- Математические задачи – Вероятности
- Сравнить вероятности
- Старая тетя Мотя
- Случайный ответ
- Прохожих
- Листы, конверты, два стола
- Метеорология
- Парадокс Бертрана
- На шахматной доске
- Ярмарочная игра в кости
- Как поделить приз?
- Воспитание математикой
- Потерянная монета
- Сломанная указка
- Изумруды на ощупь
- Второй ребенок
- Пари
- Парадокс с днями рождения
- В чем смысл притч о потерянной овце и потерянной монете?
Математические задачи – Вероятности
В трех углах равностороннего треугольника находится по муравью. Каждый из муравьев начинает двигаться в другой случайно выбранный угол по прямой. Какова вероятность того, что ни один из муравьев не столкнется с другим муравьем?
Сравнить вероятности
У женщины и мужчины (не родственников) – по двое детей. По крайней мере один из детей женщины – мальчик; старший ребёнок мужчины – мальчик. Равна ли вероятность того, что у женщины два мальчика, вероятности того, что у мужчины два мальчика?
Старая тетя Мотя
Итак, я могу поступить тремя способами:
1) не ездить за тетей Мотей;
2) поехать за ней;
3) позвонить ей по телефону и поехать за ней только в том случае, если она ответит.
А как бы вы поступили на моем месте?
Случайный ответ
Если Вы выберете ответ на этот вопрос случайным образом из приведенных ниже четырех вариантов, то какова вероятность того, что Вы выберете правильный ответ?
a) 25%
b) 50%
c) 66,67%
d) 25%
Прохожих
Опрашивают 40 наугад выбранных прохожих. Если среди опрошенных найдутся хотя бы двое, празднующие свой день рождения в один и тот же день года, вы проигрываете. Если все дни рождения различны — выигрыш ваш.
Приняли бы вы участие в подобном пари, особенно, если ставка достаточно высока?
Листы, конверты, два стола
На двух столах (X и Y) лежат запечатанные конверты. Внутри каждого конверта находится один лист цветной (жёлтой или красной) бумаги, сложенный вчетверо. На столе X лежат 6 конвертов, в пяти из которых находятся жёлтые листы, а в одном – красный. А на столе Y лежат 4 конверта: в одном – жёлтый лист, в остальных трёх – красные.
Вскоре кто-то берёт с каждого стола по 3 конверта наугад (не зная, какого цвета листы внутри) и меняет их местами, т.е. те конверты, которые лежали на столе X, теперь лежат на столе Y, и наоборот. Причём их количество на каждом из столов не изменилось: 6 и 4 соответственно.
Какова вероятность того, что теперь на столе Y лежат 2 конверта с жёлтым листом и 2 – с красным?
Метеорология
В наших родных краях дождь идет в среднем лишь один день из трех. А наши чудо-метеорологи, в силу свойственного им пессимизма, ошибаются в прогнозах в половине случаев, когда имеет место хорошая погода, но всего лишь один раз из пяти в дождливую погоду.
Каждое утро моя подруга Юля на весь день уходит из дому. Если она оставит зонтик дома в дождливый день, то она промокнет, а если не будет дождя, а она возьмет зонтик, то ей придется зря носить с собой зонтик, впрочем, второе она считает вдвое менее неприятным, чем первое.
«Стоит ли мне,— задает она себе естественный вопрос,— слушать каждое утро радио и брать с собой зонтик лишь в том случае, когда прогноз говорит о том, что в нем есть нужда? А не лучше ли брать с собой зонтик ежедневно или, напротив, не брать его никогда?»
Что бы вы посоветовали моей подруге Юле?
Парадокс Бертрана
В трех одинаковых комодах по два ящика в каждом. В каждом ящике комода А – золотая монета, в каждом ящике комода Б – серебряная монета, а в комоде В – серебряная монета в одном ящике и золотая – в другом. Вы открываете один из шести ящиков наугад и находите в нем серебряную монету.
Какова вероятность того, что в другом ящике этого же комода находится золотая монета?
На шахматной доске
На стандартной шахматной доске восемь на восемь клеток случайным образом расставлены две фигуры – ладья и король. Каковы шансы, что ладья бьет короля?
Ярмарочная игра в кости
Игра в кости, о которой пойдет речь, весьма популярна на ярмарках и карнавалах, но, поскольку игроки редко приходят к согласию относительно своих шансов на выигрыш, я предлагаю ее в форме простой задачи по теории вероятностей.
На прилавке лежат шесть квадратов, помеченных цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Игрокам предлагается на любой из квадратов положить любое количество денег. Затем бросаются три кости. Если номер вашего квадрата выпадает только на одной из костей, то вы получаете ваши деньги назад, и к ним прибавляется еще такая же сумма. Если ваш номер выпадает на двух костях, то вы получаете назад ваши деньги плюс сумму, вдвое большую, чем та, которую вы ставили на квадрат. Если же ваш номер выпадает на всех трех костях, то кроме ваших денег вы получаете сумму, втрое превышающую вашу ставку. Разумеется, если номер вашего квадрата не выпадает ни на одной из костей, то все деньги забирает владелец аттракциона.
Поясним это на примере. Допустим, вы поставили 1 доллар на квадрат № 6. Если на одной из костей выпадает 6, то вы получаете назад ваш доллар да еще 1 доллар впридачу. Если 6 выпадает на двух костях, то вы получаете назад ваш доллар плюс еще 2 доллара. Если же 6 выпадает на всех трех костях, то вы забираете назад ваш доллар и получаете еще 3 доллара.
Игрок может рассуждать так: шанс моего числа выпасть на одной кости составляет 1/6, но поскольку костей три, то он повышается до 3/6, то есть до 1/2; значит, эта игра честная. Разумеется, в интересах владельца аттракциона, чтобы так думал каждый.
У кого в этой игре предпочтительнее шансы — у владельца аттракциона или у игрока, и насколько они велики?
Как поделить приз?
Барри и Бенни дошли до финала соревнований по бильярду, который состоит из пяти партий. Кто победит в трех из них, тот получит приз $300. Барри выиграл первую партию, Бенни вторую, а Барри третью, но на этом матч был остановлен, поскольку сломалась пожарная сигнализация.
Как нужно поделить приз между Барри и Бенни?
В 1971 году психологи Дэнни Канеман и Амос Тверски решили помучить профессоров статистики вопросами, сформулированными не как статистические вопросы. Один был приблизительно таков: представьте, что вы живете в городе, где есть два роддома – один большой, другой маленький. В определенный день в одном из этих роддомов среди новорожденных оказывается 60% мальчиков. В каком роддоме это скорее всего могло бы произойти?
Воспитание математикой
– Hу, нет, – сказал как-то математик своему четырнадцатилетнему сыну, – на этой неделе я не собираюсь давать тебе лишние десять долларов. Однако, если хочешь, могу предложить одно рискованное предприятие.
Мальчик тяжело вздохнул.
– Что ты придумал на этот раз ?
– У меня есть десять хрустящих новеньких десятидолларовых банкнот и десять бумажек по одному доллару; они тоже новые и хрустят. Все эти банкноты ты можешь распределить как угодно, но так, чтобы получилось два набора. Один набор положим в шляпу А, второй в шляпу Б. После этого я завяжу тебе глаза и, перемешав содержимое внутри каждой шляпы, положу одну шляпу справа от камина, а вторую слева. Ты должен будешь взять наугад одну из шляп и вынуть из нее одну бумажку. Если вынешь десятку – она твоя.
– А если нет ?
– Будешь без разговоров целый месяц стричь газон.
Мальчик согласился. Как он должен распределить по шляпам двадцать бумажек, чтобы максимально увеличить вероятность вытянуть десять долларов, и чему будет равна эта вероятность ?
Потерянная монета
У вас было 50 монет на общую сумму в 1 доллар. Вы играли с ними, подбрасывая их в руке. И вдруг одна монетка упала в раковину и провалилась. Какова вероятность того, что это была монетка в 25 центов?
Сломанная указка
На школьном уроке учитель уронил тонкую пластиковую указку, которая после удара о пол раскололась на три части. Жаль, конечно. Но учитель не растерялся и задал вопрос о том, сколько в среднем потребовалось бы сломать указок, чтобы из кусков от одной указки получился треугольник?
Изумруды на ощупь
В мешке находится одинаковое количество зеленых и желтых изумрудов, на ощупь их не отличишь. Делаем так: не подглядывая, один раз вынимаем сто изурудов, другой – десять. В каком случае шанс вынуть одинаковое количество изумрудов того и другого цвета больше?
Второй ребенок
Мистер Смит сообщает, что у него двое детей и по крайней мере один из них мальчик. Какова вероятность того, что второй ребенок мистера Смита тоже мальчик?
Пари
Предположим, что я бросаю монету и согласен уплатить вам доллар, если выпадет орел. В случае же выпадения решки я бросаю монету второй раз и плачу вам два доллара, если при втором подбрасывании выпадет орел. Если же снова выпадет решка, я бросаю монету в третий раз и плачу вам четыре доллара, если при третьем подбрасывании выпадает орел. Короче говоря, с каждым разом я удваиваю выплачиваемую сумму. Бросать монету я продолжаю до тех пор, пока вы не остановите игру и не предложите мне расплатиться. Какую сумму вы должны заплатить мне, чтобы я согласился играть с вами в эту «одностороннюю игру», а вы не остались в убытке?
Парадокс с днями рождения
Выберем наугад 24 человека. Какова, по вашему мнению, вероятность того, что двое или большее число из них родились в один и тот же день одного и того же месяца (но, быть может, в разные годы)?
В чем смысл притч о потерянной овце и потерянной монете?
Притчи о потерянной овце и потерянной монете (Лк. 15:3-10) – первые две в серии из трех. Третья – о “блудном сыне”. Как и в других случаях, Иисус рассказал эти притчи в количестве трех штук, чтобы подчеркнуть Свою точку зрения. Чтобы правильно понять послание этих притч, мы должны точно знать, что такое притча и почему она используется.
Что такое притча?
На базовом уровне притча – это короткий рассказ, призванный передать концепцию, которую нужно понять, и/или принцип, который нужно применить на практике. Однако это больше говорит о замысле притчи, чем о том, чем она является на самом деле. Слово “притча” в греческом языке буквально означает “ставить рядом”, как русское слово “сравнение” или “подобие”. В еврейской культуре вещи объяснялись не в терминах статистики или определений, как это принято в других культурах. В еврейской культуре библейских времен вещи объяснялись в словесных картинках.
Почему Иисус использовал притчи?
Словесные изображения привлекают внимание не к техническим моментам (как в иудейском законе), а к отношениям, понятиям и характеристикам. Иисус говорил на языке, понятном всем иудеям, но с акцентом на отношение, а не на внешние проявления, на которые обращали внимание фарисеи (Иоанна 7:24). Притчи также обладают эмоциональным воздействием, что делает их более значимыми и запоминающимися для тех, кто мягок сердцем. В то же время притчи Иисуса часто оставались загадкой для людей с ожесточенным сердцем, потому что притчи требуют от слушателей самокритичности и постановки себя на соответствующее место в истории. В результате фарисеи “слышали, но не понимали; смотрели, но не разумели” (Исаия 6:9; Псалом 78:2; Матфея 13:35).
Благодаря использованию притч учение Иисуса остается вне времени, несмотря на большинство изменений в культуре, времени и технологиях. Например, эти две притчи передают такие общепринятые понятия, как милость, мягкость, забота, гордость и другие, и все они нам понятны, несмотря на то что истории уже более двух тысяч лет. В еврейской культуре черты характера часто описываются в связи с общепризнанными объектами, такими как постоянство солнца или освежающий характер дождя (Осия 6:3). Это также объясняет, почему поэзия – самый распространенный вид языка, используемый в Библии. Что касается притч, то элементы, упоминаемые в них, обычно представляют собой что-то другое, как и в аллегории. Однако чрезмерный акцент на той или иной детали притчи, как правило, приводит к ошибкам в толковании. Повторы, закономерности или изменения часто помогают нам определить, когда мы должны сосредоточиться на той или иной детали.
Почему Иисус рассказывал эти притчи
Давайте рассмотрим конкретные детали этих притч. Ситуация, в которой Иисус говорит, показана в Евангелии от Луки 15:1-2. “Послушать Иисуса собирались все сборщики налогов и другие грешники. Фарисеи же и учители Закона недовольно переговаривались: Он общается с грешниками и ест вместе с ними” (НРП). Обратите внимание, что фарисеи не жаловались на то, что Иисус учит грешников. Поскольку фарисеи считали себя праведными учителями закона, а всех остальных – нечестивыми, они не могли осуждать Его проповедь “грешникам”, но они считали, что “есть с ними” несовместимо с достоинством человека, столь сведущего в Писании. Предпосылки, лежащие в основе утверждения фарисеев: “Этот человек принимает грешников”, – это то, что Иисус рассматривает во всех трех притчах.
Чтобы понять значение вступительного слова главы 15, мы должны учесть, что еврейская культура – это общество, ориентированное на стыд/честь, которое использовало стыд/честь таким образом, что развило своего рода кастовую систему. Практически все, что делается в еврейской культуре, приносит либо стыд, либо почет. Основная мотивация того, что и как делается, основана на стремлении к почету и избежанию позора. Это было главной и всепоглощающей заботой всех евреев.
В первой притче Иисус предлагает Своим слушателям включить себя в эту историю: “Предположим, что у одного из вас сто овец”. Тем самым Иисус апеллирует к их интуитивным рассуждениям и жизненному опыту. В завершение истории фарисеи в своей гордыне отказываются видеть себя позорными “грешниками”, но охотно принимают почетный ярлык “праведников”. Однако в силу своей гордыни они ставят себя в положение менее значимой группы из девяноста девяти человек: “Об одном грешнике кающемся на небесах будут радоваться больше, чем о девяноста девяти праведниках, которым не нужно каяться”. Возможно, в упоминании фарисеев, “которым не нужно каяться”, есть доля сарказма (см. Римлянам 3:23).
В притче о “потерянной монете” десять серебряных монет означают украшение с десятью серебряными монетами, которое носили невесты. В наше время это был бы эквивалент обручального кольца.
При внимательном изучении притч мы видим, что Иисус переворачивает понимание Своих слушателей с ног на голову. Фарисеи считали себя возлюбленными Божьими, а “грешников” – отверженными. Иисус использует предрассудки фарисеев против них, а грешников ободряет одним ясным посланием. Это послание заключается в следующем: Бог проявляет нежную, личную заботу (“И когда он найдет ее, то с радостью возьмет к себе на плечи”, ст. 5). Бог испытывает радостную любовь к потерянным (в грехе) и найденным (в покаянии) людям. Иисус ясно дает понять, что фарисеи, считавшие себя близкими к Богу, на самом деле были далеки от Него, а грешники и сборщики налогов – это те, кого ищет Бог. Это же послание мы видим в 18:9-14. Там Иисус учит об отношении к молитве, но проблема, которую Он рассматривает, та же, что и в главе 15. В 18:14 Иисус дает нам заключение: “Говорю вам, что именно этот человек пошел домой оправданным перед Богом, а не первый, потому что каждый возвышающий себя будет унижен, а каждый, принижающий себя, будет возвышен”.
Закономерности развития событий в притчах
Выявляя общие черты в притчах, мы можем получить контекст, который поможет нам понять значение других тонких элементов истории. Как гласит старая поговорка, “правильный контекст покрывает множество ошибок в толковании”. 1) Прогрессия ценности: в первой притче теряется овца, в следующей – серебряная монета, в третьей – сын. Как уже говорилось, сила воздействия этих притч на аудиторию отчасти связана с аспектом стыда и чести в их культуре. Потерять овцу, будучи пастухом, было бы очень позорно, потерять монету из свадебного украшения в собственном доме было бы еще позорнее, а потерять сына было хуже всего в еврейской культуре. 2) Личная прогрессия от поиска только 1 из 100 овец, затем 1 из 10 монет, затем 1 из 2 сыновей. Это показывает масштаб личной заботы Бога об отдельных людях и должно было утешить “грешников”, которых учил Иисус. 3) Изменение времени в каждой притче относительно радости по поводу найденного: от будущего времени к настоящему, а затем к прошедшему: “будет больше радости”, “есть радость” и, наконец, “должна была быть”. Возможно, таким образом передается уверенность в том, что Бог принимает тех, кто кается. 4) Прогрессия земных ссылок на то, в чем вещь была потеряна (тонкая ссылка на грех). Овца потерялась в открытом поле, монета – в подметенной грязи, а сын – в грязи свинарника, прежде чем опомнился. 5) Родственная сила каждой притчи: Бедные мужчины и юноши лучше всего отнеслись бы к пастуху и потерянной овце. Женщины лучше всего отнеслись бы к потерянной монете невесты. Последняя притча касается всех присутствующих, поскольку в ней рассматриваются отношения отца и сына.
Образцы последовательности в притчах
1) Главный герой обладает чем-то ценным и не хочет это потерять.
2) Главный герой радуется находке потерянной вещи, но радуется не один.
3) Главный герой (Бог) проявляет заботу о том, как искать или как обращаться с потерянным.
4) Каждая потерянная вещь имеет личную ценность, а не только денежную: пастухи заботятся о своих овцах, женщины дорожат своими свадебными украшениями, а отец любит своего сына.
Кстати, эта первая иллюстрация пастуха, несущего овец на плечах, была первоначальной фигурой, использовавшейся для обозначения христиан до того, как люди стали отождествлять христианство с крестами. В этих притчах Иисус словами рисует прекрасную картину Божьей благодати в Его желании видеть, как потерянные возвращаются к Нему. Люди ищут чести и избегают позора, а Бог стремится прославить Себя через нас, Своих овец, Своих сыновей и дочерей. Несмотря на наличие девяноста девяти других овец, несмотря на греховный бунт Его заблудшей овцы, Бог с радостью принимает ее обратно, так же как и нас, когда мы каемся и возвращаемся к Нему.
Вернуться на стартовую страницу
В чем смысл притч о потерянной овце и потерянной монете?