Сложные проценты в Примерах и Как заработать 7000 за 24 года | Stolf

Сложный процент — что это? пример

Предлагаю рассмотреть это на примере. Так будет намного удобнее и доходчивее. Предположим, что вы положили 10 000 рублей в банк на депозитный счет под 10% годовых на 10 лет, без ежемесячных взносов. Через год у вас будет 11 000 рублей. Если прибыль не трогать и оставить на счете, то на следующий год начисления будут производиться от 11 000.

📊 Простыми словами сложный процент — это когда начисляемые проценты прибавляются к телу вклада и учитываются при дальнейшем начислении прибыли.

https://www.youtube.com/watch?v=a78rPw-eYtA

Следует отметить, что наибольшую выгоду они приносят при долгосрочноминвестировании. Лучше всего это можно заметить, сравнив их с простыми. Поэтому предлагаю разобрать два небольших примера.

1. Представим, вы вложили свои деньги — 100 000 рублей на 10 лет под 15% годовых. Дополнительные взносы отсутствуют, а получаемая прибыль выводится.
2. Во втором случае условия те же, но только прибыль теперь не снимается. А прибавляется к основной сумме вклада и участвует в начислении % каждый год.

Все расчеты приведены в таблице для большей наглядности.

Банковские вклады

На протяжении всей статьи происходило сравнение с банковским вкладом. Во-первых, это более наглядный пример. Во-вторых, он более понятен простому человеку.

Работают с банками многие, особенно те которые размещают свои средства на непродолжительный период. Но даже этот срок позволяет существенно улучшить материальное положение вкладчика, если будут использованы депозиты с капитализацией.

Добавление суммы доходов от процента к основной сумме вклада называется капитализацией. В зависимости от условий договора капитализация может происходить ежедневно, ежемесячно, ежеквартально или ежегодно.

Есть ещё одна возможность повысить доходность вложений с использование банковского депозита — с определенной периодичностью вносить дополнительные средства на счёт.

Но, к сожалению, в реальных условиях банковские вклады являются не самым лучшем вариантом по приумножению средств с использованием сложного процента. Очень трудно найти предложения по вкладам с процентной ставкой выше 6 %, а учитывая ожидаемый уровень инфляции в России в районе 3 – 4%, банковские депозиты позволяют в большей степени избежать обесценивания ваших средств, а не увеличивать их.

Кроме того, с 01 января 2021 года вступает в силу закон о налогообложение доходов от вкладов, что также снизит доходность от использования сложного процента при вложении средств в банковские депозиты.

Ниже мы покажем пример более выгодной альтернативы с тем же низким уровнем риска, как и у банков.

Главное о сложном проценте

Выбор инструмента инвестирования будет зависеть от исходной суммы вложений и задач инвестора. При небольшом стартовом капитале и желании минимизировать риски при небольшой доходности стоит выбрать банковский депозит или приобретение облигаций.

Если вы не боитесь рисковать и хотите максимальной отдачи от сложного процента, то стоит попробовать свои силы на фондовом рынке.

При достаточности средств разумным подходом будет инвестировать в различные инструменты: вклады и облигации снизят риск потери средств, а акции дадут высокую доходность.

Не забываете о диверсификации — работайте с инвестиционными портфелями и выбирайте ETF фонды, которые сами реинвестируют ваши дивиденды.

Альберт Эйнштейн говорил:

«Сложный процент — это восьмое чудо света, те кто понимают его — зарабатывают, те кто нет — платят за него».

Сложный процент – это своего рода «волшебная палочка», позволяющая даже скромные сбережения преумножить в разы. Единственное условие – это время. Невозможно стать миллионером за месяц или год. Минимальный срок, когда можно увидеть результат от сложных процентов – около 10 лет. Пользуйтесь опытом профессионалов.

Ежедневная капитализация

Рассчитать доход за каждый день действия вклада поможет следующая формула:

где

Дв — сумма на конец срока, включая сумму открытия и начисленный процент, Р — первоначальный размер депозита,N — годовая процентная ставка, разделенная на 100,К — количество дней в году — 365 или 366,Т — срок вложения в днях.

Если клиент внес 350 000 руб. под 4,7% на 9 месяцев или 273 дня, в конце срока он получит:

Возвести число в большую степень можно на инженерном калькуляторе, где есть функция x^y, воспользоваться онлайн-сервисами или калькуляторами на сайтах банков.

Зная Дв, легко вычислить сумму процентов по вкладу за весь период:

Как заставить сложные проценты работать на вас?

• Дайте себе время. В случае сложных процентов сила времени решает все. Чем раньше вы начнете экономить или инвестировать, тем дольше вы дадите деньгам расти. Вот почему так важно как можно скорее начать инвестировать на пенсию. Чем раньше вы начнете, тем меньше денег вам придется сэкономить. Большую часть ваших пенсионных фондов можно увеличить за счет сложных процентов.
• Выплачивайте долги агрессивно. Сложные проценты работают против вас, когда вы занимаете деньги, будь то студенческие ссуды, кредитные карты или другие формы заимствования. Чем быстрее вы их оплатите, тем меньше вы будете должны со временем.
• Сравните APY. Годовая процентная доходность, или APY, даст вам лучшее представление о том, что вы зарабатываете или с чего будете взимать проценты. Это потому, что APY учитывает сложные проценты, а APR — простую процентную ставку.
• Проверьте скорость начисления процентов. Чем чаще на счету начисляются проценты, тем больше вы зарабатываете.

Как рассчитать сложный процент

Чудесным свойством сложного процента является его способность работать в различных видах инвестиций: от простого банковского вклада до акций, облигаций и инвестиционных портфелей.

Если вы решили инвестировать свои средства на длительный срок и уже определились с суммой первоначального капитала, то прежде чем выбрать куда же вложить средства под сложный процент, рассчитайте доходность по разным вариантам.

Несколько ключевых факторов необходимо учитывать при расчете сложных процентов:

1. % ставка;
2. Сумма вложений (стартовый капитал);
3. Период/частота начислений (ежедневно, ежеквартально, один раз в год и т.д.);
4. Временной интервал – период в течение, которого деньги работают;
5. Капитализация, доп. вложения или снятие процентов.

Во-первых, вы можете самостоятельно сформировать таблицу в Excel со своими данными, использовав для расчёта процентов следующую формулу для расчета сложных процентов:

В = А*( 1 Р/100%)n

где:

• В – ожидаемая сумма
• А – начальная сумма вложений.
• Р – процентная ставка за конкретный период вложений.
• n – количество расчетных периодов.

 Или можно использовать специальную функцию в Excel — Future Value (FV):

FV(% ставка,nper,pmt,[pv],[type])

• FV – финансовый результат;
• Ставка;
• nper – период, в течение которого будут начисляться %;
• pmt – доп. вложения;
• pv – текущая стоимость. Убрав этот показатель, означает, что он равен 0.
• type – указывается 0, если оплата в конце, 1 – в начале периода.

П.2. сложные проценты

Например:Пусть первоначальный вклад (сумма депозита) составляет 10 тыс.руб. Банк начисляет сложный процент на вклад в размере 10% годовых. Какую сумму получит вкладчик через три года?Заполним таблицу:

Итого вкладчик получит через три года 13,31 т.руб.

Например:Для рассмотренного выше случаяS3 = 10(1 0,1)3 = 10 · 1,13 = 10 · 1,331 = 13,31 (т.руб.)

П.3. модель банковской системы, резервы и банковский мультипликатор

Банковская система отдельного государства (или их объединения) делится на два уровня: центральный банк (ЦБ) и коммерческие банки.

ЦБ осуществляет эмиссию денег и регулирует деятельность коммерческих банков. Коммерческие банки (универсальные, инвестиционные, сберегательные, ипотечные и т.д.) оказывают услуги по ведению расчётных операций, кредитованию и инвестированию.

ЦБ определяет размер и распоряжается частью средств коммерческих банков – так называемыми обязательными резервами.

Норма отчислений в обязательные резервы зависит от качества кредитов (степени их риска), которые предоставляет коммерческий банк. В среднем её величина составляет около 20%. Например, если коммерческий банк получил в виде депозитов 300 т.руб., то сумма обязательных резервов составит 20% · 300 = 60 т.руб., а свободно распоряжаться банк сможет 240 т.руб.

Резервирование не всей суммы, а только 20%, позволяет значительно увеличивать возможности кредитования в масштабах всей банковской системы.

Рассмотрим цепочку из пяти банков.

Пусть клиент 1 положил на депозит в Банк 1 500 т.руб. Банк 1 перечислил 20% в обязательный резерв и оставшуюся сумму отдал в кредит клиенту 2. Клиент 2 получил кредит на свой счёт в банке 2. Банк 2 перечислил 20% в обязательный резерв и оставшуюся сумму отдал в кредит клиенту 3 и т.д.

Заполним таблицу:

Общая сумма свободных средств, которые были розданы из первоначального депозита в 500 т.руб. составляет: $$ mathrm{ S_5=S_0frac{1-q^5}{1-q}=400cdot frac{1-0,8^5}{1-0,8}=1344,64 text{т.руб.} } $$ Это в (mathrm{frac{S_5}{S_1}approx3,36}) раз больше, чем смог бы раздать Банк 1 «в одиночку».

В пределе при очень большом количестве банков (mathrm{nrightarrowinfty}) степень (mathrm{0,8^nrightarrow 0}), и общая сумма свободных средств, которые могут быть розданы, составляет: $$ mathrm{ S_{infty}=frac{S_0}{1-q}=frac{S_0}{p} } $$ где p – норма обязательного резервирования.

П.4. примеры

Пример 1. Вкладчик положил в банк 20 т.руб. под простые проценты в размере 7% годовых. Через 1 год 5 месяцев и 10 дней вкладчик забрал свой вклад. Какую сумму он получил на руки?Переведём 1 год 5 месяцев и 10 дней в годы: begin{gather*} mathrm{ text{1 год 6 месяцев и 10 дней}=1 frac{5}{12} frac{10}{365}approx 1,444 text{лет} } end{gather*} По формуле простых процентов:

S_n = S₀(1 np) = 20 · (1 1,444 · 0,07) = 22 021 руб. 69 коп.

Ответ: 22 021 руб. 69 коп.

Пример 2. Вкладчик положил в банк 10 т.руб. под простые проценты и через 4 года забрал 15 т.руб. Определите величину ежегодного процента.По формуле простых процентов: begin{gather*}mathrm{ S_n=S_0(1 np)Rightarrow 1 np=frac{S_n}{S_0}Rightarrow p=frac{1}{n}left(frac{S_n}{S_0}-1right) } end{gather*} Подставляем: begin{gather*}mathrm{ p=frac14left(frac{15}{10}-1right)=frac{0,5}{4}=0,125=12,5text{%} } end{gather*} Ответ: 12,5%

Пример 3. Вкладчик положил в банк 20 т.руб. под сложные проценты в размере 7% годовых. Через 1 год 5 месяцев и 10 дней вкладчик забрал свой вклад. Какую сумму он получил на руки?Переведём 1 год 5 месяцев и 10 дней в годы: begin{gather*} mathrm{ n= text{1 год 6 месяцев и 10 дней}=1 frac{5}{12} frac{10}{365}approx 1,444 text{лет} } end{gather*} По формуле сложных процентов:

S_n = S₀(1 p)ⁿ = 20 · 1,07^1,444 ≈ 20 · 1,102631 = 22 052 руб. 62 коп.

Ответ: 22 052 руб. 62 коп.

Пример 4. Сколько денег нужно положить в банк, чтобы при начислении сложного процента в 8% годовых получить 20 т.руб. через 10 лет? Во сколько раз увеличится вклад за это время?По формуле сложных процентов: $$ mathrm{ S_n=S_0(1 p)

^nRightarrow S_0=frac{S_n}{(1 p)^n} } $$ Подставляем: $$ mathrm{ S_0=frac{20000}{(1 0,08)^{10}}approx 9234 text{руб.} } $$ Увеличение вклада: $$ mathrm{ frac{S_n}{S_0}=(1 p)^n=1,08^{10}approx 2,16 text{раз} } $$ Ответ: 9234 руб.; в 2,16 раз

Пример 5. Карло Понци, создатель знаменитой финансовой пирамиды в США в 1919 г., обещал выплачивать 50% на вклад через каждые 45 дней. Какую сумму получил бы вкладчик 1000 дол., перезакладывая их с процентами в течение года, если бы Понци смог сдержать своё обещание?

По формуле сложных процентов: (mathrm{S_n=S_0(1 p)^n}).Количество периодов выплат в течение года: (mathrm{n=frac{365}{45}approx 8,11})Получаем: (mathrm{S_n=1000cdot(1 0,5)^{8,11}approx 26810 text{дол.}}).Ответ: 26 810 дол.

Пример 6*. В банковскую систему, состоящую из n банков, поступил вклад в размере 1 млн.руб. Норма обязательных резервов составляет 25%. Сколько банков должны предоставить кредиты, чтобы их общая сумма составила не менее 2,5 млн.руб.?

Чему равен мультипликатор системы и предельная величина кредитов?Первый предоставленный кредит: (mathrm{S_0=1000cdot 0,75=750 text{т.руб.}}).По формуле общей суммы свободных средств: $$ mathrm{ S_n=S_0frac{1-q^n}{1-q}Rightarrow 1-q^n=frac{S_n}{S_0}(1-q)

Rightarrow q^n=1-frac{S_n}{S_0}(1-q) } $$ Учитывая условие «не менее» суммы S: $$ mathrm{ S_n=S_0frac{1-q^n}{1-q}geq SRightarrow 1-q^ngeq frac{S}{S_0}(1-q)Rightarrow q^nleq 1-frac{S}{S_0}(1-q) } $$ Подставляем: $$ mathrm{ 0,75^nleq 1 -frac{2,5}{1}cdot(1-0,75)=0,375 } $$ Таблица степеней 0,75 с точностью 0,0001

Значит, если в цепочке будет 4 и более банков, сумма кредитов превысит 2,5 млн.руб.Мультипликатор данной банковской системы: (mathrm{mu=frac{1}{0,25}=4})Предельная величина кредитов, предоставляемых системой: $$ mathrm{ S_{infty}=mu S_0=4cdot 0,75=3 text{млн.руб.} } $$ Ответ: 4 и более банков;   μ = 4;   S∞ = 3 млн.руб.

Памм счета

Еще один пример работы сложного процента при инвестициях в управляющих трейдеров. Если вы не слышали об этом направлении инвестиций, то почитайте соседние статьи:

Ниже скрин со статистикой доходности за год по разным управляющим:

Давайте возьмем средние 6% процентов доходности в месяц, 1000 долларов для изначального вклада и 3 года:

В итоге вместо 216% процента (72% годовых за 3 года), сумма сложных процентов принесла 814% прибыли.

Полезные советы

Деньги в сейфе или под подушкой никогда не сделают человека успешнее и богаче. Деньги должны работать – этого мнения придерживаются все мировые финансисты, инвесторы, банкиры и бизнесмены. Пришло время задуматься над этим вопросом. Несколько советов, которые помогут определиться.

• Необходимо проанализировать все варианты и выбрать наиболее подходящий: покупка акций, облигаций, открытие банковского вклада и т.д.
• Проверить финансовое состояние компании, акции которой планируется приобретать, какие % выплачивают, регулярность, рост их стоимости за определенный период. Если банк, то стоит проверить является ли он членом фонда гарантирования, какая сумма подлежит возврату, если произойдет форс-мажор, наличие/отсутствие вкладов с капитализацией.
• Рассмотрите разные возможности инвестиций, будь то ПАММ счета, ценные бумаги, агрессивные и консервативные способы.
• Использовать сложные проценты. Примеры, приведенные выше, наглядно показывают разницу в доходах.

Простые и сложные проценты

Простой процент работает иначе, чем сложный. Простые проценты рассчитываются только на основной сумме. Заработанные проценты не суммируются и не реинвестируются в основную сумму при расчете простых процентов.

С точки зрения простых процентов с баланса счета в 1000 долларов, который приносит 5% годовых, вы будете платить 50 долларов в год. Заработанные проценты не будут добавлены обратно в основную сумму. На второй год вы заработаете еще 50 долларов. Простые проценты обычно используются для расчета процентов, взимаемых по автокредитам и другим формам краткосрочных потребительских кредитов.

В идеальном мире мы бы хотели, чтобы ваши сбережения и инвестиции рассчитывались с использованием сложных процентов, а ваши долги — с использованием простых процентов.

Например, возьмем сберегательный счет в размере 10 000 долларов, который приносит 2% сложных процентов каждый год.

• После первого года на вашем счете будет 10 200 долларов (основная сумма 10 000 долларов 2% от 10 000 долларов).
• По истечении 2-го года на вашем счете будет 10 404 доллара (баланс 10 200 долларов 2% от 10 200 долларов).
• По истечении 3-го года на вашем счете будет 10 612,08 доллара США (баланс 10 404 доллара 2% от 10 404 доллара).

Через три года ваша первоначальная основная сумма в размере 10 000 долларов США выросла на 612,08 доллара США.

Сравним сложные проценты с простыми процентами, используя тот же пример, при этом 2% годовых начисляются каждый год только с основной суммы.

• После первого года на вашем счете будет 10 200 долларов (основная сумма 10 000 долларов 2% от 10 000 долларов).
• По истечении 2-го года на вашем счете будет 10 400 долларов США (баланс 10 200 долларов США 2% от 10 000 долларов США).
• По истечении 3-го года у вас будет 10 600 долларов на вашем счете (баланс 10 400 долларов 2% от 10 000 долларов).

Через три года ваша первоначальная основная сумма в размере 10 000 долларов США выросла на 600 долларов США.

Простые и сложные проценты по вкладам

Сложный процент на фондовом рынке

Сложные проценты на фондовом рынке работают по идентичному принципу, но отличительная особенность все-таки есть – это отсутствие понятия капитализации (как единой целой), сам капитал и процент доходности плавающий, присутствует факт перетекания капитала из одних бумаг в другие.

Но консервативный подход и максимальное использование всех инструментов позволяет создавать инвестиционный портфель, приносящий максимальный доход. В данном процессе активной торговли не наблюдается, происходит постоянный контроль над портфелем.

Владельцы крупных корпораций своим акционерам регулярно выплачивают дивиденды. Их можно получить и потратить, а можно направить на покупку иных ценных бумаг, тем самым начнет работать формула сложных процентов.

Формула сложных процентов

Теперь давайте приступим к самому важному. Узнаем наконец-то, как всё это рассчитывается. Формула имеет следующий вид:

где

• К — сумма вклада,
• i — годовая % ставка, деленная на 100,
• n — число периодов начислений.

Воспользуемся данной формулой на практике.

Пример 1. Вы положили на депозит в банке 60 000 рублей под 12% годовых на 8 лет. Узнать, какую сумму вы получите через 8 лет, можно с помощью вышеупомянутой формулы:

S = 60 000 * (1 12/100)^8 = 148 557 руб.

Размер итоговой прибыли может зависеть от различных факторов. Например, от того, как начисляются проценты ежемесячно или раз в год. Тогда формула немного видоизмениться.

Пример 2. Пусть условие остается прежним из Примера 1, но начисления будут происходить каждый месяц.

S = 60 000 * (1 12/100/12)^96 = 155 956 руб.

Думаю, понятно, откуда появилось число 96 — это 8 лет умноженные на 12 месяцев. А процентную ставку i необходимо ещё разделить на 12 (месяцев). Тогда формула для наращения процентов m раз в году примет вид:

где m = 365, при ежедневном начислении прибыли, m = 12 — ежемесячном, m = 4 — ежеквартальном, m = 2 — полугодовом.

Как видно из примеров, чем чаще начисления, тем конечный доход будет выше. Только важно помнить главное правило — сложные % тогда будут приносить реальную пользу, когда вы не будете снимать получаемую с них прибыль.

«Сложные проценты — это величайшее математическое открытие.» А.Эйнштейн