Модели финансовых рынков, Основные предположения модели САРМ – Основы финансовых вычислений. Портфели активов, оптимизация и хеджирование

Наиболее простая и наглядная интерпретация взаимосвязи доходности инвестиции с ее систематическим риском дана в широко известной и популярной в финансовом мире модели САРМ, которая была разработана У. Шарпом (XV. Sharpe).

Модель САРМ представляет собой теорию, призванную объяснить, какими должны быть премии за риск, на которые согласились бы инвесторы в ситуации рыночного равновесия, при условии, что все они обладают равными возможностями, ведут себя рационально, стремятся диверсифицировать свои портфели и при их формировании руководствуются одинаковыми прогнозами относительно ожидаемых доходностей, их вариабельности (стандартных отклонений) и взаимозависимостей (корреляций).

Как и любая другая модель, САРМ базируется на ряде допущений, значительно упрощающих реальное положение вещей. В целях простоты изложения мы рассмотрим лишь общие положения модели. Детальное описание ее теоретико-методологических аспектов можно найти в соответствующей литературе^[1].

Основная идея модели заключается в том, что при соблюдении сделанных в ней допущений существует только один источник систематического риска, влияющий на доходность. Это рыночный риск_у т.е. тенденция изменения цен отдельных активов в зависимости от поведения рынка в целом. Таким образом, ожидаемая доходность должна компенсировать рыночный риск инвесторам, владеющим хорошо диверсифицированными порт-

фелями. Однако рынок не вознаграждает инвесторов, принявших риски, которые могут быть устранены с помощью диверсификации.

Отсюда следует, что премия за риск отдельного актива в портфеле не связана с его уникальным (несистематическим) риском. Ее величина должна быть обусловлена вкладом данного актива в общий риск хорошо диверсифицированного портфеля.

Поскольку согласно исходным предпосылкам модели все инвесторы одинаково оценивают риски, доходности и корреляции активов, в конечном счете они будут включать их в свои портфели в одних и тех же пропорциях. Мы также знаем, что в условиях рыночного равновесия совокупный спрос на отдельный актив должен быть равен его совокупному предложению.

При одновременном выполнении этих двух посылок ситуация экономического равновесия возможна только в том случае, если активы в портфелях всех инвесторов представлены в пропорциях, соответствующих занимаемой ими доли рынка.

Таким образом, при соблюдении сделанных допущений портфель рисковых активов любого инвестора независимо от общего объема вложенных в него средств в условиях равновесия спроса и предложения по своей структуре будет точной копией рынка в целом. Поскольку невозможно построить портфель более диверсифицированный, чем рынок в целом, он будет представлять собой эталон, или идеал, диверсификации и содержать только систематический, или рыночный, риск.

Портфель М, включающий все существующие активы и структурно копирующий рынок, называется рыночным. Очевидно, что его ожидаемая доходность R_M и риск а_м будут соответствовать среднерыночным значениям.

В дополнение к сделанным допущениям предположим, что на рынке существует хотя бы один безрисковый актив F, например ценные бумаги, эмитированные государством. Такой актив обеспечивает получение за период владения некоторого гарантированного уровня доходности R_F при этом его риск по определению равен нулю, т.е. a_F = 0. Соответственно, его ковариация с любым другим активом или портфелем также будет равна нулю.

Рассмотрим портфель, построенный путем комбинирования рыночного портфеля М с безрисковым активом F. Пусть доля вложений в рыночный портфель составляет Х_м. Тогда доля безрискового актива будет равна 1 – Х_м. Определим ожидаемую доходность и риск такого портфеля. Согласно (9.1) доходность портфеля будет равна

В соответствии с (9.4) риск портфеля будет равен

Однако так как a_F = 0, выражение (9.18) примет следующий вид:

Решив это уравнение относительно Х_м и подставив результат в (9.17), получим

Выражение (9.20) задает прямую линию, которая называется линией рынка капитала (capital market line — CML), с началом в точке с координатами (0; R_F) и проходящую через точку (g_w; /?_л/ ), т.е. местоположение рыночного портфеля (рис. 9.7).

Рассмотрим ее свойства более детально.

Рис. 9.7.Линия рынка капитала CML

Возможность проводить операции с безрисковыми активами позволяет инвесторам создавать новые варианты портфелей, сочетающих рисковые и безрисковые вложения. Таким образом, они могут выбирать любые комбинации риска и доходности, находящиеся на прямой CML. При этом, как следует из рис. 9.7, все портфели, попадающие на линию CML, предпочтительнее, чем портфели, попадающие на кривую EZ (эффективную границу Марковица, см. рис. 9.6), за исключением точки М (т.е. рыночного портфеля). Следовательно, все точки прямой CML представляют собой наилучшие возможные комбинации риска и доходности.

Наличие безрискового актива приводит к тому, что теперь рациональные инвесторы будут выбирать портфели, лежащие на эффективной линии рынка CML.

Инвестор, находящийся в точке R_F, вложил свои средства в безрисковые активы и рассчитывает на получение гарантированного дохода.

Портфели, попадающие на отрезок R_FM, состоят из комбинаций вложений в рисковые и безрисковые активы. Они называются ссудными (lending portfolios), поскольку, вкладывая средства в государственные бумаги, инвестор фактически ссужает деньги правительству по безрисковой ставке R_F.

Инвестор, находящийся в точке М, держит в портфеле только рисковые активы и рассчитывает получить доходность Ям при среднерыночном уровне риска а_м–

При существовании возможности занимать деньги по безрисковой ставке R_F инвесторы могут создавать портфели с доходностью и риском, превышающими среднерыночный уровень, путем вложений одолженных средств в рыночный портфель М. Полученные в результате подобной операции портфели будут располагаться на отрезке прямой CML справа от точки М. Поскольку для их формирования используются заемные средства, такие портфели называются заемными, или рычаговыми (borrowingportfolios).

Итак, новой границей эффективности становится линия CML, описывающая соотношение ожидаемой доходности и совокупного риска для эффективных портфелей, достижимых при наличии безрискового актива.

Как следует из (9.20), наклон линии рынка CML равен выражению

в скобках. При этом числитель (R_M ~ If ) характеризует превышение доходности рыночного портфеля над безрисковой ставкой. Это премия за риск, инвестирования в рыночный портфель М, состоящий из рисковых активов.

Знаменатель представляет собой риск рыночного портфеля. Таким образом, наклон прямой CML показывает величину премии за «единицу» рыночного риска. Другими словами, наклон линии рынка определяет требуемую дополнительную доходность на каждую дополнительную единицу рыночного риска, или награду (плату) за риск.

Из этого следует, что при сделанных допущениях величина премии за риск конкретного актива в условиях равновесия также должна быть как-то взаимосвязана с его вкладом в общий рыночный риск.

Можно показать, что для отдельного актива i равновесная взаимосвязь между риском и доходностью в САРМ будет иметь следующий вид:

где Gj_M — ковариация доходности актива i с доходностью рыночного портфеля М.

Уравнение (9.21), описывающее прямую с началом в точке (0, R_F)

и наклоном (R_M – R_F)/of, получило название линии доходности рынка ценных бумаг (security market line — SML). Как следует из (9.21), активы с большим значением ковариации с рыночным портфелем должны обеспечивать большую доходность. Нетрудно также заметить, что рисковый актив с G_iM = 0 будет иметь доходность, равную безрисковой ставке R_r, а рисковый актив с G_iM= 1 будет иметь доходность рыночного портфеля R_M.

Обозначим -у- в (9.21) через р и перепишем формулу следующим образом: L .

Уравнение (9.22) является окончательной формулировкой модели САРМ и альтернативным способом задания прямой SML. Выражение в квадратных скобках известно как индекс, или коэффициент Р (бета-коэффициент), используемый в САРМ в качестве количественной меры систематического риска.

Для рыночного портфеля М этот коэффициент равен 1:

Таким образом, коэффициент, равный 1, отражает среднюю степень риска, сложившегося на рынке ценных бумаг. Если для конкретного актива значение коэффициента р > 1, то он является более рисковым по сравнению с рынком в целом; при р < 1 — менее рисковым. Для безрисковой инвестиции р = 0.

Одно из важнейших свойств коэффициента Р заключается в том, что для портфеля он представляет среднее взвешенное аналогичных коэффициентов входящих в него активов, при этом в качестве весов выступают доли инвестиций в эти активы:

Следовательно, задача построения оптимального портфеля существенно упрощается, поскольку значения дисперсий и ковариаций уже учтены в p-коэффициентах отдельных активов.

Основным достоинством САРМ является наглядное представление взаимосвязи риска и доходности. Согласно (9.22) доходность рискового актива i равна безрисковой ставке Rp плюс премия за риск. В свою очередь, премия

за риск равна его цене (Дд/ -Rp), умноженной на его количество — р_;.

Графическая интерпретация взаимосвязи между рыночным риском и доходностью актива, отражаемая SML, представлена па рис. 9.8.

Рис. 9.8. Графическая интерпретация SML

Согласно САРМ активы с большими значениями рыночного риска (Р,) должны иметь большие ожидаемые доходности. Поскольку собственный риск не связан с Р_;, его увеличение не ведет к росту доходности. Инвесторы вознаграждаются за рыночный риск, но их собственный риск не компенсируется рынком.

Несмотря на значительную условность базовых допущений, модель САРМ получила широкое распространение в финансовом и инвестиционном менеджменте, а ее автор У. Шарп в 1990 г. был удостоен Нобелевской премии в области экономики. Введенный им коэффициент р является популярной характеристикой акций в развитых странах, а его вычислением, мониторингом и публикацией занимаются специализированные агентства.

Результаты тестирования обоснованности теоретических положений САРМ на западных и отечественном рынках можно найти в соответствующей литературе. В дальнейшем были разработаны различные модификации этой модели, более приближенные к практике^[2].

На практике вместо риска и доходности рыночного портфеля обычно используются соответствующие показатели для некоторого фондового индекса, например S&P500, DJIA, FTSE, NIKKEY, MICEX и т.д., а также ориентируются не па ожидаемые, а на фактические показатели. Такой подход позволяет сформулировать САРМ в виде индексной модели (index model), по сути, представляющей собой уравнение регрессии, которая устанавливает зависимость доходности актива от некоторого индекса. Модель с единственным индексом имеет следующий вид:

где Rj — доходность индекса (т.е. «заменителя» рыночного» портфеля); а — параметр прямой (отрезок, отсекаемый на вертикальной оси); с — отклонения фактической доходности от прогнозной (линии регрессии), считаются взаимно независимыми, а их ожидаемые значения равными 0.

Оценка параметров уравнения осуществляется стандартными методами регрессионного анализа. Подобная оценка позволяет определить характеристическую линию ценной бумаги {security characteristic line — SCL).

Сущность данного подхода наглядно иллюстрирует рис. 9.9, на котором представлен график зависимости изменения доходности акций ПАО «Сбербанк» (SBER) от доходности индекса ММВБ (MICEX) за период с 1 сентября 2021 г. по 1 сентября 2021 г. с построенной но данным сайта www.finam.ru прямой регрессии.

Как следует из рис. 9.9, фактические значения доходности акций ПАО «Сбербанк» в целом сгруппированы вокруг линии регрессии, вместе с тем имеются и существенные отклонения. Оценка параметров модели регрессии дала следующие результаты: а = 0,0019393; р = 1,45; разброс значений случайной ошибки составил от min = -0,049376 до max = 0,032992; показатель R² = 0,63. Таким образом, изменение индекса, или рыночный фактор, объясняет около 63% всех изменений в доходности акций ПАО «Сбербанк».

Рис. 9.9.Зависимость изменения доходности акций ПАО «Сбербанк»

(SBER) от доходности индекса ММВБ {MICEX) за период с 1 сентября 2021 г. но 1 сентября 2021 г.

Однако следует отметить, что российские индексы RTSI. MICEX в целом неадекватно отражают структуру отечественного фондового рынка. Так, на конец 2021 г. в расчет индекса MICEX (ММВБ) входило 50 бумаг, при этом максимальный удельный вес в структуре индекса принадлежат ПАО «Газпром». Таким образом, доходность российских индексов и ее изменчивость может считаться лишь приблизительным ориентиром среднерыночных показателей.

Еще одна проблема — определение и мониторинг индивидуальных коэффициентов (3 для акций отечественных предприятий. Следует отметить, что в настоящее время многие информационно-аналитические агентства осуществляют подобные расчеты. В табл. 9.3 приведены результаты расчета коэффициентов (3 для акций российских нефтегазовых компаний, представленных в информационно-аналитической системе Bloomberg по состоянию на декабрь 2021 г.

Таблица 9.3

Коэффициенты (3 для акций нефтегазовых компаний

Как следует из табл. 9.3, согласно показателю R¹ применение модели САРМ в индексной форме для оценки доходности в данном периоде могло обеспечить получение сравнительно корректного результата только для компаний «Роснефть», «Лукойл» и «Газпром». Для компании «Сургутнефтегаз» модель объясняет менее 50% дисперсии доходности, а для компании «Башнефть» ее применение проблематично.

Пример 9.2

По данным информационно-аналитической системы Bloomberg, безрисковая ставка в Российской Федерации в 2021 г. составляла 7,4%, а историческая премия фондового рынка за риск — 6,5%. Определить требуемую ставку доходности но акциям ПАО «Лукойл», исходя из модели САРМ и табл. 9.3.

Согласно (9.22) и условиям примера требуемая доходность по акциям ПАО «Лукойл» должна быть равна

Вместе с тем буквальная интерпретация показателей р для отечественных предприятий может приводить к некорректным или даже абсурдным выводам. В частности, близкие к нулю либо отрицательные значения коэффициентов во многом обусловлены низкой ликвидностью соответствующих бумаг и незначительным числом проводимых с ними сделок. Весьма значителен разброс значений показателей среди предприятий одной отрасли, откуда согласно САРМ следует, что их систематические (рыночные) риски существенно различаются. Следует также отметить высокую изменчивость данных коэффициентов для отечественных предприятий во времени.

В табл. 9.4 приведены значения коэффициентов р, но данным Bloomberg, для компаний из индекса ММВБ10 за период с 2021 но 2021 г.

Таблица 9.4

Бета-коэффициенты компаний из индекса ММВБ 10 за период 2021—2021 гг.

Как следует из табл. 9.4, в 2021 г. все входящие в индекс компании можно было отнести к так называемым защитным акциям, поскольку их р-коэффициенты были ниже 1. С 2021 по 2021 г. акции МАО «Сбербанк» имели p-коэффициент меньше 1, а с 2021 по 2021 г. — больше 1 и были наиболее рисковыми в индексе. В то же время значение р-коэффициента акций ПАО «ВТБ» в 2021 г. было равно 0,7385, таким образом, их следовало отнести к наименее рисковым, несмотря на идентичность бизнеса.

В табл. 9.5 для сравнения приведены значения среднеотраслевых коэффициентов р, по данным сайта www.damodaran.com, для экономики США в 2021 г.

Таблица 95

Среднеотраслевые коэффициенты р в США

Как следует из приведенных таблиц, значения p-коэффициентов отечественных предприятий значительно отличаются от показателей среднеотраслевых коэффициентов р в США. Они также отличаются от аналогичных показателей предприятий развитых стран. В этой связи использование p-коэффициентов в качестве ориентиров для оценки систематических рисков российских фирм далеко не всегда приводит к получению корректных результатов.

Практическое задание 9.3

Используя данные табл. 9.4 за 2021 г., определить (3-коэффициент портфеля, сформированного из акций индекса ММВБЮв равных долях. Может ли подобный портфель использоваться в качестве рыночного? Дать необходимые пояснения.

В целом применение модели САРМ в отечественной практике требует учета специфики последней и российского фондового рынка.

Как было уже показано, модель САРМ предполагает, что доходность активов линейно связана с доходностью рыночного портфеля и зависит от единственного фактора — рыночного риска, измеряемого коэффициентом р.

Альтернативный подход, известный как теория арбитражного ценообразования (arbitrage pricing theory — APT), был предложен С. Россом^[3].