года (а по формуле (60) получили п = 2,642 года). Следует также обратить внимание на то обстоятельство, что, хотя в большин­стве финансовых расчетов процентная ставка берется в десятич­ных дробях, в формуле алгоритма “правила 72-х” ставка взята в процентах.

Существуют и другие правила, с помощью которых быстро рассчитывают срок удвоения первоначального капитала для кон­кретной ставки. В литературе можно встретить “правило 70”:

п= Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат и аналогичное “правило 71”. Отметим также “правило 69 “: n = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 035, в соответствии с которым для ставки r = 30% полу­чим п = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 035 = 2,65 года, т.е. достаточно близкое к полученно­му по точной формуле значению п = 2,642 года.

Пример 2.1.8.Вкладчик хотел бы за 7 лет утроить сумму, помещаемую в банк на депозит. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка при начислении сложных про­центов: а) каждые полгода; б), каждый месяц?

Решение, а) Так как п = 7, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =3P, m = 2 , то по формуле (61):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

т.е. номинальная процентная ставка должна быть не менее 16,33% годовых.

б) В этом случае m = 12 и поэтому:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Естественно, эта ставка меньше, чем Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат поскольку при од­ной и той же исходной сумме сложные проценты начисляются в 6 раз чаще. Аналогичное неравенство справедливо и в общем случае, а именно: пусть Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат и Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат эквивалентные номиналь­ные годовые процентные ставки и m > i тогда Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат < Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Читайте также:  Инвестиции - основа устойчивого экономического развития Таджикистана : автореферат диссертации на соискание ученой степени к.э.н. : специальность 08.00.01 - книга 2011 года

Пример 2,1.9.Предприниматель может получить ссуду: а) на условиях ежемесячного начисления сложных процентов из расчета 32% годовых; б) на условиях ежеквартального начисле-ния сложных процентов из расчета 34% годовых. Какой вариант более предпочтителен для предпринимателя?

Решение.Относительные расходы предпринимателя по об­служиванию ссуды могут быть определены с помощью расчета по формуле (63) эффективной годовой процентной ставки – чем она выше, тем выше уровень расходов.

а) Полагая для этого варианта т = 12 , Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,32 , получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

б) Поскольку здесь m =4, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,34, то:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,3859.

Таким образом, первый вариант является более предпочти­тельным для предпринимателя. Необходимо отметить, что при­нятие решения не зависит от величины кредита, поскольку кри­терием является относительный показатель – эффективная став­ка, а она, как следует из формулы (63), зависит лишь от номи­нальной ставки и количества начислений.

Пример 2.1.10.Определите номинальную процентную став­ку, если эффективная годовая процентная ставка равна 40% и сложные проценты начисляются: а) каждые полгода; б) ежеме­сячно; в) ежедневно.

Решение.Полагаем Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,4 и пользуемся формулой (62).

а) Так как m = 2, то

r(2) = 2[(1 0,4) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат -1]= 0,3664, или 36,64% .

б) Поскольку в этом случае m = 12 , то

r(12) =12[(1 0,4) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат -1] = 0,3412,или 34,12%.

в) Считая в году 360 дней, при m = 360 получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 36О[(1 О,4) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат -1]=0,3366,или 33,66%.

Если взять в году 365 дней, то, оставляя после запятой 4 зна­ка, получим тот же результат: r(365) = 33,66%, так как при еже­дневном начислении различие между номинальными ставками можно обнаружить при высокой точности вычислений (в дан­ном случае r(360) =0,3366295, r(365) =03366273).

Заметим, что найденные номинальные ставки r(2), r(12) и Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат эквивалентны, так как они найдены с помощью одной и той же эффективной ставки. Таким образом, ежегодное начис­ление сложных процентов по ставке 40% годовых дает тот же результат, что и начисление сложных процентов каждые полго­да по ставке 36,64%, или ежемесячно по ставке 34,12%, или ежедневно по ставке 33,66%. Отметим, что r(2) >r(12) >r(36О), т.е. величина номинальной процентной ставки убывает, когда количество начислений сложных процентов в году увеличи­вается.

Пример 2.1.11.В долг на 28 месяцев предоставлена сумма в 50 тыс. руб. с условием возврата 85 тыс. руб. Найдите эффек­тивную ставку в этой финансовой сделке.

Решение. Выражая 28 месяцев в годах, получим 7/3 года. Подставляя в формулу (64) Р = 50 тыс. руб., Fn =85 тыс. руб., п = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , находим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат или 25,53%

Проверим полученный ответ. Пусть в банк помещен вклад в размере 50 тыс. руб. на 7/3 года под процентную ставку 25,53% годовых и начисляются сложные проценты. Тогда наращенная сумма будет равна:

F7/3 =5O(1 O,2553) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатКак рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 84,9926 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 85 тыс.руб.

Пример 2.1.12.Из какого капитала можно получить 45 тыс. руб. через 6 лет наращением сложными процентами по про­центной ставке 36%, если наращение осуществлять: а) ежегод­но; б) ежеквартально?

Решение.Полагаем n = 6, F6 = 45 тыс. руб.

а) При ежегодном наращении пользуемся формулой (65) при r = 036:

P= Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =7,112 тыс. руб.

б) При ежеквартальном наращении пользуемся формулой (66) при m=4 и r(m)=036:

P= Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 5,688 тыс. руб.

Если использовать обозначение множителя дисконтирова­ния FM2(r,n), формулу (66) можно записать в виде:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Поэтому в ряде случаев значения множителя Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат можно найти по таблице 2 значений множителя FM2(r,n) из приложения 3, полагая в качестве r и n соответственно

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат и тп (конечно, если таблица достаточно подробна и позволяет сделать это). В частности, для случая б) имеем Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 9%

и число периодов тп = 4 *6 = 24. Воспользовавшись таблицей 2 приложения 3, получим: Р = 45*0,1264 = 5,688 тыс. руб.

Пример 2.1.13.Оцените, что лучше: получить 16 тыс. руб. через 2 года или 50 тыс, руб. – через 6 лет, если можно поместить деньги на депозит под сложную процентную ставку 35% годовых?

Решение.Можно доказать, что для случая сложных процен­тов и постоянной процентной ставки справедливо утверждение: если одна сумма больше другой в некоторый момент времени, то это неравенство справедливо и для любого момента времени. Поэтому будущие поступления, являющиеся разновременными суммами, для случая сложных процентов можно оценивать с

позиции произвольно выбранного момента времени. Напомним, что в ситуации простых процентов эти утверждения не всегда имеют место.

Так как с позиции текущего момента (формула (65)):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 8,780 тыс. руб.,

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 8,260 тыс. руб.,

то выгоднее получить 16 тыс. руб. через 2 года.

Конечно, можно было проводить все сравнения с позиции будущего: через 6 лет. Тогда определяем наращенную сумму за 4 года капитала в размере 16 тыс. руб.:

F4 =16(1 0,35) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 53,144тыс. руб. и, сравнивая с 50 тыс. руб., приходим к тому же выводу (кстати, выполнив меньшее количество вычислений).

Пример 2.1.14.Определите современную ценность 20 тыс. руб., если: а) эта сумма будет получена через 4 года 9 месяцев; б) эта сумма была получена 2 года 6 месяцев назад; в) эта сумма получена в настоящий момент времени. Учесть возможность помещения денег на депозит под сложную процентную ставку 30% годовых.

Решение, а) Для того чтобы оценить современную ценность суммы денег, необходимо осуществить приведение этой суммы на настоящий момент времени, учитывая возможность инвести­рования денег под сложную процентную ставку 30%, т.е. необ­ходимо определить приведенную стоимость 20 тыс. руб. В дан­ном случае современная ценность 20 тыс. руб. равна такой сум­ме, которая при начислении сложных процентов по ставке 30% станет равной 20 тыс. руб. через 4 года 9 месяцев. Полагая в формуле (65)

n = 4,75 , F4 =75 = 20 тыс. руб., r = 0,3, получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 5,752 тыс. руб.

б) В этом случае современная ценность 20 тыс. руб. равна такой сумме, которая получится при наращении сложных про­центов на 20 тыс. руб. в течение 2 лет 6 месяцев по ставке 30%. Воспользовавшись формулой (55) при n = 2,5, Р = 20, r = 0,3,

получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =38,538 тыс.руб.

в) Поскольку в этой ситуации 20 тыс. руб. получены в на­стоящий момент времени, то их современная ценность составля­ет 20 тыс. руб.

Пример 2.1.15.Господин N поместил в банк 40 тыс. руб. на условиях начисления каждые полгода сложных процентов по годовой номинальной процентной ставке 34%. Через полтора года господин N снял со счета 18 тыс. руб., а через 3 года после этого закрыл счет. Определите сумму, полученную господином N при закрытии счета.

Решение.Обозначим через х величину суммы, полученной при закрытии счета. Для наглядности изобразим ситуацию, опи­санную в задаче, на оси времени, причем одно деление оси вре­мени будет соответствовать одному периоду начисления про­центов, т.е. одному полугодию. Сумму, помещенную в банк, изобразим над осью времени, а все изъятия – под осью:

§

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатi I I I I I I I I j_____________ Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

18 х

Полагая Р = 40 тыс. руб., n = 1,5, m = 2, r(2) = 0,34, по фор­муле (58) получим сумму на счете через полтора года:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб.

Поскольку в это время 18 тыс. руб. изымаются, то дальнейшее

наращение осуществляется на сумму [40 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат -18] тыс.

руб., и, таким образом, через 3 года (n = 3) при закрытии счета господин N получит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 118,162 тыс. руб.

Заметим, что такое же равенство для нахождения х можно получить, и используя понятие приведенной стоимости, что по­зволяет единообразно решать многие задачи. Дня изложения

нового подхода к решению сформулируем задачу в общем виде. Пусть в банк в конце некоторых периодов начисления сложных процентов помещаются на счет и изымаются со счета некоторые суммы. Найдем приведенные к одному моменту стоимости всех сумм и остатка на счете. Тогда справедливо следующее уравне­ние эквивалентности: сумма приведенных стоимостей всех вкладов равна сумме приведенных стоимостей всех изъятий и приведенной стоимости остатка на счете.

Воспользуемся таким уравнением эквивалентности для ре­шения рассматриваемого примера. Выберем в качестве момента приведения начальный момент времени. В этом случае уравне­ние эквивалентности примет вид:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

После умножения обеих частей уравнения на множитель

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = (1 0,17) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат и переноса всех известных слагаемых в

одну часть равенства, а х – в другую, получим:

x=40(1 0,17) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат -18(1 0,17) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

т.е. пришли к такому же выражению для определения х, как и ранее.

В качестве момента приведения можно было выбрать любой момент времени. Так, если взять 4 года 6 месяцев, то уравнение эквивалентности примет вид:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

т.е. опять получаем то же самое выражение для определения х.

Пример 2.1.16.На вашем счете в банке лежит сумма в 60 тыс. руб. Банк начисляет сложные проценты по процентной ставке 32% годовых. Вам предлагают войти всем вашим капита­лом в организацию венчурного предприятия. Представленные экономические расчеты показывают, что через 4 года ваш капи­тал возрастет в 3,5 раза. Стоит ли принимать это предложение? Как может повлиять на выбор решения учет фактора риска?

Решение.Оценка данной ситуации может быть сделана либо с позиции будущего, либо с позиции настоящего. В первом слу­чае анализ основан на сравнении двух сумм, получаемых от вложения в рисковое предприятие и в банковское учреждение с гарантированным доходом. Первая сумма равна 60-3,5=210 тыс. руб,, вторая находится по формуле (55):

FA = 60(1 032)4 = 182,157 тыс. руб.

Приведенный расчет свидетельствует об экономической вы­годе сделанного вам предложения. Однако при принятии окон­чательного решения необходимо по возможности учесть фактор риска.

Второй вариант анализа основан на дисконтированных оценках с использованием формул (65) и (66). В этом случае процентная ставка в множителе дисконтирования устанавливается инвестором и равна тому относительному размеру дохода, который инвестор хочет или может получить на инвестируемый им капитал.

Определяя процентную ставку в дисконтном множителе, обычно исходят из так называемого безопасного или гарантиро­ванного уровня доходности финансовых инвестиций, который обеспечивается государственным банком по вкладам или при операциях с ценными бумагами. При этом может даваться над­бавка за риск, причем, чем более рисковым считается рассмат­риваемый проект или финансовый контракт, тем больше размер премии за риск. Иными словами, процентная ставка r , исполь­зуемая в дисконтном множителе, будет в этом случае иметь сле­дующий вид:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

где r Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат – безрисковая доходность; rr – премия за риск.

Допустим, что финансовый консультант рекомендует оце­нить риск участия в венчурном предприятии путем введения премии в размере 8%. Таким образом, используемая в множите­ле дисконтирования ставка будет равна 40%. Тогда по формуле (65) можно рассчитать приведенную стоимость ожидаемого по­ступления при участии в венчурном предприятии:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 54,663 тыс. руб.

При таких исходных посылках предложение об участии в венчурном предприятии становится невыгодным. Однако следу­ет иметь в виду, что такой вывод сделан в результате оценки риска путем введения премии в размере 8%. Бели же, например, считать достаточной премию в размере 4%, то по формуле (65) получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 2100,2923 = 61,383 тыс. руб.,

т.е. предложение об участии в венчурном предприятии стано­вится выгодным.

Пример 2.1.17.Банк начисляет ежеквартально сложные проценты на вклады по номинальной годовой процентной став­ке 32%. Определите в виде простой годовой процентной ставки стоимость привлеченных средств для банка при их размещении: а) на 9 месяцев; б) на год.

Решение,а) Стоимость привлеченных средств можно найти по формуле (23), где через Р обозначена использованная сумма средств; через F-P – проценты, выплаченные за использова­ние суммы Р в течение времени n, a F определяется с помо­щью формулы (58), где п = 0,75, m = 4, r(4) = 0,32. Итак,

F-P = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

r = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,3463, или 34,63% годовых.

Конечно, можно былои сразу применить формулу (81):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , устанавливающую эквивалентность простои

и

ставки rи сложной ставки r (m):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

По существу в изложенном предыдущем решении приведена схема вывода этой формулы. б) Полагая n = 1, воспользуемся сразу формулой (81) или, что то же самое в этом случае, формулой (63):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,3605 = 36,05%.

Таким образом, относительная стоимость привлеченных средств в этом случае равна эффективной ставке.

Пример 2.1.18.Предприниматель получил в банке кредит на 5 лет по процевтной ставке 28% годовых, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 1,4% от величины кредита. Найдите доходность такой финансовой операции для банка в виде эффективной процентной ставки, если банк начисляет еже­годно сложные проценты на исходную сумму кредита. Как из­менится доходность при выдаче кредита на 3 года и на 8 лет?

Решение.Обозначим через Р величину кредита, тогда вели­чина удержанных комиссионных составит 0.014Р, и, следова­тельно, предпринимателю будет выдана сумма Р -0.014Р = 0.986Р. За 5 лет исходная сумма вместе с начислен­ными процентами составит: F5 = P(l 0,28)5 . Теперь по формуле (64) можно определить доходность финансовой операции для банка в виде эффективной процентной ставки:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

т.е. Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 28,36%, что больше объявленных банком 28% годовых.

Таким образом, удержание комиссионных увеличивает доход­ность финансовой операции для кредитора (банка).

При выдаче кредита на 3 года наращенная сумма составит

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =P(1 0,28)3. и. следовательно, доходность для банка будет равна:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

т.е. больше, чем при выдаче кредита на 5 лет.

Аналогичным образом при сроке кредита 8 лет получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

т.е. меньше, чем при выдаче кредита на 5 лет.

Основываясь на рассмотренном примере, можно сделать вы­вод, что при удержании комиссионных увеличение срока креди­та уменьшает доходность финансовой сделки для кредитора. Конечно, если комиссионные не взимаются, то при любом сроке кредита при ежегодном начислении сложных процентов доход­ность такой финансовой сделки в виде годовой эффективной процентной ставки будет постоянной и равна 28%.

Пример 2.1.19.Выдана ссуда под процентную ставку 35% годовых, при этом сразу были взысканы комиссионные в разме­ре 3% от величины ссуды. Определите доходность такой сделки в виде годовой эффективной процентной ставки, если кредитор начисляет простые проценты на исходную величину ссуды и срок ссуды: а) 3 года; б) 6 лет.

Решение,а) Если Р – величина ссуды, то удержанные ко­миссионные составят 0,03Р, и поэтому заемщику будет выдана сумма P- 0,03Р * 0.97Р. Через 3 года заемщик должен возвра­тить сумму F3 = Р(1 3*0,35) = 2,05.Р. Следовательно, по формуле (64) доходность сделки для кредитора составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат или 28,33%.

Если бы комиссионные не взыскивались, то

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,2703, или 27,03%.

Как и следовало ожидать, удержание комиссионных увели­чивает доходность сделки для кредитора.

б) При выдаче ссуды на 6 лет наращенная сумма составит F6 = Р(1 6 *0,35) =3,1Р и поэтому:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат или 2137%.

Таким образом, увеличение срока ссуды уменьшает доход­ность сделки для кредитора.

Пример 2.1.20.Вы имеете возможность поместить свои сво­бодные денежные средства в долларах США на полтора года в одном банке на валютном депозите под процентную ставку 16% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов или в другом банке эту же сумму поместить на рублевом депозите под процентную ставку 20% годовых с полугодовым начислением сложных процентов. Как вам лучше поступить, если курс по­купки долларов на начало срока – 19 руб. 10 коп., а ожидаемый курс продажи через полтора года – 22 руб. 80 коп.?

Решение.Обозначим имеющееся количество долларов через Р . Помещая их на валютный депозит, через полтора года мож­но получить (согласно формуле (58)):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 1,2692 долл. США.

Если же имеющиеся Р долларов обменять на рубли, то в со­ответствии с курсом покупки можно получить 19.1Рруб. Через полтора года наращенная сумма на рублевом депозите составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =25,4221 руб.,

что при конвертации по ожидаемому курсу продажи даст:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 1,1150долл. США. Сравнивая эту величину с наращенной суммой на валютном депозите, делаем вывод, что луч­ше поместить доллары на валютный депозит.

Пример 2.1.21.На вклад 200 тыс. руб. по истечении 5 лет были начислены сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 28% исходя из ежеквартальной схемы .начис­ления. Определите наращенную сумму после уплаты налога на проценты, если налог на все полученные проценты выплачи­вается один раз в конце срока и ставка налога на проценты равна 15%.

Решение. Полагая Р = 200 тыс. руб., n = 5, m = 4, r(4) = 0,28, по формуле (58) находим наращенную сумму до уплаты налога:

F5 = 200 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 773,937 тыс. руб.

Сумма налога на проценты составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 86,091 тыс. руб.

Следовательно, после уплаты налога наращенная сумма ста­нет равной величине:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 687,846 тыс. руб. Это значение можно получить и по формуле (101), где

Пример 2.1.22.На вклад в 200 тыс. руб. в течение 5 лет раз в год начислялись сложные проценты по годовой номинальной про­центной ставке 28% исходя из ежеквартальной схемы начисления. Определите итоговую наращенную сумму после уплаты налога на проценты, если налог на проценты уплачивается каждый год путем выделения средств из накапливаемой суммы и ставка налога на проценты равна 15%. Чему равна величина налога за каждый год?

Решение.Используя обозначения предыдущего примера, итоговую наращенную сумму после уплаты налога на проценты находим по формуле (102):

F5 =200 [13108 – (1,3108 -1) – 0,15]5 =645,765 тыс, руб.

Для определения величины налога за каждый год воспользуем­ся рекуррентным соотношением, следующим из формулы (103):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , где к = 2,3,…,n. Таким образом,

Q(1) = 200 *(1,3108 -1) * 0,15 = 9,324 тыс. руб.,

Q(2) = 9,324 * 1,2642 = 11,787 тыс. руб.,

Q(3) = 11,787 * 1,2642 = 14,901 тыс. руб.,

Q(4) =14,901*1,2642 = 18,838 тыс. руб.,

Q(3) = 18,838*1,2642 = 23,815 тыс. руб.

Задачи

2.1.1. Депозит в 40 тыс. руб. положен в банк на 5 лет под процентную ставку 28% годовых. Найдите наращенную сумму, если ежегодно начисляются сложные проценты. Составьте схе­му возрастания капитала по годам.

2.1.2. Сумма 24 тыс. руб. инвестируется под процентную ставку 30% годовых: а) на 4 года; 6) на 10 лет. Найдите нара­щенные суммы при условии ежегодного начисления сложных и простых процентов.

2.1.3. Сделайте сравнительный анализ графиков изменения наращения капитала при реализации схем простых и сложных процентов.

2.1.4. Предприниматель получил в банке ссуду в размере 30 тыс. руб. сроком на 7 лет на следующих условиях: для первых двух лет процентная ставка равна 22% годовых, на следующие три года устанавливается маржа в размере 0,5% и на последую­щие годы маржа равна 0,8%. Найдите сумму, которую предпри­ниматель должен вернуть в банк по окончании срока ссуды при ежегодном начислении сложных процентов.

2.1.5. Банк предоставил ссуду в размере 250 тыс. руб. на 33 месяца под процентную ставку 34% годовых на условиях еже­годного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока при использовании схемы сложных процентов и при использовании смешанной схемы? Какая схема менее выгодна для банка?

2.1.6. Предприниматель взял в банке кредит в размере 90 тыс. руб. под сложную процентную ставку 36% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Через 2 года и 7 месяцев кредит был погашен суммой 201,421 тыс. руб. Какую из двух основных схем начисления процентов использовал банк?

2.1.7. Вы делаете вклад в банк в размере 14 тыс. руб. сроком на 5 лет. Банк начисляет 32% годовых. Какая сумма будет на счете к концу срока, если начисление процентов производится по схеме сложных и простых процентов: а) ежегодно; б) каждые полгода?

2.1.8. Рассчитайте наращенную сумму с исходной суммы в 1 тыс. руб. при размещении ее в банке на условиях начисления простых и сложных процентов, если годовая процентная ставке равна 24%, периоды наращения различны: 30 дней, 150 дней, 210 дней, 1 год, 4 года, 10 лет, 20 лет. Полагать год равным 360 дней. Обсудите полученные результаты.

2.1.9. В банк вложены деньги в сумме 8 тыс. руб. на полтора года под 32% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов. Приведите схему возрастания капитала в конце каж­дого периода. Как изменится итоговая наращенная сумма при ежемесячном начислении сложных процентов? Какой вывод можно сделать о частоте начисления сложных процентов?

2.1.10 Клиент поместил в банк 100 тыс. руб. на 5 лет под процентную ставку 36% годовых. Определите наращенную за это время сумму при начислении сложных процентов: а) еже­годно; б) по полугодиям; в) ежеквартально; г) ежемесячно; д) еженедельно; е) ежедневно. Полагать в году 360 дней.

2.1.11. Банк предоставил ссуду в размере 150 тыс. руб. на 39 месяцев под процентную ставку 30% годовых на условиях еди­новременного возврата основной суммы долга и начисленных сложных процентов. Проанализируйте, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления процентов: а) годовое; б) полугодовое; в) квартальное.

2.1.12. Определите время, за которое происходит удвоение первоначальной суммы при начислении простых и сложных процентов, если процентная ставка равна: а) 5%; б) 10%; в) 15%; г) 25%; д) 50%; е) 75%; ж) 100%.

2.1.13. На вклад в конце каждого полугодия начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 20%. За какой срок первоначальный капитал увеличится в четы­ре раза? Как изменится результат, если сложные проценты на­числяются ежемесячно?

2.1.14. За какой срок исходная сумма 20 тыс. руб. возрастет до 60 тыс. руб., если сложные проценты по процентной ставке 28%

дгрдовых начисляются: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежеме-«чир?

2.1.15. Вы имеете 10 тыс. руб. и хотели бы удвоить эту сум-Через пять лет. Каково минимально приемлемое значение сложной процентной ставки при ежегодном начислении процентов? Сравните результат, полученный по точной формуле, с ре-ультатом, полученным с помощью “правила 72-х”.

2.1.16. Вкладчик хотел бы за 4 года удвоить сумму, поме­щаемую в банк на депозит. Какую годовую номинальную про­центную ставку должен предложить банк при начислении слож­ных процентов ежеквартально?

2.1.17. Господин N хочет поместить в банк 8 тыс. руб., чтобы через 3 года получить 12 тыс. руб. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка при начислении сложных про­центов: а) каждые полгода; б) каждый квартал?

2.1.18. Какие условия предоставления кредита при начисле­нии сложных процентов по процентной ставке более выгодны банку: а) 29% годовых, начисление ежеквартальное; 6) 30% го­довых, начисление полугодовое?

2.1.19. Вы имеете возможность получить кредит либо на ус­ловиях 32% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов, либо на условиях 33% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов. Какой вариант предпочти­тельнее, если выплата процентов будет сделана единовременно вместе с погашением кредита?

2.1.20. Рассчитайте эффективную годовую процентную став­ку при различной частоте начисления сложных процентов, если номинальная процентная ставка равна 20% годовых. Сравните между собой полученные результаты.

2.1.21. В долг на 3 года 6 месяцев предоставлена сумма 8 тыс. руб. с условием возврата 20 тыс. руб. Найдите эффектив­ную процентную ставку в этой финансовой сделке.

2.1.22. Предприниматель инвестировал 60 тыс. руб, и полу­чил через 140 дней 75 тыс, руб. Определите доходность этой операции в виде эффективной процентной ставки на базе: а) 360 дней; б) 365 дней.

2.1.23. Определите номинальную годовую процентную ставку, если эффективная ставка равна 30% и сложные проценты начис­ляются: а) ежеквартально; б) ежемесячно.

2.1.24. Каковы будут эквивалентные номинальные годовые процентные ставки с начислением сложных процентов по полу­годиям и ежемесячно, если соответствующая им эффективная ставка равна 26%?

2.1.25. Из какого капитала можно получить 15 тыс. руб. че­рез 4 года наращением сложными процентами по процентной ставке 24% годовых, если наращение осуществлять: а) ежегод­но; б) по полугодиям; в) ежемесячно? Чему равен дисконт?

2.1-26. Наращенная к концу седьмого года сумма составит 240 тыс. руб. Найдите ее современное значение, если начисля­ются сложные проценты: а) по полугодиям по процентной став­ке 30% годовых; б) ежеквартально по процентной ставке 40% годовых.

2.1.27. Какую сумму необходимо поместить в банк под сложную процентную ставку 30% годовых, чтобы накопить 50 тыс. руб.: а) за 6 лет при ежегодном начислении процентов; б) за 4 года при ежемесячном начислении процентов?

2.1.28. Определите современную ценность 40 тыс. руб., если: а) эта сумма будет получена через 5 лет 3 месяца; б) эта сумма была получена 3 года 6 месяцев назад; в) эта сумма получена в настоящий момент времени. Учесть возможность помещения денег на депозит под сложную процентную ставку 36% годовых.

2Л .29. Банк начисляет ежеквартально сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 32%. Определите со­временную ценность 15 тыс. руб,, если: а) эта сумма была по­мещена на депозит в банке 3 года 2 месяца назад; б) эта сумма будет помещена на депозит в банке через 10 месяцев.

2.1.30. Свободные денежные средства помещены в банк под сложную процентную ставку 40% годовых на условиях ежегод­ного начисления процентов. Через 3 года и 10 месяцев счет был закрыт и получена сумма в размере 36,587 тыс. руб. Определите величину наращенной суммы, которая была бы получена при закрытии счета через 2 года и 3 месяца, если банк начисляет проценты по смешанной схеме.

2.1.31. На вашем счете в банке 8 тыс, руб. Банк платит 22% го­довых, Вам предлагают принять участие всем вашим капиталом в некоторой финансовой сделке. Представленные экономические расчеты показывают, что в случае согласия через пять лет ваш ка­питал возрастет в 2,9 раза. Стоит ли принимать это предложение? Оцените ситуацию с позиции будущего и с позиции настоящего. Как может повлиять на выбор решения учет фактора риска?

2.1.32. Какая сумма предпочтительнее при сложной процент­ной ставке 29% годовых: 100 тыс. руб. сегодня или 700 тыс. руб. через 8 лет?

2.1.33. Что выгоднее: получить 4,6 тыс. руб. через 4 года или 5,2 тыс. руб. через 5 лет, если можно поместить деньги на депозит под сложную процентную ставку 16% годовых? Оцените ситуацию с позиции будущего и с позиции настоящего.

2.1.34. Определите, под какую сложную процентную ставку можно поместить деньги на депозит, если 10 тыс. руб. сейчас будут эквивалентны 37,129 тыс. руб. через 5 лет. Как изменится ответ, если банк начисляет сложные проценты ежеквартально?

2.1.35. За взятые в долг деньги под сложную процентную ставку 35% годовых должник обязан уплатить кредитору 30 тыс. руб. 1 июля 1997 г. Какую сумму необходимо уплатить должни­ку, если он вернет долг: а) 1 января 1997 г.; б) 1 января 1998 г.; в) 1 июля 1999 г.?

2.1.36. Клиент поместил в банк 25 тыс. руб. на условиях на­числения сложных процентов по процентной ставке 30% годо­вых. Через 1 год 9 месяцев клиент снял со счета 8 тыс. руб., еще через 3 года положил на свой счет 4 тыс. руб., а после этого че­рез 2 года 3 месяца он закрыл счет. Определите сумму, получен­ную клиентом при закрытии счета.

2.1.37. Господин N поместил в банк 30 тыс. руб. на условиях начисления каждый квартал сложных процентов по годовой но­минальной процентной ставке 32%. Через 3 года 3 месяца гос­подин N снял со счета 12 тыс. руб., еще через 1 год 6 месяцев положил на свой счет 8 тыс. руб., а после этого через 15 месяцев он закрыл счет. Определите сумму, полученную господином N при закрытии счета.

2.1.38. Фирме нужно накопить 2 млн долл., чтобы через 10 лет приобрести здание под офис. Наиболее безопасным способом накопления является приобретение безрисковых государствен­ных ценных бумаг, генерирующих годовой доход по ставке 8% при полугодовом начислении процентов. Каким должен быть первоначальный вклад фирмы?

2.1.39. У вас есть возможность выбора между получением 30 тыс. руб. через год или 72 тыс. руб. через 6 лет. Каков ваш вы­бор, если есть возможность поместить деньги в банк под слож­ную процентную ставку: а) 12%; б) 20%? А если нет возможно­сти инвестирования куда-либо денег или вы не хотите восполь­зоваться такой возможностью?

2.1.40. Вкладчик положил в банк два года назад 16 тыс. руб. на условиях начисления каждый квартал сложных процентов по годовой номинальной процентной ставке 28%. Полгода назад вкладчик снял со счета 12 тыс. руб., а через 3 года после этого он положил 10 тыс. руб. Еще через полтора года вкладчик по­ложил такую сумму, что на его счете еще через полгода оказа­лось 80 тыс. руб. Определите, какую сумму вкладчик положил

последний раз.

2.1.41. Вкладчик открыл счет в банке, положив некоторую сумму денег, Такую же по величине сумму он добавлял на свой счет еще три раза: через 1 год 6 месяцев, 2 года 6 месяцев и 4 года после открытия счета. Через 5 лет на счете вкладчика было 60 тыс. руб. Какую сумму вносил вкладчик каждый раз, если банк начисляет сложные проценты каждые полгода по годовой номи­нальной процентной ставке 30%?

2.1.42. Предприниматель взял в банке кредит на сумму 200 тыс. руб. на условиях начисления сложных процентов по процентной ставке 25% годовых. Через 2 года он вернул банку 120 тыс. руб., но еще через год взял кредит в сумме 60 тыс. руб. Через 3 года после этого предприниматель вернул полностью полученные кредиты. Какую сумму предприниматель при этом выплатил банку?

2.1.43. Определите, какую сумму необходимо поместить в банк, начисляющий ежеквартально сложные проценты по годо­вой номинальной процентной ставке 36%, чтобы иметь возмож­ность снять через 9 месяцев 10 тыс. руб. и еще 20 тыс. руб. через 18 месяцев после этого.

2.1.44. Предприниматель приобрел оборудование стоимо­стью 400 тыс. руб. в кредит под сложную процентную ставку 20% годовых. Через 2 года 6 месяцев он уплатил 250 тыс. руб., а еще через год полностью погасил долг. Определите, какую сум­му предприниматель при этом выплатил.

2.1.45. Господин N приобрел автомобиль стоимостью 140 тыс. руб. в кредит под сложную процентную ставку 30% годовых. Он выплатил в момент покупки 80 тыс. руб., а осталь­ной долг обязался выплатить в течение двух лет равными упла­тами по полугодиям (первая уплата – через полгода с момента покупки). Чему равна каждая уплата?

2.1.46. Строительная фирма продает квартиры стоимостью 450 тыс, руб. в кредит под сложную процентную ставку 25% годовых. Эта же фирма учредила банк, аккумулирующий сред­ства на строительство квартир и выплачивающий по помещен-

175ным в него деньгам сложные проценты по процентной ставке 25% годовых. Господин N внес в этот банк некоторую сумму за 3 года до приобретения квартиры, такую же сумму – в момент приобретения квартиры, еще 70 тыс. руб. – через 2 года и 120 тыс. руб. – через 3 года с момента приобретения квартиры, погасив тем самым свой долг полностью. Определите, какие суммы господин N вносил в банк до и в момент приобретения квартиры.

2.1.47. Строительная фирма продает квартиры стоимостью 520 тыс. руб. в кредит под сложную процентную ставку 20% годовых. Эта же фирма учредила банк, аккумулирующий сред­ства на строительство квартир и выплачивающий по помещен­ным в него деньгам сложные проценты по процентной ставке 20% годовых. Господин N внес в этот банк 100 тыс. руб. за год до получения квартиры и еще 150 тыс. руб. – через 2 года после получения квартиры. Еще через год после этого он внес некото­рую сумму, а еще через год погасил долг, внеся 300 тыс. руб. Определите, какую сумму господин N внес в банк через год по­сле получения квартиры.

2.1.48. Банк начисляет ежемесячно сложные проценты на вклады по номинальной годовой процентной ставке 30%. Опре­делите в виде простой годовой процентной ставки стоимость привлеченных средств для банка при их размещении: а) на 1 ме­сяц; б) на 8 месяцев; в) на год.

2.1.49. Вкладчик помещает в банк 20 тыс. руб. на 3 года под номинальную процентную ставку 36% годовых с ежекварталь­ным начислением сложных процентов. В конце каждого года господин N расходует третью часть наращенной к этому момен­ту суммы. Определите величину наращенной суммы в конце третьего года после осуществления всех расходов.

2.1.50. Господин N помещает в банк 30 тыс. руб. на 4 года под номинальную процентную ставку 38% годовых с полугодовым начислением сложных процентов. В конце каждого года господин N расходует часть наращенной к этому моменту суммы: в конце первого года – четвертую часть, в конце второго года – третью часть, в конце третьего и четвертого – соответственно вторую и четвертую части. Определите величину наращенной суммы в конце четвертого года после осуществления всех расходов. Изме­нится ли ответ, если расходуемые части наращенных сумм будут образовывать такой порядок: Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

§

2.1.51. Клиент поместил в банк некоторую сумму под слож­ную процентную ставку 30% годовых. В конце каждого года клиент расходует четвертую часть наращенной к этому моменту суммы. Через сколько лет наращенная сумма доставит 85% от первоначальной величины помещенных денежных средств?

2.1.52. Господин N поместил в банк на 6 лет свободные де­нежные средства под сложную процентную ставку 40% годо­вых. Какую часть наращенной суммы в конце каждого года (включая последний) господин N должен расходовать, чтобы в конце шестого года наращенная сумма составила по величине половину помещенных вначале денежных средств?

2.1.53. На сумму 15 тыс. руб. в течение четырех лет ежегод­но начисляются простые проценты по процентной ставке 40% годовых, а на все начисленные проценты ежегодно осуществля­ется наращение сложных процентов по процентной ставке 30% годовых. Определите величину наращенной суммы в конце чет­вертого года.

2.1.54. Определяется приведенная стоимость некоторой де­нежной суммы при двух сложных годовых процентных ставках: 30 и 40%. Найдите срок, за который необходимо осуществить дисконтирование, чтобы разность между полученными приве­денными стоимостями была наибольшей.

2.1.55. Предприниматель получил в банке кредит на 6 лет по процентной ставке 28% годовых, при этом банком были удер­жаны комиссионные в размере 2% от величины кредита. Найди­те доходность такой финансовой операции для банка в виде эф­фективной процентной ставки, если банк начисляет ежеквар­тально сложные проценты на исходную сумму кредита. Изме­нится ли доходность при выдаче кредита на 3 года?

2.1.56. В банке получен кредит на 5 лет по процентной став­ке 24% годовых, при этом банком были удержаны комиссион­ные в размере 1% от величины кредита. Найдите доходность такой финансовой операции для банка в виде эффективной про­центной ставки, если банк начисляет сложные проценты на ис­ходную сумму кредита: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) еже­месячно.

2.1.57. Выдана ссуда под процентную ставку 32% годовых, при этом сразу были взысканы комиссионные в размере 2,5% от величины ссуды. Определите доходность такой сделки в виде годовой эффективной процентной ставки, если кредитор начисляет простые проценты на исходную величину ссуды и срок ссуды: а) 4 года; б) 8 лет. Как изменится доходность, если ко­миссионные не будут удерживаться?

2.1.58. Банк выдает ссуду на 3 года под годовую номиналь­ную процентную ставку 24%, причем сложные проценты начис­ляются ежеквартально на исходную сумму ссуды. Определите доходность такой финансовой операции для банка в виде эф­фективной процентной ставки, если: а) комиссионные не удер­живаются; б) удерживаются комиссионные в размере 2% от ве­личины ссуды; в) удерживаются комиссионные в размере 2% от величины ссуды и ее срок увеличивается до 5 лет.

2.1.59. Выдается ссуда по процентной ставке 35% годовых, при этом взимаются комиссионные в размере 1,5% от величины ссуды. Сложные проценты начисляются ежемесячно на исход­ную величину ссуды. На какой срок должна быть выдана ссуда, чтобы доходность такой сделки для кредитора в виде годовой эффективной процентной ставки составляла 45%?

2.1.60. При выдаче кредита на 7 лет по процентной ставке 30% годовых были удержаны комиссионные. Сложные процен­ты начислялись ежегодно на исходную величину кредита. Сколько процентов составили комиссионные от величины кре­дита, если доходность такой финансовой операции для банка в виде эффективной процентной ставки получилась равной 31,2% годовых?

2.1.61. Вексель учитывается банком за 3 месяца до его пога­шения по простой учетной ставке 24% годовых. Определите до­ходность такой финансовой операции для банка в виде эффек­тивной процентной ставки, если: а) комиссионные не удержи­ваются; б) удерживаются комиссионные в размере 2,5% от сум­мы, выплачиваемой за вексель; в) удерживаются комиссионные в размере 2,5% от суммы, выплачиваемой за вексель, и вексель учитывается за б месяцев до его погашения.

2.1.62. Предлагается оформить вклад под следующие про­центные ставки: 200% годовых или 35% за квартал, причем в обоих случаях используется смешанная схема начисления про­центов. Какой вариант выгоднее, если срок хранения вклада со­ставляет: а) 6 месяцев; б) один год? До какого срока выгоднее иметь 200% годовых, а когда выгоднее ежеквартальное начис­ление по 35%? Финансовый год принять равным 360 дней (ме­сяц-30 дней).

2.1.63. Инвестор собирается разместить эффективно свои свободные денежные средства. Если он вложит средства в цен­ные бумаги трастовой компании, то должен будет заплатить на­лог с получснвой прибыли в размере 8%. Если же он положит деньги в банк, то начисленные проценты не будут облагаться налогом. Определите, наиболее прибыльную схему вложения капитала с 1 января по 31 марта, если налоги платятся в конце каждого квартала и услуги на финансовом рынке предлагают две фирмы: трастовая компания – на условиях начисления сложных процентов по процентной ставке 5% за месяц по вкла­ду, составляющему целое число месяцев, но не менее месяца; банк – с ежемесячным начислением сложных процентов по го­довой номинальной процентной ставке 48% годовых при таких же ограничениях на срок вклада.

2.1.64. Вкладчик может свои свободные денежные средства в долларах на один год поместить в одном банке на валютном де­позите под процентную ставку 13% годовых с полугодовым на­числением сложных процентов или в другом банке эту же сумму поместить на рублевом депозите под процентную ставку 16% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов. Как ему лучше поступить, если курс покупки долларов на нача­ло срока – 19 руб. 80 коп., а ожидаемый курс продажи через год – 21 руб. 50 коп.?

2.1.65. Господин N намеревается обменять имеющиеся у не­го немецкие марки и поместить полученную сумму на рублевом депозите сроком на 3 года под процентную ставку 24% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов, после чего наращенную сумму опять конвертировать в немецкие марки. При каком ожидаемом курсе продажи не имеет смысла такая финансовая операция, если курс покупки немецких марок на начало срока составляет 10 руб. 64 коп. и на валютном депозите денежную сумму можно поместить под процентную ставку 18% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов?

2.1.66. Некоторая сумма в долларах США обменивается на рубли, после чего помещается на рублевый депозит на 2 года 6 месяцев под процентную ставку 30% годовых с ежегодным начислением сложных процентов. Полученная наращенная сум­ма опять конвертируется в доллары США. Определите доход­ность такой финансовой операции в виде годовой эффективнойпроцентной ставки, если курс покупки долларов на начало сро­ка- 18 руб. 20 коп., а курс продажи через 2 года б месяцев -22 руб. 14 коп. и начисление процентов осуществлялось: а) по схеме сложных процентов; б) по смешанной схеме.

2.1.67. На вклад 100 тыс. руб. по истечении 4 лет были на­числены сложные проценты по годовой номинальной процент­ной ставке 32% исходя из полугодовой схемы начисления. Оп­ределите наращенную сумму после уплаты налога на проценты, если налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока и ставка налога на проценты равна 15%.

2.1.68. На вклад 150 тыс. руб. в течение 6 лет раз в год на­числялись сложные проценты по годовой номинальной про­центной ставке 26% исходя из полугодовой схемы начисления. Определите итоговую наращенную сумму после уплаты налога на проценты, если налог на проценты уплачивается каждый год путем выделения средств из накапливаемой суммы и ставка на­лога на проценты равна 12%. Чему равна величина налога за ка­ждый год?

2.1.69. На депозит была помещена сумма 80 тыс. руб. на 2 года 6 месяцев, по истечении которых были начислены слож­ные проценты по годовой процентной ставке 30%. Определите наращенную сумму после уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 12%, налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока и наращение осуществлялось: а) по схеме сложных процентов; б) по смешан-ной схеме.

2.1.70. Инвестор собирается вложить 40 тыс. руб. с целью получения после уплаты налога на проценты 100 тыс. руб. на следующих условиях: по истечении оговоренного в контракте срока на инвестируемую сумму будут начислены сложные про­центы по годовой номинальной процентной ставке 30% исходя из ежемесячной схемы начисления. Определите срок, необходи­мый для накопления требуемой суммы, если ставка налога на проценты равна 15% и налог на все полученные проценты вы­плачивается один раз в конце срока. Какой будет срок, если на­лог на проценты не надо уплачивать?

2.1.71. Инвестор собирается вложить 20 тыс. руб. с целью получения после уплаты налога на проценты 70 тыс. руб. на следующих условиях: в течение оговоренного в контракте срока разв год на инвестируемую сумму будут начисляться сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 32% ис­ходя из ежемесячной схемы начисления. Определите срок, не­обходимый для накопления требуемой суммы, если ставка нало­га на проценты равна 15% и налог на проценты уплачивается каждый год путем выделения средств из накапливаемой суммы. Какой будет срок, если налог на проценты не надо уплачивать?

2.1.72. На вклад по истечении 5 лет были начислены слож­ные проценты по годовой номинальной процентной ставке 34% исходя из ежеквартальной схемы начисления, причем один раз в конце срока был выплачен налог на все полученные про­центы. Определите годовую эффективную процентную ставку в этой финансовой сделке, если ставка налога на проценты равна 15%.

2.1.73. Предприниматель инвестировал 120 тыс. руб. на блет, по истечении которых были начислены сложные проценты по переменной годовой процентной ставке, причем для первых трех лет годовая процентная ставка равнялась 22%, на следующие два года устанавливалось 28% и на последний год – 30%. Определите наращенную сумму после уплаты налога на проценты, если став­ка налога на проценты равна 15% и налог на все полученные про­центы выплачивается один раз в конце срока.

2.1.74. Предприниматель инвестировал 200 тыс. руб. на 4 го­да, в течение которых раз в год начислялись сложные проценты по переменной годовой процентной ставке, причем для первых двух лет годовая процентная ставка равнялась 30%, на следую­щий год устанавливалось 34% и на последний год – 36%. Опре­делите итоговую наращенную сумму после уплаты налога на все проценты, если ставка налога на проценты равна 15% и налог на проценты уплачивается каждый год путем выделения средств из накапливаемой суммы.

2.1.75. Вклад 160 тыс. руб. был размещен в банке на 2 года и 8 месяцев, по истечении которых на этот вклад были начислены сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 30% и вклад был востребован. После уплаты налога на процен­ты вкладчик стал обладателем суммы в размере 299,808 тыс. руб. Какую схему начисления процентов использовал банк, если ставка налога на проценты равна 15% и налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока?

Сложная учетная ставка

Основные положения

• Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществля­ется в ситуации предварительного начисления сложного про­цента, т.е. когда сложный процент (например, за кредит или за продажу некоторого финансового документа до срока его пога­шения) начисляется в момент заключения финансового согла­шения. В этом случае в начале каждого периода начисления проценты начисляются не на одну и ту же величину (как при дисконтировании по простой учетной ставке), а каждый раз на новую, полученную в результате дисконтирования, осуществ­ленного в предыдущем периоде.

• Для лица, осуществляющего предварительное (антисипа-тивное) начисление процентов, а следовательно, и дисконтиро­вание, более выгодным является дисконтирование по сложной учетной ставке, если срок учета менее одного года; более вы­годным является дисконтирование по простой учетной ставке, если срок учета превышает один год; дисконтирование в обоих случаях дает один и тот же результат, если срок учета равен од­ному году.

• Если срок, за который осуществляется дисконтирование, не равен целому числу лет, то при определении стоимости учтен­ного капитала, как правило, используют либо сложную учетную ставку, либо смешанную схему (применяется сложная учетная ставка для целого числа лет и простая учетная ставка – для дробной части года). Стоимость учтенного капитала будет больше при использовании смешанной схемы. Аналогичные способы дисконтирования применяются и в том случае, когда дисконтирование производится не один, а несколько раз в году.

• С ростом в году числа операций дисконтирования по номи­нальной учетной ставке величина учтенного капитала возра­стает.

• Эффективная годовая учетная ставка обеспечивает тот же результат, что и дисконтирование несколько раз в году по номи­нальной учетной ставке, деленной на число периодов дисконти­рования.

• Эффективная учетная ставка определяется и как ставка, обеспечивающая переход от исходной суммы к учтенной при однократном дисконтировании за базовый период (например, за год), т.е. не используется явным образом номинальная учетная ставка.

Вопросы для обсуждения

1.В каких случаях может осуществляться дисконтирование по сложной учетной ставке?

2.Опишите подробно, как осуществляется дисконтирование по сложной годовой учетной ставке при продаже некоторого долгового обязательства за три года до срока погашения. 3.Какой вид имеет множитель дисконтирования при дисконти­ровании по сложной учетной ставке?

4.Как связаны между собой дисконтирование по сложной учетной ставке и проценты “со 100”?

5. Как соотносятся величины дисконтированных сумм при дис­контировании по простой и по сложной учетным ставкам?

6. Как соотносятся величины дисконтированных сумм при дис­контировании по сложной учетной и по сложной процентной ставкам?

7. Как соотносятся величины дисконтированных сумм при дис­контировании по простой процентной и по сложной учетной ставкам?

8. Какие два основных способа дисконтирования, связанные со сложной учетной ставкой, вы знаете? Какой из них выгоднее для лица, осуществляющего учет?

9. Может ли учет по сложной учетной ставке привести к недо­пустимым на практике величинам?

10. Какая годовая учетная ставка называется номинальной?

11. Что происходит с величиной учтенного капитала, если рас­тет число осуществлений операции дисконтирования по сложной учетной ставке?

12. Какая ставка называется эффективной годовой учетной ставкой? От каких параметров она зависит?

13. Как ведет себя эффективная годовая учетная ставка с увели­чением числа периодов дисконтирования в году?

14. Как пояснить с финансовой точки зрения соотношение меж­ду эффективной и номинальной учетными ставками?

15. В каком случае эффективная годовая учетная ставка совпа­дает с номинальной?

16. Что происходит с величиной номинальной учетной ставки при определении ее через эффективную годовую учетную ставку, когда число операций дисконтирования в году растет?

17. Какие номинальные учетные ставки называются эквива­лентными?

18. Приведите формулу наращения по сложной учетной ставке.

19. Как можно связать между собой наращение по сложной учетной ставке и проценты “во 100”!

20. Какая из ставок, сложная учетная или такая же по величине сложная процентная, обеспечивает более быстрый рост ка­питала при наращении?

21. Как соотносятся между собой результаты наращения по простой процентной и сложной учетным ставкам?

22. Что можно сказать о декурсивном и антисипативном спосо­бах начисления сложных процентов, когда период начисле-ния уменьшается?

. Типовые примерыи методы их решения

Пример 2.2.1.Найдите величину дисконта, если долговое обязательство на выплату 40 тыс. руб. учтено за 3 года до срока погашения по сложной учетной ставке: а) 20% годовых; б) 25% годовых.

Решение,а) Полагаяп = 3 , F3= 40 тыс.руб. d = 0,2 по формуле (67) получим:

Р = 40(1 – 0.2)3 = 20,48 тыс. руб.

Поэтому дисконт составит:

Dd =40-20,48 = 19,52 тыс.руб.

б) Так как в этом случае d = 0,25 „ то

Р=40(1-0,25)3 =16,875 тыс. руб.,

Dd =40-16,875 = 23Д25 тыс. руб.

Видно, что с ростом учетной ставки уменьшается дисконти­рованная величина выплаты по долговому обязательству и, сле­довательно, увеличивается величина дисконта.

Пример 2.2.2.Вексель на сумму 70 тыс. руб. со сроком по­гашения через 4 года учтен за 32 месяца по сложной учетной ставке 24% годовых. Определите суммы, которые получит предьявитель векселя при различных способах учета векселя.

Решение. При применении только сложной учетной ставки воспользуемся формулой (67). Так как дисконтирование произ­водится один раз в год, то n = 32/12 = 8/3. Далее Fn =70 тыс. руб., d = 0,24, поэтому:

Р = 70(1-0,24) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =33,672 тыс. руб.

Если же использовать при учете смешанную схему, то при w = 2, f=2/3 по формуле (68) получим:

Р = 70(1 – 0,24)2 (1 – Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,24) = 33,963 тыс. руб.

Таким образом, предъявитель векселя получит больше при использовании смешанной схемы.

Пример2.2.3. Рассчитайте дисконтированную сумму при учете 1 млн руб. по простой и сложной учетным ставкам, если годовая учетная ставка равна 18% годовых и учет происходит за 30 дней, 90 дней, 180 дней, 1 год, 2 года, 3 года, 5 лет. Полагать каждый год равным 360 дней.

Решение.Применяя при F = Fn =1 млн руб. и d = 0,18 для простой учетной ставки формулу (19), а для сложной – формулу (67), получим следующие результаты, представленные для на­глядности в табличном виде:

(млн руб.)

Способ дисконтиро­вания 30 дней (n=1/12) 90 дней (n=1/4) 180 дней
(n=1/2)
1 год (n=1) 2 года
(n=2)
3 года (n=3) 5 лет (n=5)
Простая учет­ная ставка 0,985 0,955 0,91 0,82 0,64 0,46 0,1
Сложная учет­ная ставка 0,9836 0,9516 0,9055 0,82 0,6724 0,5514 0,3707

Таким образом, если вексель на сумму 1 млн руб. учитывает­ся, когда до срока погашения остается меньше года, то для вексе­ледержателя более выгоден учет по простой учетной ставке. Так, при учете за 90 дней до срока погашения векселедержатель полу­чит: при использовании простой ставки – 955 тыс. руб.; при ис­пользовании сложной учетной ставки – 951,6 тыс. руб., т.е. раз­ница между суммами составляет 3,4 тыс. руб. Если же учет век­селя осуществляется, когда до срока погашения остается больше года, то для векселедержателя более выгоден учет по сложной учетной ставке.

Заметим, что дисконтирование по простой учетной ставке за срок более чем 5,56 года, приводит к не допустимым на практике величинам (будем получать отрицательные значения дисконтиро­ванных сумм). Однако учет по сложной учетной ставке всегда дает положительные дисконтированные величины. Например,

при учете за 15 лет получим: Р = 1*(1-0,18)15 =0,0510 млн руб.

Пример 2.2.4. Долговое обязательство на выплату 46 тыс. руб. учтено за 4 года до срока погашения. Определите полученную сумму, если производилось: а) полугодовое; б) поквартальное; в) помесячное дисконтирование по номинальной учетной ставке 24% годовых.

Решение. Во всех случаях полагаем n = 4, Fn = F2 =46 тыс. руб. и пользуемся формулой (69).

а) Так как т =2, d(m) =d(2) =0,24, то:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 16,543 тыс. руб.

б) Поскольку т = 4, d (m) = d{4) = 0,24, то:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =17,092 тыс. руб.

в) В этом случае m = 12, d(m) =d(12) =0,24, поэтому:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 17,443 тыс.руб.

Сравнивая полученные результаты, видим, что с ростом чис­ла осуществлений операции дисконтирования в году величина учтенного капитала возрастает.

Пример 2.2.5. Определите, какую сумму получит владелец векселя на 30 тыс. руб. со сроком погашения через 25 месяцев, если он учтет вексель сразу при его выдаче по номинальной учетной ставке d Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 20% годовых. Сравните два способа дис­контирования.

Решение. Полагаем n=25/12, m = 4, Fn = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб. Если использовать формулу (69), то

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 19,565 тыс.руб.

Пусть дисконтирование осуществляется по смешанной схеме по формуле (70). Поскольку

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс.руб.

Очевидно, для векселедержателя выгоднее смешанная схема.

Пример 2.2.6. За долговое обязательство в 80 тыс. руб. бан­ком было выплачено 62 тыс. руб. За какое время до срока пога­шения было учтено это обязательство, если банком использова­лась: а) годовая сложная учетная ставка 28%, б) годовая простая учетная ставка 28%?

Решение, а) Полагая в формуле (71) .Р = 62 тыс. руб.,

Fn = 80 тыс. руб., т = 1, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,28, получим:

62

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,776 года.

Считая, что в году 360 дней, находим n = 360*0,776 = 279,36 дня. Округляя полученный срок до целого числа дней, делаем вывод, что долговое обязательство было учтено за 280 дней до срока погашения. б) В случае простой учетной ставки воспользуемся форму­лой (22), где F = 80 тыс. руб., d = 0,28:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,804 года, или 289,44 дня.

Таким образом, n = 290 дней.

Пример 2.2.7.Вексель был учтен за 2,5 года до срока пога­шения, при этом владелец векселя получил четверть от напи­санной на векселе суммы. По какой годовой номинальной учет­ной ставке был учтен этот вексель, если производилось: а) по­квартальное дисконтирование; б) помесячное дисконтирование?

Решение,а) Применяя формулу (72), в которой P = 0,25Fn ,п = 2,5 , т = 4, получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатКак рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

б) Если m=12,то

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат т.е. Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =54,19%.

Таким образом, чем большее количество раз в году произво­дится дисконтирование, тем больше величина годовой номи­нальной учетной ставки.

Пример 2.2.8.Рассчитайте эффективную годовую учетную ставку при различной частоте начисления дисконта и номиналь­ной учетной ставке, равной 18% годовых.

Решение. Используя формулу (74), вычислим для некоторых значений т эффективную годовую учетную ставку и результа­ты запишем в табличном виде:

Из таблицы следует, что def уменьшается с ростом т (так как

второе слагаемое в правой части равенства (74) увеличивается). Вообще можно показать, что при т > 1 справедливо неравенство

def < d(m), которое нетрудно пояснить и из финансовых сообра-

жении.

Пример 2.2.9.Определите номинальную учетную ставку, если годовая эффективная учетная ставка равна 30% и дискон­тирование по сложной учетной ставке осуществляется: а) каж­дые полгода; б) ежемесячно; в) ежеквартально.

Решение.Полагаем Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,3 и пользуемся формулой (73).

а) Так как т = 2, то

d(2) =2[1-(l-0,3) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ] = 0,3267, или 32,67%.

б) Поскольку в этом случае т = 12 , то

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , или 35,14%.

в) Считая в году 360 дней, при т = 360 получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,3565, или 35,65% .

Найденные номинальные ставки d(2), d(12) и d(360) эквива­лентны, так как они получены в соответствии с одной и той же эф­фективной ставкой. Поэтому осуществление дисконтирования раз в год по сложной учетной ставке 30% годовых дает такой же ре­зультат, как осуществление дисконтирования 2 раза в год по ставке 32,67% годовых, или 12 раз в год по ставке 35,14% годовых, или каждый день (360 раз в год) по ставке 35,65% годовых. Отметим,

Что d(2)<d(12) < d(360), т.е. величина номинальной учетной ставки растет, когда количество осуществлений дисконтирования в году увеличивается. Аналогичное неравенство справедливо и в общем

случае, а именно: пусть d(m) и Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат эквивалентные номинальные

годовые учетные ставки и m>i, тогда d(m) > Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Пример 2.2.10.Вексель на сумму 12 тыс. руб. со сроком по­гашения через 3 года 6 месяцев был сразу же учтен в банке, и предъявитель векселя получил 5 тыс. руб. Найдите эффектив­ную годовую учетную ставку в этой финансовой операции.

Решение.Подставляя в формулу (75) n = 3,5, P = 5 ,F3,5=12, находим:

def=1- Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,2213,или 22ДЗ%.

Пример 2.2.11.По условиям финансового соглашения на сумму 90 тыс. руб., помещенную в банк на 5 лет, начисляются проценты по сложной учетной ставке 24% годовых. Определите наращенную сумму, если начисление процентов производится: а) по полугодиям; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Сравните полученные величины с результатами наращения сложными процентами по процентной ставке 24% годовых.

Решение.Будем пользоваться формулой (77), где Р = 90

тыс. руб., n = 5, d(2)= d(4) = d(12) = 0,24 . Полагая последователь­но т = 2, т = 4, т = 12 , получим:

a) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 323,159 тыс. руб.;

b) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 310,231 тыс. руб.;

в) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =302,467 тыс. руб.

Полезно заметить, что во всех случаях можно было восполь­зоваться и формулой (76), полагая число периодов равным соот­ветственно 10, 20 и 60, а учетные ставки – 12% (24% : 2), 6% (24% : 4) и 2% (24% : 12).

Если бы наращение сложными процентами осуществлялось с помощью процентной ставки, то для вариантов а), б), в) получили бы по формуле (58) следующие значения наращенных сумм:

а) F5 = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =279,522 тыс. руб.;

б) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 288,639 тыс. руб.;

в) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 295,293 тыс. руб.,

т.е., как уже отмечалось, с увеличением числа начислении про­центов за год по сложной процентной ставке величина нара­щенной суммы возрастает. В противоположность этому с уве­личением числа начислений процентов за год по сложной учет­ной ставке величина наращенной суммы убывает. Видно, что, чем больше число наращений в течение года, тем меньше раз­ница между итоговыми суммами, полученными декурсивным и антисипативным способами начисления процентов. Это и объ­яснимо, поскольку, чем меньше период начисления, тем меньше отличие между понятиями предварительный и последующий. Так, если т = 365 (каждый день идет начисление сложных про­центов), то применение номинальной учетной ставки 24% годо­вых дает 298,928 тыс. руб., а такой же величины процентной ставки – 298,693 тыс. руб., и разница между этими суммами равна уже 235 руб., в то время как, например, при т = 4 соот­ветствующая разница составляет 21 592 руб.

§

Пример 2.2.12. Вклад в размере 20 тыс. руб. помещен в банк сроком на 5 лет, причем предусмотрен следующий порядок на­числения сложных процентов по плавающей годовой учетной ставке: в первые два года – 16%, в последующие два года – 19% и в оставшийся год – 23%. Найдите наращенную сумму. При использовании какой постоянной сложной учетной ставки мож­но получить такую же наращенную сумму?

Решение.Наращенную сумму за первые два года опредсля-

20 ем по формуле (76), где Fn =20, n =2, d = 0,16: Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс.руб. Наращенную сумму за следующие два года определяем также по формуле (76), где Fn= Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , n =2, d = 0,19:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = тыс. руб. Аналогичным образом поступая с последним годом, когда d = 0,23 , находим, что через 5 лет нара­щенная сумма составит:

P= Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 56,106 тыс. руб. Годовую (постоянную) учетную ставку Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , обеспечивающую такой же результат, как и плавающая ставка, можно найти из

равенства (1- Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат )5 = (1-0,16)2(1-0,19)2(1-0,23), разрешая его от­носительно Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат :

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =1- Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =0,1864, или 18,64%.

Пример 2.2.13.Банк выдал кредит сроком на 1 месяц под 3% за месяц, удержав проценты при выдаче кредита. Определи­те доходность такой финансовой сделки для банка в виде годо­вой эффективной процентной ставки и поясните, как такого ро­да сделку можно соотнести с начислением сложных процентов по учетной ставке.

Решение.Обозначим через F величину кредита, тогда за­емщику выдается сумма F -0.03F = 0,97F. Теперь можно вос­пользоваться формулой (64), где P = 0,97F, Fn =F и n = 1/12:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,4412, или 44Д2%.

Записывая формулу для вычисления ref в виде:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

делаем вывод, что начисление процентов один раз за год по процентной ставке 44,12% обеспечивает такой же результат, как и начисление ежемесячно процентов по годовой номинальной

учетной ставке d(12) =3%*12 = 36%.

Таким образом, выдача банком кредита с одновременным удержанием начисленных процентов по существу означает, что на выданную сумму будут начисляться сложные проценты по учетной ставке.

Пример 2.2.14.Согласно финансовому соглашению банк начисляет по полугодиям проценты на вклады по сложной учет­ной ставке 28% годовых. Определите в виде простой годовой процентной ставки стоимость привлеченных средств для банка при их размещении: а) на 3 месяца; б) на год.

Решение,а) Стоимость привлеченных средств найдем по формуле (23), где через Р обозначена использованная сумма средств; через F-P – проценты, выплаченные за использова­ние суммы Р в течение времени п, a F определяется с помо­щью формулы (77), где n = 0,25, т = 2, d(2) = 0,28 . Итак,

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,3132, или 31,32% годовых.

Естественно, можно было и сразу применить формулу (85):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат устанавливающую эквивалентность простой ставки r и сложной учетной ставки Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 03132.

б) Полагая n = 1, воспользуемся сразу формулой (85) экви­валентности простой процентной и сложной учетной ставок:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,3521 = 35,21%.

Заметим, что если найти простую учетную ставку, эквива­лентную простой процентной ставке r = 35,21%, то она в точности будет равна годовой эффективной учетной ставке, соответст­вующей номинальной учетной ставке d Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 28%. Действительно, по формуле

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

а по формуле (74) получаем то же значение:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =0,2604.

Пример 2.2.15. Вексель учитывается в банке за 3 года до его погашения по сложной учетной ставке 26% годовых. Найдите доходность такой финансовой операции для банка в виде эф­фективной учетной ставки, если банк удерживает комиссионные в размере 2% от суммы, выплачиваемой за вексель. Как изме­нится такого рода доходность при учете за 2 года и за 6 лет до срока погашения?

Решение. Пусть за 3 года до срока погашения предъявлен вексель на некоторую сумму Fз. Так как сумма, выплачиваемая

за вексель, составит: F3 (1-0,26) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,4052Fз, то величину удер­живаемых комиссионных определяем, взяв 2% от этой суммы: 0,4052 Fз* 0,02 = 0,0081 Fз. Следовательно, векселедержатель полу­чит сумму: P = 0,4052F3-0,0081F3 =0,3971F3 . Теперь по формуле (75) можно определить доходность финансовой операции для банка в виде эффективной учетной ставки:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

т.е. def = 26,50%, что больше объявленных банком 26% годовых.

Таким образом, удержание комиссионных увеличивает доход­ность финансовой операции для банка.

При предъявлении векселя за 2 года до срока сумма, выплачи­ваемая за вексель, составит: F2(l-0,26)2 =0,5476 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , и поэтому по­сле удержания комиссионных векселедержатель получит сумму:

P = 0,5476 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат – 05476 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат * 0,02 = 0,5366F2 ,

и, следовательно, доходность для банка составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

т.е. больше, чем при учете за 3 года.

Аналогичным образом при учете за 6 лет получим:

P=F Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат (1 – 0,26)6 – F6 (1 – 0.26)6 * 0,02 = 0,1609F6,

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

т.е. меньше, чем при учете за 3 года.

Основываясь на рассмотренном примере, можно сделать вы­вод, что при удержании комиссионных увеличение срока, за ко­торый происходит учет по сложной учетной ставке, уменьшает доходность в виде эффективной учетной ставки для банка. Ко­нечно, если комиссионные не взимаются, то при учете за любое время до срока погашения по сложной учетной ставке доход­ность такой финансовой сделки в виде годовой эффективной учетной ставки будет постоянна и равна 26%.

Пример 2.2.16. Предприятие приобрело универсальный ста­нок за 320 тыс. руб. Срок службы станка – 8 лет, после чего он реализуется по остаточной стоимости 50 тыс. руб. Используя способ фиксированного процента, составьте таблицу уменьше­ния стоимости станка по годам.

Решение. В соответствии со способом фиксированного процента стоимость имущества снижается к концу каждого года на одно и то же число процентов d от его стоимости на начало года. Обозначим через Р первоначальную стоимость станка, Рп – остаточную стоимость станка через л лет и полу­чим формулу для определения стоимости станка на конец k -го года.

В конце первого года первоначальная стоимость станка Р бу­дет уменьшена иа величину Pd и станет равна Р -Pd = P(1 – d). В

конце второго года стоимость Р(1 – d) будет уменьшена на вели­чину P(1- d)d и станет равна P(1-d)-P(1-d)d = P(1-d)2. Про­должая аналогичным образом рассуждения, найдем, что в конце k -го года стоимость станка будет равна Р(1 – d) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат (т.е. сумма Р учитывается за к лет по сложной учетной ставке d ).

Поскольку в конце п -го года остаточная стоимость станка равна Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат то получим равенство Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = Р(1 – d) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , из которого можно определить фиксированный процент d снижения стоймости станка: d = 1 – Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат (очевидно, эта формула не случайно

напоминает формулу (75) определения эффективной годовой учетной ставки). В данном случае срок службы станка составля­ет n = 8 лет, Р = 320 тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатКак рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 50 тыс. руб., поэтому:

d=1- Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,2071, или 20,71%.

Далее последовательно находим амортизационные отчисле­ния за год и стоимость станка на конец этого года:

а) в конце первого года:

Pd = 320 * 0,2071 = 66,272 тыс. руб.,

Р – Pd = 320 – 66,272 = 253,728 тыс. руб.;

б) в конце второго года:

Р(1 -d)d = 253,728 * 0,2071 – 52,547 тыс. руб.,

P(1-d)2 = 253,728-52,547 =201,181тыс. руб.

Продолжая аналогичным образом, получим таблицу:

Год
службы
Амортизации иные отчисления за год, тыс. руб. Стоимость на конец года, тыс. руб.
66,272 253,728
52,547 201,181
41,665 159,516
33,036 126,48
26,194 100,286
20,769 79,517
16,468 63,049
13,057 49,992

Небольшое отличие остаточной стоимости от 50 тыс. руб. , (получили 49,992 тыс. руб.) связано с погрешностью прибли-.

женных вычислении.

Задачи

2.2.1. Вексель яа сумму 100 тыс. руб. учитывается за 4 года до срока погашения. Составьте схему учета векселя по годам, если при этом используется сложная учетная ставка 20% годо­вых. Какую сумму получит предъявитель векселя?

2.2.2. Долговое обязательство на выплату 12 тыс. руб. со сроком погашения через 5 лет учтено за 3 года до срока с дис­контом по сложной учетной ставке 14% годовых. Найдите вели­чину дисконта. Как изменится величина дисконта, если долговое обязательство учтено сразу после его выдачи?

2.2.3. Сделайте сравнительный анализ графиков, отражающих дисконтирование по простой и по сложной учетным ставкам.

2.2.4. Определите дисконтированную сумму при учете 1 тыс. руб. по простой и сложной учетным ставкам, если годовая учет­ная ставка равна 18% и учет происходит за 30 дней, 210 дней, 1 год, 3 года, 5 лет, 20 лет. Полагать год равным 360 дней. Обсу­дите полученные результаты.

2.2.5. Вексель на сумму 50 тыс. руб. со сроком погашения через 3 года учтен за 26 месяцев по сложной учетной ставке 20% годовых. Определите суммы, которые получит предъявитель векселя при различных способах учета векселя (при применении только сложной учетной ставки и при применении смешанной схемы).

2.2.6. В банк 10 июня предъявлен для учета вексель на сумму 15 тыс. руб. со сроком погашения 10 сентября того же года. Банк учитывает вексель по сложной учетной ставке 20% годовых, счи­тая год равным 360 дням и проводя приблизительный подсчет дней. Определите сумму, которую получит векселедержатель от банка, и комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу за предоставленную услугу. Как изменятся результаты, если срок погашения векселя – 10 сентября следующего года?

2.2.7. За 3 года 9 месяцев до срока погашения в банк предъяв­лен вексель на сумму 80 тыс. руб. Банк согласился учесть вексель по сложной учетной ставке 24% годовых при осуществлении дисконтирования раз в год и выплатил предъявителю векселя 28,797 тыс. руб. Какую из двух схем дисконтирования (только по сложной, учетной ставке или смешанную) использовал банк? 2.2.8. Вексель на сумму 30 тыс. руб. учтен за 15 месяцев до срока погашения по номинальной учетной ставке 16% годовых, причем производилось поквартальное дисконтирование. Составь­те схему учета по кварталам. Какую сумму получит векселедер­жатель?

2.2.9. Долговое обязательство на выплату 200 тыс. руб. со сроком погашения через 6 лет учтено за три года до срока. Опредслите полученную сумму, если производилось: а) полугодо­вое; б) поквартальное; в) помесячное дисконтирование по номи­нальной учетной ставке 18% годовых.

2.2.10. Определите современное значение суммы в 30 тыс. руб., если она будет выплачена через 4 года 9 месяцев и дискон­тирование производится по полугодиям по номинальной годо­вой учетной ставке 20%.

2.2.11. Определите, какую сумму получит владелец векселя на 40 тыс. руб. со сроком погашения через 26, месяцев, если он учтет вексель сразу при его выдаче по номинальной учетной ставке 24% годовых при осуществлении операции дисконтиро­вания 4 раза в год. Сравните два способа дисконтирования (при применении только сложной учетной ставки и при применении смешанной схемы).

2.2.12. За долговое обязательство 50 тыс. руб. банком было выплачено 40 тыс. руб. За какое время до срока погашения было учтено это обязательство, если банком использовалась: а) годо­вая сложная учетная ставка 22%; б) годовая простая учетная ставка 22%? Полагать в году 360 дней.

2.2.13. Вексель был учтен за 21 месяц до срока погашения, при этом владелец векселя получил 0,8 от написанной на вексе­ле суммы. По какой сложной годовой учетной ставке был учтен этот вексель?

2.2.14. За учтенный вексель была выплачена половина от на­писанной на векселе суммы. За какое время до срока погашения был учтен вексель при дисконтировании по простой и по слож­ной учетным ставкам, если годовая учетная ставка равна: а) 5%; б) 10%; в) 25%; г) 50%; д) 80%?

2.2.15. Вы имеете вексель на сумму 15 тыс. руб. и хотели бы при его учете по сложной учетной ставке за 2 года до срока по­гашения получить две трети этой суммы. Какая должна быть годовая номинальная учетная ставка при дисконтировании по­квартально? Как изменится ответ, если дисконтирование осуще­ствляется раз в год?

2.2.16. Долговое обязательство было учтено по номинальной учетной ставке 32% годовых, причем проводилось полугодовое дисконтирование. За какое время до срока погашения было учтено обязательство, если его дисконтированная сумма составила треть от суммы, которую нужно выплатить по этому обязательству?

2.2.17.3а какое время до срока погашения был учтен вексель на сумму 50 тыс. руб., если предъявитель векселя получил 30 тыс. руб. и дисконтирование по номинальной учетной ставке 24% годовых производилось: а) поквартально; б) помесячно?

2.2.18; Долговое обязательство было учтено за 2 года до срока погашения, при этом его владелец получил половину от написан­ной в нем суммы. По какой годовой номинальной учетной ставке было учтено это Обязательство, если производилось: а) полугодо­вое дисконтирование; б) поквартальное дисконтирование?

2.2.19. Какие условия учета при дисконтировании по слож­ной учетной ставке более выгодны банку: а) 32% годовых, полу­годовое дисконтирование; б) 33% годовых, поквартальное дис­контирование?

2.2.20. Вы имеете возможность учесть вексель либо по слож­ной учетной ставке 28% годовых с поквартальным дисконтирова­нием, либо по сложной учетной ставке 29% годовых с помесяч­ным дисконтированием. Какой вариант предпочтительнее?

2.2.21. Рассчитайте эффективную годовую учетную ставку при различной частоте начисления дисконта и номинальной учетной ставке, равной 24% годовых. Сравните между собой полученные результаты.

2.2.22. Долговое обязательство, равное 15 тыс. руб., со сро­ком погашения через 3 года было сразу же учтено в банке, и владелец обязательства получил 10 тыс. руб. Найдите эффек­тивную годовую учетную ставку в этой сделке.

2.2.23. Долговое обязательство на сумму 16 тыс. руб. было уч­тено за 170 дней до срока погашения, и владелец обязательства получил 14 тыс. руб. Определите доходность этой операции в виде эффективной учетной ставки на базе: а) 360 дней; б) 365 дней.

2.2.24. Определите номинальную учетную ставку, если эффек­тивная годовая учетная ставка равна 22% и дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется: а) поквартально; б) поме-

. сячно. 2.2.25. На какую сумму должен быть выписан вексель, чтобы при его учете за 3 года до срока погашения по сложной учетной ставке 28% годовых можно было получить 18 тыс. руб., если дис­контирование производится: а) по полугодиям; б) помесячно? Чему равен дисконт?

2.2.26. За 4 года до срока погашения учтено долговое обяза­тельство, и его владелец получил 5 тыс. руб. Определите сумму, написанную в долговом обязательстве, если учет осуществлялся по сложной учетной ставке и дисконтирование производилось:

а) по полугодиям по учетной ставке 40% годовых; б) помесячно по учетной ставке 30% годовых.

2.2.27. Какая сумма должна быть написана на векселе, чтобы при его учете по сложной учетной ставке 30% годовых было получено 20 тыс. руб., если учет осуществляется: а) за 5 лет до срока погашения при дисконтировании раз в год; б) за 3 года до срока погашения при поквартальном дисконтировании?

2.2.28. В банке за 3 года 8 месяцев до срока погашения был учтен вексель по сложной учетной ставке 35% годовых, и вексе­ледержатель получил сумму в размере 8,422 тыс. руб. Опреде­лите, какую сумму получил бы в этом банке владелец векселя при его учете за 2 года 5 месяцев до срока погашения, если банк использует при дисконтировании смешанную схему.

2.2.29. Определите, время, за которое происходит удвоение первоначальной суммы при начислении простых и сложных про­центов, если используемая учетная ставка равна: а) 5%; б) 10%; в) 15%; г) 25%; д) 50%; е) 75%.

2.2.30. По условиям финансового контракта на депозит 30 тыс. руб., положенный в банк на 4 года, начисляются проценты по сложной учетной ставке 12% годовых. Определите наращенную сумму, если начисление процентов производится: а) ежегодно;

б) ежеквартально; в) ежемесячно. Сравните полученные величины с результатами наращения сложными процентами по процентной ставке 12% годовых.

2.2.31. Что выгоднее: получить 23,5 тыс. руб. через 5 лет или 30,5 тыс. руб. через 6 лет, если можно поместить деньги в банк под сложную учетную ставку 32% годовых? Оцените ситуацию с позиции будущего и с позиции настоящего.

2.232. Сроком на 6 лет выпущена облигация номиналом 1000 руб., причем предусмотрен следующий порядок начисле­ния сложных процентов по плавающей годовой учетной ставке:

в первые три года – 12% годовых, в последующие два года -16% годовых и в оставшийся год – 18% годовых. Найдите нара­щенную сумму. При использовании какой постоянной сложной учетной ставки можно получить такую же наращенную сумму?

2.2.33. Банк выдал кредит сроком на 1 квартал под 8% за квартал, удержав проценты при выдаче кредита. Определите доходность такой финансовой сделки для банка в виде годовой эффективной процентной ставки и поясните, как такого рода сделку можно соотнести с начислением сложных процентов по учетной ставке.

2.2.34. Согласно финансовому соглашению банк начисляет ежеквартально проценты на вклады по сложной учетной ставке 20% годовых. Определите в виде простой годовой процентной ставки стоимость привлеченных средств для банка при их раз­мещении: а) на 3 месяца; б) на 9 месяцев; в) на год.

2.2.35. Вексель учитывается в банке за 2 года до его погаше­ния по сложной учетной ставке 32% годовых. Найдите доход­ность такой финансовой операции для банка в виде эффектив­ной учетной ставки, если банк производит поквартальное дис­контирование и удерживает комиссионные в размере 3% от суммы, выплачиваемой за вексель.

2.2.36. Вексель учитывается в банке за 2 года 6 месяцев до срока погашения по сложной учетной ставке 28% годовых, при­чем дисконтирование проводилось поквартально. При взимании комиссионных с суммы, выплачиваемой за вексель, доходность такой финансовой операции для банка в виде эффективной учетной ставки получилась 29%. Сколько процентов составили комиссионные от суммы, выплачиваемой за вексель?

2.2.37. Вексель учитывается в банке по сложной учетной ставке 30% годовых, при этом дисконтирование производится помесячно и банком взимаются комиссионные в размере 1,5% от суммы, выплачиваемой за вексель. За какое время (в днях) до срока погашения должен учитываться вексель, чтобы доход­ность такой сделки для банка в виде годовой эффективной учет­ной ставки составила 38%? Полагать в году 365 дней.

2.2.38. Некоторая сумма в долларах США обменивается на рубли, после чего помещается на рублевый депозит на 2 года 9 месяцев под учетную ставку 25% годовых с ежегодным начис­лением сложных процентов. Полученная наращенная сумма опять конвертируется в доллары США. Определите доходность такой финансовой операции в виде годовой эффективной учетной ставки, если курс покупки долларов на начало срока – 18 руб. 42 коп., а курс продажи через 2 года 9 месяцев – 22 руб. 30 коп. и начисление процентов осуществлялось: а) по схеме сложных процентов; б) по смешанной схеме.

2.2.39. На валютном (долларовом) депозите наращение осу­ществляется ежеквартально сложными процентами по годовой процентной ставке 24%. На рублевом депозите наращение осу­ществляется ежеквартально сложными процентами по годовой учетной ставке 24%. Курс покупки составляет 20 руб. 15 коп. за 1 долл. США. Какой должен быть курс продажи валюты, чтобы доходность в виде годовой эффективной процентной ставки за два года финансовой операции “конвертирование – наращение -конвертирование” была больше доходности при непосредствен­ном инвестировании валютных средств?

2.2.40. На вклад 40 тыс. руб. по истечении 3 лет были начисле­ны сложные проценты по годовой номинальной учетной ставке 28% исходя из ежеквартальной схемы начисления. После уплаты налога на проценты величина наращенной суммы составила 88,891 тыс. руб. Определите ставку налога на проценты, если налог на все полученные проценты был выплачен один раз в конце срока.

2.2.41. На вклад 50 тыс. руб. в течение 4 лет раз в год начис­лялись сложные проценты по годовой номинальной учетной ставке 28% исходя из полугодовой схемы начисления. После уплаты налога на все начисленные проценты величина итоговой наращенной суммы составила 151,979 тыс. руб. Определите ставку налога на проценты, если налог на проценты уплачивался каждый год путем выделения средств из накапливаемой суммы.

2.2.42. На какой срок необходимо поместить имеющуюся де­нежную сумму под годовую номинальную процентную ставку 30% с однократным начислением в конце срока сложных процен­тов исходя из ежемесячной схемы начисления, чтобы наращенная сумма была в 2,4 раза больше первоначальной суммы с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты рав­на 15% и налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока? Как изменится ответ при осуществлении на­ращения по сложной учетной ставке 30% годовых?

2.2.43. Фирма приобрела оборудование за 950 тыс. руб. Срок службы оборудования – 10 лет, после чего фирма намеревается реализовать изношенное оборудование за 100 тыс. руб. Исполь­зуя способ фиксированного процента, составьте таблицу уменьшения стоимости оборудования по годам.

2.3. Непрерывная ставка

Основные положения

• При анализе сложных финансовых проблем в банковской практике нередко возникает задача начисления сложных про­центов за очень малые промежутки времени. В частности, такая задача особенно актуальна,. когда финансовые операции осуще­ствляются и регистрируются с помощью электронных методов. В такого рода ситуациях говорят о непрерывном начислении процентов и их непрерывной капитализации.

• Предел годовой номинальной процентной, ставки, когда число начислений сложных процентов стремится к бесконечно­сти, а эффективная ставка постоянна, называется силой роста или интенсивностью наращения за год при непрерывном начис­лении процентов. Силу роста также еще называют непрерывной ставкой и, чтобы отличать ее от обычной (дискретной), вводят специальное обозначение – Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат .

• При непрерывном начислении процентов исчезает разли­чие между антисипативным и декурсивным способами начисле­ния, так как в такой ситуации начало и конец периода перестают отличаться.

• При использовании непрерывной ставки будущие поступ­ления, являющиеся разновременными суммами, можно оцени­вать с позиции любого момента времени.

Вопросы для обсуждения

1. Как пояснить переход к непрерывным процентам?

2. Чем отличаются дискретные проценты от непрерывных?

3. Какая постоянная используется при непрерывном начисле­нии процентов?

4.Какая ставка называется силой роста?

5.Чему равен множитель наращения при непрерывном начис­лении процентов?

6.Можно ли сказать, что сила роста показывает скорость отно­сительного роста накапливаемой суммы?

7.Какое существует соотношение между силой роста и годовой процентной ставкой?

8. Какое существует соотношение между силой роста и годовой учетной ставкой?

9. Укажите приближенные соотношения, связывающие силу роста и годовую процентную ставку.

10.Укажите приближенные соотношения, связывающие силу роста и годовую учетную ставку.

11.В каких случаях сила роста практически совпадает с про­центной и учетной годовыми ставками?

12.Почему исчезает различие между антисипативным и декурсивным способами начисления процентов, если использовать непрерывное начисление?

13.Что такое сила учета и как она связана с силой роста?

14.В каких случаях целесообразно использовать непрерывное начисление процентов?

§

Пример 2.3.1.Рассчитайте накопленную сумму для различ­ных вариантов начисления сложных процентов за один год (равный 360 дням), если исходная сумма Р = 1000 руб. и номи­нальная годовая процентная ставка Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 30%. Рассмотрите случаи, когда проценты начисляются один раз, по полугодиям, ежеквартально, ежемесячно, ежечасно, ежеминутно, ежесекунд­но и непрерывно. Для каждого случая определите эффективную годовую процентную ставку.

Решение. Результаты, полученные для всех вариантов, при­ведем в виде таблицы, причем в четвертом столбце вычислены разности между наращениями с данным числом начисления процентов и базовым, а в пятом столбце указаны разности меж­ду наращенными суммами двух соседних строчек.

I

  Частота начисления   Наращение  
P    
Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат
базовое цепноеКак рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат
 
Ежегодное (т = 1) 0,3
Полугодовое (т = 2) 1322,5 22,5 22,5 0,3225
Ежеквартальное {т = 4) 1335,47 35,47 12,97 0,33547
Ежемесячное (т = 12) 1344,89 44,89 9,42 0,34489
Ежедневное (ш = 360) 1349,69 49,69 4,8 0,34969
         
         
           
Ежечасное (т = 8640) 1349,85 49,85 0,16 0,34985
Ежеминутное
(т = 518400)
1349,86 49,86 0,01 0,34986
Ежесекундное (т = 31104000) 1349^6 49,86 0,34986
Непрерывное (т = оо) 1349,86 49,86 0,34986

Накопленную сумму и эффективную процентную ставку во всех случаях, кроме последнего, находим соответственно по формулам (58) и (63). При непрерывном начислении процентов получим:

F1 =Pe Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат -1000-e0,3 =1349,86 руб.,

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат -1= 1,34986 -1 = 034986.

Как и следовало ожидать, приведенные расчеты подтвер­ждают наличие прямой зависимости между частотой начисле­ния процентов и накопленной суммой; пятый столбец таблицы показывает, что с увеличением частоты начисления темп при­роста накопленной суммы уменьшается. Если считать с точно­стью до копеек (что и имеет смысл при практических расчетах и как сделано при заполнении таблицы), то замечаем, что начис­ление сложных процентов каждую минуту (или за меньший пе­риод) доставляет ту же сумму, что и непрерывное начисление процентов. Даже начисление каждый час дает наращенную сумму лишь на 1 копейку меньше.

Эффективная процентная ставка с ростом частоты начисле­ния сложных процентов растет и в пределе достигает величины 34,986%.

Пример 2.3.2.На сумму 6 тыс. руб. в течение 5 лет начис­ляются непрерывные проценты. Определите наращенную сум­му, если сила роста равна: а) 7%; б) 27%.

Решение,а) Полагая Р = 6 тыс. руб.( п = 5, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,07, по фор-ле (78) получим:

F5 = 6е,07*5 = 8,514 тыс. руб.

Если в данном случае применить формулу (55), т.е. осущест­влять начисление обычных сложных процентов по процентной ставке г = 0,07, то получим сумму:

F5 =6(l 0,07)5 =8,415 тыс. руб.,

которая отличается от предыдущей всего на 99 руб., хотя нара­щение происходит достаточно долго – 5 лет. Такой результат объясняется небольшой величиной ставки. Ясно, что при более частом начислении сложных процентов эта разница будет еще меньше.

6) Так как в этом случае Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 027, то

F5 = 6е0,27*5 =23,145 тыс. руб.

Если же воспользоваться формулой (55) при r = 0,27, то по­лучим:

F5=6(l 0,27)5 =19,823 тыс. руб.,

т.е. имеем значительную разницу (3,322 тыс. руб.) между най­денными суммами.

Пример 2.3.3.Какую сумму необходимо поместить на бан­ковский депозит, чтобы при непрерывном начислении процентов по ставке 25% получить 30 тыс. руб. через: а) 4 года; б) 9 лет?

Решение,а) Для определения искомой суммы воспользуемся формулой (78). Полагая n = 4 , Fn = F4 = 30 тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,25 , из этой формулы получим:

Р = 30e-0,25*4 = 30е-1 = 11,036 тыс. руб.

б) Поскольку и « 9, то

P=30e Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =30e Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =3,162 тыс.руб.

Пример 2.3.4.За какой срок сумма 10 тыс. руб. достигнет величины 25 тыс. руб. при непрерывном начислении процентов и силе роста 28% за год?

Решение.Полагая в формуле (79) Fn = 25 тыс. руб.,

Р = 10 тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,28, находим:

n= Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Если бы начислялись сложные проценты, например, по годовой номинальной процентной ставке r Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,28, то по фор­муле (60):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 3,497года,

т.е., естественно, получили больший срок, чем при непрерывном начислении процентов.

Пример 2.3.5. Банк выдает ссуду на 7 лет под сложную про­центную ставку 36% годовых с начислением процентов каждые полгода. Какую непрерывную ставку должен установить банк, чтобы за 7 лет получить тот же доход?

Решение. Пусть Р – величина ссуды, тогда при использова­нии процентной ставки банк получит через 7 лет (согласно фор­муле (58)):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Теперь для определения силы роста можно воспользоваться формулой (80):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Конечно, этот пример можно было решить, и воспользовав­шись сразу формулой (97), связывающей эквивалентные силу роста и сложную процентную ставку.

Пример 2.3.6. Банк предоставил кредит на 4 года под непре­рывную ставку 30% за год. Определите доходность такой фи­нансовой операции для банка в виде: а) простой годовой про­центной ставки; б) годовой эффективной процентной ставки.

Решение, а) Если Р – величина кредита, то через n = 4 года наращенная сумма, которую заемщик должен будет возвратить, составит: Поэтому доходность в виде простой годовой процентной ставки составит (по формуле (23)):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Обратим внимание, что в данном случае по существу была применена формула (93).

б) При определении r Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат воспользуемся формулой (64):

ref = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат -1 = 0,3499 = 34,99% .

Заметим, что годовая эффективная процентная ставка rеf, и

сила роста S связаны соотношением: r Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = e Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат — 1, которым мы

фактически и воспользовались при решении примера.

Пример 2.3.7.Предприниматель получил в банке ссуду на 6 лет по непрерывной ставке 25% за год, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 2% от величины ссуды. Оп­ределите доходность такой финансовой операции для банка в виде: а) простой годовой процентной ставки; б) годовой эффек­тивной процентной ставки, если непрерывные проценты начис­ляются на исходную величину ссуды.

Решение,а) Обозначим через Р величину ссуды, тогда ве­личина удержанных комиссионных составит 0,02P и господину N будет выдана сумма Р – 0,02Р = 0.98Р . Через 6 лет господин N должен будет вернуть (согласно формуле (78)) сумму, равную

Ре0,25*6 = Ре1,5 . Банк вычисляет доходность сделки исходя из ус­ловия: наращенная по простой процентной ставке r на реально выданную ссуду сумма 0,98Р(1 6r) должна быть равна возвра­щаемой господином N через 6 лет сумме Ре1,5. Таким образом, доходность сделки r определяется из уравнения: 0,98P(1 6r) = Ре1,5. Откуда:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,5955 = 59,55%.

По существу воспользовались формулой (23).

б) В этом случае- наращенная по эффективной процентной ставке ref на реально выданную ссуду сумма составит 0,98P(1 r Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат и, следовательно, получим уравнение: 0,98P(1 r Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат )6= Pe1,5, откуда:

r Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,2884 = 28,84%.

Пример 2.3.8.На вклад 16 тыс. руб. начисляются непрерыв­ные проценты. Определите наращенную сумму за 6 лет, если интенсивность наращения изменяется следующим образом: в первые два года она равна 20%, в следующие три года – 24% и в последний год – 26%. Какую постоянную силу роста необхо­димо взять, чтобы за 6 лет получить такую же наращенную сумму?

Решение.Пусть Р = 16 тыс. руб. По формуле (78) за первые два года при силе роста 5 = 0,2 наращенная сумма составит:

F2=l6e0,2*2 =16е0,4 тыс. руб.

Далее наращение суммы F2 непрерывными процентами за три года при Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,24 обеспечит величину:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 16e1,12 тыс. руб.

И наконец, за последний год получим при Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,26:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =63,598 тыс. руб.

Такую же наращенную сумму за 6 лет можно получить, если в качестве постоянной силы роста взять

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Заметим, что Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат представляет собой взвешенную сумму ис­ходных непрерывных ставок, где весом для каждой ставки явля­ется доля времени (от общего срока 6 лет), в течение которого использовалась данная ставка. Действительно:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Пример 2.3,9.Господин N намеревается обменять имеющиеся у него немецкие марки и поместить полученную сумму на рублевом депозите сроком на 2 года под ставку 21% годовых с непрерывным начислением процентов, после чего наращен­ную сумму опять конвертировать в немецкие марки. При каком ожидаемом курсе продажи не имеет смысла такая финансовая операция, если курс покупки немецких марок на начало срока составляет 10 руб. 64 коп. и на валютном депозите денежную сумму можно поместить под процентную ставку 18% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов?

Решение.Обозначим через Р имеющуюся первоначальную сумму немецких марок, через К – ожидаемый курс продажи немецких марок через 2 года, при котором нет смысла в двой­ном конвертировании. Неизвестную величину К находим, при­равнивая наращенные суммы на валютном и на рублевом депо­зитах с учетом конвертации:

P Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

отсюда К= Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 11,39 руб. Если ожидаемый курс продажи будет менее 11 руб. 39 коп., то финансовая операция, связанная с двойной конвертацией, целесообразна.

Пример 2.3.10.Сумма 15 тыс. руб. была помещена в банк на некоторый срок, по истечении которого на эту сумму были на­числены непрерывные проценты с силой роста 30% за год. По­сле уплаты налога на проценты величина наращенной суммы составила 36,2 тыс. руб. Определите срок, за который было осуществлено наращение, если ставка налога на проценты равна 12% и налог на все полученные проценты был выплачен один раз в конце срока.

Решение.Воспользуемся соотношением (101), разрешая его относительно п :

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Так как в этом случае Р = 15 тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =36,2 тыс. руб., q=0,12 ,a=e03 ,in= 0,3 то

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 3,193 года.

С целью проверки применим непосредственно формулу (101):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб.

Пример 2.3.11.Сумма 15 тыс. руб. была помещена в банк на некоторый срок, в течение которого на сумму начислялись не­прерывные проценты с силой роста 30% за год. После уплаты налога на все начисленные проценты величина итоговой нара­щенной суммы составила 36,2 тыс. руб. Определите срок, в те­чение которого осуществлялось наращение, если ставка налога на проценты равна 12% и налог на проценты уплачивается каж­дый год путем выделения средств из накапливаемой суммы.

Решение. Выражая из равенства (102) л, в обозначениях предыдущего примера находим;

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 3,282 года,

т.е. получен больший по величине срок, чем в предыдущем случае.

Задачи

2.3.1. На сумму 12 тыс. руб. в течение 6 лет начисляются не­прерывные проценты. Определите наращенную сумму, если сила роста равна: а) 6%; б) 16%; в) 26%.

2.3.2. Рассчитайте наращенную сумму для различных вари­антов начисления процентов за один год (равный 360 дням) по сложной учетной ставке, если исходная сумма равна 1000 руб. и номинальная годовая учетная ставка составляет 20%. Рассмот-

211риге случаи, когда проценты начисляются один раз в год, по по­лугодиям, ежеквартально, ежемесячно, ежечасно, ежеминутно, ежесекундно и непрерывно- Для каждого случая определите эф­фективную годовую учетную ставку.

2.3.3. Клиент поместил в банк 40 тыс. руб. на 2 года. Какая сумма будет на счете клиента, если банк начисляет сложные проценты: а) по номинальной процентной ставке 30% годовых с полугодовым начислением процентов; б) по номинальной учет­ной ставке 30% годовых с ежеквартальным начислением про­центов; в) по непрерывной ставке с силой роста 30% за год?

2.3.4. Какую сумму необходимо поместить на банковский депозит, чтобы через 5 лет получить 80 тыс. руб., если происхо­дит непрерывное начисление процентов по ставке 22%?

2.3.5. Известно, что современная стоимость 10 тыс. руб., ко­торые один клиент должен получить по банковскому депозиту через 2 года, равна удвоенной современной стоимости 6 тыс. руб., .которые должен получить другой клиент по банковскому депозиту через 4 года. В обоих случаях используются непре­рывные проценты и одна и та же непрерывная ставка. Чему рав­на эта ставка?

2.3.6. За какой срок сумма 50 тыс. руб. достигнет величины 90 тыс. руб. при непрерывном начислении процентов и силе роста 34%? Как изменится ответ при начислении сложных про­центов ежеквартально по номинальной процентной ставке 34% годовых?

2.3.7. Заемщик должен уплатить кредитору по векселю сле­дующие суммы: 15 тыс. руб. на 1 января 1999 г.; 20 тыс. руб. на 1 января 1998 г.; 30 тыс. руб. на 1 октября 1998 г. Определите приведенную стоимость долга на моменты: а) 1 января 1995 г.; б) 1 июля 1997 г., если используется непрерывное начисление процентов с силой роста 12% за год.

2.3.8. Банк выдает ссуду на 9 лет под сложную процентную ставку 32% годовых с начислением процентов каждый квартал. Какую непрерывную ставку должен установить банк, чтобы за 9 лет получить тот же доход? Изменится ли полученный резуль­тат, если срок ссуды будет 3 года?

2.3.9. Банк предоставил кредит на 6 лет под непрерывную ставку 27% за год. Определите доходность такой финансовой операции для банка в виде: а) простой годовой процентной ставки; б) годовой эффективной процентной ставки.

2.3.10. Предоставлена ссуда на 5 лет под непрерывную став­ку. Определите величину этой ставки, если доходность сделки для кредитора в виде годовой эффективной процентной ставки составила 38%. Зависит ли величина искомой непрерывной ставки от срока ссуды?

2.3.11. Предприниматель может получить ссуду либо на ус­ловиях ежеквартального начисления сложных процентов по процентной ставке 36% годовых, либо на условиях непрерывно­го начисления процентов с интенсивностью 34% за год. Какой вариант предпочтительнее для предпринимателя?

2.3.12. Вкладчик хотел бы за 6 лет увеличить в 2,5 раза сум­му, помещаемую в банк на депозит. Какова должна быть сила роста, если банк начисляет непрерывные проценты? Какова должна быть сила роста, чтобы обеспечить увеличение поме­щаемой суммы в 4 раза?

2.3.13. Оцените, что лучше: получить 20 тыс. руб. через 3 года или 68 тыс. руб. через 7,5 года, если можно поместить деньги на депозит под непрерывную ставку 28% за год?

2.3.14. Под какую непрерывную ставку можно поместить деньги на депозит, если 10 тыс. руб. сейчас эквивалентны 30 тыс. руб. через 4 года? Какая сложная процентная ставка с на­числением процентов по полугодиям решает эту задачу?

2.3.15. Определите время, за которое происходит удвоение первоначальной суммы при начислении непрерывных процен­тов, если сила роста равна: а) 5%; б) 25%; в) 50%; г) 100%.

2.3.16. Определите современную ценность 60 тыс. руб., если:

а) эта сумма будет получена через 2 года 6 месяцев; б) эта сумма была получена 4 года 6 месяцев назад; в) эта сумма получена в настоящий момент времени. Учесть возможность помещения денег на депозит под непрерывную процентную ставку 30%.

2.3.17. Банк начисляет непрерывные проценты с силой роста 27%. Определите современную ценность 20 тыс. руб., если: а) эта сумма была помещена на депозит в банке 3 года 4 месяца назад;

б) эта сумма будет помещена на депозит в банке через 2 года 9 месяцев.

2.3.18. Некоторый капитал помещен в банк под непрерыв­ную ставку 30%. Через 2 года и 3 месяца счет был закрыт и по­лучена сумма 189,755 тыс. руб. Определите величину наращен­ной суммы, которая была бы получена через полтора года. 2.3.19. Господин N поместил в банк 10 тыс. руб. на условиях начисления непрерывных процентов с силой роста 28%. Через 15 месяцев господин N снял со счета 4 тыс. руб., еще через 2 года положил на свой счет 3 тыс. руб., а после этого через 2 года 6 ме­сяцев он закрыл счет. Определите сумму, полученную господи­ном N при закрытии счета.

2.3.20. Вкладчик положил в банк 8 тыс. руб. на условиях на­числения непрерывных процентов с силой роста 26%. Через полтора года вкладчик снял со счета 5 тыс. руб., а через 2 года после этого он положил 7 тыс. руб. Еще через 2 года 6 месяцев вкладчик положил такую сумму, что на его счете еще через год оказалось 60 тыс. руб. Определите, какую сумму вкладчик по­ложил последний раз.

2.3.21. Вкладчик открыл счет в банке, положив некоторую сумму денег. Такую же по величине сумму он добавлял на свой счет еще три раза: через 1 год 6 месяцев, 2 года 6 месяцев и 4 года после открытия счета. Через 5 лет на счете вкладчика бы­ло 80 тыс. руб. Какую сумму вносил вкладчик каждый раз, если банк начисляет непрерывные проценты с силой роста 30%?

2.3.22. Предприниматель взял в банке кредит на сумму 150 тыс. руб. на условиях начисления непрерывных процентов с силой роста 30%. Через полтора года он вернул банку 60 тыс. руб., но еще через полгода взял кредит в сумме 50 тыс. руб. Через 2 года после этого предприниматель вернул полностью получен­ные кредиты. Какую сумму предприниматель при этом вьтлатил банку?

2.3.23. Определите, какую сумму необходимо поместить в банк, начисляющий непрерывные проценты с силой роста 24%, чтобы иметь возможность снять через 2 года 15 тыс. руб. и еще 20 тыс. руб. через 3 года после этого, полностью исчерпав счет.

2.3.24. Предприниматель приобрел оборудование стоимо­стью 300 тыс. руб. в кредит под непрерывную ставку 22% годо­вых. Через 2 года он уплатил 180 тыс. руб., а еще через полтора года полностью погасил долг. Определите, какую сумму пред­приниматель при этом выплатил.

2.3.25. За взятые в долг деньги под непрерывную ставку 25% годовых должник обязан уплатить кредитору 40 тыс. руб. 1 июля 1997 г. Какую сумму необходимо уплатить должнику, если он вер­нет долг: а) 1 января 1997 г.; б) 1 января 1998 г.; в) 1 июля 1999 г.?

2.3.26. Предприниматель получил в банке ссуду на 7 лет по непрерывной ставке 28% за год, при этом банком были удержа­ны комиссионные в размере 1,5% от величины ссуды. Опреде­лите доходность такой финансовой операции для банка в виде: а) простой годовой процентной ставки; б) годовой эффективной процентной ставки, если непрерывные проценты начисляются на исходную величину ссуды.

2.3.27. Выдается ссуда по непрерывной ставке 22% годовых, при этом взимаются комиссионные в размере 1% от величины ссуды.”” Непрерывные проценты начисляются на исходную вели­чину ссуды. На какой срок должна быть выдана ссуда, чтобы доходность такой сделки для кредитора в виде годовой эффек­тивной процентной ставки составляла 28%?

2.3.28. При выдаче кредита на 3 года по непрерывной ставке 24% годовых были удержаны комиссионные. Непрерывные про­центы начислялись на исходную величину кредита. Сколько про­центов составили комиссионные от величины кредита, если до­ходность такой финансовой операции для кредитора в виде эф­фективной процентной ставки получилась равной 30% годовых?

2.3.29. На вклад 6 тыс. руб. начисляются непрерывные про­центы. Найдите наращенную сумму за 8 лет, если интенсив­ность наращения изменяется следующим образом: в первые три года она равна 12%, в следующие два года – 14% и в каждый оставшийся год увеличивается на 3%. Какую постоянную силу роста необходимо взять, чтобы за 8 лет получить такую же на­ращенную сумму?

2.3.30. Сумма 25 тыс. руб. помещена в банк под непрерыв­ную ставку с силой роста 20% за год. В конце каждого года 3% от наращенной к этому моменту суммы расходуется. Определи­те величину наращенной суммы в конце десятого года после осуществления всех расходов.

2.3.31. На сумму 10 тыс. руб. в течение 3 лет начисляются не­прерывные проценты с силой роста 34% за год, причем в конце каждого года расходуется часть наращенной к этому моменту суммы: в конце первого года – %, в конце второго года- УА, в конце третьего – /5. Определите величину наращенной суммы в конце третьего года после осуществления всех расходов.

2.3.32. Господин N обменивает 2000 долл. на рубли и полу-^ченную сумму помещает на 15 месяцев на рублевый депозит под.

непрерывную ставку 24%. Определите наращенную сумму в дол­ларах, если курс покупки долларов на начало срока составляет 19 руб. 60 коп., курс продажи в конце срока – 21 руб. 30 коп.

2.3.33. Господин N намеревается обменять имеющиеся у не­го доллары США и поместить полученную сумму на рублевом депозите сроком на 1 год 6 месяцев под ставку 22% годовых с непрерывным начислением процентов, после чего наращенную сумму опять конвертировать в доллары США. При каком ожи­даемом курсе продажи не имеет смысла такая финансовая опе­рация, если курс покупки долларов на начало срока составляет 19 руб. 54 коп. и на валютном депозите денежную сумму можно поместить под процентную ставку 16% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов?

2.3.34. Как лучше поступить с имеющейся в наличии неко­торой суммой немецких марок: поместить на один год на ва­лютный депозит под процентную ставку 18% годовых с еже­квартальным начислением сложных процентов или поместить на рублевый депозит под ставку 20% с непрерывным начисле­нием процентов? Курс покупки немецких марок на начало срока составляет 10 руб. 40 коп., ожидаемый курс продажи через год -11 руб. 20 коп.

2.3.35. Сумма 50 тыс. руб. была помещена в банк на некоторый срок, по истечении которого на сумму были начислены сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 30% исходя из: а) ежегодной схемы начисления; б) ежеквартальной схемы на­числения; в) непрерывной схемы начисления. После уплаты налога на проценты величина наращенной суммы составила 124,88 тыс. руб. Определите срок, за который было осуществлено наращение, если ставка налога на проценты равна 15% и налог на все получен­ные проценты был выплачен один раз в конце срока.

2.3.36. Некоторый капитал был помещен в банк на 3 года 6 ме­сяцев, по истечении которых на этот капитал были начислены не­прерывные проценты с силой роста 24% за год и счет был закрыт. После уплаты налога на проценты наращенный капитал стал равен 129,504 тыс. руб. Определите величину первоначального капитала, если налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока и ставка налога на проценты равна 12%.

2.3.37. Некоторый капитал был помещен в банк на 2 года 6 месяцев на условиях начисления раз в год непрерывных про­центов с силой роста 30% за год, и в конце срока счет был закрыт. После уплаты налога на все начисленные проценты итого­вый наращенный капитал стал равен 76,688 тыс. руб. Определи­те величину первоначального капитала, если налог на проценты уплачивается каждый год путем выделения средств из накапли­ваемой суммы и ставка налога на проценты равна 15%.

2.3.38. На какой срок необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под непрерывную процентную ставку 32% с однократным начислением в конце срока непрерывных процен­тов, чтобы эта сумма увеличилась в 3 раза с учетом уплаты на­лога на проценты, если ставка налога на проценты равна 15% и налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока?

2.3.39. На какой срок необходимо поместить имеющуюся де­нежную сумму на условиях начисления раз в год непрерывных процентов с силой роста 34% за год, чтобы эта сумма увеличилась в 4 раза с учетом уплаты налога на проценты, если налог на про­центы уплачивается каждый год путем выделения средств из нака­пливаемой суммы и ставка налога на проценты равна 12%?

2.4. Эквивалентность ставок

Основные положения

• Один и тот же финансовый результат можно получить раз­личными способами, используя различные ставки, методы на­ращения и дисконтирования.

• Две ставки называются эквивалентными, если при замене одной ставки на другую финансовые отношения сторон не ме­няются. Таким образом, участникам финансового соглашения безразлично, какая ставка будет фигурировать в контракте.

• При выводе равенств, связывающих эквивалентные ставки, используется следующая идея: если из первоначального капита­ла наращением за данное время необходимо получить некото­рую сумму, то будут эквивалентными все ставки, обеспечиваю­щие один и тот же множитель наращения. Поэтому приравнивая друг к другу множители наращения, получим соотношения ме-жду эквивалентными ставками. Точно так же при переходе от будущей стоимости к приведенной стоимости с помощью дис­контирования приравниваются множители дисконтирования.

• Эквивалентные ставки, подобно эффективным ставкам, по­зволяют сравнивать между собой финансовые контракты, усло­вия которых различны.

• Формулы, связывающие эквивалентные простые и сложные ставки, зависят от продолжительности периода начисления. Формулы, связывающие эквивалентные сложные ставки, не за­висят от продолжительности периода начисления.

• Переход от дискретных ставок к соответствующим эквива­лентным непрерывным ставкам позволяет упростить анализ многих сложных финансовых задач. Осуществив необходимые математические выкладки, полученные результаты можно пред­ставить опять в любых удобных эквивалентных дискретных ставках, являющихся более привычными.

• Проблему эквивалентности ставок можно рассматривать и с более общих позиций, например эквивалентность одной став­ки нескольким ставкам или эквивалентность двух наборов ста­вок и т.п.

Вопросы для обсуждения

1. Можно ли с помощью двух различных ставок получить один и тот же финансовый результат? Поясните на примере.

2. Можно ли сказать, что любая ставка характеризует доходность финансовой операции?

3. Какие ставки называют эквивалентными?

4. Почему участникам финансового соглашения безразлично, какая из эквивалентных ставок указывается в контракте?

5. Можно ли рассматривать определение эффективной ставки (процентной или учетной) как определение одной из эквива­лентных ставок?

6. Какая идея используется при выводе равенств, связывающих эквивалентные ставки?

7. В каких случаях эквивалентность процентных ставок не зави­сит от продолжительности периода начисления?

8. В каких случаях эквивалентность процентных ставок зависит от продолжительности периода начисления?

9. Для каких целей переходят от дискретных ставок к соответ­ствующим эквивалентным непрерывным ставкам?

10.Приведите пример ситуации, когда ставка эквивалентна двум ставкам.

§

Пример 2.4.1. Господин N собирается поместить на некото­рый срок свободные денежные средства либо под сложную про­центную ставку 30% годовых с ежеквартальным начислением процентов, либо под простую процентную ставку 48% годовых. Выясните, как выгоднее поступить при сроке: а) 3 года; б) 4 года?

Решение, а) Чтобы сделать правильный выбор, необходимо найти для данной сложной процентной ставки 30% эквивалент­ную простую процентную ставку и сравнить ее с предлагаемой простой процентной ставкой 48%. Используем формулу (81) при

п = 3 , т = 4, r(4) = 03 :

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,4606.

Так как r = 46,06% меньше 48%, то выгоднее на три года по­местить капитал под простую процентную ставку 48%.

Конечно, можно было найти эквивалентную сложную про­центную ставку для простой ставки 48% по формуле (82): r(4) = 4( Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат -1) = 0,3087 и поскольку r (4) > 30%, прихо­дим, естественно, к такому же выводу.

б) Полагая n = 4 , m = 4, r(4) = 0,3, по формуле (81) получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,5452.

Так как r = 54,52% превышает 48%, то выгоднее на 4 года поместить капитал под сложную ставку.

Пример 2.4.2.Долговое обязательство учтено в банке за 9 месяцев до срока погашения по номинальной годовой учетной ставке d Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 32% . По какой простой учетной ставке надо произ­вести учет этого обязательства, чтобы обеспечить банку тот же самый дисконт?

Решение.Полагая в формуле (83) n = 0,75, находим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,2951.

Таким образом, искомое значение простой учетной ставки составляет 29,51% годовых. С целью проверки можно восполь­зоваться формулой (84), где d = 0,2591:

d Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 4(1 – Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ) = 032, или 32%.

Получив номинальную годовую учетную ставку, данную в условии примера, делаем вывод, что простая учетная ставка найдена верно.

Пример 2.4.3.Банком выдан кредит на три месяца под 27% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов. Оп­ределите величину простой учетной ставки, обеспечивающей такую же величину начисленных процентов.

Решение.По формуле (87) при п = 0,25, r(12) =0,27 находим требуемую величину простой учетной ставки:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,2583, или 2533%.

Для проверки результата воспользуемся формулой (88):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

т.е. получили исходную сложную процентную ставку.

Пример 2.4.4.Определите сложную годовую учетную став­ку с дисконтированием 2 раза в год, которая эквивалентна годовой номинальной процентной ставке 24%: а) с ежеквартальным начислением сложных процентов; б) с полугодовым начислени­ем сложных процентов.

Решение. а) Применяем формулу (92) при

т = 2, i= 4, r(4) = 0,24:

d Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Проверим полученный ответ по формуле (91), где уже

m=4,i=2

d Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

б) Из формулы (92) при т = 1 = 2, /2) = 0Д4 получим:

d Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Заметим, что при т = i из формул (91) и (92) получим соот­ветственно равенства:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат и Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

которые по существу являются иной записью равенств (3).

Пример 2.4,5. Определите величину силы роста при начисле­нии непрерывных процентов в течение двух лет, которая эквива­лентна; а) простой процентной ставке 26% годовых; 6) сложной процентной ставке 26% годовых с ежемесячным начислением процентов.

Решение, а) Полагая в формуле (94) п = 2, r = 0,26 , находим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , или 20,94%.Проверку полученного ответа можно осуществить по фор­муле (93):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Из формулы (94) следует, что с ростом срока п величина эк­вивалентной непрерывной ставки будет уменьшаться. Напри­мер, при n = 10 лет сила роста Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 12,81%; при n = 100 лет Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 3,3%.

б) По формуле.(97) при т = 12 , r(12) = 0,26:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,2572 = 25,72%.

Для проверки воспользуемся формулой (98):

r(12)=12(е Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат -1) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,25998 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,26.

Заметим, что в отличие от предыдущего случая величина эк­вивалентной непрерывной ставки не зависит от величины срока, в течение которого происходит наращение.

Как видно из решения случая б), Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат < r (12). Вообще можно показать, что эквивалентные ставки r(m), d Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат и Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат при любых т и i удовлетворяют неравенствам: d Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат < Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат <r(m)

Пример 2.4.6.Банк предоставляет ссуду на 25 месяцев под 30% годовых с ежеквартальным начислением процентов по смешанной схеме. Определите эквивалентную годовую простую процентную ставку, обеспечивающую такой же доход банку от предоставления ссуды.

Решение.Покажем, что для данной ситуации нетрудно по­лучить формулу в общем виде. Пусть в течение времени п ис­пользуется сложная процентная ставка r Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , но при начислении процентов применяется смешанная схема. Тогда по формуле

(59) множитель наращения имеет вид (1 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат (1 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ), где

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = [тп] (напомним, что квадратные скобки означают целую часть числа), Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =тп-[тп], п = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Множитель наращ при использовании простой процентной ставки согласно форму­ле (9) имеет вид 1 пr , Приравнивая эти множители наращения, находим, что эквивалентная простая процентная ставка нахо­дится по формуле:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

В нашем случае n = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат года,m=4,r Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =0,3 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатКак рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ,поэтому:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,4548,

т.е. эквивалентная простая процентная ставка равна 45,48%.

Таким образом, из полученной выше формулы следует, что простая процентная ставка r эквивалентна по существу двум процентным ставкам: сложной ставке r(m), применяемой за время, равное целому числу подпериодов, и простой ставке r(m), применяемой за время, равное дробной части подпериода. При этом если дробная часть подпериода равна нулю

( Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0 ), то

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = [mn]=mn и полученная выше формула совпадает с форму­лой (81), а если целое число подпериодов равно нулю ( Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =0), то

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =n и полученная формула примет вид r = r(m)

Если бы начислялись только сложные проценты, то восполь­зовались бы формулой (81):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,4543.

Пример 2.4.7.Банк принимает вклады до востребования под сложную процентную ставку 20% годовых при временной базе 365 дней. Какую простую годовую учетную ставку должен при­менить банк при учете векселя за 250 дней до срока его погашения, чтобы обеспечить себе такую же доходность, как и по вкла­дам до востребования? При учете используется временная база360 дней.

Решение.Для определения эквивалентной простой годовой учетной ставки нельзя воспользоваться формулой (87), посколь­ку при ее выводе считалось, что временные базы ставок одина­ковы. Однако необходимую для решения данного примера фор­мулу нетрудно получить, приравнивая соответствующие мно­жители наращения. Пусть Td и Т Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , – временные базы соответст­венно учетной и процентной ставок, тогда из

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат получим:

d= Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Таким образом, полагая r(1) = 0,2, Тr = 365 дней, T Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 360 дней, t= 250 дней, получим:

d= Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,1690=16,90%.

Кстати, если бы взяли одинаковую временную базу, то при Tdr =360 дней получили бы d = 17,13%, а при Td = Tr =365 дней- d = 17,14%.

Задачи

2.4.1. Предлагается поместить капитал: а) на 5 лет; б) на 3 года либо под сложную процентную ставку 18% с ежемесяч­ным начислением процентов, либо под простую процентную ставку 24% годовых. Выясните, как выгоднее поступить.

2.4.2. Банком выдан кредит на 9 месяцев под 26% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов. Определите величину простой учетной ставки, обеспечивающей такую же величину начисленных процентов.

2.4.3. Какой годовой процентной ставкой с ежегодным начис­лением сложных процентов можно заменить в контракте простую процентную ставку 34% годовых, чтобы финансовые последствия для сторон не изменились? Срок контракта – 450 дней, финансо­вый год равен 365 дней.

2.4.4. Наращение осуществляется по простой процентной ставке 24% годовых в течение полутора лет. Определите годо­вую номинальную процентную ставку с начислением сложных процентов 4 раза в год, которая обеспечивает такую же величи­ну наращенной суммы.

2.4.5. Вексель учтен в банке за полгода до срока погашения

по номинальной годовой учетной ставке d(2) =27%. По какой простой учетной ставке надо произвести учет этого обязательст­ва, чтобы обеспечить банку тот же самый дисконт?

2.4.6. Банк учитывает вексель за 45 дней до срока его оплаты по простой учетной ставке 18% годовых. Какую слояигую учет­ную ставку должен установить банк, чтобы доход банка не из­менился?

2.4.7. Определите сложную учетную ставку, эквивалентную годовой номинальной процентной ставке 24% с ежемесячным начислением сложных процентов.

2.4Л. Определите номинальную годовую процентную ставку с ежемесячным начислением сложных процентов, которая экви­валентна: а) номинальной годовой процентной ставке 28% с по­лугодовым начислением сложных процентов; б) номинальной годовой учетной ставке 28% с ежеквартальным начислением сложных процентов.

2.4.9. Чему равна номинальная годовая учетная ставка с дис­контированием 4 раза в год, эквивалентная номинальной годо­вой учетной ставке 34% с дисконтированием 12 раз в год?

2.4.10. Банк учитывает вексель по годовой номинальной

процентной ставке r Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 22%. Какой величины должна быть сложная учетная ставка, используемая вместо процентной, что­бы доход банка не изменился?

2.4.11. Определите величину силы роста при начислении не­прерывных процентов в течение года, которая эквивалентна процентной ставке 18% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов..

2.4.12. Банк выдает ссуду под сложную процентную ставку 20% годовых. Какую номинальную годовую процентную ставку должен установить банк, чтобы его доход не изменился, если начисление процентов происходит: а) по полугодиям; б) каждые два месяца; в) ежемесячно; г) непрерывно.

2.4.13. Банк учитывает долговое обязательство по сложной учетной ставке 18% годовых. По какой номинальной годовой учетной ставке d(m) банк должен учитывать долговое обязатель­ство, чтобы доход банка не изменился, если: а) т = 4 ; б) т = 6; в) т = 12 ?

2.4.14. Определите величину силы роста при начислении не­прерывных процентов в течение трех лет, которая эквивалентна: а) простой процентной ставке 24% годовых; б) сложной про­центной ставке 24% годовых с ежеквартальным начислением процентов.

2.4.15. Банк предоставляет ссуду на 39 месяцев под 16% го­довых с полугодовым начислением процентов по смешанной схеме. Определите эквивалентную простую процентную ставку. Как изменится результат в случае начисления только сложных процентов?

2.4.16. Вексель учтен в банке за 26 месяцев по номинальной

учетной ставке d(4) = 28% годовых, причем дисконтирование осуществлялось по смешанной схеме. Определите эквивалент­ную простую учетную ставку.

2.4.17. Банк принимает вклады до востребования под слож­ную процентную ставку 28% годовых при временной базе 365 дней. Какую простую годовую учетную ставку должен при­менить банк при учете векселя за 190 дней до срока его погаше­ния, чтобы обеспечить себе такую же доходность, как и по вкла­дам до востребования? При учете используется временная база 360 дней.

2.4.18. Банк учитывает вексель за 300 дней по сложнщ^чет-ной ставке 24% годовых при временной базе 360 дней. Какая простая годовая процентная ставка должна быть при выдаче кредита, чтобы обеспечить получение банком т; дохода? При выдаче кредита используется временная базе дней.

§

Пример 2,5.1.На вклад начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка, при которой про­исходит реальное наращение капитала, если ежемесячный темп инфляции составляет 3%?

Решение,а) Обозначим через 1 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатр среднемесячный (т.е.за 1/12 года) индекс инфляции, тогда 1 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатр =1,03 и поформуле (42) при к = 12 находим индекс инфляции за год:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =1,0312 =1,4258.

Пусть r – процентная ставка при ежегодном начислении сложных процентов, тогда в соответствии с формулой (104) зна­чение ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, нахо­дится из равенства 1 r = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат (т.е. множитель наращения за год приравнивается к годовому индексу инфляции). Таким образом:

r = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат -1 = 1,4258 -1 = 0,4258 = 42,58%.

Следовательно, реальное наращение капитала будет проис­ходить только при процентной ставке, превышающей 42,58% годовых.

б) При ежеквартальном начислении сложных процентов для определения номинальной ставки, лишь нейтрализующей дейст­вие инфляции, согласно формуле (104) пользуемся равенством

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат откуда:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 4( Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат -1) = 03709 = 37,09%.

Таким образом, положительная процентная ставка при еже­квартальном начислении сложных процентов превышает 37,09% годовых.

в) В случае ежемесячного начисления процентов пользуемся равенством Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

откуда:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 12(1,03-1) = 036 = 36% .

Итак, в данной ситуации реальное наращение капитала про­исходит при номинальной процентной ставке, большей чем 36% годовых. В этом случае ответ можно было дать сразу, поскольку для осуществления реального наращения капитала его относи­тельный рост за месяц должен превышать темп инфляции за это

же время. Следовательно, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,03, поэтому r(12) > 0,36.

Заметим, что величину сложной процентной ставки, лишь ней­трализующей действие инфляции, можно найти из формулы (105), при r(m)=0:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Полагая п = 1, ответы для случаев а), б), в) получим соответ­ственно при т = 1,4, 12.

Пример 2.5.2.Номинальная процентная ставка, лишь ком­пенсирующая при наращении действие инфляции, составляет 52% годовых. Определите полугодовую инфляцию, если начис­ление сложных процентов осуществляется каждый квартал.

Решение.Приравняем годовой индекс инфляции Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат к

множителю наращения за год. Полагая r(4) = 0,52, получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Поэтому индекс инфляции за полгода (0,5 года) составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Следовательно, темп инфляции за полгода в среднем равен 27,69%.

Пример 2.5.3.На некоторую сумму в течение трех лет будут начисляться непрерывные проценты. По прогнозам инфляция в это время за каждый год последовательно составит 15, 20 и 10%. Какова должна быть сила роста за год, чтобы сумма по своей покупательной способности не уменьшилась?

Решение.Поскольку индекс инфляции за первый год равен 1,15, за второй – 1,2 и за третий – 1,1, то индекс инфляции за 3 года составит;

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Пусть Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат – сила роста за год, позволяющая первоначальной сумме только сохранить свою покупательную способность. Приравнивая индекс инфляции за три года к множителю наращения за это же время, получим е Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , отсюда:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Следовательно, сила роста (интенсивность наращения) должна превышать 13,91%загод.

Пример 2.5.4.На вклад в течение 15 месяцев начисляются проценты: а) по схеме сложных процентов; б) по смешанной схеме. Какова должна быть процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если каждый квартал цены увеличиваются на 8%?

Решение,а) Так как темп инфляции за каждый квартал ра­вен 8%, то индекс инфляции за каждый квартал (0,25 года) равен 1,08. Поэтому индекс инфляции за 15 месяцев (1,25 года, или 5 кварталов) Составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =1,085 =1,4693.

Обозначим через r искомую годовую процентную ставку и приравняем этот индекс инфляции к множителю наращения при использовании схемы сложных процентов:

(1 r)1,25 = 1,4693 .

Отсюда:

r = 1,4696 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат -1 = 0,3605.

Таким образом, в этом случае ставка должна превышать 36,05% годовых.

При рассмотрении этого случая можно было рассуждать и таким образом. При инфляции 8% за каждый квартал годовой тёмп инфляции составит 1,084-1 = 03605 =36,05%. Реальное женаращение капитала будет происходить, если годовая процент­ная ставка превышает годовой темп инфляции, т.е. r > 36,05% .

б) Пусть теперь применяется смешанная схема. Приравнивая индекс инфляции за 1,25 года к множителю наращения, получим квадратное уравнение относительно r:

(1 r)(1 0,25r) = 1,4693.

Решая уравнение, определяем корни: Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =-5,3508, r2 =0,3508. Очевидно, что по смыслу первый корень не подходит. Следова­тельно, при использовании смешанной схемы ставка должна превышать 35,08% годовых. “Граничное” значение ставки в этом случае получили почти на 1% меньше, чем в предыдущем, что объясняется большей эффективностью смешанной схемы начисления по сравнению со схемой сложных процентов.

Обратим внимание, что для ответа на вопрос в данном слу­чае необходимо фактически решить неравенство:

(1 r)(1 0,25r)> 1,4693.

Если применяется иного вида смешанная схема наращения, то для определения процентной ставки r получим другое урав­нение. В частности, при использовании схемы сложных процен­тов для двух лет и затем при учете полученной суммы “на 100” за 0,75 года приходим к уравнению:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 1,4693,

преобразуя которое получаем квадратное уравнение с кор­нями Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =-12681, r2 =0,3701. Отбрасывая первый корень, делаем вывод, что при данной схеме начисления процентов ставка должна превышать 37,01% годовых. Такой же результат получим, решая неравенство Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат и отбрасывая в полученном ответе отрицательную область.

Пример 2.5,5. На вклад 28 тыс. руб. ежеквартально начис­ляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 40%. Оцените сумму вклада через 21 месяц с точки зре­ния покупательной способности, если ожидаемый темп инфля-

ции – 2% в месяц. Какова должна быть величина номинальной положительной процентной ставки? Как изменится ситуация, если темп инфляции будет 3,5% в месяц?

Решение.По формуле (58) за п =1,75 года (21 месяц) сумма вклада составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 54,564 тыс. руб.

Индекс инфляции за 1,75 года при темпе инфляции 2% в ме­сяц находим по формуле (42):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Применяя формулу (104), находим величину вклада с точки зрения ее покупательной способности:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб

Вычитая из этой величины первоначальную сумму вклада, найдем реальный доход владельца вклада:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат – Р = 35,999 – 28 = 7,999 тыс. руб.

Положительная процентная ставка r Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат должна удовлетво­рять неравенству:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,2448.

Таким образом, при темпе инфляции 2% в месяц и ежеквар­тальном начислении сложных процентов реальное наращение капитала будет происходить только при процентной ставке, превышающей 24,48%. А поскольку номинальная процентная ставка удовлетворяет этому условию, то владелец вклада, не­смотря на инфляцию, получает реальный доход.

Естественно, к такому же ответу можно было прийти, ис­пользуя условие: относительный рост вклада за квартал должен превышать темп инфляции за это время, т.е. должно выполнять­ся неравенство: Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат > (l 0,02)3-l,.

решая которое находим r Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат > 0,2448 . При темпе инфляции 3,5% в месяц:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =(1 0,035)21 =2,0594, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 26,495 тыс. руб и

реальный доход вкладчика составит 26,495 – 28 = – 1,505 тыс. руб., т.е. в этом случае вкладчик с точки зрения покупательной способности потерпит убытки. В данных условиях для положи­тельной процентной ставки должно выполняться неравенство

r(4) > 4( Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат -1) = 0,4349 , т.е. r(4) > 43,49% . Следовательно, номинальная процентная ставка (40%) меньше положительной процентной ставки.

Пример 2.5.6. Кредит 120 тыс. руб. выдается сроком на 4 года при условии начисления сложных процентов. Какова должна быть процентная ставка по кредиту, чтобы реальная до­ходность кредитной операции составляла 18% годовых по став­ке сложных процентов? Чему будет равна погашаемая сумма? Расчетный индекс цен за срок кредита принимается равным 2,3.

Решение. Полагая в формуле (105) т =1, r(m) =0,18, n = 4, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 2,3, находим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат -1 = 0,4532,

т.е. ставка 45,32% годовых при ежегодном начислении сложных процентов и индексе цен, равном 2,3, обеспечивает реальную доходность в 18% годовых.

Погашаемую сумму находим по формуле (55) при Р = 120 тыс. руб., n = 4 , r = 0,4532:

F4 =120(1 0.4532)4 =535,159 тыс.руб.

Пример 2.5.7. На выданный кредит в 90 тыс. руб. в течение трех лет будут начисляться сложные проценты: а) каждые пол­года; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какую номинальную годовую процентную ставку необходимо установить, чтобы происходило реальное наращение капитала по номинальной

процентной ставке 24% годовых, если ожидается темп инфля­ции 14% в год? Определите наращенную сумму, которую необ­ходимо будет вернуть.

Решение.Во всех случаях при определении величины уста­навливаемой процентной ставки можно воспользоваться форму­лой (105). Однако эта формула в силу соотношения

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =(1 h) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , справедливого для данного примера, приобретает более простой вид:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

а) Полагая m = 2, r(2) =0,24, h = O,14, из последней формулы

получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 2[(1 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат -1] = 0,3917 .

Следовательно, возвращаемая через 3 года сумма составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =263,210 тыс.руб.

б) В этом случае т = 4 , r(4) = 0,24, и поэтому величины ус­танавливаемой номинальной процентной ставки и возвращае­мой суммы равны:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 4[(1 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат -1]=0,3812

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =268312 тыс. руб.

в) Полагая т = 12 , r(12) = 0,24, получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 12[(1 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат -1] = 0,3744,

F3 = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат тыс. руб

Пример 2.5.8. На какой срок при годовом темпе инфляции 20% необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под: а) сложную процентную ставку 36% годовых; б) сложную учет­ную ставку 36% годовых; в) силу роста 36% за год, чтобы она реально (по своей покупательной способности) увеличилась в 1,6 раза?

Решение,а) Обозначим через Р величину денежной суммы, через r – годовую процентную ставку, через h – темп инфля­ции за год и воспользуемся формулой (104), принимающей в этом случае следующий вид:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Полагая r = 0,36, h = 0,2, получим равенство:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

из которого следует уравнение для определения искомого срока:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Логарифмируя это уравнение, получим:

п = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 3,755 года.

б) Для сложной годовой учетной ставки d формула (104) принимает вид:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

При d = 0,36 приходим к уравнению:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

n= Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 1,781 года.

в) Обозначим через Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат силу роста, тогда:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Следовательно, при Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 036 получаем уравнение:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

из которого следует:

n= Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 2,645 года.

При решении этого примера можно было вначале вывести общую формулу для определения срока. Полагая в формуле (110) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =(1 h) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатn =16P и разрешая полученное уравнение относительно п , находим:

п = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Затем вместо а последовательно подставляем 1 r, 1 – d и e Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат .

Пример 2.5.9. Определите реальную силу роста за год в ус­ловиях начисления непрерывных процентов и при годовом тем­пе инфляции 40%, если исходная сила роста составляет 50% за год. Какова должна быть сила роста, чтобы при такой инфляции обеспечить реальную доходность согласно исходной непрерыв­ной ставке 50%?

Решение.Полагая в формуле (110) n = 1, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =1,4 , Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,5 ,

получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

т.е. реальная интенсивность наращения при начислении непре­рывных процентов составляет 16,35% за год. Чтобы иметь доходность согласно силе роста 50% в условиях инфляции, необходимо установить непрерывную ставку боль­шую, чем 50%, Значение такой ставки находим по формуле (109):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,5 in1,4 = 0,8365 = 83,65%.

Заметим, что даже при темпе инфляции 50% сила роста Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатrеа1

будет все еще положительной непрерывной ставкой. Действи­тельно:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат rеаl, =0,5- in1,5 = 0,0945.

Пример 2.5.10.При выдаче кредита на несколько лет на ус­ловиях начисления сложных процентов банк желает обеспечить реальную доходность такой финансовой операции в 16% годо­вых по сложной ставке процентов. Какую процентную ставку по кредиту должен установить банк, если инфляция прогнозирует­ся в среднем 10% в год?

Решение.Для определения искомой процентной ставки вос­пользуемся формулой Фишера (111) при r = 0,16 и h = 0,1:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =0,16 0,1 0,16*0,1 = 0,276 = 27,6%.

При малом темпе инфляции и невысокой процентной ставке применяют и приближенную формулу: Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат r h. В данном слу­чае Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 0,16 0,1=0,26=26% и разница в 1,6% при достаточно больших суммах ощутима. Конечно, для должника желательно использование приближенной формулы, а для банка, предостав­ляющего кредит, выгоднее применять точную формулу (111).

Полезно отметить, что при решении примера можно было воспользоваться формулой (105). Действительно, так как т = 1,

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , то

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

т.е. формула Фишера является частным случаем формулы (105). При п = 1 формула (44) совпадает с формулой Фишера.

Пример 2.5.11.Определите реальную доходность в виде про­центной ставки при помещении денежных средств на год под сложную процентную ставку 45% годовых, если предполагаемый уровень инфляции за год составит: а) 15%; б) 45%; в) 60%.

Решение.Воспользуемся формулой (106), которая в услови­ях примера примет вид (m = 1, п = 1, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 1 h ):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат или Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат Во всех случаях r = 0,45.

а) При инфляции h = 0,15 получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

т.е. реальный доход от финансовой операции составит 26,09% от каждой единицы вложенных средств.

б) При h = 0,45, как и следовало ожидать, rгеаl = 0, т.е. ставка

45% лишь нейтрализует действие инфляции.

в) Полагая h = 0,6, получим:

Таким образом, при инфляции 60% данная финансовая опе­рация будет приносить убыток, т.е. реально по своей покупа­тельной способности помещенные денежные средства умень­шатся на 9,38%.

Обратим внимание, что при решении этого примера можно было воспользоваться и формулой (46). Очевидно, и формула Фишера позволяет ответить на вопросы примера. В частности, подставляя в нее значения процентной ставки и инфляции пер­вого случая (в обозначениях формулы Фишера: Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =0,45, h = 0,15), получим уравнение 0,45 = r 0,15 0,15r, откуда

r = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,2609 = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Пример 2.5.12.Банк предлагает клиентам поместить деньги на депозит на 3 года под процентную ставку 40% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов. Найдите реаль­ную доходность такого предложения в виде годовой эффектив­ной процентной ставки, если предполагаемый индекс цен за3 года составит ,2,1. Чему будет равна реальная доходность при полугодовом начислении сложных процентов?

Читайте также:  Тесты для неквалифицированных инвесторов с ответами

Решение.Полагая n = 3, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =2,1, т = 12, r(12)=0,4, по формуле (106) определяем реальную номинальную процентную ставку:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Поэтому согласно формуле (63) реальная доходность в виде годовой эффективной процентной ставки составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

т.е. 15,74% годовых. Если же инфляцию не учитывать, то

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,4821,

что существенно больше, чем реальная доходность.

Можно было решить пример и несколько иным способом. Вначале, обозначая величину вклада через Р, по формуле (104) при Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат определяем наращенную сумму с точки зре­ния ее покупательной способности:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Затем по формуле (64) находим доходность:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Естественно, получили такой же ответ. Если при втором спосо­бе решения действия провести в общем виде, то полученная фор­мула покажет, что на самом деле можно было сделать меньше вычислений. Действительно, поскольку

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

то Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат и поэтому:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Воспользуемся последней формулой для нахождения реаль­ной доходности предложения банка при полугодовом начисле­нии сложных процентов:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,1245.

Естественно, с уменьшением количества начислений слож­ных процентов уменьшается и доходность.

Пример 2.5.13.Вексель на сумму 45 тыс. руб. был учтен за 3 года до срока погашения, и предъявитель векселя получил 18 тыс. руб. Найдите реальную доходность этой финансовой операции в виде эффективной учетной ставки, если среднегодо­вой темп инфляции ожидается равным 14%.

Решение.Так как индекс цен за 3 года равен Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =(1 0,14)3 =1,4815, то по своей покупательной способности 45тыс. руб. через 3 года составят величину

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 30375 тыс. руб.

Подставляя в формулу (75) n = 3 , Р = 18, F3 = 30,375, находим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =0,1601=16,01%.

Можно было решить этот пример, определяя вначале реаль­ную доходность в виде годовой эффективной процентной ставки:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

А затем по формуле (26) при n = 1, r = ref или по формуле (3) при rt = ref найти эквивалентную ставку def :

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,1601.

Пример 2.5.14.Господин N получил в банке кредит на 4 го­да, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 1,5% от величины кредита. Определите действительную доход­ность для банка такой финансовой операции в виде годовой эф­фективной процентной ставки, если банк начисляет каждые пол­года сложные проценты иа исходную сумму кредита по номи­нальной процентной ставке 42% годовых и прогнозируемый ежегодный темп инфляции составляет 28%.

Решение.Обозначим через Р величину кредита, тогда ве­личина удержанных комиссионных составит 0,015P, и, следова­тельно, господину N будет выдана сумма

P-0,015P = 0,985Р . За 4 года с учетом инфляции величина кредита вместе с начислен­ными процентами составит (формулы (42) и (104)):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 1,7118P.

Теперь доходность финансовой операции в виде эффектив­ной процентной ставки находим по формуле (64):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

В данном случае вычисления можно несколько сократить, если Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат не вычисляя сразу подставить в формулу Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Если инфляции нет, то

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,4696 = 46,96%,

т.е. доходность, конечно, больше, чем при наличии инфляции.

Пример 2.5.15.Под какую годовую номинальную процент­ную ставку на условиях начисления ежемесячно сложных про­центов необходимо поместить денежную сумму, чтобы она ре­ально (по своей покупательной способности) увеличилась за год на 25% с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 12% и ежеквартальный темп инфляции равен 10%? Если наращение осуществляется по годовой номинальной учетной ставке с ежеквартальным начислением сложных про­центов, то какой величины должна быть эта ставка?

Решение.Годовой индекс инфляции определяем по формуле (42):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =(1 0,1)4 =1,4641.

Обозначим через Р величину денежной суммы, через r Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат -искомую процентную ставку. Наращенная сумма без учета ин­фляции в соответствии с формулой (58) составит

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат и, следовательно, начисленные проценты равны:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

С этой величины в счет уплаты налога на проценты пойдетсумма ОД 21, и поэтому после уплаты величина наращенной суммы составит:

P 0,88I=P[1 0,88 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат -0,88]=P[0,12 0,88 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ]

а с учетом инфляции:

P[0,12 0,88 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ] Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Полученная сумма должна быть больше исходной на 25%, т.е. в 1,25 раза. Таким образом:

P[0,12 0,88 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ] Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =1,25P

Сокращаем обе части уравнения на Р и решаем уравнение

относительно r(12)>. После ряда алгебраических преобразований получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

т.е. r(12) =68,31% годовых.

Если наращение осуществляется по учетной ставке d Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , то, используя формулу (77), получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

После уплаты налога величина наращенной суммы составит:

P 0,88I=P[0,12 0,88 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Поскольку полученная сумма по своей покупательной спо­собности должна быть больше исходной в 1,25 раза, то

P[0,12 0,88 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ] Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =1,25P

Сокращая обе части уравнения на Р и решая уравнение от­носительно d Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,6121

Заметим, что такой же результат получим, н определяя по формуле (92) учетную ставку d Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , эквивалентную процентной ставке r(12) =68,31% при m = 4, i = 12:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =4[1- Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат ]=0,6121

Задачи

2.5.1. На вклад начисляются сложные проценты: а) каждые полгода; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка, при которой происхо­дит реальное наращение капитала, если ежеквартальный темп инфляции составляет 15%?

2.5.2. Номинальная процентная ставка, лишь компенсирую­щая при наращении действие инфляции, составляет 48% годо­вых. Определите инфляцию за квартал, если начисление слож­ных процентов осуществляется каждый месяц.

2.5.3. На некоторую сумму в течение четырех лет будут на­числяться непрерывные проценты. По прогнозам инфляция в это время за каждый год последовательно составит 8, 12, 16 и 6%. Какова должна быть сила роста за год, чтобы сумма по сво­ей покупательной способности не уменьшилась?

2.5.4. Сила роста, лишь компенсирующая при непрерывном начислении процентов действие инфляции, составляет 18% за год. Определите инфляцию в среднем за месяц.

2.5.5. На вклад в течение 18 месяцев начисляются проценты: а) по схеме сложных процентов; б) по смешанной схеме. Какова должна быть годовая процентная ставка, при которой происхо­дит реальное наращение капитала, если каждый квартал цены увеличиваются на 12%?

2.5.6. На вклад 80 тыс. руб. каждые полгода начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 34%. Оцените сумму вклада через 2,5 года с точки зрения поку­пательной способности, если ожидаемый темп инфляции – 1,5% в месяц. Какова должна быть величина номинальной положи­тельной процентной ставки? Как изменится ситуация, если темп инфляции будет 3% в месяц?

2.5.7. В финансовом соглашении были предусмотрены сле­дующие номинальные процентные ставки: за первый квартал -30% годовых; за второй квартал – 36% годовых; за третий и чет­вертый кварталы – 39% годовых. Индексы инфляции за кварта­лы оказались равными соответственно 1,15; 1,1; 1,2 и 1,25. Оп­ределите множитель наращения за год с учетом инфляции, если в течение года ежемесячно начислялись сложные проценты.

2.5.8. Кредит в сумме 150 тыс. руб. выдается сроком на 5 лет при условии начисления сложных процентов. Какова должна быть процентная ставка по кредиту, чтобы реальная доходность кредитной операции составляла 20% годовых по ставке слож­ных процентов? Чему будет равна погашаемая сумма? На этот период прогнозируется рост цен в 2,6 раза.

2.5.9. На выданный кредит в размере 100 тыс. руб. в течение 4 лет будут начисляться сложные проценты: а) ежегодно; б) еже­квартально; в) ежемесячно. Какую номинальную годовую про­центную ставку необходимо установить, чтобы происходило ре­альное наращение капитала по номинальной процентной ставке 32% годовых, если ожидаемый темп инфляции – 18% в год? Опре­делите наращенную сумму, которую необходимо будет вернуть.

2.5.10. Кредит в размере 180 тыс. руб. выдается сроком на 3 года при условии начисления непрерывных процентов. Какова должна быть непрерывная ставка по кредиту, чтобы реальная доходность кредитной операции в виде силы роста составляла 24% за год? Чему будет равна погашаемая сумма? Расчетный индекс цен за срок кредита принимается равным 1,9.

2.5.11. Предприниматель получил в банке ссуду на два года. В первый год индекс цен составил 1,4, во второй – 1,1. Во сколько раз реальная сумма долга (по своей покупательной спо­собности) к концу срока будет больше выданной банком суммы, если банк начислял: а) ежемесячно сложные проценты по номи­нальной процентной ставке 40% годовых; б) ежеквартально сложные проценты по номинальной учетной ставке 40% годо­вых; в) непрерывные проценты с силой роста 40% за год?

2.5.12. При выдаче кредита на несколько лет на условиях на­числения сложных процентов банк желает обеспечить реальную доходность такой финансовой операции в 22% годовых по сложной ставке процентов. Какую процентную ставку по креди­ту должен установить банк, если инфляция прогнозируется в среднем 14% в год?

2.5.13. На какой срок при годовом темпе инфляции 15% необ­ходимо поместить имеющуюся денежную сумму под: а) сложную процентную ставку 30% годовых; б) сложную учетную ставку 30% годовых; в) силу роста 30% за год, чтобы она реально (по своей покупательной способности) увеличилась в lf4 раза?

2.5.14. На какой срок при годовом темпе’инфляции 18% не­обходимо поместить имеющуюся денежную сумму под номи­нальную процентную ставку 44% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов, чтобы она реально (по своей покупательной способности) увеличилась в 1,5 раза?

2.5.15. Господин N, имея 50 тыс. руб., хочет получить, по­местив деньги на депозит, через 4 года не менее 80 тыс. руб. с точки зрения их покупательной способности. Имеет ли смысл ему обращаться в банк, использующий номинальную процент­ную ставку 28% годовых на условиях начисления сложных про­центов: а) ежегодно; б) ежемесячно? Прогнозируемый темп ин­фляции составит 15% в год.

2.5.16. Определите реальную доходность в виде процентной ставки при помещении денежных средств на год под сложную процентную ставку 36% годовых, если предполагаемый уровень инфляции за год составит: а) 20%; б) 36%; в) 55%.

2.5.17. Определите реальную номинальную годовую процент­ную ставку при годовом темпе инфляции 25%, если объявленная исходная номинальная процентная ставка составляет 30% годо­вых и сложные проценты начисляются ежемесячно. Какова должна быть поминальная годовая процентная ставка, чтобы при такой инфляции обеспечить реальную доходность согласно ис­ходной номинальной процентной ставке 30% годовых?

2.5.18. Определите реальную номинальную годовую учет­ную ставку при годовом темпе инфляции 20%, если объявленная исходная номинальная учетная ставка составляет 36% годовых и сложные проценты начисляются ежеквартально. Какова должна быть номинальная годовая учетная ставка, чтобы при такой ин­фляции обеспечить реальную доходность согласно исходной номинальной учетной ставке 36% годовых?

2.5.19. Определите реальную силу роста за год в условиях начисления непрерывных процентов и при годовом темпе ин­фляции 30%, если исходная сила роста составляет 40% за год. Какова должна быть сила роста, чтобы при такой инфляции обеспечить реальную доходность согласно исходной непрерыв­ной ставке 40%?

2.5.20. Банк предлагает клиентам поместить деньги на депо­зит на 2 года под процентную ставку 44% годовых с ежеквар­тальным начислением сложных процентов. Найдите реальную доходность такого предложения в виде годовой эффективной процентной ставки, если предполагаемый индекс цен за 2 года составит 1,6. Чему будет равна реальная доходность при ежеме­сячном начислении сложных процентов?

2.5.21. Банк предлагает клиентам поместить деньги на депо­зит на 2,5 года на условиях начисления непрерывных процентов с силой роста 38% за год. Найдите реальную доходность такого предложения в виде годовой эффективной процентной ставки, если предполагаемый индекс цен за 2,5 года составит ] ,8.

2.5.22. Индексы роста вклада за 3 года, следующие друг за другом, составили 1,52; 1,41 и 1,64. Какова реальная доходность такого использования денежных средств в виде годовой эффек­тивной процентной ставки при среднегодовой инфляции 30%?

2.5.23. На сумму 50 тыс. руб. в течение трех лет начислялись ежеквартально сложные проценты по следующим номинальным процентным ставкам: в первом году – 36% годовых, во втором -40% годовых, в третьем – 44% годовых. Темпы инфляции по го­дам соответственно составили 20, 10 и 30%. Определите нара­щенную сумму с учетом инфляции и реальную доходность вла­дельца счета в виде годовой эффективной процентной ставки.

2.5.24. На сумму 20 тыс. руб. в течение четырех кварталов начислялись непрерывные проценты со следующими значения­ми силы роста за год: в первом квартале — 35%, во втором -42%, в третьем – 48% и в четвертом – 55%. Среднемесячные темпы инфляции за кварталы оказались равными соответствен­но 3, I, 1,5 и 2%. Найдите наращенную сумму с учетом инфля­ции и реальную доходность владельца счета в виде годовой процентной ставки.

2.5.25. Вексель на сумму 60 тыс. руб. был учтен за 4 года до срока погашения, и предъявитель векселя получил 25 тыс. руб. Найдите реальную доходность этой финансовой операции в ви­де эффективной учетной ставки, если среднегодовой темп ин­фляции ожидается равным 15%.

2.5.26. Банк начисляет ежеквартально сложные проценты на вклады по номинальной годовой процентной ставке 42%. Опре-

делите в виде простой годовой процентной ставки реальную стоимость привлеченных средств для банка при их размещении на 15 месяцев, если среднемесячный темп инфляции равен 2%.

2.5.27. Предприниматель получил в банке кредит на 2 года, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 2% от величины кредита. Определите действительную доходность для банка такой финансовой операции в виде годовой эффективной процентной ставки, если банк начисляет ежемесячно сложные проценты на исходную сумму кредита по номинальной про­центной ставке 45% годовых и прогнозируемый ежегодный темп инфляции составляет 30%.

2.5.28. Господин N получил в банке кредит на 5 лет, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 1,5% от величины кредита. Какова действительная доходность для банка такой финансовой операции в виде годовой эффективной про­центной ставки, если банк начисляет непрерывные проценты на исходную сумму кредита с силой роста 30% за год и ожидается ежегодный темп инфляции, равный 26%?

§

Пример 2.6.1.Платеж 10 тыс, руб. и со сроком уплаты через 4 года требуется заменить платежом со сроком уплаты через: а) 2 года; б) 9 лет. Определите величину нового платежа, если применяется сложная процентная ставка 30% годовых.

Решение,а) Поскольку применяется сложная процентная став­ка, то в формуле (112) а = 1 r и сама формула принимает вид:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Полагая Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =10 тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =4, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 2,r =03 , получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 5,917 тыс. руб.

б) Так как в этом случае Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 9, то

Ро =10(1 03)9-4 =10(1 0,3)5 =37,129 тыс. руб.

Как и следовало ожидать, с увеличением срока растет и ве­личина нового платежа.

Естественно, решать этот пример можно было, и не исполь­зуя формулу замены платежей. Так, задание первого пункта можно было сформулировать таким образом: определите сумму, которую необходимо поместить в банк под сложную процент­ную ставку 30% годовых, чтобы через 2 года она стала равной 10 тыс. руб., после чего применить формулу (66). Аналогичные соображения можно высказать и по вопросу второго пункта примера.

Пример 2.6.2.Платеж 20 тыс. руб. со сроком уплаты через 8 лет предполагается заменить платежом со сроком уплаты че­рез 5 лет. Определите величину нового платежа, если применя­ется: а) сложная процентная ставка 32% годовых; б) сложная учетная ставка 32% годовых; в) непрерывная ставка 32% за год.

Решение,а) В этом случае, как и в предыдущем примере, пользуемся формулой Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , где Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =20 тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =8, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =5,r=0,32

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 8,696 тыс. руб.

б) Так как применяется сложная учетная ставка, то в форму­ле (112) а = (1 – d)-1 и сама формула принимает вид:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Поскольку d = 0,32, то

Ро = 20 *(1 – 0,32)8-5 = 20 * (1 – 0,32)3 = 6,289 тыс. руб.

в) В случае непрерывных процентов в формуле (112) а=е Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , следовательно,

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Полагая Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 032, получим

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 7,658 тыс.руб. Заметим, что если в пунктах а) и б) увеличивать число на­числений процентов в году, то величина нового платежа в слу­чае а) будет уменьшаться, приближаясь к 7,658 тыс. руб., а в случае б) – увеличиваться, приближаясь также к 7,658 тыс. руб.

Пример 2.6.3.Определите величину нового срока, если пла­теж 15 тыс. руб. через 3 года заменяется платежом: а) 8 тыс. руб.; б) 21 тыс. руб. При расчетах учитывать возможность по­мещения денег под процентную ставку 28% годовых с ежеквар­тальным начислением сложных процентов.

Решение. Так как можно вложить деньги под сложную процентную ставку, то в формуле (113) а= Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат и формула принимает следующий вид:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

а) Поскольку в рассматриваемом случае Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =15 тыс. руб.,

P=S тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =3, m=4, r(m) = r(4) = 0,28, то согласно формуле:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,677 года.

Таким образом, если в году 365 дней, то Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =247 дней. б) Полагая Ро =21 тыс. руб., получим:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 4,243 года.

Таким образом, новый срок составит 4 года 89 дней. Естест­венно, с ростом величины нового платежа растет и его срок.

Заметим, что если в формуле (113) для сложной процентной ставки перенести /^ в левую часть равенства и обозначить P Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =P,P Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =F Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат то получим формулу (60). Подобные суждения можно высказать и о связи формулы (113) (при соот­ветствующих обозначениях) с формулами (71) и (79).

Пример 2.6.4,Согласно контракту господин N обязан уплатить кредитору суммы 20, 30 и 50 тыс. руб. соответственно через 1 год 6 месяцев, 2 и 4 года. Однако он хочет вернуть долг одним платежом через 3 года 6 месяцев. Найдите величину консолидированного платежа, если применяется сложная процентная ставка 36% годо­вых. Через какое время господин N должен выплатить весь долг, если консолидированный платеж будет равен сумме выплат по первоначальному контракту? Как изменятся результаты при еже­квартальном начислении сложных процентов?

Решение.Так как применяется сложная процентная ставка, то формула (114) при а = 1 r принимает вид:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Полагая Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =20 тыс. руб., Р2=30 тыс, руб., Р Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =50 тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 1,5 , Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =2, n3 = 4, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 3,5 , r = 0,36 , находим величину консолидированного платежа:

Ро = 20 (1 – 0,32)3,5-1,5 30 (1 – 0,36)3,5-2 50(1 0,36) Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 127,447 тыс. руб.

Если же господин N решает выплатить весь долг суммой 20 30 50 = 100 тыс. руб., то для определения срока выплаты воспользуемся формулой (115), где a = 1 r и Р=100 тыс. руб.:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Обратим внимание, что срок п Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат можно найти, используя уже известную величину консолидированного платежа, а именно исходя из условия, что платеж в сумме 127,447 тыс. руб. через 3 года б месяцев заменяется платежом в сумме 100 тыс. руб. Тогда можно воспользоваться формулой (113):

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат года

Естественно, получили тот же результат.

Если же в расчетах используется годовая номинальная процентная ставка Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат то a= Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат , и формула (114) принимает вид:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Полагая m=4,r Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =0,36,определяем выплату через 3 года 6 месяцев:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 132,248 тыс. руб.

В случае выплаты всего долга в сумме 100 тыс. руб. для оп­ределения срока выплаты воспользуемся формулой (115), кото­рая в этих условиях принимает вид:

п = Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

и,следовательно, искомый срок будет равен:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 2,689 года.

Конечно, этот же результат можно было получить и по фор­муле (113), полагая Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =100 тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =132,248 тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат года.

Пример 2.6.5. В соответствии с контрактом предпринима­тель обязан выплатить кредитору 12 тыс. руб. через 9 месяцев, после этого через 1 год – 15 тыс. руб. и еще через 1 год 6 меся­цев – 18 тыс. руб. Предприниматель предлагает выплатить 30 тыс. руб. через 2 года и еще 20 тыс. руб. – через 2 года после первой выплаты. Являются ли эти контракты эквивалентными, если есть возможность помещения денег в банк под номиналь­ную процентную ставку 32% годовых с начислением сложных процентов по полугодиям?

Решение. Как известно, два контракта считаются эквива­лентными, если приведенные стоимости потоков платежей по этим контрактам одинаковы. В качестве даты приведения при­мем дату, от которой измеряются все сроки.

Поскольку сроки выплат по первому контракту соответст­венно равны 0,75 года (9 месяцев), 1,75 года (9 месяцев 1 год), 3,25 года (9 месяцев 1 год 1,5 года), то сумма приведенных стоимостей потоков платежей по первому контракту составит:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 25,387 тыс. руб.

Аналогичным образом для второго контракта получим (за­писывая 1 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат )

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 22,669 тыс. руб.

30 20

Следовательно, контракты не эквивалентны: первый кон­тракт для кредитора выгоднее.

Пример 2,6.6. Предприниматель купил у господина N грузо­вой автомобиль, заключив контракт, согласно которому пред­приниматель должен уплатить господину N 22 тыс. руб. через 9 месяцев, 40 тыс. руб. – через 3 года и 28 тыс. руб. – через 4 года 6 месяцев с момента покупки. Господин N хочет сразу же про­дать этот контракт банку. Какую сумму может заплатить банк господину N, если банк за предоставленный кредит начисляет: а) сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 30%; б) непрерывные проценты с силой роста 30%?

Решение. По существу необходимо решить задачу консоли­дации платежей: заменить платежи Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =22 тыс. руб., Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =4О тыс. руб., P3 = 28 тыс. руб. со сроками соответственно Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,75 года, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =3 года, Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 4,5 года одним платежом Ро со сроком Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0 (т.е. сразу осуществить выплату всего долга).

а) В этом случае пользуемся формулой (114) при а = 1 r, где r= 03:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 44,875 тыс. руб.

Таким образом, банк может заплатить за контракт не более

44,875 тыс. руб.

б) Так как здесь используется непрерывная ставка, то фор­мула (114) при а = е Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат принимает вид:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Полагая Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 0,3, определяем искомую сумму:

Ро =22*e Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 40*e Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 28*e Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат =41,089 тыс. руб.

Пример 2.6.7. Согласно финансовому соглашению господин N должен выплатить банку 10 тыс. руб. через 2 года и 30 тыс. руб. – через 5 лет с момента заключения соглашения. Госпо­дин N предлагает заменить это соглашение эквивалентным: осуществить выплаты тремя равными платежами, сделав первый платеж через 1 год, второй – через 3 года 6 месяцев и третий -через 8 лет. Какой величины должен быть каждый из этих пла­тежей, если банк на предоставленный кредит начисляет каждые полгода сложные проценты по номинальной процентной ставке 36% годовых?

Решение.Обозначим через X величину каждого нового пла­тежа. Схематично условие задачи можно изобразить на оси вре­мени (одно деление равно полугодию, т.е. равно периоду начис­ления процентов) следующим образом: над осью помещаются платежи (в тыс. руб.) по первому контракту, а под осью – по но­вому контракту.

10 30

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатi I i i i i i i i i i i i i __i__i__i__ Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 t- полугодий

x х

Приведем все платежи к моменту 0 и приравняем суммы приведенных платежей по первому и по новому контрактам:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Отсюда следует:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат = 12,010 тыс.руб,

Обратим внимание, что такой же результат получим, выбрав в качестве момента приведения любой другой момент времени. Пусть, например, в качестве момента приведения выбрано нача­ло шестого года (т.е. конец пятого года). В этом случае уравне­ние эквивалентности примет вид:

10*1,18 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат 30=x*1,18 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат x*1,18 Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Поделив обе части уравнения на Ц8 , получим такое же уравнение, что и раньше.

Пример 2.6.8.Имеется обязательство выплатить суммы 30 тыс. руб. и 80 тыс. руб. соответственно через 2 года и 6 лет. По обоюд­ному согласию стороны пересматривают порядок выплат: 20 тыс. руб. выплачивается через 1 год, 40 тыс. руб. – через 4 года, остаток долга погашается через 8 лет. Определите величину третьего пла­тежа, если в расчетах используется сложная процентная ставка 28% годовых.

Решение.Обозначим через х величину остатка долга. Изо-бразим^схематично условие задачи на оси времени (одно деле­ние равно одному году): над осью помещаем платежи (в тыс. руб.) по первоначальному обязательству, а под осью – по пере­смотренному обязательству.

30 80

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплатi I I I I I I I I j_____________ Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t лет

20 40 х

Выбирая за дату приведения момент заключения финансово­го соглашения, запишем уравнение эквивалентности:

Как рассчитать проценты по кредиту с помощью формул - примеры переплат

Решая это уравнение относительно х, находим х = 43,049 тыс. руб.

Задачи

2.6.1. Платеж 18 тыс. руб. и со сроком уплаты через 5 лет требуется заменить платежом со сроком уплаты через: а) 3 года; б) 8 лет. Определите величину нового платежа, если применяет­ся сложная процентная ставка 24% годовых с ежеквартальным начислением процентов.

2.6.2. Платеж 30 тыс. руб. со сроком уплаты через 7 лет предполагается заменить платежом со сроком уплаты через 3 года . Определите величину нового платежа, если применяется:

а) сложная процентная ставка 40% годовых; б) сложная учетная ставка 40% годовых; б) непрерывная ставка 40% за год.

2.6.3. Определите величину нового срока, если платеж 12 тыс. руб. через 4 года заменяется платежом: а) 6 тыс. руб.; б) 16 тыс. руб. При расчетах учитывать возможность помещения денег под сложную процентную ставку 32% годовых.

2.6.4. Платеж 24 тыс. руб. со сроком уплаты через 5 лет предполагается заменить платежом 15 тыс. руб. Определите ве­личину нового срока, если применяется: а) процентная ставка 34% годовых с полугодовым начислением сложных процентов;

б) учетная ставка 34% годовых с полугодовым начислением сложных процентов; б) непрерывная ставка 34% за год.

2;6.5. Три платежа 8, 15 и 25 тыс. руб. со сроками выплат со­ответственно через 1 год, 2 года 6 месяцев и 3 года заменяются

одним платежом, выплачиваемым через 2 года, при этом приме­няется сложная процентная ставка 32% годовых. Найдите вели­чину консолидированного платежа. Какой будет срок выплаты, если консолидированный платеж будет равен сумме исходных платежей? Как изменятся результаты при ежемесячном начис­лении сложных процентов?

2.6.6. Платежи 10, 40, 20 и 35 тыс. руб. со сроками выплат соответственно через 1 год 6 месяцев, 3 года 6 месяцев, 4 и 5 лет заменяются одним платежом 70 тыс. руб. Определите срок консо­лидированного платежа, если в расчетах применяется: а) процент­ная ставка 28% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов; б) учетная ставка 28% годовых с ежеквартальным на­числением сложных процентов; в) непрерывная ставка с силой роста 28% за год.

2.6.7. В соответствии с контрактом господин N обязан вы­платить банку 16 тыс. руб. через полгода, после этого через 1 год – 12 тыс. руб. и еще через 2 года – 24 тыс. руб. Господин N предлагает выплатить 35 тыс. руб. через 3 года и еще 60 тыс. руб. – через 2 года после первой выплаты. Являются ли эти кон­тракты эквивалентными, если банк на предоставленный кредит каждый квартал начисляет сложные проценты по годовой номи­нальной процентной ставке 36%? В случае неэквивалентности контрактов укажите, какой из них выгоднее для господина N.

2.6.8. В соответствии с контрактом предприниматель обязан выплатить кредитору 12 тыс. руб. через 9 месяцев, после этого через 1 год – 15 тыс. руб. и еще через 1 год 6 месяцев – 18 тыс. руб. Предприниматель предлагает выплатить долг равными пла­тежами через 2 года и еще через 2 года после первой выплаты. Какой величины должна быть каждая выплата, чтобы эти кон­тракты были эквивалентными, если есть возможность помеще­ния денег в банк под номинальную процентную ставку 32% го­довых с начислением сложных процентов по полугодиям?

2.6.9. Предприниматель купил у поставщика сырье, заклю­чив контракт, согласно которому предприниматель должен уп­латить поставщику 50 тыс. руб. через 3 месяца, 25 тыс. руб. -через 9 месяцев и 35 тыс. руб. – через 1 год 6 месяцев с момента покупки. Поставщику необходимы деньги, поэтому он хочет продать контракт финансовой компании. Компания купит кон­тракт при условии начисления на свои деньги ежемесячносложных процентов по номинальной процентной ставке 30% годовых. Какую сумму получит предприниматель от финансо­вой компании, если он продаст контракт: а) в момент его заклю­чения; б) через 2 месяца после его заключения?

2.6.10. Согласно финансовому соглашению господин N дол­жен выплатить банку 5 тыс. руб. через 1 год, 15 тыс. руб. – через 2 года 6 месяцев и 10 тыс. руб. – через 4 года с момента заключе­ния соглашения. Господин N предлагает заменить это соглашение эквивалентным: осуществить выплаты четырьмя равными плате­жами, сделав первый платеж через полгода, второй – через 1 год б месяцев, третий – через 3 года и четвертый – через 5 лет. Какой величины должен быть каждый из этих платежей, если банк на­числяет на предоставленный кредит по полугодиям сложные проценты по номинальной процентной ставке 28% годовых?

2.6.11. Имеется обязательство выплатить суммы 60 тыс. руб. и 90 тыс. руб. соответственно через 3 года и 5 лет. По обоюдно­му согласию стороны пересматривают порядок выплат: 15 тыс. руб. выплачиваются через 1 год б месяцев, 45 тыс. руб. – через 2 года, 50 тыс. руб. – через 6 лет, остаток долга погашается че­рез 7 лет. Определите величину четвертого платежа, если на деньги начисляются ежеквартально сложные проценты по годо­вой номинальной процентной ставке 32%.

2.6.12. Платеж в 120 тыс. руб. со сроком уплаты через 5 лет заменяется на четыре равных платежа с выплатами соответст­венно через 2, 4, 6 и 9 лет. Какова величина этих платежей, если в расчетах применяется непрерывная ставка с силой роста 26%?

2.6.13. В соответствии с соглашением заемщик обязан вы­плачивать долг кредитору в конце каждого квартала в течение двух лет платежами 8 тыс. руб. Какова должна быть величина платежей при выплате этого долга равными полугодовыми пла­тежами, если в расчетах используется годовая номинальная процентная ставка 32% с ежеквартальным начислением слож­ных процентов?

2.6.14. По условиям контракта предприниматель в течение трех лет в конце каждого квартала должен выплачивать некото­рой фирме по 30 тыс. руб. Через год, сделав четыре платежа, предприниматель предложил через квартал выплатить весь ос­тавшийся долг. Какая сумма должна быть выплачена, если расче­ты осуществляются по годовой номинальной процентной ставке 36% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов?

2.6.15. Господин N продает дом. Первый покупатель предла­гает ему 460 тыс. руб., причем половину суммы обещает запла­тить сразу, а оставшуюся половину – через 4 года. Второй поку­патель предлагает 450 тыс. руб., яричем третью часть суммы обещает заплатить сразу, вторую треть суммы – через 3 года и последнюю треть – через 7 лет. При этом на остающийся долг второй покупатель обязуется начислять сложные проценты по процентной ставке 15% годовых и при выплате каждой суммы выплачивать и начисленные на нее проценты. Какой из покупа­телей предлагает более выгодные условия, если господин N мо­жет поместить деньги в банк под сложную процентную ставку 30% годовых?

Глава 3 АННУИТЕТЫ

Постоянный аннуитет

Основные положения

• Одним из основных элементов финансового анализа явля­ется оценка денежного потока, генерируемого в течение ряда временных интервалов в результате реализации какого-либо проекта или функционирования того или иного вида активов. Обычно считается, что генерируемые в рамках одного времен­ного интервала поступления имеют место либо в его начале, ли­бо в его конце, т.е. они не распределены внутри интервала, а сконцентрированы на одной из его границ. В первом случае по­ток называется потоком пренумерандо или авансовым, во вто­ром – потоком постнумерандо.

• Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач: а) прямой, предполагающей суммарную оценку наращенного денежного потока; б) обратной, предпола­гающей суммарную оценку дисконтированного (приведенного) денежного потока.

• Ключевым моментом при оценке денежного потока являет­ся молчаливая предпосылка о том, что анализ ведется с позиции “разумного инвестора”, т.е. инвестора, не просто накапливаю­щего полученные денежные средства, а немедленно инвести­рующего их с целью получения дополнительного дохода. Имен­но этим объясняется тот факт, что при оценке потоков в обоих случаях (и при наращении, и при дисконтировании) предполага­ется капитализация обычно по схеме сложных процентов.

• Аннуитет (финансовая рента) представляет собой частный случай денежного потока, а именно это однонаправленный де­нежный поток с равными временными интервалами. Любой элемент такого денежного потока называется членом аннуитета

(членом ренты), а величина постоянного временного интервала между двумя его последовательными элементами называется периодом аннуитета (периодом ренты).

• Если число равных временных интервалов ограниченно, аннуитет называется срочным. Если в течение каждого базового периода начисления процентов денежные поступления происхо­дят р раз, то аннуитет часто называют р -срочным. Часто в ка­честве такого базового периода выступает календарный год.

• Аннуитет называется постоянным, если все денежные по­ступления равны между собой. В этом случае формулы для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета сущест­венно упрощаются. Значения коэффициента наращения аннуи­тета, входящего в формулу определения будущей стоимости, табулированы для ра