Финансовая математика. Финансовая статистика |

Финансовая математика. Финансовая статистика | Удобные вклады
Содержание
  1. Что отвечают налоговики на вопросы по доходу с банковских вкладов
  2. Что изменилось в законе о вкладах
  3. Что изменится в налогообложении процентов от облигаций
  4. Вкладчик положил в банк 1000 рублей по 20% годовых. какая сумма будет у него на счету через 2 – школьные
  5. Ежедневная капитализация
  6. Как осуществляется выплата процентов по депозиту?
  7. Как уплатить налог
  8. Какие вклады не облагаются налогом
  9. Какой налог придется заплатить, если положить на депозит разные суммы
  10. Калькулятор сложных процентов для вклада
  11. Подходы к решению задач про вклады и кредиты
  12. Помогите прошу олег иванович положил в банк 150 000 рублей под 10% годовых ( к сумме вклада, – школьные
  13. Посчитайте за меня
  14. Предлагаемые финансовые продукты
  15. Простой расчет сложных процентов
  16. Решите задачу на проценты: банк выплачивает 10% годовых. какая сумма будет на счету через два – школьные
  17. Решу егэ
  18. Финансовая математика. финансовая статистика |
  19. Этот эффект и получил название сложный процент.

Что отвечают налоговики на вопросы по доходу с банковских вкладов

Нужно ли подавать налоговую декларацию о доходах по вкладам?

Нет, декларацию подавать не нужно. Банки самостоятельно отправляют в налоговую инспекцию сведения о начисленных суммах.

Если в течение года Центробанк изменит ключевую ставку, то и вычет поменяется?

Нет, для расчета размера вычета берут ключевую ставку, действующую на 1 января того года, в котором начислены проценты по вкладам.

Попадает ли под НДФЛ доход по вкладу, открытый до 2021 года?

вкладчик получает доход по депозиту в тот день, когда банк зачислил проценты на счет. Если вкладчик получил доход в 2021 году, то независимо от времени открытия вклада, начисленные проценты попадают в базу по НДФЛ. Придется ли вкладчику платить налог, зависит от суммы дохода. 

Уменьшатся ли проценты по вкладу, если закрыть вклад раньше срока?

Нужно смотреть условия договора. Если при досрочном расторжении проценты по вкладу не начисляются, то и доход не возникнет. Если по договору положена выплата процентов, то банк рассчитает налог и известит инспекцию. 

Вкладчик получает доход по вкладу уже без подоходного налога?

Нет, вкладчик получит на руки все проценты, предусмотренные в банковском договоре. Банк только передает информацию налоговикам, они рассчитывают НДФЛ, а вкладчик самостоятельно платит налог. Уплатить его нужно по налоговому уведомлению, как, например, транспортный налог.

Что изменилось в законе о вкладах

Было:
налогом облагались рублевые вклады, по которым процентная ставка превышала ключевую ставку Центробанка на 5 процентных пунктов. Например, с 10 февраля по 26 апреля 2020 года ключевая ставка Центробанка была — 6%. Получается, что налогом облагались рублевые вклады с процентной ставкой выше 11% годовых. Но средняя ставка по вкладам российских банков в феврале–апреле 2020 года,

от 5,3 до 5,5%. 

До 2021 года вкладчики практически не платили НДФЛ с дохода по вкладам физлиц.


Аналогичная ситуация была со вкладами в иностранной валюте. Вкладчики платили НДФЛ, только если ставка превышала 9% годовых — таких ставок по вкладам в иностранной валюте в России давно не было. Средние процентные ставки по валютным вкладам обычно не превышает 0,3%.

Единичные вкладчики, доход которых по вкладам все-таки облагался налогом, самостоятельно ничего не рассчитывали и не платили. Банки исчисляли сумму налога и перечисляли деньги в бюджет, а вкладчик получил доход с депозита за минусом налога.  

Налоговая ставка по доходам со вклада составляла: 35% — для налоговых резидентов и 30% — для нерезидентов. 

Стало:
с 2021 года

в Налоговый кодекс. Как и раньше, платить налог нужно с процентов, которые превышают пороговое значение, но с 2021 года его считают так: 

1 000 000 ₽ × ставку рефинансирования, установленную на 1 января того года, в котором вкладчик получает проценты. Все, что больше этой суммы, облагается НДФЛ 13%.

Налогом облагается общий доход по всем депозитам вкладчика. Если у вкладчика лежит по 700 000 ₽ в трех разных банках — он обязан уплатить налог со всех процентов.


Чтобы рассчитать размер дохода, нужно определить необлагаемую сумму. На 1 января 2021 года ставка рефинансирования составляла 4,25% — это значение будет действовать на протяжении всего 2021 года, даже если Центробанк в течение года несколько раз поменяет ставку. Необлагаемый доход в 2021 году равен: 

1 000 000 × 4,25% = 42 500 ₽

С дохода по вкладу, который превышает эту сумму, необходимо уплатить подоходный налог по ставке 13%. 

Пример: Предположим, что Лиза из нашего примера положила в банк 3 000 000 ₽ под 5% годовых. Ее доход со вклада за 2021 год составит: 3 000 000 × 5% = 150 000 ₽. Из полученного дохода нужно вычесть необлагаемую сумму — выше мы рассчитали, что в 2021 году необлагаемая сумма составляет 42 500 ₽. Остается узнать, с какой суммы Лиза должна уплатить налог и его сумму.

150 000  — 42 500 = 107 500 ₽ облагаются НДФЛ 13%

107 500 х 13% = 13 975 ₽ обязана уплатить Лиза.

Ставка в размере 4,25% действует только на 2021 год. В апреле 2021 года Центробанк поднял ключевую ставку до 5%. Если на начало 2022 года она не изменится, то необлагаемый доход составит: 1 000 000 × 5% = 50 000 ₽.

По валютным вкладам доход нужно пересчитать в рублях по курсу ЦБ на день фактического получения дохода.


При расчете суммы НДФЛ по валютным вкладам не учитывают изменения дохода из-за колебаний курса.

Пример: По итогам 2021 года вкладчик получил доход с банковского депозита в размере 1000 $. Доход был начислен 25 января 2022 года, в этот день курс доллара составляет, например, 75 ₽. Налоговики исчисляют подоходный налог после 1 февраля.

Что изменится в налогообложении процентов от облигаций

Как было до 2021 года. От налога были освобождены купоны по многим облигациям: ОФЗ, субфедеральным, государственным облигациям Республики Беларусь. Еще освобождены рублевые корпоративные облигации, выпущенные в 2021 году и позднее и торговавшиеся на бирже, если ставка купона не превышала ставку ЦБ плюс 5 процентных пунктов.

Если ставка купона корпоративных облигаций превышала ставку ЦБ  5 п. п., то с превышения удерживался налог: для резидентов по ставке 35%, для нерезидентов — 30%.

От количества облигаций у инвестора тоже ничего не зависит: даже если у вас куплена всего одна облигация на 1000 Р, с купонов, полученных с 1 января 2021 года, удержат 13%.

Налогом облагается весь купон. Исключений по типу эмитента, ставке купона или размеру полученного дохода нет.

Как и в случае с вкладами, все вступило в силу с 1 января 2021 года. То есть новые правила не касаются купонов по облигациям, полученных до 31 декабря 2020 года.

Налог с купонов удержит брокер, как это происходило и ранее. Самостоятельно считать и платить налог не придется.

То, как будет у вас, зависит от брокера и от того, поступают купоны на ИИС или на внешний счет. Уточните это у вашего брокера, если хотите сэкономить на налогообложении купонов через ИИС с вычетом на доход.

Вкладчик положил в банк 1000 рублей по 20% годовых. какая сумма будет у него на счету через 2 – школьные

1000×20%=200 прибыль за 1 год

1000 200=1200 доход за 1 год

1200×20%=240 прибыль за 2 год

1200 240=1440 сумма за два года

Ежедневная капитализация

Рассчитать доход за каждый день действия вклада поможет следующая формула:

где

Дв — сумма на конец срока, включая сумму открытия и начисленный процент, Р — первоначальный размер депозита,N — годовая процентная ставка, разделенная на 100,К — количество дней в году — 365 или 366,Т — срок вложения в днях.

Если клиент внес 350 000 руб. под 4,7% на 9 месяцев или 273 дня, в конце срока он получит:

Возвести число в большую степень можно на инженерном калькуляторе, где есть функция x^y, воспользоваться онлайн-сервисами или калькуляторами на сайтах банков.

Зная Дв, легко вычислить сумму процентов по вкладу за весь период:

Как осуществляется выплата процентов по депозиту?

Помимо системы начисления процентов, в договоре по вкладу всегда прописывается система выплаты процентов, т.е. то, как клиент собственно может реально получить свои проценты и распоряжаться ими. Важно понимать, что периоды начисления и периоды выплаты процентов могут быть совершенно разными: используется ежедневная система начисления процентов (на рынке есть и такие предложения), а выплата осуществляется только раз в квартал.

Порядок начисления и выплаты процентов по вкладу позволяет клиенту распланировать свой доход с размещенных средств: готов ли он ждать получения реальных денег с депозита долго (т.е. у него нет в планах затрат, связанных с этими деньгами), или же он хочет получать их постоянно через короткие промежутки времени.

Существуют следующие варианты периодов выплаты процентов:

Чем меньше срок выплаты, тем ниже сама процентная ставка.

Капитализацию следует рассматривать отдельно, т.к. в этом случае выплата процентов вообще не осуществляется: все проценты прибавляются к основной сумме вклада.

Получить свои проценты можно на свою банковскую карту, которая привязана к депозиту, или же на свой счет в банке. Есть предложения с выплатой процентов на пенсионную карту клиента.

Стоит также помнить, что после выплаты процентов обязательно надо заплатить налоги.

Как уплатить налог

Лиза положила деньги в банк, который начисляет ей проценты с депозита. А налог с дохода взимают налоговики. Получается, что в такой ситуации задействовано три стороны: банк, налоговая служба и вкладчик (Лиза). Разберем, чем занимается каждая сторона.

Банки начисляют вкладчику проценты по договору депозита и выплачивают без удержания налога. С 2022 года банки обязаны подавать в инспекцию ФНС сведения о выплаченных процентах. Эти сведения банки подают до 1 февраля. Таким образом, если человек открыл несколько мелких вкладов в разных банках, то сведения обо всех суммах полученного дохода подадут к налоговикам.

Налоговый инспектор суммирует доходы, которые получил вкладчик по депозитам. Если доход превысит необлагаемый порог — инспектор рассчитает размер НДФЛ и отправит вкладчику налоговое уведомление до 1 ноября. 

Если вкладчик зарегистрирован на сайте ФНС — он получит уведомление в личном кабинете налогоплательщика. Остальным вкладчикам налоговики вышлют заказное письмо по почте. 

Вкладчик обязан уплатить налог по банковским вкладам до 1 декабря года, следующего за годом получения дохода. Налог за 2021 год нужно уплатить не позднее 1 декабря 2022 года. 

Читайте также:  Задачи

Уплатить деньги можно в отделении банка, через платежный терминал, личный кабинет на сайте банка, личный кабинет на сайте налоговой или сервис ФНС «Заплати налоги». Пока на сайте налоговых служб нужные для оплаты вкладки отсутствуют. Скорее всего, они появятся в начале 2022 года.

Какие вклады не облагаются налогом

  • Рублевый счет, по которому на остаток банк начисляет менее 1% годовых.
  • Проценты, начисленные по счету эскроу — банковский счет, который открывается на время оформления какой-либо сделки. Такие счета обычно открывают покупатели недвижимости.

Какой налог придется заплатить, если положить на депозит разные суммы

Рассмотрим разные сценарии.

Пример 1 — Лиза положила всю сумму в один банк под 4,5% годовых. Например, Лиза вносит деньги 1 января 2021 года и через год получает доход по депозиту: 

3 000 000 × 4,5% = 135 000 ₽

До 1 февраля 2022 года банк передает в ФНС информацию о начисленных процентах. Из дохода налоговики вычитают сумму, необлагаемую налогом, и рассчитывают НДФЛ: 

(135 000 — 42 500) × 13% = 12 025 ₽ необходимо уплатить Лизе до 1 декабря 2022 года. 

Если Лиза опоздает с уплатой налога, за каждый день просрочки начисляют пеню. Размер пени рассчитывается по формуле:

Сумма задолженности × действующую ставку рефинансирования × 1/300

На 17 мая 2021 года ставка рефинансирования составляет 5%. Если она не изменится до декабря 2022 года, то за каждый день просрочки Лиза заплатит:

12 025 ₽ (сумма НДФЛ) × 5% (ставка рефинансирования) × 1/300 = 2 ₽ за каждый день просрочки.  

Пример 2 — Лиза положила всю сумму в разные банки. 

Расчет дохода для исчисления налога за 2021 год

Лиза получает разный процент в разных банках, поэтому меняется сумма полученного дохода. В остальном механизм действия остается аналогичным предыдущему примеру:

  • банки передают в ФНС сведения о начисленных процентах;
  • налоговики суммируют доход; 
  • налоговики исчисляют налогооблагаемую сумму: 145 100 — 42 500 = 102 600 ₽;
  • до 1 декабря 2022 года Лиза уплачивает налог: 102 600 х 13% = 13 338 ₽.

Пример 3 — Лиза положила в банк 950 000 ₽ под 5% годовых,
а остальные деньги — лежат дома.Поскольку вклад меньше 1 000 000 ₽, рассчитаем, придется ли Лизе платить налог с дохода по банковскому вкладу.

  • За 2021 год банк начисляет доход по вкладу: 950 000 х 5% = 47 500 ₽.
  • Налоговики рассчитывают облагаемый доход: 47 500 — 42 500 = 5000 ₽.
  • Лизе уплачивает налог: 5000 х 13% = 650 ₽.

Оставшиеся деньги — 2 000 050 ₽ — год лежат дома и дохода не приносят. Поэтому с этой суммы налог платить не нужно. 

Пример 4 — Лиза положила в банк 1 000 000 ₽ под 3,8%. За год доход по вкладу составляет 38 000 ₽ — это меньше необлагаемого минимума в размере 42 500 ₽, поэтому налог не начисляется.

Калькулятор сложных процентов для вклада

Расчет сложных процентов: Пример 3.Рассмотрим 2 варианта:1. Простой процент. Вы инвестировали 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Всю прибыль вы снимаете.2. Сложный процент. Вы инвестировали 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Каждый год проценты прибыли прибавляются к основной сумме.

Начальная сумма: 50 000 рублей
Процентная ставка: 20% годовых
Простой процентСложный процент
СуммаПрибыль
за год
СуммаПрибыль
за год
Через 1 год60 000р.10 000р.60 000р.10 000р.
Через 2 года70 000р.10 000р.72 000р.12 000р.
Через 3 года80 000р.10 000р.86 400р.14 400р.
Через 4 года90 000р.10 000р.103 680р.17 280р.
Через 5 лет100 000р.10 000р.124 416р.20 736р.
Через 6 лет110 000р.10 000р.149 299р.24 883р.
Через 7 лет120 000р.10 000р.179 159р.29 860р.
Через 8 лет130 000р.10 000р.214 991р.35 832р.
Через 9 лет140 000р.10 000р.257 989р.42 998р.
Через 10 лет150 000р.10 000р.309 587р.51 598р.
Через 11 лет160 000р.10 000р.371 504р.61 917р.
Через 12 лет170 000р.10 000р.445 805р.74 301р.
Через 13 лет180 000р.10 000р.534 966р.89 161р.
Через 14 лет190 000р.10 000р.641 959р.106 993р.
Через 15 лет200 000р.10 000р.770 351р.128 392р.
Суммарная прибыль:150 000р.720 351р.

Подходы к решению задач про вклады и кредиты

На ЕГЭ по математике в 11 классе 17 задание вызывает у учащихся затруднения при решении. Поэтому необходимо готовить их к решению подобных задач: уметь решать задачи на проценты, строить математическую модель (составлять по условию задачи уравнение или неравенство) и исследовать ее, знать и понимать теоретическую часть.

При решении задач на проценты, важно понимать:

1) как перевести проценты в дробь, например:

14% – это 0,14

r % – это 0,01*r =  0,01r.

Иногда удобно записывать проценты в виде обыкновенных дробей:

14% –  это 14/100

 r % – это   r/100

2)если число увеличивается на 15%, значит оно увеличивается в   1 0,15 = 1,15 (раз).

Или рассуждаем по-другому: было – 100%, стало — 115%.       115% : 100% =1,15 (раз).

Если число увеличивается на r %, значит оно увеличивается в (1 0,01r ) раз.

Теоретическая часть про вклады.

Вклад — это  денежная сумма, которую банк принимает от вкладчика, в целях хранения данных средств и начисления на них процентов (дохода от вклада). Доход по вкладу выплачивается в денежной форме в виде процентов.

Начисление процентов может производиться следующим образом:

  • ежемесячно – проценты прибыли прибавляются к основному вкладу каждый месяц.
  • к концу срока – проценты прибыли присоединятся к основной сумме вклада в конце срока вклада.
  • в иной срок, например, ежеквартально (проценты начисляются каждые 3 месяца), либо каждые полгода, либо еженедельно.

Если человек открыл вклад в банке в сумме А рублей под r % на определенный период времени, то  по окончании срока  его сумма увеличится на r% или в (1 0,01r) раз и будет равна А*(1 0,01r ) рублей .

Капитализация процентов по вкладам представляет собой ежемесячное или ежеквартальное причисление процентов на банковский счёт. Таким образом, в следующем периоде проценты будут начисляться уже на большую сумму, что увеличит итоговую прибыль. В народе это называют “проценты на проценты”, в финансах – “сложные проценты”. Другими словами, капитализация процентов – это процесс, при котором доход по вкладу начисляется частями на протяжении времени хранения денег в банке. Если  человек положил А рублей в банк с учетом капитализации процентов  под r % годовых, то каждый месяц ему  по вкладу начисляется r%/12

Формула, по которой рассчитывается сумма вклада с учетом  капитализации процентов  под  r % годовых:  

Финансовая математика. Финансовая статистика |

C – сумма вклада с учетом  капитализации процентов.

A – первоначальная сумма.

n – время хранения денег в банке ( количество месяцев).

Теоретическая часть про кредиты.

Потребительский кредит (заем) – денежные средства, предоставленные кредитором заемщику на основании кредитного договора, договора займа.

Заемщик – физическое лицо, обратившееся к кредитору с намерением получить потребительский кредит (заем).

Тело кредита – это сама сумма кредита, без учета процентов.

Взяли, например, 100 000 рублей – это тело, на него начисляются проценты.

Аннуитентный способ погашения кредита является более распространенным для большинства пользовательских кредитов. При нем рассчитывается полная стоимость займа помимо одноразовых комиссий. Вся сумма делится на определенный срок кредитования. Этот способ выгодный тем, что не составляет особых хлопот. Заемщик точно знает и помнит сумму ежемесячного платежа.Каждый месяц заемщик вносит на банковский счет одинаковую сумму в течение всего срока действия договора.

Рассмотрим, как рассчитать платежи на основе аннуитетной схемы.

Пусть К рублей – предоставленный кредит (тело кредита),

 nчисло месяцев  выплаты основного долга,

r %годовая процентная ставка.

Найдем общую сумму платежа (погашение кредита) для нашего случая.

Обозначим эту сумму через Х. Она складывается из ежегодных равных выплат х. Тогда Х = n * x.

Ежегодно остаток долга увеличивается на r % , то есть увеличивается в (1 0,01r ) раз. Пусть  1 0,01r = S.

Через 1 год после получения кредита долг клиента К * Sрублей.

Заемщик выплатил банку x рублей. Его долг  К1 =К * S —x (рублей), который через год опять увеличивается в S  раз.

После второй выплаты сумма долга  К2 = К1* S —x =  (К * S —x)*S x  = К * S *xx=К * – ( 1) * х  (рублей).

После третьей выплаты сумма долга  равна

К3 = К2* S —x =  ( К1 * S —x) * S x  =К1* – ( 1)x(К * S —x)* – ( 1)x =  К* S³–  x* S²  – ( 1)x=  К* S³–  ( S²   1)*x.

Выражение в скобках — сумма трех членов геометрической прогрессии,  первый член которой равен 1, а знаменатель –  S

Финансовая математика. Финансовая статистика |

Если кредит был выдан на n лет, то  остаток через n лет равен нулю. Кn = 0. Значит, уменьшаемое и вычитаемое равны:

Финансовая математика. Финансовая статистика |

Полная выплата по кредиту составляет Х = х * n:

Финансовая математика. Финансовая статистика |

Это равенство позволяет  любую величину выразить через другие.

Дифференцированный (или  регрессивный) способ погашения кредита предусматривает уменьшение ежемесячного взноса. Сначала клиент платит большие взносы по кредиту, а  затем  с каждым разом сумма платежа уменьшается.

Платеж = фиксированная часть проценты.

В данном случае фиксированная часть – погашение тела займа.

Рассмотрим, как рассчитать платежи на основе дифференцированной схемы.

Пусть К – предоставленный кредит (тело кредита),

n –число месяцев  выплаты основного долга,

r % – годовая процентная ставка,

p % — месячная процентная ставка.

Читайте также:  Инвестиции в недвижимость через фонды (ЗПИФ): интервью

Тогда p % = r % :12. 

Найдем общую сумму платежа (погашение кредита) для нашего случая.

Обозначим эту сумму через Х. Она складывается из ежемесячных выплат.

Финансовая математика. Финансовая статистика |

Финансовая математика. Финансовая статистика |

Это и будет общая сумма платежа (погашение кредита) при дифференцированном (или  регрессивном) способе погашения кредита.

Задачи про вклады.

Задача 1

Марина поместила 600 000 рублей в банк на 4 месяца под 12% годовых с учетом капитализации процентов, то есть по истечении каждого месяца к ее вкладу добавляются деньги, начисленные в качестве процентов. Какая сумма будет на счете Марины через 4 месяца? Ответ округлите до целого количества рублей.

Решение.

Если банк применяет ставку по вкладу с учетом  капитализации процентов, то каждый месяц банк увеличивает сумму на счету вкладчика на  12% :12=1%, то есть увеличивает в 1,01 раз.

Месяц

Вклад (тыс. руб)

1

600*1,01

2

(600*1,01)*1,01

3

(600*1,01*1,01)*1,01

4

(600*1,01*1,01*1,01)*1,01

600*(1,01)3*1,01 = 600*1,04060401 = 624,362406(тыс. руб) = 624 362,406 руб.

Ответ: 624 362 рублей.

Задача 2.

Николай положил в банк 50 000 рублей под 10% годовых. В конце каждого года банк начисляет 10% годовых, то есть увеличивает вклад на 10%. Сколько денег окажется на вкладе через 3 года?

Решение.

 В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10%, то есть увеличивает в 1,1 раз.

Год

Вклад (тыс. руб)

1

50*1,1

2

50*1,1*1,1

3

50*1,1*1,1*1,1

50*(1,1)3 = 50*1,331 = 66,55(тыс. руб) = 66 550 руб.

Ответ:  66 550 рублей.

Задача 3

Первый банк предлагает открыть вклад с процентной ставкой 10%, а второй – 11%. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Клиент сделал одинаковые вклады в оба банка. Через два года второй банк уменьшил процентную ставку по вкладу с 11% до Р%. Еще через год клиент закрыл оба вклада и оказалось, что второй банк принес ему больший доход, чем первый. Найдите наименьшее целое Р, при котором это возможно.

Решение.

 В конце каждого года 1 банк увеличивает вклад на 10%, то есть увеличивает в 1,1 раз. Второй банк сначала увеличивал вклад на 11%, то есть увеличивает в 1,11раз, а потом на Р%, то есть увеличивает в (1 Р*0,01) раз. 

Год

Вклад в 1 банке

Доход в 1 банке

Вклад во 2 банке

Доход во 2 банке

1

S*1,1

S*1,11

2

S*1,1*1,1

S*1,11*1,11=S*1,2321

3

S*1,1*1,1*1,1=S*1,331

1,331S – S= = 0,331S

(S*1,2321)(1 Р*0,01)=

= 1,2321S 0,012321РS

1,2321S 0,012321РS -S= = 0,2321S 0,012321РS

 По условию задачи второй банк принес клиенту  больший доход, чем первый. Получаем неравенство:

0,2321S 0,012321РS > 0,331S.

Поделим обе части неравенств на S :

0,2321 0,012321Р > 0,331.

0,012321Р > 0,331 – 0,2321

0,012321Р > 0,0989

Р > 0,0989 : 0,012321

Р > 8,02… . По условию задачи Р- наименьшее целое число, поэтому P = 9.

Ответ: 9%.

Задача 4

1 мая 2005 года Марина положила 10 000 000 рублей в банк сроком на 1 год с ежемесячным начислением процентов и капитализацией под а процентов годовых. Первого числа каждого месяца сумма вклада увеличивается на одно и то же количество процентов. Найдите а, если известно, что через 6 месяцев  сумма вклада Марины составит 10 400 000 рублей, а через  12 месяцев сумма вклада увеличится ровно на а %.

Решение.

В конце года  банк увеличивает вклад на а%, то есть увеличивает его  в (1 0,01а) раз. Через месяц  сумма вклада увеличивается на (а :12)% .

Финансовая математика. Финансовая статистика |

Финансовая математика. Финансовая статистика |

Ответ: 8,16 %.

Задачи про кредиты.

Задача 1

Клиент взял в банке кредит 60 000 рублей на год под 12% . Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, чтобы через год выплатить  всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в  банк ежемесячно?

Решение.

Аннуитентный способ погашения кредита.

Клиент взял в банке кредит 60 000 рублей на год под 12% , значит,   он за год  должен вернуть  сумму, взятую в кредит вместе с процентами, в количестве 60 000*1,12 = 67 200(руб). Погашая  кредит, клиент вносит в банк ежемесячно одинаковую сумму денег:

67 200 : 12 = 5 600 (руб).

Ответ:  5 600 рублей.

Задача 2

Клиент 15 января 2021 года взял в банке кредит 1 500 000 рублей. План расчета по кредиту: 15 числа каждого следующего месяца банк начисляет 0,5% на оставшуюся сумму долга, затем клиент переводит в банк платеж.  На какое минимальное количество месяцев клиент может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300000 рублей?

Решение.

Дифференцированный  способ погашения кредита.

Первый процентный платеж составляет  0,005 от суммы долга: 1,5*0,0075 = 0,0075 (млн. руб) 

Финансовая математика. Финансовая статистика |

 Первая выплата была наибольшей. По условию задачи ежемесячные выплаты должны быть не более  300 000 рублей = 0,3 млн рублей. Получаем неравенство:   

Финансовая математика. Финансовая статистика |

0,3n – 0,0075n  ≥ 1,5;

0,2925n ≥ 1,5,  

n ≥ 1,5 : 0,2925,

n ≥ 15 000 : 2925, 

n ≥  5,128…

Так как n – целое число, то  минимальное количество месяцев, на которое  клиент может взять кредит, будет 6 месяцев.

Ответ: 6 месяцев.

Задача 3

15 февраля 2021 года Олег взял в банке 2150000 рублей в кредит под 15% годовых. 15 февраля каждого года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Олег переводит в банк платеж в х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Олег выплатил долг двумя равными платежами?

Решение.

Аннуитентный способ погашения кредита.

Олег взял в банке 2 150 000 рублей в кредит под 15% годовых, значит, 15 февраля 2021 года и 15 февраля 2021 года его долг увеличится в 1,15 раз.

Год

Долг (руб)

Платеж (руб)

2021

2 150 000*1,15 = 2 472 500

х

2021

(2 472 500 – х)*1,15 = 2 843 375 — 1,15х

х

В 2021 году суммы долга и платеж равны, получаем уравнение: 2 843 375 – 1,15х = х

2,15х =  2 843 375,  х =2 843 375 : 2,15, х = 1322500. Значит, чтобы Олег выплатил долг двумя равными платежами, сумма платежа должна составлять 1 322 500 рублей.

Ответ: 1 322 500 рублей.

Задача 4

В июле планируется взять в банке  кредит на сумму 36 млн рублей на некоторый срок (целое количество лет). Условия его возврата таковы:

  • в январе долг возрастает на 10 процентов по сравнению с концом предыдущего года;
  • с февраля по июнь надо выплатить часть долга;
  • в июле долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга  на июль прошлого года.

На сколько лет был взят кредит, если общая сумма выплат составила 54 млн рублей.

Решение.

Дифференцированный  способ погашения кредита.

Пусть кредит взят на n лет.  Тогда долг 36 млн. рублей делится на n равных частей, получаем сумму, которую надо  выплачивать ежегодно. Процентный платеж составляет 10% долга, то есть долг увеличивается ежегодно в 1,1 раза.

Финансовая математика. Финансовая статистика |

Найдем процентные  платежи за n лет:

Финансовая математика. Финансовая статистика |

Получаем уравнение

1,8(n – 1) = 18.
n – 1 = 10,
n = 11.

Ответ: 11 лет. 

              Задача 5

В июле планируется взять в банке  кредит на сумму 12 млн рублей на  срок 10 лет. Условия его возврата таковы:

  • в январе долг возрастает на а процентов по сравнению с концом предыдущего года;
  • с февраля по июнь надо выплатить часть долга;
  • в июле долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга  на июль прошлого года.

Найдите а, если известно, что наибольший годовой платеж составит не более 3,38 млн рублей, а наименьший — на менее 1,464 млн рублей.

Решение.

Кредит взят на 10 лет.  Тогда долг  делится на 10 равных частей, т е 12 : 10=1,2 (млн руб.). Получили сумму, которую надо  выплачивать ежегодно. Процентный платеж составляет а% долга, то есть долг увеличивается в (1 0,01а) раз. а% – это а*0,01=0,01а.

Год

Долг (млн руб) на январь

Выплата долга (млн руб)

Процентный платеж (млн руб)

Ежегодный платеж (млн руб)

1

12*(1 0,01а)

12:10 = 1,2

12*0,01а = 0,12а

1,2 0,12а = 0,12*(10 а)

10

1,2*(1 0,01а)

1,2

0,012а

1,2*(1 0,01а)

Наибольший годовой платеж (первый платеж) составит не более 3,84 млн рублей, а наименьший (последний платеж) — на менее 1, 464 млн рублей.

Получаем систему неравенств:

Финансовая математика. Финансовая статистика |

Решим каждое неравенство :

0,12*(10 а) ≤ 3,84                 1,2*(1 0,01а) ≥ 1,464

1,2 0,12а  ≤ 3,84                   1,2 0,012а ≥ 1,464

0,12а ≤ 3,84 — 1,2                   0,012а ≥ 1,464 -1,2

0,12а ≤ 2,64                              0,012а ≥ 0,264

а ≤ 2,64 : 0,12                           а ≥ 0,264 : 0,012

а ≤ 264 : 12                               а ≥ 264 : 12

а ≤ 22.                                       а ≥ 22.

Имеем     22  ≤  а  ≤  22 .

Значит, а = 22.  Кредит взят под 22% годовых.

Ответ: 22%.

Литература.

Математика. ЕГЭ. Алгебра: задания с развернутым ответом: учебно – методическое пособие/ Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2021.

Помогите прошу олег иванович положил в банк 150 000 рублей под 10% годовых ( к сумме вклада, – школьные

Ответ:

По=150000,р=10%,n=3

А³=150000•(1 10/100)³=150000•1,1³=150000•1,33=199500(руб)

В-дь:199500рублей.

Посчитайте за меня

Если примеры расчетов кажутся сложными, посчитайте, сколько налога придется платить, с помощью нашей эксельки.

Скопируйте ее себе через «Файл» ➝ «Создать копию» и введите нужные цифры:

Предлагаемые финансовые продукты

Своим клиентам «Сбербанк» предлагает большой выбор вкладов с различными условиями. Вы можете выбрать финансовые продукты с возможностью:

  • частичного пополнения. В этом случае вы регулярно сможете вносить средства, увеличивая доходность по вкладу;
  • частичного снятия. Вы в любой момент сможете забрать часть средств, не закрывая вклад;
  • управления через онлайн-банкинг. Вы сможете проводить все операции со счетом через интернет, используя официальный сайт или специальные мобильные приложения.

Выбирая вклад с ежемесячной выплатой процентов, вы сможете указать куда нужно направлять полученную доходность. Прибыль может оставаться на том же счете или выводиться на другой, либо сразу перечисляться на карту клиента.

Срочный вклад можно закрыть без потери процентов только при истечении срока хранения. В противном случае доходность по всем месяцам будет рассчитываться по ставке в 0,01%. Исключением становятся вклады с возможностью льготного досрочного закрытия.

Читайте также:  Вклады в банках Москвы — лучшие вклады с высоким процентом, ставки и условия на 2021 – 2022 год

Вы можете использовать наш калькулятор для расчета доходности и подбора подходящего финансового продукта. Просто укажите желаемую сумму зачисления и срок. Наш сервис покажет подходящие финансовые продукты с предполагаемой общей доходностью и ежемесячными начислениями.

Простой расчет сложных процентов

Чтобы лучше усвоить расчет сложных процентов, давайте разберём пример.Представим, что вы положили 10 000 руб в банк под 10 процентов годовых.Через год на вашем банковском счету будет лежать сумма SUM = 10000 10000*10% = 11 000 руб.

Прибыль за первый год (1000 рублей) прибавилась к основной сумме (10000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее.

Решите задачу на проценты: банк выплачивает 10% годовых. какая сумма будет на счету через два – школьные

Решу егэ

Решение.

1) Табличный вариант решения:

Годы хранения
вклада
Динамика роста (падения) суммы вкладов
СашаПаша
04.12.1450 00050 000
К 04.12.1550 000 · 1,1 = 55 00050 000 · 1,1 = 55 000
04.12.1555 000 · 0,9 = 49 50055 000 · 0,8 = 44 000
К 04.12.1649 500 · 1,1 = 54 45044 000 · 1,1 = 48 400
04.12.1654 450 − 20 000 = 34 45048 400 − 15 000 = 33 400
К 04.12.1734450 · 1,1=3789533400 · 1,1=36740
Ответ на главный вопрос задачи37 895 – 36 740 = 1 155

2) Вариант решения с помощью выражения:

Delta = левая круглая скобка 50000 умножить на 1,1 умножить на 0,9 умножить на 1,1 минус 20000 правая круглая скобка 1,1 минус левая круглая скобка 50000 умножить на 1,1 умножить на 0,8 умножить на 1,1 минус 15000 правая круглая скобка умножить на 1,1=

=1,1 умножить на (50000 умножить на 1,21 умножить на 0,9 минус 20000 минус 50000 умножить на 1,21 умножить на 0,8 плюс 15000)==1,1 умножить на (50000 умножить на 1,21 умножить на 0,9 минус 50000 умножить на 1,21 умножить на 0,8 минус 5000)=1,1 умножить на (50000 умножить на 1,21 умножить на (0,9 минус 0,8) минус 5000)==1,1 умножить на (5000 умножить на 1,21 минус 5000)=1,1 умножить на 5000 умножить на (1,21 минус 1)=11 умножить на 500 умножить на 0,21=105 умножить на 11=1155.

3) Если бы ни Саша, ни Паша не снимали со счетов… их вклады выросли бы за 3 года до 50000 · 1,331 = 1331 · 100 : 2 = 133100 : 2 = 66550 (р).

Что помешало Саше?

50000 · 1,1 · 0,1 = 5000 · 1,1 = 5500 р., что он снял со счета 04.12.15 привело к уменьшению ожидаемой суммы, включая процентные начисления в течение 2 лет! А этот поступок Саши исчисляется суммой 5500 · 1,21 = 5500 · 121 = 1331 · 5 = 13310 : 2 = 6655 (р).

Те 20 000 р., которые он снял 04.12.16, привело к уменьшению ожидаемой суммы на 20 000 · 1,1 = 22 000 (р.). Итого: 28 655 р.

В конечном итоге ему причиталось 66 550 − 28 655=37895 (р.)

Что помешало Паше?

50 000 · 1,1 · 0,2 = 10 000 · 1,1 = 11000 р., что он снял со счета 04.12.15, привело к уменьшению ожидаемой суммы, включая процентные начисления в течение 2 лет! А это исчисляется суммой 11 000 · 1,21 = 1,1 · 1,21 · 10 000 = 1,331 · 10 000 = 13 310 (р).

15 000 р., которые он снял в конце 04.12.16, привело к уменьшению ожидаемой суммы на 15000 умножить на 1,1=16500(р.). Итого: 29 810 р.

В окончательный расчет на руки Паше выдали: 66 550 − 29 810 = 36 740 (р.)

Саша получил на 1 155 р. больше, чем Паша (37895 − 36740).

Ответ: у Саши, на 1155 рублей.

Ответ: у Саши, на 1155 рублей.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 115.

§

Ре­ше­ние.

Ариф­ме­ти­че­ский под­ход к ре­ше­нию.

1. 3600 · 1,485 = 5346 тыс. руб. — раз­мер вкла­да к концу тре­тье­го года хра­не­ния.

2. 3600 · 1,1 · 1,1 · 1,1 = 4791,6 тыс. руб. — раз­мер вкла­да к концу тре­тье­го года хра­не­ния, за­ви­ся­ще­го от пер­во­на­чаль­но вне­сен­ной суммы.

3. 5346 − 4791,6 = 554,4 тыс. руб. со­став­ля­ют еже­год­ные до­пол­ни­тель­но вне­сен­ные вкла­ды, вклю­чая на­чис­лен­ные про­цент­ные над­бав­ки.

4. Пусть одну часть из суммы 554,4 тыс. руб. со­став­ля­ет до­пол­ни­тель­но вне­сен­ная сумма в тре­тий год хра­не­ния вкла­да вме­сте с про­цент­ной над­бав­кой, на­чис­лен­ной на ту же сумму. Тогда 1,1 часть со­ста­вит раз­мер до­пол­ни­тель­но вне­сен­ной суммы во вто­рой год хра­не­ния вкла­да с уче­том про­цент­ной над­бав­ки, на­чис­лен­ной два­жды (два года под­ряд).

5. Всего 1 1,1 = 2,1 (части).

6. 554,4 : 2.1 = 264 тыс. руб. — доля одной части от 554, 4 т. р. вме­сте с еже­год­ной про­цент­ной над­бав­кой.

7. 264 : 1,1 = 240 тыс. руб. — сумма, еже­год­но до­бав­лен­ная к вкла­ду.

Ал­геб­ра­и­че­ский под­ход к ре­ше­нию.

Пусть Вла­ди­мир еже­год­но вно­сил на счет x тыс. руб.

К концу пер­во­го года хра­не­ния раз­мер вкла­да стал 3600 · 1,1 = 3960 тыс. руб.

Вла­ди­мир до­пол­ни­тель­но внес x р. Раз­мер вкла­да стал 3960 x тыс. руб.

К концу вто­ро­го года хра­не­ния раз­мер вкла­да стал (3960 x) · 1,1 = 4356 1,1x тыс. руб.

Вла­ди­мир вновь сде­лал до­пол­ни­тель­ный взнос x тыс. руб.

Раз­мер вкла­да стал 4356 1,1x x = 4356 2,1x тыс. руб.

К концу года были на­чис­ле­ны про­цен­ты на сумму 4356 2,1x тыс. руб.

Раз­мер вкла­да стал (4356 2,1x) · 1,1 = 4791,6 2,31x тыс. руб., ко­то­рый равен 3600 · 1,485 =5346 тыс. руб.

Таким об­ра­зом, со­ста­вим и решим урав­не­ние: 4791,6 2,31x = 5346 ⇔ 2,31x = 554,4 ⇔ x = 240.

Ответ: 240 тыс. руб­лей.

Ответ: 240 тыс. руб­лей.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 120.

§

Баба Валя, на­ко­пив часть своей пен­сии, ре­ши­ла улуч­шить свое ма­те­ри­аль­ное по­ло­же­ние. Она узна­ла, что в Спёрбан­ке от пен­си­о­не­ров при­ни­ма­ют вкла­ды под опре­де­лен­ный про­цент го­до­вых и на этих усло­ви­ях внес­ла свои сбе­ре­же­ния в бли­жай­шее от­де­ле­ние Спёрбан­ка. Но через не­ко­то­рое время со­сед­ка ей рас­ска­за­ла, что не­да­ле­ко от той мест­но­сти, где про­жи­ва­ют пен­си­о­не­ры, есть ком­мер­че­ский банк, в ко­то­ром про­цент го­до­вых для пен­си­о­не­ров-вклад­чи­ков в 20 раз выше, чем в Спёрбан­ке. Баба Валя не до­ве­ря­ла ком­мер­че­ским бан­кам, но стрем­ле­ние улуч­шить свое ма­те­ри­аль­ное по­ло­же­ние взяло верх. После дол­гих ко­ле­ба­ний и ровно через год после от­кры­тия счета в Спёрбан­ке Баба Валя сняла по­ло­ви­ну об­ра­зо­вав­шей­ся суммы от ее вкла­да, за­явив: «Такой навар меня не устра­и­ва­ет!» и от­кры­ла счет в том ком­мер­че­ском банке, о ко­то­ром го­во­ри­ла ее со­сед­ка, не теряя на­деж­ды на зна­чи­тель­ное улуч­ше­ние сво­е­го ма­те­ри­аль­но­го бла­го­со­сто­я­ния.

На­деж­ды оправ­да­лись: через год сумма Бабы Вали в ком­мер­че­ском банке пре­вы­си­ла ее пер­во­на­чаль­ные кров­ные сбе­ре­же­ния на 65%. Со­жа­ле­ла Баба Валя, что год назад в Спёрбан­ке сняла не всю сумму, а лишь по­ло­ви­ну, од­на­ко, по­ду­ма­ла: «А где же мы не те­ря­ли?..» Ген­ди­рек­тор ком­мер­че­ско­го банка ока­зал­ся хо­ро­шим: не оста­вил Бабу Валю без денег.

А каков в Спёрбан­ке про­цент го­до­вых для пен­си­о­не­ров?

Финансовая математика. финансовая статистика |

Пусть

PV – первоначальная сумма вклада

r1- процентная ставка в 2021 г.

r2- процентная ставка в 2021 г.

r3- процентная ставка в 2021 г.

FV – сумма вклада в конце срока

Решение:
r1 равна 90% от ставки рефинансирования Банка России в 2021 г., т.е. 90% от 12%, что равно 90% * 12% = 0.9 * 0.12 = 0.108 = 10.8%.

r2 равна 80% от ставки рефинансирования Банка России в 2021 г., т.е. 80% от 9%, что равно 80% * 9% = 0,8 * 0,09 = 0,072 = 7.2%.

r3 равна 70% от ставки рефинансирования Банка России в 2021 г., т.е. 70% от 8%, что равно 70% * 8% = 0,7 * 0,08 = 0,056 = 5.6%.

Так как проценты являются простыми, то сумма вклада в конце срока (в конце 2021 г.) равна:

FV = PV PV * r1 (сумма начисленных процентов за 2021 год) PV * r2 (сумма начисленных процентов за 2021 год) PV * r3 (сумма начисленных процентов за 2021 год) = > FV = pv * (1 r1 r2 r3) = > первоначальный вклад

PV=FV/(1 r1 r2 r3) = 37080/(1 10.8% 7.2% 5.6% ) = 37080/(1 0.108 0.072 0.056) = 37080 / 1.236 = 30000 руб.

Этот эффект и получил название сложный процент.

Когда вся прибыль прибавляется к основной сумме и в дальнейшем уже сама производит новую прибыль.

Формула сложного процента:

SUM = X * (1 %)n

гдеSUM — конечная сумма;X — начальная сумма;% — процентная ставка, процентов годовых /100;n — количество периодов, лет (месяцев, кварталов).

Расчет сложных процентов: Пример 1.Вы положили 50 000 руб в банк под 10% годовых на 5 лет. Какая сумма будет у вас через 5 лет? Рассчитаем по формуле сложного процента:

SUM = 50000 * (1 10/100)5 = 80 525, 5 руб.

Сложный процент может использоваться, когда вы открываете срочный вклад в банке. По условиям банковского договора процент может начисляться например ежеквартально, либо ежемесячно.

Расчет сложных процентов: Пример 2.Рассчитаем, какая будет конечная сумма, если вы положили 10 000 руб на 12 месяцев под 10% годовых с ежемесячным начислением процентов.

SUM = 10000 * (1 10/100/12)12 = 11047,13 руб.

Прибыль составила:

ПРИБЫЛЬ = 11047,13 — 10000 = 1047,13 руб

Доходность составила (в процентах годовых):

% = 1047,13 / 10000 = 10,47 %

То есть при ежемесячном начислении процентов доходность оказывается больше, чем при начислении процентов один раз за весь период.

Если вы не снимаете прибыль, тогда начинает работать сложный процент.

Формула сложного процента для банковских вкладов

На самом деле формула сложного процента применительно к банковским вкладам несколько сложнее, чем описана выше. Процентная ставка для вклада (%) рассчитывается так:

% = p * d / y

гдеp — процентная ставка (процентов годовых / 100) по вкладу,например, если ставка 10,5%, то p = 10,5 / 100 = 0,105;d — период (количество дней), по итогам которого происходит капитализация (начисляются проценты),например, если капитализация ежемесячная, то d = 30 днейесли капитализация раз в 3 месяца, то d = 90 дней;y — количество дней в календарном году (365 или 366).

То есть можно рассчитывать процентную ставку для различных периодов вклада.

Формула сложного процента для банковских вкладов выглядит так:

SUM = X * (1 p*d/y)n

При расчете сложных процентов нужно принимать во внимание тот факт, что со временем наращивание денег превращается в лавину. В этом привлекательность сложных процентов. Представьте себе маленький снежный комок размером с кулак, который начал катиться со снежной горы.

Пока комок катится, снег налипает на него со всех сторон и к подножию прилетит огромный снежный камень. Также и со сложным процентом. Поначалу прибавка, создаваемая сложным процентом, почти незаметна. Но через какое-то время она показывает себя во всей красе. Наглядно это можно увидеть на примере ниже.

Расчет сложных процентов: Пример 3.Рассмотрим 2 варианта:1. Простой процент. Вы инвестировали 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Всю прибыль вы снимаете.2. Сложный процент. Вы инвестировали 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Каждый год проценты прибыли прибавляются к основной сумме.

Оцените статью
Adblock
detector