Решения 🤴 и примеры задач по экономике по всем темам и готовыми ответами

Взаимосвязь между производительностью и основными средствами

Пример  5.1. Найти эмпирическую формулу, описывающую зависимость между стоимостью основных средств и выработкой на одного рабочего, которые заданы таблицей.

Решение. По

Рис. к задаче 5.1

Чтобы составить эту систему, надо найти 

Результаты расчетов размещаем в таблице:

Используя суммы (последняя строка таблицы), записываем систему нормальных уравнений:

Обе части первого уравнения разделим на 6, а второго – на 21.В результате получаем систему:

Решив систему уравнений, получим: 

Следовательно, эмпирическая формула имеет вид: 

Сравним значения

Отметим, что сумма, полученная по уравнению, и эмпирическая (3-й столбец) с точностью до десятых совпали (39,5).

На графике приведена линия, уравнением которой является

Кстати, из этого уравнения следует, что выработка продукции на одного рабочего увеличится на 1,13 тыс. грн, если стоимость основных средств увеличится на 1 млн грн.

Пример 5.2. Найти эмпирическую формулу, описывающую зависимость между стоимостью основных средств и себестоимости единицы продукции, которые заданы таблицей.

Решение. По

По содержанию задачи и видом графика можно сделать вывод, что «лучшей» линией для определения зависимости является гипербола. Поэтому эмпирическую формулу будем искать в виде:

Сначала линеаризуемо эту зависимость.

Обозначим

Результаты вспомогательных расчетов для определения коэффициентов системы нормальных уравнений представим в виде таблицы:

Используя суммы последней строки таблицы, имеем:

С этой системы получаем: 

Пример 5.3. Зависимость между стоимостью основных средств и месячным выпуском продукции задана таблицей:

Найти эмпирическую формулу, описывающую зависимость между стоимостью основных средств

Решение. Эмпирическую формулу будем искать в виде:

Применяя метод наименьших квадратов, параметры

Система нормальных уравнений принимает вид:

Эту систему линейных уравнений можно решить, например, по методу Жордана-Гаусса. Для этого удобно проводить преобразования не с самыми уравнениями, а с расширенной матрицей системы, а именно:

Следовательно, решением системы являются: Пример 5.4. Пусть выпуск некоторого товара характеризуется производственной функцией:
Решение. Скорость любого процесса характеризует производная функции. Чтобы определить изменение производственной функции в зависимости от фактора

Тогда

При Ответ: с ростом фактора Пример 5.5. Фирма производит два вида продукции, которые продает по ценам 500 и 600 грн за единицу. Объемы выпуска продукции составляют Решение. Прибыль от продажи продукции обоих видов составит

Проведем исследование этой функции на экстремум. находим стационарные точки, для чего определяем частные производные:

За необходимым условием существования экстремума: 

Проверим, что при таком объеме продукции прибыль будет максимальной. Для этого построим матрицу Гессе (матрицу производных второго порядка) и вычислим ее определитель в точке (200. 50).

Тогда

Ответ: прибыль в размере 65 000 грн фирма получит, если производить 200 единиц продукции по цене 500 грн и 50 единиц продукции по цене 600 грн.

Пример 5.6. Фирма реализует часть товара на внутреннем рынке, где цена единицы товара составляет Решение. По уравнению

Прибыль от реализации товаров составляет:

С учетом затрат фирма имеет прибыль:

или

Находим частные производные первого порядка функции

По необходимым условием существования экстремума имеем:

откуда
функция имеет экстремум. Кроме того, Ответ: фирма будет иметь максимальную прибыль, если на внутреннем рынке реализовывать 90 единиц, а на внешнем – 120 единиц товара, при этом Пример  5.7. Стоимость строительства

Решение. Найдем частные производные первого порядка от функции стоимости строительства:

По необходимым условием экстремума составим систему уравнений относительно координат стационарной точки:

Из второго уравнения найдем

Теперь из первого уравнения последней системы имеем:

Тогда

Проверим, имеет функция
Находим частные производные второго порядка этой функции:Для проверки достаточного условия экстремума вычисляем

Ответ: стоимость будет минимальной при таких размерах дома:

Пример 5.8. На предприятии используют два вида ресурсов в количествах Решение. Надо найти такие значения
Решим уравнение

Мы получили функцию одной переменной. Найдем ее производную:

За необходимым условием экстремума:

откуда
Следовательно, действительно, в стационарной точке функция Ответ: на выделенные средства необходимо приобрести 9994 единицы первого ресурса и 3 единицы второго. Прибыль при этом составит

Пример 5.9. Функция общих затрат предприятия имеет вид:

где
Решение. Надо найти такие значения

Для исследования этой функции на условный экстремум составим функцию Лагранжа:

Находим ее частные производные первого порядка:

При необходимым условием экстремума имеем:

Отсюда:

Для проверки достаточного условия экстремума определяем частные производные второго порядка

Составляем второй дифференциал функции Лагранжа при фиксированном Ответ: минимальные затраты составят 821 000 (ум. ед.), Если предприятие изготовит 600 единиц продукции Пример 5.10. Годовые расходы предприятия (амортизация, ремонт, вклады на восстановление и т.п.) в зависимости от объема двух видов продукции
Решение. Исследуем на экстремум функцию
Находим частные производные первого порядка этой функции:

При необходимом условии экстремума составляем систему уравнений:

Вычитаем из первого уравнения второе и получаем: 

откуда 
получаем:

Отсюда, объем продукции второго вида равна:

Теперь в соотношение
Найдем частные производные второго порядка:Определим знак

Ответ: расходы предприятия будут минимальными, если оно будет производить продукцию в таких объемах:

Использование матрицы затрат

Пример 1.1. Три мебельных комбината – Харьковский, Днепропетровский и Ужгородский – производят 5 типов продукции: кухни, передние, гостиные, спальни, уголки с мягкой мебелью. В бухгалтерии этих комбинатов поступают сведения об объемах производства, которые заносятся в учетную документацию и там накапливаются. Эти данные представляются в виде матрицы. На 1 июня матрица продукции имела вид:

где

На конец июня аналогичная матрица имела вид:

Найти объем каждого типа продукции, произведенной в июне.

Решение. Объем продукции которая  была произведена в июне, определяется матрицей

Пример 1.2. Строительная фирма «Надежная крыша» производит металлочерепицу трех видов: цветная, устойчивая, экологическая. При этом применяются различные технологические операции, соответствующие рабочим местам № 1-5.Сделать расчет заработной платы, приходящейся на каждый заказ при изготовлении изделий каждого типа, если известноа) затраты времени (в часах) на каждом рабочем месте на изготовление единицы продукции соответствующего вида, приведены в таблице:

б) количество изделий (в единицах) в каждом заказе:

в) заработная плата за один час (в рублях) на каждом рабочем месте:

Решение. Затраты времени на каждом рабочем месте, количество изделий и заработную плату за один час можно рассматривать как элементы матриц
Следовательно, Поскольку матрица
Таким образом,

то есть на выполнение заказа Иванова И. И. начисления заработной платы составляет 99,60 грн, заказ Петрова П. В. – 81,90 грн, заказ Сидорова С. И. – 102,55 грн.

Пример 1.3. Машиностроительный завод «Дормаш» выпускает тракторы трех видов: ДМТ-100, ДМТ-300 и ДМТ-500. При этом используется сталь трех марок: Ст4пс, Ст2кп и Ст20кп. Нормы расходов каждой марки стали (в тоннах) на один трактор, а также запасы стали приведены в таблице:

Сколько тракторов каждого вида может выпустить завод при условии использования всего запаса стали.

Решение. Обозначим количество тракторов каждого вида через
1. Правило Крамера. Вычислим определитель системы

По формулам Крамера имеем:

то есть 

2. Матричный способ. Для решения системы с помощью обратной матрицы обозначим 

В матричном виде система записывается так: 
а именно: 

Тогда

Получено то же решение:  

3. Метод Жордана-Гаусса. Решение системы уравнений подаем в таблице (схема Жордана-Гаусса).

Таким образом, получаем: 

Итак, машиностроительный завод, используя все запасы стали, выпускает один трактор вида ДМТ-100, один трактор вида ДМТ-300 и два трактора вида ДМТ-500. 

Пример 1.4. Семейная фирма производит напитки «Лето» и «Водограй». Для производства 1 л напитка «Лето» нужно 0,02 часов работы оборудования, а для 1 л напитка «Водограй» – 0,04 часов. Расходы основных веществ напитков равны 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л напитков «Лето» и «Водограй» соответственно.

Определить, сколько напитков каждого типа производит фирма ежедневно, если известно, что все ресурсы используются полностью.

Решение. Запишем условие задачи в виде таблицы:

Обозначим через
Составим математическую модель задачи. Это система линейных уравнений:

Решим систему методом Жордана – Гаусса. проведем эквивалентные преобразования расширенной матрицы системы:

Рангах матрицы системы и расширенной матрицы равны 2, а количество переменных – 3. Это означает, что система имеет множество решений.По преобразованной матрицей запишем систему уравнений в виде:

где 

Определим базисные неизвестные через свободные

и запишем решение системы в матричной форме 

Система имеет множество решений в зависимости от того, каких значений приобретает свободная неизвестна

Пример 1.5. В таблице приведено межотраслевой баланс за отчетный период в условных денежных единицах:

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли необходимо увеличить вдвое, а машиностроения – оставить на прежнем уровне.

Решение. Обозначим через

Модель Леонтьева «затраты-выпуск» имеет вид:

По условиям задачи имеем: 

Отсюда найдем коэффициенты прямых затрат. Имеем:

Запишем матрицу прямых затрат в виде:

Все элементы матрицы являются неотъемлемыми. Проверим, является ли эта матрица продуктивной. Найдем собственные значения матрицы с характеристическим уравнением:

то есть:

Характеристический многочлен матрицы имеет вид:

или

Отсюда находим: 

Рассмотрим случай, когда конечное потребление энергетической отрасли увеличилось вдвое, а в машиностроении – осталось на прежнем уровне. В этом случае имеем:

Вычислим определитель матрицы: 

Следовательно, существует обратная матрица 

Тогда:

то есть валовой выпуск продукции в энергетической отрасли нужно увеличить до 177,2 условной единицы, а в машиностроении – до 99,1 условной единицы.

Пример 1.6. Найти соотношение национальных доходов Казахстана, Украина и Беларусь для сбалансированной торговли, если структурная матрица имеет вид: 

Решение. Составляем матричное уравнение: 

Это матричное уравнение можно представить в виде системы алгебраических уравнений: 

После эквивалентных преобразований система принимает вид: 

отсюда имеем общее решение: 

Определение издержек производства

Пример 7.1. Пусть функция предельных издержек имеет вид:
Решение. Данное уравнение перепишем так:

Поскольку дифференциалы уровне, то интегралы от них тоже равны с точностью до константы. Итак,

То есть функция издержек имеет вид:

Значение произвольной постоянной Пример 7.2. Пусть функция предельного дохода имеет вид:
Решение. Преобразуем исходное уравнение:

отсюда

Понятно, что при
Следовательно, функция прибыли имеет вид: Пример 7.3. Найти цену товара как функцию объема x, если цена единицы товара
Решение. Используя формулу

имеем:

Интегрируем:

Отсюда 

Следовательно, цена товара как функции объема такова:

Пример 7.4. Найти функцию спроса
Решение. По определению эластичности имеем:

Итак, дифференциальное уравнение имеет вид:

Далее интегрируем:

и получаем

Постоянную

Следовательно, функция спроса имеет вид:

Пример 7.5. Найти производственную функцию
Решение. Известно, что по определению эластичность производственной функции определяется как

Итак, имеем дифференциальное уравнение:

которое является однородным уравнением.

Сделаем замену переменной:

Таким образом, мы получили уравнение с обособленными переменными. Далее интегрируем

и отсюда получаем:

или

Поскольку

Тогда 

Итак, имеем производственную функцию: Пример 7.6. Полные издержки производства
продукции x. Известно, что предельные и полные затраты для всех значений
Решение. Для нахождения функции полных затрат y надо решить дифференциальное уравнение:которое является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Его решение будем искать в виде:

Далее рассматриваем систему дифференциальных уравнений:

Из первого уравнения этой системы находим функцию

Переменные отделены, следовательно, можно осуществлять интегрирование:

Применив интегрирование по частям, имеем:

Тогда получаем общее решение уравнения:

По начальным условием

Теперь определяем частное решение:

Следовательно, функция полных издержек, удовлетворяет начальное условие Пример 7.7. Функции спроса x и предложения y в зависимости от равновесной цены
Решение. Если спрос и предложение совпадают, то

Откуда

Итак, получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

Тогда 

или

По заданной начальным условием
Таким образом, зависимость равновесной цены Пример 7.8. Пусть спрос и предложение на определенный товар определяются в соответствии соотношениями:
Решение. Исходя из условия, что

Мы получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

откуда

или

По начальным условием
Итак, для равновесия спроса и предложения необходимо, чтобы цена в зависимости от времени менялась по закону: Пример 7.9. Численность населения
Решение. Найдем решение уравнения:

откуда

Интегрируем:

Дробь
Тогда:

Итак,

Тогда имеем:

Теперь определим, через сколько лет численность населения возрастет в 10 раз:

Таким образом, в данном регионе население возрастет в 10 раз примерно через 48 лет.

Пример 7.10. Пусть скорость роста общих потребностей населения
Решение. По условию задачи ее математической моделью является дифференциальное уравнение:Это уравнение второго порядка, в котором отсутствуют функция

Интегрируя второй раз, получим:

Итак, мы определили общее решение уравнения.
Поскольку без получения доходов потребления невозможно, то есть начальное условие: Пример 7.11. Пусть спрос и предложение на товар определяются в соответствии соотношениями:
Решение. По условию

откуда

Находим решение этого линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами:
неоднородного уравнения в виде:
Определяем производные и подставляем их и саму функцию
2) поскольку

Следовательно, зависимость цены от времени, учитывая начальные условия, описывается функцией:

Пример 7.12. Пусть спрос и предложение некоторого товара на рынке описывается соответственно уравнениями:
Решение. Исходя из условий соответствия спроса и предложения, имеем разностное уравнение для нахождения равновесной цены в момент времени

или

При начальном условии
Частное решение неоднородного уравнения уже было найдено:
Следовательно, имеем общее решение разностного уравнения Хикса:Поскольку Пример 7.13. Найти решение разностного уравнения Хикса:
Решение. Общее решение ищем как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частных решений данного неоднородного уравнения:
Подставляем

Находим общее решение однородного уравнения:

Ему соответствует характеристическое уравнение:
Следовательно,где 

Расчёт производительности ресурса

Пример 4.1. Функция выпуска продукции имеет вид

Найти предельную производительность ресурса (скорость изменения выпуска), если расходы ресурса составляют 2 условные единицы.Решение. Скорость изменения выпуска найдем по производной

Следовательно, если расходы составляют 2 усл. ед., то скорость изменения выпуска составляет 8 усл. ед.

Пример 4.2. Объем продукции, произведенной бригадой рабочих в течение одной рабочей смены, определяется уравнением

где
Решение. Производительность труда в любой момент времени – это производная от объема продукции, следовательно,

Скорость – это производная от производительности труда, то есть производная второго порядка от объема

Темп изменения производительности труда есть производная от логарифма производительности или отношение скорости к производительности

При

Следовательно, производительность труда в конце рабочего дня уменьшается.

Пример 4.3. Вычислить эластичность функции расходов y от объема

а также определить средние и предельные издержки по объему продукции, который составляет 5 единиц.Решение. Для вычисления эластичности функции применяем формулу

Находим
Функция средних затрат определяется как отношение функции расходов y к объему продукции

Если объем продукции составляет 5 единиц, то 

Для нахождения предельных издержек находим производную от функции затрат:

и вычисляем ее при

Следовательно, в случае выпуска 5 единиц продукции средние и предельные издержки составляют соответственно 150 и 50 условных единиц.

Пример 4.4. Опытным путем было установлено функцию спроса 

и функцию предложения

Решение.Равновесная цена определяется при

или

отсюда
Найдем эластичности спроса и предложения по формуле

Пример 4.5. Предприятие производит x единиц продукции еженедельно и реализует ее по цене

Суммарные издержки производства составляют

При каком объеме производства прибыль предприятия будет наибольшей?Решение. Определяем прибыль

следовательно,

Исследуем функцию
Находим ее производную:

Дальше необходимым условием экстремума получаем значение критической точки:

Теперь определяем вторую производную

Пример 4.6. Пусть функция издержек имеет вид:

Вычислить предельные издержки производства, если объем производства составляет

Решение. Для вычисления предельных издержек находим производную от функции издержек

и вычисляем ее в соответствующих точках: 
Область определения функции:
Найдем производную второго порядка:Следовательно, функция затрат растет медленнее, потому что Пример 4.7. Фирма планирует выпускать пластиковые окна. Опытным путем установлена зависимость спроса
Решение. Валовая прибыль равна

Тогда 

или 

Находим производные

За необходимым условием экстремума:

отсюда
Вычисляем:

Пример 4.8. Функция спроса на товар имеет вид

где

1) будет самым наибольшим; 2) исчезнет. Найти темп изменения спроса.Решение. Предельный спрос – это производная от функции спроса, а именно:

За необходимым условием экстремума имеем

Следовательно, по цене

Темп изменения спроса находим по производной второго порядка от функции спроса, а именно:

Если цена возрастает до

Пример 4.9. Зависимость издержек производства от объема задана функцией

При каком объеме продукции издержки производства начнут спадать?

Решение. Найдем производную:

Расходы падают, когда

отсюда

Учитывая, что Пример 4.10. Пусть функция

Решение. Прибыль фирмы составляет

где

Тогда

или

Следовательно, надо исследовать эту функцию на экстремум.
По необходимым условием экстремума:
Тогда

Следовательно, максимальный объем продукции фирмы составляет 15 единиц, соответствующая цена – 12,5 грн, наиболее выгодная цена для фирмы в 2,5 раза больше предельных издержек.