Основы процентных финансовых вычислений
Накладные расходы (НР) включают в себя затраты на оплату труда административно-управленческого персонала, командировочные расходы и т.д.
НР, руб, составляют 50-100 % от общего фонда заработной платы, нашем случае НР составляет 50 % и рассчитывается по формуле:
НР = ФЗПобщ ∙ 0,5 (4.16)
НР= 137058,93∙0,5 = 68529,46 р.
Результаты расчета затрат на проведение исследований сведены в таблицу 4.5.
Таблица 4.7 – Сметная стоимость проведения исследований
| Статьи затрат | Сумма, руб. |
| Оплата труда исполнителей (ФЗПобщ) | 137058,93 |
| Отчисления на социальные нужды | 41391,79 |
| Затраты на материалы | |
| Амортизация оборудования, относящегося к основным фондам | 570,24 |
| Расходы на обслуживание и ремонт оборудования | |
| Затраты на энергоресурсы | 308,85 |
| Затраты на использование помещения | |
| Накладные расходы | 68529,46 |
| Итого | 278785,27 |
Договорная цена на проведение исследований Циссл, р., определяется по формуле:
, (4.17)
где Сиссл – сметная стоимость исследований, р.;
Нр=30% – нормативная рентабельность;
К=1,5 – коэффициент, учитывающий зарплату обслуживающих и управляющих подразделений.
р.
Наиболее важные технико-экономические показатели и их числовые значения сведены в итоговую таблицу 4.6
Таблица 4.8 – Технико-экономические показатели проведения исследований
| Наименование показателей | Значение |
| Трудоемкость исследования, чел./дн. | 46,8 |
| Продолжительность, дн. | |
| Численность рабочих, чел. | |
| Площадь помещения, м2. | 32,25 |
| Сметная стоимость, р. | 278785,27 |
| Договорная цена, р. | 340461,78 |
Вывод: расчеты показывают, что затраты направленные на разработку стандарта организации «Управление нормативно-техническими документами внешнего происхождения (НТД)» для ОАО «Завод «Инвертор» будут составлять 340 тысяч 461 рубль78 копеек[36].
ОСНОВЫ ПРОЦЕНТНЫХ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Сущность и виды процентных ставок
Под процентной ставкой понимают относительную величину, выступающую измерителем финансовой операции.
Процентные ставки классифицируются:
1. В зависимости от базы начисления:
а) простые, по которым начисление процентов производится исключительно на постоянную сумму финансовой операции (например, на первоначальную сумму вклада);
б) сложные, по которым в качестве базы начисления используется изменяющаяся база (например, первоначальная сумма с учетом капитализации процентов, т.е. увеличенная на сумму процентов, образовавшихся в предыдущие периоды).
2. В зависимости от принципа расчета:
а) ставки наращения — декурсивные — от настоящего к будущему;
б) ставки дисконирования — учетные — антисипативные — от будущего к настоящему.
3. По методу исчисления:
а) проценты «со 100».
Содержание данного метода демонстрирует следующий условный пример. Так, если полная себестоимость продукции промышленного предприятия составила 200 млн р., а рентабельность затрат сложилась на уровне 20%, то сумма прибыли будет определена:
;
б) проценты «на 100».
Применительно к данному методу постановка задачи будет следующая. При уровне рентабельности затрат в 20% и выручке от реализации продукции в сумме составляющей 240 млн р., полученная прибыль будет определена:
;
в) проценты «во 100».
В случае, если организация оказывает услуги по цене ниже себестоимости (например, городской пассажирский транспорт) определяется уровень убыточности услуг, который, к примеру, равен 20%. Выручка от реализации услуг составляет 160 млн р. Исходя из этого величина убытков определится:
4. По степени стабильности:
а) фиксированные (четко определены в договоре и не могут быть изменены без согласования сторон);
б) плавающие, при которых указывается не сама ставка, а меняющаяся во времени база и размер надбавки к ней (маржи). В качестве базы может выступать ставка рефинансирования Национального банка Республики Беларусь (т. е. ставка, по которой коммерческие банки берут кредиты у центрального банка), либо лондонская межбанковская ставка ЛИБОР (LIBOR: London interbank offered rate).
Наращение и дисконтирование по простым процентным ставкам
Финансовые расчеты с использованием простых процентов используются в практике, как правило, при определении эффективности краткосрочных финансовых операций (заключенных на срок не более 1 года), либо в случаях, когда проценты не присоединяются к первоначальной сумме, а периодически используются выгодаприобретателями.
Расчет наращенной суммы зависит от вида применяемой процентной ставки и условий наращения. Для годовой ставки простых процентов (i) наращенная сумма S за n лет определяется по формуле 1:
,
где Р первоначальная величина — стоимость финансовых ресурсов изначально задействованных в конкретной финансовой операции.
Из формулы следует, что процентный доход, полученный за n лет будет в n раз больше, чем за год.
Если срок финансового соглашения измеряется не в годах в днях, что характерно для краткосрочных сделок, то в качестве n следует взять 
, где К — временная база, т.е. число дней в году. Если временная база К=360 дней (12 месяцев по 30 дней), то утверждают, что в сделке используются коммерческие (либо обыкновенные) проценты, а при использовании действительного количества дней в году, получаются точные проценты.
Подсчет числа дней t финансовой сделки может быть также двояким. При точном вычислении берут фактическое число дней сделки, при этом день получения и погашения денежных средств считают за один день. При приближенном подсчете принимают количество дней в месяце за 30, в квартале за 90, а полугодии за 180. Таким образом, на практике применяют три варианта простых процентов:
1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (банковский метод). Применяется центральными банками многих стран и крупными коммерческими банками (например, США, Великобритания). В коммерческих документах обозначается как 365/365 или АСТ/АСТ.
2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Распространен в межстрановых ссудных операциях коммерческих банков, а также в экономике Франции, Швейцарии, Бельгии (обозначается как 365/360 или АСТ/360).
3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Принят в практике коммерческих банков Германии, Швеции, Дании (360/360).
Применение в сделках плавающих ставок требует корректировки расчета наращенной суммы финансовой операции следующим образом:
,
В финансовой практике возможны варианты погашения краткосрочных обязательств частями. При этом база начисления процентов определяется по одному из двух возможных методов:
1. Актуарный метод применяется в операциях со сроком более одного года и предполагает последовательное начисление процентов на непогашенный остаток основной задолженности (т.е. без учета задолженности по начисленным процентам). Однако следует иметь в виду, что промежуточные платежи засчитываются в счет погашения основной долга лишь при их превышении над текущей задолженностью по процентам. Если частичный платеж меньше начисленных процентов, то зачет к сумме долга не предусмотрен.
Окончательный погасительный платеж определяется по формуле наращения по простым процентам, с учетом того, что совокупная задолженность на конец срока должна быть полностью погашена.
Для улучшения восприятия сути данного метода приведен следующий условный пример.
Организация взяла в банке кредит на 180 дней на сумму 300 млн р. под 20% годовых. По истечении 30 дней в счет погашения долга произведен платеж в размере 11 млн р., а через 90 дней — на сумму 7 млн р. Необходимо определить величину окончательного платежа, если временная база по договору определена как 360 дней.
При такой постановке задачи, сумма начисленных процентов на дату внесения первого платежа составит:
Поскольку первый промежуточный платеж (10 млн р.) больше суммы начисленных процентов, то в счет погашения основного долга будет зачислено 6 млн р. (11-5), и остаток задолженности для последующих начислений составит 294 млн р. (300-6).
В свою очередь проценты, начисленные на дату внесения второго погасительного платежа, будут определены следующим образом:
Срок в 60 дней определен как разница между датой внесения первого и второго погасительного промежуточного платежа. В связи с тем, что размера промежуточного платежа (7 млн р.) оказался меньше суммы начисленных процентов (9,8 млн р.), то он не может быть засчитан в счет погашения основного долга. Поэтому за период, начиная с даты первого промежуточного платежа до конца срока финансового соглашения, определяют наращенную сумму, которую затем корректируют на величину второго промежуточного платежа. То есть, наращенная сумма на дату возврата кредита составит:
Учитывая, что за рассматриваемый период был проведен промежуточный платеж, то остаток задолженности, т.е. окончательный погасительный платеж, составит:
318,5-7=311,5 млн р.
2. Правило торговца применяется в операциях со сроком менее одного года и предполагает накопление частичных платежей у кредитора (лица дающего в долг) без уменьшения базы начисления процентов. При этом на величину накопленной суммы кредитор производит начисление процентов, как по депозиту. Взаимозачет производится в конце срока сделки.
Для демонстрации методики вычисления взят тот же цифровой пример, что и при актуарном методе.
Поскольку кредит взят на 180 дней, то наращенная сумма по завершении сделки должна составить:
Поскольку при данном методе промежуточные погасительные платежи рассматриваются как отдельные депозитные операции, то необходимо определить срок их хранения на сберегательных счетах. Так как первый платеж внесен через 30 дней после даты выдачи кредита, то он будет храниться у кредитора 150 дней (180-30). В свою очередь второй платеж — 90 дней (180-90). Исходя из этого, наращенная сумма двух депозитов составит:
Сравнение наращенной суммы по кредиту с наращенными величинами депозитов позволит определить размер окончательного платежа:
Окончательный платеж выступает балансировочным показателем между кредитной и депозитной сделками, реализуемыми в рамках одной финансовой операции.
Дисконтирование — это процесс приведения будущей стоимости финансовых ресурсов к современному (предшествующему, начальному) моменту времени. Процесс дисконтирования является обратным процессу наращения и в большей мере позволяет учесть временной фактор в вычисления. При этом, следует иметь в виду, что величина Р, найденная посредствам дисконтирования, называется современной (текущей, капитализируемой) стоимостью, а исчисленные и удержанные проценты — дисконтом (скидкой).
В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования:
1. Математическое, при котором применяется ставка наращения, а современная величина рассчитывается по формуле:
,
2. Банковский (коммерческий) учет с соответствующей учетной ставкой. Суть банковского дисконтирования заключается в приобретении банком либо небанковской финансово-кредитной организацией платежного обязательства с определенным дисконтом до наступления срока платежа по нему (т.е. учета долгового обязательства). При этом размер компенсации по такой сделке определяется по формуле:
,
где v — срок от даты учета до даты погашения долгового обязательства;
d — годовая учетная ставка.
Размер дисконта с конечной суммы по соглашению сторон может устанавливаться и в твердой сумме, но при этом эффективность сделки оценивается в относительной величине.
Наращение и дисконтирование по сложным процентным ставкам
Сделка считается сделанными на условиях сложных процентных ставок, если доход за последующий временной период исчисляется не с первоначальной величины инвестированного капитала (Р), а с наращенной суммы предшествующих периодов. В этом случае происходит капитализация процентов, т.е. присоединение начисленных процентов к их базе, что постоянно увеличивает саму базу для последующих периодов начисления. Сложные проценты применяются, как правило, в средне- и долгосрочных финансовых операциях.
Приращенная сумма финансовой сделки определяется:
Формула представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем 1 i, а ее применение не ограничивается годовым интервалом начисления. Так, к примеру, при ежемесячном начислении процентов в качестве i применяется процентная ставка за один месяц, а в качестве n — срок финансовой операции, выраженный в месяцах. В отличие от формулы наращения по простым процентным ставкам в данном случае приращение капитала I не пропорционально ни сроку финансовой операции, ни ставке процента (за исключением n=1).
При применении в финансовых сделках плавающих ставок наращенная сумма определяется: 
В финансовых контрактах временной срок зачастую определяется не целым числом (например, 3 года и 1 месяц). В этом случае в правилах ряда коммерческих банков определено правило, по которому начисление процентов производится исключительно на целую часть без учета дробной.
Однако, учесть полный срок позволяет одна из двух схем:
1. Общая схема сложных процентов:
где n — целая часть периода начисления
f — дробная часть периода начисления.
2. Смешанная схема, при которой схема сложных процентов применяется для целой части периода начисления, а схема простых процентов для дробной:
Сравнение множителей наращения по схеме простых и сложных процентов приводит к выводу, что для кредитора предпочтительнее применение схемы сложных процентов в сделках со сроком реализации более 1 года, а простых — до одного года, что демонстрирует система неравенств:
Кроме этого, наращенная сумма при использовании смешанной схемы будет больше чем при применении общей схемы сложных процентов.
Базовой формулой для математического дисконтирования является:
.
Эта формула означает, что для инвестора современная величина (Р) и доход (S) планируемый к получению через n лет в будущем равнозначны с позиции своей покупательной способности. Множитель 
называют дисконтным (учетным) множителем, который показывает «сегодняшнюю» цену одной денежной единицы будущих периодов при заданной процентной ставке. Его значение уменьшается при росте сроков реализации финансовой операции и процентной ставки по ней.
При кратном начислении процентов m раз в году формула для нахождения современной величины приобретает следующий вид:
.
В практике учетная ставка применяется, как правило, в случаях, когда продается долговое обязательство ранее установленного срока погашения с дисконтом. Однако дисконтирование по учетным ставкам происходит с замедлением, т. к. каждый раз учетная ставка применяется не к первоначальной сумме (как при простой ставке), а к сумме, дисконтированной на предыдущем шаге времени. Таким образом, дисконтирование по сложной учетной ставке производится по формуле:
,
где d — сложная годовая учетная ставка.
С позиции лиц осуществляющих дисконтирование наиболее предпочтительным является применение:
а) сложной учетной ставки, если срок учета менее одного года;
б) простой учетной ставки, если срок учета более одного года.
Эквивалентность процентных ставок и конверсия платежей
Как процентные, так и учетные ставки предназначены для решения аналогичной задачи: определения степени доходности финансовой операции. В связи с этим возможно варьирование ставками без изменения конечного финансового результата.
Две ставки называются эквивалентными, если при замене одной из них на другую финансовые отношения контрагентов не меняются. При этом равноценность финансовых последствий обеспечивается в том случае, если наблюдается равенство множителей наращения и дисконтирования. Так, например, в выражениях
и
при равенстве суммы первоначального вклада и наращенной суммы в конце сделки, множители наращения должны быть также равны друг другу, т.е.
, откуда эквивалентность ставок может быть выражена следующим образом:
,
Такой принцип используется при расчете всех эквивалентных ставок.
Вместе с тем при выводе искомых соотношений эквивалентности следует учитывать и временную базу (коммерческие либо точные проценты). Так, например, при равенстве временных баз простых процентной и учетной ставок, уравнение эквивалентности может иметь следующий вид:
,
.
Если же начисление процентов по ставке наращения производится при временной базе равной 365 дней, а по учетной ставке — при временной базе равной 360 дней, то уравнение эквивалентности выглядит следующим образом:
,
.
Если в финансовой операции размер процентной ставки изменяется во времени, то все значения можно обобщить с помощью средней величины. При этом замена фактических ставок на усредненное значение производится на условиях эквивалентности.
Усреднение процентной ставки для простых процентов производится по формуле средневзвешенной, где весами могут выступать либо временные периоды, либо количественный показатель финансовой сделки. Так, например, при усреднении ставки по отношению к разным периодам времени, средняя ставка наращения определяется по формуле:
, (3.7)
При осуществлении в рамках одной финансовой операции нескольких платежей на различные суммы под разный процент, средняя процентная ставка определяется по средней арифметической, где весами выступают не только количество сроков наращения, но и размеры платежей:
.
Определение величины простой учетной ставки производится аналогично ставки наращения. В свою очередь средняя ставка сложных процентов определяется как:
.
Изменение экономических условий функционирования нередко побуждает одну из сторон финансовой сделки обратиться к другой стороне с предложением пересмотра условий ранее заключенных договоров. Операция по замене ключевых позиций, базирующаяся на принципе эквивалентности, называется конверсией.
Наиболее распространенными примерами такой операции является отнесение сроков исполнения долгового обязательства на более поздние периоды, объединение нескольких платежей в один (консолидация платежа) с установлением единого срока погашения.
При консолидации платежей в один платеж на условиях отнесения срока исполнения долгового обязательства уравнение эквивалентности имеет следующий вид:
,
где 
— платежи, подлежащие консолидации со сроками уплаты 
не превышающими сроки уплаты консолидированного платежа;
— временные интервалы между сроком консолидированного платежа и конкретными сроками до консолидации.
Объединение платежей может производиться на условиях, предусматривающих различные сроки выплаты консолидированного платежа. Данный платеж может быть определен по формуле:
,
где 
— платежи, подлежащие консолидации со сроками уплаты 
превышающими сроки уплаты консолидированного платежа;
— временные интервалы между сроком консолидированного платежа и конкретными сроками до консолидации.
При консолидации платежей, по отношению к которым применяется учетная ставка, наращенная сумма может быть определена:
.
Оценка эквивалентности финансовой сделки при применении сложной процентной ставки возможна по формуле:
.
При консолидации платежей возможны ситуации, при которых контрагенты заранее определяют сумму объединенного платежа, что требует расчета сроков его осуществления. Так при применении ставки наращения срок уплаты консолидированного платежа определяется:
,
где 
— сумма консолидированного платежа;
— современная величина консолидированного платежа.
А при применении учетной ставки:
.
Процент с продаж: формулы расчета, схемы, достоинства и недостатки
Соглашение о конфиденциальности
и обработке персональных данных
1.Общие положения
1.1.Настоящее соглашение о конфиденциальности и обработке персональных данных (далее – Соглашение) принято свободно и своей волей, действует в отношении всей информации, которую ООО «Инсейлс Рус» и/или его аффилированные лица, включая все лица, входящие в одну группу с ООО «Инсейлс Рус» (в том числе ООО «ЕКАМ сервис»), могут получить о Пользователе во время использования им любого из сайтов, сервисов, служб, программ для ЭВМ, продуктов или услуг ООО «Инсейлс Рус» (далее – Сервисы) и в ходе исполнения ООО «Инсейлс Рус» любых соглашений и договоров с Пользователем. Согласие Пользователя с Соглашением, выраженное им в рамках отношений с одним из перечисленных лиц, распространяется на все остальные перечисленные лица.
1.2.Использование Сервисов означает согласие Пользователя с настоящим Соглашением и указанными в нем условиями; в случае несогласия с этими условиями Пользователь должен воздержаться от использования Сервисов.
1.3.Сторонами (далее – «Стороны) настоящего Соглашения являются:
«Инсейлс» – Общество с ограниченной ответственностью «Инсейлс Рус», ОГРН 1117746506514, ИНН 7714843760, КПП 771401001, зарегистрированное по адресу: 125319, г.Москва, ул.Академика Ильюшина, д.4, корп.1, офис 11 (далее – «Инсейлс»), с одной стороны, и
«Пользователь» –
либо физическое лицо, обладающее дееспособностью и признаваемое участником гражданских правоотношений в соответствии с законодательством Российской Федерации;
либо юридическое лицо, зарегистрированное в соответствии с законодательством государства, резидентом которого является такое лицо;
либо индивидуальный предприниматель, зарегистрированный в соответствии с законодательством государства, резидентом которого является такое лицо;
которое приняло условия настоящего Соглашения.
1.4.Для целей настоящего Соглашения Стороны определили, что конфиденциальная информация – это сведения любого характера (производственные, технические, экономические, организационные и другие), в том числе о результатах интеллектуальной деятельности, а также сведения о способах осуществления профессиональной деятельности (включая, но не ограничиваясь: информацию о продукции, работах и услугах; сведения о технологиях и научно-исследовательских работах; данные о технических системах и оборудовании, включая элементы программного обеспечения; деловые прогнозы и сведения о предполагаемых покупках; требования и спецификации конкретных партнеров и потенциальных партнеров; информацию, относящуюся к интеллектуальной собственности, а также планы и технологии, относящиеся ко всему перечисленному выше), сообщаемые одной стороной другой стороне в письменной и/или электронной форме, явно обозначенные Стороной как ее конфиденциальная информация.
1.5.Целью настоящего Соглашения является защита конфиденциальной информации, которой Стороны будут обмениваться в ходе переговоров, заключения договоров и исполнения обязательств, а равно любого иного взаимодействия (включая, но не ограничиваясь, консультирование, запрос и предоставление информации, и выполнение иных поручений).
2.Обязанности Сторон
2.1.Стороны соглашаются сохранять в тайне всю конфиденциальную информацию, полученную одной Стороной от другой Стороны при взаимодействии Сторон, не раскрывать, не разглашать, не обнародовать или иным способом не предоставлять такую информацию какой-либо третьей стороне без предварительного письменного разрешения другой Стороны, за исключением случаев, указанных в действующем законодательстве, когда предоставление такой информации является обязанностью Сторон.
2.2.Каждая из Сторон предпримет все необходимые меры для защиты конфиденциальной информации как минимум с применением тех же мер, которые Сторона применяет для защиты собственной конфиденциальной информации. Доступ к конфиденциальной информации предоставляется только тем сотрудникам каждой из Сторон, которым он обоснованно необходим для выполнения служебных обязанностей по исполнению настоящего Соглашения.
2.3.Обязательство по сохранению в тайне конфиденциальной информации действительно в пределах срока действия настоящего Соглашения, лицензионного договора на программы для ЭВМ от 01.12.2022г., договора присоединения к лицензионному договору на программы для ЭВМ, агентских и иных договоров и в течение пяти лет после прекращения их действия, если Сторонами отдельно не будет оговорено иное.
2.4.Не будут считаться нарушением настоящего Соглашения следующие случаи:
(а)если предоставленная информация стала общедоступной без нарушения обязательств одной из Сторон;
(б)если предоставленная информация стала известна Стороне в результате ее собственных исследований, систематических наблюдений или иной деятельности, осуществленной без использования конфиденциальной информации, полученной от другой Стороны;
(в)если предоставленная информация правомерно получена от третьей стороны без обязательства о сохранении ее в тайне до ее предоставления одной из Сторон;
(г)если информация предоставлена по письменному запросу органа государственной власти, иного государственного органа, или органа местного самоуправления в целях выполнения их функций и ее раскрытие этим органам обязательно для Стороны. При этом Сторона должна незамедлительно известить другую Сторону о поступившем запросе;
(д)если информация предоставлена третьему лицу с согласия той Стороны, информация о которой передается.
2.5.Инсейлс не проверяет достоверность информации, предоставляемой Пользователем, и не имеет возможности оценивать его дееспособность.
2.6.Информация, которую Пользователь предоставляет Инсейлс при регистрации в Сервисах, не является персональными данными, как они определены в Федеральном законе РФ №152-ФЗ от 27.07.2006г. «О персональных данных».
2.7.Инсейлс имеет право вносить изменения в настоящее Соглашение. При внесении изменений в актуальной редакции указывается дата последнего обновления. Новая редакция Соглашения вступает в силу с момента ее размещения, если иное не предусмотрено новой редакцией Соглашения.
2.8.Принимая данное Соглашение Пользователь осознает и соглашается с тем, что Инсейлс может отправлять Пользователю персонализированные сообщения и информацию (включая, но не ограничиваясь) для повышения качества Сервисов, для разработки новых продуктов, для создания и отправки Пользователю персональных предложений, для информирования Пользователя об изменениях в Тарифных планах и обновлениях, для направления Пользователю маркетинговых материалов по тематике Сервисов, для защиты Сервисов и Пользователей и в других целях.
Пользователь имеет право отказаться от получения вышеуказанной информации, сообщив об этом письменно на адрес электронной почты Инсейлс – contact@procenty-po-vkladam.ru.
2.9.Принимая данное Соглашение, Пользователь осознает и соглашается с тем, что Сервисами Инсейлс для обеспечения работоспособности Сервисов в целом или их отдельных функций в частности могут использоваться файлы cookie, счетчики, иные технологии и Пользователь не имеет претензий к Инсейлс в связи с этим.
2.10.Пользователь осознает, что оборудование и программное обеспечение, используемые им для посещения сайтов в сети интернет могут обладать функцией запрещения операций с файлами cookie (для любых сайтов или для определенных сайтов), а также удаления ранее полученных файлов cookie.
Инсейлс вправе установить, что предоставление определенного Сервиса возможно лишь при условии, что прием и получение файлов cookie разрешены Пользователем.
2.11.Пользователь самостоятельно несет ответственность за безопасность выбранных им средств для доступа к учетной записи, а также самостоятельно обеспечивает их конфиденциальность. Пользователь самостоятельно несет ответственность за все действия (а также их последствия) в рамках или с использованием Сервисов под учетной записью Пользователя, включая случаи добровольной передачи Пользователем данных для доступа к учетной записи Пользователя третьим лицам на любых условиях (в том числе по договорам или соглашениям). При этом все действия в рамках или с использованием Сервисов под учетной записью Пользователя считаются произведенными самим Пользователем, за исключением случаев, когда Пользователь уведомил Инсейлс о несанкционированном доступе к Сервисам с использованием учетной записи Пользователя и/или о любом нарушении (подозрениях о нарушении) конфиденциальности своих средств доступа к учетной записи.
2.12.Пользователь обязан немедленно уведомить Инсейлс о любом случае несанкционированного (не разрешенного Пользователем) доступа к Сервисам с использованием учетной записи Пользователя и/или о любом нарушении (подозрениях о нарушении) конфиденциальности своих средств доступа к учетной записи. В целях безопасности, Пользователь обязан самостоятельно осуществлять безопасное завершение работы под своей учетной записью по окончании каждой сессии работы с Сервисами. Инсейлс не отвечает за возможную потерю или порчу данных, а также другие последствия любого характера, которые могут произойти из-за нарушения Пользователем положений этой части Соглашения.
3.Ответственность Сторон
3.1.Сторона, нарушившая предусмотренные Соглашением обязательства в отношении охраны конфиденциальной информации, переданной по Соглашению, обязана возместить по требованию пострадавшей Стороны реальный ущерб, причиненный таким нарушением условий Соглашения в соответствии с действующим законодательством Российской Федерации.
3.2.Возмещение ущерба не прекращают обязанности нарушившей Стороны по надлежащему исполнению обязательств по Соглашению.
4.Иные положения
4.1.Все уведомления, запросы, требования и иная корреспонденция в рамках настоящего Соглашения, в том числе включающие конфиденциальную информацию, должны оформляться в письменной форме и вручаться лично или через курьера, или направляться по электронной почте адресам, указанным в лицензионном договоре на программы для ЭВМ от 01.12.2022г., договоре присоединения к лицензионному договору на программы для ЭВМ и в настоящем Соглашении или другим адресам, которые могут быть в дальнейшем письменно указаны Стороной.
4.2.Если одно или несколько положений (условий) настоящего Соглашения являются либо становятся недействительными, то это не может служить причиной для прекращения действия других положений (условий).
4.3.К настоящему Соглашению и отношениям между Пользователем и Инсейлс, возникающим в связи с применением Соглашения, подлежит применению право Российской Федерации.
4.3.Все предложения или вопросы по поводу настоящего Соглашения Пользователь вправе направлять в Службу поддержки пользователей Инсейлс www.procenty-po-vkladam.ru либо по почтовому адресу: 107078, г. Москва, ул. Новорязанская, 18, стр.11-12 БЦ «Stendhal» ООО «Инсейлс Рус».
Дата публикации: 01.12.2022г.
Полное наименование на русском языке:
Общество с ограниченной ответственностью «Инсейлс Рус»
Сокращенное наименование на русском языке:
ООО «Инсейлс Рус»
Наименование на английском языке:
InSales Rus Limited Liability Company (InSales Rus LLC)
Юридический адрес:
125319, г. Москва, ул. Академика Ильюшина, д. 4, корп.1, офис 11
Почтовый адрес:
107078, г. Москва, ул. Новорязанская, 18, стр.11-12, БЦ «Stendhal»
ИНН: 7714843760 КПП: 771401001
Банковские реквизиты:
Р/с 40702810600001004854
В ИНГ БАНК (ЕВРАЗИЯ) АО, г.Москва,
к/с 30101810500000000222, БИК 044525222
Электронная почта: contact@procenty-po-vkladam.ru
Контактный телефон: 7(495)133-20-43
Типовые примеры и методы их решения
Пример 1.1.1.Предприниматель получил на полтора года кредит в размере 40 тыс. руб. с условием возврата 50 тыс. руб. Определите процентную ставку, учетную ставку и дисконт-фактор за полтора года. Чему равен индекс роста суммы кредита?
Решение.Полагая в формуле (1) (см. приложение 1) t = 1,5 года, PV = 40 тыс. руб., FV = 50 тыс. руб., получим величину процентной ставки за полтора года:
, или, что равносильно, 
= 25% .
Аналогичным образом учетную ставку и дисконт-фактор находим соответственно по формулам (2),(4):
или d1,5 = 20%;
или v1,5 = 80%.
Заметим, что величины d1,5, v1,5 можно было найти, используя и другие соотношения. Например,
;
.
Индекс роста B1,5 суммы кредита показывает, во сколько раз возвращаемая сумма больше выданной:
.
Пример 1.1.2.Известно, что капитал, помещенный в банк, вырос за первый год в 1,4 раза, а за второй год вся сумма увеличилась в 1,2 раза. Определите индекс роста вклада и процентную ставку за два года. На сколько процентов увеличился капитал за все время?
Решение.Индекс роста капитала В2 за два года находим перемножением индексов роста за каждый год:
.
Следовательно, двухгодовая процентная ставка, показывающая, на сколько процентов увеличится капитал, составит:
.
Таким образом, капитал за два года увеличится на 68%.
Пример 1.1.3.Имеется два варианта вложения капитала на 3 года. Согласно первому варианту исходный капитал за первый год увеличится на 15%, за второй год вся сумма увеличится на 35%, а за третий год – еще на 10%. Для второго варианта рост капитала составит каждый год 20% от суммы предыдущего года.
Какой вариант лучше?
Решение.Поскольку для первого варианта индексы роста капитала за каждый год равны 1,15; 1,35 и 1,1, то индекс роста за 3 года составит:
.
Подобным образом находим индекс роста капитала за 3 года для второго варианта:
.
Так как согласно первому варианту за 3 года капитал увеличится на 70,8%, а согласно второму варианту – на 72,8%, то второй вариант вложения капитала лучше.
Заметим, что 70,8% и 72,8% представляют собой процентные ставки за 3 года.
Пример 1.1.4.Определите доходность в виде процентной ставки за предоставление потребительского кредита на следующих условиях: 45% стоимости покупок оплачивается сразу, а через год вносится оставшаяся часть стоимости покупок и 10% от стоимости покупок в качестве платы за кредит.
Решение.Воспользуемся формулой (1). Обозначим через Р стоимость покупок. Поскольку 45% стоимости покупок оплачивается сразу, то на один год кредит предоставляется в размере PV = 0,55P. Величина дохода за предоставленный кредит составит FV – PV = 0,1Р. Поэтому
или =18,18%.
Пример 1.1.5.Найдите с 90 тыс. руб.: а) 15% “со 100”; б) 15% “на 100”; в) 15% “во 100”.
Решение.Выражая 15% в десятичных дробях (т.е. получая 0,15), пользуемся последовательно формулами (6), (7), (8) при r = 0,15 и Q = S = К = 90 тыс. руб.:
a) 
тыс. руб.;
б) 
тыс. руб.;
в) 
тыс. руб.
Получили, что по отношению к одному числу проценты “на 100” меньше процентов “со 100”, которые в свою очередь меньше процентов “во 100”.
Для проверки найденных процентов “на 100” надо из данного числа (90 тыс. руб.) вычесть полученные проценты “на 100” (11,739 тыс. руб.), определив тем самым так называемое начальное число. Затем от начального числа найти проценты “со 100”, которые должны совпадать с найденными согласно условию задачи процентами “на 100”. Выполним эти действия:
90 -11,739 = 78,261 тыс. руб.;
тыс. руб.
Для проверки найденных процентов “во 100” надо к данному числу (90 тыс. руб.) прибавить полученные проценты “во 100” (15,882 тыс. руб.) и затем от найденной суммы (т.е. начального числа 105,882 тыс. руб.) найти проценты “со 100”:
90 15,882 = 105,882 тыс. руб.;
тыс. руб.
Пример 1.1.6.Предприниматель реализовал партию товара за 80 тыс. руб., получив при этом 25% прибыли. Определите величину прибыли и себестоимость товара.
Решение.Поскольку 80 тыс. руб. представляют собой сумму себестоимости товара и процентов “со 100” этой себестоимости (прибыли), то величина прибыли определяется по формуле (7) вычисления процентов “на 100”. Полагая S= 80 тыс. руб., r = 0,25 , находим:
тыс. руб.
Следовательно, себестоимость товара составляет 80 – 16 = 64 тыс. руб.
Пример 1.1.7.Предприниматель реализовал партию товара за 57 тыс. руб., получив при этом 5% убытка. Определите величину убытка и себестоимость товара.
Решение.Поскольку 57 тыс. руб. представляют собой разность себестоимости товара и процентов “со 100” этой себестоимости (убытка), то величина убытка определяется по формуле (8) вычисления процентов “во 100” при К = 57 тыс. руб. и r = 0,05:
тыс. руб.
Следовательно, себестоимость товара составляет 57 3 = = 60 тыс. руб.
Из разобранных двух последних примеров видно, что при применении формул вычисления процентов “на 100” или “во 100” (формулы (7) и (8)) вначале нужно определить, с каким капиталом (согласно условию задачи) имеем дело – с наращенным или уменьшенным, после чего решение задачи не представляет трудностей. Задачи
1.1.1. Предприятие получило кредит на один год в размере 100 тыс. руб. с условием возврата 160 тыс. руб. Рассчитайте процентную и учетную ставки.
1.1.2. Предприятие за взятый кредит через год должно вернуть 400 тыс. руб. Определите величину кредита, если учетная ставка равна 25%. Чему равен дисконт-фактор?
1.1.3. Кредит в размере 40 тыс. руб. выдан на два года с условием возврата 45 тыс. руб. Определите двухгодовые процентную и учетную ставки и дисконт-фактор.
1.1.4. Вклад 5 тыс. руб. положен в банк на 3 месяца с условием, что доход от финансовой сделки составит 800 руб. Определите квартальные процентную и учетную ставки и дисконт-фактор. Чему равен индекс роста вклада за квартал?
1.1.5. Определите доходность в виде процентной ставки за предоставление потребительского кредита на следующих условиях: 35% стоимости покупок оплачивается сразу, а через год вносится оставшаяся часть стоимости покупок и 20% от стоимости покупок в качестве платы за кредит.
1.1.6. Доходы от трех финансовых операций, проведенных в течение одного и того же срока, составили соответственно 10, 8 и 20 тыс. руб. Сравните между собой нормы прибыли этих операций, если в них было вложено 50, 20 и 100 тыс. руб. Чему будут равны учетная ставка и дисконт-фактор в каждой финансовой операции?
1.1.7. Предполагается инвестировать три проекта в размере соответственно 40, 20 и 80 тыс. руб. Ожидается, что в зависимости от ситуации доходности этих инвестиций за два года могут колебаться в следующих границах: для первой – от 15 до 30%, для второй – от 35 до 50%, для третьей – от 10 до 15%. Определите, какой минимальный и какой максимальный доход можно получить за два года.
1.1.8. В результате инвестирования первоначальный капитал за первый год вырос в 1,4 раза, за второй год общий капитал вырос в 1,6 раза и за третий год вся сумма увеличилась в 1,3 раза. Чему равен индекс роста суммы? Определите, на сколько процентов увеличилась первоначальная сумма за 3 года.
■ -ч
1.1.9. Имеется два варианта вложения капитала на 2 года. Согласно первому варианту исходный капитал за первый год увеличится на 50%, а за второй год вся сумма увеличится на 10%. Для второго варианта рост капитала составит каждый год 30% от суммы предыдущего года. Какой вариант лучше?
1.1.10. Клиент банка получил от помещения денег на депозит на год 900 руб. Какая сумма была помещена на депозит, если индекс роста ее за это время составил 1,4?
1.1.11. Индексы роста вклада за четыре квартала, следующие друг за другом, составили 1,15; 1,1; 1,12 и 1,05. На сколько процентов за это время увеличился вклад? Определите учетную ставку и дисконт-фактор: а) за полгода; б) за год.
1.1.12. Партия товара была куплена предпринимателем за 200 тыс. руб., а продана за 325 тыс. руб. Сколько процентов прибыли получил предприниматель?
1.1.13. Товарооборот магазина в июне составил 940 тыс. руб., а,в июле – 890 тыс. руб. На сколько процентов уменьшился товарооборот в июле?
1.1.14. За продажу дачного участка комиссионер получил 8 тыс. руб., что составило 5% с продажной цены. Определите, за какую сумму был продан дачный участок.
1.1.15. Предприниматель, купив первую и вторую партии товара соответственно за 36 тыс. руб. и 42 тыс. руб., продал их соответственно за 48 тыс. руб. и за 58 тыс. руб. При продаже какой партии был получен больший процент прибыли?
1.1.16. Найдите: а) 3% “на 100” с 412 руб.; б) 5% “на 100” с 735 руб.; в) 10% “на 100” с 2300 руб.; г) 25% “на 100” с 42 тыс. руб.; д) 50% “на 100” с 9 тыс. руб.
1.1.17. Найдите: а) 3% “во 100” с 1261 руб.; б) 5% “во 100” с 760 руб.; в) 10% “во 100” с 1150 руб.; г) 25% “во 100” с 23 тыс. руб.; д) 50% “во 100” с 8 тыс. руб.
1.1.18. Найдите с 1500 руб. и 12 тыс. руб.: а) 25% “со 100”; б) 25% “на 100”; в) 25% “во 100”.
1.1.19. Предприятие реализовало партию товара за 230 тыс. руб., получив при этом 30% прибыли. Определите величину прибыли и себестоимость товара.
1.1.20. Предприятие реализовало партию товара за 45 тыс. руб., получив при этом 8% убытка. Определите величину убытка и себестоимость товара.
1.1.21. Из-за порчи было списано 10% товара. Определите, сколько товара было списано, если его осталось 963 кг.
1.1.22. Общий заработок рабочего, включая премию в размере 10% от месячного оклада, составил 1980 руб. Найдите величину премии и величину оклада.
1.1.23. Предприниматель за 1 кг некоторого товара хочет получить 12 руб. 60 коп. Какую цену ему следует назначить, чтобы, сделав 3%-ную скидку, получить 12 руб. 60 коп. за 1 кг?
Простая процентная ставка
Основные положения
• Схема простых процентов предполагает неизменность величины, с которой происходит начисление.
• При наращении с использованием простой процентной ставки приращение капитала пропорционально сроку ссуды и процентной ставке, т.е. доход инвестора растет линейно вместе со сроком.
• Точные проценты определяются исходя из точного числа дней в году (365 или 366), а обыкновенные – из приближенного числа дней в году (360).
• При точном подсчете числа дней срока ссуды определяется фактическое количество дней между двумя датами (цатой выдачи и датой возврата ссуды). При приближенном подсчете определяют точное число полных месяцев в сроке и добавляют число оставшихся дней. Длительность каждого полного месяца полагается равной 30 дням. При точном и при приближенном подсчете числа дней срока ссуды день ее выдачи и возврата считают за один день.
• Используются следующие способы расчета простых процентов: а) обыкновенные проценты с приближенным числом дней, обозначаемые как 360/360; б) обыкновенные проценты с точным числом дней, обозначаемые как 365/360 или ЛСГ/360; в) точный процент с точным числом дней, обозначаемый как 365/365 или ACT/ACT.
• В финансовой практике при расчете процента используют и такие величины, как дивизор и процентное число. Дивизор – это отношение принятого числа дней в году к процентной ставке. Численно дивизор равен такому количеству рублей, с которого при данной процентной ставке получается 1 руб. дохода в день. Процентным числом называется произведение величины капитала на время, в течение которого происходит наращение на капитал простых процентов (иногда это произведение еще делят на 100).
• Финансовое соглашение может не только предусматривать постоянную процентную ставку на весь период, но и устанавливать изменяющуюся во времени (переменную) ставку.
• При применении простых процентов доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления или использования в других инвестиционных проектах или текущей деятельности.
• Для сравнения доходности финансовых операций с различными сроками используют показатели, учитывающие временной период, в течение которого получен доход. Одним из показателей является эквивалентное значение простой годовой процентной ставки. При этом считается, что если в результате инвестирования некоторой суммы получен доход, то такой же доход можно получить в результате размещения той же суммы по соответствующей эквивалентной простой годовой процентной ставке.
• Реинвестированием называется вложение доходов в некоторый проект производственного или финансового характера с намерением получить на них в дальнейшем дополнительный доход.
• Математическое дисконтирование является процессом, обратным к наращению первоначального капитала. При математическом дисконтировании решается задача нахождения такой величины капитала (называемой приведенной стоимостью), которая через заданное время при наращении простыми процентами по данной процентной ставке будет равна сумме, ожидаемой к получению (уплате) через это заданное время.
• При математическом дисконтировании в качестве ставки дисконтирования используется процентная ставка.
• Понятие приведенной стоимости является одним из важнейших в количественном анализе финансовых операций.
Вопросы для обсуждения
1. Как происходит начисление простых процентов на капитал в течение всего срока?
2. Что показывает множитель наращения в формуле наращения простыми процентами? Как он связан с индексом роста первоначальной суммы?
3. Если вклад в банке увеличился на 300%, то во сколько раз увеличился вклад?
4. Верно ли, что наращение по простой процентной ставке происходит процентами “со 100”!
5. Какова зависимость наращенной суммы от времени при начислении простых процентов по процентной ставке на инвестируемый капитал? Каков вид ее графика?
6. Как связаны между собой наращение по простой процентной ставке и арифметическая прогрессия?
7. За какой период происходит удвоение первоначальной суммы в результате наращения по простой процентной ставке?
8. Изменится ли величина наращенной суммы за несколько лет, если начисление простых процентов по данной процентной ставке будет осуществляться не каждый год, а чаще, например каждый месяц?
9. В каких случаях применяют наращение по простой процентной ставке?
10. Если простую процентную ставку увеличить в два раза, то во сколько раз увеличится величина начисленных процентов по сравнению с ситуацией, когда использовалась исходная процентная ставка?
11. Если простую процентную ставку увеличить в два раза, то на сколько процентов увеличится наращенная сумма по сравнению с ситуацией, когда использовалась исходная процентная ставка?
12. Чем отличаются точные проценты от обыкновенных?
13. Какие существуют способы подсчета числа дней срока инвестирования?
14. Чем можно пользоваться для упрощения процедуры расчета точного числа дней ссуды?
15. Может ли подсчет точного числа дней ссуды и приближенного числа дней ссуды давать один и тот же результат?
16. Какие способы расчета простых процентов используются на практике? Какие из них выгоднее для кредитора, а какие -для должника?
17. Как можно пояснить, что на практике не используется способ начисления точных процентов с приближенным числом дней?
18. Что представляет собой способ начисления процентов 365/360? Чем он отличается от способа 360/360?
19. Что называется дивизором? Дайте ему экономическую интерпретацию.
20. Какая величина называется процентным числом? Приведите пример ее применения в банковских расчетах.
21. Какая ставка называется переменной? В каких случаях она применяется?
22. Чем объяснить, что доходность финансовой операции часто определяется в расчете на год?
23. Каким образом можно сравнить доходности финансовых операций с различными сроками?
24. Взимание комиссионных при выдаче ссуды увеличивает или уменьшает доходность сделки для кредитора?
25. Каким образом можно определить стоимость привлеченных денежных средств для заемщика?
26. Какая финансовая операция называется реинвестированием?
27. В чем заключается основное преимущество операции реинвестирования при начислении простых процентов?
28. Как связано математическое дисконтирование с процессом наращения?
29. Какая ставка используется в качестве ставки дисконтирования при математическом дисконтировании?
30. Что называется приведенной стоимостью?
31. Существует ли связь между дисконтным множителем и множителем наращения?
32. Как определяется дисконт при дисконтировании? Можете ли вы привести иные понятия, также называемые дисконтом?
33. Поясните фразу: «При математическом дисконтировании в условиях простых процентов ожидаемый в будущем к получению капитал учитывается процентами “на 100″».
§
Пример 1.2.1.Вы поместили в банк вклад 10 тыс. руб. под простую процентную ставку 26% годовых. Какая сумма будет на вашем счете через 3 года? Какова будет величина начисленных процентов? Если банк осуществляет регулярные выплаты начисленных процентов, то какую сумму Вы будете получать: а) каждый год; б) каждый квартал?
Решение.Полагая в формуле (9) Р = 10.тыс. руб., п = 3 года, г = 0,26, получим наращенную сумму через 3 года, если не происходят выплаты простых процентов:
F = 10 * (1 3 • 0,26) = 17,8 тыс. руб.
Следовательно, величина начисленных процентов / составит: / = F- Р = 17,8 – 10 = 7,8 тыс. руб.
Величину начисленных простых процентов, выплачиваемых ежегодно, определяем из формулы (12) при / = 1:
11 = 10 • 1 • 0,26 = 2,6 тыс. руб.
При ежеквартальных выплатах i = 0,25 года, и поэтому величина каждой выплаты составит:
12 = 10 * 0,25 • 0,26 = 0,65 тыс. руб.
Заметим, что проценты на уже начисленные проценты не начисляются независимо от срока хранения вклада. Поэтому имеет смысл начисленные простые проценты регулярно получать и использовать, например, для иных инвестиций. Поскольку приращение вклада при наращении простыми процентами растет линейно вместе со сроком его хранения, то величины 11 и 12 можно найти, поделив / соответственно на 3 и на 12.
Пример 1.2.2.На какой срок необходимо поместить денежную сумму под простую процентную ставку 28% годовых, чтобы она увеличилась в 1,5 раза?
Решение.Искомый срок определяем из равенства множителя наращения величине 1,5:
1 n*0.28=1.5
Решая это уравнение относительно п, получим п = 
= 1,786
года. Таким образом, если в году 365 дней, то необходимый срок составит 1 год и 287 дней.
Пример 1.2.3.Предпринимателю 14 февраля была предоставлена ссуда в размере 20 тыс. руб. с погашением 14 июля того же года под процентную ставку 30% годовых. Рассчитайте различными способами сумму к погашению, если начисляются простые проценты и год невисокосный.
Решение.Величина уплачиваемых процентов за пользование ссудой зависит от числа дней, которое берется в расчет. Для упрощения процедуры расчета точного числа дней пользуются специальными таблицами (одна – для обычного года, вторая -для високосного), в которых все дни в году последовательно пронумерованы. Продолжительность финансовой операции определяется вычитанием номера первого дня из номера последнего дня. Поэтому точное число дней находим по таблице 1 в приложении 2: 195 — 45 = 150 дней. Естественно, это число можно найти и непосредственно, исходя из количества дней в соответствующих месяцах. Приближенное число дней ссуды состоит из 16 дней февраля (30 – 14); 120 дней (по 30 дней четырех месяцев: март, апрель, май, июнь) и 14 дней июля. Т.е. приближенное число дней составляет: 16 120 14 = 150. Теперь с помощью формулы (10) можно рассчитать возможные значения суммы к погашению. Во всех случаях Р = 20 тыс. руб., r= 0.3
1. В расчёт принимаются точные проценты и точное число дней ссуды (т.е. Г = 365, f = 150):
F = 20 (1 
0,3) = 22,466 тыс. руб.
2. В расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число дней ссуды (т.е. Т =360 t ==150):
F = 20 (1 0.3) = 22,5 тыс. руб.
3. В расчет принимаются обыкновенные проценты и приближенное число дней ссуды (т.е. T = 360, f = 150):
F = 20 (1 0,3) = 22,5 тыс. руб. 360
Очевидно, что обыкновенные проценты и точное число дней ссуды доставляют большее значение суммы к погашению, чем точные проценты и точное число дней ссуды. В условиях этого примера второй и третий варианты расчета обеспечивают одинаковые суммы при возврате долга. Вообще, как правило, число точных и число приближенных дней краткосрочной (до одного года) ссуды либо очень близки, либо совпадают, что позволяет в банковских расчетах обычно пользоваться приближенным числом дней ссуды. Так, если бы ссуда была выдана с 15 января по 14 июля, то точное число дней ссуды – 180, а приближенное -179. Следовательно, по второму и третьему вариантам расчета соответственно получим:
F 
тыс.руб.
F = 20(1 
0,3) = 22,983 тыс. руб.
Вообще видно, что во всех случаях суммы к погашению различаются незначительно, но при больших величинах ссуд даже небольшие расхождения могут иметь значение.
Отметим, что число точных и число приближенных дней ссуды могут достаточно сильно отличаться друг от друга, если срок ссуды более 360 дней. Если, например, ссуда предоставлена с 14 февраля одного года до 13 февраля следующего, то точное число дней равно 364, а приближенное – 359. Отсюда следуют и более существенные различия в суммах к погашению.
Пример 1.2.4.Предприниматель 18 апреля обратился в банк за ссудой до 19 ноября того же года под простую процентную ставку 25% годовых. Банк, удержав в момент предоставления ссуды проценты за весь ее срок, выдал предпринимателю 12 тыс. руб. Какую сумму необходимо будет вернуть банку, если при расчете начисленных процентов использовались обыкновенные проценты с точным числом дней?
Решение.Обозначим через F сумму, которую необходимо будет вернуть банку, и вначале для определения процентов I, удержанных банком, воспользуемся формулой (14), где P = F. Число дней находим либо прямым подсчетом, либо по таблице:
t= 215 дней (323 – 108). Так как Т = 360, г = 0,25, дивизор 
P-I = F-I= 12тыс.руб.,то
тыс.руб.
Следовательно, предприниматель обязан возвратить долг в размере:
F= 12 7= 12 2,106 =14,106 тыс. руб.
Для проверки найдем простые проценты, начисленные за 215 дней на сумму 14,106 тыс. руб.:
14106 * 
0,25 = 2,106 тыс. руб., 360
что подтверждает правильность вычислений.
Заметим, что проценты / представляют собой проценты “во 100” с 12 тыс. руб. Действительно, поскольку процентная ставка
за 215 дней (215/360 года) составляет 0.25 = 0.1493, то
тыс. руб
При решении примера можно было рассуждать и таким образом. Поскольку проценты, удержанные банком, составили величину F* 0,25, то предпринимателю выдана сумма
F – F* • 0,25 = 12 тыс. руб. Отсюда:
тыс.руб
Забегая немного вперед, можно сказать, что на 12 тыс. руб. в течение 215 дней происходит наращение по простой учетной ставке 25% годовых.
Пример 1.2.5.Сберегательный счет был открыт 10 марта и на него была положена сумма 8 тыс. руб. В следующем месяце (14 апреля) на счет поступило 4 тыс. руб. Затем 25 июня со счетабыло снято 3 тыс. руб. и 4 сентября – 2 тыс. руб. Счет был закрыт 20 декабря. Все операции осуществлялись в течение високосного года. Определите сумму, полученную владельцем счета, если процентная ставка равнялась 30% годовых и при расчете использовались обыкновенные проценты с точным числом дней.
Решение.Этот пример можно решить обычным способом, определяя величину начисленных процентов последовательно за промежутки времени, когда сумма на счете не менялась. Мы же воспользуемся (как это и делают в банках при обслуживании текущего счета) величинами 
, которые, так же как и Pt называются процентными числами (через Р обозначена величина вклада, через t — время его хранения). В этом случае в формуле
для вычисления дивизора D = 
ставка r выражена не десятичной дробью, а в процентах.
Для того чтобы найти общую величину начисленных процентов за весь срок, определим процентные числа за каждый промежуток времени, когда сумма на счете не менялась. Затем сложим все процентные числа и полученное значение поделим на дивизор.
Вначале определяем суммы, которые последовательно фиксировались на счете: 8 тыс. руб., 12 (8 4) тыс. руб., 9 (12 – 3) тыс. руб., 7 (9 – 2) тыс. руб. Затем находим сроки хранения этих сумм. Они соответственно равны 35 (105 – 70) дням, 72 (177 -105) дням, 71 (248-177) дню, 107 (355 – 248) дням. Сумма процентных чисел составит:
Дивизор в данном случае равен: D = 
= 12 . Следовательно,
общая величина начисленных процентов составит: 
тыс. руб.,
а владелец счета получит: 7 2,11 = 9,11 тыс. руб.
Отметим, что процентные числа можно было вычислять и с несколько иным образом найденными сроками, а именно: для каждого поступления срок хранения определяется исходя из да-
ты поступления и даты закрытия счета. Если происходило изъятие денег, то соответствующее процентное число берется со знаком минус. Тогда: для 8 тыс. руб. – 285 (355 – 70) дней, для 4 тыс. руб. – 250 (355 – 105) дней, для 3 тыс. руб. – 178 (355 – 177) дней и для 2 тыс. руб. – 107 (355 – 248) дней. Находим (учитывая знаки) сумму процентных чисел:
т.е. получили такую же величину, как и способом, изложенным ранее.
Поскольку февраль не входит в период работы со сберегательным счетом, то при осуществлении операций и в течение ие-високосного года получим окончательно также 9,11 тыс. руб.
Пример 1.2.6,Господин N поместил в банк 16 тыс. руб. на следующих условиях: в первые полгода процентная ставка равна 24% годовых, каждый последующий квартал ставка повышается на 3%. Найдите наращенную сумму за полтора года, если проценты начисляются только на первоначальную сумму вклада. При какой постоянной процентной ставке можно получить такую же наращенную сумму? Найдите наращенную сумму за полтора года, если с изменением ставки происходит одновременно и капитализация процентного дохода.
Решение.Пусть вначале проценты начисляются только на первоначальную сумму вклада. Рассмотрим отдельно периоды, в течение которых ставка была постоянной. Поскольку на первый период длительностью 
= 0,5 года установлена процентная ставка i1 = 0,24, то приращение капитала (в тыс. руб.) за этот период равно величине 16*0,5*0,24. На второй период длительностью n2 = 0,25 года (квартал) установлена процентная ставка i2 = 0.24 0,03 = 0,27, и, следовательно, приращение капитала за этот период равно величине 16*0.25*0.27. Аналогичным образом на периоды n3 ,n4 ,n5 , каждый из которых равен 0,25 года, установлены соответственно ставки j3 = 03, i4 = 0,33, i6 = 0,36, доставляющие приращения капитала 16*0,25*0,3; 16*0.25*033; 16*0.25*036. Суммируя первоначальный капитал и все его приращения, получим наращенную сумму за полтора года (общий множитель всех слагаемых 16 вынесем за скобки): F = 16 (1 0,5 0,24 0,25 0,27 3,25 0,3 0,25 – 033 0,25 036) – 22,96 тыс. руб.
Такую же наращенную сумму можно получить, если простые проценты начисляются за полтора года по ставке
Действительно, F = l6( 1 1,5* 0,29)=22,56 тыс. руб.
Отметим, что в указанных обозначениях величины F и 
, конечно, можно найти по формулам (15) и (16). Записывая (16) в виде
замечаем, что ставка / равна взвешенной сумме процентных ставок, где весом для каждой ставки ik служит доля длительности периода пк, которую он составляет от общей суммы длительностей периодов 
, причем очевидно, что сумма всех
весов равна единице. Таким образом, для ставки 24% весом является дробь 
(так как полгода составляют третью часть от полутора лет), для каждой доследующей ставки весом будет дробь 
(так как квартал составляет шестую часта от полутора лет).
Если же с изменением ставки происходит одновременно и капитализация процентного дохода (т.е наращенная сумма вкладывается вновь под измененную простую процентную ставку), то за полтора года наращенная сумма составит:
F = 16 * (1 0,5 * 0,24)(1 0,25 – 0.27)(1 0,25 * 0,3) * (1 025 * 0,33)(1 0,25 – 0,36) = 24,264 тыс. руб.
Естественно, получили сумму, превышающую 22,96 тыс. руб., поскольку в этом случае за каждый период проценты начисляются не только на первоначальную сумму вклада, но и на проценты, начисленные за предыдущий период.
Пример 1.2.7. В финансовом договоре клиента с банком предусмотрено погашение долга в размере 8,9 тыс. руб. через 120 дней при взятом кредите в размере 8 тыс. руб. Определите доходность такой сделки для банка в виде годовой процентной ставки. При начислении банк использует простые обыкновенные проценты.
Решение. Подставляя в формулу (23) значения F = 8,9 тыс. руб., Р = 8 тыс. руб., t= 120 дней, Т= 360 дней, получим:
Таким образом, инвестируя 8 тыс. руб. под простую процентную ставку 33,75% годовых, через 120 дней при использовании обыкновенных процентов можно получить 8,9 тыс. руб. Действительно,
8*(1 
*0.3375)=8,9 тыс. руб.
Пример 1.2.8. Банк в начале года выдал кредит на сумму 30 тыс. руб. сроком на два месяца по ставке 28% годовых и через два месяца – кредит на сумму 45 тыс. руб. сроком на четыре месяца по ставке 34% годовых. Определите общую доходность этих кредитных операций за полгода в виде годовой процентной ставки в двух случаях: когда при выдаче второго кредита не используются и когда используются деньги, возвращенные банку после погашения первого кредита. За предоставление кредита банк начислял простые обыкновенные проценты.
Решение. Найдем начисленные проценты за первый кредит по формуле (12) при Р = 3О тыс. руб., i = 60/360 года, r = 0,28:
i1=30 
*0,28 = 1,4 тыс. руб.
Аналогичным образом при Р = 45 тыс. руб., i = 120/360 года, r = 034 ваходим для второго кредита:
тыс. руб.
Следовательно, общий доход, полученный банком, равен:I = I1 I1 = 1,4 5.1 = 6,5 тыс. руб.
Если при выдаче второго кредита не использовались деньги, возвращенные банку после погашения первого кредита, то общая величина вложенных средств равна 75 (30 45) тыс. руб. Поэтому общая доходность этих кредитных операций за полгода в виде простой годовой процентной ставки по формуле (23) составляет:
или 17.33%
Если же второй кредит в размере 45 тыс. руб. включает 30 тыс. руб. (первый кредит), то
или 28,89% годовых.
Очевидно, повторное использование финансовых ресурсов повышает доходность.
Пример 1.2.9.Предприниматель получил в банке кредит на 90 дней по процентной ставке 36% годовых, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 2,5% от величины кредита. Найдите доходность такой финансовой операции для банка в виде годовой простой процентной ставки, если банк начисляет простые проценты на исходную сумму кредита, полагая, чтов году 360 дней. Как изменится доходность при выдаче кредита на 60 дней и на 120 дней?
Решение.Обозначим через Р величину кредита (в каких-либо денежных единицах), тогда величина удержанных комиссионных составит 0.025Р и, следовательно, предпринимателю будет выдана сумма Р -0,025Р =0,975Р. Через 90 дней предприниматель должен будет вернугь сумму Р(1 
0,36) = 1,09Р.
Таким образом, общий доход банка составит: 1.09Р – 0,975Р = = 0,115Р. Теперь, используя формулу (23), можно определить доходность финансовой операции для банка в виде годовой процентной ставки:
т.е. r = 47.18%, что больше объявленных банком 36% годовых. Таким образом, удержание комиссионных увеличивает доходность финансовой операции для кредитора (банка).
При выдаче кредита на 60 дней его величина вместе с начисленными процентами составит: Р(1 0,36) = 1,06 Р, и, следовательно, доходность для банка будет равна:
или 52.31%
т.е. больше, чем при выдаче кредита на 90 дней.
Если же срок кредита составляет 120 дней, то предприниматель должен будет вернуть 1.12Р и доходность для банка в виде простой годовой процентной ставки составит:
360 = 0,4462, или 44,62%,
т.е. меньше, чем при сроке кредита 90 дней.
Рассмотренный пример показывает, что при удержании комиссионных увеличение срока кредита уменьшает доходность финансовой сделки для кредитора. Конечно, если комиссионные не взимаются, то при любом сроке кредита доходность такой финансовой сделки в виде простой годовой процентной ставки будет постоянна и равна 36%.
Пример 1.2.10.Банк за использование в течение двух месяцев 800 тыс. руб. должен выплатить 60 тыс. руб. Определите стоимость привлеченных средств в виде простой годовой процентной ставки в условиях начисления обыкновенных процентов.
Решение.Стоимость привлеченных средств можно найти по формуле (23), где через Р обозначена использованная сумма средств; через F-P – проценты, выплаченные за использование суммы Р в течение времени и. Полагая Р = 800 тыс. руб., F-P = 60 тыс. руб., n =2/12 = 1/6 года, получим:
0,45, или, что эквивалентно, 45% годовых.
Пример 1.2.11.Из какого капитала можно получить 24 тыс. руб. через два года наращением по простым процентам по процентной ставке 25%? Чему равен дисконт?
Решение.Пользуясь формулой (18), где F = 24 тыс. руб.,n= 2 года, r = 0,25, получим:
= 16 тыс. руб.
Отсюда можно найти дисконт Dr = F-P = 24 -16 = 8 тыс. руб. Этот дисконт представляет собой 50% (процентная ставка за два года) “на 100” с 24 тыс. руб. Действительно, по формуле (7):
= 8 тыс. руб.
С целью проверки можно по формуле (9) определить наращенную сумму с капитала Р = 16 тыс. руб. за 2 года по простой процентной ставке 25% годовых:
F = 16(1 2 *0,25) = 24 тыс. руб.
Дисконтный множитель
= 0,6667 представляет собой
величину, обратную множителю наращения 1 2 * 0,25, и показывает долю капитала Р = 16 тыс. руб. в капитале F = 24 тыс. руб.
Пример 1.2.12.Вам 27 декабря будет нужна сумма 15 тыс. руб. Какую сумму 10 июня этого же года Вы должны положить в банк под простую процентную ставку 36% годовых, если в расчете применяется обыкновенный процент с точным числом дней?
Решение.Полагая в формуле (18) F =5 тыс. руб., п = 200/360 года (200 дней), r = 0,36, получим;
= 12,5 тыс. руб.
Если бы в расчете применялся точный процент с точным числом дней, то величина вклада должна быть несколько большей. Так, для невисокосного года:
= 12,529 тыс. руб.,
что превышает полученную ранее сумму на 29 руб.
Пример 1.2.13.На какой срок клиент банка может взять кредит в размере 20 тыс. руб. под простые проценты с условием, чтобы величина возврата долга не превышала 22 тыс. руб., если процентная ставка равна 34%, в расчет принимаются точные проценты с точным числом дней и год високосный?
Решение. Полагая в формуле (21) для расчета срока в днях F = 22 тыс. руб., Р = 20 тыс. руб., T = 366 дней, r = 0,34, получим:
тыс.руб
Так что клиент банка может взять кредит не более чем на 107 дней. Для проверки по формуле (9) найдем наращенную сумму за 107 дней:
F = 20(l 
0,34) = 21,988 тыс.руб. 366
Кстати, если взять 108 дней, то получим 22,007 тыс. руб., т.е. превышение всего на 7 руб., что, конечно, не является существенным.
Пример 1.2.14.Депозитный сертификат номиналом 20 тыс. руб. с начислением процентов по простой процентной ставке 40% годовых выпущен на один год. По какой цене его можно приобрести за 60 дней до срока погашения, чтобы обеспечить доходность такой финансовой сделки в виде простой процентной ставки 45% годовых? Расчетное количество дней в году равно 365.
Решение.Депозитный сертификат – документ, подтверждающий, что его владелец является держателем срочного депозита в банке. Для определения допустимой цены покупки сертификата необходимо его номинал вместе с начисленными за год процентами дисконтировать по простой процентной ставке 45% годовых, исходя из периода в 60 дней:
тыс.руб
Если цена покупки депозитного сертификата будет больше полученной величины 26,071 тыс. руб., то при его приобретении доставляется доходность, меньшая 45%.
Задачи
1.2.1. Клиент поместил в банк вклад в сумме 4,5 тыс. руб. под 18% годовых с ежеквартальной выплатой простых процентов. Какую сумму клиент будет получать каждый квартал? Как изменится сумма при выплате простых процентов каждый месяц?
1.2.2.Клиент поместил в банк вклад 6 тыс. руб. под простую процентную ставку 20% годовых. Какая сумма будет на счете клиента через: а) 7 месяцев; б) 3 года; в) 3 года 9 месяцев?
1.2.3. Банк принимает депозиты на 3 месяца по процентной ставке 28% годовых, на 6 месяцев – по 32% годовых и на год -по 34% годовых. Определите сумму, которую получит владелец депозита в размере 20 тыс. руб. при начислении простых процентов во всех трех случаях.
1.2.4. В финансовом договоре клиента с банком предусмотрено погашение долга в размере 24 тыс. руб. через 150 дней при взятом кредите в 20 тыс. руб. Определите доходность такой сделки для банка в виде годовой процентной ставки. При начислении банк использует простые обыкновенные проценты.
1.2.5. Банк в начале года выдал кредит на сумму 20 тыс. руб. сроком на три месяца по ставке 30% годовых и через три месяца кредит на сумму 40 тыс. руб. сроком на полгода по ставке 35% годовых. Определите общую доходность этих кредитных операций за девять месяцев в виде простой годовой процентной ставки в двух случаях: когда при выдаче второго кредита яе используются и когда используются деньги, возвращенные банку после погашения первого кредита. За предоставление кредита банк начислял простые обыкновенные проценты.
1.2.6. Предприниматель взял в банке ссуду на два года под процентную ставку 32% годовых. Определите, во сколько раз сумма долга к концу срока ссуды будет больше выданной банком суммы, если банк начисляет простые проценты.
1.2.7. Банк выдал ссуду на 45 дней в размере 10 тыс. руб. под простую процентную ставку 30% годовых. Рассчитайте доход
банка, если при начислении простых процентов считается, что в году: а) 360 дней; б) 365 дней.
1.2.8. Имеются две денежные суммы, одна из которых больше другой на 2 тыс. руб. Обе суммы помещаются в банк под простые проценты, причем большая сумма – на 9 месяцев под 30% годовых, а меньшая – на 4 месяца под 25% годовых. Начисленные проценты за большую сумму в 3 раза больше начисленных процентов за меньшую сумму. Найдите размеры первоначальных денежных сумм.
1.2.9. Найдите величину дохода кредитора, если за предоставление в долг на полгода некоторой суммы денег он получил 46,55 тыс. руб. При этом применялась простая процентная ставка а 22%.
1.2.10. Сертификат, выданный на 120 дней, обеспечивает держателю доход в виде дисконта, равного 15% от суммы погашения. Определите размер простой годовой процентной ставки, доставляющей такой же доход при начислении: а) обыкновенных процентов; б) точных процентов (год невисокосный); в) точных процентов (год високосный).
1.2.11. Вклад до востребования был размещен с 10 января по 14 апреля того же года. Рассчитайте двумя способами (приближенно и точно) количество дней, которое может быть использовано для начисления процентов, если год: а) високосный; б) невисокосный. Выполните аналогичные расчеты, если вклад до востребования был размещен с 18 марта по 26 июля.
1.2.12. Определите количество дней для начисления процентов при точном и приближенном способе подсчета, если вклад до востребования был размещен: а) с 12 февраля по 15 мая того же года; б) с 5 июня по 3 ноября того же года. Как изменились бы результаты, если бы рассматриваемый год был високосный?
1.2.13. Предоставлена ссуда в размере 180 тыс. руб. 16 января с погашением через 9 месяцев под 25% годовых (год невисокосный). Рассчитайте сумму к погашению при различных способах начисления простых процентов: а) обыкновенный процент с точным числом дней; б) обыкновенный процент с приближенным числом дней; в) точный процент с точным числом дней.
1.2.14. Предоставлена ссуда в размере 60 тыс. руб. 12 марта с погашением 15 августа того же года под процентную ставку 32% годовых. Рассчитайте различными возможными способамисумму к погашению, если начисляются простые проценты и год високосный.
1.2.15. Предприниматель 7 февраля обратился в банк за ссудой до 14 мая того же года под простую процентную ставку 18% годовых. Банк, удержав в момент предоставления ссуды проценты за весь ее срок, выдал предпринимателю 50 тыс. руб. Какую сумму необходимо будет вернуть банку, если при расчете начисленных процентов использовались обыкновенные проценты с точным числом дней и год високосный?
1 .2.16. Предприятие обратилось 1 марта в банк за кредитом в 150 тыс. руб., обязуясь вернуть сумму с процентами в конце года. Какой способ начисления простых процентов выгоден для предприятия и какой – для банка, если используется процентная ставка 26% годовых и год невисокосный?
1.2.17. Вы получили ссуду 12 февраля на условиях начисления простых процентов. Взятую сумму с процентами необходимо вернуть 27 декабря того же года. Во сколько раз вырастет долг при различных способах начисления простых процентов, если применяется процентная ставка 32% годовых и год невисокосный?
1.2.18. Вклад в размере 40 тыс. руб. был размещен в банке 12 марта под простую процентную ставку 30% годовых. При востребовании вклада 15 октября того же года вкладчику были начислены проценты в размере 47,134 тыс. руб. Какой способ начисления процентов использовал банк?
1.2.19. За срок ссуды величина обыкновенных процентов (с точным числом дней) составила 6,4 тыс. руб. Определите величину точных процентов при условии, что год невисокосный. Как изменится ответ, если год високосный?
1.2.20. За срок ссуды сумма к погашению составила 86 тыс. руб., причем начислялись обыкновенные проценты с точным числом дней. Определите величину суммы к погашению при начислении точных процентов при условии, что размер ссуды 70 тыс. руб. и год: а) невисокосный; б) високосный.
1.2.21. Какое необходимо время, чтобы 28 тыс. руб., помещенные в банк под простую процентную ставку 20% годовых, увеличились на такую же величину, как и 30 тыс. руб., помещенные в банк с 16 февраля по 28 июля того же года под простую процентную ставку 25% годовых? На первый капитал начисляются обыкновенные проценты с точным числом дней, на второй -обыкновенные проценты с приближенным числом дней.
1.2.22. По депозитному 30-дневному сертификату номиналом в 10 тыс. руб. начисляются обыкновенные проценты по ставке 25% годовых. Рассчитайте, какой должна быть годовая процентная ставка при начислении точных процентов с условием, чтобы они были равны обыкновенным. Какова величина начисленных процентов? Год високосный.
1.2.23. За какой срок вклад 5 тыс. руб. возрастет до 6 тыс. руб. при начислении процентов по простой процентной ставке 32% годовых?
1.2.24. На какой срок необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под простую процентную ставку 20% годовых, чтобы она увеличилась в 2,5 раза?
1.2.25. На какой срок необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под простую процентную ставку 30% годовых, чтобы начисленные проценты были в 1,8 раза больше первоначальной суммы?
1.2.26. Предпринимателю через некоторое время понадобится сумма в 25 тыс. руб., между тем он располагает лишь 22 тыс. руб. С целью накопления требуемой суммы предприниматель собирается положить в банк 22 тыс. руб. Предлагаемая банком процентная ставка равна 30% годовых. Какое количество дней необходимо для накопления требуемой суммы, если банк начисляет простые проценты, используя в расчетах точные проценты, и год невисокосный?
1.2-27. Заемщик собирается взять в банке кредит в размере 20 тыс. руб. с погашением его суммой, не превышающей 22 тыс. руб. Простая процентная ставка банка по кредитам равна 27% годовых. На какое максимальное количество дней заемщик может взять кредит, если банк начисляет точные проценты, полагая в году 365 дней?
1.2.28. Вкладчик, владея суммой в 20,5 тыс. руб., хочет получить, положив деньги на депозит, через год не менее 27 тыс. руб. Имеет ли смысл ему обратиться в банк, применяющий простую процентную ставку 26% годовых? Какая ставка необходима для осуществления намерения вкладчика?
1.2.29. Вкладчик хочет положить на депозит 15 тыс. руб. и за 5 месяцев накопить не менее 18 тыс. руб. Определите требуемую простую годовую процентную ставку, на основании кото-рой вкладчик должен выбрать банк для размещения своих средств, если в расчете применяются обыкновенные проценты и приближенное число дней.
1.2.30. Банк за использование в течение четырех месяцев 960 тыс. руб. должен выплатить 70 тыс. руб. Определите стоимость привлеченных средств в виде простой годовой процентной ставки в условиях начисления обыкновенных процентов.
1.2.31. Вкладчик намеревается положить в банк 8 тыс. руб., чтобы через 200 дней накопить 9,2 тыс. руб. Какова должна быть простая процентная ставка, обеспечивающая такое накопление? Зависит ли величина ставки от способа начисления простых процентов?
1.2.32. Банк выдал кредит на 9 месяцев по простой процентной ставке 28% годовых, при этом удержав комиссионные в размере 3% от суммы кредита. Определите действительную доходность для банка такой кредитной операции в виде годовой простой процентной ставки, если простые проценты начислялись на исходную сумму кредита.
1.2.33. Предприниматель получил в банке кредит на 150 дней по процентной ставке 30% годовых, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 1,5% от величины кредита. Найдите доходность такой финансовой операции для банка в виде годовой простой процентной ставки, если банк начисляет простые проценты на исходную сумму кредита, полагая в году 360 дней. Изменится ли величина доходности при выдаче кредита на 90 дней?
1.2.34. Выдается ссуда по процентной ставке 40% годовых, при этом взимаются комиссионные в размере 2% от величины ссуды. Простые точные проценты начисляются на исходную величину ссуды, год високосный. На какой срок должна быть выдана ссуда, чтобы доходность такой сделки для кредитора в виде годовой простой процентной ставки составляла 100%?
1.2.35. При выдаче ссуды по процентной ставке 42% годовых были удержаны комиссионные в размере 2,5% от величины ссуды. Простые точные проценты начислялись на исходную величину ссуды, год високосный. На какой срок была выдана ссуда, если доходность такой сделки для кредитора в виде годовой простой процентной ставки составила 64%?
1.2.36. При выдаче банком ссуды на 80 дней по процентной ставке 38% годовых сразу удерживаются комиссионные. Простые обыкновенные проценты начисляются на исходную величину ссуды, год невисокосный. Определите, какой процент от величины ссуды составили комиссионные, если доходность такой финансовой операции для банка в виде простой годовой процентной ставки оказалась равной 40%.
1.2.37. Банк выдал одному предпринимателю 30 тыс. руб. на 80 дней, затем полученные от него деньги выдал второму предпринимателю на 60 дней и, наконец, полученную от второго предпринимателя сумму выдал третьему предпринимателю на 160 дней. Все ссуды были выданы под простую процентную ставку 30% годовых, и начислялись обыкновенные проценты. Какую сумму должен вернуть банку третий предприниматель? Определите доходность для банка всей финансовой операции в виде годовой простой процентной ставки.
1.2.38. Банк выдавал кредиты своим четырем клиентам А, В, С и D – следующим образом: клиенту А – на 45 дней под 28% годовых; все деньги, полученные от клиента А, сразу’выдал клиенту В на 120 дней под 33% годовых; всю сумму, полученную от клиента В, выдал клиенту С на 100 дней под 32% годовых и, получив деньги от клиента С, выдал их клиенту D на 40 дней под 30% годовых. Клиент D в конце срока вернул банку 37 632 руб. Какую сумму получил клиент А, если во всех случаях начислялись простые обыкновенные проценты?
1.2.39. Банк выдал клиенту ссуду в размере 20 тыс. руб. 5 января с условием возврата долга 4 мая. Всю полученную сумму банк в этот же день выдал другому клиенту, который 3 июля вернул в банк 23,1 тыс. руб. В обоих случаях применялась одинаковая простая процентная ставка и расчет велся способом 365/360 (обыкновенный процент с точным числом дней). Определите эту ставку, если все действия совершались в течение одного года, являющегося високосным.
1.2.40. Банк продает депозитные сертификаты на следующих условиях: сертификат сроком на 3 месяца под 40% годовых или на год – под 45% годовых. Какие сертификаты выгоднее приобретать с целью получения в конце года наибольшего дохода, если банк начисляет по вкладам простые обыкновенные проценты? 1.2.41. Банк продает депозитные сертификаты на следующих условиях: сертификат сроком аа 3 месяца под 40% годовых; на 6 месяцев – под 42% годовых; на год – под 45% годовых. Какие сертификаты выгоднее приобретать с целью получения в конце года наибольшего дохода, если банк начисляет по вкладам простые обыкновенные проценты?
1.2.42. Какую сумму необходимо положить в банк под процентную ставку: а) 25% годовых; б) 50% годовых; в) 80% годовых, чтобы получать ежегодную ренту в 400 руб., а сумма на счете в банке оставалась бы неизменной?
1.2.43. Какую сумму необходимо положить в банк под простую процентную ставку 30% годовых, чтобы получать: а) ежеквартально ренту в 300 руб.; б) ежемесячно ренту в 100 руб., а сумма на счете в банке оставалась бы неизменной?
1.2.44. Банк предоставляет клиенту кредит в размере 8 тыс. руб. под простую процентную ставку 20% годовых. Используя дивизор, найдите доход банка, если срок кредита составляет: а) 40 дней; б) 4 месяца; в) 200 дней. Расчет ведется способом 360/360.
1.2.45. Используя дивизор, вычислите простой процент с капитала 4,8 тыс. руб., отданного в долг по ставке 20% годовых на срок с 8 июля по 25 ноября (год невисокосный), если расчет ведется способом 365/365 (точный процент с точным числом дней). t
1.2.46. Банк за предоставление кредита с 18 апреля по 10 сентября того же года под 24% годовых получил от заемщика в совокупности 12 тыс. руб. Используя дивизор, определите доход банка и сумму, полученную заемщиком, если начисленные простые проценты были удержаны банком в момент предоставления кредита и использовался способ 365/360. Чему равны были бы искомые величины, если бы применялся способ 360/360?
1.2.47. При открытии сберегательного счета на него 16 января была положена сумма 14 тыс. руб., однако 20 февраля со счета было снято 8 тыс. руб. Позже, 14 апреля, на счет была добавлена сумма 3 тыс. руб., 16 июня – 2 тыс. руб., а 10 сентября счет был закрыт. Рассчитайте с помощью процентных чисел сумму, полученную владельцем счета, если процентная ставка составляла 20% годовых, начислялись простые проценты способом 365/360 и все операции осуществлялись в течение одного високосного года.
1.2.48. Предприниматель открыл счет в банке, положив на него 20 тыс. руб. Затем 4 июля он добавил 5 тыс. руб. и 20 ноября этого же года счет закрыл, получив 28.2 тыс. руб. Найдите дату открытия счета, если простая процентная ставка составляла 24% годовых и использовался способ 365/360.
1.2.49. Какую сумму необходимо поместить в банк под простую процентную ставку 40% годовых, чтобы накопить 26 тыс. руб.: а) за 9 месяцев; б) за 2,5 года; в) за 4 года?
. 1.2.50. Какую сумму необходимо поместить в банк под простую процентную ставку 36% годовых, чтобы накопить 12 тыс. руб.: а) за 20 дней; 6) за 70 дней; в) за 300 дней? Рассмотрите отдельно случай начисления обыкновенных процентов и случай начисления точных процентов в високосном году.
1.2.51. Предпринимателю 18 ноября будет нужна сумма в 25 тыс. руб. Какую сумму 10 февраля этого же года он должен положить в банк под простую процентную ставку 34% годовых, если в расчете применяется обыкновенный процент с приближенным числом дней?
1.2.52. Предприниматель взял 14 апреля банковский кредит и погасил его 10 августа того же года суммой в 180 тыс. руб. Какой величины был кредит, если процентная ставка по кредитам равна 25% годовых и банк начислял простые проценты способом: а) 365/360; б) 365/365?
1.2.53. Господин N поместил свой капитал в банк под процентную ставку 30% годовых. Через год он взял из своего капитала половину, а затем через 8 месяцев закрыл счет. Величина начисленных процентов за весь период нахождения денег в банке составила 2340 руб. Определите величину капитала, помещенного в банк, если банк начисляет простые проценты способом 360/360.
1.2.54. Клиент поместил в банк свободные денежные средства под процентную ставку 30% годовых. Через 1 год и 8 месяцев клиент закрыл счет, получив 9 тыс. руб. Определите величину наращенной суммы, которая была в конце первого года, если банк начисляет простые проценты способом 360/360. Если бы клиент не закрыл счет, то через какое время он смог бы получить 9,6 тыс. руб.?
1.2.55. Сумма в 30 тыс. руб. помещена в банк под 20% годовых на два счета таким образом, чтобы брат и сестра по мере достижения ими возраста 18 лет получили по одинаковой сумме. Определите, сколько получит каждый из них, если в данный момент брату 15 лет 4 месяца и 3 дня, а сестре 14 лет 1 месяц и 20 дней. Каким образом 30 тыс. руб. будут распределены на два счета? Банк начисляет простые проценты, используя в расчетах обыкновенный процент с приближенным числом дней.
1.2.56. Сумма в 50 тыс. руб. помещена в банк под 30% годовых на три счета таким образом, чтобы три брата по мере достижения ими возраста 18 лет получили по одинаковой сумме. Определите, сколько получит каждый из братьев, если в данный момент старшему брату 16 лет 5 месяцев и 10 дней, среднему брату 12 лет 6 месяцев и 2 дня, а младшему брату 10 лет и 3 месяца. Каким образом 50 тыс. руб. будут распределены на три счета? Банк начисляет простые проценты, используя в расчетах обыкновенный процент с приближенным числом дней.
1.2.57. На сумму 200 тыс. руб. начисляются простые проценты по процентной ставке 35% годовых. Определите наращенную сумму на конец первого квартала, если ежемесячно проводится операция реинвестирования и начисляются обыкновенные проценты. Какова была бы наращенная сумма в случае непроведения операции реинвестирования?
1.2.58. Контрактом предусматриваются следующие процентные ставки на год: за первый квартал – 30% годовых; за второй квартал – 32% годовых; за третий и четвертый кварталы – 25% годовых. Определите множитель наращения за год, если в течение года начисляются простые проценты. Какой одной простой годовой процентной ставкой можно заменить данные ставки?
1.2.59. За предоставленный на год кредит предусмотрены следующие процентные ставки: за первый квартал – 3% ежемесячно; за второй квартал – 3,5% ежемесячно; за третий и четвертый кварталы – 2,5% ежемесячно. Определите множитель наращения за год, если в течение года начисляются простые проценты. Какой одной простой годовой процентной ставкой можно заменить данные ставки?
1.2.60. Контрактом было предусмотрено, что после первого квартала годовая процентная ставка повысится на 3%; после второго – еще на 5% и после третьего квартала – еще на 7%. Множитель наращения за год оказался равным 1,365. Определите величину первоначальной годовой процентной ставки, если в течение года начислялись простые проценты.
1.2.61. Заключается финансовое соглашение на 3 года, в котором предусматривается схема начисления простых процентов по следующим годовым процентным ставкам: за первый год — 20%; в каждые следующие два полугодия процентная ставка повышается на 5%; в каждом последующем квартале годовая процентная ставка повышается на 1%. Определите множитель наращения за 3 года.
1.2.62. На некоторую сумму в течение полугода начисляются простые проценты по следующим процентным ставкам: за первые два месяца – 30% годовых; за третий месяц – 32% годовых и за оставшиеся месяцы – 35% годовых. Определите множитель наращения за полгода, если: а) первоначальная сумма, на которую начисляются проценты, не изменяется; б) при каждом изменении процентной ставки происходит реинвестирование (капитализация процентов).
1.2.63. Простая процентная ставка по вкладам до востребования, составляющая в начале года 26% годовых, через квартал была увеличена до 30%, а еще через полгода – до 35% годовых. Определите величину процентов, начисленных за год на вклад 10 тыс. руб. При какой постоянной годовой процентной ставке можно обеспечить такую же величину начисленных простых процентов?
1.2.64. Вклад 15 тыс. руб. был положен в банк 9 апреля при простой процентной ставке 40% годовых. С 1 июня банк снизил процентную ставку по вкладам до 35% годовых. Вклад был закрыт 10 августа того же года. Рассчитайте различными возможными способами величину начисленных процентов.
1.2.65. Господин N поместил в банк свободные денежные средства, на которые согласно договору начисляются простые проценты по изменяющейся процентной ставке: за первые четыре месяца – 27% годовых, каждый следующий месяц ставка увеличивается на 0,5%. Через год, закрыв счет, господин N получил 64,25 тыс. руб, Определите, какую сумму получил бы господин N, закрыв счет через 9 месяцев.
1.2.66. Вкладчик поместил в банк 35 тыс. руб. на следующих условиях: в первый год процентная ставка равна 28% годовых, каждые следующие полгода ставка повышается на 2%. Найдите наращенную сумму за три года, если начисляются простые проценты. При какой постоянной процентной ставке можно полу-чить такую же наращенную сумму? Найдите наращенную сумму за три года, если с изменением ставки происходит одновременно и капитализация процентного дохода.
1.2.67. Клиент 4 января положил в банк 5 тыс. руб. и закрыл счет 10 сентября этого же года, являющегося високосным. Какую сумму банк выдал клиенту, если в течение всего срока начислялись простые проценты способом 365/365 (точные проценты с точным числом дней), но процентная ставка менялась: в начале года – 24%, с 1 апреля – 28% и с 1 июня – 32% годовых?
1.2.68. Депозитный сертификат номиналом 60 тыс. руб. с начислением процентов по простой процентной ставке 35% годовых выпущен на один год. По какой цене его можно приобрести за 150 дней до срока погашения, чтобы обеспечить доходность такой финансовой сделки в виде простой процентной ставки 42% годовых? Расчетное количество дней в году равно 365.
Простая учетная ставка
Основные положения
• Банковское (коммерческое) дисконтирование применяется в ситуации предварительного начисления простого процента, например при операции по учету векселя, заключающейся в покупке банком или другим финансовым учреждением векселя у владельца до наступления срока оплаты по цене, меньшей той суммы, которая должна быть выплачена по векселю в конце срока. Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учете векселя, называется дисконтированной величиной векселя. Проценты, удерживаемые банком в свою пользу, часто называют дисконтом.
• Если специальным образом не оговорены условия, вексель, как правило, учитывается по простой учетной ставке и при этом используются обыкновенные проценты.
• Банковское дисконтирование (в отличие от математического) нельзя осуществить во всех ситуациях (например, по достаточно большой учетной ставке и задолго до срока платежа).
• Математическое дисконтирование выгоднее для векселедержателя, а банковское дисконтирование – для банка.
• Удержание простых процентов в момент предоставления ссуды можно рассматривать как соглашение между кредитором и должником о том, что наращение будет осуществляться по простой учетной ставке. Аналогичное соображение можно высказать и относительно операции учета векселя.
• При применении наращения на основе простой учетной ставки величина начисляемых процентов с каждым годом увеличивается, в то время как при наращении капитала на основе простой процентной ставки капитал ежегодно увеличивается на одну и ту же величину. Простая учетная ставка обеспечивает более быстрый рост капитала, чем такая же по величине процентная ставка.
• Финансовый результат, полученный с помощью простой учетной ставки, можно получить и с помощью эквивалентной ей простой процентной ставки.
• Финансовое соглашение может не только предусматривать постоянную учетную ставку на весь период, но и устанавливать изменяющуюся во времени (переменную) ставку.
Вопросыдля обсуждения
1. Что представляет собой банковское дисконтирование? В каких случаях оно применяется?
2. Какая ставка используется при банковском дисконтировании?
3. Что называется дисконтированной величиной векселя?
4. Как часто называют проценты, удерживаемые банком в свою пользу?
5. Поясните фразу: «Банковское дисконтирование осуществляется процентами “со 100″».
6. Что может произойти, если при достаточно большой учетной ставке попытаться учесть вексель задолго до срока платежа?
7. Верно ли, что по простой процентной ставке вексель можно учесть за любое время до срока его погашения?
8. Какая ставка (учетная или процентная) и в каком смысле более жестко отражает временной фактор? 9. Сравните (аналитически и графически) между собой математическое и банковское дисконтирование в случае, когда процентная и учетная ставки одинаковы по величине.
Ю.Может ли в принципе банк при учете денежных обязательств (в частности, векселей) использовать процентную ставку и математическое дисконтирование?
11.Какого типа дисконтирование (математическое или банковское) выгоднее для векселедержателя?
12.В каких ситуациях возникает задача, обратная банковскому дисконтированию?
13.Какие существуют способы наращения капитала простыми процентами?
14.Чем отличается наращение на основе простой учетной ставки от наращения на основе простой процентной ставки?
15.Какая из простых ставок, процентная или учетная, обеспечивает более быстрый рост капитала? Поясните аналитически и графически.
16.Можно ли установить связь между операцией учета векселя и наращением по простой учетной ставке?
П.Верно ли, что наращение капитала по простой учетной ставке осуществляется процентами “во 100”?
18.Какие учетная и процентная ставки называются эквивалентными?
19.Может ли простая учетная ставка, эквивалентная простой процентной ставке, превышать 100%?
20. Каким образом с помощью понятий наращенной суммы и приведенной стоимости можно интерпретировать соотношение между эквивалентными ставками (учетной и процентной)?
21. Как можно оценить доходность операции учета векселя? 22.Чем отличается декурсивный способ начисления процентов от
антисипативного? 23.В чем заключается суть факторного анализа учета векселя?
§
Пример 1.3.1.В банк 6 мая предъявлен для учета вексель на сумму 14 тыс. руб. со сроком погашения 10 июля того же года. Банк учитывает вексель по учетной ставке 40% годовых, используя способ 365/360. Определите сумму, которую получит
векселедержатель от банка, и комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу за предоставленную услугу. За какое время до срока платежа операция учета векселя по учетной ставке 40% годовых имеет смысл?
Решение.Величина суммы, полученной векселедержателем,
рассчитывается по формуле (19) и при F = 14 тыс. руб., n= 
года, d = 0,4 составит:
P = 14(1- 0,4)=12,989 тыс. руб.
Дисконт Dd, полученный банком, представляет собой разность между F (номинальной величиной векселя) и Р (дисконтированной величиной векселя): Dd =14-12,989 = 1,011 тыс. руб.
Учет векселя по учетной ставке d имеет смысл, если п< 
,
т.е. для данного случая n <2.5 года. Если n = 2,5 года, то Р = 14(1-2,5 0,4) = 0, т.е. владелец векселя вообще ничего не получит. При и > 2,5 сумма Р, которую должен получить при учете векселя его владелец, становится отрицательной, что не может иметь места.
Отметим, что поскольку 40% = 7,22%, то комиссионные
360 Dd, полученные банком, представляют собой и 7,22% “во 100”
с 12,989 тыс. руб. Действительно, по формуле (8) получим:
= 1,011 тыс. руб.
Пример 1.3.2.Вексель на сумму 9 тыс. руб. учитывается по простой учетной ставке за 120 дней до погашения с дисконтом 600 руб. впользу банка. Определите величину этой годовой учетной ставки при временной базе, равной 360 дней в году.
Решение.Полагая в формуле (24) F = 9 тыс. руб., F- P = 0,6 тыс.py6. f = 120дней, Т = 360 дней,получим:
Таким образом, простая учетная ставка составляет 20% годовых. Для проверки можно определить дисконт в пользу банка (т.е. решаем обратную задачу: по известной учетной ставке определяем дисконт):
F-P = F 
d = 9 
тыс. руб.
Пример 1.3.3. Банк 7 июня учел три векселя со сроками погашения в этом же году соответственно 8 августа, 30 августа и 21 сентября. Применяя учетную ставку 25% годовых, банк удержал комиссионные в размере 2750 руб. Определите номинальную стоимость первых двух векселей, если номинальная стоимость второго векселя в два раза больше первого и третий вексель предъявлен на сумму 20 тыс. руб.
Решение, По таблице I приложения 2 находим, что первый вексель учтен за 62 дня до срока погашения, второй – за 84 дня и
третий – за 106 дней. Полагая F = 20 тыс. руб., п = 
года,
d = 0,25 , по формуле Dd = Fnd определим комиссионные, удержанные банком за согласие учесть третий вексель:
= 1,472 тыс. руб.
Таким образом, общий дисконт от учета остальных двух векселей составит:
тыс. руб
Обозначим теперь через F номинальную стоимость первого векселя, тогда номинальная стоимость второго векселя равна 2F. Следовательно,
Поскольку в сумме эти дисконты доставляют 1,277 тыс оуб то, складывая их, получим уравнение:
решая которое относительно F, находим
тыс. руб
Отсюда получаем и номинальную стоимость второго векселя –
16 тыс. руб.
Пример 1.3.4. Вексель на сумму 18 тыс. руб., выданный 14 мая и сроком погашения 20 ноября этого же года, был учтен в банке 10 октября по учетной ставке 36% годовых способом 365/360. На номинальную стоимость векселя предусматривалось начисление простых процентов по процентной ставке 25% годовых способом 365/365. Найдите сумму, полученную векселедержателем. Провести анализ дохода банка. Год високосный.
Решение. Поскольку на 18 тыс. руб. будут начислены простые проценты за 190 дней, то вначале по формуле (10) находим сумму, которая должна быть выплачена предъявителю векселя при его погашении:
тыс.руб.
Поскольку вексель был учтен за 41 день до срока погашения, то по формуле (19) владелец векселя получит сумму:
19,502 тыс.руб.
В данном случае можно провести более глубокий анализ процесса учета векселя. Общий доход банка составит величину A = F-P = 20,336-19,502 = 0,834 тыс. руб. Этот доход складывается из двух частей – проценты по векселю, причитающиеся за время, оставшееся до момента погашения векселя, и собственно комиссионные за предоставленную услугу.
Найдем срочную стоимость векселя в момент учета его банком:
= 18(1 
0,25) = 19,832 тыс. руб.
Теперь можно определить проценты по векселю, составляющие часть дохода банка:
р = F- = 20,336-19,832 = 0,504 тыс.руб.
Следовательно, собственно комиссионные, получаемые банком за услугу, оказываемую векселедержателю, составят величину:
0,834 – 0,504 = 033 тыс. руб.
Величину с можно было найти и по формуле с = – Р. С позиции банка сумма 330 руб. представляет собой плату за возможность более быстрого получения наличных векселедержателем. Отметим, что реальные потери векселедержателя составляют именно величину 330 руб., а не 834 руб., как это кажется на первый взгляд. Конечно, банк может получить больше 330 руб., увеличивая учетную ставку.
Следует отметить, что если бы учетная ставка была, допустим, 30% годовых, а процентная – 40% годовых, то банк оказался бы в проигрыше. Действительно, используя обозначения примера, получим:
F = 18(l 
0,4)=21,738 тыс.руб.;
тыс.руб.;
тыс.руб.;
Поэтому банк потеряет величину:
р – = Р- =20,995-20,931 =0,064 тыс.руб.
Пример 1.3.5.В банк 15 февраля предъявлен для учета вексель на сумму 40 тыс. руб. со сроком погашения 30 июня того же года. Банк учитывает вексель по простой процентной ставке 30% годовых. Определите сумму, полученную векселедержателем, и величину дисконта банка, если при учете использовался способ 365/365 и год високосный. Каковы будут определяемые величины при учете по простой учетной ставке 30% и использовании способа 365/360?
Решение.Если учет производится по простой процентной ставке, то, полагая в формуле (18) F = 40 тыс. руб., n = 
года,
r = 0.3, находим сумму, полученную владельцем векселя:
= 35,988 тыс.руб.
Следовательно, дисконт банка составляет:
Dr =40-35,988 = 4,012 тыс.руб.
Если же учет производится по простой учетной ставке, то
пользуемся формулой (19) при F = 40 тыс. руб., n = года,
d = 0,3. В этом случае векселедержатель получит:
Р = 40(1 – 
0,3) = 35,467 тыс. руб.,
и поэтому дисконт банка составит:
Dd = 40 – 35,467 = 4,533 тыс. руб.
Таким образом, во втором случае векселедержатель получит на 521 руб. меньше, а банк – соответственно на 521 руб. больше.
Заметим, что если бы владелец векселя предъявил в банк вексель за 4 года до срока погашения, а банк учел вексель по простой процентной ставке, то векселедержатель получил бы:
тыс.руб
т.е. достаточно большую сумму, в то время как учет по простой учетной ставке 30% годовых за 4 года до срока погашения в принципе невозможен, так как для этой ставки верхней границей является 10/3 года.
Обратим внимание и на следующий факт. Поскольку
30% = 11.148%, то комиссионные Dr , полученные банком,
представляют собой и 11,148% “на 100” с 40 тыс. руб. Действительно, по формуле (7) получим:
= 4,012 тыс. руб.
Пример 1.3.6. За вексель, учтенный за 5 лет по учетной ставке 14% годовых, заплачено 4 тыс. руб. Определите номинальную величину векселя.
Решение. Ситуация, описанная в условии примера, равносильна следующей: на сумму 4 тыс. руб. в течение 5 лет осуществляется наращение простыми процентами по простой учетной ставке 14% годовых . Необходимо опреднлить наращенную сумму . Поэтому можно воспользоваться формулой (20) в которой Р=4 тыс.руб., n=5 лет,d=0.14:
= 13,333 тыс. руб.,
что и равно номинальной величине векселя.
Если же описанную ситуацию рассматривать с точки зрения процесса наращения, то приращение капитала в 4 тыс. руб. за 5 лет составит величину: Id =13,333-4 = 9,333 тыс. руб. Найдем приращение капитала за каждый год.
За первый год (п = 1) капитал увеличится на величину
тыс.руб
За два года (n = 2) капитал увеличится на величину
тыс. руб.,
и, следовательно, его приращение за второй год составит:
= 1,556-0,651 = 0,905 тыс.руб.
Аналогичным образом получаем приращения за третий, четвертый и пятый годы:
С целью проверки просуммируем полученные величины 
тыс.руб т.е как и должно быть получим 
Пример 1.3.7. Найдите учетную ставку, эквивалентную простой процентной ставке 30% годовых, при наращении капитала: а) за год; б) за 150 дней. Временные базы ставок одинаковы.
Решение, а) Для расчета воспользуемся формулой (26), где r = 03, n = 1 год:
Таким образом, ученая ставка 23,08% годовых обеспечивает за год такое же наращение простыми процентами, как и процентная ставка 30% годовых.
б) Здесь возможны три случая, когда в году 360, 365 или 366
дней, т.е. и n = 
года, п = года или п = 
года. Пользу-
ясь формулой (26), соответственно получаем:
Если бы в слычае а) временные базы были бы неодинаковы , например , для учетнойт ставки -360 дней ,для процентной ставки -365 дней то следовало бы пользоваться формулой (28) где 
=365 дней 
=360 дней и t =150 дней
Пример 1.3.8. Предприниматель получил 12 марта ссуду в банке по простой учетной ставке 22% годовых и должен возвратить 15 августа того же года 30 тыс. руб. Определите различными возможными способами сумму, полученную предпринимателем, и величину дисконта, если год невисокосный и проценты ., удерживаются банком при выдаче ссуды. Какова будет доходность такой операции для банка в виде годовой простой про центной ставки?
Решение. Величина суммы, полученной предпринимателем, зависит от числа дней, которое берется в расчет. Точное число дней ссуды определяется, например, по таблице: 227 – 71 = 156 дней. Приближенное число дней состоит из 18 дней марта (30 -12); 120 дней (по 30 дней четырех месяцев: апрель, май, июнь, июль) и 15 дней августа. Т.е. приближенное число дней составляет 18 120 15 = 153 дня. Теперь с помощью формулы (19) можно рассчитать возможные значения суммы Р, полученной предпринимателем, и величину дисконта Dd.
1. В расчет принимаются точные проценты и точное число дней ссуды:
Р = 30(1 – 
0,22) = 27.179 тыс. руб.,
Dd =30-27,179 = 2,821 тыс. руб.
2. В расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число дней ссуды:
Р = 30(1 – 
0,22) =27.140 тыс. руб., 360
Dd = 30 – 27,140 = 2,860 тыс. руб.
3. В расчет принимаются обыкновенные проценты и приближенное число дней ссуды:
P = 30(1- 
0,22)=27Д95 тыс. руб., 360
Dd = 30 – 27,195 = 2,805 тыс. руб.
Для определения доходности для банка такой кредитной операции необходимо учитывать расчетное количество дней в году. Если для учетной и прояентной ставок используется одна и та же временная база, например 365 дней в году, и в расчет принимается точное число дней ссуды, то по формуле (25), полагая п = года, d = 0,22, находим:
Таким образом, процентная ставка r=- 24,28% обеспечивает через 156 дней (считая, что в году 365 дней) получение такой же наращенной величины из начального капитала, что и учетная ставка d = 22%. Действительно,
= 30 тыс. руб.
В предположении, что в году 360 дней для точного ( n = )
и приближенного (n = ) числа дней ссуды, соответственно
получим:
Если временные базы для процентной и учетной ставок разные, то варианты расчета доходности для банка в виде годовой простой процентной ставки рассматриваются аналогичным образом. Например, полагая в формуле (27) Тr = 365, Td = 360, при
точном числе дней t= 156 находим:
= 0,2466.
Продолжая подобным образом, можно рассчитать г для всех возможных случаев. Конечно, формулу (27) можно было использовать и в случае одной и той же временной базы для процентной и учетной ставок.
Пример 1.3.9.В банк предъявлен вексель на сумму 50 тыс. руб. за полтора года до срока его погашения. Банк согласен учесть вексель по переменной простой учетной ставке, установленной следующим образом: первые полгода – 30% годовых, следующие полгода – 36% годовых, затем каждый квартал ставка повышается на 2%. Определите дисконт банка и сумму, которую получит векселедержатель.
Решение.Так как на первое полугодие установлена учетная ставка 30% годовых, то дисконт за этот период равен 50 * 0,5 * 03 тыс. руб. Дисконт за второе полугодие – 50 *0.5*0,36 тыс. руб. Поскольку на последующие кварталы установлены учетные ставки36% 2% = 38% и 38% 2% = 40% годовых, то дисконты равны соответственно 50*0.25*0.38 тьтс.руб.и 50*0,25*0,4 тыс. руб.
Суммируя полученные величины, находим дисконт Dj за полтора года:
Dd =50(0.5*0.3 0.5*0.36 0.25*0.38 0.25*0.4) = 26.25 тыс. руб.
Следовательно, владелец векселя получит 50 – 26,25 = 23,75 тыс. руб.
Такой же дисконт Dd = 26,25 тыс. руб. можно было получить,
и установив на полтора года постоянную простую учетную ставку
т.е. d= 35% годовых.
Пример 1.3.10.При учете предъявленного векселя на сумму 30 тыс. руб. за 40 дней до срока его погашения доход банка составил 1,5 тыс. руб. Определите доходность этой финансовой операции для банка в виде простой годовой процентной ставки при расчетном количестве дней в году, равном 360.
Решение.Вначале находим сумму, выплаченную предъявителю векселя: Р = 30 -1,5 = 28,5 тыс. руб. Затем, полагая F – Р = 1,5 тыс. руб., t = 40 дней, Т = 360 дней, по формуле (23) получим:
360 = 0,4737, или 47,37%.
Решим этот пример другим способом, согласно которому вначале находим по формуле (24) простую годовую учетную ставку, по которой осуществлялся учет векселя:
И после этого по формуле (27) определяем эквивалентную простую процентную ставку:
Естественно, получили тот же результат.
Пример 1.3.11. Депозитный сертификат дисконтного типа номиналом 300 тыс. руб. куплен за 100 дней до его погашения по цене, определяемой простой учетной ставкой 30% годовых, и через 40 дней продан по цене, определяемой простой учетной ставкой 28% годовых. Найдите доходность такой финансовой операции в виде простой годовой процентной ставки при расчетном количестве дней в году, равном 360. Какова будет доходность, если владелец сертификата продержит его до погашения?
Решение. Доход от приобретения депозитного сертификата дисконтного типа определяется тем, что он продается по цене ниже номинала, а погашается по номиналу. Также владелец такого сертификата может получить доход, продав сертификат до
даты его погашения.
Цену покупки депозитного сертификата находим по формуле (19) при F = 300 тыс. руб., t = 100 дней, T= 360 дней, d = 0,3 :
300(1 – 
0,3) =274,882 тыс.руб.
Поскольку позже депозитный сертификат был продан за 60 дней до срока погашения, то его цена продажи составила (t = 60 дней, d=02H):
300(l- 0,28) = 286 тыс.руб.
Доходность такой операции кушш-продажи определяем по формуле (23), где P= 274,882 тыс. руб., F = 286 тыс. руб., t = 40 дней, T = 360 дней:
или 36,40% годовых.
Следует заметить, что найденная доходность по существу не зависит от величины номинала данного депозитного сертификата, а зависит от размеров учетных ставок и сроков от момента покупки и продажи до момента погашения сертификата. Это хорошо видно при решении аналогичного примера в общем виде. Кстати, и этот пример можно было решать, полагая величину номинала депозитного сертификата произвольной величиной F, которая при нахождении доходности просто сократится. Если же сертификат не будет продан до срока погашения, то в этом случае доходность будет равна простой процентной ставке, обеспечивающей через 100 дней получение такой же наращенной величины из начального капитала, что и учетная ставка ЗО% годовых, т.е. надо воспользоваться формулой (25):
= 03273, или 32,73% годовых.
Пример 1.3.12. Вексель учитывается банком за 120 дней до срока его погашения по простой учетной ставке 39% годовых. Определите доходность для банка такой финансовой операции в виде простой годовой процентной ставки, если: а) комиссионные не удерживаются; 6) удерживаются комиссионные в размере 1% от суммы, выплачиваемой за вексель. Расчетное число дней в году принимается равным 360.
Решение, а) Пусть предъявлен вексель на некоторую сумму
120 F, тогда доход банка составит: F 0.39 = 0.13F, а предьявитель векселя получит сумму F~0,13F = 0,87F. Следовательно, по формуле (23) доходность для банка будет:
360 = 0,4483,т.е.44,83%.
Очевидно, можно было и сразу применить формулу (27) при
Tr = Td = 360:
б) Так как сумма, выплачиваемая за вексель, равна O.87.F, то величину удержанных комиссионных определяем, взяв от этой суммы 1%: 0,87F* 0,01 = 0,0087F. Предъявитель векселя получит величину 0.87F – 0.0087F = 0.8613.F. Следовательно, общий доход банка составит: F-0,8613F = 0.1387F Теперь по формуле (23) можно определить доходность учета векселя для банка в виде простой годовой процентной ставки:
т.е 48.31%
Таким образом, взимание комиссионных повышает доход-
ность учета для банка.
Задачи
1.3.1. Векселедержатель 20 февраля предъявил для учета вексель со сроком погашения 28 марта того же года. Банк учел вексель по учетной ставке 35% годовых и выплатил клиенту 19,3 тыс. руб. Какой величины комиссионные удержаны банком в свою пользу, если год невисокосный?
1.3.2. Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 60 тыс. руб. со сроком погашения 21 октября текущего года. Вексель предъявлен 3 октября. Банк согласился учесть вексель с дисконтом в 26% годовых. Определите сумму, которую векселедержатель получит от банка, и величину комиссионных, удерживаемых банком в свою пользу за предоставленную услугу. За какое время до срока платежа операция учета векселя по учетной ставке 26% имеет смысл?
1.3.3. Банк 9 июня учел два векселя со сроками погашения соответственно 29 июня и 23 июля того же года. Применяя учетную ставку 30% годовых, банк выплатил клиентам в общей сложности 34 216 руб. Определите номинальную стоимость первого векселя, если второй вексель предъявлен на сумму 10 тыс. руб.
1.3.4. Вексель на сумму 15 тыс. руб., выданный 3 апреля со сроком погашения 10 августа, был учтен в банке 11 июля по учетной ставке 26% годовых способом 365/360. На номинальную стоимость векселя предусматривалось начисление простых процентов по процентной ставке 32% годовых способом 365/365. Найдите сумму, полученную векселедержателем.
1.3.5. Предприятие продало товар на условиях потребительского кредита с оформлением простого векселя: его номинальная стоимость – 1,8 млн. руб., срок векселя – 90 дней, простая процентная ставка за предоставленный кредит – 20% годовых. Через 60 дней с момента оформления векселя предприятие решило учесть вексель в банке; предложенная банком простая го-довая учетная ставка составляет: а) 18%; 6) 25%. Рассчитайте сумму, получаемую предприятием, и комиссионные, получаемые банком, если начисляются обыкновенные проценты.
1.3.6. Какой величины прибыль получит банк в результате учета 5 февраля по простой учетной ставке 30% годовых трех векселей, каждый из которых на сумму 15 тыс. руб., а сроки их погашения – 5 мая, 7 июня и 1 августа того же високосного года?
1.3.7. Вексель на сумму 80 тыс. руб. предъявлен в банке за 120 дней до срока его погашение. Банк учитывает вексель по простой процентной ставке 32% годовых. Определите дисконт, полученный банком, если при учете полагалось, что в году 360 дней. Какова была бы величина дисконта, если бы банк использовал простую учетную ставку 32% годовых?
1.3.8. В банк 13 июля предъявлен для учета вексель, выданный 4 мая того же года и со сроком погашения 1 сентября, причем на номинальную стоимость векселя предусматривалось начисление простых процентов по процентной ставке 35% годовых способом 365/365. Банк для определения своих комиссионных при учете векселя применяет простую процентную ставку 40% годовых и способ 365/360. Определите номинальную стоимость векселя, если величина общего дохода банка составила 3521 руб.
1.3.9. Банк за 20 дней до срока учел вексель на сумму 40 тыс. руб., при этом удержав комиссионные в размере 800 руб. Какую учетную ставку использовал банк, еслн считается, что в году 360 дней? Как изменится результат, если банк при учете векселя использует простую процентную ставку?
1.3.10. Векселедержатель собирается предъявить какому-либо банку для учета вексель на сумму 50 тыс. руб. за 45 дней до срока его погашения. Один баше предлагает учесть вексель по учетной ставке 30% годовых. Другой банк предлагает учесть вексель по простой процентной ставке 30% годовых. Чьи условия выгоднее для векселедержателя?
1.3.11. В банк предлагаются для учета два векселя: на сумму 30 тыс. руб. со сроком погашения через 2 месяца и на сумму 34 тыс. руб. со сроком погашения через 8 месяцев. При какой: а) учетной ставке, б) процентной ставке банк при учете этих век-
• селей выплатит одинаковые суммы, если расчетное число дней в году равно 360?
1.3.12. За вексель, учтенный за полтора года до срока по простой учетной ставке в 12%, заплачено 4,5 тыс. руб. Определите номинальную величину векселя.
1.3.13. Банк за 200 дней до срока учел вексель по учетной ставке 28% годовых и в тот же день продал этот вексель другому банку, который учел вексель по процентной ставке, также равной 28% годовых. В результате такой операции первый банк получил доход в 1,5 тыс. руб. Определите номинальную стоимость векселя, если при любом учете предполагалось, что в году 360 дней.
1.3.14. Предприниматель разделил свой капитал на две равные части, одну из них он поместил в банк под простую процентную ставку 30% годовых, а другую часть потратил на покупку векселя со сроком погашения через 250 дней, при этом он учел вексель по простой учетной ставке, также равной 30% годовых. Через 250 дней деньги, полученные предпринимателем но векселю, превышали сумму, образовавшуюся к этому сроку в банке, на 572 руб. Какова была величина первоначального капитала предпринимателя, если во всех расчетах предполагалось, что в году 360 дней?
1.3.15. Дисконтный сертификат, выданный на 90 дней, обеспечивает держателю доход в виде дисконта, равного 18% от величины номинала. Определите размер простой годовой учетной ставки, доставляющей такой же доход при наращении, если в году: а) 360 дней; б) 366 дней.
1.3.16. Предприниматель хочет получить ссуду в 50 тыс. руб. на полгода. Банк согласился предоставить ссуду на условиях начисления простых процентов по учетной ставке 24% годовых. Какую сумму предприниматель будет должен банку?
1.3.17. Банк выдал предпринимателю ссуду на полгода по простой учетной ставке 20% годовых, удержав проценты при выдаче ссуды. Определите сумму, полученную предпринимателем, и величину дисконта, если предприниматель должен возвратить 30 тыс. руб.
1.3.18. Клиент получил 14 апреля ссуду в банке по простой учетной ставке 25% годовых и должен возвратить 20 ноября того же года 10 тыс. руб. Определите различными возможными способами сумму, полученную клиентом, и величину дисконта, если год невисокосный и проценты удерживаются банком при выдаче ссуды. 1.3Л9. Клиент получил 10 февраля ссуду в банке по простой учетной ставке 30% годовых н должен возвратить весь долг 27 мая того же года. Какова будет доходность такой операции для банка в виде годовой простой процентной ставки, если год високосный и: а) временная база для учетной и процентной ставок одна и та же и равна числу дней в году; б) для учетной ставки временная база равна 360 дней, а для процентной ставки – 3 66 дней?
1.3.20. На капитал в 10 тыс. руб. в течение 4 лет осуществляется наращение простыми процентами по учетной ставке 12% годовых. Найдите приращение первоначального капитала за каждый год и общую наращенную сумму.
1.3.21. Предприниматель получил в банке кредит на 60 дней по учетной ставке 30% годовых, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 2% от величины кредита. Найдите доходность такой финансовой операции для балка в виде годовой простой процентной ставки, если банк начисляет простые проценты на исходную сумму кредита, полагая в году 360 дней. Как изменится доходность при выдаче кредита на 30 дней и на 90 дней?
1.3.22. На какой срок необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под простую процентную ставку 34% годовых, чтобы она увеличилась в 1,5 раза? Как изменится ответ, если наращение осуществляется по простой учетной ставке 34% годовых?
1.3.23. На какой срок необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под простую процентную ставку 40% годовых, чтобы начисленные проценты были в 1,2 раза больше первоначальной суммы? Как изменится ответ, если наращение осуществляется по простой учетной ставке 40% годовых?
1.3.24. Найдите простую учетную ставку, эквивалентную простой процентной ставке 20% годовых, при наращении капитала за невисокосный год. Рассмотрите случаи одинаковых и разных временных баз.
1.3.25. Депозитный сертификат дисконтного типа сроком на 45 дней продается по цене, определяемой простой учетной ставкой 32% годовых и расчетным количеством дней в году, равным 360. Определите эквивалентное значение простой годовой процентной ставки, определяющей стоимость привлеченных средств банка, при расчетном количестве дней в году, равном 365.
1.3.26. Депозитный сертификат дисконтного типа номиналом 400 тыс. руб. куплен за 150 дней до его погашения по цене, определяемой простой учетной ставкой 34% годовых, и через 90 дней продан по цене, определяемой простой учетной ставкой 30% годовых. Найдите доходность такой финансовой операции в виде простой годовой процентной ставки при расчетном количестве дней в году, равном 360. Какова будет доходность, если владелец сертификата продержит его до погашения? Влияет ли на доходность величина номинала этого сертификата?
1.3.27. Какая простая процентная ставка при учете векселя (по формуле математического дисконтирования) за 60 дней до срока погашения эквивалентна учетной ставке при коммерческом учете, если учетная ставка равна: а) 10%, б) 20%, в) 50% годовых? Временные базы при использовании ставок одинаковы и равны 360 дней.
1.3.28. Банк учитывает вексель за 180 дней до срока по учетной ставке 34% годовых, используя временную базу в 360 дней. Определите доходность такой операции в виде простой годовой процентной ставки при временной базе, равной 365.
1.3.29. При учете предъявленного векселя на сумму 150 тыс. руб. за 200 дней до срока его погашения доход банка составил 24 тыс. руб. Определите: а) доходность этой финансовой операции для банка в виде простой годовой процентной ставки; б) по какой простой учетной ставке был учтен вексель. Расчетное число дней в году принимается равным 360.
1.3.30. Вексель на сумму 50 тыс. руб., выданный 1 июня и сроком погашения 1 сентября того же года, был учтен в банке 2 августа по учетной ставке 32% годовых. На номинальную стоимость векселя предусматривалось начисление простых процентов по процентной ставке 30% годовых. Определите в виде простой годовой процентной ставки доходность этой финансовой операции для предъявителя векселя и для банка, если и яри учете, и при наращении берутся в расчет точные проценты с точным числом дней и год невисокосный. Зависит ли величина доходности от суммы, написанной на векселе? Зависит ли величина доходности финансовой операции для банка от процентной ставки, по которой начисляются простые проценты? 1.3.31. В банк предъявлен вексель за 280 дней до срока платежа. Какова должна быть простая годовая учетная ставка, используемая банком, чтобы доходность операции учета в виде простой процентной ставки составляла 40% годовых? Расчетное количество дней в году равно 360.
1.3.32. Банк использует при выдаче кредитов простую процентную ставку 45% годовых для расчетного количества дней в году, равном 365. За 70 дней до срока погашения в банк предъявлен вексель. Какую простую учетную ставку должен использовать банк, полагая в году 360 дней, чтобы обеспечить равенство доходностеЙ операции учета и кредитных операций?
1.3.33. Вексель учитывается банком за 80 дней до срока его погашения по простой учетной ставке 35% годовых. Определите доходность для банка такой финансовой операции в виде простой годовой процентной ставки, если: а) комиссионные не удерживаются; б) удерживаются комиссионные в размере 2% от суммы, выплачиваемой за вексель. Расчетное число дней в году принимается равным 360.
1.3.34. Вексель, до срока оплаты которого осталось 140 дней, учтен в банке по простой учетной ставке 38% годовых при расчетном количестве дней в году, равном 360. Доходность операции учета в виде простой годовой процентной ставки составила: а) 44,59%; б) 45,33%. Определите, какое при этом принималось расчетное количество дней в году.
1.3.35. На сумму 20 тыс. руб. начисляются с начала года простые проценты по учетной ставке 30% годовых. Определите наращенную сумму на конец первого квартала, если ежемесячно проводится операция реинвестирования, начисляются точные проценты с точным числом дней и год високосный. Какова была бы наращенная сумма в случае непроведения операции реинвестирования?
1.3.36. В банк предъявлен вексель на сумму 80 тыс. руб. за полгода до срока его погашения. Банк согласен учесть вексель по переменной простой учетной ставке, установленной следующим образом: первые два месяца – 24% годовых и затем в каждом следующем месяце ставка повышается на 1,5%. Определите дисконт банка и сумму, которую получит векселедержатель. Можно ли воспользоваться постоянной учетной ставкой, доставляющей такой же дисконт?
1.3.37. За какое время до срока погашения необходимо предъявить для учета вексель на сумму 1000 руб., чтобы результаты учета по простой процентной ставке 30% годовых и по простой учетной ставке 30% годовых отличались меньше чем на одну копейку? Временные базы при использовании ставок одинаковые.
§
Основные положения
• Потребительским (или личным) кредитом называется кредит, который предоставляет банк, финансовая компания или розничный торговец отдельному индивидууму на потребительские цели.
• Один из способов погашения потребительского кредита предусматривает начисление процентов на всю сумму кредита и присоединениелх к основному долгу в момент открытия кредита, причем погашение долга с процентами (наращенной суммы) происходит равными величинами в течение всего срока кредита.
• При погашении потребительского кредита равными платежами для определения доли каждой выплаты, идущей на погашение основного долга, и доли этой же выплаты, идущей на по~ гашение начисленных процентов, пользуются “правилом 78”.
• Для должника более приемлемым является способ погашения кредита, учитывающий, что долг не является постоянной величиной, а с течением времени уменьшается. В этом случае процентные платежи за пользование потребительским кредитом рассчитываются каждый раз на оставшуюся часть долга. Сам же основной долг выплачивается равными суммами.
• Существуют различные варианты выплаты долга, оговариваемые контрактом. Например, в случае невыплаты заемщиком
вовремя всего долга может быть предусмотрена возможность частичного погашения долга и продления срока кредита. Если превышен срок погашения кредита, то устанавливается так на-зываемая штрафная (более высокая) процентная ставка, по которой заемщик и рассчитывается с кредитором за весь период просрочки.
• Амортизация представляет собой постепенное снижение ценности основных фондов вследствие их изнашивания, а также постепенное перенесение стоимости основных фондов на вырабатываемую продукцию с целью накопления средств для их обновления. Суммы, на которые уменьшается стоимость основных фондов, образуют амортизационные отчисления,
• В практической деятельности устанавливают нормативные сроки службы и единые нормы амортизации. Они корректируются с учетом фактических условий работы, естественных условий, влияния агрессивной среды.
• С помощью выбора способа расчета амортизационных отчислений можно управлять размером прибыли до годам, а следовательно, и размером’ налогов на прибыль. Возможны различные схемы амортизационных отчислений. Наиболее распространенными являются схема равномерной амортизации и схема ускоренной амортизации.
• Согласно схеме равномерной амортизации сумма годовых амортизационных отчислений определяется делением первоначальной стоимости, уменьшенной на величину предполагаемой ликвидационной стоимости, на экономически обоснованную продолжительность (в годах) периода эксплуатации данного актива.
• Во многих ситуациях целесообразно применять ускоренную схему амортизации (например, стимулируя замену стареющего оборудования). Для этого, например, можно руководствоваться таким способом расчета уменьшения стоимости имущества, который использует дроби, получающиеся в результате применения “правила 78”.
Вопросы для обсуждения
1. Какой кредит называется потребительским? Приведите примеры.
2. Какие способы погашения потребительского кредита Вы знаете?
3. При каком способе погашения кредита фактическая процентная ставка оказывается больше ставки, предусмотренной при оформлении кредита? Почему так происходит?
4. Что называется стоимостью кредита?
5. В чем заключается “правило 78” и для каких целей оно служит?
6. Что послужило названием “правила 78″1
7. Какие еще схемы выплат общей суммы процентов в течение периода кредитования Вы можете предложить?
8. Соответствует ли логике ссудозаемвых операций схема с убывающей величиной процентного платежа?
9. Какие ситуации можно предусмотреть с помощью “правила 75”?
10. Почему банки заинтересованы в том, чтобы должник погашал сумму долга частями в течение данного ему срока, а не в конце его?
11. Почему способ погашения, учитывающий, что долг с течением времени уменьшается, выгоден клиенту, взявшему кредит?
12. Что собой представляет кредит под залог материальных ценностей?
13. Какие проценты используют, как правило, при расчетах, связанных с обслуживанием кредита под залог материальных ценностей?
14. Что такое амортизация?
15. Что такое амортизационные отчисления?
16. На что влияет выбор схемы амортизационных отчислений?
17. Что собой представляет равномерная амортизация?
18. Почему целесообразно применять схему ускоренной амортизации?
19. Приведите пример схемы ускоренной амортизации.
§
Пример 1.4.1.Покупатель приобрел телевизор стоимостью 3,6 тыс. руб. При этом он сразу уплатил 25% стоимости телевизора, а на остальную сумму получил кредит на б месяцев под простую процентную ставку 20% годовых. Кредит погашается ежемесячными платежами. 1. Составьте план погашения кредита с помощью “правила 78”, если проценты начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основному долгу в момент открытия кредита, причем погашение долга с процентами происходит равными величинами в течение всего срока кредита.
2. Составьте план погашения кредита с учетом, что долг с течением времени уменьшается и процентные платежи за пользование потребительским кредитом рассчитываются каждый раз на оставшуюся часть долга. Сам же основной долг выплачивается равными суммами.
Решение. Поскольку покупатель сразу уплатил 3,6 * 0,25 = = 0,9 тыс. руб., то он получил кредит в размере 3,6 – 0,9 = = 2,7 тыс. руб.
1. Наращенную сумму долга за 6 месяцев (0,5 года) находим по формуле наращения простыми процентами (10):
F = 2,7(1 0,5 * 0,2) = 2,97 тыс. руб.
Определяем величину начисленных процентов: I = 2,97 – 2,7 = ~ 0,27 тыс. руб.
Так как всего 6 погасительных платежей, то величина каждого из них составит;
=0,495тыс. руб.
Составим план выплат с помощью “правила 78”. Находим сумму порядковых номеров всех платежей: 1 2 3 4 5 6 = 21. Согласно “правилу 78” часть первого погасительного платежа пойдет на выплату 
от общей начисленной величины процентов
(т.е. )> а оставшаяся часть погасительного платежа (а- I)
пойдет в счет выплаты основного долга. Часть второго погасительного платежа пойдет на выплату 
от общей начисленной
величины процентов (т.е. I), а оставшаяся часть платежа (а- I) пойдет в счет выплаты основного долга. Для третьего платежа надо взять дробь 
и т.д.
Таким образом, из первого погасительного платежа в счет уплаты процентов пойдет 0,27 = 0,077 тыс. руб. Следовательно, в первом месяце часть основного долга погашается в размере 0,495-0,077 = 0,418 тыс. руб. На начало следующего месяца получим остаток основного долга, равный 2,7 – 0,418 = 2,282 тыс. руб.
Во втором месяце в счет уплаты процентов пойдет от общей суммы начисленных процентов, что составляет 0,27- = 0,064 тыс. руб., а часть основного долга погашается в
размере 0,495-0,064 = 0,431 тыс. руб. На начало третьего месяца получим остаток основного долга, равный 2.282-0,431 = 1,851 тыс. руб. и т.д. Для наглядности результаты всех расчетов представим в виде таблицы.
План погашения кредита
| Номер месяца | Остаток основного долга на начало месяца, тыс. руб. | Дроби | Погашение общей величины начисленных процентов, тыс. руб. | Погашение основного долга, тыс. руб. |
| 2,7 | 6/21 | 0,077 | 0,418 ~* | |
| 2,282 | 5/21 | 0,064 | 0,431 | |
| 1,851 | 4/21 | 0,051 | 0,444 | |
| 1,407 | 3/21 | 0,039 | 0,456 | |
| 0,951 | 2/21 | 0,026 | 0,469 | |
| 0,482 | 1/21 | 0,013 | 0,482 | |
| ъ | 0,27 | 2,7 |
Последняя строка таблицы служит для контроля произведенных расчетов: сумма всех чисел, стоящих в строчках четвертого столбца, должна равняться общей величине начисленных процентов (называемой стоимостью кредита), а аналогичная сумма для пятого столбца – основному долгу. Кроме того, для каждого месяца сумма соответствующих строчек четвертого и пятого столбцов постоянна и равна величине погасительного платежа – 0,495 тыс. руб. С помощью “правила 78” заемщик также может приблизительно узнать, какую сумму в счет оплаты процентов ему не придется отдавать в случае возврата кредита раньше срока (если, конечно, такая ситуация предусмотрена в договоре). Пусть в нашем примере после двух погасительных платежей было принято решение возвратить кредит. Начиная с единицы, нумеруем оставшиеся четыре планируемых платежа и находим сумму их новых порядковых номеров: 3 2 3 4 = 10. Тогда 
общей величины начисленных процентов не придется выплачивать, что в данном примере составит 0,27 = 0.129 тыс. руб.
Очевидно, что в кредитном договоре могут предусматриваться любые схемы весовых коэффициентов в распределении общей суммы процентов в течение периода кредитования. Например, при составлении плана погашения кредита можно взять последовательность равных дробей (конечно, в сумме дающих единицу). В данном случае каждая дробь будет равна 
, и поэтому каждый раз в счет уплаты процентов пойдет величина 
= 0,045 тыс. руб., и каждый раз часть основного долга погашается в размере 0,45 – 0,045 = 0,405 тыс. руб. Таким образом, получаем равномерное распределение выплат процентов и выплат основного долга.
2. При втором способе погашения кредита учитывается, что долг не является постоянной величиной, а с течением времени уменьшается и процентные платежи за пользование потребительским кредитом рассчитываются каждый раз на оставшуюся часть долга. Сам же долг выплачивается равными суммами.
Как и в первом способе, ежемесячные погасительные платежи представляют собой сумму выплаты части основного долга и процентного платежа для данного месяца.
Каждый месяц выплачивается часть основного долга, равная
R = 
= 0,45 тыс. руб., или 450 руб.
Процентные платежи для каждого месяца найдем с учетом постепенного уменьшения величины долга. За первый месяц начисляются проценты в размере
= 0,045 тыс. руб., или 45 руб. 1 второй месяц начисляются проценты на остаток долга:
1г = (2,7 -0,45) 
= 11
= 0,0375 руб., или 37,5 руб.
Аналогичным образом для третьего платежа получим:
руб или 30руб.,
и т.д. Фактически при вычислении процентных платежей мы величину первого процентного платежа умножаем последова-
тельно на дроби 
Таким образом: 
=45 
= 22,5 руб.,
I5=45 
= 15 руб., I6=45 = 7,5 руб. Следовательно, общая величина процентного платежа (стоимость кредита): I = 45 37,5 30 22,5 15 7,5 =157,5 руб.,
что можно получить и пользуясь формулой (17). Действительно, полагая Р = 2700 руб., к = 6, n = 0,5 и r = 0,2, получим:
I=2700*0,5*0,2 
= 157,5 руб.
Для наглядности представим план погашения кредита в табличном виде.
(руб.)
Заметим, что, как и в предыдущей таблице, последняя строка служит для контроля правильности расчетов.
Видно, что при данной схеме погасительных платежей общая величина выплат меньше на 112,5 руб. по сравнению со способом погашения кредита, изложенным ранее.
Если же выплачивать кредит равными долями, то каждый погасительный платеж равен:
= 476,25 руб.
Заметим, что при изложенном способе погашения кредита можно считать, что первоначальная величина долга остается постоянной, но каждый месяц меняется процентная ставка. Так, если в первый месяц она равнялась 20% годовых, то во втором
месяце- 20% = 16,67%, в третьем – 20% 
= 13,33% ит.д.
Пример 1.4.2.Банк предоставил господину N кредит с 4 марта по 16 июля того же года под залог ста пятидесяти ценных бумаг. Курсовая стоимость каждой ценной бумаги на день выдачи кредита составляет 400 руб. Кредит предоставлен под процентную ставку 30% годовых, и его сумма составляет 75% величины залога. Затраты банка на обслуживание долга в размере 1% от номинальной суммы кредита были удержаны вместе с начисленными процентами в момент предоставления кредита. Господин N 16 июля выплатил банку только 25 тыс. руб. Банк согласился на продление погашения кредита до 16 августа под 36% годовых, не взимая сразу при этом начисленные проценты на остаток долга. Найдите величину креднта, полученного господином N, и определите, какую сумму господин N должен будет выплатить банку 16 августа.
Решение.При расчетах, связанных с обслуживанием кредита под залог материальных ценностей, используют обыкновенные проценты с точным числом дней.
Вначале определяем курсовую стоимость всех ценных бумаг:
400 150 = 60 000 руб.
Следовательно, номинальная величина кредита составляет:
60 000 0,75 =45 000 руб.
Так как с 4 марта по 16 июля – 134 дня, то по формуле (12) вычисляем процентный платеж за кредит:
45 000 
0.3 = 5025 руб.,
который, естественно, можно было найти и пользуясь формулой I = 
, определив вначале значение дивизора D’ = 
= 1200 и
полагая t=134 дня. Затраты банка на обслуживание долга составят:
45 000 *0,01 = 450 руб.
Банк предварительно взыскивает процентный платеж и оплату за обслуживание долга, поэтому клиент получил кредит в размере:
45 000 – 5025 – 450 = 39 525 руб.
Видно, что господин N получил “на руки” меньшую сумму, чем номинальная величина кредита.
На 16 июля остаток долга составит: 45 000 – 25 000 = 20 000 тыс. руб. Определяем процентный платеж за 31 просроченный день:
20000 
036 = 620 руб.
Таким образом, господин N 16 августа должен будет отдать
банку:
20000 620 = 20 620 руб.
Пример 1.4.3.Предпринимателю необходима сумма а 100 тыс. руб. на 3 месяца. Банк предоставил ему кредит в размере 80% от стоимости залога под 24% годовых и за обслуживание долга взыскал 1% от номинальной суммы кредита. Определите величину залога, если кредит взят 1 февраля и год невисокосный.
Решение.Обозначим через Р величину залога. Поскольку номинальная величина кредита равна 100 тыс. руб., плата за обслуживание долга равна 100-0,01 = 1 тыс. руб., то Р равняется сумме 101 тыс. руб. (100 тыс. руб. 1 тыс. руб.) и процентного платежа. Кредит выдается на 89 дней. Величину процентного платежа можно получить, вычисляя проценты “во 100” с помощью одного из соотношений формулы (14). В данном случае, так как срок финансовой операции выражен в днях, воспользуемся соотношением, содержащим дивизор. Последовательно определяем дивизор 
процентный платеж:
= 6371 тыс. руб.
Следовательно, Р = 101 6,371 = 107,371 тыс. руб. Поэтому стоимость материальных ценностей, отдаваемых в залог, должна быть равна величине:
= 134,214 тыс. руб.
Заметим, что данный пример (как, впрочем, и другие) можно решить с помощью алгебраического уравнения. Обозначим через х стоимость залога, тогда 0,8x- номинальная величина кредита. Пользуясь условием примера, составляем уравнение:
решая которое находим х = 134,213 тыс. руб.
Отличие полученных результатов на 1 руб. объясняется принятой в данном примере точностью вычисления, увеличивая которую можно, в частности, получить при решении первым способом 134,21331 тыс. руб., при решении вторым способом -134,21332 тыс. руб., т.е. разница между значениями составляет 1 коп.
Пример 1.4.4.Предприятие приобрело универсальный ста’ нок за 320 тыс. руб. Срок службы станка – 8 лет, после чего он реализуется по остаточной стоимости 50 тыс. руб. Составьте таблицу уменьшения стоимости станка по годам. Рассмотрите два случая: а) уменьшение стоимости станка происходит равно* мерно; б) уменьшение стоимости станка происходит в соответствии с “правилам 78”.
Решение,а) Срок службы станка составляет n = 8 лет. Обозначим Р первоначальную стоимость станка, Рп — остаточную стоимость станка через и лети = Р-Рn. Полагая Р = 320 тыс.
руб., Рn = Р8 = 50 тыс. руб., получим = 320 – 50 = 270 тыс. руб. При осуществлении схемы равномерной амортизации стоимость уменьшается ежегодно на одну и ту же величину 
= 33,75 тыс. руб. и таблица принимает вид:
| Год службы | Амортизационные отчисления за год, тыс. руб. | Стоимость на конец года, тыс. руб. |
| 33,75 | 286,25 | |
| 33,75 | 252,5 | |
| 33,75 | 218,75 | |
| 33,75 | ||
| 33,75 | 151,25 | |
| 33,75 | 117,5 | |
| 33,75 | 83,75 | |
| S | 33,75 |
Остаточные стоимости, представленные в таблице, образуют арифметическую прогрессию с первым членом 320 и разностью-33,75.
б) Рассмотрим теперь схему ускоренной амортизации в соответствии с “правилом 78”. Обозначим:
Суть зтой схемы заключается в следующем: в конце первого
года стоимость имущества уменьшается на 
-ю часть величины ; в конце второго года – на 
-ю часть величины
в конце третьего года – на 
-ю часть величины и т.д. до
n -го года, в конце которого стоимость имущества уменьшается
на 
ю часть величины . Поскольку
1 2 …… 8= 
8 = 36, то для составления таблицы необходимо величину последовательно умножать на 
тыс. руб 
тыс. руб
= 46 тыс. руб. и т.д. Поэтому стоимость станка, напри-36
мер, на конец первого года составит: 320 – 60 – 260 тыс. руб.; на конец второго года – 260 – 52,5 = 207,5 тыс. руб. Продолжая вычисления аналогичным образом, получим таблицу:
| Год службы | Амортизационные отчисления за год, тыс. руб. | Стоимость на конец года, тыс. руб. |
| 52,5 | ||
| 162,5 | ||
| 37,5 | ||
| 22,5 | 72,5 | |
| 57,5 | ||
| 7,5 |
Очевидно, амортизационные отчисления, представленные в таблице, образуют арифметическую прогрессию с первым членом 60 и разностью (-7,5). Относительно значений остаточных стоимостей такого вывода, конечно, сделать нельзя.
Задачи
1.4.1. Товар стоимостью 2,7 тыс. руб. продается в кредит на 3 года под простую процентную ставку 16% годовых с равными ежеквартальными погасительными платежами. Проценты начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основному долгу в момент открытия кредита. Определите долг с процентами, проценты и величину разового погасительного платежа.
1.4.2. Товар стоимостью 4 тыс. руб. продается в кредит на 2 года под простую процентную ставку 20% годовых с равными ежеквартальными погасительными платежами. Проценты начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основному долгу в момент открытия кредита. Определите долг с процентами, проценты и величину разового погасительного платежа. С помощью “правила 78 ” составьте план погашения кредита.
1.4.3. Покупатель приобретает музыкальный центр, стоимость которого 14,6 тыс. руб. Он уплатил сразу 3 тыс. руб., а на остальную сумму получил кредит на 9 месяцев под простую процентную ставку 12% годовых с ежемесячными равными погасительными платежами. Определите долг с процентами, проценты и величину разового погасительного платежа, если проценты начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основному долгу в момент открытия кредита. С помощью “правила 78” составьте план погашения кредита.
1.4.4. Товар стоимостью 5,4 тыс. руб. продается в кредит на 3 года под процентную ставку 15% годовых с полугодовыми погасительными платежами, причем начисляются простые проценты. Составьте план погашения кредита с учетом того, что долг с течением времени уменьшается и процентные платежи за пользование потребительским кредитом рассчитываются каждый раз на оставшуюся часть долга. Сам же основной долг выплачивается равными суммами.
1.4.5. Фирма предлагает бытовую технику и компьютеры в кредит на срок до 6 месяцев с первым взносом не менее 33% от стоимости товара и ежемесячными погасительными платежами. Простая процентная ставка по кредитам – 2,5% в месяц. Покупатель приобретает компьютер стоимостью 8,4 тыс. руб., заплатив 45% его стоимости и оформив кредит на 5 месяцев. Составьте план погашения кредита с учетом, что долг с течением времени уменьшается и процентные платежи за пользование кредитом рассчитываются каждый раз на оставшуюся часть долга. Сам же основной долг выплачивается равными суммами.
1.4.6. Клиент обратился в банк 9 апреля с целью получения кредита под залог двухсот ценных бумаг, причем курсовая стоимость каждой ценной бумаги на этот день составляет 1000 руб. Банк предоставляет кредит под 25% годовых на 3 месяца в размере 80% курсовой стоимости ценных бумаг. В контракте с клиентом оговаривается, что затраты банка на обслуживаниедолга составляют 1% от номинальной суммы кредита и удерживаются вместе с процентным платежом в момент предоставления кредита. В случае просрочки выплаты долга клиент рассчитывается с банком за каждый лишний день по ставке 30% годовых. Найдите величину кредита, который получит клиент. Если клиент возвратит долг только 30 июля, то какую сумму ему придется дополнительно выплатить за просроченные дни? При расчетах, связанных с обслуживанием кредита под залог материальных ценностей, банк использовал обыкновенные проценты с точным числом дней.
1.4.7. Предпринимателю необходима сумма в 45 тыс. руб. на 2 месяца. Банк предоставит ему кредит в размере 75% от стоимости залога под 28% годовых и за обслуживание долга взыщет 450 руб. Определите величину залога, если кредит взят 10 сентября и в расчетах используются обыкновенные проценты с точным числом дней.
1.4.8. Банк предоставил предпринимателю кредит на 3 месяца (с 20 мая по 20 августа) под залог двухсот пятидесяти ценных бумаг. Курсовая стоимость каждой ценной бумаги на день выдачи кредита составляет 100 руб. Кредит предоставлен под процентную ставку 20% годовых, и его сумма составляет 80% вели-чяны залога. Затраты банка на обслуживание долга в размере 1% от номинальной суммы кредита были удержаны вместе с начисленными процентами в момент предоставления кредита. Предприниматель 20 августа выплатил банку только 10 тыс.
– руб. Банк согласился на продление погашения кредита еще на три месяца под 24% годовых, не взимая сразу при этом начисленные проаенты на остаток долга. Найдите величину кредита, полученного предпринимателем, и определите, какую сумму предприниматель должен будет выплатить банку 20 ноября. При расчетах, связанных с обслуживанием кредита под залог материальных ценностей, банк использовал обыкновенные проценты с точным числом дней.
1.4,9. Банк предоставил кредит в размере 80% от стоимости залога под процентную ставку 20% годовых, а за обслуживание долга удержал 1% от номинальной суммы кредита при его выдаче. На какой срок получил кредит клиент, если банк ему выдал 20 760 руб., а величина залога составляет 30 тыс. руб.? В расчетах банк применяет обыкновенные проценты.
1:4.10. Туристическая фирма приобрела микроавтобус за 42 тыс. руб. Полагая, что срок службы микроавтобуса б лет, составьте таблицу уменьшения его стоимости по годам. Рассмотрите два случая: а) уменьшение стоимости микроавтобуса происходит равномерно; б) уменьшение стоимости микроавтобуса происходит в соответствии с “правилом 78”.
1.4,11. Фирма приобрела оборудование за 950 тыс. руб. Срок службы оборудования – 10 лет, после чего фирма намеревается реализовать изношенное оборудование за 70 тыс. руб. Составьте таблицу уменьшения стоимости оборудования по годам. Рассмотрите два случая: а) уменьшение стоимости оборудования происходит равномерно; б) уменьшение стоимости оборудования происходит в соответствии с “правилом 78”.
§
Основные положения
• На практике периодически возникают задачи, связанные с переоформлением финансовых соглашений на новых условиях или с заменой нескольких финансовых сделок на одну. Одним из методов решения такого типа задач при применении простых процентов является вычисление средних значений срока, ставки
и капитала.
• Средним сроком называется срок, на который необходимо предоставить несколько капиталов под соответствующие ставки с целью получения такого же дохода, как и при предоставлении этих же капиталов под соответствующие эти же ставки на исходные разные сроки.
• Средней ставкой называется ставка, под которую необходимо предоставить несколько капиталов на соответствующие исходные сроки с целью получения такого же дохода, как и при предоставлении этих же капиталов на соответствующие эти же сроки, но под разные ставки.
• Средним капиталом называется капитал, который приносит такой же доход по соответствующим ставкам и за соответствующие им сроки, что и исходные капиталы по тем же ставкам за соответствующие им сроки. • Одним из подходов к определению стоимости привлеченных средств в условиях применения простых процентов является нахождение ставки через взвешенную сумму ставок, под которые эти средства были привлечены. Обычно указанная стоимость (ее еще называют средневзвешенной стоимостью) выражается в виде средней простой процентной ставки без учета сроков использования средств, т.е. весом для каждой ставки служит доля соответствующего привлеченного капитала, которую он составляет в общей сумме привлеченных средств.
• Доходность (средневзвешенная) выданных под простые проценты средств определяется аналогичным образом, как и стоимость привлеченных средств, в виде взвешенной суммы -ставок, под которые эти средства были выданы. Как правило, средневзвешенная доходность выражается средней простой процентной ставкой без учета сроков, на которые выдавались средства.
Вопросы для обсуждения
1 По какой формуле определяется средний срок кредита в условиях применения простых процентов?
2 По какой формуле определяется средняя процентная ставка?
3 Что такое средняя величина кредита?
4 Поясните фразу: “Средняя процентная ставка является взвешенной суммой исходных процентных ставок”.
5 Каким образом определяются одновременно две средние вели^ чины в условиях применения простых процентов (например, средний срок кредита и средняя процентная ставка)?
6 Пусть даны простые годовые процентные ставки, под которые взяты кредиты, а соответствующие сроки даны в месяцах. Можно ли найти средний срок сразу в месяцах, не переводя исходные сроки в годы?
7 Что произойдет со средним сроком, если каждый исходный срок умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю?
8 Что произойдет со средним сроком, если каждый исходный срок изменить на одно и то же время?
9. В каком случае средний срок будет равен просто среднему арифметическому исходных сроков?
10. Верно ли утверждение, что средняя процентная ставка не изменится, если каждый исходный срок умножить на одно и то же число или изменить на одно и то же время?
11. Как могут характеризовать работу банка средняя процентная ставка и средний срок кредита?
12. Могут ли значительно отличаться средние значения, найденные по разным формулам как взвешенные суммы исходных значений? Если да, то почему это происходит?
13. Если простые проценты взыскиваются при выдаче ссуд, то какими формулами надо пользоваться при отыскании средних значений?
14. Можно ли при использовании соответствующей формулы значение средней ставки сразу получать в процентах?
15. Каким образом можно определить стоимость привлеченных средств?
16. Какие величины, как правило, выступают в качестве весов в формуле определения стоимости привлеченных средств?
17. Каким образом можно определить доходность выданных средств?
18. Сравните между собой доходность выданных средств под простые проценты для кредитора и стоимость привлеченных средств для заемщика. В чем их сходство и отличие?
§
Пример 1.5.1.Предприятие получило следующие кредиты под разные простые процентные ставки:’36 тыс. руб. на 240 дней под 35% годовых; 28 тыс. руб. на 150 дней под 32% годовых; 60 тыс. руб. на 100 дней под 38% годовых; 52 тыс. руб. на 80 дней под 34% годовых. Определите: а) средний срок кредита; б) среднюю процентную ставку; в) средний срок и среднюю процентную ставку одновременно; г) среднюю величину кредита.
Решение,а) Вначале сделаем некоторые замечания по поводу использования формулы (32), представляющей один из вариантов определения среднего срока кредита. Конечно, в формуле периоды пк измеряются в любых единицах времени (годы, кварталы, месяцы, дни и т.д.), согласованных с размерностями соответствующих процентных ставок ik (годовые, квартальные, месячные, дневные и т.д.). Однако вид формулы (32) позволяет определять средний срок, не особенно заботясь о согласовании размерностей исходных сроков и процентных ставок. Так, если, например, сроки пк даны в днях (вообще в любых, но единых для всех сроков единицах времени), a ik представляют собой годовые процентные ставки, то, не занимаясь переводом пк в годы, по формуле (32) сразу получаем средний срок л в днях. Аналогичные соображения можно высказать и в связи с применением формул (30), (34), (36).
Полагаем 
= 36 тыс. руб., 
= 28 тыс. руб., P3 = 60 тыс. руб., 
= 52 тыс. руб. Несмотря на то что i1 = 035; i2 – 032; i3 = 038 и i4 = 034 – годовые процентные ставки, в соответствии со сказанным выше, средний срок будем измерять в днях, а исходные сроки переводить в годы не будем, т.е. =240 дней, 
=150 дней, 
= 100 дней, 
= 80 дней. По формуле (32) получим:
дня
т.е. 
= 130 дней.
Если же срок каждого кредита измерять в годах, считая, что в году 360 дней, то =0,667 года, =0,417 года, n3 =0,278 года, = 0,222 года и
= 0,361 года,
или = 0,361* 360 = 129,96 дня, т.е. = 130 дней. Естественно, получили тот же самый результат.
Для проверки правильности результата найдем начисляемые проценты на каждый кредит при исходных сроках, считая в году 360 дней, и сложим эти проценты:
Теперь найдем сумму процентов при замене всех сроков на средний срок:
= 22,396 тыс. руб.
Теперь найдем сумму процентов при замене всех сроков на средний срок:
36*0.61*0.35 28*0.361*0.32 60*0.361*0.38 52*0.361*0.34=22.396 тыс.руб
Таким образом, получили (в пределах точности вычислений) одну и ту же сумму – 22,4 тыс. руб. Если исходный срок каждого кредита в годах взять с большим количеством знаков после запятой, то сумма начисляемых процентов на каждый кредит при исходных сроках составит 22,396 тыс. руб.
Формулу (32) можно записать и таким образом:
т.е. средний срок равен взвешенной сумме исходных сроков, где весом для каждого срока пк служит доля-произведения Рк ik,
которую оно составляет от общей суммы 
причем очевидно, что сумма всех весов обязательно равна единице. Выполняя вычисления для данного случая, получим:
= 0,2031 0.1444 пг 0.3675 n3 0.2850
Конечно, 0,2031 0,1444 0,3675 0,2850 = 1. Заметим, что из-за приближенных вычислений сумма весов может незначительно отличаться от единицы.
б) Как и в пункте а), измеряя сроки в днях, воспользуемся
формулой (30):
22,404 тыс. руб.
или 35,05%. Записывая формулу (30) таким образом:
получаем представление i в виде взвешенной суммы процентных ставок. Для нашего случая:
Обратим внимание на тот факт, что, применяя формулы (29), (30), (33) и (34), ставки можно выражать как в десятичных дробях, так и в процентах. Это утверждение следует из вида формул. Если, в частности, исходные ставки даны в процентах, то в результате применения формул соответствующие ставки сразу будут выражены в процентах.
в) В этом случае нельзя одновременно применять формулы (30) и (32). Можно показать, что если средний срок кредита рассчитывается по формуле (32), то среднюю процентную ставку надо рассчитывать по формуле (29). А если средняя процентная ставка находится по формуле (30), то средний срок кредита надо находить по формуле (31). Обычно время учитывается при расчете среднего срока кредита. Следовательно, воспользуемся формулами (32) и (29). По формуле (32) = 130 дней, а по формуле (29):
= 36* 0,35 28 *0,32 60*0,38 52*0,34
36 28 60 52 =0.3525
т.е. отличается от 35,05% – средней процентной ставке, найденной в предыдущем пункте. Заметим, что, применяя формулу (29), мы фактически решаем следующую задачу: найти среднюю процентную ставку, когда кредиты выданы на одинаковый срок (130 дней).
Если бы применяли формулы (30) и (31), то =35,05% и =130,68 дней или =131 день.
По существу задача одновременного определения среднего срока кредита и средней процентной ставки имеет бесчисленное
множество решений, так как величины ЙиГ можно находить просто из равенства начисленных процентов:
(36 28 60 52) * =22,40,т.е. * = 0.1273.
Определяя подходящим образом , находим (или наоборот). Только надо учитывать соответствие размерностей и . Так, если измеряется в годах, то – годовая процентная ставка; если я измеряется в днях, то – дневная процентная ставка и т.п. Например, пусть = 130 дней, тогда
= 0,0009792,
т.е. = 0,09792% в день, или, умножая на 360, получаем 35,25%
в год.
г) Среднюю величину кредита можно определить по формуле, аналогичной формулам (30) и (32):
Подставляя вместо букв численные значения, находим, что = 40,884 тыс. руб.
Подобным образом, как и в предыдущем пункте, можно одновременно находить среднюю величину кредита и среднюю процентную ставку или одновременно находить среднюю величину кредита и средний срок, но эти задачи на практике встречаются реже, чем задача определения среднего срока и средней процентной ставки.
В разобранном примере значения средней процентной ставки, найденной по различным формулам, не отличались значительно друг от друга. Но так бывает не всегда.
Пример1.5.2. Выданы следующие кредиты под простые процентные ставки: 340 тыс. руб. на 1 день под 20% годовых и 1 тыс. руб. на 340 дней под 40% годовых. Сравните между собой средние процентные ставки, определенные разными способами.
– = 0,2006,
Решение. Пусть = 340 тыс. руб., Рг = 2 тыс. руб., = 1 день, пг = 340 дней, 
= 0,2, 
= 0.4
Если воспользоваться формулой (29), то:
а если применить формулу (30), то:
Таким образом, , найденное по формуле (29), практически совпадает с одной из исходных процентных ставок = 20%; a , найденное по формуле (30), является средним арифметическим! ставок = 20% и i2 = 40% . Это хорошо видно из представления! средней ставки в виде взвешенной суммы исходных ставок:
а) для формулы (29) = 0,9971 0,0029 i2;
б) для формулы (3 0) = 0,5 0,5 i2.
Пример1.5.3. Заемщик взял 27 января у одного кредитора под одну и ту же простую процентную ставку в 40% суммы в размере 10 тыс. руб., 6 тыс. руб., 20 тыс. руб. и 16 тыс. руб. со сроками погашения соответственно 1 марта, 14 мая, 25 июня и 18 августа того же года. Определите средний срок погашения всех ссуд и сумму, которую заемщик должен будет отдать кредитору, если в расчет принимаются точные проценты с точным числом дней и согласно соглашению для кредитора важно только то, чтобы величина начисленных процентов оставалась неизменной. Год невисокосный.
Решение.Всего заемщик взял у кредитора сумму в 52 тыс. руб. Считая, что на эту сумму сразу начисляются проценты и так как = = i3 = i4 = 0,4, по любой формуле для определения средней процентной ставки получим = 0,4.
Несмотря на то что процентные ставки , , 
, 
=0.4 являются годовыми, в соответствии со сделанными выше замечаниями средний срок погашения всех ссуд будем измерять в днях и отсчитывать от дня первого планового платежа, т.е. = 0, =74, =116, n4 =170. Взятые суммы измеряем в тыс. руб.:
=10, Р2 =6, 
=20, =16. Следовательно, сразу воспользовавшись формулой (31), являющейся в этой ситуации частным случаем формулы (32), получаем:
= 105,46 
106 дней.
Отсчитывая от 1 марта 106 дней, получим 15 июня – дату, когда заемщик может отдать единовременно весь долг.
Поскольку кредитор выдал суммы 27 января, найдем, что 15 июня заемщик должен отдать долг в размере:
тыс. руб
Если бы в расчет принимались обыкновенные проценты с точным числом дней, то средний срок погашения ссуды остался бы тот же (т.е. 15 июня – дата единовременного возврата долга), однако размер возвращаемой суммы, естественно, увеличился:
= 60,031 тыс. руб.
Пример 1.5.4.Банк собирался выдать ссуды в размере 15 тыс. руб., 25 тыс. руб. и 20 тыс. руб. на сроки соответственно 2, 6 и 9 месяцев под простые ставки 36, 40 и 44% годовых, причем проценты удерживались сразу. Под какую единую ставку банк согласится выдать эти ссуды, если он намерен взыскать при выдаче ссуд ту же величину процентов, как в первоначальном контракте с клиентом? Чему будет равен средний срок ссуды при таком изменении контракта?
Решение.Так как банк сразу удерживает проценты, то клиент на руки получает меньшую по величине ссуду, чем объявлено банком. Например, при ссуде 20 тыс. руб. на 9 месяцев под простую ставку 44% годовых клиент получает 20(1-0,75-0,44) = 13,4 тыс. руб. и должен будет вернуть банкучерез 9 месяцев 20 тыс. руб., т.е. на сумму 13,4 тыс. руб. в течение полугода фактически происходит наращение по простой учетной ставке 40%. Таким образом, при определении новой ставки можно воспользоваться формулой (34) определения среднего значения простой учетной ставки. Измеряя ссуды в тыс. руб., а сроки – в месяцах, полагаем 
=15, 
=25, 
=20; =2, п2 = 6, п3 =9; dl =0,36, d2 =0,4, d3 = 0,44. Отсюда:
или 41.67%
Поскольку уже определена средняя ставка, то для нахождения среднего срока воспользуемся формулой (35):
= 6 месяцев.
Если же, как это обычно делается, время учитывать при определении среднего срока, то по формулам (36) и (33) получим:
= 6.2 месяца;
или 40.33%
Пример 1.5.5. Банк выдает предпринимателю три ссуды соответственно на 180, 300 я 240 дней под простые ставки 38, 45 я 40% годовых. После того как банк при выдаче ссуд взыскал простые обыкновенные проценты, предприниматель получил на руки суммы 30 тыс., 20 тыс. и 50 тыс. руб. Определите средний срок ссуды.
Решение. Поскольку проценты удержаны сразу, то на выданные суммы по существу происходит наращение по соответствующим учетным ставкам. Пусть = 30 тыс. руб., =20 тыс. руб., = 50 тыс. руб., 
= 0,38, d2 = 0,45, d3 = 0,4. Воспользуемся формулой (36). Можно либо в ней заменить Fk на 
, либо вначале найти Fk = ,, а затем применить формулу (36).
Поступим в соответствии с последним способом, т.е. вначале найдем суммы, которые надо вернуть банку. Обратим внимание, что в данном случае при вычислениях исходные сроки необходимо
перевести в годы: =180/360 = 0,5 года, п2 =300/360 = 0,833 года, =40/360 = 0,667 года. Применяя формулу (20), получим:
= 37,037 тыс. руб.;
= 31,992 тыс. руб.;
= 68,194 тыс. руб.
1-0,667 0,4
А теперь воспользуемся формулой (36), причем для упрощения расчетов заметим, что 
Следовательно
года
т.е = 360 *0,668 = 240,48 дня. Округляя, получим средний срок
ссуды, равный 241 дню.
Полезно представлять себе и другой способ решения. Можно вначале определить по формуле (25) эквивалентные простые процентные ставки:
= 0,4691;
= 0,5456,
= 0,7198;
а затем воспользоваться формулой (30):
= 0,668 года.
Пример 1.5.6.Банк использовал в течение 4 месяцев депозиты на суммы 40, 20 и 80 тыс. руб., размещенные соответственно на 1, 2 и 1 месяц по простым процентным ставкам 34, 30 и 42% годовых. Определите стоимость привлеченных средств за 4 месяца для банка в виде средней годовой процентной ставки.
Решение.Полагаем = 40 тыс.руб 
тыс. руб., = 80 тыс. руб.; = 34% ; i2 m 30%; = 2% и воспользуемся формулой (29). Так как исходные ставки берем в процентам(а это, как уже отмечалось, благодаря виду формулы можно сделать), то и результат получим в процентах:
Заметим, что другой способ определения стоимости привлеченных средств основан на использовании формулы (23), где через Р обозначена использованная сумма средств; через F-P – проценты, выплаченные за использование суммы Р в течение времени л. Таким образом, эта стоимость (обозначим ее через 
) определяется по формуле
Поскольку для любого к = 1,2…m cправедливо 
показать, что для из формулы (29) выполнено неравенство 
. Если 
, для любого к = 1,2,„.,m, то 
В нашем примере 
= 1 месяц, 
= 2 месяца, 
= I месяц, n = 4 месяца, поэтому
Бели бы все депозиты были размещены в течение 4 месяцев, то получили бы 
38%.
В ситуации, когда банк выдает денежные средства, ставки я определяют доходность для банка выданных средств. Величину называют также средневзвешенной доходностью.
Задачи
1.5.1. Заемщик взял 18 мая у одного кредитора под одну и ту же простую процентную ставку в 30% суммы в размере б тыс. руб., 4 тыс. руб., 3,5 тыс. руб. и 12 тыс. руб. со сроками погаше-
ния соответственно 20 июня, 18 августа, 30 сентября и 14 октября того же года. Определите средний срок погашения всех ссуд и сумму, которую заемщик должен будет отдать кредитору, если в расчет принимаются: а) обыкновенные проценты с точным числом дней; б) точные проценты с точным числом дней, и согласно соглашению дли кредитора важно только то, чтобы величина начисленных процентов оставалась неизменной. Год невисокосный.
1.5.2. Предприятие получило следующие кредиты под разные простые процентные ставки: 40 тыс. руб. на 7 месяцев под 30% годовых, 60 тыс. руб. на 9 месяцев под 36% годовых и 30 тыс. руб. на 4 месяца под 26% годовых. Определите: а) средний срок кредита; б) среднюю процентную ставку; в) средний срок и среднюю процентную ставку одновременно; г) среднюю величину кредита. В расчетах полагать год равным 360 дням.
1.5.3. Выданы следующие кредиты под простые процентные ставки: 150 тыс. руб. на 2 дня под 15% годовых и 2 тыс. руб. на 300 дней под 25% годовых. Определите двумя способами средние процентные ставки.
1.5.4. Выданы три кредита под разные простые процентные ставки: 42,5 тыс. руб. на 100 дней под 40% годовых, 37 тыс. руб. на 140 дней под 30% годовых и третий кредит на 200 дней под 60% годовых. Найдите величину третьего кредита, если средняя процентная ставка составляет 50%.
1.5.5. Выданы три кредита под разные простые процентные ставки: 35 тыс. руб. на 133 дня под 45% годовых, 19,5 тыс. руб. на 275 дней под 30% годовых и 42,75 тыс. руб. на 111 дней. Найдите величину процентной ставки, под которую выдан третий кредит, если средний срок кредита составляет приблизительно 139 дней.
1.5.6. Банк собирался выдать ссуды 10 тыс. руб., 40 тыс. руб. и 20 тыс. руб. на сроки соответственно 2, 5 и 7 месяцев под простые ставки 34, 40 и 42% годовых, причем проценты удерживались сразу. На какой единый срок банк согласится выдать эти ссуды, если он намерен взыскать при выдаче ссуд ту же величину процентов, как в первоначальном контракте с клиентом? Чему будет равна средняя ставка при таком изменении контракта?
1.5.7. Банк выдает клиенту три ссуды соответственно на 120, 270 и 150 дней под простые ставки 38, 45 и 42% годовых. После того как банк при выдаче ссуд взыскал простые обыкновенныепроценты, клиент получил на руки суммы 10 тыс. руб., 16 тыс. руб. и 24 тыс. руб. Определите: а) средний срок ссуды; б) среднюю ставку; в) средний срок и среднюю ставку одновременно; г) среднюю величину ссуды.
1.5.8. Банк использовал в течение полугода депозиты на суммы 50, 30 и 90 тыс. руб., размещенные соответственно на 3, 1 и 2 месяца. Депозиты размещены по простым процентным ставкам соответственно 26, 20 и 32% годовых. Определите стоимость привлеченных средств за полгода для банка в виде средней годовой процентной ставки. Каким еще образом можно оценить стоимость привлеченных средств?
1.5.9. Банк в течение 4 месяцев выдавал следующие одномесячные кредиты на условиях начисления простых процентов: 80 тыс. руб., 30 тыс. руб., 70 тыс. руб. и 20 тыс. руб. соответственно по процентным ставкам 38, 32, 35 и 30% годовых. Определите средневзвешенную доходность кредитных операций за 4 месяца.
1.5.10. Банк в течение 4 месяцев выдал четыре одномесячных кредита на условиях начисления простых процентов соответственно по процентным ставкам 30, 24, 26 и 20% годовых. Средневзвешенная доходность кредитных операций за все время оказалась равной 26,625%. Определите величины кредитов, если первый из них больше на 20 тыс. руб. второго, на 10 тыс. руб. третьего и на 50 тыс. руб. четвертого кредита.
Валютные расчеты
Основные положения
В(процессе взаимного обмена национальных валют устанавливается их курс, представляющий собой цену денежных единиц одной страны, выраженную в денежных единицах другой страны. Само определение курса валют называется их котировкой. Полная котировка предполагает определение курса покупателя (покупки) и курса продавца (продажи), согласно которым банки покупают и продают валюту. Единица низшего разряда установленной котировки называется пунктом.
Курс валют в зависимости от формы его выражения называется обменным или девизным. Обменный курс показывает, сколько единиц отечественной валюты можно получить в обмен на единицу иностранной, т.е. это цена иностранной валюты, выраженная в единицах отечественной валюты. Девизный курс, являясь обратной величиной к обменному, показывает, сколько единиц иностранной валюты можно получить за единицу отечественной, т.е. это цена отечественной валюты, выраженная в единицах иностранной валюты. Определение обменного курса также называют прямой котировкой, а девизного курса – косвенной котировкой.
• Кроме обменного и девизного используются также и кросс-курсы валют, представляющие собой соотношения между двумя валютами, следующие из их курсов по отношению к некоторой
третьей валюте.
• Девизы называются конвертируемыми, если есть возможность их свободного обмена (конверсии) на валюту других стран по действующему курсу.
• Финансовая операция, связанная с инвестированием денежных средств в валюте, в общем виде представляет собой последовательность следующих действий: конвертирование средств в другую валюту; размещение на рынках финансовых инструментов полученных средств на некоторый срок; обратная конвертация средств, полученных от инвестирования, в исходную (или иную) валюту.
Вопросы для обсуждения
1. Что понимается под курсом валюты?
2. Что такое котировка валют? Из чего состоит полная котировка валют?
3. Что означает термин “девизы”? Что показывает девизный
курс?
4. Как называется единица низшего разряда объявленной котировки валют?
5. Чем отличается обменный курс от девизного? Можно ли, зная обменный курс, указать девизный, и наоборот?
6. Каким еще образом называют обменный и девизный курсы? 7. Какие девизы называются конвертируемыми?
8. Как соотносятся между собой до величине курсы покупки и продажи валюты при прямой котировке?
9. Как соотносятся между собой по величине курсы покупки и продажи валюты при косвенной котировке?
10. Как определяется кросс-курс валют?
11. Выгодно ли российским экспортерам снижение курса рубля по отношению к доллару?
12. В каких случаях выгоднее пользоваться рублевым депозитом, а в каких – валютным?
13. Как можно определить в общем виде финансовую операцию, связанную с инвестированием денежных средств в валюте?
14. Может ли финансовая операция “конвертация – наращение -конвертация” дать отрицательную доходность в виде годовой простой процентной ставки?
15. Поясните, в каких случаях наращение, осуществляемое на валютном депозите, совпадает с результатом финансовой операции “конвертация – наращение – конвертация”.
§
Пример 1.6.1.В обменном пункте Санкт-Петербурга в начале декабря 1998 г. установлена следующая котировка немецкой марки к рублю: покупка – 10,76 руб., продажа – 12,24 руб. Определите: а) сколько рублей будет получено при обмене 230 немецких марок; б) какое количество немецких марок можно приобрести на 4284 руб.
Решение,а) Для перевода суммы в иностранной валюте (230 немецких марок) в эквивалентную ей сумму в национальной валюте (рубли) необходимо умножить ее на курс покупки:
230*10,76 = 2474,8 руб.
б) Для перевода суммы в национальной валюте (4284 руб.) в эквивалентную ей сумму в иностранной валюте (немецкие марки) необходимо ее разделить на курс продажи:
= 350 немецких марок.
В условии примера указана прямая котировка валюты (обменный курс). Косвенная же котировка в данном случае составляет:
покупка : 1 руб. – 1/10,76 = 0,0929 нем. марки
продажа: 1 руб. – 1/12,24 = 0,0817 нем. марки.
При косвенной котировке количество рублей, которое будет получено за 230 немецких марок, находится следующим образом:
= 2475,78 руб.
Полученное расхождение (в 2 копейки) с предыдущим ответом объясняется выбранной точностью вычисления. Если косвенный курс покупки (основываясь на прямой котировке) взять точнее, например 0,0929368 немецкой марки, то получим 2474,8 руб.
Заметим, что при прямой котировке валюты курс покупки меньше курса продажи, при косвенной – наоборот.
Пример 1.6.2.Банк в Санкт-Петербурге в начале декабря 1998 г. установил следующую котировку валют:
Определите: а) кросс-курс доллара США к финляндской марке; б) сколько финляндских марок можно приобрести на 200 долларов США; в) сколько долларов США можно приобрести на 2500 финляндских марок.
Решение, а) Рассмотрим операцию обмена долларов на финляндские марки. Вначале доллары обмениваются на рубли по курсу покупки 1 долл. США = 19,20 руб., а затем полученная сумма обменивается на финляндские марки по курсу продажи 1
фин. марка = 4,06 руб., т.е. 1 руб. = 
фин. марки. Таким образом, 1 долл. США = 19,20 = 4,729 фин. марки. Делаем вывод, что в этом банке кросс-курс покупки доллара США к финляндской марке равен 4,729 фин. марки за доллар. Теперь рассмотрим операцию обмена финляндских марок на доллары. Вначале финляндские марки обмениваются на рубли
по курсу покупки 1 фин. марка = 3,62 руб., т.е. 1 руб. = 
фин. марки, а затем полученная сумма обменивается на доллары по курсу продажи 1 доля. США = 20,80 руб., т.е. 1 долл. США= 20,80 = 5,746 фин. марок. Следовательно, в этом банке
3,62
кросс-курс продажи доллара США к финляндской марке равен 5,746 фин. марок за доллар.
б) Так как кросс-курс покупки доллара США к финляндской марке равен 4,729 фин. марки за доллар, то при обмене 200 долл. получим: 200*,729 = 945,8 фин. марок.
Этот же результат можно получить, конечно, и с помощью рассуждений, аналогичных выше приведенным. Действительно, вначале доллары обмениваются на рубли по курсу покупки: 200*9,20 = 3840 руб. Полученная сумма обменивается на финляндскке марки по курсу продажи: 
= 945,8 фин. марок.
в) Аналогичным образом, обменивая финляндские марки на рубли по курсу покупки и затем рубли – на доллары по курсу продажи, соответственно получаем:
2500*3,62 = 9050 руб.;
= 435.10 долл.
Поделив 2500 фин. марок на 5,746 (кросс-курс продажи доллара США к финляндской марке), приходим к тому же ответу.
Пример 1,6.3.Предприниматель обменивает имеющиеся у него немецкие марки и помещает полученную сумму на рублевом депозите сроком на полгода под простую процентную ставку 40% годовых, после чего наращенную сумму будет конвертировать опять в немецкие марки. Определите доходность такой финансовой операции в виде годовой простой процентной ставки, если курс покупки немецких марок на начало срока -9,24 руб., ожидаемый курс продажи через полгода – 10,6 руб.
Целесообразна ли эта финансовая операция, если на валютном депозите для наращения используется простая учетная ставка 12% годовых?
Решение.Обозначим имеющееся количество немецких марок через Р. Обменивая их на рубли, предприниматель получит 9,24Р руб. Через полгода наращенная сумма на рублевом депозите составит (формула (9)): 9.24Р(1 0.5*0,4) = 11,088Р руб., что
при конвертации по ожидаемому курсу продажи даст
= 1,0467 P немецких марок. Теперь по формуле (23) определяем доходность финансовой операции:
= 0,092.
Далее найдем по формуле (3) или (25) при п = 0,5 года величину простой процентной ставки, обеспечивающей такой же доход, как и учетная ставка d = 12%:
Так как доходность финансовой операции равна 9,2%, то лучше поместить немецкие марки на валютный депозит, который обеспечивает доходность в 12,77%.
Если бы через полгода курс продажи немецких марок превысил 11,088 руб., то рассматриваемая финансовая операция, связанная с конвертацией валюты, доставила бы вообще отрицательную доходность, т.е. фактически часть денежных средств была бы просто потеряна.
Пример 1.6.4.Клиент собирается поместить в банке 3000 долл. США на рублевом депозите сроком на 120 дней под 42% годовых и затем наращенную сумму будет конвертировать опять в доллары. Курс покупки долларов на начало срока – 17 руб. 30 коп., ожидаемый курс продажи через 120 дней – 19 руб. 10 коп. Процентная ставка при долларовом депозите – 18% годовых. При любом депозите начисляются простые обыкновенные проценты. Найдите наращенную сумму: а) при конвертации валюты; б) непосредственнона валютном депозите. Выясните максимальное значение курса продажи, выше которого нет смысла в конвертировании при помещении денежных средств на депозит.
Решение.Сумма, полученная при конвертации валюты, составит: 3000*173 = 51900 руб. По формуле (10) при P = 51900 руб., t = 120 дней, Т = 360 дней, r = 0,42 определяем наращенную сумму на рублевом депозите:
51900(1 0,42) = 59 166 руб.,
конвертируя которую по ожидаемому курсу продажи, клиент получит
= 3097,70 долл.
Если же он воспользуется валютным депозитом, т.е. при прямом наращении исходной суммы по долларовой процентной ставке, то получит:
3000(1 0.18) = 3180 долл.,
т.е. сумму, которая больше наращенной суммы, полученной при конвертации. Таким образом, при ожидаемом курсе продажи 19 руб. 10 коп. за доллар валюту не имеет смысла конвертировать.
Такой же вывод можно сделать, определяя доходность финансовой операции “конвертация – наращение – конвертация” в виде годовой простой процентной ставки по формуле (23):
Конечно, доходность 9,77% существенно меньше ставки 18% при долларовом депозите. Заметим, что доходность, естественно, можно найти и не зная величины суммы, помещаемой на депозит.
Максимальное значение ожидаемого курса продажи К* , выше которого нет смысла в конвертировании при помещении денежных средств на депозит, должно быть такой величины, которая при конвертации 59 166 руб. дает 3180 долларов. Т.е.
К* определяется из уравнения 3180=59 166/К*, решая которое находим:
К* =18,61 руб.
Значение К* можно найти, и не используя величину суммы, помещаемой на депозит, а зная только процентные ставки на депозитах и курс покупки:
К* = 
руб.
Задачи
1.6.1. Банк в Санкт-Петербурге 9 ноября 1998 г. установил следующую котировку доллара США к рублю: покупка – 15,40; продажа- 16,50. Определите: а) сколько рублей будет получено при обмене 150 долл.; б) какое количество долларов можно приобрести на 3,3 тыс. руб.
1.6.2. Банк в Санкт-Петербурге 9 ноября 1998 г. установил следующую котировку итальянской лиры: покупка – 8,30 руб. за 1000 лир, продажа – 9,25 руб. за 1000 лир. Определите: а) сколько рублей будет получено при обмене 26 тыс. лир; б) какое количество лир можно приобрести на 888 руб.
1.6.3. Банк в Санкт-Петербурге 9 ноября 1998 г. установил следующую котировку валют:
Определите: а) кросс-курс доллара США к немецкой марке; б) сколько немецких марок можно приобрести на 240 долл.; в) сколько долларов США можно приобрести на 873 немецкие марки.
1.6.4. Банк в Санкт-Петербурге 9 ноября 1998 г. установил следующую котировку валют:
Клиент имеет 250 фунтов стерлингов, 320 немецких марок и 550 французских франков. Какое количество долларов США он сможет приобрести, используя всю имеющуюся валюту?
1.6.5. Известны следующие курсы валют на 7 декабря 1998 г.:
Определите кросс-курс французского франка к рублю.
1.6.6. Известны следующие курсы валют на 7 декабря 1998 г.
Определите кросс-курс немецкой марки к французскому франку.
1.6.7. Доллары США были приобретены 1 августа 1998 г. по курсу 6 руб. 34 коп. за доллар. Минимальный и максимальный курсы покупки банками долларов 6 ноября 1998 г. составляли 14 руб. 20 коп. и 15 руб. 70 коп. за доллар. Какова эффективность вложения рублей в доллары в виде: а) годовой процентной ставки; б) годовой учетной ставки (при способе 365/365)?
1.6.8. Клиент собирается поместить в банке 1500 долл. на рублевом депозите сроком на полгода под 36% годовых и затем наращенную сумму будет конвертировать опять в доллары. Курс покупки долларов на начало срока – 15 руб.2О коп., ожидаемый курс продажи через полгода – 18 руб. 60 коп. Процентная ставка при долларовом депозите – 12% годовых. При любом депозите начисляются простые проценты. Найдите наращенную сумму: а) при конвертации валюты; б) непосредственно на валютном депозите. Выясните максимальное значение курса продажи, выше которого нет смысла в конвертировании при помещении денежных средств на депозит.
1.6.9. Клиент, имея сумму в размере 20 тыс. руб., предполагает поместить ее на валютном (долларовом) депозите на 9 месяцев под 14% годовых и затем обменять полученную сумму на рубли. Выясните целесообразность (в абсолютных и относительных показателях) этой финансовой сделки с банком, если
I
курс продажи долларов на начало срока – 16 руб.15 коп., ожидаемый курс покупки через 9 месяцев – 19 руб. 10 коп. Процентная ставка при рублевом депозите – 38% годовых. При любом депозите начисляются простые обыкновенные проценты.
1.6.10. Предприниматель обменивает имеющиеся у него доллары США и помещает полученную сумму на рублевом депозите сроком на три месяца под простую процентную ставку 42% годовых, после чего наращенную сумму будет конвертировать опять в доллары. Определите доходность такой финансовой операции в виде годовой простой процентной ставки, если курс покупки долларов на начало срока- 17,14 руб., ожидаемый курс продажи через три месяца – 18,2 руб. Целесообразна ли эта финансовая операция, если простая процентная ставка при долларовом депозите равна 14% годовых?
1.6.11. Господин N 28 августа 1998 г. имеющиеся у него немецкие марки обменивает на рубли и полученную сумму помещает в банк на срок до 26 декабря 1998 г. на условиях начисления простых процентов. После закрытия счета господин N конвертирует наращенную сумму опять в немецкие марки. Какова будет доходность такой финансовой операции в виде годовой простой процентной ставки при различных способах начисления простых процентов, если применяется процентная ставка 60% годовых и год невисокосный? Курс покупки немецких марок на начало срока – 9 руб. 60 коп., ожидаемый курс продажи в конце декабря – 11 руб. 20 коп.
1.6.12. Господин N 6 тыс. руб. конвертирует в доллары США, помещает их на валютном депозите сроком на 3 месяца под простую учетную ставку 12% годовых и полученную наращенную сумму обменивает на рубли. Какова будет доходность такой финансовой операции в виде годовой учетной ставки, если курс продажи долларов США на начало срока – 16 руб. 20 коп., а ожидаемый через 3 месяца курс покупки – 17 руб. 10 коп.? Какую сумму в рублях надеется получить господин N?
1.6.13. Предприниматель собирается свободную сумму в 4000 долл. поместить на рублевый или долларовый депозит на три месяца, причем и в том и в другом случае проценты начисляются по простой учетной ставке. Курс покупки долларов на начало срока – 16 руб. 40 коп., ожидаемый курс продажи через три месяца – 17 руб~. 80 коп. Определите наращенную сумму: а) при конвертации валюты; б) непосредственно на валютномдепозите, если учетные ставки при рублевом и долларовом депозитах соответственно равны 42 и 16%. Как следует поступить предпринимателю?
1.6.14. Господин N 1 августа 1998 г. поместил 8 тыс. руб. на трехмесячный депозит под простую процентную ставку 40% годовых. На сколько больше рублей получил бы господин N, если бы он на все деньги приобрел доллары США, а 1 ноября обменял доллары на рубли? Банк 1 августа продавал доллары США по курсу 6 руб. 38 коп. за доллар, а 1 ноября покупал доллары США по курсу 14 руб. 30 коп. за доллар, и по рублевому депозиту начислялись обыкновенные проценты с точным числом дней.
1.6.15. Балтийский банк в Санкт-Петербурге объявил о вкладах для физических лиц, которые можно сделать с 7 декабря 1998 г. по 1 февраля 1999 г. Один из вкладов – “новогодний” сроком на 3 месяца, причем в рублях – под процентную ставку 44% годовых, в долларах США – под 13% годовых. Минимальная сумма для рублевого вклада – 10 тыс. руб., для валютного -1000 долл. Вы имеете 20 тыс. руб. и намереваетесь 7 декабря сделать вклад в Балтийском банке. Курс продажи долларов США в этом банке – 20 руб. Укажите курсы покупки долларов через три месяца, при которых предпочтительнее рублевый вклад; при которых предпочтительнее валютный вклад. При любом вкладе начисляются простые обыкновенные проценты с приближенным числом дней.
Налог на прибыль
Основные положения
• Налогообложение играет большую роль в экономике любой страны. В современной рыночной экономике применяется сложная и разнообразная система налогов, обеспечивающая подавляющую часть государственных доходов.
• Налоги оказывают существенное влияние на принятие инвестиционных решений: предпочтительность того или иного инвестиционного решения определяется возможными размерами налоговых выплат.
• Физическое лицо выплачивает налог со своего совокупного дохода, в который входят прибыли из любого источника, в том числе прибыль от размещения капитала. В ряде стран облагают налогом и проценты, получаемые при помещении некоторой денежной суммы в рост.
• При прогрессивном подоходном налоге с ростом дохода его доля, изымаемая в госбюджет в форме налога, увеличивается. Такое положение обеспечивается путем разбиения суммы дохода на несколько частей, к каждой из которой применяется своя ставка налога, называемая предельной.
• Средняя ставка налога показывает величину уплаченного налога впроцентах от совокупного подлежащего налогообложению дохода.
Вопросы для обсуждения
,1. В чем заключается важность налогообложения? 2.- Каким образом налоги оказывают влияние на принятие инвестиционных решений?
3. Как определяется совокупный доход физического лица?
4. Чем отличается предельная ставка налога от средней ставки налога?
5. Какая ставка налога более важна для принятия решений по инвестициям: предельная или средняя?
6. В каких случаях средняя и предельная ставки налога совпадают?
7. Как влияет налог на проценты при наращении простыми процентами на процентную ставку?
8. Каким образом с точки зрения коммерческого учета можно интерпретировать налог на проценты при наращении по простой учетной ставке?
§
Пример1.7.1. Дана следующая (условная) схема налога на проценты:
8% с части дохода от 0 тыс. руб. до 5 тыс. руб.; 12% с части дохода от 5 тыс. руб. до 20 тыс. руб.; 16% с части дохода от 20 тыс. руб. до 40 тыс. руб.;
22% с части дохода от 40 тыс. руб. и выше.
Предприниматель получил в качестве начисленных процентов сумму 41 тыс. руб. Какой налог он должен уплатить? Чему равна в этом случае средняя ставка налога?
Решение. Разобьем 41 тыс. руб. на части, соответствующие предельным ставкам налога: 41 = 5 15 20 1. Следовательно, общая величина налога на проценты составит:
5 *0,08 15 *0.12 20 *0.1б 1 *0,22 = 5,62 тыс. руб.
Для определения средней ставки налога поделим полученную величину на 41 тыс. руб.:
= 0.13707, или 13,707%.
Таким образом, если бы ставка налога на проценты была неизменной и равной 13,707%, то величина налога на сумму 41 тыс. руб. составила бы 5,62 тыс. руб.
Средняя ставка показывает общее влияние налогов, однако предельная ставка более четко отражает ситуацию. Так, если бы величина начисленных процентов возросла бы с 41 тыс. руб. до 61 тыс. руб., то размер налога увеличился бы согласно предельной ставке 22% на сумму 20 * 0,22 =4,4 тыс. руб., а не на сумму 20*0.13707 = 2,7414 тыс. руб. в соответствии со средней ставкой.
Пример 1.7.2.Для участия в некотором проекте предпринимателю понадобится 28 тыс. руб. Между тем он располагает лишь 25 тыс. руб. С целью накопления требуемой суммы предприниматель собирается положить в банк 25 тыс. руб. Предлагаемая банком процентная ставка равна 40% годовых. Какое количество дней необходимо для накопления требуемой суммы с учетом уплаты налога на проценты, если банк начисляет простые проценты, используя в расчетах точные проценты и точное число дней, а ставка налога на проценты равна 12%? Год невисокосный. Какое будет количество дней, если налог на проценты не надо уплачивать?
Решение.Обозначим через t необходимое число дней, тогда, полагая в формуле (37) Р – 25 тыс. руб., Fq = 28 тыс. руб., п = t/365 года, r = 0,4, q = ОД2, получим уравнение относительно переменной t:
Решая это линейное уравнение, находим: t = 124,43 дня. Таким образом, 125 дней будет вполне достаточно для достижения требуемой суммы.
Бели бы не было налога на проценты, то, либо решая уравнение 28 = 25-(1 
0,4), получающееся из формулы (10), либо пользуясь непосредственно формулой (21), получим:
365=109,5 дня.
Следовательно, необходимость уплаты налога на проценты увеличивает искомый срок на 15 дней. Вообще, как видно из формулы (37), налог на проценты по существу уменьшает ставку наращения: начисление процентов фактически происходит не поставке 0,4, а по ставке 0,4(1-0.12) = 0,352, т.е. по процентной ставке 35,2% годовых, которая меньше 40%.
Заметим, что, обозначая n = и разрешая формулу (37) относительно t, получим формулу, аналогичную (21):
которой можно воспользоваться при ответе на первый вопрос примера и которая при q = 0 совпадает с формулой (21).
Пример 1.7.3.На депозит была помещена сумма в 20 тыс. руб. на 240 дней под простую учетную ставку 30% годовых. Определите наращенную сумму с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 12% и начисляются обыкновенные проценты. Если в условиях примера наращение осуществлялось по годовой процентной ставке 30%, то какова будет наращенная сумма после уплаты налога на проценты?
Решение.Пользуемся формулой (38), где Р = 20 тыс. руб.,
года d=0.3 g =0.12
тыс.руб
Без уплаты налога наращенная сумма равнялась бы (по формуле (20)) 25 тыс. руб. Формула (38) показывает, что государство как бы учитывает сумму 25 тыс. руб. за 240 дней по простой учетной ставке 0,3 • 0.12 = 0,036, что равносильно 3,6% годовых.
Если наращение осуществлялось по простой процентной ставке 30% годовых, то по формуле (37):
тыс.руб
Пример 1.7.4.Клиент положил в банк 60 тыс. руб. под простую процентную ставку 40% годовых и через полгода с учетом уплаты налога на проценты получил 70,2 тыс. руб. Определите ставку налога на проценты.
Решение.Пусть 
=70.2 тыс. руб., Р = 60 тыс. руб., n=0,5 года, r = 0,4. Разрешая формулу (37) относительно q, получим:
что эквивалентно q = 15 %.
Задачи
1.7.1. Дала следующая (условная) схема налога на проценты: 9% с части дохода от 0 тыс. руб. до 10 тыс. руб.;
13% с части дохода от 10 тыс. руб. до 25 тыс. руб.;
18% с части дохода от 25 тыс. руб. до 38 тыс. руб.;
26% с части дохода от 38 тыс. руб. и выше.
Предприниматель получил в качестве начисленных процентов сумму: а) 37,9 тыс. руб.; б) 38,1 тыс. руб. Какой налог он должен уплатить? Чему равна средняя ставка налога?
1.7.2. На депозит была помещена сумма в размере 8 тыс. руб. под 20% годовых на 15 месяцев на условиях однократного начисления простых обыкновенных процентов. Определите наращенную
сумму с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 12%.
1.7.3. Клиент банка поместил деньги на депозит под простую процентную ставку и через год получил с учетом уплаты налога на проценты 860 руб. Какая сумма была помещена на депозит, если индекс роста ее за это время без учета уплаты налога на процевты составил 1,38 и ставка налога на проценты равна 12%?
1.7.4. В результате использования простой процентной ставки индекс роста вклада за год составил 1,215. На сколько процентов за это время увеличился вклад с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 14%?
1.7.5. На депозит была помещена сумма в размере 6 тыс. руб. на полтора года, по истечении которых на сумму были начислены простые проценты по годовой учетной ставке 16%. Определите наращенную сумму с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 12%.
1.7.6. На какой срок необходимо поместить имеющуюся денежную сумму на условиях однократного начисления (по истечения срока) простых процентов по процентной ставке 35% годовых, чтобы она с учетом уплаты налога на проценты увеличилась в 2 раза, если ставка налога равна 20%? Как изменится ответ при осуществлении наращения по простой учетной ставке?
1.7.7. На какой срок необходимо поместить имеющуюся денежную сумму на условиях однократного начисления (по истечении срока) простых процентов по процентной ставке 40% годовых, чтобы начисленные проценты с учетом уплаты налога на процевты были в 1,6 раза больше первоначальной суммы, если ставка налога на проценты равна 15%? Как изменится ответ при осуществлении наращения по простой учетной ставке?
1.7.8. Вклад 50 тыс. руб. был размещен в банке 10 февраля под простую процентную ставку 35% годовых и востребован 14 декабря того же года. После уплаты налога на проценты вкладчик стал обладателем суммы в размере 63,133 тыс. руб. Какой способ начисления процентов использовал банк, если ставка налога на проценты равна 12%? Год невисокосный.
1.7.9. Простая процентная ставка по вкладам до востребования, составляющая в начале года 28% годовых, через полгода была увеличена до 35%, а еще через квартал – до 40% годовых. Определите наращенную за год сумму с учетом уплаты налогана проценты, если ставка налога на проценты равна 15%, величина вклада – 12 тыс. руб. и обыкновенные проценты начисляются в конце года.
1.7.10. За какой срок вклад 8 тыс. руб. возрастет до 9 тыс. руб. с учетом уплаты налога на проценты при однократном начислении (по истечении срока) процентов по простой процентной ставке 34% годовых, если ставка налога на проценты равна 12%?
1.7.11. Для участия в некотором проекте предпринимателю понадобится 12 тыс. руб. Между тем он располагает лишь 10 тыс. руб. С целью накопления требуемой суммы предприниматель собирается положить в банк 10 тыс. руб. Предлагаемая банком процентная ставка равна 35% годовых. Какое количество дней необходимо для накопления требуемой суммы с учетом уплаты налога на проценты, если банк начисляет простые проценты, используя в расчетах точные проценты и точное число дней, а ставка налога на проценты равна 12%? Каково необходимое количество дней, если налог на проценты не надо уплачивать? Год високосный.
1.7.12. Какую сумму необходимо положить в банк под процентную ставку 30% годовых с начислением простых процентов по истечении года, чтобы с учетом уплаты налога на проценты можно было бы получать ежегодную ренту в размере 600 руб., а сумма на счете в банке оставалась бы неизменной? Ставка налога на проценты равна 20%.
1.7.13. Какую сумму необходимо поместить в банк под простую процентную ставку 36% годовых на условиях однократного начисления процентов в конце срока помещения денег, чтобы накопить с учетом уплаты налога на проценты 20 тыс. руб.: а) за полгода; б) за 2 года, если ставка налога на проценты равна 15%7
1.7.14. Клиент собирается поместить в банк 2000 долл. на рублевом депозите сроком на полгода под 58% годовых. Курс покупки долларов на начало срока – 15 руб.40 коп., ожидаемый курс продажи через полгода – 18 руб. 70 коп. Процентная ставка при долларовом депозите – 24%. При любом депозите простые проценты начисляются по истечении срока. Найдите наращенную сумму: а) при конвертации валюты; б) непосредственно на валютном депозите с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 12%.
1.7.15. Господин N 1 июля 1998 г. поместил 12 тыс. руб. на трехмесячный депозит под простую процентную ставку 34% годовых. По рублевому депозиту начислялись точные проценты с точным числом дней, ставка налога на проценты равна 12%. На сколько больше рублей получил бы господин N, если бы он на все деньги приобрел доллары США, а 1 октября обменял доллары на рубли? Банк 1 июля продавал доллары США по курсу 6 руб. 20 коп. за доллар, а 1 октября покупал доллары США по курсу 14 руб. 10 коп. за доллар, и комиссионные при обмене валюты не взимались.
1.7.16. Вкладчик, владея 18 тыс. руб., хочет получить, положив деньги на депозит, через полгода не менее 20 тыс. руб. Определите требуемую простую годовую процентную ставку, на основании которой вкладчик должен выбрать банк, если ставка налога на проценты равна 15%,
1.7.17. Положив в банк 50 тыс. руб. под простую процентную ставку 42% годовых, предприниматель через 9 месяцев получил с учетом уплаты налога на проценты 62,6 тыс. руб. Определите ставку налога на проценты.
1.7.18. Клиент поместил 25 тыс. руб. в банк под простую процентную ставку 34% годовых сроком на 3 месяца. Определите доходность такой сделки для клиента в виде простой годовой процентной ставки, если ставка налога на проценты равна 15%. Зависит ли эта доходность от величины помещенной суммы?
Инфляция
Основные положении
• Инфляция представляет собой процесс, характеризующийся повышением общего уровня цен в экономике или, что ирак-тическн эквивалентно, снижением покупательной способности денег. При этом инфляция может проявляться двояко: во-первых, в переполнении сферы обращения бумажными деньга-ми вследствие их чрезмерного выпуска; во-вторых, в сокращении товарной массы в обращении при неизменном количестве выпущенных денег. Основополагающим сущностным признаком инфляции является рост цен в среднем. • Темпы инфляции определяются с помощью системы ин дексов цен – относительных показателей, характеризующи; среднее изменение уровня цен некоторого фиксированного набора товаров и услуг за выбранный период.
• Индекс цен (его также называют индексом инфляции) показывает, во сколько раз выросли цены за рассматриваемый период. Наиболее широко используемым индексом цен является индекс потребительских цен, отражающий рост цен на некоторый постоянный потребительский набор товаров и услуг (такой набор часто называют потребительской корзиной).
• Темп инфляции, выраженный в процентах, показывает, на сколько процентов выросли цены за рассматриваемый период. Вместо выражения “темп инфляции” часто используют термин ‘-‘уровень инфляции” или просто говорят “инфляция”, подразумевая именно ее темп за данный промежуток времени.
• Для того чтобы в условиях инфляции стоимость первоначального капитала при его наращении на самом деле росла, исходную процентную ставку увеличивают – происходит ее индексация.
• При инфляции различают следующие виды процентных ставок. Номинальная процентная ставка – это исходная базовая (как правило, годовая) процентная ставка, указываемая в договорах. Доходность, выражаемая этой ставкой, не скорректирована на инфляцию. Номинальная ставка говорит об абсолютном увеличении денежных средств инвестора. Реальная процентная ставка показывает доходность с учетом инфляции, характеризующейся снижением покупательной способности денег. Реальная ставка говорит о приросте покупательной способности средств инвестора. Реальная процентная ставка в условиях инфляции всегда меньше номинальной и может быть даже отрицательной. Положительная процентная ставка – это любая ставка, при которой будет происходить реальное увеличение стоимости капитала при данном индексе инфляции. Иногда любую процентную ставку, превышающую номинальную, называют брут-то-ставкой процента. Но, как правило, брутто-ставка является положительной процентной ставкой.
• Дефляция представляет собой процесс, характеризующийся снижением общего уровня цея в экономике.
Вопросы для обсуждения
1. Что представляет собой инфляция?
2. Каким образом могут проявляться инфляционные процессы?
3. Что называется индексом цен и что он показывает? В каких единицах измеряется? Как еще называется индекс цен?
4. Что такое индекс потребительских цен?
5. Как определяется и что характеризует темп инфляции?
6. Какая существует связь между индексом цен и темпом инфляции за рассматриваемый период?
7. Всегда ли повышение цены товара является результатом только инфляционных процессов?
8. Могут ли при высоком уровне инфляции цены на некоторые товары оставаться стабильными или даже падать?
9. Возможна ли инфляция при отсутствии денег?
10. Если текущий темп инфляции отличается от ожидаемого, то в каком случае оказывается в выигрыше кредитор, а в каком -должник?
11. Если известны индексы инфляции за каждый из нескольких периодов, расположенных последовательно друг за другом, то каким образом определить индекс инфляции сразу за эти несколько периодов?
12. Как связан среднемесячный темп инфляции с годовым индексом инфляции?
13. В первом году инфляция составила 200%, в следующем году индекс инфляции был равен 2. Во сколько раз выросли цены за эти два года?
14. Можно ли утверждать, что при среднемесячном темпе инфляции в 2% годовой темп инфляции будет 24%?
15. Как определяется изменение реальной покупательной способности денег за некоторый период при известном индексе инфляции за этот период?
16. При каком соотношении между множителем наращения и индексом инфляции будет происходить реальное наращение капитала?
17. Что понимается под эрозией капитала?
18. Какая должна быть в условиях инфляции простая процентная ставка по кредитам, чтобы взятая сумма с точки зрения ее покупательной способности оставалась постоянной? 19. Какая ставка называется положительной процентной ставкой?
20. Для каких целей в условиях инфляции осуществляют индексацию ставки?
21. Каким образом в условиях инфляции можно индексировать банковские вклады?
22. Почему в условиях инфляции необходимо различать номинальную и реальную процентные ставки?
23. Можно ли сказать, что номинальная процентная ставка представляет собой выраженное в процентах увеличение денежной суммы, которую получает кредитор от заемщика?
24. Можно ли сказать, что реальная процентная ставка представляет собой выраженное в процентах увеличение покупательной способности, которое получает кредитор от заемщика?
25. Может ли реальная процентная ставка быть отрицательной?
26. Может ли 1000% годовых быть отрицательной процентной ставкой?
27. Перечислите виды процентных ставок, которые различают в условиях инфляции.
28. Является ли эффективной финансовая сделка при большой инфляции?
29. Чем характеризуется процесс дефляции?
30. Как изменится за два года индекс потребительских цен, если в первый год дефляция составила 10%, а во втором году инфляция равнялась 10%?
§
Пример 1.8.1. За три месяца стоимость потребительской корзины возросла с 634 руб. до 692 руб. Определите: а) индекс потребительских цен за три месяца; б) среднемесячный индекс потребительских цен; в) темп инфляции за три месяца; г) среднемесячный темп инфляции.
Решение, а) Полагая = 634 руб., Рг = 692 руб., по формуле (39) находим индекс потребительских цен за 3 месяца t=0.25 года):
= 1,0915.
Следовательно, за рассматриваемый период цены на некоторый постоянный потребительский набор товаров выросли в 1,0915 раза, или на 9,15%.
б) Обозначим через 
среднемесячный индекс потребительских цен (индекс инфляции). Тогда по формуле (42) при
k = 3 получим
, откуда
.
в) Темп инфляции за три месяца находим из формулы (41):
т.е темп инфляции, выраженный в процентах, показывает, на сколько проиенгов выросли цены. Такой же результат получается и по формуле (40):
= 0,0915.
г) Аналогичным образом, как в в предыдущем пункте, вос-
пользуемся формулой (41) при t= 
:
= 1,0296-1 = 0,0296.
Конечно 
можно найти и преобразуя формулу (42). Так как 
то
Пример 1.8.2, В течение полугода каждые два месяца цены росли соответственно на 12, 9 и 14%. Определите индекс и темп инфляции: а) за полгода; б) в среднем за месяц; в) в среднем за квартал.
Решение, а) Поскольку индексы цен за каждые два месяца последовательно равны 1,12; 1,09 и 1,14, то индекс цен (индекс инфляции) 
за полгода (0,5 части года) найдем по формуле (42):
=1.12*1.09*1.14= 1,3917,
откуда находим темп инфляции за этот же период:
=1,3917-1 = 03917,т.е. =39,17%.
б) Поскольку = 
, то среднемесячный индекс инфляции составит:
и поэтому среднемесячный темп инфляции = 1,0566 -1 = 0,0566,
т.е. = 5,66%,
в) Индекс инфляции в среднем за квартал (0,25 части года) можно найти либо по формуле (42):
либо, учитывая, что квартал составляет полгода,
и поэтому 
= 17,97%.
Пример 1.8.3. В 1993 г. инфляция в Сербии и Черногории составила 313 миллионов процентов [Мицкевич, с.24]. За какое время деньги теряли половину своей покупательной способности, если год полагать равным 360 дням?
Решение, Известно, что при индексе инфляции за период п, равном 
, сумма Р через это время л по своей покупательной способности в ценах текущего дня составит величину 
. В условии примера речь идет о темпе инфляции за год,
и поэтому для годового индекса инфляции имеем 
= 3130001, а следовательно, ежедневный ( за 
года) индекс инфляции равен величине 
. Таким образом, надо определить такое количество дней t, чтобы выполнялось равенство 
=2. Логарифмируя обе части этого равенства, получим:
откуда:
дня, т.е. примерно 17 дней.
Очевидно, что если считать в году 365 дней, то:
дня,
т.е. также примерно 17 дней.
Таким образом, в частности, практически через месяц (через 34 дня) сумма Р по своей покупательной способности в цеаах текущего дня составит величину 
, т.е. потеряет три четверти своей покупательной способности.
Пример 1.8.4. Определите реальную процентную ставку за год, если номинальная простая процентная ставка равна 42% годовых при годовом темпе инфляции в 20%. Какова должна быть номинальная процентная ставка, чтобы при такой инфляции обеспечить реальную доходность 42% годовых?
Решение.Полагая в формуле (46) n=1, r = 0,42, =1.2 получим:
т.е. доходность с учетом инфляции при начислении простых процентов составляет: rreai =18,33% годовых.
Чтобы иметь реальную доходность 42% в условиях инфляции, необходимо установить процентную ставку, большую, чем 42%. Значение такой ставки находим по формуле (45):
= (1 0,42) 1.2 -1 = 0,704, или 70,4% годовых.
Естественно, можно было воспользоваться и формулой (44), полагая 
:
r = 0,42 0,42 *0,2 0.2= 0,704.
Пример 1.8.5.Клиент положил на депозит 16 тыс. руб. на полгода под простую процентную ставку 46% годовых. Определите реальную (по. своей покупательной способности) сумму, которую получит через полгода клиент, если среднемесячный темп инфляции составлял 3%. Чему равна реальная доходность такой финансовой операции для клиента в виде годовой простой процентной ставки? При какой процентной ставке сумма на депозите реально остается постоянной?
Решение.По формуле (42) находим индекс инфляции за полгода:
= 
По формуле (43) находим наращенную сумму с учетом ее обесценения:
тыс.руб
Таким образом, по своей покупательной способности 16 тыс. руб. увеличатся за полгода всего на 481 руб. Следовательно, из-за инфляции реальная доходность помещения денег на депозит в виде годовой процентной ставки по формуле (23) составит:
= 0,0601,
т.е. всего 6,01%, а не 46%. Такой же результат получим, и воспользовавшись формулой (46), в которой и =0,5, r = 0,46, =1.1941
Сумма на депозите с учетом инфляции не изменится за полгода, если множитель наращения будет равен индексу инфляции, т.е. 1 nr= . Поэтому:
т.е. для нашего примера:
= 03882.
Итак, процентная ставка 38,82% годовых будет просто компенсировать негативное действие инфляции за полгода, и только при ставках, больших 38,82% (так называемых положительных процентных ставках) будет происходить (при наращении) реальное увеличение капитала.
Конечно, при сохранении темпа инфляции 3% в месяц и процентной ставке 38,82% годовых сумма на депозите за год уменьшится. Чтобы она не изменилась за год с учетом инфляции, процентная ставка должна быть больше, чем 38,82%. Действительно, поскольку годовой индекс инфляции составит:
то, применяя последнюю формулу при n = 1, получим:
r = 1,4258 -1 = 0,4258 = 42,58%.
Пример 1.8.6.Предприниматель получил в банке кредит 80 тыс. руб. на год. Какую процентную ставку но кредиту должен установить банк, чтобы обеспечить реальную доходность этойфинансовой операции в 28% годовых при ожидаемом годовом темпе инфляции 20%? Какую сумму должен будет вернуть предприниматель?
Решение.Так как для годового темпа инфляции имеем 
= 0,2, то по формуле (44) находим искомое значение процентной ставки:
= 0,28 0,28 *0.2 0,2 =0,536.
Следовательно, процентная ставка должна быть равной 53,6% годовых, и в соответствии с ней предприниматель через год должен будет возвратить сумму:
F =80(1 0,536) = 122,88 тыс. руб.
Очевидно, что процентная ставка, только компенсирующая действие инфляции, равна 20% годовых.
Пример 1,8.7.На сумму 8 тыс. руб. в течение трех кварталов начислялись простые проценты по следующим процентным ставкам: в первом квартале – 40% годовых, во втором – 45% годовых, в третьем – 50% годовых. Среднемесячные темпы инфляции за кварталы оказались равными соответственно 3, 1,5 и 2%. Определите наращенную сумму с учетом инфляции и реальную доходность владельца счета в виде годовой процентной ставки.
Решение.Определим вначале наращенную сумму без учета инфляции по формуле (15), полагая Р = 8 тыс. руб., 
= 0.25 года, = 0,4, i2 = 0,45, i3 = 0,5 :
.F = 8 * (1 0,25 * 0,4 0,25 * 0,45 0,25 * 0,5) = 10,7 тыс. руб.
Индекс инфляции за три квартала (0,75 года) составит величину:
=(1 0.03)3 *(1 0.015)3 *(1 0.02)3 =1,2126. Теперь можно найти наращенную сумму с учетом инфляции:
8,824 тыс. руб.
Реальный доход владельца счета равен:
-P = 8,824-8 = 0,824 тыс.руб.
Таким образом, реальную доходность от помещения денег в рост определяем по формуле:
, т.е. 13,73% годовых.
Очевидно, что в данном примере множитель наращенияс учетом инфляции равен величине:
Пример 1.8.8.Банк выдает кредит по простой процентной ставке 44% годовых, при этом удерживая комиссионные в размере 3,5% от суммы кредита. Определите действительную доходность для банка такой кредитной операции в виде простой годовой процентной ставки, если кредит выдается: а) на 4 месяца; б) на год. Банк начисляет обыкновенные проценты на исходную сумму кредита, и ежемесячный темп инфляции составляет 2%.
Решение,а) Обозначим величину кредита через Р, тогда банк удерживает в свою пользу комиссионные в размере 0,035Р и поэтому выдает сумму Р – 0.035P = 0,965Р. За 4 месяца (1/з года) с учетом инфляции величина кредита вместе с начисленными процентами составит:
Следовательно, общий доход банка равен 1,0593Р-0,965Р = 0,0943Р, Таким образом, действительная доходность кредитной операции для банка в виде годовой процентной ставки составит: <
т.е. r = 2932% годовых.
б) Проводя аналогичные вышеприведенным рассуждения, |дим, что в этом случае общий доход банка равен:
и, следовательно, доходность составит:
, или 17,66% годовых.
В данном случае доходность меньше, чем в предыдущем пункте, так как за год деньги обесоениваются в большей степени, чем за 4 месяца, да и комиссионные в величину доходности доставляют в три раза меньший относительный вклад за год, чем за 4 месяца.
Пример 1.8.9. Вексель учитывается в банке за три месяца до срока его погашения. Какую простую учетную ставку должен применить банк, чтобы при ежемесячном темпе инфляции в 4,5% обеспечить реальную доходность операции учета в виде простой процентной ставки 40% годовых?
Решение. По формуле (42) определяем индекс инфляции за 3 месяца (0,25 года):
Изложим два подхода к решению примера. Согласно первому подходу вначале определяем по формуле (45) процентную ставку, обеспечивающую при данной инфляции реальную доходность 40% годовых:
т.е 102.13%
Поскольку реальная доходность операции учета должна соответствовать реальной доходности, доставляемой реальной процентной ставкой 40% годовых, то искомая учетная ставка находится по формуле (26), где n = 0Д5 и r = 1,0213 . Таким образом:
= 0,8136, т.е. 81,36% годовых.
При другом подходе вначале находим по формуле (26) значение реальной простой учетной ставки, соответствующее значению реальной процентной ставки 40%:
= 0,36364 = 36,364%.
Затем по формуле (47) находим учетную ставку, обеспечивоющую в условиях существующей инфляции реальную доходнось согласно учетной ставке 36,364%:
Получили тот же результат.
Пример 1.8.10. Под какую простую процентную ставку в условиях начисления обыкновенных процентов необходимо поместить имеющуюся денежную сумму, чтобы она реально (по своей покупательной способности) увеличилась на 20% за 10 месяцев с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 12% и ежемесячный темп инфляции равен 3%? Если наращение осуществляется по простой учетной ставке, то какая она должна быть?
Решение. Определяем по формуле (42) индекс инфляции за
10 месяцев ( года):
=(1 0,03)10 =13439.
Пусть Р – величина денежной суммы и г – искомая процентная ставка. Тогда начисленные проценты без учета инфляции находим по формуле (12):
С этой величины в счет уплаты налога проценты пойдет суыма 0.12 I и, следовательно, после уплаты величина наращенной суммы составит:
а с учетом инфляции:
Полученная сумма должна быть больше исходной на 20%, т.е. в 1,2 раза:
=1.2P
Сокращая обе части уравнения на Р и решая уравнение относительно r, получим:
= 0,8355,т.е. r-83,55% годовых.
Если наращение осуществляется по простой учетной ставке d, то:
После уплаты налога величина наращенной суммы составят:
P 0.88I= 
Полученная сумма с учетом инфляции должна быть больше исходной в 1,2 раза:
Сокращая обе части уравнения на Р и решая уравнение относительно d, получим d = 0,4926, или d= 49,26% годовых.
Заметим, что такой же результат получим сразу, определяя по формуле (26) учетную ставку, эквивалентную простой процентной ставке r= 83,55% при n= 5/6
= 0,4926.
Задачи
1.8.1. За полгода стоимость потребительской корзины возросла с 645 руб. до 788 руб. Определите индекс и темп инфляции:
а) за полгода; б) среднемесячные; в) в среднем за два месяца.
1.8.2. Среднемесячный темп инфляции в течение года составлял 4%. Определите индекс и темп инфляции: а) за квартал;
б) за полгода; в) за год.
1.8.3. В течение года каждый квартал цены росли соответственно на 10, 15, 8 и 12%. Определите индекс и темп инфляции: а) за год; б) в среднем за месяц; в) в среднем за квартал.
1.8.4. На сумму в 10 тыс, руб. в течение трех месяцев начислялись простые проценты но ставке 30% годовых. За каждый месяц цены росли соответственно на 7, 5 и 4%. Найдите наращенную сумму с учетом инфляции и величину годовой положительной процентной ставки.
1.8.5. В стране годовой индекс инфляции составил 900%. Определите среднемесячный и средний ежедневный темпы инфляции. За какое время деньги теряли половину своей покупательной способности, если год полагать равным 360 дням?
1.8.6. В некоторой стране годовая гиперинфляция составила 80 миллионов процентов. За какое время деньги теряли четвертую часть своей покупательной способности, если год считать равным 360 дням?
1.8.7. Доход от финансовой операции, проведенной в течение полугода, составил 30 тыс. руб., причем было вложено в операцию 120 тыс. руб. Среднемесячный темп инфляции в это время составлял 1%. Определите реальную норму прибыли финансовой операции с учетом инфляции.
1.8.8. В результате инвестирования в некоторый проект 35 тыс. руб. через 3 года получено 70 тыс. руб. Темпы инфляции по годам соответственно составили 30, 15 и 20%. Определите реальную норму прибыли от инвестирования с учетом инфляции. Какова норма прибыли при отсутствии инфляции?
1.8.9. В течение трех лет предприятие имело следующие показатели относительно вложенного капитала, при условии, что вся прибыль реинвестируется: 1-й год – 80% прибыли, 2-й год -10% убытков, 3-й год – 60% прибыли. Какова общая прибыль на вложенный капитал (в процентах) с учетом среднегодового темпа инфляции в 20%?
1.8.10. В результате инвестирования первоначальный капитал за первые два квартала вырос в 1,5 раза, за третий квартал общий капитал вырос в 1,3 раза и за четвертый квартал вся сумма увеличилась в 1,1 раза. Определите, на сколько процентов реально увеличилась первоначальная сумма по своей покупательной способности, если среднемесячный темп инфляции составлял 2%.1.8.11. Индексы роста вклада за четыре квартала, следующие друг за другом, составили 1,16; 1,09; 1,12 и 1,22. При какой’ среднемесячной инфляции вклад за это время реально (по своей покупательной способности): а) увеличится на 10%; б) не изменится?
1.8.12. Господин N купил дом в январе 1986 г. за 18 тыс. руб. и продал его в январе 1991 г. за 250 тыс. руб. Инфляция по годам, с 1986 по 1990 г. включительно, составляла соответственно 15, 20, 40, 60, 200%. Выиграл или проиграл господин N и на сколько процентов?
1.8.13. В финансовом соглашении были предусмотрены следующие процентные ставки на год: за первый квартал – 26% годовых; за второй квартал – 30% годовых; за третий и четвертый квартал – 35% годовых. Темпы инфляции за кварталы оказались равными соответственно 8, 5, 6 и 3%. Определите множитель наращения за год с учетом инфляции, если в течение года начисляются простые проценты.
1.8.14. Простая процентная ставка по вкладам до востребования, составляющая в начале года 30% годовых, через полгода была увеличена до 35%, а еще через квартал – до 40% годовых. Определите реальную величину (по своей покупательной способности) процентов, начисленных за год на вклад 20 тыс. руб., если темп инфляции каждый квартал составлял 6%
1.8.15. На сумму 15 тыс. руб. в течение четырех кварталов начислялись простые проценты по следующим процентным ставкам: в первом квартале – 38% годовых, во втором – 44% годовых, в третьем – 50% годовых я в четвертом – 54% годовых. Среднемесячные темпы инфляции за кварталы оказались равными соответственно 1,2, 1,5 и 0,5%. Определите наращенную сумму с учетом инфляции и реальную доходность владельца счета в виде годовой процентной ставки.
1.8.16. Господин N получил в банке ссуду на два года под процентную ставку 36% годовых. В первый год индекс цен составил 1,3; во второй – 1,2. Определите, во сколько раз реальная сумма долга (по своей покупательной способности) к концу срока ссуды будет больше выданной банком суммы, если банк начислял простые проценты. Каков будет ответ при отсутствии инфляции?
1.8.17. Банк выдал ссуду на 75 дней в размере 700 тыс. руб. под простую процентную ставку 40% годовых. Рассчитайте реальный доход банка с учетом инфляции, если темп инфляции за это время составил 8% и при начислении простых процентов считается, что в году: а) 360 дней; б) 365 дней.
1.8.18. Имеется два варианта вложения капитала на 2 года. Согласно первому варианту исходный капитал за первый год увеличится на 40%, а за второй год вся сумма увеличится на 30%, Для второго варианта рост капитала составит каждый год 35% от суммы предыдущего года. Сколько процентов составит реальная прибыль по каждому варианту при ожидаемом ежегодном темпе инфляции 20%?
1.8.19. Определите реальную процентную ставку за год, если номинальная простая процентная ставка равна 30% годовых при годовом темпе инфляции в 16%. Какова должна быть номинальная процентная ставка, чтобы при такой инфляции обеспечить реальную доходность 30% годовых?
1.8.20. Определите реальную простую процентную ставку, если номинальная годовая процентная ставка равна 36% годовых и годовой индекс инфляции составил 1,26. Чему должна быть равна величина положительной процентной ставки? Чему должна быть равна величина положительной процентной ставки, обеспечивающая реальную доходность в 36% годовых?
1.8.21. Определите реальную простую учетную ставку, если номинальная годовая учетная ставка равна 30% годовых и годовой индекс инфляции составил 1,2. Чему должна быть равна величина учетной ставки, обеспечивающая реальную доходность, определяемую простой учетной ставкой в 30% годовых?
1.8.22. Предприниматель получил в банке кредит на сумму 60 тыс. руб. на год. Какую процентную ставку по кредиту должен установить банк, чтобы обеспечить реальную доходность этой финансовой операции в 15% годовых при ожидаемом годовом темпе инфляции 30%? Какую сумму должен будет вернуть предприниматель?
1.8.23. Предприниматель получил в банке кредит на сумму 50 тыс. руб. на 9 месяцев. При ожидаемом среднемесячном темпе инфляции 3% банк хочет обеспечить реальную доходность такой финансовой операции в 20% годовых. Какая простая про-цеатная ставка по кредиту должна быть установлена? Какова будет величина погашаемой суммы?
1.8.24. Выдан кредит в размере 100 тыс. руб. с 19 февраля по 6 ноября того же года под простую процентную ставку при условии начисления: а) обыкновенных процентов с точным числом дней; б) точных процентов с точным числом дней. Ожидается, что индекс цен к моменту погашения кредита составит 1,4. Какую процентную ставку по кредиту должен установить банк, чтобы обеспечить реальную доходность этой финансовой операции в 25% годовых? Какова будет величина погашаемой суммы? Выполните расчеты, полагая год невисокосным.
1.8.25. Предприниматель получил ссуду с 15 февраля по 14 ноября того же года под простую процентную ставку 70% годовых. Во сколько раз вырос реальный долг (по своей покупательной способности) при начислении обыкновенных процентов: а) с точным числом дней; б) с приближенным числом дней если за срок ссуды темп инфляции составил 42,6% и год висо косный?
1.8.26. Господин N, владея 30 тыс. руб., хочет получить, положив деньги на депозит, через год не менее 35 тыс. руб. с точки зрения их покупательной способности. Имеет ли смысл ему обратиться в банк, применяющий простую процентную ставку 42% годовых, если прогнозируемый темп инфляции в году равен 15%?
1.8.27. Вкладчик намеревается поместить в банк 9 тыс. руб. на 240 дней на условиях начисления простых обыкновенных процентов. Какова должна быть процентная ставка, обеспечивающая накопление 10 тыс. руб. (рассматриваемых с точки зрения сохранения их покупательной способности), если предполагаемый ежемесячный темп инфляции равен 3%?
1.8.28. Банк выдал кредит на 6 месяцев по простой процентной ставке 42% годовых, при этом удержав комиссионные в размере 3% от суммы кредита. Определите действительную доходность для банка такой кредитной операции в виде годовой процентной ставки, если простые обыкновенные проценты начислялись на исходную сумму кредита и ежемесячный темп инфляции составлял 2%.
1.8.29. Под какую простую годовую процентную ставку в условиях начисления обыкновенных процентов необходимо поместить имеющуюся денежную сумму, чтобы она реально (посвоей покупательной способности) увеличилась в 1,25 раза за 9 месяцев с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 12% и ежемесячный темп инфляции равен 2%? Бели наращение осуществляется по простой учетной ставке, то какая она должна быть?
1.8.30. Простая процентная ставка по вкладам до востребования, составляющая в начале года 30% годовых, через каждые два месяца увеличивалась на 2,5%. Определите реальную величину (по своей покупательной способности) наращенной за год суммы с учетом уплаты налога на проценты, если величина вклада – 20 тыс. руб., среднемесячный темп инфляции – 2% и ставка налога на проценты равна 12%.
1.8.31. В 1993 г. в России можно было поместить деньги на рублевый депозит под 500% годовых или на долларовый депозит под 35% годовых. Инфляция тогда составляла примерно 900%. Выясните, какой из депозитов был предпочтительнее, если курс продажи долларов в начале года был 450 руб., а в конце – 1250 руб. за 1 доллар.
1.8.32. Банк выдает клиенту кредит на 3 месяца, в течение которых, по оценкам экспертов, ежемесячный индекс инфляции составит 1,015. Начисление процентов осуществляется по простой учетной ставке. Найдите значение учетной ставки, компенсирующей потери от инфляции, если банк желает обеспечить реальную доходность, определяемую простой учетной ставкой 22% годовых. Какова должна быть учетная ставка, обеспечивающая в условиях инфляции реальную доходность, определяемую простой процентной ставкой в 22% годовых?
1.8.33. При учете векселей в условиях инфляции должна быть обеспечена реальная доходность, определяемая простой учетной ставкой, равной 30% годовых. Какую простую учетную ставку в этом случае нужно применить, если ожидаемый темп инфляции составляет 4% в месяц и вексель предъявлен для учета за 2 месяца до срока его погашения?
1.8.34. Вексель учитывается в банке за 4 месяца до срока его погашения. Какую простую учетную ставку должен применить банк, чтобы при ежемесячном темпе инфляции 3,5% обеспечить реальную доходность операции учета в виде простой процентной ставки 42% годовых?
1.9. Замена и консолидация платежей
Основные положения
• На практике постоянно возникают ситуации, вынуждающие участников сделки к изменению условий ранее заключенного финансового соглашения. В частности, это касается и платежей. Например, изменение сроков платежей (обычно на более отдаленные, а иногда и в сторону уменьшения, т.е. досрочное погашение задолженности), объединение нескольких платежей в один (консолидация платежей) с установлением срока его погашения и т.п.
• В результате любых изменений ни один из участников не должен терпеть убыток, поэтому в такого рода ситуациях руководствуются принципом финансовой эквивалентности, устанавливающим неизменность финансовых отношений участников до и после изменения финансового соглашения.
• На практике при изменении условий выплат денежных сумм принцип финансовой эквивалентности реализуется путем составления уравнения эквивалентности, согласно которому сумма заменяемых платежей, приведенных к одному моменту времени, приравнивается сумме платежей по новому соглашению, приведенных к тому же моменту времени. Для краткосрочных контрактов процесс приведения, как правило, осуществляется на основе простых ставок.
• Для каждой конкретной ситуации получается свое уравнение эквивалентности, а в некоторых простых случаях можно обойтись и без него.
• Два контракта считаются эквивалентными, если приведенные стоимости потоков платежей по этим контрактам одинаковы. Однако при использовании приведенных значений платежей, осуществленных на основе простых ставок, необходимо согласовать дату (ее называют базовой), на которую производят приведение, ведь от изменения базовой даты в случае простых процентов меняются (иногда в меньшей, а иногда в большей степени) значения новых искомых характеристик.
Вопросы для обсуждения
1. Что означает консолидация платежей?
2. Приведите примеры изменения финансового соглашения а результате изменения условий, касающихся выплат денежных сумм?
3. Что такое принцип финансовой эквивалентности?
4. Каким образом на практике реализуется принцип финансовой эквивалентности?
5. На основе каких ставок, как правило, осуществляется процесс приведения для краткосрочных контрактов?
6. Верно ли положение о том, что при сравнении платежей их приведение к одному моменту времени может осуществляться как путем дисконтирования, так и путем наращения?
7. При замене старого срока платежа новым в каком случае новый платеж будет больше прежнего платежа, а в каком -меньше?
8. При замене старого платежа новым в каком случае срок его выплаты будет больше прежнего срока платежа, а в каком -меньше?
9. (Всегда ли можно некоторый платеж, изменяя срок его вы-
платы, заменить любым по величине платежом?
10. Можно ли трактовать процесс наращения (в частности, простыми процентами) как один из случаев замены одного платежа другим?
11. Каким образом можно связать между собой замену одного платежа другим и процесс дисконтирования?
12. Какие контракты считаются эквивалентными?
Типовые примеры н методы их решения
Пример 1,9.1. Согласно новому финансовому соглашению платеж 80 тыс. руб. со сроком уплаты 6 месяцев заменяется платежом со сроком уплаты: а) 3 месяца; б) 9 месяцев. Найдите величину нового платежа, если используется простая процентная ставка 40% годовых.
Решение. Пусть Р1=80 тыс. руб., r =0,4 . Считая, что год содержит 360 дней и каждый месяц – 30 дней, полагаем = 0,5 года. а) Полагая 
года и учитывая,что 
, по формуле(49) получим:
72,727 тыс. руб.
Этот же результат можно получить, и не пользуясь формулой (49), а составив для данной конкретной ситуации уравнение эквивалентности, руководствуясь принципом финансовой эквивалентности. В соответствии с этим принципом величина платежа 
должна быть такой, что, получив через 3 месяца ( 
= 0,25 года) и инвестировав эту сумму под простую процентную ставку r = 0,4, кредитор через время 
мог бы получить сумму Р1 = 80 тыс. руб. Таким образом, получим уравнение:
в котором неизвестной величиной будет Ро .
Обратим внимание на следующий факт.
Если не применять принцип финансовой эквивалентности, а просто воспользоваться равенством приведенных стоимостей (на начальный момеят времени) этих платежей, т.е. соотношением
то платеж Ро будет равен:
тыс. руб.
Эта сумма больше, чем 72,727 тыс. руб. Инвестировав 73,333 тыс. руб. под 40% годовых, кредитор через 3 месяца ( 
года) получил бы 73,333(1 0,25-0,4) = 80,666 тыс. руб., т.е. на 666 руб. больше, чем было предусмотрено первым финансовым соглашением.
б) Поскольку в этом случае 
и > то по формуле (49) получим:
=80(1 (0,75 – 0,5) *0,4) = 88 тыс, руб,
Согласно принципу финансовой эквивалентности в этом случае величина платежа Ро должна быть такой, что, получив через 6 месяцев ( = 0,5 года) сумму = 80 тыс. руб. и инвестировав эту сумму под простую процентную ставку r = 0,4, кредитор через время мог бы получить сумму Ро. Следовательно, Ро находится из уравнения Ро = 
совпадающего по виду с примененной формулой.
Если же просто воспользоваться равенством приведенных стоимостей, то
тыс, руб,
что меньше, чем 88 тыс. руб. Т.е. кредитору не имеет смысла менять условия соглашения, так как по первому контракту он может получить больше.
Пример 1.9.2. Найдите величину нового срока, если платеж в 20 тыс. руб. с уплатой через 250 дней предполагается заменить платежом в 18 тыс. руб. Используется простая процентная ставка 35% годовых, и расчетное число дней в году равно 360.
Решение. Очевидно, что так как 18 тыс. руб. меньше 20 тыс. руб., то новый срок должен быть меньше 250 дней. Полагая 
=20 тыс. руб., =250/360 года,Р=18 тыс. руб., r = 035,по формуле (50) для случая Ро < получим:
года .или 
135 дней.
Проверим этот результат. Пусть через 135 дней кредитор получит 18 тыс. руб., тогда, инвестировав эту сумму на 115 дней (0,319 года) под простую процентную ставку 35% годовых, он получит 18(1 03190,35) = 20,0097=20 тыс. руб. Таким образом, с изменением финансового соглашения кредитор убытка не понесет, поскольку через общий срок, равный 250 дням (135 115), он получит 20 тыс. руб., как и в первоначальном варианте контракта.
Обратим внимание, что платеж в 20 тыс. руб. нельзя заменить любым платежом f, меньшим этой суммы. По смыслу Ро не может бытьменьше приведенной к начальному моменту величины капитала Р1, т.е. Ро
(что и указано в формуле (50)). В условиях разобранного примера: Ро
= 16,089 тыс. руб.
Пример 1.9.3.Платежи в 6, 4 и 10 тыс. руб. должны быть погашены соответственно через 90, 165 и 270 дней. Кредитор и должник согласились заменить три платежа одним через 120 дней. Найдите величину консолидированного платежа, если используется простая процентная ставка 38% годовых и в расчет принимаются обыкновенные проценты.
Решение.При решении задач такого типа пользуются уравнением эквивалентности, согласно которому сумма заменяемых платежей, приведенных к одному моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому соглашению, приведенных к той же дате. Причем приведение осуществляется путем дисконтирования к более ранней дате или путем наращения величины соответствующего платежа, если эта дата относится к будущему.
В данном случае платежи в 6, 4 и 10 тыс. руб. заменяются единым платежом Ро, величину которого обычно определяют путем приведения всех платежей к дате погашения платежа Ро.
Так как срок погашения платежа в 6 тыс. руб. меньше 120 дней, то процесс приведения для этого платежа будет осуществляться в виде процесса наращения в течение 30 дней (120 – 90) по простой процентной ставке 38% годовых.
Так как срок погашения платежа в 4 тыс. руб. больше 120 дней, то процесс приведения для этого платежа будет осуществляться в виде процесса дисконтирования по простой процентной ставке 38% годовых за 45 дней (165 – 120). По той же причине сумма 10 тыс. руб. дисконтируется за 150 дней (270 – 120).
Складывая приведенные суммы платежей, получим величину консолидированного платежа Ро:
тыс. руб.
Если бы за дату приведения выбрали, например, время выплаты платежа в 6 тыс. руб., то, рассуждая, как и выше» получили бы такое уравнение:
откуда Р =18,683 тыс. руб.
При выборе в качестве даты приведения момент отсчета всех сроков получим уравнение:
из которого находим, что Ро =18,780 тыс. руб.
Отличие результатов из-за выбора даты приведения обусловлено правилами наращения и дисконтирования по простым процентам. Поэтому при изменении финансового соглашения необходимо оговорить дату, на которую будет осуществляться приведение всех сумм.
Если же рассматривать в общем виде задачу замены платежей ,Р2,…,Рт, выплачиваемых соответственно через время n1 ,…,nm , одним платежом Ро с выплатой через время «о, то, рассуждая, как и выше, можно получить путем приведения всех платежей к дате выплаты платежа Ро уравнение эквивалентности, в правой части которого платежу 
, будет соответствовать слагаемое (1 ( 
)r ). если, 
платежу Pj будет срответствовать слагаемое , 
если 
Таким образом, уравнение имеет вид:
где в первой сумме происходит суммирование по тем i, для которых выполнено 
, а во второй сумме – по тем j, для которых 
.
Пример 1.9.4.Платежи в 3 тыс, руб., 5 тыс. руб. и 7 тыс. руб. должны быть внесены через соответственно 70, 130 и 180 дней. Было достигнуто соглашение заменить три платежа одним, равным им сумме. Определите срок уплаты консолидированного платежа, если используется простая процентная ставка 32% годовых в условиях начисления обыкновенных процентов.
Решение.На практике для определения срока hq консолидированного платежа дисконтируют все величины платежей на начальный момент и затем приравнивают приведенную стоимость консолидированного платежа к сумме приведенных стоимостей исходных платежей. Решая полученное уравнение относительно п, находим искомый срок.
Итак, находим вначале дисконтированные стоимости исходных платежей:
2,824 тыс. руб.,
= 4,482 тыс. руб.,
= 6,034 тыс. руб.
Поскольку приведенная стоимость консолидированного платежа равна 
тыс. руб., то приходим к уравнению:
= 2,824 4,482 6,034,
решая которое, находим = 0389 года, или = 140 дням.
Можно было и сразу воспользоваться формулой (51), полагая =3 тыс. руб., 
=5 тыс. руб., 
=7 тыс. руб., Ро= 15 тыс. руб., = 70/360 года, =130/360 года, n3=180/36О года, r = 0,32:
= 
= 0389 года.
Обратим внимание, что пользоваться формулой (51) можно только в том случае, когда справедливо неравенство
В противном случае эта формула даст отрядательные значения срока
Если 
и 
для всех к, то вместо фор-
мулы (51) можно воспользоваться ее приближенным вариантом – формулой определения среднего срока (31). В изложенном примере указанные условия выполнены, поэтому (считая сразу в днях):
дня
т.е. полученный результат отличается от ранее определенного на один день.
Пример 1.9.5.Согласно контракту предприниматель должен выплатить кредитору 10 тыс. руб. через год, 40 тыс. руб. – через 3 года и 30 тыс. руб. – через 5 лет. Предприниматель предлагает выплатить 30 тыс. руб. через 2 года и 40 тыс. руб. – через 4 года. Являются ли эти контракты эквивалентными, если в расчетах используется простая процентная ставка 34% годовых?
Решение.Два контракта считаются эквивалентными, если приведенные стоимости потоков платежей по этим контрактам одинаковы. В качестве даты приведения обычно принимают дату, от которой измеряются все сроки, В данном случае – это момент заключения контракта.
Сумма приведенных стоимостей платежей по первому контракту составит:
=38376 тыс. руб.
Аналогичным образом для второго контракта получим:
= 34,806 тыс. руб.
Таким образом, первый контракт для кредитора выгоднее.
Пример 1.9.6.Имеется обязательство выплатить суммы 16 тыс. руб. и 24 тыс. руб. соответственно 12 апреля и I сентября. Стороны решили пересмотреть порядок выплат: 10 тыс. руб. выплачиваются 20 мая, 8 тыс. руб. – 10 июля и остаток долга погашается 1 августа. Определить величину третьего платежа, если пересчет осуществляется по простой процентной ставке, равной 40% годовых, по способу 365/365. Все операции производятся в пределах одного невисокосного года.
Решение.За дату приведения примем 12 апреля – время выплаты 16 тыс. руб. Для лучшего понимания вида уравнения эквивалентности в данном случае укажем явным образом порядковые номера в году представленных в контракте дат: 12 апреля-102; 1 сентября – 244; 20 мая – 140; 10 июля- 191; 1 августа – 213. Обозначая остаток долга через Р, запишем уравнение эквивалентности:
решая которое относительно Р, найдем Р = 22.297 тыс. руб.
Пример 1.9.7.Требуется заменить вексель на сумму 18 тыс. руб. со сроком погашения через 60 дней векселем со сроком погашения через 25 дней. В расчетах применяется простая учетная ставка 30% годовых и считается, что в году 360 дней.
Решение.Полагая 
=18 тыс. руб., =60/360 года, =25/360 года, d = 0,3 и учитывая, что <п1 по формуле (52) получим:
= 17,475 тыс. руб.
Пример 1.9.8.Определите величину нового срока при замене платежа 40 тыс. руб. со сроком уплаты 75 дней платежом 46 тыс. руб., если расчеты осуществляются с помощью простой учетной ставки 32% годовых на базе финансового года, равного 360 дням.
Решение.Пусть = 40 тыс. руб., =75/360 года, Ро = 46 тыс. руб., d = 032 . Учитывая, что Ро > , по формуле (53) получим:
= 
=0,616 года,т.е. =222 дня.
Пример 1.9.9.Владелец векселей на сумму 3,5 тыс. руб., 9 тыс. руб. й 6 тыс. руб. со сроками погашения соответственно 14 июня, 20 августа и 5 октября согласился с предложением должника об объединении трех векселей в один со сроком погашения 10 сентября того же года. Какую сумму необходимо проставить в консолидированном векселе, если используется простая учетная ставка и способ 365/360?
Решение. Используя учетную ставку 30% годовых, осуществим приведение всех сумм на 10 сентября – дату погашения консолидированного векселя.
Так как срок погашения первого векселя меньше даты приведения, то на сумму 3,5 тыс. руб. происходит наращение простыми процентами по учетной ставке в течение 88 (253 – 165) дней. По той же причине осуществляется наращение в течение 21 (253 – 232) дня на сумму 9 тыс. руб. Вексель на сумму 6 тыс. руб. учитывается за 25 (278 – 253) дней.
Складывая приведенные суммы, получим величину Ро консолидированного векселя:
= 18,812 тыс. руб.
Вообще, рассматривая задачу консолидации платежей ,Р2,…,Рт, выплачиваемых соответственно через время n1 ,…,nm, с применением учетной ставки d и выбирая за дату приведения момент уплаты консолидированного платежа , с помощью рассуждений, как и при решении примера, можно получить следующее уравнение эквивалентности:
где в первой сумме происходит суммирование по тем i, для которых выполнено «о а щ, а во второй сумме – по тем j, для которых nQ<rtt.
Пример 1.9.10.В соответствии с контрактом предприниматель должен выплатить кредитору суммы в размерах 12, 20 и 50 тыс. руб. через 90, 120 и 210 дней после 15 марта. Однако бьшо принято совместное решение погасить все суммы единым платежом в 72 тыс. руб. Найдите дату уплаты консолидированного платежа, если используется простая учетная ставка 34% годовых на базе финансового года, равного 360 дням.
Решение. Для пояснения существа дела покажем вначале, как в данном случае можно составить уравнение эквивалентности для определения срока консолидированного платежа. Как и при использовании простой процентной ставки, в этой ситуации для определения срока «q консолидированного платежа осуществляют дисконтирование всех сумм по простой учетной ставке на начальный момент (в примере – 15 марта) и затем приравнивают приведенную стоимость консолидированного платежа к сумме приведенных стоимостей исходных платежей. Решая ло-лученное уравнение относительно «о, находят искомый срок.
Итак, находим вначале дисконтированные стоимости исходных платежей:
12(1 – 0.34) =10,98 тыс.руб.,
20(1 – 0.34) = 17,733 тыс. руб
50(1 – 
0.34) = 40,083 тыс. руб.
Так как приведенная стоимость консолидированного платежа равна 72(1 – * 0,34) тыс. руб., то уравнение примет вид:
72(1- 034) = 10,98 17,733 40,083,
решая которое, находим mq =0,131 года, или ло =47 дней. Отсчитывая от 15 марта 47 дней, получим 1 мая – дату уплаты консолидированного платежа.
Можно и сразу воспользоваться формулой (54), полагая = 12 тыс. руб., Р2 =20 тыс. руб., Р3=50 тыс. руб., Ро = 72 тыс. руб., =90/360 года, п2 =120/360 года, =210/360 года, d= 0,34:
= 
=0,131 года.
В заключение отметим, что условие этого примера можно было записать и в таком виде: требуется заменить три векселя на суммы 12, 20 и 50 тыс. руб. со сроками погашения через 90, 120 и 210 дней одним векселем на сумму 72 тыс. руб. Тогда необходимо было бы найти срок погашения нового векселя. Кстати, согласно формуле (54), новый вексель не может быть выписан на сумму, меньшую 68,796 тыс. руб.
Задачи
1.9.1. Платеж в 4 тыс. руб. со сроком уплаты 3 месяца необходимо заменить платежом со сроком уплаты: а) 2 месяца; б) 5 месяцев. Определите величину нового платежа, если используется простая процентная ставка 36% годовых.
1.9.2. Найдите величину нового срока, если платеж в 5 тыс. руб. со сроком уплаты 6 месяцев предполагается заменить платежом в 4,8 тыс. руб. и используется простая процентная ставка 34% годовых.
1.9.3. Требуется заменить вексель на сумму 50 тыс. руб. со сроком погашения через 90 дней векселем со сроком погашения: а) через 120 дней; б) через 60 дней. В расчетах применяется простая учетная ставка 30% годовых и в году 360 дней.
1.9.4. Найдите величину нового срока, если платеж в 10 тыс. руб. со сроком уплаты 75 дней предполагается заменить платежом в 12 тыс. руб. В расчетах применяется простая учетная ставка 28% годовых и в году 365 дней.
1.9.5. Изучаются варианты замены платежа 100 тыс. руб. со сроком уплаты 4 месяца новым платежом. В каких границах может изменяться величина нового платежа, если используетсяпростая процентная ставка 36% годовых? Как изменится ответ, если используется простая учетная ставка 36% годовых?
1.9.6. Платежи в 8 тыс. руб., 5 тыс. руб., 10 тыс. руб. и 7 тыс. руб. должны быть погашены соответственно через 60, 150, 120 и 200 дней. Кредитор и должник согласились заменить четыре платежа одним через 140 дней. Найдите величину консолидированного платежа, если используется простая процентная ставка 40% годовых и в расчет принимаются обыкновенные проценты.(За дату приведения принять момент выплаты консолидированного платежа.)
1.9.7. Клиент получил в банке кредит на сумму 12 тыс. руб. под 30% годовых. В соответствии с финансовым контрактом клиент обязался погасить кредит тремя платежами с процентами: 6, 2 и 4 тыс. руб. соответственно через 90 , 120 и 180 дней. Однако через некоторое время по обоюдному согласию сторон было решено погасить кредит одним платежом через 150 дней. Найдите величину консолидированного платежа, если начисляются простые обыкновенные проценты. (За дату приведения принять момент выплаты консолидированного платежа.)
1.9.8. Платежи в 5 тыс. руб. и 7 тыс. руб. должны быть погашены соответственно через 60 и 105 дней. Кредитор и должник согласились заменить два платежа одним в размере 11,5 тыс. руб. Найдите срок оплаты консолидированного платежа, если используется простая процентная ставка 32% годовых и начисляются обыкновенные проценты. Для сравнения платежей в качестве даты приведения выбрать день, от которого отмеряются все сроки. Как изменится результат, если в качестве даты приведения выбрать день уплаты платежа в 7 тыс. руб.?
1.9.9. Платежи в 4 тыс. руб., 12 тыс. руб. и 9 тыс. руб. должны быть внесены через соответственно 80, 150 и 210 дней. Было достигнуто соглашение заменить три платежа одним, равным их сумме. Определите срок уплаты консолидированного платежа, если используется простая процентная ставка 30% годовых в условиях начисления обыкновенных процентов. В качестве даты приведения выбрать день, от которого измеряются все сроки.
1.9.10. В соответствии с контрактом предприниматель в течение двух лет в конце каждого квартала должен выплачивать по 5 тыс. руб. Через год, сделав четыре платежа, предприниматель решил сразу погасить оставшийся долг. Какую сумму он должен заплатить в условиях начисления процентов по простой процентной ставке 30% годовых?
1.9.11. По условиям контракта господин N в течение четырех лет каждые полгода должен выплачивать другому лицу по 12 тыс. руб. Через два года, сделав четыре платежа, господин N предложил через полгода выплатить весь оставшийся долг. Какая сумма должна быть выплачена, если расчеты осуществляются по простой процентной ставке 36% годовых?
1.9.12. Платеж 20 тыс. руб. со сроком уплаты 100 дней заменяется двумя платежами со сроками 30 дней и 60 дней, причем первый платеж равен 12 тыс. руб. Какова величина второго платежа- если расчеты осуществляются по простой процентной ставке 25% годовых и начисляются обыкновенные проценты? Для сравнения платежей в качестве даты приведения выбрать день, от которого измеряются все сроки. Как изменится результат, если в качестве даты приведения выбрать день уплаты пер-ноначального платежа?
1.9.13, Платеж 16 тыс. руб. со сроком 45 дней заменяется на четыре равных платежа со сроками 10, 30, 60 и 80 дней. Какова величина этих платежей, если в расчетах используется простая процентная ставка 36% годовых и начисляются обыкновенные проценты? Для сравнения платежей в качестве даты приведения выбрать депь, от которого измеряются все сроки. Как изменится результат, если в качестве даты приведения выбрать день уплаты первоначального платежа?
1.9.14. По условиям контракта сумма в 40 тыс. руб. должна быть выплачена через 8 месяцев. Однако принято согласованное решение о новом порядке выплат через 4, б и 10 месяцев, причем первая сумма равна 10 тыс. руб., а две другие одинаковы по величине. Найдите эти суммы, если используется простая учетная ставка 20% годовых и начисляются обыкновенные проценты? Для сравнения платежей в качестве даты приведения выбрать день, от которого измеряются все сроки. Как изменится результат, если в качестве даты приведения выбрать день уплаты первоначального платежа?
1.9.15. Владелец векселей (кредитор) со сроками уплаты 12 июля (2 тыс. руб.) и 20 сентября (5 тыс. руб.) согласился с предложением должника об объединении двух векселей в один сосроком погашения I августа того же года. Какую сумму необходимо проставить в консолидированном векселе, если используется простая учетная ставка 32% годовых и способ 365/360 (обыкновенный процент с точным числом дней)? В качестве даты приведения принять 1 августа.
1.9.16. Владелец векселя на сумму 12 тыс. руб. со сроком уплаты 14 мая согласился заменить его на три векселя с одинаковыми суммами и сроками погашения 10 марта, 1 июня и 10 августа того же года. Определите сумму, которую необходимо проставить в каждом из новых векселей, если используется простая учетная ставка -25% годовых и способ 365/360. Для сравнения сумм в качестве даты приведения выбрать 14 мая.
1.9.17. По финансовому соглашению фирма должна выплатить одному кредитору суммы в размерах 1, 5 и 4 тыс. руб. через 20, 45 и 90 дней после 1 июня. Однако позже было принято совместное решение погасить все суммы единым платежом в 10,1 тыс. руб. Найдите дату уплаты консолидированного платежа, если используется простая учетная ставка 30% годовых и считают, что в году 360 дней. В качестве даты приведения принять 1 июня.
1.9.18. По условию контракта суммы в 15, 5 и 10 тыс. руб. должны быть выплачены в течение года соответственно 15 апреля, 8 июня и 20 сентября. Стороны решили пересмотреть порядок выплат: 12 тыс. руб. выплачивается 25 мая, 4 тыс. руб. -15 июля и остаток долга погашается 1 августа. Определите величину третьего платежа, если пересчет осуществляется по простой процентной ставке, равной 38% годовых, по способу 365/365 (точный Процент с точным числом дней) и год високосный. Для сравнения платежей в качестве базовой даты принять: а) 15 апреля; б) 20 сентября.
1.9.19. По финансовому соглашению предприниматель должен выплатить банку в течение года суммы в 20, 10 и 30 тыс. руб. соответственно 1 марта, 15 июля и 18 октября. По обоюдному согласию решено осуществить три одинаковых платежа в новые сроки: 10 апреля, 1 июня и 1 сентября. Какова величина этих платежей, если пересчет осуществляется по простой процентной ставке 26% годовых способом 365/365 и год невисокосный. Для сравнения платежей в качестве базовой даты принять: а) 1 марта; б) 18 октября.
§
Пример 2.1.1.Сумма 20 тыс. руб. инвестируется под л центную ставку 25% годовых: а) на 6 лет; б) на 9 лет. Найд наращенные суммы при условии ежегодного начисления ных и простых процентов.
Решение,а) Полагая п = 6, Р = 20 тыс. руб., r = 0,25 „ при наращении сложными процентами по формуле (55) получим:
■ F6 = 20(1 0,25)6 – 20 * 3,8147 = 76,294 тыс. руб.
Множитель наращения в формуле (55) всегда можно вычислить непосредственно по формуле, однако при решении этого примера можно воспользоваться и таблицей 1 значений этого множителя из приложения З1. В данном случае на пересечении строки, соответствующей числу периодов n = 6, и столбца для r = 25% находим, что значение множителя наращения составляет: FM(25%,6) = 3,81472.
Если бы наращение осуществлялось простыми процентами, то по формуле (9):
F = 20(1 6 * 0,25) = 50 тыс. руб.
б) Поскольку в этом случае п = 9, то при наращении сложными и простыми процентами соответственно получим:
F9 = 20(1 0.25)9 = 20 * 7,4506 = 149,012 тыс. руб.,
F= 20(l 9 0.25) = 65 тыс. руб.
В обоих случаях наращение сложными процентами доставляет большую по величине сумму, чем наращение простыми процентами. С увеличением числа периодов начисления разница между этими наращенными суммами все больше растет. Заметим, однако, что если бы проценты начислялись за время, меньшее года, то наращение простыми процентами доставило бы ббльшую сумму, чем сложными.
Пример 2.1.2.Рассчитайте наращенную сумму с исходной суммы в 1 млн руб. при размещении ее в банке на условиях начисления простых и сложных процентов, если годовая процентная ставка равна 30%, периоды наращения различны: 30 дней, 90 дней, 180 дней, 1 год, 3 года, 10 лет, 20 лет, 50 лет. Полагать год равным 360 дней, Обсудите полученные результаты.
Решение. Применяя при Р = 1 и r= 0,3 для простых проц тов формулу (9), а для сложных – формулу (55), получим ел дующие результаты, представленные для наглядности в табли ном виде:
(млн руб.)
| Схема начисления | 30 дней (n=1/12) | 90 дней (n=1/4) | 180 дней | 1 год (n=1) | 3 года (n=3) | 10 лет (и=10) | 20 лет (n=10) | 50 лет (n=10} |
| Простые проценты | 1,025 | 1,075 | 1,15 | 1,3 | 1,9 | |||
| Сложные проценты | 1,0221 | 1,0678 | 1,1402 | 2,1970 | 13,7858 | 109,0496 | 497929,2230 |
Таким образом, если денежные средства размещены в банке на срок менее одного года, то более выгодна схема простых процентов. Так, в частности, при сроке в 180 дней наращенная сумма составит: при использовании схемы простых процентов -1,15млн руб.; при использовании схемы сложных процентов -1,1402 млн руб., т.е. получили разницу между суммами в 9,8 тыс. руб. Если срок размещения денежных средств превышает один год, ситуация меняется диаметрально – более выгодна схема сложных процентов, причем наращение в этом случае идет очень быстрыми темпами. Так, при ставке в 30% годовых при использовании схемы простых процентов за 3 года еще не происходит удвоение исходной суммы, а при использовании схемы сложных процентов за 3 года исходная сумма увеличивается почти в 2,2 раза. Еще большую разницу между наращенными суммами мы видим через 10 лет и тем более через 20 и 50 лет.
Пример 2.1.3.В банке получена ссуда в размере 40 тыс. руб. на 8 лет на следующих условиях: для первых трех лет процентная ставка равна 28% годовых, на следующий год устанавливается маржа в размере 1%, и на последующие годы маро равна 1,5%. Найдите сумму, которая должна быть возвращена банку по окончании срока ссуды при ежегодных начислениях процентов.
Решение.Поскольку имеем дело с ставкой, то, полагая в формуле (56) P = 40, m=3, п1 = 3, n2=1, n3 = 4 , i 
= 0,28, i2 = 0,29, i3 = 0,305, лолуяий:
тыс. руб.
Такая же величина наращенной суммы получается, если в течение 8 лет ежегодно начисляются сложные проценты по про-
центной ставке 
-1 = 0,2937, т.е. = 29,37% годовых. С целью проверки найдем наращенную сумму:
40(1 0,2937)8 =313,855 тыс. руб.,
т.е. с точностью до единиц рублей получили величину 
. Если взять более точное значение , например = 29,3697%, то результат проверки составит 313,850 тыс. руб.
Пример 2.1.4.Предприниматель получил в банке ссуду в размере 50 тыс. руб. на 39 месяцев под процентную ставку 27% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предприниматель должен будет вернуть банку по истечении срока при использовании схемы сложных процентов и при использовании смешанной схемы? Возможны ли другие методы начисления процентов?
Решение.При использовании схемы сложных процентов воспользуемся формулой (55). Так как период начисления равен одному году, то п =3.25 (как правило, при измерении срока в месяцах считают, что месяц равен 
года, т.е. 3 месяца составляют 0,25 года). Далее Р = 50 тыс. руб., r = 0.27, следовательно:
=108,726 тыс. руб.
Если использовать смешанную схему, то при w = 3 , f = 0,25 по формуле (57) получим:
=50(1 0.27)3(1 0.25*0.27) = 109332тыс.руб,
т.е. итоговая сумма больше, чем при начислении только сложпроцёнтами.
В случае нецелого числа лет кроме схемы сложных процентов и смешанной схемы (формулы (55) и (57)) возможны и дру-эды начисления процентов.
ю использовать схему сложных процентов для целого ^лст.взяв это число с избытком, и затем полученную сумму учесть *на 100″ из простых процентов за лишнее время, до-бавленнос для достижения целого числа лет. Таким образом, если n = w f (0<f<1), то добавляем время 1-f и получаем
целое число лет w 1 Наращенная сумма находится по формуле:
Если же сумму P(l r)w 1 учесть простыми процентами “со 100” за лишнее время, то наращенная сумма определяется формулой:
Можно использовать схему сложных процентов для целого числа лет в затем полученную сумму нарастить простыми процентами “во 100” за дробную часть года, т.е. применить формулу:
Если обозначить наращенные суммы, найденные по схеме сложных процентов и по смешанной схеме соответственно через 
и 
, то справедлива следующая цепочка неравенств:
Поскольку согласно условию примера w 1 = 3 1=4 1-f =1-0,25 = 0,75 , то, применяя последовательно три послед ние формулы, получим:
тыс.руб,
тыс.руб.;
тыс.руб,
Очевидно, полученные значения наращенных сумм удовлетворяют приведенным выше неравенствам.
Пример 2.1.5. Клиент помещает в банк 40 тыс. руб. на 33 месяца под процентную ставку 26% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных сложных процентов. Проанализируйте, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления процентов: а) полугодовое; б) квартальное.
Решение, а) В случае полугодового начисления процентов продолжительность общего действия контракта не равна целому числу периодов начисления (т.е. не равна целому числу полугодий, поскольку 33 месяца (2,75 года) не делятся нацело на 6). Поэтому нужно воспользоваться формулами (58) и (59), когда параметры формул имеют следующие значения: Р = 40, п = 2,75, т = 2, 
= 5 (количество целых полугодий в 33 месяцах), 
= 0,5 (поскольку 3 месяца от 6 месяцев составляют половину или же можно формально найти таким образом = mn- =2.*2,75-5 = 5,5-5 = 0,5), r(2)=0.2б.
• При реализации схемы сложных процентов:
= 78341 тыс. руб.
При реализации смешанной схемы:
тыс. руб
Отметим, что в математике целую часть числа а принято обозначать через [а]. Используя это обозначение, величину определяем таким образом: =[ т * n] = [2 * 2,75] = [5,5] = 5.
б) В случае квартального начисления процентов т = 4, r 4 = 0,26, = [4 * 2,75] = [1] = 11, = 0, т.е. срок помещения капитала равен целому числу кварталов. Поэтому формулы (58) и (59) дают один и тот же результат:
= 79,966 тыс. руб.
Естественно, в этом случае мы фактически пользуемся формулой (55), в которой n=11, r = 0,26/4 = 0,065. В связи с этим заметим, что, используя обозначение множителя наращения в формуле (55): FM 1(r, n) = (1 r) 
, формулу (58) можно записать в виде:
Следовательно, в ряде случаев значения множителя 
можно найти по таблице значений множителя FM1(r,n), полагая
в качестве r и п соответственно 
и тп (конечно, если таблица достаточно подробна и позволяет сделать это).
Пример 2.1.6.Предлагается оформить вклад под следующие процентные ставки: 110% годовых или 22% за квартал, причем в обоих случаях используется смешанная схема начисления процентов. Какой вариант выгоднее, если срок хранения вклада составляет: а) 9 месяцев; б) один год? До какого срока выгоднее иметь 110% годовых, а когда выгоднее ежеквартальное начисление по 22%? финансовый год принять равным 360 дней (месяц – 30 дней).
Решение,а) Обозначим величину вклада через Р. Вначале рассмотрим вариант 110% годовых. Так как срок хранения (9 месяцев) меньше периода начисления (1 год), то согласно смешанной схеме начисляются простые проценты и можно воспользоваться, например, формулой (9), где r = 1,1, п = 
= 0,75 :
Если начисляются проценты из расчета 22% за квартал, то, поскольку 9 месяцев равны трем периодам начисления, используем формулу (55), где r = 0,22, n = 3 :
Так как 
, то первый вариант выгоднее.
б) Когда срок хранения вклада равен одному году, рассуждая, как и в предыдущем случае, получим соответственно по первому (110%) и второму (22%) вариантам:
т.е. выгоднее второй вариант.
Выясним, начиная с какого момента выгоднее начисление 22% за квартал. Из только что изложенного решения следует, что этот “пограничный” срок хранения больше 9 месяцев, но меньше года, т.е. искомый срок равен n = 0,75 f года, где 0<f<0,25,
Для первого варианта по формуле (9) получим:
F = Р{1 (0,75 f) 1,1) = 1,825Р 1,1Р.
Для второго варианта можно применить формулу (57), где г = 0,22, w = 3, и , используя уже введенное обозначение / из искомого срока хранения, в качестве / из формулы (57) надо взять 4/ (так как квартал в 4 раза меньше года). В результате получим:
F = Р( 0,22)3 (1 4/ ■ 0,22) = ]$16Р 1,598,/Р.
Приравнивая найденные наращенные суммы и сокращая обе части равенства на Р, получим уравнение с одним неизвестным / :
решая которое находим / = 0,018 года, или 6,48 дня, т.е. приблизительно 7 дней.
Прибавляя к 9 месяцам (270 дней) 7 дней, получим величину искомого срока – 277 дней.
Таким образом, в условиях примера до 277 дней выгоднее иметь 110% годовых, а после становится выгоднее начисление по 22% за квартал.
Пример 2.1.7.Некоторая сумма инвестируется под процентную ставку 30% годовых. Определите время, необходимое для увеличения первоначальной суммы: а) в 4 раза; б) в 2 раза при начислении в конце года сложных и простых процентов.
Решение, а) Если начисляются сложные проценты, то можно воспользоваться формулой (60), где Fn=4Pt т = 1, 
n= 
= 5,284 года.
При начислении простых процентов найдем в общем виде время, необходимое для увеличения первоначальной суммы в к раз (кстати, формула (60) получается аналогично). Так как множитель наращения равен к, то для простых процентов из равенкства
1 пт = к получаем: n = 
. Полагая k = 4, r = 03, получим:
n= 
= 10 лет.
Таким образом, для увеличения первоначальной суммы в 4 раза при начислении сложных процентов требуется времени гораздо меньше (почти в 1,9 раза), чем при начислении простых процентов.
б) Для случая простых процентов находим:
= 3,333 года,
т.е. необходимый срок удвоения первоначальной суммы при начислении простых процентов равен обратной величине процентной ставки, используемой при наращении.
Для случая сложных процентов формула (60) согласно уело-вию задачи примет вид (так как Fn=2P, m =1, 
=r):
Таким образом,
= 2,642 года.
В практических расчетах для наглядной и быстрой оценки эффективности предлагаемой ставки наращения при реализации схемы сложных процентов пользуются приблизительным расчетом времени, необходимого для удвоения инвестированной суммы, известным как “правило 72-х”. Это правило заключается в следующем: если r – процентная ставка, выраженная в процентах, то n = 72/r представляет собой число периодов, за которое исходная сумма приблизительно удвоится. Это правило хорошо срабатывает для небольших значений r. Так, если годовая ставка r = 12%, то применение “правила 72-х” дает значение п = 6 годам (а по формуле (60) получим п = 6,116 года). Если же годовая ставка r = 30% (как в примере), то по правилу n = 2,4
года (а по формуле (60) получили п = 2,642 года). Следует также обратить внимание на то обстоятельство, что, хотя в большинстве финансовых расчетов процентная ставка берется в десятичных дробях, в формуле алгоритма “правила 72-х” ставка взята в процентах.
Существуют и другие правила, с помощью которых быстро рассчитывают срок удвоения первоначального капитала для конкретной ставки. В литературе можно встретить “правило 70”:
п= 
и аналогичное “правило 71”. Отметим также “правило 69 “: n = 
035, в соответствии с которым для ставки r = 30% получим п = 
035 = 2,65 года, т.е. достаточно близкое к полученному по точной формуле значению п = 2,642 года.
Пример 2.1.8.Вкладчик хотел бы за 7 лет утроить сумму, помещаемую в банк на депозит. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка при начислении сложных процентов: а) каждые полгода; б), каждый месяц?
Решение, а) Так как п = 7, 
=3P, m = 2 , то по формуле (61):
т.е. номинальная процентная ставка должна быть не менее 16,33% годовых.
б) В этом случае m = 12 и поэтому:
Естественно, эта ставка меньше, чем 
поскольку при одной и той же исходной сумме сложные проценты начисляются в 6 раз чаще. Аналогичное неравенство справедливо и в общем случае, а именно: пусть 
и 
эквивалентные номинальные годовые процентные ставки и m > i тогда <
Пример 2,1.9.Предприниматель может получить ссуду: а) на условиях ежемесячного начисления сложных процентов из расчета 32% годовых; б) на условиях ежеквартального начисле-ния сложных процентов из расчета 34% годовых. Какой вариант более предпочтителен для предпринимателя?
Решение.Относительные расходы предпринимателя по обслуживанию ссуды могут быть определены с помощью расчета по формуле (63) эффективной годовой процентной ставки – чем она выше, тем выше уровень расходов.
а) Полагая для этого варианта т = 12 , = 0,32 , получим:
б) Поскольку здесь m =4, = 0,34, то:
= 0,3859.
Таким образом, первый вариант является более предпочтительным для предпринимателя. Необходимо отметить, что принятие решения не зависит от величины кредита, поскольку критерием является относительный показатель – эффективная ставка, а она, как следует из формулы (63), зависит лишь от номинальной ставки и количества начислений.
Пример 2.1.10.Определите номинальную процентную ставку, если эффективная годовая процентная ставка равна 40% и сложные проценты начисляются: а) каждые полгода; б) ежемесячно; в) ежедневно.
Решение.Полагаем 
= 0,4 и пользуемся формулой (62).
а) Так как m = 2, то
r(2) = 2[(1 0,4) 
-1]= 0,3664, или 36,64% .
б) Поскольку в этом случае m = 12 , то
r(12) =12[(1 0,4) 
-1] = 0,3412,или 34,12%.
в) Считая в году 360 дней, при m = 360 получим:
= 36О[(1 О,4) 
-1]=0,3366,или 33,66%.
Если взять в году 365 дней, то, оставляя после запятой 4 знака, получим тот же результат: r(365) = 33,66%, так как при ежедневном начислении различие между номинальными ставками можно обнаружить при высокой точности вычислений (в данном случае r(360) =0,3366295, r(365) =03366273).
Заметим, что найденные номинальные ставки r(2), r(12) и эквивалентны, так как они найдены с помощью одной и той же эффективной ставки. Таким образом, ежегодное начисление сложных процентов по ставке 40% годовых дает тот же результат, что и начисление сложных процентов каждые полгода по ставке 36,64%, или ежемесячно по ставке 34,12%, или ежедневно по ставке 33,66%. Отметим, что r(2) >r(12) >r(36О), т.е. величина номинальной процентной ставки убывает, когда количество начислений сложных процентов в году увеличивается.
Пример 2.1.11.В долг на 28 месяцев предоставлена сумма в 50 тыс. руб. с условием возврата 85 тыс. руб. Найдите эффективную ставку в этой финансовой сделке.
Решение. Выражая 28 месяцев в годах, получим 7/3 года. Подставляя в формулу (64) Р = 50 тыс. руб., Fn =85 тыс. руб., п = 
, находим:
или 25,53%
Проверим полученный ответ. Пусть в банк помещен вклад в размере 50 тыс. руб. на 7/3 года под процентную ставку 25,53% годовых и начисляются сложные проценты. Тогда наращенная сумма будет равна:
F7/3 =5O(1 O,2553) 
84,9926 85 тыс.руб.
Пример 2.1.12.Из какого капитала можно получить 45 тыс. руб. через 6 лет наращением сложными процентами по процентной ставке 36%, если наращение осуществлять: а) ежегодно; б) ежеквартально?
Решение.Полагаем n = 6, F6 = 45 тыс. руб.
а) При ежегодном наращении пользуемся формулой (65) при r = 036:
P= 
=7,112 тыс. руб.
б) При ежеквартальном наращении пользуемся формулой (66) при m=4 и r(m)=036:
P= 
= 5,688 тыс. руб.
Если использовать обозначение множителя дисконтирования FM2(r,n), формулу (66) можно записать в виде:
Поэтому в ряде случаев значения множителя 
можно найти по таблице 2 значений множителя FM2(r,n) из приложения 3, полагая в качестве r и n соответственно
и тп (конечно, если таблица достаточно подробна и позволяет сделать это). В частности, для случая б) имеем 
= 9%
и число периодов тп = 4 *6 = 24. Воспользовавшись таблицей 2 приложения 3, получим: Р = 45*0,1264 = 5,688 тыс. руб.
Пример 2.1.13.Оцените, что лучше: получить 16 тыс. руб. через 2 года или 50 тыс, руб. – через 6 лет, если можно поместить деньги на депозит под сложную процентную ставку 35% годовых?
Решение.Можно доказать, что для случая сложных процентов и постоянной процентной ставки справедливо утверждение: если одна сумма больше другой в некоторый момент времени, то это неравенство справедливо и для любого момента времени. Поэтому будущие поступления, являющиеся разновременными суммами, для случая сложных процентов можно оценивать с
позиции произвольно выбранного момента времени. Напомним, что в ситуации простых процентов эти утверждения не всегда имеют место.
Так как с позиции текущего момента (формула (65)):
= 8,780 тыс. руб.,
= 8,260 тыс. руб.,
то выгоднее получить 16 тыс. руб. через 2 года.
Конечно, можно было проводить все сравнения с позиции будущего: через 6 лет. Тогда определяем наращенную сумму за 4 года капитала в размере 16 тыс. руб.:
F4 =16(1 0,35) 
= 53,144тыс. руб. и, сравнивая с 50 тыс. руб., приходим к тому же выводу (кстати, выполнив меньшее количество вычислений).
Пример 2.1.14.Определите современную ценность 20 тыс. руб., если: а) эта сумма будет получена через 4 года 9 месяцев; б) эта сумма была получена 2 года 6 месяцев назад; в) эта сумма получена в настоящий момент времени. Учесть возможность помещения денег на депозит под сложную процентную ставку 30% годовых.
Решение, а) Для того чтобы оценить современную ценность суммы денег, необходимо осуществить приведение этой суммы на настоящий момент времени, учитывая возможность инвестирования денег под сложную процентную ставку 30%, т.е. необходимо определить приведенную стоимость 20 тыс. руб. В данном случае современная ценность 20 тыс. руб. равна такой сумме, которая при начислении сложных процентов по ставке 30% станет равной 20 тыс. руб. через 4 года 9 месяцев. Полагая в формуле (65)
n = 4,75 , F4 =75 = 20 тыс. руб., r = 0,3, получим:
= 5,752 тыс. руб.
б) В этом случае современная ценность 20 тыс. руб. равна такой сумме, которая получится при наращении сложных процентов на 20 тыс. руб. в течение 2 лет 6 месяцев по ставке 30%. Воспользовавшись формулой (55) при n = 2,5, Р = 20, r = 0,3,
получим:
=38,538 тыс.руб.
в) Поскольку в этой ситуации 20 тыс. руб. получены в настоящий момент времени, то их современная ценность составляет 20 тыс. руб.
Пример 2.1.15.Господин N поместил в банк 40 тыс. руб. на условиях начисления каждые полгода сложных процентов по годовой номинальной процентной ставке 34%. Через полтора года господин N снял со счета 18 тыс. руб., а через 3 года после этого закрыл счет. Определите сумму, полученную господином N при закрытии счета.
Решение.Обозначим через х величину суммы, полученной при закрытии счета. Для наглядности изобразим ситуацию, описанную в задаче, на оси времени, причем одно деление оси времени будет соответствовать одному периоду начисления процентов, т.е. одному полугодию. Сумму, помещенную в банк, изобразим над осью времени, а все изъятия – под осью:
§
i I I I I I I I I j_____________
о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n
18 х
Полагая Р = 40 тыс. руб., n = 1,5, m = 2, r(2) = 0,34, по формуле (58) получим сумму на счете через полтора года:
тыс. руб.
Поскольку в это время 18 тыс. руб. изымаются, то дальнейшее
наращение осуществляется на сумму [40 
-18] тыс.
руб., и, таким образом, через 3 года (n = 3) при закрытии счета господин N получит:
= 118,162 тыс. руб.
Заметим, что такое же равенство для нахождения х можно получить, и используя понятие приведенной стоимости, что позволяет единообразно решать многие задачи. Дня изложения
нового подхода к решению сформулируем задачу в общем виде. Пусть в банк в конце некоторых периодов начисления сложных процентов помещаются на счет и изымаются со счета некоторые суммы. Найдем приведенные к одному моменту стоимости всех сумм и остатка на счете. Тогда справедливо следующее уравнение эквивалентности: сумма приведенных стоимостей всех вкладов равна сумме приведенных стоимостей всех изъятий и приведенной стоимости остатка на счете.
Воспользуемся таким уравнением эквивалентности для решения рассматриваемого примера. Выберем в качестве момента приведения начальный момент времени. В этом случае уравнение эквивалентности примет вид:
После умножения обеих частей уравнения на множитель
= (1 0,17) 
и переноса всех известных слагаемых в
одну часть равенства, а х – в другую, получим:
x=40(1 0,17) -18(1 0,17) 
т.е. пришли к такому же выражению для определения х, как и ранее.
В качестве момента приведения можно было выбрать любой момент времени. Так, если взять 4 года 6 месяцев, то уравнение эквивалентности примет вид:
т.е. опять получаем то же самое выражение для определения х.
Пример 2.1.16.На вашем счете в банке лежит сумма в 60 тыс. руб. Банк начисляет сложные проценты по процентной ставке 32% годовых. Вам предлагают войти всем вашим капиталом в организацию венчурного предприятия. Представленные экономические расчеты показывают, что через 4 года ваш капитал возрастет в 3,5 раза. Стоит ли принимать это предложение? Как может повлиять на выбор решения учет фактора риска?
Решение.Оценка данной ситуации может быть сделана либо с позиции будущего, либо с позиции настоящего. В первом случае анализ основан на сравнении двух сумм, получаемых от вложения в рисковое предприятие и в банковское учреждение с гарантированным доходом. Первая сумма равна 60-3,5=210 тыс. руб,, вторая находится по формуле (55):
FA = 60(1 032)4 = 182,157 тыс. руб.
Приведенный расчет свидетельствует об экономической выгоде сделанного вам предложения. Однако при принятии окончательного решения необходимо по возможности учесть фактор риска.
Второй вариант анализа основан на дисконтированных оценках с использованием формул (65) и (66). В этом случае процентная ставка в множителе дисконтирования устанавливается инвестором и равна тому относительному размеру дохода, который инвестор хочет или может получить на инвестируемый им капитал.
Определяя процентную ставку в дисконтном множителе, обычно исходят из так называемого безопасного или гарантированного уровня доходности финансовых инвестиций, который обеспечивается государственным банком по вкладам или при операциях с ценными бумагами. При этом может даваться надбавка за риск, причем, чем более рисковым считается рассматриваемый проект или финансовый контракт, тем больше размер премии за риск. Иными словами, процентная ставка r , используемая в дисконтном множителе, будет в этом случае иметь следующий вид:
где r 
– безрисковая доходность; rr – премия за риск.
Допустим, что финансовый консультант рекомендует оценить риск участия в венчурном предприятии путем введения премии в размере 8%. Таким образом, используемая в множителе дисконтирования ставка будет равна 40%. Тогда по формуле (65) можно рассчитать приведенную стоимость ожидаемого поступления при участии в венчурном предприятии:
= 54,663 тыс. руб.
При таких исходных посылках предложение об участии в венчурном предприятии становится невыгодным. Однако следует иметь в виду, что такой вывод сделан в результате оценки риска путем введения премии в размере 8%. Бели же, например, считать достаточной премию в размере 4%, то по формуле (65) получим:
= 2100,2923 = 61,383 тыс. руб.,
т.е. предложение об участии в венчурном предприятии становится выгодным.
Пример 2.1.17.Банк начисляет ежеквартально сложные проценты на вклады по номинальной годовой процентной ставке 32%. Определите в виде простой годовой процентной ставки стоимость привлеченных средств для банка при их размещении: а) на 9 месяцев; б) на год.
Решение,а) Стоимость привлеченных средств можно найти по формуле (23), где через Р обозначена использованная сумма средств; через F-P – проценты, выплаченные за использование суммы Р в течение времени n, a F определяется с помощью формулы (58), где п = 0,75, m = 4, r(4) = 0,32. Итак,
F-P = 
r = 
= 0,3463, или 34,63% годовых.
Конечно, можно былои сразу применить формулу (81):
, устанавливающую эквивалентность простои
и
ставки rи сложной ставки r (m):
По существу в изложенном предыдущем решении приведена схема вывода этой формулы. б) Полагая n = 1, воспользуемся сразу формулой (81) или, что то же самое в этом случае, формулой (63):
= 0,3605 = 36,05%.
Таким образом, относительная стоимость привлеченных средств в этом случае равна эффективной ставке.
Пример 2.1.18.Предприниматель получил в банке кредит на 5 лет по процевтной ставке 28% годовых, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 1,4% от величины кредита. Найдите доходность такой финансовой операции для банка в виде эффективной процентной ставки, если банк начисляет ежегодно сложные проценты на исходную сумму кредита. Как изменится доходность при выдаче кредита на 3 года и на 8 лет?
Решение.Обозначим через Р величину кредита, тогда величина удержанных комиссионных составит 0.014Р, и, следовательно, предпринимателю будет выдана сумма Р -0.014Р = 0.986Р. За 5 лет исходная сумма вместе с начисленными процентами составит: F5 = P(l 0,28)5 . Теперь по формуле (64) можно определить доходность финансовой операции для банка в виде эффективной процентной ставки:
т.е. = 28,36%, что больше объявленных банком 28% годовых.
Таким образом, удержание комиссионных увеличивает доходность финансовой операции для кредитора (банка).
При выдаче кредита на 3 года наращенная сумма составит
=P(1 0,28)3. и. следовательно, доходность для банка будет равна:
т.е. больше, чем при выдаче кредита на 5 лет.
Аналогичным образом при сроке кредита 8 лет получим:
т.е. меньше, чем при выдаче кредита на 5 лет.
Основываясь на рассмотренном примере, можно сделать вывод, что при удержании комиссионных увеличение срока кредита уменьшает доходность финансовой сделки для кредитора. Конечно, если комиссионные не взимаются, то при любом сроке кредита при ежегодном начислении сложных процентов доходность такой финансовой сделки в виде годовой эффективной процентной ставки будет постоянной и равна 28%.
Пример 2.1.19.Выдана ссуда под процентную ставку 35% годовых, при этом сразу были взысканы комиссионные в размере 3% от величины ссуды. Определите доходность такой сделки в виде годовой эффективной процентной ставки, если кредитор начисляет простые проценты на исходную величину ссуды и срок ссуды: а) 3 года; б) 6 лет.
Решение,а) Если Р – величина ссуды, то удержанные комиссионные составят 0,03Р, и поэтому заемщику будет выдана сумма P- 0,03Р * 0.97Р. Через 3 года заемщик должен возвратить сумму F3 = Р(1 3*0,35) = 2,05.Р. Следовательно, по формуле (64) доходность сделки для кредитора составит:
или 28,33%.
Если бы комиссионные не взыскивались, то
= 0,2703, или 27,03%.
Как и следовало ожидать, удержание комиссионных увеличивает доходность сделки для кредитора.
б) При выдаче ссуды на 6 лет наращенная сумма составит F6 = Р(1 6 *0,35) =3,1Р и поэтому:
или 2137%.
Таким образом, увеличение срока ссуды уменьшает доходность сделки для кредитора.
Пример 2.1.20.Вы имеете возможность поместить свои свободные денежные средства в долларах США на полтора года в одном банке на валютном депозите под процентную ставку 16% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов или в другом банке эту же сумму поместить на рублевом депозите под процентную ставку 20% годовых с полугодовым начислением сложных процентов. Как вам лучше поступить, если курс покупки долларов на начало срока – 19 руб. 10 коп., а ожидаемый курс продажи через полтора года – 22 руб. 80 коп.?
Решение.Обозначим имеющееся количество долларов через Р . Помещая их на валютный депозит, через полтора года можно получить (согласно формуле (58)):
= 1,2692 долл. США.
Если же имеющиеся Р долларов обменять на рубли, то в соответствии с курсом покупки можно получить 19.1Рруб. Через полтора года наращенная сумма на рублевом депозите составит:
=25,4221 руб.,
что при конвертации по ожидаемому курсу продажи даст:
= 1,1150долл. США. Сравнивая эту величину с наращенной суммой на валютном депозите, делаем вывод, что лучше поместить доллары на валютный депозит.
Пример 2.1.21.На вклад 200 тыс. руб. по истечении 5 лет были начислены сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 28% исходя из ежеквартальной схемы .начисления. Определите наращенную сумму после уплаты налога на проценты, если налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока и ставка налога на проценты равна 15%.
Решение. Полагая Р = 200 тыс. руб., n = 5, m = 4, r(4) = 0,28, по формуле (58) находим наращенную сумму до уплаты налога:
F5 = 200 
= 773,937 тыс. руб.
Сумма налога на проценты составит:
= 86,091 тыс. руб.
Следовательно, после уплаты налога наращенная сумма станет равной величине:
= 687,846 тыс. руб. Это значение можно получить и по формуле (101), где
Пример 2.1.22.На вклад в 200 тыс. руб. в течение 5 лет раз в год начислялись сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 28% исходя из ежеквартальной схемы начисления. Определите итоговую наращенную сумму после уплаты налога на проценты, если налог на проценты уплачивается каждый год путем выделения средств из накапливаемой суммы и ставка налога на проценты равна 15%. Чему равна величина налога за каждый год?
Решение.Используя обозначения предыдущего примера, итоговую наращенную сумму после уплаты налога на проценты находим по формуле (102):
F5 =200 [13108 – (1,3108 -1) – 0,15]5 =645,765 тыс, руб.
Для определения величины налога за каждый год воспользуемся рекуррентным соотношением, следующим из формулы (103):
, где к = 2,3,…,n. Таким образом,
Q(1) = 200 *(1,3108 -1) * 0,15 = 9,324 тыс. руб.,
Q(2) = 9,324 * 1,2642 = 11,787 тыс. руб.,
Q(3) = 11,787 * 1,2642 = 14,901 тыс. руб.,
Q(4) =14,901*1,2642 = 18,838 тыс. руб.,
Q(3) = 18,838*1,2642 = 23,815 тыс. руб.
Задачи
2.1.1. Депозит в 40 тыс. руб. положен в банк на 5 лет под процентную ставку 28% годовых. Найдите наращенную сумму, если ежегодно начисляются сложные проценты. Составьте схему возрастания капитала по годам.
2.1.2. Сумма 24 тыс. руб. инвестируется под процентную ставку 30% годовых: а) на 4 года; 6) на 10 лет. Найдите наращенные суммы при условии ежегодного начисления сложных и простых процентов.
2.1.3. Сделайте сравнительный анализ графиков изменения наращения капитала при реализации схем простых и сложных процентов.
2.1.4. Предприниматель получил в банке ссуду в размере 30 тыс. руб. сроком на 7 лет на следующих условиях: для первых двух лет процентная ставка равна 22% годовых, на следующие три года устанавливается маржа в размере 0,5% и на последующие годы маржа равна 0,8%. Найдите сумму, которую предприниматель должен вернуть в банк по окончании срока ссуды при ежегодном начислении сложных процентов.
2.1.5. Банк предоставил ссуду в размере 250 тыс. руб. на 33 месяца под процентную ставку 34% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока при использовании схемы сложных процентов и при использовании смешанной схемы? Какая схема менее выгодна для банка?
2.1.6. Предприниматель взял в банке кредит в размере 90 тыс. руб. под сложную процентную ставку 36% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Через 2 года и 7 месяцев кредит был погашен суммой 201,421 тыс. руб. Какую из двух основных схем начисления процентов использовал банк?
2.1.7. Вы делаете вклад в банк в размере 14 тыс. руб. сроком на 5 лет. Банк начисляет 32% годовых. Какая сумма будет на счете к концу срока, если начисление процентов производится по схеме сложных и простых процентов: а) ежегодно; б) каждые полгода?
2.1.8. Рассчитайте наращенную сумму с исходной суммы в 1 тыс. руб. при размещении ее в банке на условиях начисления простых и сложных процентов, если годовая процентная ставке равна 24%, периоды наращения различны: 30 дней, 150 дней, 210 дней, 1 год, 4 года, 10 лет, 20 лет. Полагать год равным 360 дней. Обсудите полученные результаты.
2.1.9. В банк вложены деньги в сумме 8 тыс. руб. на полтора года под 32% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов. Приведите схему возрастания капитала в конце каждого периода. Как изменится итоговая наращенная сумма при ежемесячном начислении сложных процентов? Какой вывод можно сделать о частоте начисления сложных процентов?
2.1.10 Клиент поместил в банк 100 тыс. руб. на 5 лет под процентную ставку 36% годовых. Определите наращенную за это время сумму при начислении сложных процентов: а) ежегодно; б) по полугодиям; в) ежеквартально; г) ежемесячно; д) еженедельно; е) ежедневно. Полагать в году 360 дней.
2.1.11. Банк предоставил ссуду в размере 150 тыс. руб. на 39 месяцев под процентную ставку 30% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных сложных процентов. Проанализируйте, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления процентов: а) годовое; б) полугодовое; в) квартальное.
2.1.12. Определите время, за которое происходит удвоение первоначальной суммы при начислении простых и сложных процентов, если процентная ставка равна: а) 5%; б) 10%; в) 15%; г) 25%; д) 50%; е) 75%; ж) 100%.
2.1.13. На вклад в конце каждого полугодия начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 20%. За какой срок первоначальный капитал увеличится в четыре раза? Как изменится результат, если сложные проценты начисляются ежемесячно?
2.1.14. За какой срок исходная сумма 20 тыс. руб. возрастет до 60 тыс. руб., если сложные проценты по процентной ставке 28%
дгрдовых начисляются: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежеме-«чир?
2.1.15. Вы имеете 10 тыс. руб. и хотели бы удвоить эту сум-Через пять лет. Каково минимально приемлемое значение сложной процентной ставки при ежегодном начислении процентов? Сравните результат, полученный по точной формуле, с ре-ультатом, полученным с помощью “правила 72-х”.
2.1.16. Вкладчик хотел бы за 4 года удвоить сумму, помещаемую в банк на депозит. Какую годовую номинальную процентную ставку должен предложить банк при начислении сложных процентов ежеквартально?
2.1.17. Господин N хочет поместить в банк 8 тыс. руб., чтобы через 3 года получить 12 тыс. руб. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка при начислении сложных процентов: а) каждые полгода; б) каждый квартал?
2.1.18. Какие условия предоставления кредита при начислении сложных процентов по процентной ставке более выгодны банку: а) 29% годовых, начисление ежеквартальное; 6) 30% годовых, начисление полугодовое?
2.1.19. Вы имеете возможность получить кредит либо на условиях 32% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов, либо на условиях 33% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов. Какой вариант предпочтительнее, если выплата процентов будет сделана единовременно вместе с погашением кредита?
2.1.20. Рассчитайте эффективную годовую процентную ставку при различной частоте начисления сложных процентов, если номинальная процентная ставка равна 20% годовых. Сравните между собой полученные результаты.
2.1.21. В долг на 3 года 6 месяцев предоставлена сумма 8 тыс. руб. с условием возврата 20 тыс. руб. Найдите эффективную процентную ставку в этой финансовой сделке.
2.1.22. Предприниматель инвестировал 60 тыс. руб, и получил через 140 дней 75 тыс, руб. Определите доходность этой операции в виде эффективной процентной ставки на базе: а) 360 дней; б) 365 дней.
2.1.23. Определите номинальную годовую процентную ставку, если эффективная ставка равна 30% и сложные проценты начисляются: а) ежеквартально; б) ежемесячно.
2.1.24. Каковы будут эквивалентные номинальные годовые процентные ставки с начислением сложных процентов по полугодиям и ежемесячно, если соответствующая им эффективная ставка равна 26%?
2.1.25. Из какого капитала можно получить 15 тыс. руб. через 4 года наращением сложными процентами по процентной ставке 24% годовых, если наращение осуществлять: а) ежегодно; б) по полугодиям; в) ежемесячно? Чему равен дисконт?
2.1-26. Наращенная к концу седьмого года сумма составит 240 тыс. руб. Найдите ее современное значение, если начисляются сложные проценты: а) по полугодиям по процентной ставке 30% годовых; б) ежеквартально по процентной ставке 40% годовых.
2.1.27. Какую сумму необходимо поместить в банк под сложную процентную ставку 30% годовых, чтобы накопить 50 тыс. руб.: а) за 6 лет при ежегодном начислении процентов; б) за 4 года при ежемесячном начислении процентов?
2.1.28. Определите современную ценность 40 тыс. руб., если: а) эта сумма будет получена через 5 лет 3 месяца; б) эта сумма была получена 3 года 6 месяцев назад; в) эта сумма получена в настоящий момент времени. Учесть возможность помещения денег на депозит под сложную процентную ставку 36% годовых.
2Л .29. Банк начисляет ежеквартально сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 32%. Определите современную ценность 15 тыс. руб,, если: а) эта сумма была помещена на депозит в банке 3 года 2 месяца назад; б) эта сумма будет помещена на депозит в банке через 10 месяцев.
2.1.30. Свободные денежные средства помещены в банк под сложную процентную ставку 40% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Через 3 года и 10 месяцев счет был закрыт и получена сумма в размере 36,587 тыс. руб. Определите величину наращенной суммы, которая была бы получена при закрытии счета через 2 года и 3 месяца, если банк начисляет проценты по смешанной схеме.
2.1.31. На вашем счете в банке 8 тыс, руб. Банк платит 22% годовых, Вам предлагают принять участие всем вашим капиталом в некоторой финансовой сделке. Представленные экономические расчеты показывают, что в случае согласия через пять лет ваш капитал возрастет в 2,9 раза. Стоит ли принимать это предложение? Оцените ситуацию с позиции будущего и с позиции настоящего. Как может повлиять на выбор решения учет фактора риска?
2.1.32. Какая сумма предпочтительнее при сложной процентной ставке 29% годовых: 100 тыс. руб. сегодня или 700 тыс. руб. через 8 лет?
2.1.33. Что выгоднее: получить 4,6 тыс. руб. через 4 года или 5,2 тыс. руб. через 5 лет, если можно поместить деньги на депозит под сложную процентную ставку 16% годовых? Оцените ситуацию с позиции будущего и с позиции настоящего.
2.1.34. Определите, под какую сложную процентную ставку можно поместить деньги на депозит, если 10 тыс. руб. сейчас будут эквивалентны 37,129 тыс. руб. через 5 лет. Как изменится ответ, если банк начисляет сложные проценты ежеквартально?
2.1.35. За взятые в долг деньги под сложную процентную ставку 35% годовых должник обязан уплатить кредитору 30 тыс. руб. 1 июля 1997 г. Какую сумму необходимо уплатить должнику, если он вернет долг: а) 1 января 1997 г.; б) 1 января 1998 г.; в) 1 июля 1999 г.?
2.1.36. Клиент поместил в банк 25 тыс. руб. на условиях начисления сложных процентов по процентной ставке 30% годовых. Через 1 год 9 месяцев клиент снял со счета 8 тыс. руб., еще через 3 года положил на свой счет 4 тыс. руб., а после этого через 2 года 3 месяца он закрыл счет. Определите сумму, полученную клиентом при закрытии счета.
2.1.37. Господин N поместил в банк 30 тыс. руб. на условиях начисления каждый квартал сложных процентов по годовой номинальной процентной ставке 32%. Через 3 года 3 месяца господин N снял со счета 12 тыс. руб., еще через 1 год 6 месяцев положил на свой счет 8 тыс. руб., а после этого через 15 месяцев он закрыл счет. Определите сумму, полученную господином N при закрытии счета.
2.1.38. Фирме нужно накопить 2 млн долл., чтобы через 10 лет приобрести здание под офис. Наиболее безопасным способом накопления является приобретение безрисковых государственных ценных бумаг, генерирующих годовой доход по ставке 8% при полугодовом начислении процентов. Каким должен быть первоначальный вклад фирмы?
2.1.39. У вас есть возможность выбора между получением 30 тыс. руб. через год или 72 тыс. руб. через 6 лет. Каков ваш выбор, если есть возможность поместить деньги в банк под сложную процентную ставку: а) 12%; б) 20%? А если нет возможности инвестирования куда-либо денег или вы не хотите воспользоваться такой возможностью?
2.1.40. Вкладчик положил в банк два года назад 16 тыс. руб. на условиях начисления каждый квартал сложных процентов по годовой номинальной процентной ставке 28%. Полгода назад вкладчик снял со счета 12 тыс. руб., а через 3 года после этого он положил 10 тыс. руб. Еще через полтора года вкладчик положил такую сумму, что на его счете еще через полгода оказалось 80 тыс. руб. Определите, какую сумму вкладчик положил
последний раз.
2.1.41. Вкладчик открыл счет в банке, положив некоторую сумму денег, Такую же по величине сумму он добавлял на свой счет еще три раза: через 1 год 6 месяцев, 2 года 6 месяцев и 4 года после открытия счета. Через 5 лет на счете вкладчика было 60 тыс. руб. Какую сумму вносил вкладчик каждый раз, если банк начисляет сложные проценты каждые полгода по годовой номинальной процентной ставке 30%?
2.1.42. Предприниматель взял в банке кредит на сумму 200 тыс. руб. на условиях начисления сложных процентов по процентной ставке 25% годовых. Через 2 года он вернул банку 120 тыс. руб., но еще через год взял кредит в сумме 60 тыс. руб. Через 3 года после этого предприниматель вернул полностью полученные кредиты. Какую сумму предприниматель при этом выплатил банку?
2.1.43. Определите, какую сумму необходимо поместить в банк, начисляющий ежеквартально сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 36%, чтобы иметь возможность снять через 9 месяцев 10 тыс. руб. и еще 20 тыс. руб. через 18 месяцев после этого.
2.1.44. Предприниматель приобрел оборудование стоимостью 400 тыс. руб. в кредит под сложную процентную ставку 20% годовых. Через 2 года 6 месяцев он уплатил 250 тыс. руб., а еще через год полностью погасил долг. Определите, какую сумму предприниматель при этом выплатил.
2.1.45. Господин N приобрел автомобиль стоимостью 140 тыс. руб. в кредит под сложную процентную ставку 30% годовых. Он выплатил в момент покупки 80 тыс. руб., а остальной долг обязался выплатить в течение двух лет равными уплатами по полугодиям (первая уплата – через полгода с момента покупки). Чему равна каждая уплата?
2.1.46. Строительная фирма продает квартиры стоимостью 450 тыс, руб. в кредит под сложную процентную ставку 25% годовых. Эта же фирма учредила банк, аккумулирующий средства на строительство квартир и выплачивающий по помещен-
175ным в него деньгам сложные проценты по процентной ставке 25% годовых. Господин N внес в этот банк некоторую сумму за 3 года до приобретения квартиры, такую же сумму – в момент приобретения квартиры, еще 70 тыс. руб. – через 2 года и 120 тыс. руб. – через 3 года с момента приобретения квартиры, погасив тем самым свой долг полностью. Определите, какие суммы господин N вносил в банк до и в момент приобретения квартиры.
2.1.47. Строительная фирма продает квартиры стоимостью 520 тыс. руб. в кредит под сложную процентную ставку 20% годовых. Эта же фирма учредила банк, аккумулирующий средства на строительство квартир и выплачивающий по помещенным в него деньгам сложные проценты по процентной ставке 20% годовых. Господин N внес в этот банк 100 тыс. руб. за год до получения квартиры и еще 150 тыс. руб. – через 2 года после получения квартиры. Еще через год после этого он внес некоторую сумму, а еще через год погасил долг, внеся 300 тыс. руб. Определите, какую сумму господин N внес в банк через год после получения квартиры.
2.1.48. Банк начисляет ежемесячно сложные проценты на вклады по номинальной годовой процентной ставке 30%. Определите в виде простой годовой процентной ставки стоимость привлеченных средств для банка при их размещении: а) на 1 месяц; б) на 8 месяцев; в) на год.
2.1.49. Вкладчик помещает в банк 20 тыс. руб. на 3 года под номинальную процентную ставку 36% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов. В конце каждого года господин N расходует третью часть наращенной к этому моменту суммы. Определите величину наращенной суммы в конце третьего года после осуществления всех расходов.
2.1.50. Господин N помещает в банк 30 тыс. руб. на 4 года под номинальную процентную ставку 38% годовых с полугодовым начислением сложных процентов. В конце каждого года господин N расходует часть наращенной к этому моменту суммы: в конце первого года – четвертую часть, в конце второго года – третью часть, в конце третьего и четвертого – соответственно вторую и четвертую части. Определите величину наращенной суммы в конце четвертого года после осуществления всех расходов. Изменится ли ответ, если расходуемые части наращенных сумм будут образовывать такой порядок: 
§
2.1.51. Клиент поместил в банк некоторую сумму под сложную процентную ставку 30% годовых. В конце каждого года клиент расходует четвертую часть наращенной к этому моменту суммы. Через сколько лет наращенная сумма доставит 85% от первоначальной величины помещенных денежных средств?
2.1.52. Господин N поместил в банк на 6 лет свободные денежные средства под сложную процентную ставку 40% годовых. Какую часть наращенной суммы в конце каждого года (включая последний) господин N должен расходовать, чтобы в конце шестого года наращенная сумма составила по величине половину помещенных вначале денежных средств?
2.1.53. На сумму 15 тыс. руб. в течение четырех лет ежегодно начисляются простые проценты по процентной ставке 40% годовых, а на все начисленные проценты ежегодно осуществляется наращение сложных процентов по процентной ставке 30% годовых. Определите величину наращенной суммы в конце четвертого года.
2.1.54. Определяется приведенная стоимость некоторой денежной суммы при двух сложных годовых процентных ставках: 30 и 40%. Найдите срок, за который необходимо осуществить дисконтирование, чтобы разность между полученными приведенными стоимостями была наибольшей.
2.1.55. Предприниматель получил в банке кредит на 6 лет по процентной ставке 28% годовых, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 2% от величины кредита. Найдите доходность такой финансовой операции для банка в виде эффективной процентной ставки, если банк начисляет ежеквартально сложные проценты на исходную сумму кредита. Изменится ли доходность при выдаче кредита на 3 года?
2.1.56. В банке получен кредит на 5 лет по процентной ставке 24% годовых, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 1% от величины кредита. Найдите доходность такой финансовой операции для банка в виде эффективной процентной ставки, если банк начисляет сложные проценты на исходную сумму кредита: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно.
2.1.57. Выдана ссуда под процентную ставку 32% годовых, при этом сразу были взысканы комиссионные в размере 2,5% от величины ссуды. Определите доходность такой сделки в виде годовой эффективной процентной ставки, если кредитор начисляет простые проценты на исходную величину ссуды и срок ссуды: а) 4 года; б) 8 лет. Как изменится доходность, если комиссионные не будут удерживаться?
2.1.58. Банк выдает ссуду на 3 года под годовую номинальную процентную ставку 24%, причем сложные проценты начисляются ежеквартально на исходную сумму ссуды. Определите доходность такой финансовой операции для банка в виде эффективной процентной ставки, если: а) комиссионные не удерживаются; б) удерживаются комиссионные в размере 2% от величины ссуды; в) удерживаются комиссионные в размере 2% от величины ссуды и ее срок увеличивается до 5 лет.
2.1.59. Выдается ссуда по процентной ставке 35% годовых, при этом взимаются комиссионные в размере 1,5% от величины ссуды. Сложные проценты начисляются ежемесячно на исходную величину ссуды. На какой срок должна быть выдана ссуда, чтобы доходность такой сделки для кредитора в виде годовой эффективной процентной ставки составляла 45%?
2.1.60. При выдаче кредита на 7 лет по процентной ставке 30% годовых были удержаны комиссионные. Сложные проценты начислялись ежегодно на исходную величину кредита. Сколько процентов составили комиссионные от величины кредита, если доходность такой финансовой операции для банка в виде эффективной процентной ставки получилась равной 31,2% годовых?
2.1.61. Вексель учитывается банком за 3 месяца до его погашения по простой учетной ставке 24% годовых. Определите доходность такой финансовой операции для банка в виде эффективной процентной ставки, если: а) комиссионные не удерживаются; б) удерживаются комиссионные в размере 2,5% от суммы, выплачиваемой за вексель; в) удерживаются комиссионные в размере 2,5% от суммы, выплачиваемой за вексель, и вексель учитывается за б месяцев до его погашения.
2.1.62. Предлагается оформить вклад под следующие процентные ставки: 200% годовых или 35% за квартал, причем в обоих случаях используется смешанная схема начисления процентов. Какой вариант выгоднее, если срок хранения вклада составляет: а) 6 месяцев; б) один год? До какого срока выгоднее иметь 200% годовых, а когда выгоднее ежеквартальное начисление по 35%? Финансовый год принять равным 360 дней (месяц-30 дней).
2.1.63. Инвестор собирается разместить эффективно свои свободные денежные средства. Если он вложит средства в ценные бумаги трастовой компании, то должен будет заплатить налог с получснвой прибыли в размере 8%. Если же он положит деньги в банк, то начисленные проценты не будут облагаться налогом. Определите, наиболее прибыльную схему вложения капитала с 1 января по 31 марта, если налоги платятся в конце каждого квартала и услуги на финансовом рынке предлагают две фирмы: трастовая компания – на условиях начисления сложных процентов по процентной ставке 5% за месяц по вкладу, составляющему целое число месяцев, но не менее месяца; банк – с ежемесячным начислением сложных процентов по годовой номинальной процентной ставке 48% годовых при таких же ограничениях на срок вклада.
2.1.64. Вкладчик может свои свободные денежные средства в долларах на один год поместить в одном банке на валютном депозите под процентную ставку 13% годовых с полугодовым начислением сложных процентов или в другом банке эту же сумму поместить на рублевом депозите под процентную ставку 16% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов. Как ему лучше поступить, если курс покупки долларов на начало срока – 19 руб. 80 коп., а ожидаемый курс продажи через год – 21 руб. 50 коп.?
2.1.65. Господин N намеревается обменять имеющиеся у него немецкие марки и поместить полученную сумму на рублевом депозите сроком на 3 года под процентную ставку 24% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов, после чего наращенную сумму опять конвертировать в немецкие марки. При каком ожидаемом курсе продажи не имеет смысла такая финансовая операция, если курс покупки немецких марок на начало срока составляет 10 руб. 64 коп. и на валютном депозите денежную сумму можно поместить под процентную ставку 18% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов?
2.1.66. Некоторая сумма в долларах США обменивается на рубли, после чего помещается на рублевый депозит на 2 года 6 месяцев под процентную ставку 30% годовых с ежегодным начислением сложных процентов. Полученная наращенная сумма опять конвертируется в доллары США. Определите доходность такой финансовой операции в виде годовой эффективнойпроцентной ставки, если курс покупки долларов на начало срока- 18 руб. 20 коп., а курс продажи через 2 года б месяцев -22 руб. 14 коп. и начисление процентов осуществлялось: а) по схеме сложных процентов; б) по смешанной схеме.
2.1.67. На вклад 100 тыс. руб. по истечении 4 лет были начислены сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 32% исходя из полугодовой схемы начисления. Определите наращенную сумму после уплаты налога на проценты, если налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока и ставка налога на проценты равна 15%.
2.1.68. На вклад 150 тыс. руб. в течение 6 лет раз в год начислялись сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 26% исходя из полугодовой схемы начисления. Определите итоговую наращенную сумму после уплаты налога на проценты, если налог на проценты уплачивается каждый год путем выделения средств из накапливаемой суммы и ставка налога на проценты равна 12%. Чему равна величина налога за каждый год?
2.1.69. На депозит была помещена сумма 80 тыс. руб. на 2 года 6 месяцев, по истечении которых были начислены сложные проценты по годовой процентной ставке 30%. Определите наращенную сумму после уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 12%, налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока и наращение осуществлялось: а) по схеме сложных процентов; б) по смешан-ной схеме.
2.1.70. Инвестор собирается вложить 40 тыс. руб. с целью получения после уплаты налога на проценты 100 тыс. руб. на следующих условиях: по истечении оговоренного в контракте срока на инвестируемую сумму будут начислены сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 30% исходя из ежемесячной схемы начисления. Определите срок, необходимый для накопления требуемой суммы, если ставка налога на проценты равна 15% и налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока. Какой будет срок, если налог на проценты не надо уплачивать?
2.1.71. Инвестор собирается вложить 20 тыс. руб. с целью получения после уплаты налога на проценты 70 тыс. руб. на следующих условиях: в течение оговоренного в контракте срока разв год на инвестируемую сумму будут начисляться сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 32% исходя из ежемесячной схемы начисления. Определите срок, необходимый для накопления требуемой суммы, если ставка налога на проценты равна 15% и налог на проценты уплачивается каждый год путем выделения средств из накапливаемой суммы. Какой будет срок, если налог на проценты не надо уплачивать?
2.1.72. На вклад по истечении 5 лет были начислены сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 34% исходя из ежеквартальной схемы начисления, причем один раз в конце срока был выплачен налог на все полученные проценты. Определите годовую эффективную процентную ставку в этой финансовой сделке, если ставка налога на проценты равна 15%.
2.1.73. Предприниматель инвестировал 120 тыс. руб. на блет, по истечении которых были начислены сложные проценты по переменной годовой процентной ставке, причем для первых трех лет годовая процентная ставка равнялась 22%, на следующие два года устанавливалось 28% и на последний год – 30%. Определите наращенную сумму после уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 15% и налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока.
2.1.74. Предприниматель инвестировал 200 тыс. руб. на 4 года, в течение которых раз в год начислялись сложные проценты по переменной годовой процентной ставке, причем для первых двух лет годовая процентная ставка равнялась 30%, на следующий год устанавливалось 34% и на последний год – 36%. Определите итоговую наращенную сумму после уплаты налога на все проценты, если ставка налога на проценты равна 15% и налог на проценты уплачивается каждый год путем выделения средств из накапливаемой суммы.
2.1.75. Вклад 160 тыс. руб. был размещен в банке на 2 года и 8 месяцев, по истечении которых на этот вклад были начислены сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 30% и вклад был востребован. После уплаты налога на проценты вкладчик стал обладателем суммы в размере 299,808 тыс. руб. Какую схему начисления процентов использовал банк, если ставка налога на проценты равна 15% и налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока?
Сложная учетная ставка
Основные положения
• Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется в ситуации предварительного начисления сложного процента, т.е. когда сложный процент (например, за кредит или за продажу некоторого финансового документа до срока его погашения) начисляется в момент заключения финансового соглашения. В этом случае в начале каждого периода начисления проценты начисляются не на одну и ту же величину (как при дисконтировании по простой учетной ставке), а каждый раз на новую, полученную в результате дисконтирования, осуществленного в предыдущем периоде.
• Для лица, осуществляющего предварительное (антисипа-тивное) начисление процентов, а следовательно, и дисконтирование, более выгодным является дисконтирование по сложной учетной ставке, если срок учета менее одного года; более выгодным является дисконтирование по простой учетной ставке, если срок учета превышает один год; дисконтирование в обоих случаях дает один и тот же результат, если срок учета равен одному году.
• Если срок, за который осуществляется дисконтирование, не равен целому числу лет, то при определении стоимости учтенного капитала, как правило, используют либо сложную учетную ставку, либо смешанную схему (применяется сложная учетная ставка для целого числа лет и простая учетная ставка – для дробной части года). Стоимость учтенного капитала будет больше при использовании смешанной схемы. Аналогичные способы дисконтирования применяются и в том случае, когда дисконтирование производится не один, а несколько раз в году.
• С ростом в году числа операций дисконтирования по номинальной учетной ставке величина учтенного капитала возрастает.
• Эффективная годовая учетная ставка обеспечивает тот же результат, что и дисконтирование несколько раз в году по номинальной учетной ставке, деленной на число периодов дисконтирования.
• Эффективная учетная ставка определяется и как ставка, обеспечивающая переход от исходной суммы к учтенной при однократном дисконтировании за базовый период (например, за год), т.е. не используется явным образом номинальная учетная ставка.
Вопросы для обсуждения
1.В каких случаях может осуществляться дисконтирование по сложной учетной ставке?
2.Опишите подробно, как осуществляется дисконтирование по сложной годовой учетной ставке при продаже некоторого долгового обязательства за три года до срока погашения. 3.Какой вид имеет множитель дисконтирования при дисконтировании по сложной учетной ставке?
4.Как связаны между собой дисконтирование по сложной учетной ставке и проценты “со 100”?
5. Как соотносятся величины дисконтированных сумм при дисконтировании по простой и по сложной учетным ставкам?
6. Как соотносятся величины дисконтированных сумм при дисконтировании по сложной учетной и по сложной процентной ставкам?
7. Как соотносятся величины дисконтированных сумм при дисконтировании по простой процентной и по сложной учетной ставкам?
8. Какие два основных способа дисконтирования, связанные со сложной учетной ставкой, вы знаете? Какой из них выгоднее для лица, осуществляющего учет?
9. Может ли учет по сложной учетной ставке привести к недопустимым на практике величинам?
10. Какая годовая учетная ставка называется номинальной?
11. Что происходит с величиной учтенного капитала, если растет число осуществлений операции дисконтирования по сложной учетной ставке?
12. Какая ставка называется эффективной годовой учетной ставкой? От каких параметров она зависит?
13. Как ведет себя эффективная годовая учетная ставка с увеличением числа периодов дисконтирования в году?
14. Как пояснить с финансовой точки зрения соотношение между эффективной и номинальной учетными ставками?
15. В каком случае эффективная годовая учетная ставка совпадает с номинальной?
16. Что происходит с величиной номинальной учетной ставки при определении ее через эффективную годовую учетную ставку, когда число операций дисконтирования в году растет?
17. Какие номинальные учетные ставки называются эквивалентными?
18. Приведите формулу наращения по сложной учетной ставке.
19. Как можно связать между собой наращение по сложной учетной ставке и проценты “во 100”!
20. Какая из ставок, сложная учетная или такая же по величине сложная процентная, обеспечивает более быстрый рост капитала при наращении?
21. Как соотносятся между собой результаты наращения по простой процентной и сложной учетным ставкам?
22. Что можно сказать о декурсивном и антисипативном способах начисления сложных процентов, когда период начисле-ния уменьшается?
. Типовые примерыи методы их решения
Пример 2.2.1.Найдите величину дисконта, если долговое обязательство на выплату 40 тыс. руб. учтено за 3 года до срока погашения по сложной учетной ставке: а) 20% годовых; б) 25% годовых.
Решение,а) Полагаяп = 3 , F3= 40 тыс.руб. d = 0,2 по формуле (67) получим:
Р = 40(1 – 0.2)3 = 20,48 тыс. руб.
Поэтому дисконт составит:
Dd =40-20,48 = 19,52 тыс.руб.
б) Так как в этом случае d = 0,25 „ то
Р=40(1-0,25)3 =16,875 тыс. руб.,
Dd =40-16,875 = 23Д25 тыс. руб.
Видно, что с ростом учетной ставки уменьшается дисконтированная величина выплаты по долговому обязательству и, следовательно, увеличивается величина дисконта.
Пример 2.2.2.Вексель на сумму 70 тыс. руб. со сроком погашения через 4 года учтен за 32 месяца по сложной учетной ставке 24% годовых. Определите суммы, которые получит предьявитель векселя при различных способах учета векселя.
Решение. При применении только сложной учетной ставки воспользуемся формулой (67). Так как дисконтирование производится один раз в год, то n = 32/12 = 8/3. Далее Fn =70 тыс. руб., d = 0,24, поэтому:
Р = 70(1-0,24) 
=33,672 тыс. руб.
Если же использовать при учете смешанную схему, то при w = 2, f=2/3 по формуле (68) получим:
Р = 70(1 – 0,24)2 (1 – 
0,24) = 33,963 тыс. руб.
Таким образом, предъявитель векселя получит больше при использовании смешанной схемы.
Пример2.2.3. Рассчитайте дисконтированную сумму при учете 1 млн руб. по простой и сложной учетным ставкам, если годовая учетная ставка равна 18% годовых и учет происходит за 30 дней, 90 дней, 180 дней, 1 год, 2 года, 3 года, 5 лет. Полагать каждый год равным 360 дней.
Решение.Применяя при F = Fn =1 млн руб. и d = 0,18 для простой учетной ставки формулу (19), а для сложной – формулу (67), получим следующие результаты, представленные для наглядности в табличном виде:
(млн руб.)
| Способ дисконтирования | 30 дней (n=1/12) | 90 дней (n=1/4) | 180 дней (n=1/2) | 1 год (n=1) | 2 года (n=2) | 3 года (n=3) | 5 лет (n=5) |
| Простая учетная ставка | 0,985 | 0,955 | 0,91 | 0,82 | 0,64 | 0,46 | 0,1 |
| Сложная учетная ставка | 0,9836 | 0,9516 | 0,9055 | 0,82 | 0,6724 | 0,5514 | 0,3707 |
Таким образом, если вексель на сумму 1 млн руб. учитывается, когда до срока погашения остается меньше года, то для векселедержателя более выгоден учет по простой учетной ставке. Так, при учете за 90 дней до срока погашения векселедержатель получит: при использовании простой ставки – 955 тыс. руб.; при использовании сложной учетной ставки – 951,6 тыс. руб., т.е. разница между суммами составляет 3,4 тыс. руб. Если же учет векселя осуществляется, когда до срока погашения остается больше года, то для векселедержателя более выгоден учет по сложной учетной ставке.
Заметим, что дисконтирование по простой учетной ставке за срок более чем 5,56 года, приводит к не допустимым на практике величинам (будем получать отрицательные значения дисконтированных сумм). Однако учет по сложной учетной ставке всегда дает положительные дисконтированные величины. Например,
при учете за 15 лет получим: Р = 1*(1-0,18)15 =0,0510 млн руб.
Пример 2.2.4. Долговое обязательство на выплату 46 тыс. руб. учтено за 4 года до срока погашения. Определите полученную сумму, если производилось: а) полугодовое; б) поквартальное; в) помесячное дисконтирование по номинальной учетной ставке 24% годовых.
Решение. Во всех случаях полагаем n = 4, Fn = F2 =46 тыс. руб. и пользуемся формулой (69).
а) Так как т =2, d(m) =d(2) =0,24, то:
16,543 тыс. руб.
б) Поскольку т = 4, d (m) = d{4) = 0,24, то:
=17,092 тыс. руб.
в) В этом случае m = 12, d(m) =d(12) =0,24, поэтому:
17,443 тыс.руб.
Сравнивая полученные результаты, видим, что с ростом числа осуществлений операции дисконтирования в году величина учтенного капитала возрастает.
Пример 2.2.5. Определите, какую сумму получит владелец векселя на 30 тыс. руб. со сроком погашения через 25 месяцев, если он учтет вексель сразу при его выдаче по номинальной учетной ставке d 
= 20% годовых. Сравните два способа дисконтирования.
Решение. Полагаем n=25/12, m = 4, Fn = 
тыс. руб. Если использовать формулу (69), то
= 19,565 тыс.руб.
Пусть дисконтирование осуществляется по смешанной схеме по формуле (70). Поскольку
тыс.руб.
Очевидно, для векселедержателя выгоднее смешанная схема.
Пример 2.2.6. За долговое обязательство в 80 тыс. руб. банком было выплачено 62 тыс. руб. За какое время до срока погашения было учтено это обязательство, если банком использовалась: а) годовая сложная учетная ставка 28%, б) годовая простая учетная ставка 28%?
Решение, а) Полагая в формуле (71) .Р = 62 тыс. руб.,
Fn = 80 тыс. руб., т = 1, 
= 0,28, получим:
62
= 0,776 года.
Считая, что в году 360 дней, находим n = 360*0,776 = 279,36 дня. Округляя полученный срок до целого числа дней, делаем вывод, что долговое обязательство было учтено за 280 дней до срока погашения. б) В случае простой учетной ставки воспользуемся формулой (22), где F = 80 тыс. руб., d = 0,28:
0,804 года, или 289,44 дня.
Таким образом, n = 290 дней.
Пример 2.2.7.Вексель был учтен за 2,5 года до срока погашения, при этом владелец векселя получил четверть от написанной на векселе суммы. По какой годовой номинальной учетной ставке был учтен этот вексель, если производилось: а) поквартальное дисконтирование; б) помесячное дисконтирование?
Решение,а) Применяя формулу (72), в которой P = 0,25Fn ,п = 2,5 , т = 4, получим:
б) Если m=12,то
т.е. 
=54,19%.
Таким образом, чем большее количество раз в году производится дисконтирование, тем больше величина годовой номинальной учетной ставки.
Пример 2.2.8.Рассчитайте эффективную годовую учетную ставку при различной частоте начисления дисконта и номинальной учетной ставке, равной 18% годовых.
Решение. Используя формулу (74), вычислим для некоторых значений т эффективную годовую учетную ставку и результаты запишем в табличном виде:
Из таблицы следует, что def уменьшается с ростом т (так как
второе слагаемое в правой части равенства (74) увеличивается). Вообще можно показать, что при т > 1 справедливо неравенство
def < d(m), которое нетрудно пояснить и из финансовых сообра-
жении.
Пример 2.2.9.Определите номинальную учетную ставку, если годовая эффективная учетная ставка равна 30% и дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется: а) каждые полгода; б) ежемесячно; в) ежеквартально.
Решение.Полагаем 
= 0,3 и пользуемся формулой (73).
а) Так как т = 2, то
d(2) =2[1-(l-0,3) ] = 0,3267, или 32,67%.
б) Поскольку в этом случае т = 12 , то
, или 35,14%.
в) Считая в году 360 дней, при т = 360 получим:
0,3565, или 35,65% .
Найденные номинальные ставки d(2), d(12) и d(360) эквивалентны, так как они получены в соответствии с одной и той же эффективной ставкой. Поэтому осуществление дисконтирования раз в год по сложной учетной ставке 30% годовых дает такой же результат, как осуществление дисконтирования 2 раза в год по ставке 32,67% годовых, или 12 раз в год по ставке 35,14% годовых, или каждый день (360 раз в год) по ставке 35,65% годовых. Отметим,
Что d(2)<d(12) < d(360), т.е. величина номинальной учетной ставки растет, когда количество осуществлений дисконтирования в году увеличивается. Аналогичное неравенство справедливо и в общем
случае, а именно: пусть d(m) и 
эквивалентные номинальные
годовые учетные ставки и m>i, тогда d(m) >
Пример 2.2.10.Вексель на сумму 12 тыс. руб. со сроком погашения через 3 года 6 месяцев был сразу же учтен в банке, и предъявитель векселя получил 5 тыс. руб. Найдите эффективную годовую учетную ставку в этой финансовой операции.
Решение.Подставляя в формулу (75) n = 3,5, P = 5 ,F3,5=12, находим:
def=1- 
= 0,2213,или 22ДЗ%.
Пример 2.2.11.По условиям финансового соглашения на сумму 90 тыс. руб., помещенную в банк на 5 лет, начисляются проценты по сложной учетной ставке 24% годовых. Определите наращенную сумму, если начисление процентов производится: а) по полугодиям; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Сравните полученные величины с результатами наращения сложными процентами по процентной ставке 24% годовых.
Решение.Будем пользоваться формулой (77), где Р = 90
тыс. руб., n = 5, d(2)= d(4) = d(12) = 0,24 . Полагая последовательно т = 2, т = 4, т = 12 , получим:
a) 
= 323,159 тыс. руб.;
b) 
310,231 тыс. руб.;
в) 
=302,467 тыс. руб.
Полезно заметить, что во всех случаях можно было воспользоваться и формулой (76), полагая число периодов равным соответственно 10, 20 и 60, а учетные ставки – 12% (24% : 2), 6% (24% : 4) и 2% (24% : 12).
Если бы наращение сложными процентами осуществлялось с помощью процентной ставки, то для вариантов а), б), в) получили бы по формуле (58) следующие значения наращенных сумм:
а) F5 = 
=279,522 тыс. руб.;
б) 
= 
= 288,639 тыс. руб.;
в) = 
295,293 тыс. руб.,
т.е., как уже отмечалось, с увеличением числа начислении процентов за год по сложной процентной ставке величина наращенной суммы возрастает. В противоположность этому с увеличением числа начислений процентов за год по сложной учетной ставке величина наращенной суммы убывает. Видно, что, чем больше число наращений в течение года, тем меньше разница между итоговыми суммами, полученными декурсивным и антисипативным способами начисления процентов. Это и объяснимо, поскольку, чем меньше период начисления, тем меньше отличие между понятиями предварительный и последующий. Так, если т = 365 (каждый день идет начисление сложных процентов), то применение номинальной учетной ставки 24% годовых дает 298,928 тыс. руб., а такой же величины процентной ставки – 298,693 тыс. руб., и разница между этими суммами равна уже 235 руб., в то время как, например, при т = 4 соответствующая разница составляет 21 592 руб.
§
Пример 2.2.12. Вклад в размере 20 тыс. руб. помещен в банк сроком на 5 лет, причем предусмотрен следующий порядок начисления сложных процентов по плавающей годовой учетной ставке: в первые два года – 16%, в последующие два года – 19% и в оставшийся год – 23%. Найдите наращенную сумму. При использовании какой постоянной сложной учетной ставки можно получить такую же наращенную сумму?
Решение.Наращенную сумму за первые два года опредсля-
20 ем по формуле (76), где Fn =20, n =2, d = 0,16: 
тыс.руб. Наращенную сумму за следующие два года определяем также по формуле (76), где Fn= , n =2, d = 0,19:
= тыс. руб. Аналогичным образом поступая с последним годом, когда d = 0,23 , находим, что через 5 лет наращенная сумма составит:
P= 
= 56,106 тыс. руб. Годовую (постоянную) учетную ставку 
, обеспечивающую такой же результат, как и плавающая ставка, можно найти из
равенства (1- )5 = (1-0,16)2(1-0,19)2(1-0,23), разрешая его относительно :
=1- 
=0,1864, или 18,64%.
Пример 2.2.13.Банк выдал кредит сроком на 1 месяц под 3% за месяц, удержав проценты при выдаче кредита. Определите доходность такой финансовой сделки для банка в виде годовой эффективной процентной ставки и поясните, как такого рода сделку можно соотнести с начислением сложных процентов по учетной ставке.
Решение.Обозначим через F величину кредита, тогда заемщику выдается сумма F -0.03F = 0,97F. Теперь можно воспользоваться формулой (64), где P = 0,97F, Fn =F и n = 1/12:
= 0,4412, или 44Д2%.
Записывая формулу для вычисления ref в виде:
делаем вывод, что начисление процентов один раз за год по процентной ставке 44,12% обеспечивает такой же результат, как и начисление ежемесячно процентов по годовой номинальной
учетной ставке d(12) =3%*12 = 36%.
Таким образом, выдача банком кредита с одновременным удержанием начисленных процентов по существу означает, что на выданную сумму будут начисляться сложные проценты по учетной ставке.
Пример 2.2.14.Согласно финансовому соглашению банк начисляет по полугодиям проценты на вклады по сложной учетной ставке 28% годовых. Определите в виде простой годовой процентной ставки стоимость привлеченных средств для банка при их размещении: а) на 3 месяца; б) на год.
Решение,а) Стоимость привлеченных средств найдем по формуле (23), где через Р обозначена использованная сумма средств; через F-P – проценты, выплаченные за использование суммы Р в течение времени п, a F определяется с помощью формулы (77), где n = 0,25, т = 2, d(2) = 0,28 . Итак,
= 0,3132, или 31,32% годовых.
Естественно, можно было и сразу применить формулу (85):
устанавливающую эквивалентность простой ставки r и сложной учетной ставки 
= 03132.
б) Полагая n = 1, воспользуемся сразу формулой (85) эквивалентности простой процентной и сложной учетной ставок:
= 0,3521 = 35,21%.
Заметим, что если найти простую учетную ставку, эквивалентную простой процентной ставке r = 35,21%, то она в точности будет равна годовой эффективной учетной ставке, соответствующей номинальной учетной ставке d 
= 28%. Действительно, по формуле
а по формуле (74) получаем то же значение:
=0,2604.
Пример 2.2.15. Вексель учитывается в банке за 3 года до его погашения по сложной учетной ставке 26% годовых. Найдите доходность такой финансовой операции для банка в виде эффективной учетной ставки, если банк удерживает комиссионные в размере 2% от суммы, выплачиваемой за вексель. Как изменится такого рода доходность при учете за 2 года и за 6 лет до срока погашения?
Решение. Пусть за 3 года до срока погашения предъявлен вексель на некоторую сумму Fз. Так как сумма, выплачиваемая
за вексель, составит: F3 (1-0,26) 
= 0,4052Fз, то величину удерживаемых комиссионных определяем, взяв 2% от этой суммы: 0,4052 Fз* 0,02 = 0,0081 Fз. Следовательно, векселедержатель получит сумму: P = 0,4052F3-0,0081F3 =0,3971F3 . Теперь по формуле (75) можно определить доходность финансовой операции для банка в виде эффективной учетной ставки:
т.е. def = 26,50%, что больше объявленных банком 26% годовых.
Таким образом, удержание комиссионных увеличивает доходность финансовой операции для банка.
При предъявлении векселя за 2 года до срока сумма, выплачиваемая за вексель, составит: F2(l-0,26)2 =0,5476 
, и поэтому после удержания комиссионных векселедержатель получит сумму:
P = 0,5476 – 05476 * 0,02 = 0,5366F2 ,
и, следовательно, доходность для банка составит:
т.е. больше, чем при учете за 3 года.
Аналогичным образом при учете за 6 лет получим:
P=F 
(1 – 0,26)6 – F6 (1 – 0.26)6 * 0,02 = 0,1609F6,
т.е. меньше, чем при учете за 3 года.
Основываясь на рассмотренном примере, можно сделать вывод, что при удержании комиссионных увеличение срока, за который происходит учет по сложной учетной ставке, уменьшает доходность в виде эффективной учетной ставки для банка. Конечно, если комиссионные не взимаются, то при учете за любое время до срока погашения по сложной учетной ставке доходность такой финансовой сделки в виде годовой эффективной учетной ставки будет постоянна и равна 26%.
Пример 2.2.16. Предприятие приобрело универсальный станок за 320 тыс. руб. Срок службы станка – 8 лет, после чего он реализуется по остаточной стоимости 50 тыс. руб. Используя способ фиксированного процента, составьте таблицу уменьшения стоимости станка по годам.
Решение. В соответствии со способом фиксированного процента стоимость имущества снижается к концу каждого года на одно и то же число процентов d от его стоимости на начало года. Обозначим через Р первоначальную стоимость станка, Рп – остаточную стоимость станка через л лет и получим формулу для определения стоимости станка на конец k -го года.
В конце первого года первоначальная стоимость станка Р будет уменьшена иа величину Pd и станет равна Р -Pd = P(1 – d). В
конце второго года стоимость Р(1 – d) будет уменьшена на величину P(1- d)d и станет равна P(1-d)-P(1-d)d = P(1-d)2. Продолжая аналогичным образом рассуждения, найдем, что в конце k -го года стоимость станка будет равна Р(1 – d) 
(т.е. сумма Р учитывается за к лет по сложной учетной ставке d ).
Поскольку в конце п -го года остаточная стоимость станка равна 
то получим равенство = Р(1 – d) , из которого можно определить фиксированный процент d снижения стоймости станка: d = 1 – 
(очевидно, эта формула не случайно
напоминает формулу (75) определения эффективной годовой учетной ставки). В данном случае срок службы станка составляет n = 8 лет, Р = 320 тыс. руб., – 
= 50 тыс. руб., поэтому:
d=1- 
= 0,2071, или 20,71%.
Далее последовательно находим амортизационные отчисления за год и стоимость станка на конец этого года:
а) в конце первого года:
Pd = 320 * 0,2071 = 66,272 тыс. руб.,
Р – Pd = 320 – 66,272 = 253,728 тыс. руб.;
б) в конце второго года:
Р(1 -d)d = 253,728 * 0,2071 – 52,547 тыс. руб.,
P(1-d)2 = 253,728-52,547 =201,181тыс. руб.
Продолжая аналогичным образом, получим таблицу:
| Год службы | Амортизации иные отчисления за год, тыс. руб. | Стоимость на конец года, тыс. руб. |
| 66,272 | 253,728 | |
| 52,547 | 201,181 | |
| 41,665 | 159,516 | |
| 33,036 | 126,48 | |
| 26,194 | 100,286 | |
| 20,769 | 79,517 | |
| 16,468 | 63,049 | |
| 13,057 | 49,992 |
Небольшое отличие остаточной стоимости от 50 тыс. руб. , (получили 49,992 тыс. руб.) связано с погрешностью прибли-.
женных вычислении.
Задачи
2.2.1. Вексель яа сумму 100 тыс. руб. учитывается за 4 года до срока погашения. Составьте схему учета векселя по годам, если при этом используется сложная учетная ставка 20% годовых. Какую сумму получит предъявитель векселя?
2.2.2. Долговое обязательство на выплату 12 тыс. руб. со сроком погашения через 5 лет учтено за 3 года до срока с дисконтом по сложной учетной ставке 14% годовых. Найдите величину дисконта. Как изменится величина дисконта, если долговое обязательство учтено сразу после его выдачи?
2.2.3. Сделайте сравнительный анализ графиков, отражающих дисконтирование по простой и по сложной учетным ставкам.
2.2.4. Определите дисконтированную сумму при учете 1 тыс. руб. по простой и сложной учетным ставкам, если годовая учетная ставка равна 18% и учет происходит за 30 дней, 210 дней, 1 год, 3 года, 5 лет, 20 лет. Полагать год равным 360 дней. Обсудите полученные результаты.
2.2.5. Вексель на сумму 50 тыс. руб. со сроком погашения через 3 года учтен за 26 месяцев по сложной учетной ставке 20% годовых. Определите суммы, которые получит предъявитель векселя при различных способах учета векселя (при применении только сложной учетной ставки и при применении смешанной схемы).
2.2.6. В банк 10 июня предъявлен для учета вексель на сумму 15 тыс. руб. со сроком погашения 10 сентября того же года. Банк учитывает вексель по сложной учетной ставке 20% годовых, считая год равным 360 дням и проводя приблизительный подсчет дней. Определите сумму, которую получит векселедержатель от банка, и комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу за предоставленную услугу. Как изменятся результаты, если срок погашения векселя – 10 сентября следующего года?
2.2.7. За 3 года 9 месяцев до срока погашения в банк предъявлен вексель на сумму 80 тыс. руб. Банк согласился учесть вексель по сложной учетной ставке 24% годовых при осуществлении дисконтирования раз в год и выплатил предъявителю векселя 28,797 тыс. руб. Какую из двух схем дисконтирования (только по сложной, учетной ставке или смешанную) использовал банк? 2.2.8. Вексель на сумму 30 тыс. руб. учтен за 15 месяцев до срока погашения по номинальной учетной ставке 16% годовых, причем производилось поквартальное дисконтирование. Составьте схему учета по кварталам. Какую сумму получит векселедержатель?
2.2.9. Долговое обязательство на выплату 200 тыс. руб. со сроком погашения через 6 лет учтено за три года до срока. Опредслите полученную сумму, если производилось: а) полугодовое; б) поквартальное; в) помесячное дисконтирование по номинальной учетной ставке 18% годовых.
2.2.10. Определите современное значение суммы в 30 тыс. руб., если она будет выплачена через 4 года 9 месяцев и дисконтирование производится по полугодиям по номинальной годовой учетной ставке 20%.
2.2.11. Определите, какую сумму получит владелец векселя на 40 тыс. руб. со сроком погашения через 26, месяцев, если он учтет вексель сразу при его выдаче по номинальной учетной ставке 24% годовых при осуществлении операции дисконтирования 4 раза в год. Сравните два способа дисконтирования (при применении только сложной учетной ставки и при применении смешанной схемы).
2.2.12. За долговое обязательство 50 тыс. руб. банком было выплачено 40 тыс. руб. За какое время до срока погашения было учтено это обязательство, если банком использовалась: а) годовая сложная учетная ставка 22%; б) годовая простая учетная ставка 22%? Полагать в году 360 дней.
2.2.13. Вексель был учтен за 21 месяц до срока погашения, при этом владелец векселя получил 0,8 от написанной на векселе суммы. По какой сложной годовой учетной ставке был учтен этот вексель?
2.2.14. За учтенный вексель была выплачена половина от написанной на векселе суммы. За какое время до срока погашения был учтен вексель при дисконтировании по простой и по сложной учетным ставкам, если годовая учетная ставка равна: а) 5%; б) 10%; в) 25%; г) 50%; д) 80%?
2.2.15. Вы имеете вексель на сумму 15 тыс. руб. и хотели бы при его учете по сложной учетной ставке за 2 года до срока погашения получить две трети этой суммы. Какая должна быть годовая номинальная учетная ставка при дисконтировании поквартально? Как изменится ответ, если дисконтирование осуществляется раз в год?
2.2.16. Долговое обязательство было учтено по номинальной учетной ставке 32% годовых, причем проводилось полугодовое дисконтирование. За какое время до срока погашения было учтено обязательство, если его дисконтированная сумма составила треть от суммы, которую нужно выплатить по этому обязательству?
2.2.17.3а какое время до срока погашения был учтен вексель на сумму 50 тыс. руб., если предъявитель векселя получил 30 тыс. руб. и дисконтирование по номинальной учетной ставке 24% годовых производилось: а) поквартально; б) помесячно?
2.2.18; Долговое обязательство было учтено за 2 года до срока погашения, при этом его владелец получил половину от написанной в нем суммы. По какой годовой номинальной учетной ставке было учтено это Обязательство, если производилось: а) полугодовое дисконтирование; б) поквартальное дисконтирование?
2.2.19. Какие условия учета при дисконтировании по сложной учетной ставке более выгодны банку: а) 32% годовых, полугодовое дисконтирование; б) 33% годовых, поквартальное дисконтирование?
2.2.20. Вы имеете возможность учесть вексель либо по сложной учетной ставке 28% годовых с поквартальным дисконтированием, либо по сложной учетной ставке 29% годовых с помесячным дисконтированием. Какой вариант предпочтительнее?
2.2.21. Рассчитайте эффективную годовую учетную ставку при различной частоте начисления дисконта и номинальной учетной ставке, равной 24% годовых. Сравните между собой полученные результаты.
2.2.22. Долговое обязательство, равное 15 тыс. руб., со сроком погашения через 3 года было сразу же учтено в банке, и владелец обязательства получил 10 тыс. руб. Найдите эффективную годовую учетную ставку в этой сделке.
2.2.23. Долговое обязательство на сумму 16 тыс. руб. было учтено за 170 дней до срока погашения, и владелец обязательства получил 14 тыс. руб. Определите доходность этой операции в виде эффективной учетной ставки на базе: а) 360 дней; б) 365 дней.
2.2.24. Определите номинальную учетную ставку, если эффективная годовая учетная ставка равна 22% и дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется: а) поквартально; б) поме-
. сячно. 2.2.25. На какую сумму должен быть выписан вексель, чтобы при его учете за 3 года до срока погашения по сложной учетной ставке 28% годовых можно было получить 18 тыс. руб., если дисконтирование производится: а) по полугодиям; б) помесячно? Чему равен дисконт?
2.2.26. За 4 года до срока погашения учтено долговое обязательство, и его владелец получил 5 тыс. руб. Определите сумму, написанную в долговом обязательстве, если учет осуществлялся по сложной учетной ставке и дисконтирование производилось:
а) по полугодиям по учетной ставке 40% годовых; б) помесячно по учетной ставке 30% годовых.
2.2.27. Какая сумма должна быть написана на векселе, чтобы при его учете по сложной учетной ставке 30% годовых было получено 20 тыс. руб., если учет осуществляется: а) за 5 лет до срока погашения при дисконтировании раз в год; б) за 3 года до срока погашения при поквартальном дисконтировании?
2.2.28. В банке за 3 года 8 месяцев до срока погашения был учтен вексель по сложной учетной ставке 35% годовых, и векселедержатель получил сумму в размере 8,422 тыс. руб. Определите, какую сумму получил бы в этом банке владелец векселя при его учете за 2 года 5 месяцев до срока погашения, если банк использует при дисконтировании смешанную схему.
2.2.29. Определите, время, за которое происходит удвоение первоначальной суммы при начислении простых и сложных процентов, если используемая учетная ставка равна: а) 5%; б) 10%; в) 15%; г) 25%; д) 50%; е) 75%.
2.2.30. По условиям финансового контракта на депозит 30 тыс. руб., положенный в банк на 4 года, начисляются проценты по сложной учетной ставке 12% годовых. Определите наращенную сумму, если начисление процентов производится: а) ежегодно;
б) ежеквартально; в) ежемесячно. Сравните полученные величины с результатами наращения сложными процентами по процентной ставке 12% годовых.
2.2.31. Что выгоднее: получить 23,5 тыс. руб. через 5 лет или 30,5 тыс. руб. через 6 лет, если можно поместить деньги в банк под сложную учетную ставку 32% годовых? Оцените ситуацию с позиции будущего и с позиции настоящего.
2.232. Сроком на 6 лет выпущена облигация номиналом 1000 руб., причем предусмотрен следующий порядок начисления сложных процентов по плавающей годовой учетной ставке:
в первые три года – 12% годовых, в последующие два года -16% годовых и в оставшийся год – 18% годовых. Найдите наращенную сумму. При использовании какой постоянной сложной учетной ставки можно получить такую же наращенную сумму?
2.2.33. Банк выдал кредит сроком на 1 квартал под 8% за квартал, удержав проценты при выдаче кредита. Определите доходность такой финансовой сделки для банка в виде годовой эффективной процентной ставки и поясните, как такого рода сделку можно соотнести с начислением сложных процентов по учетной ставке.
2.2.34. Согласно финансовому соглашению банк начисляет ежеквартально проценты на вклады по сложной учетной ставке 20% годовых. Определите в виде простой годовой процентной ставки стоимость привлеченных средств для банка при их размещении: а) на 3 месяца; б) на 9 месяцев; в) на год.
2.2.35. Вексель учитывается в банке за 2 года до его погашения по сложной учетной ставке 32% годовых. Найдите доходность такой финансовой операции для банка в виде эффективной учетной ставки, если банк производит поквартальное дисконтирование и удерживает комиссионные в размере 3% от суммы, выплачиваемой за вексель.
2.2.36. Вексель учитывается в банке за 2 года 6 месяцев до срока погашения по сложной учетной ставке 28% годовых, причем дисконтирование проводилось поквартально. При взимании комиссионных с суммы, выплачиваемой за вексель, доходность такой финансовой операции для банка в виде эффективной учетной ставки получилась 29%. Сколько процентов составили комиссионные от суммы, выплачиваемой за вексель?
2.2.37. Вексель учитывается в банке по сложной учетной ставке 30% годовых, при этом дисконтирование производится помесячно и банком взимаются комиссионные в размере 1,5% от суммы, выплачиваемой за вексель. За какое время (в днях) до срока погашения должен учитываться вексель, чтобы доходность такой сделки для банка в виде годовой эффективной учетной ставки составила 38%? Полагать в году 365 дней.
2.2.38. Некоторая сумма в долларах США обменивается на рубли, после чего помещается на рублевый депозит на 2 года 9 месяцев под учетную ставку 25% годовых с ежегодным начислением сложных процентов. Полученная наращенная сумма опять конвертируется в доллары США. Определите доходность такой финансовой операции в виде годовой эффективной учетной ставки, если курс покупки долларов на начало срока – 18 руб. 42 коп., а курс продажи через 2 года 9 месяцев – 22 руб. 30 коп. и начисление процентов осуществлялось: а) по схеме сложных процентов; б) по смешанной схеме.
2.2.39. На валютном (долларовом) депозите наращение осуществляется ежеквартально сложными процентами по годовой процентной ставке 24%. На рублевом депозите наращение осуществляется ежеквартально сложными процентами по годовой учетной ставке 24%. Курс покупки составляет 20 руб. 15 коп. за 1 долл. США. Какой должен быть курс продажи валюты, чтобы доходность в виде годовой эффективной процентной ставки за два года финансовой операции “конвертирование – наращение -конвертирование” была больше доходности при непосредственном инвестировании валютных средств?
2.2.40. На вклад 40 тыс. руб. по истечении 3 лет были начислены сложные проценты по годовой номинальной учетной ставке 28% исходя из ежеквартальной схемы начисления. После уплаты налога на проценты величина наращенной суммы составила 88,891 тыс. руб. Определите ставку налога на проценты, если налог на все полученные проценты был выплачен один раз в конце срока.
2.2.41. На вклад 50 тыс. руб. в течение 4 лет раз в год начислялись сложные проценты по годовой номинальной учетной ставке 28% исходя из полугодовой схемы начисления. После уплаты налога на все начисленные проценты величина итоговой наращенной суммы составила 151,979 тыс. руб. Определите ставку налога на проценты, если налог на проценты уплачивался каждый год путем выделения средств из накапливаемой суммы.
2.2.42. На какой срок необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под годовую номинальную процентную ставку 30% с однократным начислением в конце срока сложных процентов исходя из ежемесячной схемы начисления, чтобы наращенная сумма была в 2,4 раза больше первоначальной суммы с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 15% и налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока? Как изменится ответ при осуществлении наращения по сложной учетной ставке 30% годовых?
2.2.43. Фирма приобрела оборудование за 950 тыс. руб. Срок службы оборудования – 10 лет, после чего фирма намеревается реализовать изношенное оборудование за 100 тыс. руб. Используя способ фиксированного процента, составьте таблицу уменьшения стоимости оборудования по годам.
2.3. Непрерывная ставка
Основные положения
• При анализе сложных финансовых проблем в банковской практике нередко возникает задача начисления сложных процентов за очень малые промежутки времени. В частности, такая задача особенно актуальна,. когда финансовые операции осуществляются и регистрируются с помощью электронных методов. В такого рода ситуациях говорят о непрерывном начислении процентов и их непрерывной капитализации.
• Предел годовой номинальной процентной, ставки, когда число начислений сложных процентов стремится к бесконечности, а эффективная ставка постоянна, называется силой роста или интенсивностью наращения за год при непрерывном начислении процентов. Силу роста также еще называют непрерывной ставкой и, чтобы отличать ее от обычной (дискретной), вводят специальное обозначение – 
.
• При непрерывном начислении процентов исчезает различие между антисипативным и декурсивным способами начисления, так как в такой ситуации начало и конец периода перестают отличаться.
• При использовании непрерывной ставки будущие поступления, являющиеся разновременными суммами, можно оценивать с позиции любого момента времени.
Вопросы для обсуждения
1. Как пояснить переход к непрерывным процентам?
2. Чем отличаются дискретные проценты от непрерывных?
3. Какая постоянная используется при непрерывном начислении процентов?
4.Какая ставка называется силой роста?
5.Чему равен множитель наращения при непрерывном начислении процентов?
6.Можно ли сказать, что сила роста показывает скорость относительного роста накапливаемой суммы?
7.Какое существует соотношение между силой роста и годовой процентной ставкой?
8. Какое существует соотношение между силой роста и годовой учетной ставкой?
9. Укажите приближенные соотношения, связывающие силу роста и годовую процентную ставку.
10.Укажите приближенные соотношения, связывающие силу роста и годовую учетную ставку.
11.В каких случаях сила роста практически совпадает с процентной и учетной годовыми ставками?
12.Почему исчезает различие между антисипативным и декурсивным способами начисления процентов, если использовать непрерывное начисление?
13.Что такое сила учета и как она связана с силой роста?
14.В каких случаях целесообразно использовать непрерывное начисление процентов?
§
Пример 2.3.1.Рассчитайте накопленную сумму для различных вариантов начисления сложных процентов за один год (равный 360 дням), если исходная сумма Р = 1000 руб. и номинальная годовая процентная ставка = 30%. Рассмотрите случаи, когда проценты начисляются один раз, по полугодиям, ежеквартально, ежемесячно, ежечасно, ежеминутно, ежесекундно и непрерывно. Для каждого случая определите эффективную годовую процентную ставку.
Решение. Результаты, полученные для всех вариантов, приведем в виде таблицы, причем в четвертом столбце вычислены разности между наращениями с данным числом начисления процентов и базовым, а в пятом столбце указаны разности между наращенными суммами двух соседних строчек.
I
| Частота начисления | Наращение | ||||
| P |  | базовое | цепное | | |
| Ежегодное (т = 1) | – | – | 0,3 | ||
| Полугодовое (т = 2) | 1322,5 | 22,5 | 22,5 | 0,3225 | |
| Ежеквартальное {т = 4) | 1335,47 | 35,47 | 12,97 | 0,33547 | |
| Ежемесячное (т = 12) | 1344,89 | 44,89 | 9,42 | 0,34489 | |
| Ежедневное (ш = 360) | 1349,69 | 49,69 | 4,8 | 0,34969 | |
| Ежечасное (т = 8640) | 1349,85 | 49,85 | 0,16 | 0,34985 | |
| Ежеминутное (т = 518400) | 1349,86 | 49,86 | 0,01 | 0,34986 | |
| Ежесекундное (т = 31104000) | 1349^6 | 49,86 | 0,34986 | ||
| Непрерывное (т = оо) | 1349,86 | 49,86 | 0,34986 |
Накопленную сумму и эффективную процентную ставку во всех случаях, кроме последнего, находим соответственно по формулам (58) и (63). При непрерывном начислении процентов получим:
F1 =Pe 
-1000-e0,3 =1349,86 руб.,
-1= 1,34986 -1 = 034986.
Как и следовало ожидать, приведенные расчеты подтверждают наличие прямой зависимости между частотой начисления процентов и накопленной суммой; пятый столбец таблицы показывает, что с увеличением частоты начисления темп прироста накопленной суммы уменьшается. Если считать с точностью до копеек (что и имеет смысл при практических расчетах и как сделано при заполнении таблицы), то замечаем, что начисление сложных процентов каждую минуту (или за меньший период) доставляет ту же сумму, что и непрерывное начисление процентов. Даже начисление каждый час дает наращенную сумму лишь на 1 копейку меньше.
Эффективная процентная ставка с ростом частоты начисления сложных процентов растет и в пределе достигает величины 34,986%.
Пример 2.3.2.На сумму 6 тыс. руб. в течение 5 лет начисляются непрерывные проценты. Определите наращенную сумму, если сила роста равна: а) 7%; б) 27%.
Решение,а) Полагая Р = 6 тыс. руб.( п = 5, = 0,07, по фор-ле (78) получим:
F5 = 6е,07*5 = 8,514 тыс. руб.
Если в данном случае применить формулу (55), т.е. осуществлять начисление обычных сложных процентов по процентной ставке г = 0,07, то получим сумму:
F5 =6(l 0,07)5 =8,415 тыс. руб.,
которая отличается от предыдущей всего на 99 руб., хотя наращение происходит достаточно долго – 5 лет. Такой результат объясняется небольшой величиной ставки. Ясно, что при более частом начислении сложных процентов эта разница будет еще меньше.
6) Так как в этом случае = 027, то
F5 = 6е0,27*5 =23,145 тыс. руб.
Если же воспользоваться формулой (55) при r = 0,27, то получим:
F5=6(l 0,27)5 =19,823 тыс. руб.,
т.е. имеем значительную разницу (3,322 тыс. руб.) между найденными суммами.
Пример 2.3.3.Какую сумму необходимо поместить на банковский депозит, чтобы при непрерывном начислении процентов по ставке 25% получить 30 тыс. руб. через: а) 4 года; б) 9 лет?
Решение,а) Для определения искомой суммы воспользуемся формулой (78). Полагая n = 4 , Fn = F4 = 30 тыс. руб., = 0,25 , из этой формулы получим:
Р = 30e-0,25*4 = 30е-1 = 11,036 тыс. руб.
б) Поскольку и « 9, то
P=30e 
=30e 
=3,162 тыс.руб.
Пример 2.3.4.За какой срок сумма 10 тыс. руб. достигнет величины 25 тыс. руб. при непрерывном начислении процентов и силе роста 28% за год?
Решение.Полагая в формуле (79) Fn = 25 тыс. руб.,
Р = 10 тыс. руб., = 0,28, находим:
n= 
Если бы начислялись сложные проценты, например, по годовой номинальной процентной ставке r = 0,28, то по формуле (60):
= 3,497года,
т.е., естественно, получили больший срок, чем при непрерывном начислении процентов.
Пример 2.3.5. Банк выдает ссуду на 7 лет под сложную процентную ставку 36% годовых с начислением процентов каждые полгода. Какую непрерывную ставку должен установить банк, чтобы за 7 лет получить тот же доход?
Решение. Пусть Р – величина ссуды, тогда при использовании процентной ставки банк получит через 7 лет (согласно формуле (58)):
Теперь для определения силы роста можно воспользоваться формулой (80):
Конечно, этот пример можно было решить, и воспользовавшись сразу формулой (97), связывающей эквивалентные силу роста и сложную процентную ставку.
Пример 2.3.6. Банк предоставил кредит на 4 года под непрерывную ставку 30% за год. Определите доходность такой финансовой операции для банка в виде: а) простой годовой процентной ставки; б) годовой эффективной процентной ставки.
Решение, а) Если Р – величина кредита, то через n = 4 года наращенная сумма, которую заемщик должен будет возвратить, составит: Поэтому доходность в виде простой годовой процентной ставки составит (по формуле (23)):
Обратим внимание, что в данном случае по существу была применена формула (93).
б) При определении r 
воспользуемся формулой (64):
ref = 
-1 = 0,3499 = 34,99% .
Заметим, что годовая эффективная процентная ставка rеf, и
сила роста S связаны соотношением: r = e — 1, которым мы
фактически и воспользовались при решении примера.
Пример 2.3.7.Предприниматель получил в банке ссуду на 6 лет по непрерывной ставке 25% за год, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 2% от величины ссуды. Определите доходность такой финансовой операции для банка в виде: а) простой годовой процентной ставки; б) годовой эффективной процентной ставки, если непрерывные проценты начисляются на исходную величину ссуды.
Решение,а) Обозначим через Р величину ссуды, тогда величина удержанных комиссионных составит 0,02P и господину N будет выдана сумма Р – 0,02Р = 0.98Р . Через 6 лет господин N должен будет вернуть (согласно формуле (78)) сумму, равную
Ре0,25*6 = Ре1,5 . Банк вычисляет доходность сделки исходя из условия: наращенная по простой процентной ставке r на реально выданную ссуду сумма 0,98Р(1 6r) должна быть равна возвращаемой господином N через 6 лет сумме Ре1,5. Таким образом, доходность сделки r определяется из уравнения: 0,98P(1 6r) = Ре1,5. Откуда:
= 0,5955 = 59,55%.
По существу воспользовались формулой (23).
б) В этом случае- наращенная по эффективной процентной ставке ref на реально выданную ссуду сумма составит 0,98P(1 r ) и, следовательно, получим уравнение: 0,98P(1 r )6= Pe1,5, откуда:
r = 
= 0,2884 = 28,84%.
Пример 2.3.8.На вклад 16 тыс. руб. начисляются непрерывные проценты. Определите наращенную сумму за 6 лет, если интенсивность наращения изменяется следующим образом: в первые два года она равна 20%, в следующие три года – 24% и в последний год – 26%. Какую постоянную силу роста необходимо взять, чтобы за 6 лет получить такую же наращенную сумму?
Решение.Пусть Р = 16 тыс. руб. По формуле (78) за первые два года при силе роста 5 = 0,2 наращенная сумма составит:
F2=l6e0,2*2 =16е0,4 тыс. руб.
Далее наращение суммы F2 непрерывными процентами за три года при = 0,24 обеспечит величину:
16e1,12 тыс. руб.
И наконец, за последний год получим при = 0,26:
=63,598 тыс. руб.
Такую же наращенную сумму за 6 лет можно получить, если в качестве постоянной силы роста взять
Заметим, что 
представляет собой взвешенную сумму исходных непрерывных ставок, где весом для каждой ставки является доля времени (от общего срока 6 лет), в течение которого использовалась данная ставка. Действительно:
Пример 2.3,9.Господин N намеревается обменять имеющиеся у него немецкие марки и поместить полученную сумму на рублевом депозите сроком на 2 года под ставку 21% годовых с непрерывным начислением процентов, после чего наращенную сумму опять конвертировать в немецкие марки. При каком ожидаемом курсе продажи не имеет смысла такая финансовая операция, если курс покупки немецких марок на начало срока составляет 10 руб. 64 коп. и на валютном депозите денежную сумму можно поместить под процентную ставку 18% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов?
Решение.Обозначим через Р имеющуюся первоначальную сумму немецких марок, через К – ожидаемый курс продажи немецких марок через 2 года, при котором нет смысла в двойном конвертировании. Неизвестную величину К находим, приравнивая наращенные суммы на валютном и на рублевом депозитах с учетом конвертации:
P 
отсюда К= 
= 11,39 руб. Если ожидаемый курс продажи будет менее 11 руб. 39 коп., то финансовая операция, связанная с двойной конвертацией, целесообразна.
Пример 2.3.10.Сумма 15 тыс. руб. была помещена в банк на некоторый срок, по истечении которого на эту сумму были начислены непрерывные проценты с силой роста 30% за год. После уплаты налога на проценты величина наращенной суммы составила 36,2 тыс. руб. Определите срок, за который было осуществлено наращение, если ставка налога на проценты равна 12% и налог на все полученные проценты был выплачен один раз в конце срока.
Решение.Воспользуемся соотношением (101), разрешая его относительно п :
Так как в этом случае Р = 15 тыс. руб., 
=36,2 тыс. руб., q=0,12 ,a=e03 ,in= 0,3 то
= 3,193 года.
С целью проверки применим непосредственно формулу (101):
тыс. руб.
Пример 2.3.11.Сумма 15 тыс. руб. была помещена в банк на некоторый срок, в течение которого на сумму начислялись непрерывные проценты с силой роста 30% за год. После уплаты налога на все начисленные проценты величина итоговой наращенной суммы составила 36,2 тыс. руб. Определите срок, в течение которого осуществлялось наращение, если ставка налога на проценты равна 12% и налог на проценты уплачивается каждый год путем выделения средств из накапливаемой суммы.
Решение. Выражая из равенства (102) л, в обозначениях предыдущего примера находим;
= 3,282 года,
т.е. получен больший по величине срок, чем в предыдущем случае.
Задачи
2.3.1. На сумму 12 тыс. руб. в течение 6 лет начисляются непрерывные проценты. Определите наращенную сумму, если сила роста равна: а) 6%; б) 16%; в) 26%.
2.3.2. Рассчитайте наращенную сумму для различных вариантов начисления процентов за один год (равный 360 дням) по сложной учетной ставке, если исходная сумма равна 1000 руб. и номинальная годовая учетная ставка составляет 20%. Рассмот-
211риге случаи, когда проценты начисляются один раз в год, по полугодиям, ежеквартально, ежемесячно, ежечасно, ежеминутно, ежесекундно и непрерывно- Для каждого случая определите эффективную годовую учетную ставку.
2.3.3. Клиент поместил в банк 40 тыс. руб. на 2 года. Какая сумма будет на счете клиента, если банк начисляет сложные проценты: а) по номинальной процентной ставке 30% годовых с полугодовым начислением процентов; б) по номинальной учетной ставке 30% годовых с ежеквартальным начислением процентов; в) по непрерывной ставке с силой роста 30% за год?
2.3.4. Какую сумму необходимо поместить на банковский депозит, чтобы через 5 лет получить 80 тыс. руб., если происходит непрерывное начисление процентов по ставке 22%?
2.3.5. Известно, что современная стоимость 10 тыс. руб., которые один клиент должен получить по банковскому депозиту через 2 года, равна удвоенной современной стоимости 6 тыс. руб., .которые должен получить другой клиент по банковскому депозиту через 4 года. В обоих случаях используются непрерывные проценты и одна и та же непрерывная ставка. Чему равна эта ставка?
2.3.6. За какой срок сумма 50 тыс. руб. достигнет величины 90 тыс. руб. при непрерывном начислении процентов и силе роста 34%? Как изменится ответ при начислении сложных процентов ежеквартально по номинальной процентной ставке 34% годовых?
2.3.7. Заемщик должен уплатить кредитору по векселю следующие суммы: 15 тыс. руб. на 1 января 1999 г.; 20 тыс. руб. на 1 января 1998 г.; 30 тыс. руб. на 1 октября 1998 г. Определите приведенную стоимость долга на моменты: а) 1 января 1995 г.; б) 1 июля 1997 г., если используется непрерывное начисление процентов с силой роста 12% за год.
2.3.8. Банк выдает ссуду на 9 лет под сложную процентную ставку 32% годовых с начислением процентов каждый квартал. Какую непрерывную ставку должен установить банк, чтобы за 9 лет получить тот же доход? Изменится ли полученный результат, если срок ссуды будет 3 года?
2.3.9. Банк предоставил кредит на 6 лет под непрерывную ставку 27% за год. Определите доходность такой финансовой операции для банка в виде: а) простой годовой процентной ставки; б) годовой эффективной процентной ставки.
2.3.10. Предоставлена ссуда на 5 лет под непрерывную ставку. Определите величину этой ставки, если доходность сделки для кредитора в виде годовой эффективной процентной ставки составила 38%. Зависит ли величина искомой непрерывной ставки от срока ссуды?
2.3.11. Предприниматель может получить ссуду либо на условиях ежеквартального начисления сложных процентов по процентной ставке 36% годовых, либо на условиях непрерывного начисления процентов с интенсивностью 34% за год. Какой вариант предпочтительнее для предпринимателя?
2.3.12. Вкладчик хотел бы за 6 лет увеличить в 2,5 раза сумму, помещаемую в банк на депозит. Какова должна быть сила роста, если банк начисляет непрерывные проценты? Какова должна быть сила роста, чтобы обеспечить увеличение помещаемой суммы в 4 раза?
2.3.13. Оцените, что лучше: получить 20 тыс. руб. через 3 года или 68 тыс. руб. через 7,5 года, если можно поместить деньги на депозит под непрерывную ставку 28% за год?
2.3.14. Под какую непрерывную ставку можно поместить деньги на депозит, если 10 тыс. руб. сейчас эквивалентны 30 тыс. руб. через 4 года? Какая сложная процентная ставка с начислением процентов по полугодиям решает эту задачу?
2.3.15. Определите время, за которое происходит удвоение первоначальной суммы при начислении непрерывных процентов, если сила роста равна: а) 5%; б) 25%; в) 50%; г) 100%.
2.3.16. Определите современную ценность 60 тыс. руб., если:
а) эта сумма будет получена через 2 года 6 месяцев; б) эта сумма была получена 4 года 6 месяцев назад; в) эта сумма получена в настоящий момент времени. Учесть возможность помещения денег на депозит под непрерывную процентную ставку 30%.
2.3.17. Банк начисляет непрерывные проценты с силой роста 27%. Определите современную ценность 20 тыс. руб., если: а) эта сумма была помещена на депозит в банке 3 года 4 месяца назад;
б) эта сумма будет помещена на депозит в банке через 2 года 9 месяцев.
2.3.18. Некоторый капитал помещен в банк под непрерывную ставку 30%. Через 2 года и 3 месяца счет был закрыт и получена сумма 189,755 тыс. руб. Определите величину наращенной суммы, которая была бы получена через полтора года. 2.3.19. Господин N поместил в банк 10 тыс. руб. на условиях начисления непрерывных процентов с силой роста 28%. Через 15 месяцев господин N снял со счета 4 тыс. руб., еще через 2 года положил на свой счет 3 тыс. руб., а после этого через 2 года 6 месяцев он закрыл счет. Определите сумму, полученную господином N при закрытии счета.
2.3.20. Вкладчик положил в банк 8 тыс. руб. на условиях начисления непрерывных процентов с силой роста 26%. Через полтора года вкладчик снял со счета 5 тыс. руб., а через 2 года после этого он положил 7 тыс. руб. Еще через 2 года 6 месяцев вкладчик положил такую сумму, что на его счете еще через год оказалось 60 тыс. руб. Определите, какую сумму вкладчик положил последний раз.
2.3.21. Вкладчик открыл счет в банке, положив некоторую сумму денег. Такую же по величине сумму он добавлял на свой счет еще три раза: через 1 год 6 месяцев, 2 года 6 месяцев и 4 года после открытия счета. Через 5 лет на счете вкладчика было 80 тыс. руб. Какую сумму вносил вкладчик каждый раз, если банк начисляет непрерывные проценты с силой роста 30%?
2.3.22. Предприниматель взял в банке кредит на сумму 150 тыс. руб. на условиях начисления непрерывных процентов с силой роста 30%. Через полтора года он вернул банку 60 тыс. руб., но еще через полгода взял кредит в сумме 50 тыс. руб. Через 2 года после этого предприниматель вернул полностью полученные кредиты. Какую сумму предприниматель при этом вьтлатил банку?
2.3.23. Определите, какую сумму необходимо поместить в банк, начисляющий непрерывные проценты с силой роста 24%, чтобы иметь возможность снять через 2 года 15 тыс. руб. и еще 20 тыс. руб. через 3 года после этого, полностью исчерпав счет.
2.3.24. Предприниматель приобрел оборудование стоимостью 300 тыс. руб. в кредит под непрерывную ставку 22% годовых. Через 2 года он уплатил 180 тыс. руб., а еще через полтора года полностью погасил долг. Определите, какую сумму предприниматель при этом выплатил.
2.3.25. За взятые в долг деньги под непрерывную ставку 25% годовых должник обязан уплатить кредитору 40 тыс. руб. 1 июля 1997 г. Какую сумму необходимо уплатить должнику, если он вернет долг: а) 1 января 1997 г.; б) 1 января 1998 г.; в) 1 июля 1999 г.?
2.3.26. Предприниматель получил в банке ссуду на 7 лет по непрерывной ставке 28% за год, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 1,5% от величины ссуды. Определите доходность такой финансовой операции для банка в виде: а) простой годовой процентной ставки; б) годовой эффективной процентной ставки, если непрерывные проценты начисляются на исходную величину ссуды.
2.3.27. Выдается ссуда по непрерывной ставке 22% годовых, при этом взимаются комиссионные в размере 1% от величины ссуды.”” Непрерывные проценты начисляются на исходную величину ссуды. На какой срок должна быть выдана ссуда, чтобы доходность такой сделки для кредитора в виде годовой эффективной процентной ставки составляла 28%?
2.3.28. При выдаче кредита на 3 года по непрерывной ставке 24% годовых были удержаны комиссионные. Непрерывные проценты начислялись на исходную величину кредита. Сколько процентов составили комиссионные от величины кредита, если доходность такой финансовой операции для кредитора в виде эффективной процентной ставки получилась равной 30% годовых?
2.3.29. На вклад 6 тыс. руб. начисляются непрерывные проценты. Найдите наращенную сумму за 8 лет, если интенсивность наращения изменяется следующим образом: в первые три года она равна 12%, в следующие два года – 14% и в каждый оставшийся год увеличивается на 3%. Какую постоянную силу роста необходимо взять, чтобы за 8 лет получить такую же наращенную сумму?
2.3.30. Сумма 25 тыс. руб. помещена в банк под непрерывную ставку с силой роста 20% за год. В конце каждого года 3% от наращенной к этому моменту суммы расходуется. Определите величину наращенной суммы в конце десятого года после осуществления всех расходов.
2.3.31. На сумму 10 тыс. руб. в течение 3 лет начисляются непрерывные проценты с силой роста 34% за год, причем в конце каждого года расходуется часть наращенной к этому моменту суммы: в конце первого года – %, в конце второго года- УА, в конце третьего – /5. Определите величину наращенной суммы в конце третьего года после осуществления всех расходов.
2.3.32. Господин N обменивает 2000 долл. на рубли и полу-^ченную сумму помещает на 15 месяцев на рублевый депозит под.
непрерывную ставку 24%. Определите наращенную сумму в долларах, если курс покупки долларов на начало срока составляет 19 руб. 60 коп., курс продажи в конце срока – 21 руб. 30 коп.
2.3.33. Господин N намеревается обменять имеющиеся у него доллары США и поместить полученную сумму на рублевом депозите сроком на 1 год 6 месяцев под ставку 22% годовых с непрерывным начислением процентов, после чего наращенную сумму опять конвертировать в доллары США. При каком ожидаемом курсе продажи не имеет смысла такая финансовая операция, если курс покупки долларов на начало срока составляет 19 руб. 54 коп. и на валютном депозите денежную сумму можно поместить под процентную ставку 16% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов?
2.3.34. Как лучше поступить с имеющейся в наличии некоторой суммой немецких марок: поместить на один год на валютный депозит под процентную ставку 18% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов или поместить на рублевый депозит под ставку 20% с непрерывным начислением процентов? Курс покупки немецких марок на начало срока составляет 10 руб. 40 коп., ожидаемый курс продажи через год -11 руб. 20 коп.
2.3.35. Сумма 50 тыс. руб. была помещена в банк на некоторый срок, по истечении которого на сумму были начислены сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 30% исходя из: а) ежегодной схемы начисления; б) ежеквартальной схемы начисления; в) непрерывной схемы начисления. После уплаты налога на проценты величина наращенной суммы составила 124,88 тыс. руб. Определите срок, за который было осуществлено наращение, если ставка налога на проценты равна 15% и налог на все полученные проценты был выплачен один раз в конце срока.
2.3.36. Некоторый капитал был помещен в банк на 3 года 6 месяцев, по истечении которых на этот капитал были начислены непрерывные проценты с силой роста 24% за год и счет был закрыт. После уплаты налога на проценты наращенный капитал стал равен 129,504 тыс. руб. Определите величину первоначального капитала, если налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока и ставка налога на проценты равна 12%.
2.3.37. Некоторый капитал был помещен в банк на 2 года 6 месяцев на условиях начисления раз в год непрерывных процентов с силой роста 30% за год, и в конце срока счет был закрыт. После уплаты налога на все начисленные проценты итоговый наращенный капитал стал равен 76,688 тыс. руб. Определите величину первоначального капитала, если налог на проценты уплачивается каждый год путем выделения средств из накапливаемой суммы и ставка налога на проценты равна 15%.
2.3.38. На какой срок необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под непрерывную процентную ставку 32% с однократным начислением в конце срока непрерывных процентов, чтобы эта сумма увеличилась в 3 раза с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 15% и налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока?
2.3.39. На какой срок необходимо поместить имеющуюся денежную сумму на условиях начисления раз в год непрерывных процентов с силой роста 34% за год, чтобы эта сумма увеличилась в 4 раза с учетом уплаты налога на проценты, если налог на проценты уплачивается каждый год путем выделения средств из накапливаемой суммы и ставка налога на проценты равна 12%?
2.4. Эквивалентность ставок
Основные положения
• Один и тот же финансовый результат можно получить различными способами, используя различные ставки, методы наращения и дисконтирования.
• Две ставки называются эквивалентными, если при замене одной ставки на другую финансовые отношения сторон не меняются. Таким образом, участникам финансового соглашения безразлично, какая ставка будет фигурировать в контракте.
• При выводе равенств, связывающих эквивалентные ставки, используется следующая идея: если из первоначального капитала наращением за данное время необходимо получить некоторую сумму, то будут эквивалентными все ставки, обеспечивающие один и тот же множитель наращения. Поэтому приравнивая друг к другу множители наращения, получим соотношения ме-жду эквивалентными ставками. Точно так же при переходе от будущей стоимости к приведенной стоимости с помощью дисконтирования приравниваются множители дисконтирования.
• Эквивалентные ставки, подобно эффективным ставкам, позволяют сравнивать между собой финансовые контракты, условия которых различны.
• Формулы, связывающие эквивалентные простые и сложные ставки, зависят от продолжительности периода начисления. Формулы, связывающие эквивалентные сложные ставки, не зависят от продолжительности периода начисления.
• Переход от дискретных ставок к соответствующим эквивалентным непрерывным ставкам позволяет упростить анализ многих сложных финансовых задач. Осуществив необходимые математические выкладки, полученные результаты можно представить опять в любых удобных эквивалентных дискретных ставках, являющихся более привычными.
• Проблему эквивалентности ставок можно рассматривать и с более общих позиций, например эквивалентность одной ставки нескольким ставкам или эквивалентность двух наборов ставок и т.п.
Вопросы для обсуждения
1. Можно ли с помощью двух различных ставок получить один и тот же финансовый результат? Поясните на примере.
2. Можно ли сказать, что любая ставка характеризует доходность финансовой операции?
3. Какие ставки называют эквивалентными?
4. Почему участникам финансового соглашения безразлично, какая из эквивалентных ставок указывается в контракте?
5. Можно ли рассматривать определение эффективной ставки (процентной или учетной) как определение одной из эквивалентных ставок?
6. Какая идея используется при выводе равенств, связывающих эквивалентные ставки?
7. В каких случаях эквивалентность процентных ставок не зависит от продолжительности периода начисления?
8. В каких случаях эквивалентность процентных ставок зависит от продолжительности периода начисления?
9. Для каких целей переходят от дискретных ставок к соответствующим эквивалентным непрерывным ставкам?
10.Приведите пример ситуации, когда ставка эквивалентна двум ставкам.
§
Пример 2.4.1. Господин N собирается поместить на некоторый срок свободные денежные средства либо под сложную процентную ставку 30% годовых с ежеквартальным начислением процентов, либо под простую процентную ставку 48% годовых. Выясните, как выгоднее поступить при сроке: а) 3 года; б) 4 года?
Решение, а) Чтобы сделать правильный выбор, необходимо найти для данной сложной процентной ставки 30% эквивалентную простую процентную ставку и сравнить ее с предлагаемой простой процентной ставкой 48%. Используем формулу (81) при
п = 3 , т = 4, r(4) = 03 :
= 0,4606.
Так как r = 46,06% меньше 48%, то выгоднее на три года поместить капитал под простую процентную ставку 48%.
Конечно, можно было найти эквивалентную сложную процентную ставку для простой ставки 48% по формуле (82): r(4) = 4( 
-1) = 0,3087 и поскольку r (4) > 30%, приходим, естественно, к такому же выводу.
б) Полагая n = 4 , m = 4, r(4) = 0,3, по формуле (81) получим:
= 0,5452.
Так как r = 54,52% превышает 48%, то выгоднее на 4 года поместить капитал под сложную ставку.
Пример 2.4.2.Долговое обязательство учтено в банке за 9 месяцев до срока погашения по номинальной годовой учетной ставке d = 32% . По какой простой учетной ставке надо произвести учет этого обязательства, чтобы обеспечить банку тот же самый дисконт?
Решение.Полагая в формуле (83) n = 0,75, находим:
= 0,2951.
Таким образом, искомое значение простой учетной ставки составляет 29,51% годовых. С целью проверки можно воспользоваться формулой (84), где d = 0,2591:
d = 4(1 – 
) = 032, или 32%.
Получив номинальную годовую учетную ставку, данную в условии примера, делаем вывод, что простая учетная ставка найдена верно.
Пример 2.4.3.Банком выдан кредит на три месяца под 27% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов. Определите величину простой учетной ставки, обеспечивающей такую же величину начисленных процентов.
Решение.По формуле (87) при п = 0,25, r(12) =0,27 находим требуемую величину простой учетной ставки:
= 0,2583, или 2533%.
Для проверки результата воспользуемся формулой (88):
т.е. получили исходную сложную процентную ставку.
Пример 2.4.4.Определите сложную годовую учетную ставку с дисконтированием 2 раза в год, которая эквивалентна годовой номинальной процентной ставке 24%: а) с ежеквартальным начислением сложных процентов; б) с полугодовым начислением сложных процентов.
Решение. а) Применяем формулу (92) при
т = 2, i= 4, r(4) = 0,24:
d 
Проверим полученный ответ по формуле (91), где уже
m=4,i=2
d 
б) Из формулы (92) при т = 1 = 2, /2) = 0Д4 получим:
d 
Заметим, что при т = i из формул (91) и (92) получим соответственно равенства:
и 
которые по существу являются иной записью равенств (3).
Пример 2.4,5. Определите величину силы роста при начислении непрерывных процентов в течение двух лет, которая эквивалентна; а) простой процентной ставке 26% годовых; 6) сложной процентной ставке 26% годовых с ежемесячным начислением процентов.
Решение, а) Полагая в формуле (94) п = 2, r = 0,26 , находим:
, или 20,94%.Проверку полученного ответа можно осуществить по формуле (93):
Из формулы (94) следует, что с ростом срока п величина эквивалентной непрерывной ставки будет уменьшаться. Например, при n = 10 лет сила роста = 12,81%; при n = 100 лет = 3,3%.
б) По формуле.(97) при т = 12 , r(12) = 0,26:
0,2572 = 25,72%.
Для проверки воспользуемся формулой (98):
r(12)=12(е 
-1) 0,25998 0,26.
Заметим, что в отличие от предыдущего случая величина эквивалентной непрерывной ставки не зависит от величины срока, в течение которого происходит наращение.
Как видно из решения случая б), < r (12). Вообще можно показать, что эквивалентные ставки r(m), d 
и при любых т и i удовлетворяют неравенствам: d < <r(m)
Пример 2.4.6.Банк предоставляет ссуду на 25 месяцев под 30% годовых с ежеквартальным начислением процентов по смешанной схеме. Определите эквивалентную годовую простую процентную ставку, обеспечивающую такой же доход банку от предоставления ссуды.
Решение.Покажем, что для данной ситуации нетрудно получить формулу в общем виде. Пусть в течение времени п используется сложная процентная ставка r 
, но при начислении процентов применяется смешанная схема. Тогда по формуле
(59) множитель наращения имеет вид (1 ) 
(1 
), где
= [тп] (напомним, что квадратные скобки означают целую часть числа), =тп-[тп], п = 
Множитель наращ при использовании простой процентной ставки согласно формуле (9) имеет вид 1 пr , Приравнивая эти множители наращения, находим, что эквивалентная простая процентная ставка находится по формуле:
В нашем случае n = 
года,m=4,r =0,3 
,поэтому:
= 0,4548,
т.е. эквивалентная простая процентная ставка равна 45,48%.
Таким образом, из полученной выше формулы следует, что простая процентная ставка r эквивалентна по существу двум процентным ставкам: сложной ставке r(m), применяемой за время, равное целому числу подпериодов, и простой ставке r(m), применяемой за время, равное дробной части подпериода. При этом если дробная часть подпериода равна нулю
( = 0 ), то
= [mn]=mn и полученная выше формула совпадает с формулой (81), а если целое число подпериодов равно нулю ( =0), то
=n и полученная формула примет вид r = r(m)
Если бы начислялись только сложные проценты, то воспользовались бы формулой (81):
= 0,4543.
Пример 2.4.7.Банк принимает вклады до востребования под сложную процентную ставку 20% годовых при временной базе 365 дней. Какую простую годовую учетную ставку должен применить банк при учете векселя за 250 дней до срока его погашения, чтобы обеспечить себе такую же доходность, как и по вкладам до востребования? При учете используется временная база360 дней.
Решение.Для определения эквивалентной простой годовой учетной ставки нельзя воспользоваться формулой (87), поскольку при ее выводе считалось, что временные базы ставок одинаковы. Однако необходимую для решения данного примера формулу нетрудно получить, приравнивая соответствующие множители наращения. Пусть Td и Т 
, – временные базы соответственно учетной и процентной ставок, тогда из
получим:
d= 
Таким образом, полагая r(1) = 0,2, Тr = 365 дней, T 
= 360 дней, t= 250 дней, получим:
d= 
= 0,1690=16,90%.
Кстати, если бы взяли одинаковую временную базу, то при Td =Тr =360 дней получили бы d = 17,13%, а при Td = Tr =365 дней- d = 17,14%.
Задачи
2.4.1. Предлагается поместить капитал: а) на 5 лет; б) на 3 года либо под сложную процентную ставку 18% с ежемесячным начислением процентов, либо под простую процентную ставку 24% годовых. Выясните, как выгоднее поступить.
2.4.2. Банком выдан кредит на 9 месяцев под 26% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов. Определите величину простой учетной ставки, обеспечивающей такую же величину начисленных процентов.
2.4.3. Какой годовой процентной ставкой с ежегодным начислением сложных процентов можно заменить в контракте простую процентную ставку 34% годовых, чтобы финансовые последствия для сторон не изменились? Срок контракта – 450 дней, финансовый год равен 365 дней.
2.4.4. Наращение осуществляется по простой процентной ставке 24% годовых в течение полутора лет. Определите годовую номинальную процентную ставку с начислением сложных процентов 4 раза в год, которая обеспечивает такую же величину наращенной суммы.
2.4.5. Вексель учтен в банке за полгода до срока погашения
по номинальной годовой учетной ставке d(2) =27%. По какой простой учетной ставке надо произвести учет этого обязательства, чтобы обеспечить банку тот же самый дисконт?
2.4.6. Банк учитывает вексель за 45 дней до срока его оплаты по простой учетной ставке 18% годовых. Какую слояигую учетную ставку должен установить банк, чтобы доход банка не изменился?
2.4.7. Определите сложную учетную ставку, эквивалентную годовой номинальной процентной ставке 24% с ежемесячным начислением сложных процентов.
2.4Л. Определите номинальную годовую процентную ставку с ежемесячным начислением сложных процентов, которая эквивалентна: а) номинальной годовой процентной ставке 28% с полугодовым начислением сложных процентов; б) номинальной годовой учетной ставке 28% с ежеквартальным начислением сложных процентов.
2.4.9. Чему равна номинальная годовая учетная ставка с дисконтированием 4 раза в год, эквивалентная номинальной годовой учетной ставке 34% с дисконтированием 12 раз в год?
2.4.10. Банк учитывает вексель по годовой номинальной
процентной ставке r = 22%. Какой величины должна быть сложная учетная ставка, используемая вместо процентной, чтобы доход банка не изменился?
2.4.11. Определите величину силы роста при начислении непрерывных процентов в течение года, которая эквивалентна процентной ставке 18% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов..
2.4.12. Банк выдает ссуду под сложную процентную ставку 20% годовых. Какую номинальную годовую процентную ставку должен установить банк, чтобы его доход не изменился, если начисление процентов происходит: а) по полугодиям; б) каждые два месяца; в) ежемесячно; г) непрерывно.
2.4.13. Банк учитывает долговое обязательство по сложной учетной ставке 18% годовых. По какой номинальной годовой учетной ставке d(m) банк должен учитывать долговое обязательство, чтобы доход банка не изменился, если: а) т = 4 ; б) т = 6; в) т = 12 ?
2.4.14. Определите величину силы роста при начислении непрерывных процентов в течение трех лет, которая эквивалентна: а) простой процентной ставке 24% годовых; б) сложной процентной ставке 24% годовых с ежеквартальным начислением процентов.
2.4.15. Банк предоставляет ссуду на 39 месяцев под 16% годовых с полугодовым начислением процентов по смешанной схеме. Определите эквивалентную простую процентную ставку. Как изменится результат в случае начисления только сложных процентов?
2.4.16. Вексель учтен в банке за 26 месяцев по номинальной
учетной ставке d(4) = 28% годовых, причем дисконтирование осуществлялось по смешанной схеме. Определите эквивалентную простую учетную ставку.
2.4.17. Банк принимает вклады до востребования под сложную процентную ставку 28% годовых при временной базе 365 дней. Какую простую годовую учетную ставку должен применить банк при учете векселя за 190 дней до срока его погашения, чтобы обеспечить себе такую же доходность, как и по вкладам до востребования? При учете используется временная база 360 дней.
2.4.18. Банк учитывает вексель за 300 дней по сложнщ^чет-ной ставке 24% годовых при временной базе 360 дней. Какая простая годовая процентная ставка должна быть при выдаче кредита, чтобы обеспечить получение банком т; дохода? При выдаче кредита используется временная базе дней.
§
Пример 2,5.1.На вклад начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если ежемесячный темп инфляции составляет 3%?
Решение,а) Обозначим через 1 
р среднемесячный (т.е.за 1/12 года) индекс инфляции, тогда 1 р =1,03 и поформуле (42) при к = 12 находим индекс инфляции за год:
=1,0312 =1,4258.
Пусть r – процентная ставка при ежегодном начислении сложных процентов, тогда в соответствии с формулой (104) значение ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, находится из равенства 1 r = 
(т.е. множитель наращения за год приравнивается к годовому индексу инфляции). Таким образом:
r = -1 = 1,4258 -1 = 0,4258 = 42,58%.
Следовательно, реальное наращение капитала будет происходить только при процентной ставке, превышающей 42,58% годовых.
б) При ежеквартальном начислении сложных процентов для определения номинальной ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, согласно формуле (104) пользуемся равенством
откуда:
= 4( 
-1) = 03709 = 37,09%.
Таким образом, положительная процентная ставка при ежеквартальном начислении сложных процентов превышает 37,09% годовых.
в) В случае ежемесячного начисления процентов пользуемся равенством 
откуда:
= 12(1,03-1) = 036 = 36% .
Итак, в данной ситуации реальное наращение капитала происходит при номинальной процентной ставке, большей чем 36% годовых. В этом случае ответ можно было дать сразу, поскольку для осуществления реального наращения капитала его относительный рост за месяц должен превышать темп инфляции за это
же время. Следовательно, 
0,03, поэтому r(12) > 0,36.
Заметим, что величину сложной процентной ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, можно найти из формулы (105), при r(m)=0:
Полагая п = 1, ответы для случаев а), б), в) получим соответственно при т = 1,4, 12.
Пример 2.5.2.Номинальная процентная ставка, лишь компенсирующая при наращении действие инфляции, составляет 52% годовых. Определите полугодовую инфляцию, если начисление сложных процентов осуществляется каждый квартал.
Решение.Приравняем годовой индекс инфляции к
множителю наращения за год. Полагая r(4) = 0,52, получим:
Поэтому индекс инфляции за полгода (0,5 года) составит:
Следовательно, темп инфляции за полгода в среднем равен 27,69%.
Пример 2.5.3.На некоторую сумму в течение трех лет будут начисляться непрерывные проценты. По прогнозам инфляция в это время за каждый год последовательно составит 15, 20 и 10%. Какова должна быть сила роста за год, чтобы сумма по своей покупательной способности не уменьшилась?
Решение.Поскольку индекс инфляции за первый год равен 1,15, за второй – 1,2 и за третий – 1,1, то индекс инфляции за 3 года составит;
Пусть – сила роста за год, позволяющая первоначальной сумме только сохранить свою покупательную способность. Приравнивая индекс инфляции за три года к множителю наращения за это же время, получим е 
= 
, отсюда:
Следовательно, сила роста (интенсивность наращения) должна превышать 13,91%загод.
Пример 2.5.4.На вклад в течение 15 месяцев начисляются проценты: а) по схеме сложных процентов; б) по смешанной схеме. Какова должна быть процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если каждый квартал цены увеличиваются на 8%?
Решение,а) Так как темп инфляции за каждый квартал равен 8%, то индекс инфляции за каждый квартал (0,25 года) равен 1,08. Поэтому индекс инфляции за 15 месяцев (1,25 года, или 5 кварталов) Составит:
=1,085 =1,4693.
Обозначим через r искомую годовую процентную ставку и приравняем этот индекс инфляции к множителю наращения при использовании схемы сложных процентов:
(1 r)1,25 = 1,4693 .
Отсюда:
r = 1,4696 
-1 = 0,3605.
Таким образом, в этом случае ставка должна превышать 36,05% годовых.
При рассмотрении этого случая можно было рассуждать и таким образом. При инфляции 8% за каждый квартал годовой тёмп инфляции составит 1,084-1 = 03605 =36,05%. Реальное женаращение капитала будет происходить, если годовая процентная ставка превышает годовой темп инфляции, т.е. r > 36,05% .
б) Пусть теперь применяется смешанная схема. Приравнивая индекс инфляции за 1,25 года к множителю наращения, получим квадратное уравнение относительно r:
(1 r)(1 0,25r) = 1,4693.
Решая уравнение, определяем корни: 
=-5,3508, r2 =0,3508. Очевидно, что по смыслу первый корень не подходит. Следовательно, при использовании смешанной схемы ставка должна превышать 35,08% годовых. “Граничное” значение ставки в этом случае получили почти на 1% меньше, чем в предыдущем, что объясняется большей эффективностью смешанной схемы начисления по сравнению со схемой сложных процентов.
Обратим внимание, что для ответа на вопрос в данном случае необходимо фактически решить неравенство:
(1 r)(1 0,25r)> 1,4693.
Если применяется иного вида смешанная схема наращения, то для определения процентной ставки r получим другое уравнение. В частности, при использовании схемы сложных процентов для двух лет и затем при учете полученной суммы “на 100” за 0,75 года приходим к уравнению:
= 1,4693,
преобразуя которое получаем квадратное уравнение с корнями =-12681, r2 =0,3701. Отбрасывая первый корень, делаем вывод, что при данной схеме начисления процентов ставка должна превышать 37,01% годовых. Такой же результат получим, решая неравенство 
и отбрасывая в полученном ответе отрицательную область.
Пример 2.5,5. На вклад 28 тыс. руб. ежеквартально начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 40%. Оцените сумму вклада через 21 месяц с точки зрения покупательной способности, если ожидаемый темп инфля-
ции – 2% в месяц. Какова должна быть величина номинальной положительной процентной ставки? Как изменится ситуация, если темп инфляции будет 3,5% в месяц?
Решение.По формуле (58) за п =1,75 года (21 месяц) сумма вклада составит:
= 54,564 тыс. руб.
Индекс инфляции за 1,75 года при темпе инфляции 2% в месяц находим по формуле (42):
Применяя формулу (104), находим величину вклада с точки зрения ее покупательной способности:
тыс. руб
Вычитая из этой величины первоначальную сумму вклада, найдем реальный доход владельца вклада:
– Р = 35,999 – 28 = 7,999 тыс. руб.
Положительная процентная ставка r должна удовлетворять неравенству:
= 0,2448.
Таким образом, при темпе инфляции 2% в месяц и ежеквартальном начислении сложных процентов реальное наращение капитала будет происходить только при процентной ставке, превышающей 24,48%. А поскольку номинальная процентная ставка удовлетворяет этому условию, то владелец вклада, несмотря на инфляцию, получает реальный доход.
Естественно, к такому же ответу можно было прийти, используя условие: относительный рост вклада за квартал должен превышать темп инфляции за это время, т.е. должно выполняться неравенство: 
> (l 0,02)3-l,.
решая которое находим r > 0,2448 . При темпе инфляции 3,5% в месяц:
=(1 0,035)21 =2,0594, 
= 26,495 тыс. руб и
реальный доход вкладчика составит 26,495 – 28 = – 1,505 тыс. руб., т.е. в этом случае вкладчик с точки зрения покупательной способности потерпит убытки. В данных условиях для положительной процентной ставки должно выполняться неравенство
r(4) > 4( 
-1) = 0,4349 , т.е. r(4) > 43,49% . Следовательно, номинальная процентная ставка (40%) меньше положительной процентной ставки.
Пример 2.5.6. Кредит 120 тыс. руб. выдается сроком на 4 года при условии начисления сложных процентов. Какова должна быть процентная ставка по кредиту, чтобы реальная доходность кредитной операции составляла 18% годовых по ставке сложных процентов? Чему будет равна погашаемая сумма? Расчетный индекс цен за срок кредита принимается равным 2,3.
Решение. Полагая в формуле (105) т =1, r(m) =0,18, n = 4, 
= 2,3, находим:
-1 = 0,4532,
т.е. ставка 45,32% годовых при ежегодном начислении сложных процентов и индексе цен, равном 2,3, обеспечивает реальную доходность в 18% годовых.
Погашаемую сумму находим по формуле (55) при Р = 120 тыс. руб., n = 4 , r = 0,4532:
F4 =120(1 0.4532)4 =535,159 тыс.руб.
Пример 2.5.7. На выданный кредит в 90 тыс. руб. в течение трех лет будут начисляться сложные проценты: а) каждые полгода; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какую номинальную годовую процентную ставку необходимо установить, чтобы происходило реальное наращение капитала по номинальной
процентной ставке 24% годовых, если ожидается темп инфляции 14% в год? Определите наращенную сумму, которую необходимо будет вернуть.
Решение.Во всех случаях при определении величины устанавливаемой процентной ставки можно воспользоваться формулой (105). Однако эта формула в силу соотношения
=(1 h) , справедливого для данного примера, приобретает более простой вид:
а) Полагая m = 2, r(2) =0,24, h = O,14, из последней формулы
получим:
= 2[(1 
) 
-1] = 0,3917 .
Следовательно, возвращаемая через 3 года сумма составит:
=263,210 тыс.руб.
б) В этом случае т = 4 , r(4) = 0,24, и поэтому величины устанавливаемой номинальной процентной ставки и возвращаемой суммы равны:
= 4[(1 
) 
-1]=0,3812
=268312 тыс. руб.
в) Полагая т = 12 , r(12) = 0,24, получим:
= 12[(1 
) 
-1] = 0,3744,
F3 = 
тыс. руб
Пример 2.5.8. На какой срок при годовом темпе инфляции 20% необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под: а) сложную процентную ставку 36% годовых; б) сложную учетную ставку 36% годовых; в) силу роста 36% за год, чтобы она реально (по своей покупательной способности) увеличилась в 1,6 раза?
Решение,а) Обозначим через Р величину денежной суммы, через r – годовую процентную ставку, через h – темп инфляции за год и воспользуемся формулой (104), принимающей в этом случае следующий вид:
Полагая r = 0,36, h = 0,2, получим равенство:
из которого следует уравнение для определения искомого срока:
Логарифмируя это уравнение, получим:
п = 
= 3,755 года.
б) Для сложной годовой учетной ставки d формула (104) принимает вид:
При d = 0,36 приходим к уравнению:
n= 
= 1,781 года.
в) Обозначим через силу роста, тогда:
Следовательно, при = 036 получаем уравнение:
из которого следует:
n= 
= 2,645 года.
При решении этого примера можно было вначале вывести общую формулу для определения срока. Полагая в формуле (110) =(1 h) , n =16P и разрешая полученное уравнение относительно п , находим:
п = 
Затем вместо а последовательно подставляем 1 r, 1 – d и e .
Пример 2.5.9. Определите реальную силу роста за год в условиях начисления непрерывных процентов и при годовом темпе инфляции 40%, если исходная сила роста составляет 50% за год. Какова должна быть сила роста, чтобы при такой инфляции обеспечить реальную доходность согласно исходной непрерывной ставке 50%?
Решение.Полагая в формуле (110) n = 1, =1,4 , = 0,5 ,
получим:
т.е. реальная интенсивность наращения при начислении непрерывных процентов составляет 16,35% за год. Чтобы иметь доходность согласно силе роста 50% в условиях инфляции, необходимо установить непрерывную ставку большую, чем 50%, Значение такой ставки находим по формуле (109):
= 0,5 in1,4 = 0,8365 = 83,65%.
Заметим, что даже при темпе инфляции 50% сила роста rеа1
будет все еще положительной непрерывной ставкой. Действительно:
rеаl, =0,5- in1,5 = 0,0945.
Пример 2.5.10.При выдаче кредита на несколько лет на условиях начисления сложных процентов банк желает обеспечить реальную доходность такой финансовой операции в 16% годовых по сложной ставке процентов. Какую процентную ставку по кредиту должен установить банк, если инфляция прогнозируется в среднем 10% в год?
Решение.Для определения искомой процентной ставки воспользуемся формулой Фишера (111) при r = 0,16 и h = 0,1:
=0,16 0,1 0,16*0,1 = 0,276 = 27,6%.
При малом темпе инфляции и невысокой процентной ставке применяют и приближенную формулу: 
r h. В данном случае 0,16 0,1=0,26=26% и разница в 1,6% при достаточно больших суммах ощутима. Конечно, для должника желательно использование приближенной формулы, а для банка, предоставляющего кредит, выгоднее применять точную формулу (111).
Полезно отметить, что при решении примера можно было воспользоваться формулой (105). Действительно, так как т = 1,
, то
т.е. формула Фишера является частным случаем формулы (105). При п = 1 формула (44) совпадает с формулой Фишера.
Пример 2.5.11.Определите реальную доходность в виде процентной ставки при помещении денежных средств на год под сложную процентную ставку 45% годовых, если предполагаемый уровень инфляции за год составит: а) 15%; б) 45%; в) 60%.
Решение.Воспользуемся формулой (106), которая в условиях примера примет вид (m = 1, п = 1, = 1 h ):
или 
Во всех случаях r = 0,45.
а) При инфляции h = 0,15 получим:
т.е. реальный доход от финансовой операции составит 26,09% от каждой единицы вложенных средств.
б) При h = 0,45, как и следовало ожидать, rгеаl = 0, т.е. ставка
45% лишь нейтрализует действие инфляции.
в) Полагая h = 0,6, получим:
Таким образом, при инфляции 60% данная финансовая операция будет приносить убыток, т.е. реально по своей покупательной способности помещенные денежные средства уменьшатся на 9,38%.
Обратим внимание, что при решении этого примера можно было воспользоваться и формулой (46). Очевидно, и формула Фишера позволяет ответить на вопросы примера. В частности, подставляя в нее значения процентной ставки и инфляции первого случая (в обозначениях формулы Фишера: =0,45, h = 0,15), получим уравнение 0,45 = r 0,15 0,15r, откуда
r = 
= 0,2609 = 
Пример 2.5.12.Банк предлагает клиентам поместить деньги на депозит на 3 года под процентную ставку 40% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов. Найдите реальную доходность такого предложения в виде годовой эффективной процентной ставки, если предполагаемый индекс цен за3 года составит ,2,1. Чему будет равна реальная доходность при полугодовом начислении сложных процентов?
Решение.Полагая n = 3, =2,1, т = 12, r(12)=0,4, по формуле (106) определяем реальную номинальную процентную ставку:
Поэтому согласно формуле (63) реальная доходность в виде годовой эффективной процентной ставки составит:
т.е. 15,74% годовых. Если же инфляцию не учитывать, то
= 0,4821,
что существенно больше, чем реальная доходность.
Можно было решить пример и несколько иным способом. Вначале, обозначая величину вклада через Р, по формуле (104) при 
определяем наращенную сумму с точки зрения ее покупательной способности:
Затем по формуле (64) находим доходность:
Естественно, получили такой же ответ. Если при втором способе решения действия провести в общем виде, то полученная формула покажет, что на самом деле можно было сделать меньше вычислений. Действительно, поскольку
то 
и поэтому:
Воспользуемся последней формулой для нахождения реальной доходности предложения банка при полугодовом начислении сложных процентов:
= 0,1245.
Естественно, с уменьшением количества начислений сложных процентов уменьшается и доходность.
Пример 2.5.13.Вексель на сумму 45 тыс. руб. был учтен за 3 года до срока погашения, и предъявитель векселя получил 18 тыс. руб. Найдите реальную доходность этой финансовой операции в виде эффективной учетной ставки, если среднегодовой темп инфляции ожидается равным 14%.
Решение.Так как индекс цен за 3 года равен =(1 0,14)3 =1,4815, то по своей покупательной способности 45тыс. руб. через 3 года составят величину
= 30375 тыс. руб.
Подставляя в формулу (75) n = 3 , Р = 18, F3 = 30,375, находим:
=0,1601=16,01%.
Можно было решить этот пример, определяя вначале реальную доходность в виде годовой эффективной процентной ставки:
А затем по формуле (26) при n = 1, r = ref или по формуле (3) при rt = ref найти эквивалентную ставку def :
= 0,1601.
Пример 2.5.14.Господин N получил в банке кредит на 4 года, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 1,5% от величины кредита. Определите действительную доходность для банка такой финансовой операции в виде годовой эффективной процентной ставки, если банк начисляет каждые полгода сложные проценты иа исходную сумму кредита по номинальной процентной ставке 42% годовых и прогнозируемый ежегодный темп инфляции составляет 28%.
Решение.Обозначим через Р величину кредита, тогда величина удержанных комиссионных составит 0,015P, и, следовательно, господину N будет выдана сумма
P-0,015P = 0,985Р . За 4 года с учетом инфляции величина кредита вместе с начисленными процентами составит (формулы (42) и (104)):
= 1,7118P.
Теперь доходность финансовой операции в виде эффективной процентной ставки находим по формуле (64):
В данном случае вычисления можно несколько сократить, если 
не вычисляя сразу подставить в формулу
Если инфляции нет, то
= 0,4696 = 46,96%,
т.е. доходность, конечно, больше, чем при наличии инфляции.
Пример 2.5.15.Под какую годовую номинальную процентную ставку на условиях начисления ежемесячно сложных процентов необходимо поместить денежную сумму, чтобы она реально (по своей покупательной способности) увеличилась за год на 25% с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 12% и ежеквартальный темп инфляции равен 10%? Если наращение осуществляется по годовой номинальной учетной ставке с ежеквартальным начислением сложных процентов, то какой величины должна быть эта ставка?
Решение.Годовой индекс инфляции определяем по формуле (42):
=(1 0,1)4 =1,4641.
Обозначим через Р величину денежной суммы, через r 
-искомую процентную ставку. Наращенная сумма без учета инфляции в соответствии с формулой (58) составит
и, следовательно, начисленные проценты равны:
С этой величины в счет уплаты налога на проценты пойдетсумма ОД 21, и поэтому после уплаты величина наращенной суммы составит:
P 0,88I=P[1 0,88 
-0,88]=P[0,12 0,88 ]
а с учетом инфляции:
P[0,12 0,88 ] 
Полученная сумма должна быть больше исходной на 25%, т.е. в 1,25 раза. Таким образом:
P[0,12 0,88 ] =1,25P
Сокращаем обе части уравнения на Р и решаем уравнение
относительно r(12)>. После ряда алгебраических преобразований получим:
т.е. r(12) =68,31% годовых.
Если наращение осуществляется по учетной ставке d , то, используя формулу (77), получим:
После уплаты налога величина наращенной суммы составит:
P 0,88I=P[0,12 0,88 
Поскольку полученная сумма по своей покупательной способности должна быть больше исходной в 1,25 раза, то
P[0,12 0,88 
] =1,25P
Сокращая обе части уравнения на Р и решая уравнение относительно d , получим:
= 0,6121
Заметим, что такой же результат получим, н определяя по формуле (92) учетную ставку d , эквивалентную процентной ставке r(12) =68,31% при m = 4, i = 12:
=4[1- 
]=0,6121
Задачи
2.5.1. На вклад начисляются сложные проценты: а) каждые полгода; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если ежеквартальный темп инфляции составляет 15%?
2.5.2. Номинальная процентная ставка, лишь компенсирующая при наращении действие инфляции, составляет 48% годовых. Определите инфляцию за квартал, если начисление сложных процентов осуществляется каждый месяц.
2.5.3. На некоторую сумму в течение четырех лет будут начисляться непрерывные проценты. По прогнозам инфляция в это время за каждый год последовательно составит 8, 12, 16 и 6%. Какова должна быть сила роста за год, чтобы сумма по своей покупательной способности не уменьшилась?
2.5.4. Сила роста, лишь компенсирующая при непрерывном начислении процентов действие инфляции, составляет 18% за год. Определите инфляцию в среднем за месяц.
2.5.5. На вклад в течение 18 месяцев начисляются проценты: а) по схеме сложных процентов; б) по смешанной схеме. Какова должна быть годовая процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если каждый квартал цены увеличиваются на 12%?
2.5.6. На вклад 80 тыс. руб. каждые полгода начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 34%. Оцените сумму вклада через 2,5 года с точки зрения покупательной способности, если ожидаемый темп инфляции – 1,5% в месяц. Какова должна быть величина номинальной положительной процентной ставки? Как изменится ситуация, если темп инфляции будет 3% в месяц?
2.5.7. В финансовом соглашении были предусмотрены следующие номинальные процентные ставки: за первый квартал -30% годовых; за второй квартал – 36% годовых; за третий и четвертый кварталы – 39% годовых. Индексы инфляции за кварталы оказались равными соответственно 1,15; 1,1; 1,2 и 1,25. Определите множитель наращения за год с учетом инфляции, если в течение года ежемесячно начислялись сложные проценты.
2.5.8. Кредит в сумме 150 тыс. руб. выдается сроком на 5 лет при условии начисления сложных процентов. Какова должна быть процентная ставка по кредиту, чтобы реальная доходность кредитной операции составляла 20% годовых по ставке сложных процентов? Чему будет равна погашаемая сумма? На этот период прогнозируется рост цен в 2,6 раза.
2.5.9. На выданный кредит в размере 100 тыс. руб. в течение 4 лет будут начисляться сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какую номинальную годовую процентную ставку необходимо установить, чтобы происходило реальное наращение капитала по номинальной процентной ставке 32% годовых, если ожидаемый темп инфляции – 18% в год? Определите наращенную сумму, которую необходимо будет вернуть.
2.5.10. Кредит в размере 180 тыс. руб. выдается сроком на 3 года при условии начисления непрерывных процентов. Какова должна быть непрерывная ставка по кредиту, чтобы реальная доходность кредитной операции в виде силы роста составляла 24% за год? Чему будет равна погашаемая сумма? Расчетный индекс цен за срок кредита принимается равным 1,9.
2.5.11. Предприниматель получил в банке ссуду на два года. В первый год индекс цен составил 1,4, во второй – 1,1. Во сколько раз реальная сумма долга (по своей покупательной способности) к концу срока будет больше выданной банком суммы, если банк начислял: а) ежемесячно сложные проценты по номинальной процентной ставке 40% годовых; б) ежеквартально сложные проценты по номинальной учетной ставке 40% годовых; в) непрерывные проценты с силой роста 40% за год?
2.5.12. При выдаче кредита на несколько лет на условиях начисления сложных процентов банк желает обеспечить реальную доходность такой финансовой операции в 22% годовых по сложной ставке процентов. Какую процентную ставку по кредиту должен установить банк, если инфляция прогнозируется в среднем 14% в год?
2.5.13. На какой срок при годовом темпе инфляции 15% необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под: а) сложную процентную ставку 30% годовых; б) сложную учетную ставку 30% годовых; в) силу роста 30% за год, чтобы она реально (по своей покупательной способности) увеличилась в lf4 раза?
2.5.14. На какой срок при годовом темпе’инфляции 18% необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под номинальную процентную ставку 44% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов, чтобы она реально (по своей покупательной способности) увеличилась в 1,5 раза?
2.5.15. Господин N, имея 50 тыс. руб., хочет получить, поместив деньги на депозит, через 4 года не менее 80 тыс. руб. с точки зрения их покупательной способности. Имеет ли смысл ему обращаться в банк, использующий номинальную процентную ставку 28% годовых на условиях начисления сложных процентов: а) ежегодно; б) ежемесячно? Прогнозируемый темп инфляции составит 15% в год.
2.5.16. Определите реальную доходность в виде процентной ставки при помещении денежных средств на год под сложную процентную ставку 36% годовых, если предполагаемый уровень инфляции за год составит: а) 20%; б) 36%; в) 55%.
2.5.17. Определите реальную номинальную годовую процентную ставку при годовом темпе инфляции 25%, если объявленная исходная номинальная процентная ставка составляет 30% годовых и сложные проценты начисляются ежемесячно. Какова должна быть поминальная годовая процентная ставка, чтобы при такой инфляции обеспечить реальную доходность согласно исходной номинальной процентной ставке 30% годовых?
2.5.18. Определите реальную номинальную годовую учетную ставку при годовом темпе инфляции 20%, если объявленная исходная номинальная учетная ставка составляет 36% годовых и сложные проценты начисляются ежеквартально. Какова должна быть номинальная годовая учетная ставка, чтобы при такой инфляции обеспечить реальную доходность согласно исходной номинальной учетной ставке 36% годовых?
2.5.19. Определите реальную силу роста за год в условиях начисления непрерывных процентов и при годовом темпе инфляции 30%, если исходная сила роста составляет 40% за год. Какова должна быть сила роста, чтобы при такой инфляции обеспечить реальную доходность согласно исходной непрерывной ставке 40%?
2.5.20. Банк предлагает клиентам поместить деньги на депозит на 2 года под процентную ставку 44% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов. Найдите реальную доходность такого предложения в виде годовой эффективной процентной ставки, если предполагаемый индекс цен за 2 года составит 1,6. Чему будет равна реальная доходность при ежемесячном начислении сложных процентов?
2.5.21. Банк предлагает клиентам поместить деньги на депозит на 2,5 года на условиях начисления непрерывных процентов с силой роста 38% за год. Найдите реальную доходность такого предложения в виде годовой эффективной процентной ставки, если предполагаемый индекс цен за 2,5 года составит ] ,8.
2.5.22. Индексы роста вклада за 3 года, следующие друг за другом, составили 1,52; 1,41 и 1,64. Какова реальная доходность такого использования денежных средств в виде годовой эффективной процентной ставки при среднегодовой инфляции 30%?
2.5.23. На сумму 50 тыс. руб. в течение трех лет начислялись ежеквартально сложные проценты по следующим номинальным процентным ставкам: в первом году – 36% годовых, во втором -40% годовых, в третьем – 44% годовых. Темпы инфляции по годам соответственно составили 20, 10 и 30%. Определите наращенную сумму с учетом инфляции и реальную доходность владельца счета в виде годовой эффективной процентной ставки.
2.5.24. На сумму 20 тыс. руб. в течение четырех кварталов начислялись непрерывные проценты со следующими значениями силы роста за год: в первом квартале — 35%, во втором -42%, в третьем – 48% и в четвертом – 55%. Среднемесячные темпы инфляции за кварталы оказались равными соответственно 3, I, 1,5 и 2%. Найдите наращенную сумму с учетом инфляции и реальную доходность владельца счета в виде годовой процентной ставки.
2.5.25. Вексель на сумму 60 тыс. руб. был учтен за 4 года до срока погашения, и предъявитель векселя получил 25 тыс. руб. Найдите реальную доходность этой финансовой операции в виде эффективной учетной ставки, если среднегодовой темп инфляции ожидается равным 15%.
2.5.26. Банк начисляет ежеквартально сложные проценты на вклады по номинальной годовой процентной ставке 42%. Опре-
делите в виде простой годовой процентной ставки реальную стоимость привлеченных средств для банка при их размещении на 15 месяцев, если среднемесячный темп инфляции равен 2%.
2.5.27. Предприниматель получил в банке кредит на 2 года, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 2% от величины кредита. Определите действительную доходность для банка такой финансовой операции в виде годовой эффективной процентной ставки, если банк начисляет ежемесячно сложные проценты на исходную сумму кредита по номинальной процентной ставке 45% годовых и прогнозируемый ежегодный темп инфляции составляет 30%.
2.5.28. Господин N получил в банке кредит на 5 лет, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 1,5% от величины кредита. Какова действительная доходность для банка такой финансовой операции в виде годовой эффективной процентной ставки, если банк начисляет непрерывные проценты на исходную сумму кредита с силой роста 30% за год и ожидается ежегодный темп инфляции, равный 26%?
§
Пример 2.6.1.Платеж 10 тыс, руб. и со сроком уплаты через 4 года требуется заменить платежом со сроком уплаты через: а) 2 года; б) 9 лет. Определите величину нового платежа, если применяется сложная процентная ставка 30% годовых.
Решение,а) Поскольку применяется сложная процентная ставка, то в формуле (112) а = 1 r и сама формула принимает вид:
Полагая 
=10 тыс. руб., 
=4, 
= 2,r =03 , получим:
= 5,917 тыс. руб.
б) Так как в этом случае = 9, то
Ро =10(1 03)9-4 =10(1 0,3)5 =37,129 тыс. руб.
Как и следовало ожидать, с увеличением срока растет и величина нового платежа.
Естественно, решать этот пример можно было, и не используя формулу замены платежей. Так, задание первого пункта можно было сформулировать таким образом: определите сумму, которую необходимо поместить в банк под сложную процентную ставку 30% годовых, чтобы через 2 года она стала равной 10 тыс. руб., после чего применить формулу (66). Аналогичные соображения можно высказать и по вопросу второго пункта примера.
Пример 2.6.2.Платеж 20 тыс. руб. со сроком уплаты через 8 лет предполагается заменить платежом со сроком уплаты через 5 лет. Определите величину нового платежа, если применяется: а) сложная процентная ставка 32% годовых; б) сложная учетная ставка 32% годовых; в) непрерывная ставка 32% за год.
Решение,а) В этом случае, как и в предыдущем примере, пользуемся формулой , где =20 тыс. руб., =8, =5,r=0,32
= 8,696 тыс. руб.
б) Так как применяется сложная учетная ставка, то в формуле (112) а = (1 – d)-1 и сама формула принимает вид:
Поскольку d = 0,32, то
Ро = 20 *(1 – 0,32)8-5 = 20 * (1 – 0,32)3 = 6,289 тыс. руб.
в) В случае непрерывных процентов в формуле (112) а=е , следовательно,
Полагая = 032, получим
= 7,658 тыс.руб. Заметим, что если в пунктах а) и б) увеличивать число начислений процентов в году, то величина нового платежа в случае а) будет уменьшаться, приближаясь к 7,658 тыс. руб., а в случае б) – увеличиваться, приближаясь также к 7,658 тыс. руб.
Пример 2.6.3.Определите величину нового срока, если платеж 15 тыс. руб. через 3 года заменяется платежом: а) 8 тыс. руб.; б) 21 тыс. руб. При расчетах учитывать возможность помещения денег под процентную ставку 28% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов.
Решение. Так как можно вложить деньги под сложную процентную ставку, то в формуле (113) а= 
и формула принимает следующий вид:
а) Поскольку в рассматриваемом случае =15 тыс. руб.,
P=S тыс. руб., =3, m=4, r(m) = r(4) = 0,28, то согласно формуле:
= 0,677 года.
Таким образом, если в году 365 дней, то =247 дней. б) Полагая Ро =21 тыс. руб., получим:
4,243 года.
Таким образом, новый срок составит 4 года 89 дней. Естественно, с ростом величины нового платежа растет и его срок.
Заметим, что если в формуле (113) для сложной процентной ставки перенести /^ в левую часть равенства и обозначить P =P,P 
=F 
, 
то получим формулу (60). Подобные суждения можно высказать и о связи формулы (113) (при соответствующих обозначениях) с формулами (71) и (79).
Пример 2.6.4,Согласно контракту господин N обязан уплатить кредитору суммы 20, 30 и 50 тыс. руб. соответственно через 1 год 6 месяцев, 2 и 4 года. Однако он хочет вернуть долг одним платежом через 3 года 6 месяцев. Найдите величину консолидированного платежа, если применяется сложная процентная ставка 36% годовых. Через какое время господин N должен выплатить весь долг, если консолидированный платеж будет равен сумме выплат по первоначальному контракту? Как изменятся результаты при ежеквартальном начислении сложных процентов?
Решение.Так как применяется сложная процентная ставка, то формула (114) при а = 1 r принимает вид:
Полагая =20 тыс. руб., Р2=30 тыс, руб., Р 
=50 тыс. руб., = 1,5 , 
=2, n3 = 4, = 3,5 , r = 0,36 , находим величину консолидированного платежа:
Ро = 20 (1 – 0,32)3,5-1,5 30 (1 – 0,36)3,5-2 50(1 0,36) 
= 127,447 тыс. руб.
Если же господин N решает выплатить весь долг суммой 20 30 50 = 100 тыс. руб., то для определения срока выплаты воспользуемся формулой (115), где a = 1 r и Р=100 тыс. руб.:
Обратим внимание, что срок п можно найти, используя уже известную величину консолидированного платежа, а именно исходя из условия, что платеж в сумме 127,447 тыс. руб. через 3 года б месяцев заменяется платежом в сумме 100 тыс. руб. Тогда можно воспользоваться формулой (113):
года
Естественно, получили тот же результат.
Если же в расчетах используется годовая номинальная процентная ставка то a= , и формула (114) принимает вид:
Полагая m=4,r =0,36,определяем выплату через 3 года 6 месяцев:
= 132,248 тыс. руб.
В случае выплаты всего долга в сумме 100 тыс. руб. для определения срока выплаты воспользуемся формулой (115), которая в этих условиях принимает вид:
п = 
и,следовательно, искомый срок будет равен:
= 2,689 года.
Конечно, этот же результат можно было получить и по формуле (113), полагая 
=100 тыс. руб., =132,248 тыс. руб., 
года.
Пример 2.6.5. В соответствии с контрактом предприниматель обязан выплатить кредитору 12 тыс. руб. через 9 месяцев, после этого через 1 год – 15 тыс. руб. и еще через 1 год 6 месяцев – 18 тыс. руб. Предприниматель предлагает выплатить 30 тыс. руб. через 2 года и еще 20 тыс. руб. – через 2 года после первой выплаты. Являются ли эти контракты эквивалентными, если есть возможность помещения денег в банк под номинальную процентную ставку 32% годовых с начислением сложных процентов по полугодиям?
Решение. Как известно, два контракта считаются эквивалентными, если приведенные стоимости потоков платежей по этим контрактам одинаковы. В качестве даты приведения примем дату, от которой измеряются все сроки.
Поскольку сроки выплат по первому контракту соответственно равны 0,75 года (9 месяцев), 1,75 года (9 месяцев 1 год), 3,25 года (9 месяцев 1 год 1,5 года), то сумма приведенных стоимостей потоков платежей по первому контракту составит:
= 25,387 тыс. руб.
Аналогичным образом для второго контракта получим (записывая 1 
)
= 22,669 тыс. руб.
30 20
Следовательно, контракты не эквивалентны: первый контракт для кредитора выгоднее.
Пример 2,6.6. Предприниматель купил у господина N грузовой автомобиль, заключив контракт, согласно которому предприниматель должен уплатить господину N 22 тыс. руб. через 9 месяцев, 40 тыс. руб. – через 3 года и 28 тыс. руб. – через 4 года 6 месяцев с момента покупки. Господин N хочет сразу же продать этот контракт банку. Какую сумму может заплатить банк господину N, если банк за предоставленный кредит начисляет: а) сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 30%; б) непрерывные проценты с силой роста 30%?
Решение. По существу необходимо решить задачу консолидации платежей: заменить платежи =22 тыс. руб., 
=4О тыс. руб., P3 = 28 тыс. руб. со сроками соответственно = 0,75 года, =3 года, = 4,5 года одним платежом Ро со сроком = 0 (т.е. сразу осуществить выплату всего долга).
а) В этом случае пользуемся формулой (114) при а = 1 r, где r= 03:
= 44,875 тыс. руб.
Таким образом, банк может заплатить за контракт не более
44,875 тыс. руб.
б) Так как здесь используется непрерывная ставка, то формула (114) при а = е принимает вид:
Полагая = 0,3, определяем искомую сумму:
Ро =22*e 
40*e 
28*e 
=41,089 тыс. руб.
Пример 2.6.7. Согласно финансовому соглашению господин N должен выплатить банку 10 тыс. руб. через 2 года и 30 тыс. руб. – через 5 лет с момента заключения соглашения. Господин N предлагает заменить это соглашение эквивалентным: осуществить выплаты тремя равными платежами, сделав первый платеж через 1 год, второй – через 3 года 6 месяцев и третий -через 8 лет. Какой величины должен быть каждый из этих платежей, если банк на предоставленный кредит начисляет каждые полгода сложные проценты по номинальной процентной ставке 36% годовых?
Решение.Обозначим через X величину каждого нового платежа. Схематично условие задачи можно изобразить на оси времени (одно деление равно полугодию, т.е. равно периоду начисления процентов) следующим образом: над осью помещаются платежи (в тыс. руб.) по первому контракту, а под осью – по новому контракту.
10 30
i I i i i i i i i i i i i i __i__i__i__
о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 t- полугодий
x х
Приведем все платежи к моменту 0 и приравняем суммы приведенных платежей по первому и по новому контрактам:
Отсюда следует:
= 12,010 тыс.руб,
Обратим внимание, что такой же результат получим, выбрав в качестве момента приведения любой другой момент времени. Пусть, например, в качестве момента приведения выбрано начало шестого года (т.е. конец пятого года). В этом случае уравнение эквивалентности примет вид:
10*1,18 30=x*1,18 
x*1,18 
Поделив обе части уравнения на Ц8 , получим такое же уравнение, что и раньше.
Пример 2.6.8.Имеется обязательство выплатить суммы 30 тыс. руб. и 80 тыс. руб. соответственно через 2 года и 6 лет. По обоюдному согласию стороны пересматривают порядок выплат: 20 тыс. руб. выплачивается через 1 год, 40 тыс. руб. – через 4 года, остаток долга погашается через 8 лет. Определите величину третьего платежа, если в расчетах используется сложная процентная ставка 28% годовых.
Решение.Обозначим через х величину остатка долга. Изо-бразим^схематично условие задачи на оси времени (одно деление равно одному году): над осью помещаем платежи (в тыс. руб.) по первоначальному обязательству, а под осью – по пересмотренному обязательству.
30 80
i I I I I I I I I j_____________
о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t лет
20 40 х
Выбирая за дату приведения момент заключения финансового соглашения, запишем уравнение эквивалентности:
Решая это уравнение относительно х, находим х = 43,049 тыс. руб.
Задачи
2.6.1. Платеж 18 тыс. руб. и со сроком уплаты через 5 лет требуется заменить платежом со сроком уплаты через: а) 3 года; б) 8 лет. Определите величину нового платежа, если применяется сложная процентная ставка 24% годовых с ежеквартальным начислением процентов.
2.6.2. Платеж 30 тыс. руб. со сроком уплаты через 7 лет предполагается заменить платежом со сроком уплаты через 3 года . Определите величину нового платежа, если применяется:
а) сложная процентная ставка 40% годовых; б) сложная учетная ставка 40% годовых; б) непрерывная ставка 40% за год.
2.6.3. Определите величину нового срока, если платеж 12 тыс. руб. через 4 года заменяется платежом: а) 6 тыс. руб.; б) 16 тыс. руб. При расчетах учитывать возможность помещения денег под сложную процентную ставку 32% годовых.
2.6.4. Платеж 24 тыс. руб. со сроком уплаты через 5 лет предполагается заменить платежом 15 тыс. руб. Определите величину нового срока, если применяется: а) процентная ставка 34% годовых с полугодовым начислением сложных процентов;
б) учетная ставка 34% годовых с полугодовым начислением сложных процентов; б) непрерывная ставка 34% за год.
2;6.5. Три платежа 8, 15 и 25 тыс. руб. со сроками выплат соответственно через 1 год, 2 года 6 месяцев и 3 года заменяются
одним платежом, выплачиваемым через 2 года, при этом применяется сложная процентная ставка 32% годовых. Найдите величину консолидированного платежа. Какой будет срок выплаты, если консолидированный платеж будет равен сумме исходных платежей? Как изменятся результаты при ежемесячном начислении сложных процентов?
2.6.6. Платежи 10, 40, 20 и 35 тыс. руб. со сроками выплат соответственно через 1 год 6 месяцев, 3 года 6 месяцев, 4 и 5 лет заменяются одним платежом 70 тыс. руб. Определите срок консолидированного платежа, если в расчетах применяется: а) процентная ставка 28% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов; б) учетная ставка 28% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов; в) непрерывная ставка с силой роста 28% за год.
2.6.7. В соответствии с контрактом господин N обязан выплатить банку 16 тыс. руб. через полгода, после этого через 1 год – 12 тыс. руб. и еще через 2 года – 24 тыс. руб. Господин N предлагает выплатить 35 тыс. руб. через 3 года и еще 60 тыс. руб. – через 2 года после первой выплаты. Являются ли эти контракты эквивалентными, если банк на предоставленный кредит каждый квартал начисляет сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 36%? В случае неэквивалентности контрактов укажите, какой из них выгоднее для господина N.
2.6.8. В соответствии с контрактом предприниматель обязан выплатить кредитору 12 тыс. руб. через 9 месяцев, после этого через 1 год – 15 тыс. руб. и еще через 1 год 6 месяцев – 18 тыс. руб. Предприниматель предлагает выплатить долг равными платежами через 2 года и еще через 2 года после первой выплаты. Какой величины должна быть каждая выплата, чтобы эти контракты были эквивалентными, если есть возможность помещения денег в банк под номинальную процентную ставку 32% годовых с начислением сложных процентов по полугодиям?
2.6.9. Предприниматель купил у поставщика сырье, заключив контракт, согласно которому предприниматель должен уплатить поставщику 50 тыс. руб. через 3 месяца, 25 тыс. руб. -через 9 месяцев и 35 тыс. руб. – через 1 год 6 месяцев с момента покупки. Поставщику необходимы деньги, поэтому он хочет продать контракт финансовой компании. Компания купит контракт при условии начисления на свои деньги ежемесячносложных процентов по номинальной процентной ставке 30% годовых. Какую сумму получит предприниматель от финансовой компании, если он продаст контракт: а) в момент его заключения; б) через 2 месяца после его заключения?
2.6.10. Согласно финансовому соглашению господин N должен выплатить банку 5 тыс. руб. через 1 год, 15 тыс. руб. – через 2 года 6 месяцев и 10 тыс. руб. – через 4 года с момента заключения соглашения. Господин N предлагает заменить это соглашение эквивалентным: осуществить выплаты четырьмя равными платежами, сделав первый платеж через полгода, второй – через 1 год б месяцев, третий – через 3 года и четвертый – через 5 лет. Какой величины должен быть каждый из этих платежей, если банк начисляет на предоставленный кредит по полугодиям сложные проценты по номинальной процентной ставке 28% годовых?
2.6.11. Имеется обязательство выплатить суммы 60 тыс. руб. и 90 тыс. руб. соответственно через 3 года и 5 лет. По обоюдному согласию стороны пересматривают порядок выплат: 15 тыс. руб. выплачиваются через 1 год б месяцев, 45 тыс. руб. – через 2 года, 50 тыс. руб. – через 6 лет, остаток долга погашается через 7 лет. Определите величину четвертого платежа, если на деньги начисляются ежеквартально сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 32%.
2.6.12. Платеж в 120 тыс. руб. со сроком уплаты через 5 лет заменяется на четыре равных платежа с выплатами соответственно через 2, 4, 6 и 9 лет. Какова величина этих платежей, если в расчетах применяется непрерывная ставка с силой роста 26%?
2.6.13. В соответствии с соглашением заемщик обязан выплачивать долг кредитору в конце каждого квартала в течение двух лет платежами 8 тыс. руб. Какова должна быть величина платежей при выплате этого долга равными полугодовыми платежами, если в расчетах используется годовая номинальная процентная ставка 32% с ежеквартальным начислением сложных процентов?
2.6.14. По условиям контракта предприниматель в течение трех лет в конце каждого квартала должен выплачивать некоторой фирме по 30 тыс. руб. Через год, сделав четыре платежа, предприниматель предложил через квартал выплатить весь оставшийся долг. Какая сумма должна быть выплачена, если расчеты осуществляются по годовой номинальной процентной ставке 36% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов?
2.6.15. Господин N продает дом. Первый покупатель предлагает ему 460 тыс. руб., причем половину суммы обещает заплатить сразу, а оставшуюся половину – через 4 года. Второй покупатель предлагает 450 тыс. руб., яричем третью часть суммы обещает заплатить сразу, вторую треть суммы – через 3 года и последнюю треть – через 7 лет. При этом на остающийся долг второй покупатель обязуется начислять сложные проценты по процентной ставке 15% годовых и при выплате каждой суммы выплачивать и начисленные на нее проценты. Какой из покупателей предлагает более выгодные условия, если господин N может поместить деньги в банк под сложную процентную ставку 30% годовых?
Глава 3 АННУИТЕТЫ
Постоянный аннуитет
Основные положения
• Одним из основных элементов финансового анализа является оценка денежного потока, генерируемого в течение ряда временных интервалов в результате реализации какого-либо проекта или функционирования того или иного вида активов. Обычно считается, что генерируемые в рамках одного временного интервала поступления имеют место либо в его начале, либо в его конце, т.е. они не распределены внутри интервала, а сконцентрированы на одной из его границ. В первом случае поток называется потоком пренумерандо или авансовым, во втором – потоком постнумерандо.
• Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач: а) прямой, предполагающей суммарную оценку наращенного денежного потока; б) обратной, предполагающей суммарную оценку дисконтированного (приведенного) денежного потока.
• Ключевым моментом при оценке денежного потока является молчаливая предпосылка о том, что анализ ведется с позиции “разумного инвестора”, т.е. инвестора, не просто накапливающего полученные денежные средства, а немедленно инвестирующего их с целью получения дополнительного дохода. Именно этим объясняется тот факт, что при оценке потоков в обоих случаях (и при наращении, и при дисконтировании) предполагается капитализация обычно по схеме сложных процентов.
• Аннуитет (финансовая рента) представляет собой частный случай денежного потока, а именно это однонаправленный денежный поток с равными временными интервалами. Любой элемент такого денежного потока называется членом аннуитета
(членом ренты), а величина постоянного временного интервала между двумя его последовательными элементами называется периодом аннуитета (периодом ренты).
• Если число равных временных интервалов ограниченно, аннуитет называется срочным. Если в течение каждого базового периода начисления процентов денежные поступления происходят р раз, то аннуитет часто называют р -срочным. Часто в качестве такого базового периода выступает календарный год.
• Аннуитет называется постоянным, если все денежные поступления равны между собой. В этом случае формулы для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета существенно упрощаются. Значения коэффициента наращения аннуитета, входящего в формулу определения будущей стоимости, табулированы для ра