Решение проектных задач в начальной школе | Статья по теме: | Образовательная социальная сеть

Методы принятия решений в условиях риска разрабатывают­ся и обосновываются в рамках так называемой теории статисти­ческих решений. При этом в случае стохастической неопределенности, когда для состояний окружающей среды заданы вероятности (заданные экспертно или вычисленные на основании статистических данных), решение принимается на основе критерия максимума ожидаемого среднего выигрыша или минимума ожи­даемого среднего риска.

Применение каждого из перечисленных критериев требует описания матрицы платежей (выигрышей), отражающей результат альтернативных воздействий (принятых решений) в зависимости от состояния природы. Матрица платежей V с m возможными решениями при n возможных состояниях природы представим в следующем виде:

Таблица 6.2. Матрица платежей V

где a₁ , …, a_m – возможные решения, s₁ , …, s_n – возможные состояния природы, v_ij= v(a_i,s_j ) – плата, получаемая в случае принятия решения a_i,в ситуации s_j.

Если для такой «игры с природой», задаваемой платежной матрицей V, стратегиям природы s_j соответствуют вероятности р_j, то лучшей стратегией, выбираемой ЛПР, будет стратегия, обеспечивающая максимальный ожидаемый (средний) выигрыш, т.е.

(6.1)

Применительно к матрице рисков R= ||r_ij||_m,n (матрице упущенных вы­год) лучшей будет та стратегия игрока, которая обеспечивает ему минимальный средний риск:

(6.2)

Матрица рисков R вычисляется по матрице V следующим образом:

Например для матрицы платежей

(6.3)

матрица рисков будет иметь вид

(6.4)

Заметим, что когда говорится о среднем выигрыше или риске, то подразумевается многократное повторение акта принятия решений. Условность предположения заключается в том, что реально требуемого количества повторений чаще всего может и не быть.

На практике целесообразно принимать решение по матрице выигрышей (6.1) или матрице рисков (6.2) в зависимости от того, какая из них определяется с большей достоверностью. Это особенно важно учитывать при экспертных оценках элементов матриц V и R.

Неопределенность, связанную с отсутствием информации о вероятностях состояний окружающей среды (природы), называют «безнадежной». В таких случаях для определения наилучших решении используются критерий Лапласа, критерий «максимакса», критерий Вальда, критерий Сэвиджа и критерий Гурвица. Перечисленные критерии отличаются характерной степенью оптимизма для ЛПР.

Критерий Лапласа основан на принципе недосточного основания, который состоит в том, что, если распределение вероятностей ситуаций p(s_j) неизвестно, то нет основания считать их различными. Таким образом, используется оптимистическое предположение, что p₁=p₂=…=p_n=1/n. Следовательно, лучшим решением a_i будет решение, при котором достигается максимум критерия:

.

Критерий максимакса определяет стратегию принятия решения, максимизирующую максимальные выигрыши для каждой ситуации (состояния природы). Этот критерий отличается крайним оптимизмом. Наилуч­шим признается решение, при котором достигается максимальный выигрыш, равный .

Следует отметить, что ситуации, требующие применения такого критерия, в экономике в общем нередки, и пользуются им не только сверхоптимисты, но и ЛПР, поставленные в безвыходное положение, когда они вынуждены руководствоваться принципом «все или ничего».

Максиминный (минимаксный) критерий Вальда выбирает решение, для которого достигается значение . ЛПР руководствующийся данным критерием рассматривает окружающую среду как агрессивно настроенного и сознательно действующего противника и выбирает стратегию, дающую наилучший результат при реализации наихудших вариантов каждого из решений.

Для платежной матрицы (6.3) критерий Вальда дает следующие варианты наихудших значений:

i=1, ;

i=2 , ;

i=3, .

Тогда искомый максимум достигается при выборе второго решения a₂ .

В соответствии с критерием Вальда из всех самых неудачных результатов выбирается лучший (W = 3). Такая перестраховочная позиция крайнего пессимизма рассчитана на худший случай. Эта стратегия принятия решения приемлема, например, когда ЛПР не столько стремится к крупному выигрышу, сколько хочет застраховаться от большого проигрыша.

Критерий минимаксного риска Сэвиджа производит выбор стратегии аналогично выбору по критерию Вальда, но ЛПР руководствуется не матрицей платежей V, а матрицей рисков R, и производит выбор, минимизируя максимальный риск:

Для матрицы рисков (6.4) критерий Сэвиджа дает:

i=1 ;

i=2 ;

i=3 .

Минимально возможный из самых крупных рисков S = 1, достигается при принятии решения а₂.

Критерий Гурвица рекомендует при выборе решения ориентироваться на некоторый усредненный результат. Такой подход характеризуется промежуточной склонностью ЛПР к риску между крайним пессимизмом (боязнью риска) и безудержным оптимизмом (безоглядный риск). Согласно критерию Гурвица предпочтительное решение выбирается по матрице V так, чтобы было достигнуто максимальное значение средневзвешенного выигрыша H:

Параметр р – показатель степени оптимизма ЛПР. При p = 0 критерий Гурвица совпадает с максимаксным критерием, а при р = 1 — с критерием Вальда. Покажем процедуру применения данного критерия для матрицы V (6.3) при р = 0,5:

Тогда , т.е. оптимальным является решение а₂.

Применительно к матрице рисков R критерий Гурвица имеет вид:

При р = 0 выбор стратегии игрока 1 осуществляется по условию наименьшего из всех возможных рисков ( ); при р = 1 — по критерию минимаксного риска Сэвиджа.

В случае, когда по принятому критерию рекомендуется к использованию несколько стратегий, выбор между ними может делаться по дополнительному критерию, например в расчет могут приниматься средние квадратичные отклонения от средних вы­игрышей при каждой стратегии. Еще раз подчеркнем, что здесь стандартного подхода нет. Выбор может зависеть от склонности к риску ЛПР.

В заключение приведем результаты применения рассмотренных выше критериев на примере следующей матрицы выигрышей:

Рис. 6.2. Модель принятия решений в условиях неопределенности

Модель для выбора решений представлена на рис. 6.2. В соответствие с полученными значениями критериев ЛПР может принять следующие решения:

по критерию Лапласа – а₂,

по критерию максимакса – а₂.

по критерию Вальда – а₃,

• по критерию Сэвиджа – а₂,

• по критерию Гурвица (при р = 0,75) – а₂.

Таким образом, в случае отсутствия информации о вероятностях состоянии среды теория не дает однозначных и математически строгих рекомендации по выбору критериев принятия решений. Это объясняется в большей мере не слабостью теории, а неопределенностью самой ситуации. Единственный разумный выход в подобных случаях — попытаться получить до­полнительную информацию, например, путем проведения ис­следований или экспериментов. В отсутствие дополнительной информации принимаемые решения теоретически недостаточно обоснованы и в значительной мере субъективны (хотя бы из-за склонности ЛПР к оптимизму или пессимизму). Не смотря на то, что применение математических методов в «играх с природой» не дает абсолютно достоверного результата и последний в определен­ной степени является субъективным (вследствие произвольно­сти выбора критерия принятия решения), оно создает некоторое упорядочение и структурирование данных, имеющихся в распоряжении ЛПР: задаются множество состояний окружающей среды, множестово альтер­нативных решений, определяются выигрыши и потери при различных сочета­ниях системы «среда — решение». Такое структурирование знаний об исследуемой проблеме способствует повышению качества принимаемых решений.

Задание.

Построить электронную таблицу (рис. 6.2), задав соответствующие формулы для ячеек F6-J6, в которых получаются значения критериев, используя промежуточные вычисления максимумов и минимумов по строкам матрицы V (диапазон B2:E5), а также для вычисления матрицы R (диапазон B10:E13). Обеспечить отображение выбираемых решений в ячейках F7-J7.

Для демонстрации зависимости критерия Гурвица от значения «показателя оптимизма» p, включить в модель элемент управления «линия прокрутки», обеспечивающий изменение параметра р от 0 до 1 с шагом 0,01.

Из аналитических методов, которые включают исследование операций, имитационное моделирование резко контрастируют с алгоритмами математического программирования и стохастическими моделями. При моделировании, аналитик создает модель такой системы, которая описывает некоторый процесс, используя отдельные объекты, такие как люди, продукция или сообщения. Компоненты модели пытаются воспроизводить, с различными степенями точности, фактические действия реальных компонентов процесса. Обычно система имеет изменяющиеся во времени входы и выходы из-за случайных событий. Компоненты моделирования связаны и могут часто рассматриваться как сеть со сложными взаимосвязями входа-выхода. Кроме того, потоком объектов через систему управляют логические правила, которые вытекают из операционных правил и стратегии, связанной с моделируемым процессом.

Поскольку модель принимает вид компьютерной программы, которая работает как копия системы из реального мира, она намного менее ограничена, чем аналитические модели. В пределах ограничений взаимодействия входа и выхода, квалифицированный программист может воспроизвести с высокой точностью, большинство систем, которые требуется изучать и рационализировать. Из-за этой способности к детализации, моделирование стало очень популярным методом анализа. Особенно привлекательна возможность моделировать случайные переменные с произвольными вероятностными распределениями и системы, которые имеют множество взаимодействующих вероятностных процессов. Современные системы моделирования — инструменты, позволяющие даже начинающим создавать модели сложных систем.

Необходимость использования моделирования следует из множества причин.

1. Моделирование может быть единственной возможностью обеспечить решения проблемы при исследовании. Например, невозможно получить переходные (с временной зависимостью) решения для сложных моделей очередей в замкнутой форме за счет решения систем уравнений, но они могут быть получены с помощью методов имитационного моделирования.

2. Имитационные модели могут представить процесс более реалистично, потому что требуется меньше дополнительных предположений. Примеры включают использование недетерминированного времени в модели управления запасами, непуассоновские входные потоки или интервалы времени обслуживания в системах массового обслуживания (очереди), и недетерминированные параметры в задаче управления запасами и составление графиков многоступенчатого производства. Каждая из этих ситуаций приводит к аналитическим моделям, которые являются очень сложными.

3. Изменения в конфигурации или структуре могут быть легко осуществлены, чтобы ответить, на вопрос «Что будет, если . . . ?» . Например, различные решения могут быть проверены на изменение числа каналов обслуживания в сети очередей.

4. В большинстве случаев, моделирование является менее дорогостоящим, чем фактические эксперименты; в других случаях, это может быть единственный разумный начальный подход, когда система еще не существует, но теоретические отношения известны. Например, солнечная энергия тепловой системы для домов была проверена моделированием до того, как была построена. Моделирование может помочь решать определенные части проблемы или исследовать новые проблемы проектирования.

5. Моделирование может использоваться в педагогических (обучающих) целях или иллюстрировать модель, помогает лучше понимать такие процессы, как политика управления доходом используемая авиалиниями при долгосрочном управлении ценами на билеты.

6. Для многих динамических процессов, моделирование обеспечивает единственные средства для прямого и детального наблюдения в пределах указанных сроков. Подход также обеспечивает сжатие времени, благодаря чему процесс моделируется за минуты, хотя, возможно, в реальности требовало бы годы фактического экспериментирования.

При этих и других преимуществах возникает вопрос «Почему бы не свести все моделирование к имитационному моделированию?» Во-первых, имитационное моделирование является продолжительным и дорогостоящим по сравнению с многими аналитическими подходами. Например, моделирование оценки оптимального уровня перезаказа и количества материально-производственных запасов, требует обширного поиска оптимальных значений управляемых переменных, тогда как аналитическое решение этого не требует. Во-вторых, определенные проблемы, связанные с разработкой, проверкой, и оценкой могут быть сложны в лучшем случае и неразрешимы в худшем случае.

Поскольку предпринимается попытка воспроизвести значительное количество деталей, имитационная модель может потребовать большого программного обеспечения, его точность будет трудно проверить, и вычислительное мощности, которые потребуются, могут быть больше по сравнению с другими подходами. Как и анализ очередей, имитационное моделирование — это инструмент, который требует многочисленных альтернатив для определения оптимального варианта. В отличие от анализа очередей, моделирование не вычисляет математические ожидания. Скорее запуски имитационных моделей походят на выполнение наблюдений за системой в реальном мире и регистрацию соответствующей статистики. Так как статистические данные сами являются случайными переменными, интерпретация результатов должна быть сделана тщательно, с процедурами, основанными на соответствующей теории. Этим требованием часто пренебрегают на практике, давая тем самым начало тому, что результаты будут или неправильно интерпретированы или неправильно использованы.

Рассмотрим деловую игру, описанную в книге Э. Голдрата «Цель». Игра используется в качестве модели последовательного процесса производства. После описания игры выполним её моделирование средствами MS Excel. Таким образом, будет показан общий прием моделирования динамических систем в универсальной вычислительной среде, каковой являются электронные таблицы.

Моделирование (настольная деловая игра) начинается с запаса спичек слева от первого игрока. Спички моделируют заготовки детали, проходящей последовательные этапы обработки. Игроки бросают игральные кубики, и выпавший результат трактуется как производительность станка, принадлежащего данному игроку в данный момент. Игрок_1 бросает кубик, и выпавшее число «4» — его производственный результат. Игрок_1 забирает 4 спички (перерабатывает 4 заготовки). Эти спички – доступный входной материал для Игрока_2.

Рис. 7.1. Результат Игрока_1

Игрок_2 выбрасывает «2». Его «производительность» равна 2, но он может получить только столько заготовок, сколько, поступило от Игрока_1. То есть его производственная мощность равна минимуму из «выпавшего» числа и количества, выданного («выработанного») Игроком_1. Имеется 4 доступных спички, а производительность Игрока_2 равна только 2. Таким образом Игрок_2 «обрабатывает» и направляет Игроку_3 только 2 спички, оставляя 2 спички в остатке у Игрока_1. Эти две спички моделируют «незавершенную продукцию» (WIP – Work-in-process).

Рис. 7.2. Результат Игрока_2

Заготовки для Игрока_3 – это спички, находящиеся у Игрока_2. Игрок_3 также «обрабатывает» минимум из числа, выпавшего при его бросании, и числа доступных спичек. Его продукция представляет выход всей производственной системы. Пусть Игрок_3 «выбросил» число «5», то есть его производительность равна 5, но доступны только 2 спички. Превышение производительности, составляющее 3 единицы, не используется. Таким образом, в результате первой итерации, моделирующей одну смену работы, система выпустила («произвела») 2 спички. Другие две спички остались в системе как «незавершенная продукция» (WIP) Игрока_1. WIP доступна для обработки в следующей итерации.

Рис. 7.3. Результат Игрока_3

Игроки продолжают игру, бросая кубик по одному разу на следующей итерации. «Выпуск продукции» каждого Игрока ограничивается его «производительностью» и количеством доступного сырья. В таблице 7.1 представлен результат 10-ти итераций игры. Средние величины по десяти играм показаны в последней строке таблицы. Итерация игры, проиллюстрированная выше, показана в 1-й строке. Незавершенная продукция, произведенная в первой итерации игры, показана в столбце WIP_1 в строке 2.

По результатам десяти итераций видно, что средняя производительность всей системы равна 3 единицам. WIP, которая накапливается после первого и второго Игроков, изменяется в течение игры. С помощью модели можно оценить долгосрочные свойства системы, то есть ответить на вопросы:

1. Какова средняя производительность моделируемой системы за одну итерацию?

2. Как изменяется количество спичек между Игроками (WIP) в течение игры?

3. Объяснить влияние изменчивости производительности на выход системы и на накопление незавершенной продукции (WIP).

Таблица 7.1. Десять итераций игры, моделирующей производство.

Математическое моделирование процесса начинается с задания переменных. Переменными задаются количественные факторы, описывающие состояние производственной системы. Обобщим представление системы, чтобы охватить класс произвольных последовательных производственных системы. Вместо Игроков этапы производства будем представлять как станции. Состояние системы идентифицируем параметром t (дискретное время). В процессе производства итерация игры могла бы быть эквивалентна интервалу в один день (или одна производственная смена), и тогда t будет показывать количество дней (смен). Вместо спичек будем оперировать с единицами продукции и запасами сырья, «незавершенной продукции» и готовой продукции, измеряемыми в этих единицах^[8]. Введем следующие обозначения для общих показателей системы производства:

n – количество станций в процессе производства;

i –номер станции, i=1…n;

t – временной параметр , t = 0,1,2,..;

C_i(t) – производительность i станции в момент t;

P_i(t) – производство i станции в момент t;

W_i(t) –незавершенная продукция, доступная для i станции в момент t;

Модель производственной системы задается системой рекуррентных формул (7.1 – 7.5):

Станция 1

(7.1)

(7.2)

Станции i = 2,3,..,n-1

(7.3)

(7.4)

Станции n

(7.5)

Из уравнивания (7.1) видно, что выпуск продукции станции 1 равен ее производительности. Уравнивание (7.2) определяет WIP, доступную в момент t, как функцию переменных, полученных в предыдущий момент времени. А именно, количество доступной незавершенной продукции станции 1 в момент t, то есть W₁(t), равно этому количеству в предыдущий момент W₁(t) плюс количество новой продукции станции 1 в предыдущий момент P₁(t-1) минус количество продукции взятой для переработки станцией 2 в предыдущий момент P₂(t-1).

В уравнении (7.3), задается объем производства для станций со 2-й по n-ю. Объем производства ограничивается производительностью станций или количеством доступной незавершенной продукции (WIP). Отметим, что значение WIP всегда неотрицательно. Уравнение (7.4) аналогично уравнению (7.2), но вычисляет WIP для всех станций кроме n-й.

Уравнение (7.5) вычисляет объем производства на последней станции. Уравнения для WIP последней станции не составляется, потому что после неё получается готовая продукция.

В рекуррентных уравнениях для вычисления значений переменных в момент t = 1, должны быть определены значения всех переменных для момента t = 0. Верхний предел для t не установлен, но при моделировании этот предел задается исследуемым интервалом времени T, называемым временным горизонтом.

Если производительности станций известны в пределах временного горизонта, и заданы начальные значения переменных в момент времени t=0, то составленная система уравнений позволяет вычислить состояния системы для любого конечного периода времени. Каждая переменная в момент времени t зависит только от переменных в момент времени t-1 и выбранных дополнительных переменных в момент времени t, мы можем вычислить все переменные для момента t =1, затем вычислить переменные в момент t = 2, и так далее до t = T. Для того, чтобы переменные решения легко получались в любой заданный момент t, переменные следует упорядочить так, чтобы значение каждой следующей переменной зависело только от ранее вычисленных переменных. Для рассматриваемой системы уравнений этот порядок таков:

Построим модель рассматриваемой системы с помощью электронной таблицы (рис. 7.4).

Рис. 7.4. Модель производственной системы в течение 10 смен

В строке 3 заданы значения параметров системы на начальный момент.

Вначале моделируется переход системы из состояния в момент t=0 в состояние в момент t=1. Производительности 1-й, 2-й и 3-й станций моделируются в ячейках B4,E4 и H4, соответственно. В каждой из этих ячеек записана формула, задающая равномерно распределенную целочисленную случайную величину в интервале от 1 до 6:

=ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()*6) 1.

В ячейках 4-й строки моделируются соответствующие уравнения

Каждая следующая итерация моделируется копированием строки, что в MS Excel позволяет автоматически создавать формулы в других строках. Пример 25 итераций игры представлен на рис. 7. 5. Таким образом, с помощью инструментов MS Excel можно строить имитационные модели динамических систем при достаточно больших временных горизонтах^[9].

Рис. 7.5.

Варианты заданий

Используя математическую модель, задаваемую формулами (7.1)-(7.5), построить компьютерную модель, произвести моделирование работы в течение 100 смен для различных производственных линий. Оценить средний выход готовой продукции за смену, и его среднеквадратическое отклонение. Определить средние показатели количества незавершенной продукции.

1) производственной линии состоящей из 4 станков, случайная величина задающая производительность каждого станка имеет равномерное распределение со средним значением равным 5 и дисперсией 4.

2) производственной линии состоящей из 5 станков, случайная величина задающая производительность каждого станка имеет треугольное со средним значением равным 6 и дисперсией 4.

3) производственной линии состоящей из 5 станков, случайная величина задающая производительность каждого станка имеет нормальное распределение со средним значением равным 7 и дисперсией 4.

Создание модели предприятия и принятие управленческого решения на основе результатов моделирования.

Описание предприятия

Рассмотрим предприятие «Мир Пирогов» собирается начать свою деятельность в большом городе. Цель работы предприятия — оптовая поставка магазинам города пирогов, выпекаемых из теста, закупаемого на хлебозаводе по оптовым ценам, и начинки, закупаемой на рынках города.

Построение модели

Этап 1. Структуризация ситуации (структурное моделирование)

Выделяемые блоки ( виды деятельности ):

Закупка ингредиентов (доставка, взаиморасчеты, хранение);

Обработка (выпечка, упаковка, доставка, взаиморасчеты);

Показатель эффективности – недельная прибыль предприятия;

Требуемое решение: определить оптимальную оптовую цену поставки продукции в магазины в период выхода на рынок, а также в период установившегося состояния предприятия.

Построенная системная модель показывает выделенные входные и выходные факторы.

Рис. 8.1. Первый этап структурного моделирования

Этап 2. Формализация системы (определение функциональных блоков).

Выявление элементов системы и их взаимовлияний позволяют построить прозрачную структурную модель, отражающую функции элементов (рис.8.2.)

Рис. 8.2. Второй этап структурного моделирования – диаграмма влияния

Этап 3. Построение модели (создание электронной таблицы)

Рис. 8.3. Вид модели и формулы для ячеек столбца В.

Анализ «Что — если»

На построенной модели можно промоделировать различные ситуации, то есть провести анализ «Что-если». Например, подставить значения переменных цена -10, спрос -12, и другие. Однако, при каждой новой подстановке в таблице появляется новое значение прибыли, а старое теряется, что неудобно для сравнения этих значений.

Пока данные действия трудно назвать моделированием в полном смысле, но уже на этом этапе можно освоить первый прием проведения анализа «что-если», который состоит в тиражировании столбца В, представляющего «собственно модель». (Столбец А при этом является инструментом интерпретации.)

Столбец-модель копируется в несколько столбцов, например C,D,E,F,

после чего в строке, соответствующей «цене», задается равномерно возрастающий (или убывающий) ряд значений. В строке модели «Прибыль», получаются соответствующие значения прибыли. Таким образом, можно не только сравнить несколько значений на одном листе электронной таблицы, но и проанализировать тенденции их изменения.

Тем не менее, по такому анализу трудно принять правильное решение, так как модель подсказывает, что надо увеличивать цену независимо от спроса. Таким образом, на первом этапе кроме анализа «что-если», выясняется неадекватность модели.

Чтобы стать адекватной экономической реальности, модель должна учитывать, что цена и спрос не являются независимыми переменными.

Для уточнения модели потребуются дополнительные сведения о предполагаемом рынке сбыта. Простейшее наблюдение показало, что чем выше цена, тем меньше спрос на пироги. По результатам опросов отделов маркетинга крупных магазинов стало известно, что при цене более 12 р. за пирог магазины отказываются брать продукцию на реализацию.

Эксперты указали, что при снижении цены на рубль спрос возрастает на 4000 штук.

По этим данным можно построить простейшую (линейную) зависимость спроса от цены пирога. (При цене равной 12 спрос равен 0, и при убывании на 1 возрастает линейно на 4 тыс.шт.)

,

где S – недельный спрос (тыс.шт), C – цена пирога (р/шт).

Рис.8.4. Линейная модель зависимости спроса от цены

Очевидно, что эта формула справедлива только для цен из некоторого интервала около 12 р. Как всякая математическая модель, «уравнение спроса» имеет ограниченную область применения. Поэтому отвечать на вопрос о величине спроса при ценах менее 6 р., основываясь на построенной математической модели, недопустимо, так как в этой области возрастание спроса уже не будет соответствовать линейной модели (рис.8.4).

Включение построенной математической модели в электронную таблицу требует внесения дополнительных строк для коэффициентов уравнения спроса, а также замены клетки В3 (Спрос) в формулах вычисления финансовых результатов (Доход, Затраты на обработку, Затраты на ингредиенты) на выражение (В11 В12*В2).

Рис.8.5 – Уточненная модель и анализ «что-если» для 7 различных цен

Анализ чувствительности проводится по уточненной модели. Необходимость в таком анализе возникает ввиду того, что в модели выявлены два фактора, зависящих от цены – Спрос и Прибыль.

Требуется проанализировать, какой из факторов в большей степени зависит от изменения Цены. Причем рассматривается не абсолютное изменение Спроса и Прибыли, а их относительное (процентное) изменение, как реакцию на заданное процентное изменение цены.

Для проведения анализа чувствительности в модель вводятся новые строки: « Процент базовой цены»,

«Изменение спроса по сравнению с базовым»,

«Отклонение от базовой прибыли».

В этих строках отражаются соответствующие относительные отклонения.

Рис 8.6. Модель для проведения анализа чувствительности.

Выделены «базовый» столбец и столбец предлагаемого решения.

Введены следующие формулы:

B4=85% , С4=90%, D4=95%, E4=100%, F4=105%, G4=110%, H4=115%

B4 =$E$4*B3 (копировать в столбцы С,D и F,G,H),

B18 = (B17-$E$17)/$E$17, B20 =B4*B17, B21 =B17*B7,

B22= (B8 B9)*B17, B23 =B10, B24= СУММ(B21:B23), B25 = B20-B24,

B27 = (B25-$E$25)/$E$25.

В результате проведенного моделирования, состоящего в расчете нескольких вариантов различных отклонений базовой цены, видим, что небольшое (5%) изменение цены приводит к заметному росту спроса и продаж (15%). При этом прибыль уменьшается незначительно (всего на 1,9%) . Кроме того, совершенно очевидным становится, что даже незначительное повышение цены приводит к заметному снижению и спроса и прибыли.

Анализ компромиссов

При уменьшении цены возникает компромисс между стремлением предприятия увеличить спрос на свою продукцию, и его стремлением к получению большей прибыли. Такая ситуация порождает необходимость в проведении анализа компромиссов.

Из трех компромиссных решений, полученных на модели, вариант с ценой 7.65 р. оказывается неприемлемым, ввиду большого сокращения прибыли, а варианты соответствующие ценам 8.1 р. и 8.55 р. должны быть проанализированы.

При цене 8.55 р. прибыль практически не изменяется по сравнению с «базовой», но и спрос возрастает всего на 15%, что вдвое меньше возрастания спроса при цене 8.1 р. Оправданным оказывается решение об установлении цены 8,1 р., что на 10% снизит прибыль, но на 30% увеличит спрос и объем продаж. Это решение наиболее привлекательно, так как позволит завоевать существенную долю рынка и привлечь новых контрагентов.

Такой анализ называется анализом компромиссов, и охватывает параметры, не участвующие в модели, но известные из других источников.

Совершенствование модели с учетом дополнительной информации о системе и внешней среде.

По бухгалтерским данным (табл. 8.1.) реальные затраты отличаются от результатов, получаемых по модели. Значит в построенной модели формула расчета затрат на производство не отражает реальной ситуации.

Таблица 8.1. Модельные и реальные данные о затратах на обработку

Построим диаграмму, отображающую представленные данные (рис.8.7).

Для этого достаточно выполнить следующие действия:

Выделить диапазон данных, Вставить – Диаграмма — Точечная.

Указать название для ряда Реальных и Модельных данных.

Правой кнопкой мыши «кликнув» на любой точке Реальных данных, выбрать из выпадающего меню действия:

Добавить линию тренда (в окне указать ТИП : Линейная, Реальные) – Параметры (НАЗВАНИЕ – Другое – «Линейное приближение» и Ö — «Показывать уравнение на диаграмме»)

Рис. 8.7. Диаграмма, отображающая Линию тренда и уравнение линейной регрессии

Полученное уравнение представляет собой уравнение линейной регрессии затрат на спрос, и может быть принято в качестве математической модели зависимости затрат на обработку от величины спроса.

Чтобы линейную зависимость затрат на обработку от спроса, т. е. от количества производимых/продаваемых пирогов включить в модель, следует добавить в неё новые строки:

«Коэффициенты уравнения затрат на обработку»

«Свободный член»

«Коэффициент пропорциональности»

и скорректировать формулу для «Затрат на обработку».

Рис. 8.8. Уточненная модель, включающая уравнение затрат на обработку

Новые формулы, задаваемые в электронной таблице (рис. 8.8):

B21 =B10 B11*B2, B22 =(B5 B6)*B18, B23 =B7,

B24 =СУММ(B21:B23), B25 =B20-B24.

Формулы других столбцов аналогичны.

На рис. 8.9. цветом выделены новые и изменившиеся элементы модели.

Анализ «Что-если» на уточненной модели показывает, что теперь оптимальной по прибыли становится цена 9.5 р. (выделенный столбец).

Производительности за 8-часовой рабочий день хватает только на 25000 пирогов. Для достижения производства 33000 пирогов требуется вводить 2-ю смену. Следовательно, придется платить «сверхурочные» работникам. Удельные затраты на каждый пирог сверх 25000 штук составят 0.8 р.

Для очередного уточнения в модель вносятся следующие изменения (рис.8.11):

1) Новые строки и значения полей:

Обычная производственная мощность (тыс. шт.) F9 = 25

Удельные сверхурочные F10 = 0.8

Затраты на сверхурочные (тыс.р.)

(в этой строке в поле F26 задается формула

F26=ЕСЛИ(F22>F9;F10*(F22-F9);0),

которая обеспечивает вычисление сверхурочных в случае выпуска более 25000 пирогов, то есть количества большего, чем производственная мощность).

Рис.8.11. Производство 4 видов пирогов с учетом «сверхурочных»

2) Переименованные строки:

Затраты на обработку ( Обычные)

Суммарные переменные затраты (Накладные расходы)

3) Формула в клетке F28 заменена на формулу = СУММ(F25:F27).

В результате построена модель, с помощью которой можно провести анализ «что-если» с учетом затрат на сверхурочные работы. Например, при производстве 33000 пирогов расходы на сверхурочные работы составят 6.42 тыс. в неделю, что составит более 300 тыс.р. в год.

Возникает вариант отказаться от сверхурочных, но для этого надо снизить выпуск, то есть объем продаж (спрос).

Можно ли сделать это, повысив цену?

Как изменится прибыль, если удастся увеличить производственную мощность?

Чтобы промоделировать и проанализировать ситуацию с помощью созданной модели, проведем анализ «что-если» на модели, зависящей от двух переменных.

Средство «Таблица подстановки» в MS Exel

Это средство позволяет показывать изменение функции, зависящей от двух переменных (рис. 8.12, 8.13).

Переменными в нашем анализе будут цена яблочного пирога и объем производства. Сокращение количества переменных, достигнуто за счет того, что цены на другие пироги вычисляются через цену яблочного пирога.

Целевым параметром являетсяприбыль.

Для создания таблицы подстановки требуется выполнить следующие действия:

1. В ячейку I3 записать формулу =F31 (вычисление значения прибыли)

2. В диапазон I4:I16вписать значения цены от 9,30 до 9,90 с шагом 0,05.

3. В диапазон J3:O3 вписать проверяемые значения объема производства от 25 до 30 тыс. штук с шагом 1 тыс. штук.

4. Выделить диапазон I3: O16.

5. Выбрать закладки: Данные –> Таблица подстановки.

Далее в открывшихся окнах задать:

Подставлять значения по строкам: $B$3 — OK.

Рис. 8.12. Результирующая «Таблица подстановки», показывающая зависимость прибыли от двух переменных.

Представив графически полученные данные, нетрудно видеть, что при увеличении цены до 9.50 прибыль возрастает независимо от объема производства, а при изменении от 9.50 до 9.70 прибыль практически не изменяется.

Рис. 8.13. Графическое представление результатов для анализа

«Что-если» в случае двух переменных

Таким образом, цена может быть повышена с 9.32 до 9.50, что позволит повысить прибыль, но не перейти предел, за которым сверхурочные будут превышать полученную дополнительную прибыль.

Предел 9.50 обеспечивает неснижение прибыли при колебаниях производительности, возможных в производственной деятельности предприятия в допущенных пределах.

Таким образом, с помощью модели, позволяющей проводить анализ «что-если», анализ чувствительности и анализ компромиссов удается принимать обоснованные управленческие решения, обеспечивающие лучшие результаты в изменяющихся условиях. В ходе разработки и эксплуатации модели в неё вносятся уточнения на основе данных, получаемых в реальной производственной деятельности, что приводит к изменениям в принимаемых управленческих решениях.

Варианты лабораторных работ по построению модели предприятия

Пройти все этапы моделирования производственной системы, используя предлагаемые исходные данные. Каждый этап совершенствования модели и диаграммы представляется на отдельном листе электронной таблицы.

Параметры моделируемого производства необходимо внести в построенную модель производственно-хозяйственной деятельности предприятия и провести три вида анализа: анализ «что-если», анализ чувствительности, анализ компромиссов.

На основании проведенного анализа принять управленческое решение о цене выхода на рынок.

Вариант 0

Маркетинговые исследования показали, что при цене 15 р. продукцию покупать не будут, но при снижении цены с этого уровня на каждый 1р. спрос будет увеличиваться на 5 тыс. штук.

Вариант 1

Маркетинговые исследования показали, что при цене 14 р. продукцию покупать не будут, но при снижении цены с этого уровня на каждый 1р. спрос будет увеличиваться на 3 тыс. штук.

Вариант 2

Маркетинговые исследования показали, что при цене 16 р. продукцию покупать не будут, но при снижении цены с этого уровня на каждый 1р. спрос будет увеличиваться на 3 тыс. штук.

Вариант 3

Маркетинговые исследования показали, что при цене 13 р. продукцию покупать не будут, но при снижении цены с этого уровня на каждый 1р. спрос будет увеличиваться на 3 тыс. штук.

Вариант 4

Маркетинговые исследования показали, что при цене 12 р. продукцию покупать не будут, но при снижении цены с этого уровня на каждый 1р. спрос будет увеличиваться на 5 тыс. штук.

Вариант 5

Маркетинговые исследования показали, что при цене 12 р. продукцию покупать не будут, но при снижении цены с этого уровня на каждый 1р. спрос будет увеличиваться на 5 тыс. штук.

Вариант 6

Маркетинговые исследования показали, что при цене 13 р. продукцию покупать не будут, но при снижении цены с этого уровня на каждый 1р. спрос будет увеличиваться на 6 тыс. штук.

Вариант 7

Маркетинговые исследования показали, что при цене 17 р. продукцию покупать не будут, но при снижении цены с этого уровня на каждый 1р. спрос будет увеличиваться на 3 тыс. штук.

Вариант 8

Маркетинговые исследования показали, что при цене 14 р. продукцию покупать не будут, но при снижении цены с этого уровня на каждый 1р. спрос будет увеличиваться на 4 тыс. штук.

Вариант 9

Маркетинговые исследования показали, что при цене 17 р. продукцию покупать не будут, но при снижении цены с этого уровня на каждый 1р. спрос будет увеличиваться на 3 тыс. штук.

Варианты исходных данных для совершенствования модели предприятия

1. Воспроизвести исходную модель.

2. Вычислить коэффициенты уравнения затрат на обработку, которые необходимо внести в построенную модель производственно-хозяйственной деятельности предприятия.

3. Произвести обобщение модели на модель, показывающую результаты работы за месяц.

4. Произвести обобщение модели на модель, показывающую производство 4 видов пирогов за неделю.

5. Полагая обычную производственную мощность предприятия меньшей, чем производственная мощность требующаяся для полученного производства, усовершенствовать модель для учета затрат на сверхурочные.

6. Построить график зависимости прибыли от производственной мощности предприятия и цены продажи.

На основании анализа полученных данных принять управленческое решение об установлении цены.

По заданной таблице для выбранного варианта (тот же номер варианта, что и при построении исходной модели), получить коэффициенты уравнения затрат на обработку из уравнения тренда для затрат на обработку в случае яблочного пирога:

Z_Я = C_Я – K_Я * S_Я,

где Z_Я – затраты на обработку яблочных пирогов,

S_Я – объему производства яблочных пирогов, равный спросу,

C_Я – свободный член уравнения затрат на обработку яблочных пирогов,

K_Я – коэффициент пропорциональности уравнения затрат на обработку

яблочных пирогов.

Остальные параметры модели получить по следующим общим для всех вариантов правилам:

1) Коэффициенты уравнения затрат на обработку для лимонного (C_Л и K_Л ), клубничного ( C_K и K_K )и вишневого ( C_В и K_В ) пирогов вычислить через соответствующие коэффициенты для уравнения затрат на обработку яблочного пирога по формулам:

Формат: 2 десятичных знака.

2) Уравнения спроса:

Лимонный S = 53,2 – 4,1*C,

Клубничный S = 40,6 – 3,5*C,

Вишневый S = 34,3 – 3,2*C.

3) Начальное значение переменной «Обычная производственная мощность» выбрать равной 70% суммарного объема продаж четырех видов пирогов, полученного в модели обобщенной на разные виды продукции (округлить до целого числа).

4) Суммарные «Постоянные издержки» обобщенной модели положить равными 220 % «Постоянных издержек» исходной модели (округлить до целого числа).

5) «Удельные затраты на сверхурочные» считать равными 0.9 руб/пирог.

Вариант 0

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

Современный мир — это сложная и динамично меняющаяся система. Человек принимает самое непосредственное участие в активном изменении этой системы, решая всё более и более сложные и многогранные задачи в самых разных областях — промышленность, экономика, медицина, экология и т. д. Зачастую решение этих задач приводит к неожиданным результатам или так называемым побочным эффектам — к событиям, которые происходят из-за случайных факторов, которые просто не были учтены при постановке и решении задачи. И часто бывает, что последствие этих решений носят негативный, а иногда и катастрофический характер. Управление динамическими системами с обратной связью охватывает всю человеческую деятельность и все сложные природные явления, начиная от движения тектонических плит и эволюционных процессов и заканчивая управлением атомными электростанциями и космическими системами.

Нелинейность сложных систем состоит не только и не столько в том, что они описываются математическими моделями, содержащими нелинейные уравнения или неравенства, но, в основном, в том, что изменение этих систем происходит не последовательным изменением элементов от одного состояния к другому, а разнонаправлено и недетерминировано. Такая нелинейность если и может быть описана с помощью математических моделей (теория вероятностей, математическая статистика, теория массового обслуживания), то только при многих и не всегда реалистичных допущениях.

Нелинейность может возникать из-за наличия обратных связей в рассматриваемой системе, нарушающих традиционное представление о том, что «следствие наступает после причины». Для объяснения нелинейных причинных зависимостей необходимо проследить возникновение петель обратных связей в структуре рассматриваемой сложной системы. По Дж.Форрестеру «система с обратной связью существует там, где окружающая среда приводит к принятию решения, вызывающего действие, которое само влияет на окружающую среду и, значит, на дальнейшие решения» [21]. Говоря о таких системах Дж.Форрестер подчеркивает, что это как раз тот случай, когда “мы начинаем понимать, что взаимодействие между компонентами системы может иметь большее значение, чем сами компоненты» [21].

Прекрасной иллюстрацией управления сложной системой служит аналогия, связанная с управлением такой сложной системой как «автомобиль – водитель – инструктор — дорога», проводимая Дж.Форрестером в «Индустриальной динамике»: «Цепь информации и управления идет от руля к машине, к улице, глазам, рукам водителя и обратно к рулю. Мы принимаем эту комплексную систему без размышлений. Рассмотрим, однако, эффект небольших из­менений в структуре системы и запаздываний во времени. Предположим, что у водителя глаза завязаны, и он управ­ляет машиной по командам сидящего рядом инструктора. Результирующее запаздывание информации на несколько секунд и некоторое дополнительное ее искажение из-за включения голоса и слуха между зрительным восприятием наблюдателя и сознанием водителя должны привести к беспорядочному управлению автомашиной. Еще беспорядочней оно будет, если води­тель с завязанными глазами получает команды от инструктора, который ведет наблюдение че­рез заднее стекло машины, и располагает инфор­мацией лишь об уже пройденном пути» [21].

Именно так проявляется нелинейность взаимодействия с временнóй задержкой, присущая большинству производственных, экономических и социальных сложных систем. В любой системе с обратной связью для принятия решения используется доступная информация о прошедшем как основание для будущих действий. В динамических системах существует два вида обратных связей – положительная (усиливающая — Reenforsing) и отрицательная (уравновешивающая – Balancing). В петле положительной обратной связи цепь причина-следствие замыкается, так что увеличение следствия приводит к увеличению причины. При отрицательной обратной связи увеличение следствия ведет к уменьшению входного воздействия.

На рис. 9.1 представлена диаграмма влияния элементов динамической системы, отражающей взаимодействие выделенных компонентов, обеспечивающих изменения населения некоторой страны. Петли обратной связи возникают между такими параметрами как «Численность населения» и «Уровень рождаемости», «Численность населения» и «Уровень смертности», Доступность работы («Отношение численности населения к Числу рабочих мест») и «Иммиграция». Причем, если первая петля (R1) представляет положительную обратную связь, то вторая и третья – отрицательную.

Рис. 9.1. Диаграмма влияния элементов динамической системы «Население»

Действительно, чем выше численность населения, тем выше среднее число рождений за год («уровень рождаемости»), а чем выше «уровень рождаемости», тем выше численность населения. Такой прирост населения компенсируется уравновешивающими (балансирующими) обратными связями с показателями смертности, иммиграции, эмиграции, доступностью жилья. Причем петли обратной связи могут иметь свою сложную внутреннюю структуру. Например, «Иммиграция» увеличивает численность населения, за счет этого возрастает отношение численности к количеству имеющихся рабочих мест, которое отрицательно сказывается на «привлекательности» страны для трудовой иммиграции, а это и снижает саму иммиграцию. Таким образом, возникает петля отрицательной обратной связи B4.

Другой вид нелинейности представляется непропорциональностью причин и следствий. Обычное представление о большом изменении выходного параметра в ответ на большое изменение входного воздействия и меньшее изменение в ответ на меньшее входное воздействие в сложных системах с взаимодействующими обратными связями может нарушаться. Особенно ярко это свойство проявляется при переходе граничных условий некоторыми параметрами системы. Например, система охлаждения двигателя может не отреагировать на изменение температуры окружающей среды в десять градусов, но превышение еще на один градус приведет к кипению охлаждающей жидкости и нарушению работы всей системы. В социальных системах незначительное ухудшение условий жизни может послужить «последней каплей», приводящей к социальному взрыву.

Два вида нелинейности могут взаимодействовать, образуя нелинейную обратную связь, то есть обратную связь, в которой воздействие причины на следствие и следствия на причину оказываются непропорциональными одно другому.

Чтобы отказаться от эвристики линейности, и тем самым преодолеть один из барьеров аналитической деятельности в сложных системах, требуется не только выявить указанные нелинейности в исследуемой системе, но и установить основные причины и параметры нелинейностей, а именно:

— структуру системы и взаимовлияние элементов;

— запаздывания, происходящие при передаче информации, её обработке и принятии решений;

— усиление, происходящее, когда действия оказываются более сильными (слабыми), чем это следует из принятой информации.

Именно эти задачи позволяет решить системная динамика, разработанная школой Форрестера в Массачусетском институте технологии (MIT Sloan Scholl of Management). Разработка системной динамики послужила мощным импульсом для развития системного подхода к исследованию сложных систем и управлению ими.

Метод системной динамики позволяет с помощью компьютерного моделирования работать со сложными системами и учитывать большое количество факторов и их влияние на эти системы. С помощью специализированного программного обеспечения разрабатываются компьютерные модели, на которых, как на тренажере, имитируются возможные последствия предпринимаемых действий и способы повышения их эффективности. Таким образом, возможно не просто спрогнозировать результат, а точно знать, какие именно будут последствия, результаты и влиять на них. Системная динамика базируется на разработанных в физике, математике и инженерных науках методах нелинейной динамики и управляющих обратных связей. Методы системной динамики применимы в экономике, психологии, экологии.

Изучение сложных систем требует наличия технических инструментов для их компьютерного моделирования. На сегодняшний день существует уже немалое количество программного обеспечения для создания имитационных моделей, таких как PowerSim, IThink, STELLA, AnyLogic, ExtendSim и др. Но кроме того, необходимо наличие определенной базы знаний, позволяющей успешно и эффективно эти инструменты применять.

Основным объектом системно-динамического исследования становятся сложные системы, характеризующиеся динамическим поведением, неопределенностью, наличием обратных связей и временных задержек в реакции системы на воздействия окружающей среды и управляющие воздействия.

Терминология

Существуют четыре основных принципа системной динамики [13]:

Первый принцип: динамику поведения сколь угодно сложной динамической системы можно свести к изменению значений некоторых «уровней», а сами изменения регулировать «потоками», наполняющими или исчерпывающими уровни.

Второй принцип: все изменения в любой системе обуславливаются «петлями обратной связи», представляющими собой замкнутые цепи взаимодействий, которые связывают входное воздействие с выходным фактором системы, и обуславливают влияние этого выходного фактора на уровень входного воздействия.

Третий принцип: петли обратной связи в любой системе создают нелинейные зависимости между входными и выходными факторами, что приводит к непропорциональному и труднообъяснимому влиянию информации об уровнях системы на её состояние через обратные связи.

Четвертый принцип: системная динамика представляет собой прикладной аппарат, который наиболее адекватно отражает нестандартное поведение сети взаимодействующих потоков и обратных связей. Этот аппарат целесообразно применять тогда, когда традиционные подходы оказываются неэффективными, то есть когда поведение объектов не поддается точному математическому описанию и математические модели дают очень приблизительные оценки.

При создании системно динамической моделей, отвечающих указанным принципам, выделяют этапы создания концептуальной модели (структурное моделирование), создание компьютерной модели, имитационное моделирование с помощью компьютерных программ, эмулирующих функционирование модели.

Для построения системно-динамических моделей используются специализированные компьютерные системы, предназначенные для визуального моделирования. В таких системах для создания компьютерной программы, эмулирующей системно-динамическую модель, не требуется умения разрабатывать программы на том или ином языке программирования. Элементы модели извлекаются из некоторой библиотеки готовых модулей, каждый из которых представлен визуально в виде графического объекта (иконки), которая переносится на поле создания модели и соединяется с другими элементами. Тем самым элемент включается в модель, а при этом в компьютерную программу создаваемую системой моделирования включается соответствующий модуль. Включение элементов в модель и визуальная настройка элементов модели обеспечиваются интерактивным интерфейсом системы моделирования, как правило построенном подобно оконному интерфейсу. Интерактивность состоит в том, что для каждого элемента модели система моделирования запрашивает только необходимые для него параметры (например, вид уравнения для конвертера, коэффициенты линейной зависимости, тип вероятностного распределения). Ниже для создания системно-динамической модели будут использованы как универсальная вычислительная среда (MS Excel), так и система визуального имитационного моделирования STELLA специализированная для создания системно-динамических моделей.

Экономические модели строятся для объяснения явлений в реальных экономических системах, то есть для исследования их поведения в изменяющихся условиях. При этом незначительные изменения параметров модели могут приводить к значительным изменениям результатов моделирования, то есть приводят к другой модели, имеющей иные свойства. В этом случае наблюдается структурная неустойчивость модели, присущая и самой реальной системе. Ярким примером такой системы и её модели является экологическая модель «хищники-жертвы», которую многие исследователи рассматривают в приложении к экономическим системам [4]. Так в литературе по динамике городского хозяйства, рассматриваемого как единая система, модель используется для описания малых городских ареалов. При этом переменная x – означает плотность землепользования, у – земельную ренту, a,b,x₁,y₁ – некоторые параметры городской системы. Таким образом, система описывает динамику спроса – предложения земельной ренты с учетом будущих процентов при частично совпадающих ожиданиях землепользователей и владельцев земли:

(9.1)

Другой известной экономической моделью, аналогичной модели «хищники-жертвы», является модель описания классового расслоения общества, которое может быть описано с помощью модели «хищники-жертвы», отражающей классовую борьбу [4]. Таким образом, модель «хищники-жертвы» представляет особый интерес как одна из универсальных моделей линамической системы с обратными связями.

Рассматриваемая реальная система является динамической, но остается детерминированной, так как коэффициенты рождаемости и смертности хищников и жертв считаются заданными. Конечно, понятно, что эти величины определены статистически и являются лишь приближенными значениями некоторых недетерминированных величин. Однако на данном уровне моделирования достаточно ограничится такими оценками для получения представления о поведении системы в целом при различных соотношениях указанных параметров. Математическая модель динамического взаимодействия популяци разработана американским математиком А.Лоткой (A.J. Lotka) в 1925 г. и независимо от него итальянским математиком В. Вольтерра (V. Volterra) в 1926 г., представляет собой систему дифференциальных уравнений, получившую название уравнений Лотки-Вольтерра.

Постановка задачи

Рассматривается закрытая область расселения двух видов животных – травоядных и хищников. Ввиду замкнутости области животные не покидают данной области и не прибывают извне. Предполагается , что растительности для травоядных животных достаточно и она возобновляется быстрее, чем поедается. Заданы коэффициент рождаемости травоядных a.

Обозначим через x количество травоядных (жертв). Для упрощения задачи предполагается, что количество жертв изменяется непрерывно. То же предположение распространяется и на количество хищников, хотя в реальной системе эти величины являются дискретными. Однако предположение основано на надежде на то, что результат решения от этого качественно не изменится. Тогда, скорость прироста популяции травоядных может быть выражена величиной , а уравнение изменения количества травоядных в отсутствие причин для вымирания примет вид: , что отражает пропорциональность скорости роста численности количеству травоядных x с указанным выше коэффициентом a .

Так как хищники питаются только травоядными, то они уменьшают численность последних, в результате чего возникает недостаток питания и это служит причиной вымирания хищников. Тогда количество хищников, обозначаемое y, будет убывать пропорционально их численности с коэффициентом g, задающим уровень смертности хищников.

Рассматриваемая система является типичной для системной динамики, но прежде, чем перейти построению системно-динамической модели рассмотрим подход к этой задаче, ориентированный на построение модели с помощью электронной таблицы. При этом также выявим два уровня X и Y, задающих количество жертв и хищников, соответственно. Потоки, пополняющие и исчерпывающие указанные уровни, представляют увеличение популяций за счет рождения и уменьшение за счет вымирания.

Концептуальная модель системы представлена на рис. 9.2.

Рис. 9.2. Диаграмма влияния уровней системы «хищники-жертвы»

Забегая вперед, покажем вид системно-динамической модели, построенной по подобной диаграмме влияния, будет выглядеть следующим образом (рис. 9.3.):

Рис. 9.3. Системно-динамическая модель, построенная в среде STELLA

Математическая модель, построенная с помощью дифференциальных уравнений описывает уравнение для скорости изменения величины y в виде .

Взаимодействия хищников и жертв, количество которых пропорционально произведению xy, приводят к гибели травоядных, но не во всех случаях, а лишь в их части, с коэффициентом b и к обеспечению рождаемости хищников с коэффициентом d. С учётом этого, скорость прироста численности травоядных уменьшается на величину bxy , а скорость вымирания хищников уменьшается на величину dxy. В результате получается система уравнений:

, (9.2)

вид которой не отличается от системы (9.1).

Представленная математическая модель изучена в теории дифференциальных уравнений, и позволяет найти аналитические выражения для функций x(t) и у(t). Однако, помня о предположении непрерывности этих функций, которое не соответствует дискретности реальной системы, требуется проверить полученное решение для дискретного изменения количеств хищников и жертв. Это можно выполнить с помощью систем имитационного моделирования, причем в качестве таковой могут служить и универсальные электронные таблицы (например, MS Excel), как это было показано в предыдущих главах. Кроме того, с помощью имитационного моделирования можно экспериментировать с различным параметрами системы “Хищники-жертвы” и визуально отображать изменения количества хищников и травоядных с течением времени.

Рассмотрим конкретную систему “хищники-жертвы”, имеющую следующие параметры:

– начальное количество хищников (y) – 40 особей;

– начальное количество добычи (x)– 600 особей;

– коэффициент рождаемости хищников (d) – 0,2;

– коэффициент смертности хищников (g)– 0,008;

– коэффициент рождаемости жертв (a)– 0,04;

– эффективность охоты хищников (вероятность того, что при встрече с хищником жертва погибнет) (b)– 0,0002.

Для моделирования с помощью электронных таблиц требуется дискретная модель рассматриваемого процесса взаимодействия популяций.

Если отказаться от предположения непрерывности изменения количеств x(t) и y(t) и перейти к дискретному времени t_{k 1}= t_k Dt, где Dt – шаг дискретизации времени, то вместо системы уравнений Лотки-Вольтерра (9.2) получим систему рекуррентных уравнений:

x_{k 1}= x_k a x_k — b x_k y_k ,

y_{k 1}= y_k — g x_k d x_k y_k , (9.3)

x₀=X , y₀=Y.

Обратим внимание, что для рекуррентных уравнений необходимо задание начальных значений переменных в момент t=0.

Таким образом, увеличение численности травоядных в единицу времени (изменение численности от x_k до x_{k 1} за единицу времени) происходит за счет рождения новых особей (скорость размножения на количество особей), а уменьшение — за счет гибели при встрече с хищниками (эта величина пропорциональна численности травоядных, численности хищников и вероятности того, что жертва при этой встрече погибнет b=0,001).

Увеличение популяции хищника (изменение численности от y_kдо y_{k 1} за единицу времени) определяется коэффициентом хищничества d (величина, указывающая на «прирост», получаемый популяцией хищников за счет поедания одной жертвы) и пропорционален количествам жертв и хищников.

Имитационная модель в MS Excel отражает дискретные состояния системы, которые описываются количеством хищников (столбец C) и количеством жертв (столбец В) в k-й период (строка с соответствующим номером в столбце А).

Исходные значения переменных задаются в ячейках B2 и C2.

В ячейках В3 и С3 задаем формулы, позволяющие вычислить количества особей на следующий период:

В3 =ЦЕЛОЕ(B2 $F$2*B2-$F$3*B2*C2),

С3 =ЦЕЛОЕ(C2 $F$5*C2*B2-$F$4*C2).

В этих формулах используются коэффициенты, заданные в следующих ячейках: a в ячейке F2, b в F3, g в F4, d в F5.

Для того, чтобы можно было динамически наблюдать изменения поведения модели при изменении параметров системы, используются средства управления значениями данных ячеек, называемые «Полоса прокрутки». Данное средство извлекается из набора элементов управления формы, который открывается во вкладке «Разработчик» ленты управления MS Excel 2007. (Для включения этой вкладки в состав ленты управления требуется нажать кнопку «Оффис», открыть окно «Парметры Excel» и установить флажок для опции «Показывать вкладку «Разработчик» в ленте»). Открыв вкладку «Разработчик», нажать закладку «Вставить», и в открывшемся окне «Элементы управления формы» выбрать элемент «Полоса прокрутки», щелкнув его левой клавишей «мыши». После этого элемент вставляется в требуемое место таблицы, указываемое курсором, принявшем вид ‘ ’, щелчком левой клавиши. Настройка элемента управления формы производится в диалоговом окне, которое открывается при щелчке правой клавиши на выделенном элементе и выборе «Формата объекта» (рис. 9.4).

Рис. 9.4. Настройка элемента управления

Текущее, минимальное и максимальное значения параметра, а также шаг изменения при единичном нажатии на стрелку, и «шаг изменения» при щелчке по полосе прокрутки («Шаг изменения по страницам») задаются в соответствующих полях. Все заданные таким образом параметры будут относиться к значению, находящемуся в ячейке указанной в поле «Связь с ячейкой». После щелчка кнопки «ОК», значением в указанной ячейке можно управлять с помощью движка полосы прокрутки. Однако для точности управления приходится воспользоваться масштабированием задаваемой величины. Масштабы, которые позволяют получать значения коэффициентов a, b, g, d в ячейках F2, F3, F4, F5, соответственно, представляют собой делители чисел задаваемых «регуляторами»:

F2 =H2/I2, F3=H3/I3, F4=H4/I4, F5=H5/I5.

После задания всех представленных формул остается только выделить диапазон А3:С3 и «растянуть» его до строки 252. В результате получим модель представленную на рис. 9.5.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I
	Цикл	Кол-во кроликов (x)	Кол-во рысей (y)		Параметры системы			Регуля-торы	Масштаб
					alfa	0,1		10
		527,0	53,0		beta	0,0009		9
		554,0	57,0		gamma	0,028		28
		580,0	61,0		delta	0,0002		2
		606,0	66,0
		630,0	72,0		Коэффициент рождаемости жертв (alfa)
		652,0	79,0		Эффективность охоты хищников на добычу (beta)
		670,0	87,0		Коэффициент смертности хищников (gamma)
		684,0	96,0		Коэффициент рождаемости хищников (delta)
		693,0	106,0
		696,0	117,0		xk 1= xk a xk — b xk yk
		692,0	130,0		yk 1= yk — g xk d xk yk
		680,0	144,0		x0=X , y0=Y
		659,0	159,0
		630,0	175,0
		593,0	192,0
		549,0	209,0
		500,0	226,0
		448,0	242,0
		395,0	256,0
		343,0	269,0
		294,0	279,0
		249,0	287,0
		209,0	293,0
		174,0	297,0
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
		46,0	554,0
		27,0	540,0
		16,0	525,0
		10,0	510,0
		6,0	495,0
		3,0	480,0
		2,0	466,0
		1,0	452,0
		0,0	438,0
		0,0	425,0
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
		0,0	43,0
		0,0	41,0
		0,0	39,0
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…

Рис. 9.5. Дискретная модель «хищники — жертвы»

Модель отражает поведение системы в течение 250 циклов. Графически результаты моделирования представляются с помощью «точечной» диаграммы, построенной по диапазону А1:С252.

Полученное решение показывает, что при заданных параметрах популяция жертв (кроликов) вымирает на 180 цикле, после чего неминуемо погибает от голода и популяция хищников (рысей) (приблизительно к 300 циклу).

Рис. 9.6. Графический вид результатов дискретного моделирования

Моделирование с помощью дифференциальных уравнений отражает картину неадекватно, что становится видным из сравнения результатов дискретного (рис. 9.6) и непрерывного моделирования (рис. 9.7). Непрерывная модель отличается от дискретной лишь формулами для изменяющихся численностей популяций:

В3 = B2 $F$2*B2-$F$3*B2*C2,

С3==C2 $F$5*C2*B2-$F$4*C2.

За счет того, что численность в промежуточные моменты может иметь дробные значения, изменяется и поведение системы. Хотя характер его остается тем же, то есть колебательным, но результат может существенно отличаться. Непрерывная модель, как видно из графика на рис. 9.7, показывает, что популяция кроликов выживает, а, следовательно, выживают и рыси, численность которых снизившись до 28 к 270 циклу вновь начинает возрастать, и к 280 циклу становится равной 33.

Рис. 9.7. Графический вид результатов непрерывного моделирования

Таким образом, выявляется важное различие дискретной и непрерывной моделей. При этом важно отметить, что в данном случае аппроксимацией следует считать не дискретную модель для непрерывной, как это обычно бывает, а непрерывная модель является аппроксимацией для дискретной.

Описание поведения дискретной системы с помощью дискретной модели оказывается более адекватным, хотя результаты её прогноза весьма печальны как для жертв, так и для хищников.

Система STELLA разрабатывается и поддерживается фирмой ISeeSystems, являющейся одним из ведущих разработчиков программного обеспечения для моделирования, и является наиболее распространенной специализированной средой разработкисложных имитационных моделей. В системе STELLA достигнуто удачное сочетание широты возможных типов моделей и сложностью самого языка на основе использования методологии и языка системной динамики, математического аппарата численного решения систем дифференциальных уравнений первого порядка и развитого графического интерфейса.

Рассмотрим процесс построения модели уже знакомой системы «хищники- жертвы», смоделированной выше в универсальной системе Excel, в специализированной компьютерной среде, предназначенной для создания имитационных моделей системной динамики [29].

Таблица 9.1. Представление элементов системной динамики в системе STELLA

1. После запуска программы STELLA на экране окно для создания модели. В программе существует 3 уровня модели:

1) Map – верхний уровень модели, который предназначен для презентаций, то есть для демонстрации особенностей работы модели;

2) Model – средний уровень модели, который предназначен для построения;

3) Equations – нижний уровень модели, который предназначен для записи формул и уравнений.

Каждому уровню моделирования отведена своя закладка, показанная в лквой части интерфейсного окна системы Stella 9.1.3.

Первое действие – выбрать закладку Model в левой части экрана (Рис. 9.8.).

Рис. 9.8. Окно для создания новой модели

2. Выбирается знак «рамки» , который находится в верхней строке графического меню. После щелчка по выбранной пиктограмме вид указателя мыши изменится с изображения стрелки на изображение «рамки». Подведя «рамку» в выбранное место и щелкнув левой клавишей мыши, разместим рамку на поле модели.

Рис. 9.10 Создание окна модели Predator & Prey

После установления «рамки», ее можно перемещать по полю «зацепив» указателем мыши за верхнюю полоску. Регулировать размер «рамки» и других блоков модели можно, выделив блок и используя квадратики по углам прямоугольника. При создании рамка называется Sector 1. Дадим ей название Predator & Prey. Для этого надо щелкнуть мышью по надписи Sector 1 и впечатать название (рис.9.10).

Для конструирования модели из готовых элементов следует перенести пиктограммы «уровня» , «потока» и «переменной» в рамку модели. При растягивании пиктограммы потока она приобретает вид «трубы с вентилем, соединяющей два облака» (рис.9.11). «Облака» изображают внешнюю среду модели. Пиктограмма уровня помещается у выходной стрелки, закрывая облако на изображении модели. Выбрав на панели значок «потока данных» , указываем курсором мыши источник потока и проводим «линию связи» к «вентилю», управляющему потоком. Аналогично, стрелкой соединяется «переменная»-конвертер с тем же «вентилем».

Как видно из рис. 9.11, все элементы, включенные в модель при создании поименованы по умолчанию именами Noname 1, Noname 2, Noname 3.

Рис. 9.11.

Рис. 9.12 Часть модели, отражающая рождаемость хищников

Переименования элементов выполняется аналогично именованию «рамки», щелкнув мышью по наименованию и заменив его на PREDATOR для «уровня», PREDATOR BIRTH – для «вентиля», PREDATOR BIRTH FRACTION – для «вспомогательной переменной».

Рис. 9.13

Для задания начального количества хищников, то есть начального значения уровня PREDATOR надо открыть диалоговое окно блока этого двойным щелчком мыши, и установив требуемые опции Reservoir (Накопитель), Non-negative (неотрицательные), ввести поясняющий текст «Начальное количество хищников» в верхнем окне, и начальное значение равное 40 – в нижнем (рис. 9.13). После задания параметров блоков знак «?» с их изображения исчезает.

Рис 9.14.

Аналогично вводятся данные в диалоговом окне блока переменной PREDATOR BIRTH FRACTION вводится текст комментария «КОЭФФИЦИЕНТ РОЖДАЕМОСТИ ХИЩНИКОВ» и его значение 0.2 (Рис. 9.14). Обратим внимание на то, что десятичным разделителем в системе STELLA является «точка», а не «запятая», имеющаяся на цифровой клавиатуре.

Рис. 9.15.

В диалоговом окне «вентиля» PREDATOR BIRTH задается формула y*d, , где y — количество хищников, а d — ихкоэффициент рождаемости, отражающая прирост количества хищников за счет рождаемости.

Нажатие кнопки Hide Document (Скрытый документ), которая при этом превратится в кнопку Document, открывается страница, представленная на рис. 9.15. В окне Required inputs представлен список переменных, заданных стрелками, входящими в «вентиль»: PREDATOR и PREDATOR BIRTH FRACTION. Моделирующая формула создается в нижнем окне. Переменные включаются в формулу щелчком мыши по названию в списке, а знаки операций задаются либо щелчком на графической клавиатуре калькулятора, либо с клавиатуры компьютера (Рис. 9.15). В результате получается формула

PREDATOR* PREDATOR BIRTH FRACTION.

Заданные формулы и переменные включены в модель, что отражается на закладке Equation (рис.9.16):

PREDATOR(t)= PREDATOR(t-dt) PREDATOR_BIRTH*dt

INIT PREDATOR=40

INFLOWS:

PREDATOR_BIRTH = PREDATOR* PREDATOR_BIRTH_FRACTION

PREDATOR_BIRTH_FRACTION=0.2.

Рис. 9.16

Аналогичными действиями в модель включаются блок потока с «вентилем» PREDATOR DEATH и два блока переменных — PREY KILLED PER PREDATOR и PREDATOR DEATH FRACTION, которые соединяются с построенной ранее частью модели как показано на рис. 9.17.

Рис. 9.17 Часть модели, отражающая изменение численности хищников независимо от численности добычи

Значки «?» на новых блоках подсказывают, что необходимо задать их параметры и комментарии. Блок-конвертер PREDATOR DEATH FRACTION моделирует коэффициент смертности хищников, и настраивается выбором опции Standard, комментарием «коэффициент смертности хищников» и заданием значения 0.008 (рис. 9.18)

Рис 9.18.

Переменная PREY KILLED PER PREDATOR моделирует эффективность охоты хищников на добычу, и настраивается выбором опции Standard, комментарием «эффективность охоты хищников на добычу» и заданием значения 0.00002 (рис. 9.19).

Рис. 9.19

В диалоговом окне «вентиля» потока PREDATOR DEATH вводится формула y*g, где y — количество хищников, g — коэффициент смертности хищников (g=0,008), задающая уменьшение количества хищников из-за смертности. Эта формула моделируется произведением значений уровня PREDATOR и переменной PREDATOR DEATH FRACTION (рис. 9.20.)

Рис. 9.20.

Таким образом, построена часть модели, отражающая изменение количества хищников (рис. 9.17).

Вторая часть, отражающая изменение количества жертв, стоится аналогично. В модель включаются следующие блоки: уровень PREY, поток PREY BIRTHS, поток PREY DEATHS и переменная-конвертер PREY BIRTH FRACTION, соединенные как показано на рис. 9.21.

Чтобы упростить работу можно выделить^[10] на поле модели уже построенные блоки PREDATOR, PREDATOR BIRTH, PREDATOR BIRTH FRACTION, скопировать их (правая клавиша мыши — Copy) и вставить в нижней части рамки модели (правая клавиша мыши — Paste). Для того, чтобы новые блоки поместились в рамке модели, может потребоваться увеличить её размер. Для изменения масштаба изображений блоков используется инструмент Zoom в пункте меню View.

Рис. 9.21.

Затем следует переименовать блоки и задать их параметры и уравнения.

Для уровня PREY задается комментарий «ИЗНАЧАЛЬНОЕ КОЛИЧЕСТВО ДОБЫЧИ (600 ОСОБЕЙ)» и значение уровня 600 (Рис. 9.22).

Рис. 9.22

Для переменной PREY BIRTH FRACTION — комментарий «КОЭФФИЦИЕНТ РОЖДАЕМОСТИ ДОБЫЧИ» и его значение 0.04 (Рис. 9.22).

Рис. 9.23.

В диалоговом окне «вентиля» потока PREY BIRTH вводится формула a*x, где x — количество жертв, a — коэффициент рождаемости жертв (a = 0,04), задающая увеличение количества кроликов за счет рождаемости. Эта формула моделируется произведением значений уровня PREY и переменной PREY BIRTH FRACTION (рис. 9.24.)

Рис. 9.24.

Рис. 9.25.

Смертность добычи моделируется потоком PREY DEATHS. Его значение bxy определяется эффективностью охоты хищников (вероятностью того, что при встрече с хищником жертва погибнет) b = 0,0002, количеством хищников y и количеством жертв x, и моделируется формулой «вентиля» PREY DEATHS, заданной в окне настройки (рис. 9.25):

PREDATOR * PREY* PREY KILLED PER PREDATOR .

Теперь обратим внимание на то, что при добавлении нового информационного потока к «вентилю» PREDATOR BIRTH на нем появился значок «?». Это означает, что заданная в нем формула использует не все получаемые данные.

Необходимо изменить формулу для расчета рождаемости хищников в PREDATOR BIRTH. В произведение включаются два сомножителя —количество добычи x PREY и эффективность охоты хищников на добычу b PREY KILLED PER PREDATOR (Рис.9.26)

(Обратим внимание на то, что в результате прирост количества хищников за счет рождаемости задается формулой bdxy,что отличает создаваемую модель от рассмотренной в предыдущем разделе, где эта величина задавалась формулой bdxy. В дальнейшем в качестве задания данного раздела будет предложено преобразовать модели так, чтобы они отражали одну и ту же реальную систему и сравнить их поведение.)

Рис.9.26.

Для графического отображения соотношения количества хищников и добычи в модель включается инструмент “график”, который имеет вид , и также, как элементы модели, извлекается из символьного меню (Рис. 9.27).

Рис.9.27

Двойной щелчок по пиктограмме Graph1 открывает окно графика (рис. 9.27), а двойной щелчок по графику открывает его диалоговое окно (рис. 9.28).

Рис.9.28

Значки уровней PREDATOR и PREY, находящиеся в списке Allowable (рис.9.28 a), переводятся в список Selected двойным щелчком мыши на каждом из них (рис.9.28 b). После нажатия ОК графопостроитель будет готов отражать на графике изменение выбранных уровней.

Таким образом, конструирование модели завершено и можно приступать к имитационным сеансам.

Перед запуском модели следует определить временные параметры сеанса моделирования. Для этого следует выбрать пункт Run → Run Specs…(Рис. 9.30)

Рис. 9.30

В открывшемся диалоговом окне задаются спецификации сеанса моделирования: начальный момент моделирования (From: 0), конечный момент (To: 2000), дискретизацию времени (DT: 0.125) и интервал времени реальной системы, моделируемый единицей модельного времени (рис. 9.31). Кроме того, в спецификациях выбираются параметры численного метода решения дифференциальных уравнений (метод Эйлера, метод Рунге-Кутты 2-го порядка или метод Рунге-Кутты 4-го порядка). Ввод спецификаций завершается нажатием кнопки «ОК».

Рис. 9.31

Запуск модели выполняется щелчком по изображению стрелочки в левом нижнем углу. В ходе сеанса моделирования пиктограммы уровней графически отражают изменения количества хищников и жертв. Скорость работы модели можно увеличить с помощью кнопки «>>» на панели проигрывателя в левом нижнем углу окна системы. На рис. 9.32 показаны различные состояния модели в ходе выполнения имитационного сеанса.

Графическое отражение поведения исследуемой системы представлено на рис. 9.32.

При начальном количестве хищников 40 и добычи 600 количество добычи стремительно возрастает за счет высокой рождаемости и достигает уровня 1650 особей. Но вслед за этим, с небольшой задержкой начинает возрастать и количество хищников (вследствие увеличения частоты встреч с добычей), которое достигает уровня 650 особей.

Рис. 9.32

Вместе с возрастанием количества хищников, количество добычи сначала замедляется (чаще погибают при встрече с хищниками), а потом и вовсе начинает уменьшаться, пока не достигает уровня 1 особи. Вслед за этим уменьшается стремительно и число хищников и падает до изначального уровня. После чего процесс повторяется вновь. Эту динамику лучше всего видно на графике (рис.9.33). Отметим, что для каждого уровня используется своя шкала: для уровня PREDATOR – от 0 до 700, для уровня PREY– от 0 до 2000.

Рис. 9.33

Выводы:

1) Моделирование системы “Хищники-добыча” в течение 2000 месяцев, показывает нелинейную сложную зависимость численности хищников от количества добычи, обладающую временной задержкой.

2) В результате моделирования получены следующие данные:

— количество хищников: min = 32.11, max = 626.22;

— количество добычи: min = 0.523, max = 1606.40;

— прирост количества хищников за месяц: min = 0.004, max = 20.00;

— уменьшение количества хищников за месяц: min = 0.257, max = 5.010;

— прирост количества добычи за месяц: min = 0.021, max = 64.26;

— уменьшение количества добычи за месяц: min = 0.019, max = 99.90.

3) Поведение системы характеризуется колебательным режимом с задержкой возрастания численности хищников по отношению к возрастанию количества добычи, и еще большей задержкой снижения количества хищников.

Задание

1. Модифицировать модель, построенную в MS Excel для системы «хищники-жертвы», описываемой уравнениями (9.2), так чтобы она моделировала систему

, . (9.4)

Сравнить поведение моделей по полученным графикам изменений численности популяций при одинаковых исходных данных и периодах моделирования.

2. Модифицировать модель, построенную в среде STELLA для системы «хищники-жертвы», описываемой уравнениями (9.4), так чтобы она моделировала систему, задаваемую уравнениями (9.2).

Сравнить поведение моделей по полученным графикам изменений численности популяций при одинаковых исходных данных и периодах моделирования.

Приложение 1

Параметры надстройки «Поиск решения»

Рис. П1.Диалоговое окно надстройки «Поиск решения»

Таблица П1. Элементы и функции

Литература

1. Абдулазар Л. Лучшие методики применения Exсel в бизнесе. / Л. Абдулазар М. : Изд. дом «Вильямс», 2006. – 464 с. : ISBN5-8459-0878-7

2. Акофф Р. Целеустремленные системы./ Р.Акофф, Ф.Эмери — М.: «Наука» 1976

3. Гельман В.Я. Решение математических задач средствами Exel / В.Я. Гельман – СПб. : Питер, 2003. – 240 с. : ISBN5-94723-584-6

4. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время перемены в нелинейной экономической теории. / В.-Б. Занг — М.: Мир, 1999.- 335 с.

5. Златопольский Д.М. 1700 заданий по MZ Exel / Д.М. Златопольский – СПб. : БХВ, 2003. – 544 с. : ISBN 5-94157-274-3

6. Ларичев О. И. Объективные модели и субъективные решения / О. И. Ларичев – М. : Наука, 1987.-191 с.

7. Мамардашвили М. К. Процессы анализа и синтеза / М. К. Мамардашвили — «Вопросы философии», 1958. № 2. : с. 50-63.

8. Михелькевич В.Н. Основы научно-технического творчества [Серия «Высшее профессиональное образование»] / В.Н. Михелькевич, В.М. Радомский – Ростов н/Д : «Феникс», 2004.- 320 с. –ISBN 5-222-04337-1.

9. Мур Дж. Экономическое моделирование в MS Exel / Дж. Мур, Л. Уэдерфорд – М. : Изд. дом «Вильямс», 2004. – 1024 с. – ISBN 5-8459-0578-8

10. Нейман Дж., Теория игр и экономическое поведение / Дж. Нейман, О. Моргенштерн– М. : Наука, 1970.

11. Оптнер С.Л. Системный анализ для решения деловых и промышленных проблем./ С.Л. Оптнер -М.: Советское радио, 1969.- 216 с.

12. Прангишвили И.В. Системный подход и общесистемные закономерности / И.В. Прангишвили – М.: СИНТЕГ, 2000. – 528 с. – ISBN 5-89638-042-9

13. Путилов, В. А. Системная динамика регионального развития [Текст] / В. А. Путилов, А. В. Горохов. – Мурманск : Пазори, 2002. – 306 с. – ISBN 5-86975- 062-8.

14. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий / Т. Саати ; пер. с англ. – М. : «Радио и связь», 1993. – 320 с.

15. Саати Т. Аналитическое планирование. Организация систем / Т. Саати – М. : «Радио и связь», 1983.

16. Саати Т. Математические модели конфликтных ситуаций / Т. Саати – М. : «Советское радио», 1977. – 304с.

17. Саати Т. Принятие решений при зависимостях и обратных связях [Аналитические сети] / Т. Саати — М. : Издательство ЛКИ, 2008. – 360 с. – ISBN 978-5-382-00422-8

18. Сенге, П. Пятая дисциплина: искусство и практика самообучающихся организаций [Текст] / П. Сенге. – М. : Олимп бизнес, 2003. – 408 с. – ISBN 5-901028-62-7.Таха Х. Введение в исследование операций / Х. Таха – М. : Изд. дом «Вильямс», 2001. – 812с. – ISBN 5-8459-0180-4

19. Холи, Р. Exel [Трюки] / Р. Холи, Д. Холи – СПб. : Питер, 2005. – 287с. – ISBN978-5-91180-494-7

20. Фишберн, П. Теория полезности для принятия решений [Текст] / П. Фишберн. – М. : Наука, 1978. – 352 с.

21. Форрестер, Д. Основы кибернетики предприятия: индустриальная динамика [Текст] : пер. с англ. / Д. Форрестер ; под ред. Д. М. Гвишиани. – М. : ПРОГРЕСС, 1971. – 340 с.

22. Форрестер, Дж. Мировая динамика [Текст] : пер. с англ. / Дж. Форрестер. – СПб. : Terra Fantastica, 2003. – 379 с. – ISBN 5-7921-0613-4.

23. Форрестер, Дж. Динамика развития города [Текст] / Дж. Форрестер. – М. : Прогресс, 1974. – 282 с.

24. Шебеко, Ю. Имитационное моделирование и ситуационный анализ бизнес-процессов принятия управленческих решений [Текст] / Ю. Шебеко. – М. : ТОРА ИнфоЦентр, 2000. – 205 с.

25. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем [Искусство и наука] / Р. Шеннон – М. : Мир, 1978. – 417с.

26. Эддоус М. Методы принятия решений / М. Эддоус, Р. Стэнсфилд ; ред. И. Елисеева ; пер. с англ. – М. : Аудит, ЮНИТИ, 1997. – 590 с. – ISBN 5-85177-027-9

27. Ярыгин А.Н. Лекции по дискретной математике Ч.1 / А.Н. Ярыгин, О.Н. Ярыгин, И.А. Каверина, С.В. Каверин – М. : МГУПП, 2021. – 288 с. – ISBN 978-5-9920-0155-6

28. Ярыгин А.Н. Лекции по дискретной математике. Ч.2/ А.Н. Ярыгин, О.Н. Ярыгин, И.А. Каверина, С.В. Каверин – М. : МГУПП, 2021. – 120 с. – ISBN 978-5-9920-0156-3

29. Richmond B. Introduction to Systems Thinking, STELLA// [Электронный ресурс] http://www.iseesystems.com/resources/Articles/STELLA_IST.pdf

30. Sterman, J. Business dynamics: systems thinking and modeling for a complex world / J. Sterman. – New York : McGraw Hill, 2000. – 952 p. – ISBN 0-07-231135-5.

^[1]Напомним, что оптимальное решение – это оптимальный вектор переменных, а не экстремальное значение целевой функции.

^[2]В том случае, если спрос на краску 1-го вида станет больше, чем на краску 2-го вида.

^[3]Если сравнить ход выполнения алгоритма решения, то ЦП-решение требует более 130 итераций симплекс-метода, в то время как для нахождения оптимального ЛП-решения необходимы только 3 итерации. Хотя при решении с помощью «Поиска решения» разница незаметна, это признак того, что ЦП-решение оказывается гораздо сложнее.

^[4]Возможно, инвестиции производятся другой фирмой, а доход рассматриваемой строительной фирмы не связан с размером инвестиций непосредственно.

^[5] Обратим внимание на запись « -1,2E-30» в ячейке С17. В такой нотации представлено число -1,2*10^-30, которое пренебрежимо мало и считается «машинным нулем».

^[6]Изменение порядка ранжирования при изменении матрицы парных сравнений является одним из интереснейших свойств матриц, но не будет рассматриваться в нашем примере из-за относительной сложности используемого математического аппарата.

^[7] Напомним, что используются нормированные значения характеристик НС (АП), СО(АП), СОП(АП), П(АП), ВН(АП), МО(АП).

^[8]Отметим, что единица продукции изменяется, поскольку она проходит через систему, являясь вначале сырьем, а в конце — завершенным изделием.

^[9] MS Excel 2007 позволяет строить таблицы, содержащие до 16 384 столбцов и до 1 048 575 строк на листе.

^[10]Выделение группы блоков выполняется так же, как во всех Windows-интерфейсах щелчком мыши на изображении при нажатой клавише Shift или охватом группы блоком пунктирной рамкой, которая создается курсором, перемещаемым при нажатой левой клавише